Tài liệu Ôn thi cao học môn Toán kinh tế - Phần II: Xác suất docx

1
ÔN THI CAO HỌC MÔN TOÁN KINH TẾ
(Biên soạn: Trần Ngọc Hội - 2007)

PHẦN II: XÁC SUẤT

A- CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

§1. ÔN VỀ TỔ HP
1.1. Đònh nghóa: Một tổ hợp chập k của n phần tử là một nhóm không có
thứ tự gồm k phần tử phân biệt được rút ra từ n phần tử đã cho.
Ví dụ: Các tổ hợp chập 2 của 3 phần tử x, y, z là:
{x,y}; {x,z}; {y,z}.
1.2. Công thức tính tổ hợp: Gọi
k
n
C là số tổ hợp chập k của n phần tử.
Ta có công thức:
()
!
!!
=
−
k
n
n
C
knk

Ví dụ:

6
20
20!
38760.
6!14!
==C

Chú ý: Trên máy tính có phím chức năng nCr, ta tính
6
20
C bằng cách bấm
20 nCr 6 =
1.3. Bài tóan lựa chọn:
Một lô hàng chứa N sản phẩm, trong đó có N
A
sản phẩm loại A và N- N
A
sản phẩm

lọai B. Chọn ngẫu nhiên ra n sản phẩm (0 < n < N). Với mỗi số
nguyên k thỏa 0 ≤ k ≤ N
A
, 0 ≤ n-k ≤ N-N
A
. Tìm số cách chọn ra n sản phẩm,
trong đó có đúng k sản phẩm loại A.
Lời giải
Để chọn ra n sản phẩm, trong đó có đúng k sản phẩmloại A ta tiến hành
2 bước:
Bước 1: Chọn k sản phẩm loại A từ N

A
sản phẩm loại A. Số cách chọn là
A
k
N
C .

Bước 2: Chọn n-k sản phẩm loại B từ N-N
A
sản phẩm loại B. Số cách chọn
là
−
−
A
nk
NN
C .


2
Theo nguyên lý nhân ta có số cách ra n sản phẩm, trong đó có đúng k sản
phẩm loại A là:
.
−
−
AA
knk
NNN
CC
.

§2. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT
2.1. Phép thử và biến cố
1) Phép thử là một thí nghiệm được thực hiện trong những điều kiện
xác đònh nào đó. Một phép thử có thể cho nhiều kết quả khác nhau, mỗi kết
quả được gọi là một biến cố.
Ví dụ: Thực hiện phép thử là tung một con xúc xắc đồng chất 6 mặt. Các
biến cố có thể xảy ra là: Xuất hiện mặt 1 chấm; Xuất hiện mặt có chấm chẵn,…

2) Biến cố tất yếu, kí hiệu Ω (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra
khi thực hiện phép thử.

Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số
chấm không quá 6” là biến cố tất yếu.

3) Biến cố bất khả, kí hiệu Φ, là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực
hiện phép thử.

Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số
chấm lớn hơn 6” là biến cố bất khả.

4) Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra cũng có thể không xảy ra
khi thực hiện phép thử. Ta thường dùng các kí tự A, A
1
, A
2
, B, C,… để chỉ các
biến cố ngẫu nhiên.

Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt 1 chấm”
là một biến cố ngẫu nhiên.

Trong các ví dụ minh họa sau, khi tung một con xúc xắc 6 mặt, ta gọi A
j
(j =
1,2,…,6) là biến cố “Xuất hiện mặt j chấm” .

5) Biến cố tổng của hai biến cố A và B, kí hiệu A + B (hay A∪ B) là biến
cố đònh bởi:

A + B xảy ra ⇔ A xảy ra hoặc B xảy ra.
⇔ Có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra.

Minh họa:

3

Ta có thể mở rộng khái niệm tổng của n biến cố A
1
, A
2
,…, A
n
như sau:

A
1
+ A
2
+…+ A
n

xảy ra ⇔ Có ít nhất 1 trong n biến cố A
1
, A
2
,…, A
n
xảy ra.

Ví dụ: Tung một con xúc xắc 6 mặt, gọi A là biến cố “Xuất hiện mặt có
số chấm không quá 2” và B là biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm chẵn”, ta có:
A = A
1
+ A
2

B = A
2
+ A
4
+ A
6

6) Biến cố tích của hai biến cố A và B, kí hiệu AB (hay A∩B) là biến cố đònh
bởi:

AB xảy ra ⇔ A xảy ra và B xảy ra.

Như vậy, biến cố tích AB xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B
đồng thời xảy ra.
Minh họa:

Ta có thể mở rộng khái niệm tích của n biến cố A
1
, A
2
,…, A
n
như sau:

A
1
A
2
…A
n
xảy ra ⇔ Tất cả n biến cố A
1
, A
2
,…, A
n
đồng thời xảy ra.

Ví dụ: Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố sau:

A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn.
B : Xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn hay bằng 5.
C: Xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 5.

Ta có: AB = A

6
và ABC = Φ.

7) Biến cố sơ cấp là biến cố khác biến cố bất khả và không thể phân tích dưới
dạng tổng của hai biến cố khác.


4
Ta có thể xem các biến cố sơ cấp như là các nguyên tử nhỏ nhất không thể
phân chia đươc nữa. Một biến cố A bất kỳ sẽ là tổng của một số biến cố sơ cấp
nào đó, ta gọi những biến cố sơ cấp đó thuận lợi cho biến cố A. Như vậy, mọi
biến cố sơ cấp đều thuận lợi cho biến cố tất yếu, trong khi không có biến cố sơ
cấp nào thuận lợi cho biến cố bất khả.

Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, ta có tất cả 6 biến cố sơ cấp là A
j
(j =
1,2,…,6). Gọi A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ. Khi đó:
A = A
1
+ A
3
+ A
5
.
Do dó có 3 biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A là A
1
, A
3
, A

5
.

8) Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu AB = Φ, nghóa là A và B
không bao giờ đồng thời xảy ra trong cùng một phép thử.

Ví dụ: Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố :
A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn.
B : Xuất hiện mặt 1 chấm.
C : Xuất hiện mặt có số không quá 2.

Ta có A và B xung khắc nhưng A và C thì không (AC = A
2
).

9) Biến cố đối lập của biến cố A, kí hiệu
A
, là biến cố đònh bởi
A
xảy ra ⇔ A không xảy ra
Minh họa:

Như vậy, A và
A
xung khắc, hơn nữa A +
A
= Ω, nghóa là nhất thiết phải
có một và chỉ một trong hai biến cố A hoặc
A
xảy ra khi thực hiện phép thử.

Ví dụ: Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố

A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn.
B : Xuất hiện mặt có số chấm lẻ.

Ta thấy ngay B là biến cố đối lập của A.

10) Các biến cố đồng khả năng là các biến cố có khả năng xảy ra như nhau khi
thực hiện phép thử.
Ví dụ: Khi tung ngẫu nhiên một con xúc xắc đồng chất 6 mặt, các biến cố sơ
cấp A
j
(j = 1,2,…,6) là đồng khả năng.




5
2.2. Đònh nghóa xác suất.
Giả sử khi tiến hành một phép thử ø, có tất cả n biến cố sơ cấp đồng
khả năng có thể xảy ra, trong đó có m
A
biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A.
Tỉ số
n
m
A
được gọi là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A).
Như vậy,

P(A) =
raxảy thể có cấp sơ cố biếnsố Tổng
A cho lợi thuậncấpsơ cốbiếnốS


2.3. Công thức tính xác suất lựa chọn.

Xét một lô hàng chứa N sản phẩm, trong dó có N
A
sản phẩm loại A,
còn lại là loại B. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra n sản phẩm (0< n < N). Khi
đó, với mỗi 0 ≤ k ≤ N
A
thỏa 0 ≤ n-k ≤ N-N
A
, xác suất để trong n sản phẩm
chọn ra có đúng k sản phẩm loại A là:
AA
knk
NNN
n
n
N
(k)
CC
p
C
−
−

=

§3. CÔNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT
3.1. Công thức cộng xác suất
1) Công thức cộng xác suất thứ nhất.

Với A và B là hai biến cố xung khắc, ta có

P(A+B) = P(A) + P(B)
Mở rộng
: Với A
1
, A
2
, …, A
n
là n biến cố xung khắc từng đôi, ta có:

P(A
1
+ A
2
+ …+ A
n
) = P(A
1
) + P(A
2
) +…+ P(A
n

)

2) Hệ quả:

Với A là một biến cố bất kỳ, ta có

P(A) 1 P(A)=−

3) Công thức cộng xác suất thứ hai:

Với A và B là hai biến cố bất kỳ, ta có:

6

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Ví dụ 1: Một lô hàng chứa 15 sản phẩm gồm 10 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm
xấu. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 4 sản phẩm. Tính xác suất để trong 4 sản
phẩm chọn ra có:
a)
Số sản phẩm tốt không ít hơn số sản phẩm xấu.
b)
Ít nhất 1 sản phẩm xấu.
Lời giải.

Gọi A
j
(j = 0,1,…,4) là biến cố có j sản phẩm tốt và (4-j) sản phẩm xấu có
trong 4 sản phẩm chọn ra. Khi đó A
0

, A
1
,…,A
4
xung khắc từng đôi và theo
Công thức tính xác suất lựa chọn với N = 15, N
A
= 10, n = 4 (ở đây loại A là
loại tốt), ta có:
C
CC
jj
j
AP
4
15
4
510
)(
−
=

Từ đó ta tính được:
.
1365
210
)(;
1365
600
)(

1365
450
)(;
1365
100
)(;
1365
5
)(
43
210
==
===
APAP
APAPAP

a) Gọi A là biến cố số sản phẩm tốt không ít hơn số sản phẩm xấu. Ta có:

A = A
4
+ A
3
+ A
2
.


Từ đây do tính xung khắc từng đôi của A
2
, A

3
, A
4
, Công thức cộng thứ nhất
cho ta:


9231,0
1365
450
1365
600
1365
210
)()()()(
234
=
++=
+
+
= APAPAPAP


b)
Gọi B là biến cố có ít nhất 1 sản phẩm xấu trong 4 sản phẩm chọn ra.
Khi đó, biến cố đối lập
B
là biến cố không có sản phẩm xấu nào trong 4 sản
phẩm chọn ra nên
B

= A
4
. Suy ra xác suất của B là


7
8462,0
1365
210
1)(1)(1)(
4
=−=−=−= APBPBP .

Ví dụ 2: Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 60 sinh viên giỏi Toán,
70 sinh viên giỏi Anh văn và 40 sinh viên giỏi cả hai môn Toán và Anh văn.
Chọn ngẫu nhiên một sinh viên của lớp. Tìm xác suất để chọn được sinh viên
giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Anh văn.

Lời giải

Gọi
- A là biến cố sinh viên được chọn giỏi môn Toán.
- B là biến cố sinh viên được chọn giỏi môn Anh văn.
Khi đó
- AB là biến cố sinh viên được chọn giỏi cả hai môn Toán và Anh văn.
- A + B là biến cố sinh viên được chọn giỏi ít nhất một trong hai môn Toán
hoặc Anh văn.
Do đó
.9,0
100

40
100
70
100
60
)()()()( =−+=−+=+ ABPBPAPBAP


§4. CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT
4.1. Xác suất có điều kiện.
1) Đònh nghóa: Xác suất có điều kiện của biến cố A biết biến cố B
đã xảy ra, kí kiệu P(A/B), là xác suất của biến cố A nhưng được tính trong
trường hợp biến cố B đã xảy ra rồi.

Ví dụ: Thảy một con xúc xắc đồng chất 6 mặt. Xét các biến cố sau:
- A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn.
- B là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ.
- C là biến cố xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 4.
- D là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn hay bằng 4.
Khi đó
- P(A/B) = 0
- P(A/C) = 2/4 = 0,5
- P(A/D) = 2/3
Nhận xét: Trong ví dụ trên ta có xác suất của biến cố A là P(A) = 3/6 = 0,5.
Do đó

P(A/B) < P(A);
P(A/C) = P(A);
P(A/D) > P(A).

8

Điều đó cho thấy xác suất có điều kiện của biến cố A có thể nhỏ hơn, có thể
bằng nhưng cũng có thể lớn hơn xác suất thông thường P(A). Đặc biệt, ta
thấy xác suất để biến cố A xảy ra là 0,5 không phụ thuộc vào việc biết hay
chưa biết biến cố C đã xảy ra. Ta nói biến cố A độc lập với biến cố C theo
đònh nghóa sau:

2) Tính độc lập: Nếu P(A/B) = P(A), nghóa là sự xuất hiện của biến
cố B không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố A, thì ta nói A
độc lập với B.

4.2. Công thức nhân xác suất thứ nhất

Nếu biến cố A độc lập với biến cố B thì B cũng độc lập với A và ta có

P(AB) = P(A) P(B)
Mở rộng
: Với A
1
, A
2
, …, A
n
là n biến cố độc lập từng đôi, nghóa là với
mọi 1 ≤ i ≠ j ≤ n , A
i
và A
j
độc lập, ta có:

P(A
1
A
2
…A
n
) = P(A
1
)P(A
2
)… P(A
n
).

4.3. Công thức nhân xác suất thứ hai

Với A, B là hai biến cố bất kỳ, ta có


P(AB) = P(A) P(B/A) = P(B)P(A/B)

Mở rộng
: Với A
1
, A
2
, …, A
n
là n biến cố bất kỳ , ta có:

P(A
1
A
2
…A
n
) = P(A
1
)P(A
2
/ A
1
)… P(A
n
/ A
1
A
2
…A
n-1
).

Chẳng hạn:
P(ABC) = P(A)P(B/A)P(C/AB).

Ví dụ: Có hai lô hàng, mỗi lô chứa 15 sản phẩm, trong đó lô I gồm 10 sản
phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu; lô II gồm 8 sản phẩm tốt và 7 sản phẩm xấu.
Chọn ngẫu nhiên từ mỗi lô 2 sản phẩm.

a) Tính xác suất để trong 4 sản phẩm chọn ra có 2 sản phẩm tốt và 2 sản
phẩm xấu.
b) Giả sử đã chọn được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu. Tính xác suất
đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô I.




9
Lời giải

Gọi A
i
, B
i
(i = 0, 1, 2) lần lượt là các biến cố có i sản phẩm tốt và (2 - i)
sản phẩm xấu có trong 2 sản phẩm được chọn ra từ lô I, lô II.
Khi đó
- A
0
, A
1
, A
2
xung khắc từng đôi và ta có:

.
105
45
)(

;
105
50
)(
;
105
10
)(
2
15
0
5
2
10
2
2
15
1
5
1
10
1
2
15
2
5
0
10
0
==

==
==
C
CC
C
CC
C
CC
AP
AP
AP

- B
0
, B
1
, B
2
xung khắc từng đôi và ta có:

.
105
28
)(
;
105
56
)(
;
105

21
)(
2
15
0
7
2
8
2
2
15
1
7
1
8
1
2
15
2
7
0
8
0
==
==
==
C
CC
C
CC

C
CC
BP
BP
BP

- A
i
và B
j


độc lập.

a) Gọi A là biến cố chọn được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phảm xấu. Ta có:
A = A
0
B
2
+ A
1
B
1
+ A
2
B
0
.

Do tính xung khắc từng đôi, Công thức cộng xác suất cho ta:

P(A) = P(A
0
B
2
) + P(A
1
B
1
) + P(A
2
B
0
).

Từ đây, do tính độc lập , Công thức nhân xác suất thứ nhất cho ta:


10
.3651,0
.
105
21
.
105
45
105
56
.
105

50
105
28
.
105
10
))P(BP(A ))P(BP(A ))P(BP(A P(A)
021120
=
++=
+
+
=



b)
Giả sử đã chọn được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu. Khi đó biến cố
A đã xảy ra. Do đó xác suất để chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu
từ lô I trong trường hợp này chính là xác suất có điều kiện P(A
1
/A).

Theo Công thức nhân xác suất thứ hai, ta có

/A)P(A)P(A A)P(A
11
=
.
Suy ra

P(A)
A)P(A
/A)P(A
1
1
= .
Mặt khác A
1
A = A
1
B
1

Vì hai biến cố A
1
và B
1
độc

lập nên theo Công thức nhân thứ nhất ta có:

.2540,0
105
56
.
105
50
)()()()(
11111

==== BPAPBAPAAP
Do đó xác suất cần tìm là:

0,6957.
0,3651
0,2540
P(A)
A)P(A
/A)P(A
1
1
===

§5. CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ VÀ CÔNG THỨC BAYES
5.1. Hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi.

Các biến cố A
1
, A
2
,…, A
n
được gọi là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng
đôi nếu hai tính chất sau được thỏa:
- A
1
+ A
2
+… + A
n

= Ω;
- ∀ 1 ≤ i ≠ j ≤ n, A
i
A
j
= Φ,
nghóa là các biến cố A
1
, A
2
,…, A
n
xung khắc từng đôi và nhất thiết phải có một
và chỉ một biến cố A
j
nào đó xảy ra khi thực hiện một phép thử bất kỳ.

Nhận xét: Với A
1
, A
2
,…, A
n
là một hệ đầy đủ và xung khắc từng đôi ta có
P(A
1
) + P(A
2
) + … + P(A
n

) = 1.


11
Ví dụ: Có hai hộp, mỗi hộp chứa 10 viên bi, trong đó hộp I gồm 6 bi đỏ, 4 bi
trắng; hộp II gồm 8 đỏ, 2 trắng.Từ mỗi hộp, chọn ra 2 bi. Xét các biến cố sau:
- A
i
(i = 0, 1,2 ) là biến cố có i bi đỏ và 2-i bi trắng có trong 2 bi lấy từ
hộp I.
- B
j
(j = 0, 1,2 ) là biến cố có j bi đỏ và 2-j bi trắng có trong 2 bi lấy từ
hộp II.
Khi đó ta có các hệ sau là các hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi:
- A
0
, A
1
, A
2
.
- B
0
, B
1
, B
2
.
- A

0
B
0
, A
0
B
1
, A
0
B
2
, A
1
B
0
, A
1
B
1
, A
1
B
2
, A
2
B
0
, A
2
B

1
, A
2
B
2
.
- A
0
B
0
, A
0
B
1
+ A
1
B
0
, A
0
B
2
+ A
1
B
1
+ A
2
B
0

, A
1
B
2
+ A
2
B
1
, A
2
B
2
.

5.2. Công thức xác suất đầy đủ

Cho A
1
, A
2
,…, A
n
là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi.
Khi đó, với A là một biến cố bất kỳ, ta có:

n
j
j
j1
P(A) P(A )P(A/A )

=
=
∑

5.3. Công thức Bayes:

Với các giả thiết như trong 4.2, ta có với mỗi 1 ≤ k ≤ n:


kk kk
k
n
j
j
j1
P(A)P(A/A) P(A)P(A/A)
P(A /A)
P(A)
P(A )P(A/A )
=
==
∑


Ví dụ. Có hai lô hàng, mỗi lô chứa 15 sản phẩm, trong đó lô I gồm 10 sản
phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu; lô II gồm 8 sản phẩm tốt và 7 sản phẩm xấu.
Chọn ngẫu nhiên từ lô I 2 sản phẩm bỏ sang lô II, sau đó từ lô II lấy ra 2
sản phẩm.
a)
Tính xác suất để trong 2 sản phẩm chọn ra từ lô II có 1 sản phẩm

tốt và 1 sản phẩm xấu.
b)
Giả sử đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô II.
Tính xác suất đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô I.

Lời giải.
Gọi
- A là biến cố chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô II.
- A
j
(j = 0, 1, 2) là biến cố có j sản phẩm tốt và (2 - j) sản phẩmxấu có
trong 2 sản phẩm được chọn ra từ lô I.

12

Khi đó A
0
, A
1
, A
2
là hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và ta có:

.
105
45
)(
;
105
50

)(
;
105
10
)(
2
15
0
5
2
10
2
2
15
1
5
1
10
1
2
15
2
5
0
10
0
==
==
==
C

CC
C
CC
C
CC
AP
AP
AP

a)
Yêu cầu của bài toán là tính xác suất P(A).
Theo Công thức xác suất đầy đủ ta có:

P(A) = P(A
0
) P(A/A
0
) + P(A
1
) P(A/A
1
) + P(A
2
) P(A/A
2
).

Ta có:
136
72

)/(
2
17
1
9
1
8
0
==
C
CC
AAP
136
70
)/(
136
72
)/(
2
17
1
7
1
10
2
2
17
1
8
1

9
1
==
==
C
CC
C
CC
AAP
AAP


Suy ra xác suất của biến cố A là

5231,0
.
136
70
.
105
45
136
72
.
105
50
136
72
.
105

10
)/()()/()()/()()(
221100
=
++=
+
+
= AAPAPAAPAPAAPAPAP

b) Giả sử đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô II. Khi đó
biến cố A đã xảy ra. Do đó xác suất cần tìm chính là xác suất có điều kiện
P(A
1
/A). p dụng Công thức Bayes và sử dụng kết quả vừa tìm được ở câu a)
ta có


13
0,4819.
0,5231
136
72
.
105
50
P(A)
))P(A/AP(A
/A)P(A
11
1

===

§6. CÔNG THỨC BERNOULLI
6.1. Công thức Bernoulli
Tiến hành n phép thử độc lập trong những điều kiện như nhau. Giả
sử ở mỗi phép thử,
biến cố A hoặc xảy ra với xác suất p không đổi, hoặc không
xảy ra với xác suất q = 1 – p. Khi đó, với mỗi 0 ≤ k ≤ n, ta có Công thức
Bernoulli tính xác suất để trong n phép thử, biến cố A xảy ra đúng k lần là:

k
knk
n
n
P(k) pq
C
−
=

6.2. Hệ quả: Với các giả thiết như trên ta có:

- Xác suất để trong n phép thử biến cố A không xảy ra lần nào
là q
n
.
- Xác suất để trong n phép thử biến cố A luôn luôn xảy ra là p
n
.

Ví dụ. Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại tốt là 60%. Cho

máy sản xuất 5 sản phẩm. Tính xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có:
a)
3 sản phẩm tốt.
b)
Ít nhất 3 sản phẩm tốt.
Lời giải.

Gọi A
k
(k = 0,1,…,5) là biến cố có k sản phẩm tốt và (5-k) sản phẩm xấu
có trong 5 sản phẩm thu được. p dụng Công thức Bernoulli với n = 5, p = 0,6,
q = 0,4 ta có:
kk
k
knk
k
n
k
CC
qpAP
−−
==
5
5
)4,0()6,0()(
a)
Xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có 3 sản phẩm tốt là:

.3456,0)4,0()6,0()(
23

3
5
3
==
C
AP

b)
Xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có ít nhất 3 sản phẩm tốt
chính là P(A
3
+ A
4
+ A
5
). Ta có:

.68256,0
)6.0()4,0()6,0(3456,0
)()()()(
54
4
5
543543
=
++=
+
+
=
++

C
A
P
A
P
A
P
A
A
A
P


14


B - ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN
- PHÂN PHỐI XÁC SUẤT


§1. KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN.
1.1. Đònh nghóa: Đại lượng ngẫu nhiên là một đại lượng nhận giá trò thực
tùy theo kết quả của phép thử.
Ta dùng các kí tự: X, Y, Z,… chỉ các đại lượng ngẫu nhiên.
Các kí tự: x, y, z,… chỉ giá trò của các đại lượng ngẫu nhiên.
1.2. Phân loại:
a) Loại rời rạc: Là loại đại lượng ngẫu nhiên chỉ nhận hữu hạn hoặc
vô hạn đếm được các giá trò.
Ví dụ: Tiến hành n thí nghiệm. Gọi X là số thí nghiệm thành công.
Khi đó X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc chỉ nhận n+1 giá trò 0; 1; ; n.

b) Loại liên tục: Là loại đại lượng ngẫu nhiên nhận vô hạn không
đếm được các giá trò mà thông thường các giá trò này lấp kín một đoạn nào đó
trong tập các số thực.
Ví dụ: Gọi T là nhiệt độ đo được tại một đòa phương. Ta có T là một
đại lượng ngẫu nhiên liên tục.
1.3. Luật phân phối:
a) Trường hợp rời rạc:
Với X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trò tăng dần :
x
0
, x
1
,…,x
n
ta lập bảng:

X x
0
x
1
……………………… x
n

P p
0
p
1
…………………………. p
n

trong đó:
- p
k
= P(X = x
k
) ≥ 0 với k = 0,1, …, n.
-
n
k
k0
p1
=
=
∑
, nghóa là p
0
+ p
1
+…+ p
n
= 1 .

Ví dụ: Một lô hàng chứa 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm tốt và 4 sản
phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 2 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm
tốt có trong 2 sản phẩm chọn ra. Tìm luật phân phối của X.
Lời giải
Ta thấy X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trò là 0, 1, 2. p
dụng Công thức tính xác suất lựa chọn ta được:

15
.
3
1
)2(
;
15
8
)1(
;
15
2
)0(
2
10
0
4
2
6
2
2
10
1
4
1
6
1
2
10

2
4
0
6
0
====
====
====
C
CC
C
CC
C
CC
XPp
XPp
XPp

Vậy luật phân phối của X là


X 0 1 2
P 2/15 8/15 1/3

b) Trường hợp liên tục:
Trường hợp X liên tục, thay cho việc liệt kê các giá trò của X ở dòng trên,
ta chỉ ra đoạn [a;b] mà X nhận giá trò ở đoạn đó (a, b có thể hữu hạn
hoặc vô hạn). Còn thay cho xác suất p
0
, p

1
,…, p
n
ta đưa ra hàm mật độ
f(x) thoả các tính chất sau:

- f(x) ≥ 0 với mọi x ∈[a;b].
-
∫
=
b
a
dxxf .1)(
-
∫
=≤≤
β
α
βα
.)()( dxxfXP

§2. CÁC ĐẶC SỐ CỦA ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN.
2.1. Mode:
Mode của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu Mod(X), là giá trò
x
0
của X được xác đònh như sau:
- Nếu X rời rạc thì x
0
là giá trò mà xác suất P(X = x

0
) lớn nhất
trong số các xác suất P(X = x).
- Nếu X liên tục thì x
0
là giá trò mà hàm mật độ f(x) đạt giá trò
lớn nhất.

Như vậy, Mod(X) là giá trò tin chắc nhất của X, tức là giá trò mà X
thường lấy nhất. Chú ý rằng Mod(X) có thể nhận nhiều giá trò khác nhau.

Ví dụ: Xét lại ví dụ trên, ta có
X 0 1 2
P 2/15 8/15 1/3
Do đó Mod(X) = 1.

16
2.2. Kỳ vọng (hay Giá trò trung bình).
1) Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu M(X), là số thực
được xác đònh như sau:
- Nếu X rời rạc có luật phân phối

X x
0
x
1
……………………… x
n

P p

0
p
1
…………………………. p
n


thì
∑
=
=
n
k
kk
pxXM
0
)( , nghóa là

M(X) = x
0
p
0
+ x
1
p
1
+…+ x
n
p
n

- Nếu X liên tục với hàm mật độ f(x) có miền xác đònh [a;b]
thì
∫
=
b
a
dxxxfXM .)()(

Ví dụ: Xét lại ví dụ đã xét ở trên , ta có X có phân phối như sau:

X 0 1 2
P 2/15 8/15 1/3
Do đó kỳ vọng của X là
M(X) = 0.2/15 + 1.8/15 + 2.1/3 = 1,2.

2) Tính chất: Kỳ vọng có các tính chất sau:

Tính chất 1: Kỳ vọng của một đại lượng ngẫu nhiên hằng bằng
chính hằng số đó, nghóa là:
M(C) = C (C: Const).
Tính chất 2: Với k là hằng số ta có

M(kX) = kM(X).

Tính chất 3: M(X + Y) = M(X) + M(Y).

Tính chất 4: Với hai lượng ngẫu nhiên độc lập X và Y ta có

M(XY) = M(X)M(Y).

2.3. Phương sai và độ lệch chuẩn.
1) Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu D(X), là số
thực không âm đònh bởi:

17
D(X) = M((X - μ)
2
)
trong đó μ = M(X) là kỳ vọng của X.
Căn bậc hai của phương sai được gọi là
độ lệch chuẩn, kí hiệu
)(
X
σ
. Vậy
)()( XDX =
σ
.
2) Công thức tính phương sai:
Từ đònh nghóa của phương sai ta có công thức khác để tính
phương sai như sau:
D(X) = M(X
2
) – [M(X)]
2

trong đó M(X
2

), M(X) lần lượt là kỳ vọng của X
2
và X.
Như vậy,
- Nếu X rời rạc có luật phân phối

X x
0
x
1
……………………… x
n

P p
0
p
1
…………………………. p
n


thì công thức trên trở thành
nn
2
2
kkk
k
k0 k0
D(X) p ( x p )
x

==
=−
∑∑


- Nếu X liên tục với hàm mật độ f(x) có miền xác đònh [a;b]
thì

∫∫
−=
b
a
b
a
dxxxfdxxfxXD
22
))(()()(


Ví dụ: Xét lại ví dụ đã xét ở trên, ta có X có phân phối như sau:

X 0 1 2
P 2/15 8/15 1/3
và kỳ vọng của X là M(X) = 1,2ø . Suy ra phương sai của X là:

D(X) = M(X
2
) – [M(X)]
2
= 0

2
.2/15 + 1
2
.8/15 + 2
2
.1/3 - (1,2)
2
= 32/75 ≈ 0,4267.
Độ lệch chuẩn của X là:
.6532,04267,0)()( ≈== XDX
σ


3) Tính chất: Phương sai có các tính chất sau:

Tính chất 1: Phương sai của một đại lượng ngẫu nhiên hằng C
bằng 0, nghóa là:
D(C) = 0

Tính chất 2: Với k là hằng số ta có

18
D(kX) = k
2
(D(X).

Tính chất 3: Với X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập ta có:

D(X + Y) = D(X) + D(Y).

Chú ý: Ta có thể sử dụng phần mềm thống kê trong các máy tính bỏ túi
CASIO 500MS, 570MS, ) để tính kỳ vọng , phương sai và độ lệch chuẩn của đại
lượng ngẫu nhiên rời rạc.
Ví dụ: Xét đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối như sau:

X 0 1 2
P 2/15 8/15 1/3

1)
Vào MODE SD: Bấm MODE… và bấm số ứng với SD, trên màn hình
sẽ hiện lên chữ SD.
2)
Xóa bộ nhớ thống kê: Bấm SHIFT MODE 1(Scl) = AC. Kiểm tra lại:
Bấm REPLAY Up hoặc Down thấy n = và ở góc số 0 là đã xóa.
3)
Nhập số liệu: x
i
; p
i
M
+
(DATA)
0 ; (bấm SHIFT ,) 2 a
b/c
15 M
+
1 ; 8 a
b/c
15 M
+

2 ; 1 a
b/c
3 M
+


4)
Kiểm tra và sửa số liệu sai:
Bấm REPLAY Down để kiểm tra việc nhập số liệu. Thấy số liệu nào
sai thì để màn hình ngay số liệu đó, nhập số liệu đúng và bấm = thì số
liệu mới sẽ thay cho số liệu cũ.
Ví dụ: Nhập sai 0 ; 2 a
b/c
5 M
+
(DATA). Khi kiểm tra ta thấy:
- x
1
= 0 (đúng).
- Freq1 = 2/5 (sai)
Sửa như sau: Để màn hình ở Freq1 = 2/5, bấm 2 a
b/c
15 = thì nhận
được số liệu đúng Freq1 = 2/15.
Số liệu nào bò nhập dư thì để màn hình ở số liệu đó và bấm SHIFT
M
+
thì tòan bộ số liệu đó (gồm giá trò của X và tần số tương ứng) sẽ bò xóa.
Chẳng hạn, nhập dư 3 ; a

b/c
3 M
+
(DATA). Khi kiểm tra ta thấy x
4
= 3 (dư).
Ta để màn hình ở số liệu đó và bấm SHIFT M
+
thì tòan bộ số liệu dư
(gồm giá trò của X = 3 và xác suất tương ứng 1/3) sẽ bò xóa.

Chú ý: Sau khi kiểm tra việc nhập số liệu xong, phải bấm AC để xóa
màn hình và thóat khỏi chế độ chỉnh sửa.
5)
Đọc kết quả:
- Bấm SHIFT 2 1 (
X
) = ta được kỳ vọng M(X) = 1,2.

19
- Bấm SHIFT 2 2 (xσ
n
) = ta được độ lệch chuẩn (X) 0, 6532.σ=
- Suy ra phương sai D(X) = [σ(X)]
2
= (0,6532)
2
= 0,4267.
Chú ý: Đối với máy CASIO 500A, có một số thay đổi như sau:

•
Bấm MODE để vào MODE SD.
•
Xóa bộ nhớ thống kê bằng cách bấm SHIFT AC =. Kiểm tra lại
bằng cách bấm SHIFT 6 thấy ra 0 là đã xóa.
•
Khi nhập số liệu, ta thay ; bằng ×.

§3. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI.
3.1. Đònh nghóa: Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối siêu
bội, kí hiệu X ∼ H(N, N
A
, n), trong đó N, N
A
, n là các số nguyên dương , 0 < n,
N
A
< N, nếu X rời rạc nhận các giá trò k nguyên từ max{0; n + N
A
- N} đến
min{n; N
A
} theo Công thức tính xác suất lựa chọn:

C
CC
n
N
kn
NN

k
N
AA
kXP
−
−
== )(
3.2. Các đặc số của phân phối siêu bội.
Giả sử X có phân phối siêu bội X ∼ H(N, N
A
, n). Khi đó X có các đặc
số như sau:
a)
Kỳ vọng:
N
N
pới
A
== vnpXM )( .
b)
Phương sai.
pqv
N
nN
npqXD −=
−
−
= 1
1
)( ới

.
Ví dụ. Một hộp chứa 12 bi gồm 8 bi đỏ và 4 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên từ hộp
ra 4 bi. Gọi X là số bi đỏ có trong 4 bi chọn ra. Hãy tìm luật phân phối của X
và xác đònh kỳ vọng, phương sai của X.
Lời giải
Ta thấy X có phân phối siêu bội
X ∼ H(N, N
A
, n) với N = 12; N
A
= 8, n = 4.
Do đó X nhận các giá trò k nguyên từ max {0; 4+8-12} = 0 đến min{4; 8} = 4
với các xác suất đònh bởi:

C
CC
kk
kXP
4
12
4
48
)(
−
==
Từ đây ta tính được
P(X = 0) = 1/495; P(X = 1) = 32/495; P(X = 2) = 168/495;

20
P(X = 3) = 224/495; P(X = 4) = 70/495.

Vậy luật phân phối của X là:

X 0 1 2 3 4
P 1/495 32/495 168/495 224/495 70/495

Kỳ vọng của X là
M(X) np 4. 2,667.== =
8
12

Phương sai của X là
D(X) npq 4. (1 ) 0,6465.==−=
N-n 8 8 12-4
N-1 12 12 12-1


§4. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC
4.1. Đònh nghóa: Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối nhò
thức, kí hiệu X∼ B(n,p), trong đó n số nguyên dương , 0 < p < 1, nếu X rời rạc
nhận n + 1 giá trò nguyên 0,1,…, n với các xác suất được tính theo theo Công
thức Bernoulli:


.)(
knk
k
n
qpkXP
C
−

==
Trường hợp n = 1, ta còn nói X có
phân phối Bernoulli, kí hiệu X ∼ B(p).
4.2. Các đặc số của phân phối nhò thức.
Giả sử X có phân phối nhò thức X ∼ B(n,p). Khi đó X có các đặc số như
sau:
a)
Mode: Mod(X) = k, trong đó k là số nguyên thỏa
np – q ≤ k ≤ np – q + 1.
b)
Kỳ vọng: M(X) = np.
c)
Phương sai: D(X) = npq
Ví dụ: Một lô hàng chứa rất nhiều sản phẩm, trong đó tỉ lệ sản phẩm loại
tốt là 60%. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 5 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm
tốt có trong 5 sản phẩm chọn ra. Hãy tìm luật phân phối của X. Xác đònh kỳ
vọng và phương sai của X. Hỏi giá trò tin chắc nhất của X là bao nhiêu?

Lời giải.

Ta thấy X có phân phối nhò thức X ∼ B(n,p) với n = 5, p = 0,6. Suy ra
X nhận 6 giá trò nguyên 0,1,…, 5 với các xác suất được tính theo theo Công
thức Bernoulli:
.)4,0()6,0()(
5
5
kk
k
knk
k

n
CC
qpkXP
−−
===

Từ đây ta tính được
P(X = 0) = 0,01024; P(X = 1) = 0,0768; P(X = 2) = 0,2304;

21
P(X = 3) = 0,3456; P(X = 4) = 0,2592; P(X = 5) = 0,07776.
Vậy luật phân phối của X là:

X 0 1 2 3 4 5
P 0,01024 0,0768 0,2304 0,3456 0,2592 0,07776


- Kỳ vọng của X là M(X) = np = 5.0,6 = 3.

- Phương sai của X là D(X) = npq = 5.0,6. 0,4 = 1,2.

- Giá trò tin chắc nhất của X chính là Mod(X): Mod(X) = k với k là
số nguyên thỏa
np – q ≤ k ≤ np – q + 1 ⇔ 5. 0,6 – 0,4 ≤ k ≤ 5. 0,6 – 0,4 + 1
⇔
2,6 ≤ k ≤ 3,6
⇔
k = 3.
Vậy giá trò tin chắc nhất của X là k = 3.

4.3. Đònh lý: Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối siêu bội
X ∼ H(N, N
A
, n). Giả sử rằng n rất nhỏ so với N. Khi đó có thể xấp xỉ X
bằng đại lượng ngẫu nhiên Y có phân phối nhò thức X ≈ Y, trong đó Y ∼
B(n,p) với
A
N
p
N
= , nghóa là:

k
knk
n
P(X k) p q
C
−
==
(k = 0, 1, …)

Ví dụ: Một lô hàng chứa 10000 sản phẩm, trong đó có 8000 sản phẩm tốt và
2000 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 10 sản phẩm. Tính xác
suất chọn được 7 sản phẩm tốt.
Lời giải

Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 10 sản phẩm chọn ra. Khi đó X có
phân phối siêu bội X ∼ H(N, N
A
, n) với N = 10000; N

A
= 8000; n =10. Vì
n = 10 rất nhỏ so với N = 10000 nên ta có thể xem như X có phân phối nhò
thức X ∼ B(n,p) với n = 10; p = N
A
/N = 8000/10000 = 0,8. Do đó xác suất chọn
được 7 sản phẩm tốt là:

7
73
10
P(X 7) (0,8) (0,2) 0,2013.
C
== ≈






22
§5. PHÂN PHỐI POISSON
5.1. Đònh nghóa: Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối
Poisson, kí hiệu X ∼ P(a), trong đó hằng số a > 0, nếu X rời rạc nhận vô hạn
đếm được các giá trò nguyên k = 0,1,…, với các xác suất đònh bởi:


.
!
)(

k
ae
kXP
ka−
==
5.2. Các đặc số của phân phối Poisson.
Giả sử X có phân phối Poisson X ∼ P(a). Khi đó X có các đặc số như
sau:
a)
Kỳ vọng: M(X) = a.
b)
Phương sai. D(X) = a

5.3. Tính chất:. Giả sử X
1
, X
2
độc lập, có phân phối Poisson
X
1
∼ P(a
1
), X
2
∼ P(a
2
). Khi đó X
1
+ X
2

cũng có phân phối Poisson:
X
1
+ X
2
∼ P(a
1
+ a
2
).

5.4. Đònh lý Poisson: Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối
nhò thức X ∼ B(n,p). Giả sử rằng n khá lớn và p khá bé (thông thường p <
0,1). Khi đó có thể xấp xỉ X bằng đại lượng ngẫu nhiên Y có phân phối Poisson:
X ≈ Y, trong đó Y ∼ P(a) với a = np, nghóa là:


!
)(
k
ae
kXP
ka−
≈= (k = 0, 1, …)
Ví dụ: Một máy dệt có 1000 ống sợi. Xác suất để trong một giờ máy hoạt động
có 1 ống sợi bò đứt là 0,2%. Tìm xác suất để trong một giờ có không quá 2 ống
sợi bò đứt.
Lời giải

Gọi X là tổng số ống sợi bò đứt trong một giờ hoạt động của máy thì X có

phân phối nhò thức X ∼ B(n,p) với n = 1000, p = 0,002. Vì n = 1000
khá lớn và p = 0,002 khá bé nên ta có thể xem X có phân phối Poisson:

X ∼ P(a) với a = np = 1000.0,002 = 2.

Xác suất để có không quá 2 ống sợi bò đứt trong một giờ hoạt động của
máy là:
.6767,0
!2
2
!1
2
!0
2
)2()1()0()20(
221202
≈
++≈
=
+
=
+
=
=
≤
≤
−−−
eee
XPXPXPXP

23
§6. PHÂN PHỐI CHUẨN
6.1. Đònh nghóa: Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối
chuẩn, kí hiệu X ∼ N(μ, σ
2
), trong đó μ, σ là các hằng số và σ > 0, nếu X
liên tục và có hàm mật độ xác đònh trên
R đònh bởi:

.
2
1
)(
2
2
2
)(
,
σ
μ
σμ
π
σ
−
−
=
x
exf

6.2. Các đặc số của phân phối chuẩn.
Giả sử X có phân phối chuẩn X ∼ N(μ, σ
2
). Khi đó X có các đặc số
như sau:
a)
Mode: Mod (X) = μ.
b)
Kỳ vọng: M(X) = μ.
c)
Phương sai: D(X) = σ
2


6.3. Hàm Gauss
: Hàm Gauss f(x) là hàm mật độ của đại lượng ngẫu
nhiên X có phân phối chuẩn chính tắc X ∼ N(0,1):


.
2
1
)(
2
2
x
exf
−
=

π

Hàm Gauss là hàm số chẵn (nghóa là f(-x) = f(x)), liên tục trên
R.
Người ta đã lập bảng giá trò của hàm Gauss, trong đó ghi các giá trò f(x) trên
đoạn [0;3,99]. Khi x > 3,99, hàm Gauss giảm rất chậm, do đó ta xấp xỉ:

∀x > 3,99, f(x) ≈ f(3,99) ≈ 0,0001.

Ví dụ: Tra bảng giá trò hàm Gauss ta có:
f(1,14) ≈ 0,2083;
f(-2,15) = f(2,15) ≈ 0,0396.
f(-6,12) = f(6,12) ≈ f(3,99) ≈ 0,0001.

6.4. Hàm Laplace.
Hàm laplace ϕ(x) là hàm số xác đònh trên R đònh bởi:

.
2
1
)(
0
2
2
dtex
x
t
∫
−
=

π
ϕ

Hàm Laplace y = ϕ(x) là hàm số lẻ (nghóa là ϕ (-x) = - ϕ (x)), liên tục trên
R.
Người ta đã lập bảng giá trò của hàm Laplace, trong đó ghi các giá trò ϕ(x)
trên đoạn [0; 5]. Khi x > 5, hàm Laplace tăng rất chậm, do đó ta xấp xỉ:

∀x > 5, ϕ(x) ≈ ϕ(5) ≈ 0,5.

24

Ví dụ: Tra bảng giá trò hàm Laplace ta có:
ϕ (1,14) ≈ 0,3729;
ϕ (-2,15) = - ϕ(2,15) ≈ - 0,4842.
ϕ (-6,12) = - ϕ (6,12) ≈ - ϕ (5) ≈ -0,5.

6.5. Công thức tính xác suất của phân phối chuẩn.

Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn X ∼ N(μ, σ
2
). Khi
đó, xác suất để X lấy các giá trò thuộc [a;b] là:

ba
P(a X b) ( ) ( )
−
μ−μ
≤≤=ϕ −ϕ
σσ

(1)
trong đó ϕ(x) là hàm Laplace.
Đặc biệt, với mỗi k > 0, ta có:

Ví dụ: Trọng lượng của một loại sản phẩm là đại lương ngẫu nhiên có phân
phối chuẩn với trọng lượng trung bình 50kg và phương sai 100kg
2
. Một sản
phẩm được xếp vào loại A nếu có trọng lượng từ 45kg đến 55kg. Tính tỉ lệ sản
phẩm loại A của loại sản phẩm trên.
Lời giải

Gọi X là trọng lượng của loại sản phẩm đã cho. Từ giả thiết ta suy ra
X có phân phối chuẩn X ∼ N(μ, σ
2
) với μ = 50, σ
2
= 100 (σ = 10). Vì một sản
phẩm được xếp vào loại A khi có trọng lượng từ 45kg đến 55kg nên tỉ lệ sản
phẩm loại A chính là xác suất P(45 ≤ X ≤ 55).
p dụng công thức trên ta có

.383,0
1915,0.2
)5,0(2
)5,0()5,0(
)
10
5045
()

10
5055
()5545(
=
=
=
−−=
−
−
−
=≤≤
ϕ
ϕϕ
ϕϕ
XP

(Tra bảng giá trò hàm Laplace ta được ϕ (0,5) = 0,1915). Vậy tỉ lệ sản phẩm
loại A là 38,3%.

6.6. Đònh lý Moivre-Laplace: Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có
phân phối nhò thức X ∼ B(n,p). Giả sử rằng n khá lớn và p không quá gần
0 cũng không quá gần 1 (thông thường 0,1 ≤ p ≤ 0,9). Khi đó có thể xấp xỉ X

25
bằng đại lượng ngẫu nhiên Y có phân phối chuẩn: X ≈ Y, trong đó Y ∼ N(μ,
σ
2
) với μ = np, npq=
σ
(q = 1-p) nghóa là:

a)
).(
1
)(
σ
μ
σ
−
≈=
k
fkXP (k = 0,1,2,…)
b)
)()()(
12
21
σ
μ
ϕ
σ
μ
ϕ
−
−
−
≈≤≤
kk
kXkP ( k
1
< k
2

)
trong đó f(x) là hàm Gauss; ϕ(x) là hàm Laplace.

Ví dụ. Sản phẩm do một nhà máy sản xuất được đóng thành từng kiện, mỗi
kiện gồm 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu. Khách
hàng chọn cách kiểm tra như sau: Từ mỗi kiện chọn ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm;
nếu thấy có ít nhất 2 sản phẩm tốt thì nhận kiện đó, ngược lại thì loại kiện đó.
Kiểm tra 140 kiện trong rất nhiều kiện. Tính xác suất để có:
a)
93 kiện được nhận.
b)
Từ 90 đến 110 kiện được nhận.

Lời giải

Trước hết ta tìm xác suất để một kiện được nhận khi khách hàng kiểm
tra kiện đó. Theo giả thiết mỗi kiện chứa 10 sản phẩm gồm 6 sản phẩm tốt và
4 sản phẩm xấu, khách hàng chọn ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm; nếu thấy có ít
nhất 2 sản phẩm tốt thì chọn kiện.Do đó theo Công thức tính xác suất lựa chọn
ta có xác suất để một kiện được nhận là:

.
3
2
)3()2()32(
3
10
0
4
3

6
3
10
1
4
2
6
333
=+=+=≤≤=
C
CC
C
CC
PPkPp
Gọi X là tổng số kiện hàng được nhận trong 140 kiện được kiểm tra, X
có phân phối nhò thức X ∼ B(n,p) với n = 140, p = 2/3. Vì n = 140 khá lớn và
p = 2/3 không quá gần 0 cũng không quá gần 1 nên ta có thể xem X có phân
phối chuẩn như sau:
X ∼ N(μ, σ
2
)
với μ = np = 140.2/3 = 93,3333,
.5777,53/1.3/2.140 === npq
σ

a)
Xác suất để có 93 kiện được nhận là:
1 93 1 93 93, 33
P(X 93) f( ) f( )
5,5777 5,5777

1 1 0, 3982
f ( 0,06) f(0, 06) 0,0714.
5, 5777 5,5777 5,5777
−μ −
== =
σσ
=−= ==

(Tra bảng giá trò hàm Gauss ta được f(0,06) = 0,3982).

b)
Xác suất để có từ 90 đến 110 kiện được nhận là: