Tài liệu ôn thi đại học môn Toán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.48 MB, 39 trang )
1
Bài 1: Hệ phương trình đại số
Một số loại hệ phương trình thường gặp:
I)Hệ đối xứng loại I
1) Dạng: Hệ phương trình
0);(
0);(
yxg
yxf
là hệ đối
xứng loại I nếu
);();(
);();(
xygyxg
xyfyxf
2)Cách giải : - Đặt
x y S
xy P
. ĐK:
2
4
S P
.
- Biểu thị hệ qua S và P .
- Tìm S ; P thoả mãn điều kiện
PS 4
2
.
Khi đó x; y là 2 nghiệm của phương trình :
0
2
PStt . Từ đó có nghiệm của hệ đã cho.
Chú ý 1 :
+) Nếu hệ có nghiệm (a;b) thì do tính chất đối
xứng của hệ nên hệ cũng có ghiệm (b; a). Vì vậy
hệ có nghiệm duy nhất chỉ khi có duy nhất x = y.
+) Hệ có nghiệm khi và chỉ khi hệ S, P có nghiệm
S, P thỏa mãn
PS 4
2
.
+) Khi
PS 4
2
thì x = y = -S/2
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi chỉ khi có duy
nhất S, P thỏa mãn PS 4
2
.
Chú ý 2 :
Nhiều trường hợp ta có thể sử dụng ĐK cần để tìm
giá trị của tham số sau đó thay vào hệ kiểm tra xem
có thoả mãn hay không - (Đ/K đủ).
II) Hệ đối xứng loại II
1)Hệ :
0);(
0);(
yxg
yxf
là hệ đối xứng loại II nếu :
);();( yxgxyf
2)Cách giải :
+)Đối với hầu hết các hệ dạng này khi trừ 2 vế ta
đều thu được phương tình :
(x-y).h(x;y) = 0
Khi đó hệ đã cho
0 ( ; ) 0
( ; ) 0 ( ; ) 0
x y h x y
f x y f x y
( Chú ý : Có những hệ đối xứng loại II sau khi trừ
2 vế chưa xuất hiện ngay x - y = 0 mà phải suy
luận tiếp mới có điều này).
+) Phương pháp điều kiện cần và đủ:
Phương pháp này được áp dụng tốt cho hệ đối
xứng với yêu cầu: Tìm giá trị tham số để hệ có
nghiệm duy nhất.
Đ/k cần:
Nhận xét rằng: do tính đối xứng của hệ nên nếu hệ
có nghiệm (x
0
;y
0
) thì (y
0
;x
0
) cũng là nghiệm của
hệ, do đó hệ có nghiệm duy nhất khi x
0
= y
0
(1)
Thay (1) vào một phương trình của hệ, tìm đ/k của
tham số để pt` có nghiệm x
0
duy nhất ,ta được giá
trị của tham số. Đó là đ/k cần.
Đ/k đủ: thay giá trị của tham số vào hệ kiểm tra,
rồi kết luận.
III) Hệ nửa đối xứng của x và y
1)Dạng hệ:
)2(;0);(
)1();;();(
yxg
xyfyxf
(Tức là có 1
phương trình là đối xứng )
2)Cách giải:
Chuyển vế biến đổi từ (1) ta có dạng phương
trình tích: (x - y).h(x; y) = 0. Từ đó có: hệ đã cho
tương đương với:
)2(;0);(
0);().(
yxg
yxhyx
0);(
0);(
0);(
0
yxg
yxh
yxg
yx
Chú ý:Nhiều khi đặt ẩn phụ mới có hệ đối xứng
Ví dụ :
5
5
5
5
2
2
2
2
ty
yt
tx
xy
yx
IV) Hệ đẳng cấp đối với x và y
1) Hệ phương trình
0);(
0);(
yxg
yxf
được gọi là hệ
đẳng cấp bậc 2 của x; y nếu mỗi hạng tử (trừ số
hạng tự do) đều có bậc là 2.
2) Cách giải :
* Cách 1) Khử số hạng tự do. (Cách này thường
dùng khi hệ không chứa tham số, hoặc tham số ở
số hạng tự do cho đơn giản)
* Cách 2) Khử x
2
( với y 0 ) hoặc y
2
(với x 0):
(Cách này thường dùng khi hệ có chứa tham số).
VI. Một số hệ phương trình khác.
*) Cách giải: Để giải hệ phương trình không mẫu
mực ta thường áp dụng một số pp :
+ Phân tích thành tích có vế phải bằng 0.
+ Đổi biến (đặt ẩn phụ)
+ Đánh giá : BĐT hoặc dùng hàm số.
Một số ví dụ:
1. Hệ đối xứng I:
Giaỷi caực heọ pt sau ủaõy :
2 2
11
1)
30
xy x y
x y xy
2
11
5; 6 5. 6
. 30
p s
hpt s p p s
p s
ẹS : x = 2; 3; 1; 5
2 -
2 2
3 3
30
35
5; 6 (2;3) ; (3;2)
x y xy
x y
hpt s p
4 4
2 2
1
3)
1
11
1
0; 2 (0;1);(1;0)
( 2 ) 2 1
x y
x y
p s
s
hpt
p p
s p p
3
3
30
4) : ; 0; ; .
35
. 30
125, 5 6
3 35
x y y x
HD x y s x y p x y
x x y y
p s
hpt s s p
s sp
Vaọy Hpt coự ngh ( 4;9) ; ( 9;4).
5- cho:
5( ) 4 4
1
x y xy
x y xy m
a) Tỡm m ủeồ hpt coự nghieọm.
HD: Giaỷi heọ S ;P ta ủửụùc S= 4m ;p = 5m-1
ẹK : S
2
-4p
0
1
; 1
4
m m
.
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
ĐS: m = 1/4, m = 1.
6) a-Cmr: Hpt coự ngh vụựi moùi m :
2 2 2
2 1
x y xy m
x y xy m m
b) Tỡm m hpt coự nghieọn duy nhaỏt .
HDẹS :
a-
2
1 1 2 2
2 1
.
; 1 1.
p s m
hpt
p s m m
s m p m s m p m
ẹS:heọS
1
,P
1
Vn ;
2 2
2 2
4 ( 1) 0
S P m
.
Vaọy: HPt coự nghieọm vụựi moùi m.
b-HPT có ngh duy nhất
2
2 2
4 0
S P
2
( 1) 0
m
1
m
.
=> x = y = 1 Vaọy : (1;1).
2. Hệ đối xứng loại II:
Giaỷi heọ pt :
3
3
3 8
1 :
3 8
x x y
hpt
y y x
3 4
2 :
3 4
y
x y
x
hpt
x
y x
y
2 2
2 2
2 3 2
3
2 3 2
x x y
y y x
HDẹS :
1-Hpt
2 2
3
3
( )( 5) 0
3 8
3 8
(0;0) ( 11; 11) ( 11; 11)
x y
x y x y xy
x x y
x x y
2- ẹK : x 0 ; y 0. Hpt :
2 2
( )( 4) 0
6 4( ) 0
x y x y
x y xy x y
(-2; -2)
3-
2 2
2 2
2 3 2
2 3 2
x x y
y x x
Laỏy (1)-(2) : 3(x-y)(x+y-1 ) = 0 y=x hoaởc y = 1-x.
Keỏt hụùp (1) Khi y = x : (1;1) ; (2;2)
Khi y = 1 -x VN .
4-
1 3
2
1 1
2
x
y x
y
x y
Laỏy (1) - (2) : (x - y)(2 + 4/xy ) = 0 y = x ; y = -2/x
+ y = x : (1;1) ; (-1;-1) .
+ y = -2/x :
( 2; 2);( 2, 2)
3) . Hệ nửa đối xứng
VD. Giải hệ :
12
11
3
xy
y
y
x
x
Giải:
12
0)1)((
0.
12
0
0.
12
11
33
22
3
xy
xyyx
yx
xy
yxxyyx
yx
xy
y
y
x
x
3
4
. 0
. 0
1
( ) ( )
2 1 0
2 0
x y
x y
x y I y II
x
x x
x x
+ Ta có I):
2
51
2
51
1
)(
012
(
0.
3
yx
yx
yx
I
xx
yx
yx
+ Ta có II) :
2 2 2
. 0
1
( )
1 1 3
( ) ( ) 0;( )
2 2 2
x y
II y
x
x x VN
3
4. Hệ đẳng cấp :
VD. Cho hệ phương trình :
2 2
2
4 (1)
3 4 (2)
x xy y m
y xy
a) Giải hệ pt` với m = 1
b) Tìm a để hệ có nghiệm
Giải:
Cách 1:
Dễ thấy y = 0 không phải là nghiệm của hpt.
Đặt x = ty, ta có :
Hệ
2 2 2 2
2 2
4
3 4
t y ty y m
y ty
2 2
2
( 4 1)
(1 3 ) 4
y t t m
y t
2
2
4 1
1 3 4
(1 3 ) 4
t t m
t
y t
(I)
Do y 0 nên từ y
2
(1 - 3t) = 4 1 - 3t > 0 t <
1
3
a) Với m = 1 ta có hệ :
2
2
4 1 1
1 3 4
(1 3 ) 4
t t
t
y t
Giải hệ ta được kq : (1 ; 4), (-1 ; -4).
b) Ta có :
(I)
2
2
4( 4 1) (1 3 )
(1 3 ) 4
t t m t
y t
2
2
4 (16 3 ) 4 0 (*)
(1 3 ) 4
t m t m
y t
Đặt f(t) = 4t
2
- (16 - 3m)t + 4 - m = thì
Hệ có nghiệm (*) có nghiệm thoả mãn t <
1
3
.
Ta lại có
1 8
( ) 0
3 9
af
m nên hệ luôn có
nghiệm thoả mãn t
1
<
1
3
< t
2
. Vậy hệ luôn có
nghiệm với m.
Cách 2 : Khử một ẩn.
Hệ
2
2
4
3 4
x xy m
y xy
2
4 2 2
4
2 (8 ) (4 ) 0 (*)
x m
y
x
x m x m
(x = 0 thoả mãn hệ khi m = 4).
Với m 4 đặt : f(t) = 2t
2
+ (8 - m)t - (4 - m)
2
ta có
f(0) = -(4 - m)
2
< 0 nên phương trình f(t) = 0 luôn
có nghiệm t > 0 hay phương trình (*) luôn có
nghiệm với m.
Các bài tập luyện tập
Bài 1: Một số hệ dạng cơ bản
1) Cho hệ phương trình
8
)1)(1(
22
yxyx
myxxy
a) Giải hệ khi m=12
b) Tìm m để hệ có nghiệm
2) Cho hệ phương trình
2 2 2
1 1
2
a
x y
x y a
Tìm a để hệ phương trình có đúng 2 nghiệm
phân biệt
3) Cho hệ phương trình
2 2
2 2
1
3 2
x xy y
x xy y m
Tìm m để hệ có nghiệm
4)
22
22
xy
yx
5)
myxxyyx
yx
1111
311
a) Giải hệ khi m=6
b) Tìm m để hệ có nghiệm
Bài 2:
2
2
2
2
2
3
2
3
y
x
x
x
y
y
(KB 2003)
HD:
Th1 x=y suy ra x=y=1
TH2 chú ýy: ý x>0 , y> 0 suy ra vô
nghiệm
Bài 3:
358
152
33
22
yx
xyyx
HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt
S=2x+y và P= 2x.y
Đs : (1,3) và (3/2 , 2)
Bài 4:
)2(1
)1(33
66
33
yx
yyxx
HD: từ (2) : -1 ≤ x , y ≤ 1 hàm số :
tttf 3
3
trên [-1,1] áp dụng vào phương
trình (1)
4
Bài 5: CMR hệ phương trình sau có nghiệm duy
nhất
x
a
xy
y
a
yx
2
2
2
2
2
2
HD:
223
2 axx
yx
xét
23
2)( xxxf
lập BBT suy ra KQ
Bài 6:
22
22
xy
yx
HD Bình phương 2 vế, đói xứng loại 2
Bài 7:
)1(
)1(
2
2
xayxy
yaxxy
xác định a để hệ có
nghiệm duy nhất
HD sử dụng ĐK cần và đủ a=8
Bài 8:
)2(5
)1(2010
2
2
yxy
xxy
HD : Rút ra y
yy
y
x
55
2
Cô si
52
5
y
y
x
.
20
2
x
theo (1)
20
2
x
suy ra x,y
Bài 9:
2
)1(
3
yxyx
yxyx
(KB 2002)
HD: từ (1) đặt căn nhỏ làm nhân tử chung
(1;1) (3/2;1/2)
Bài 10:
ayx
ayx
3
21
Tìm a để hệ có
nghiệm
HD: từ (1) đặt
2,1 yvxu
được
hệ dối xứng với u, - v
Chỉ ra hệ có nghiệm thì phương trình bậc hai
tương ứng có 2 nghiệm trái dấu.
Bài tập áp dụng
1)
495
5626
22
22
yxyx
yxyx
2)
)(3
22
22
yxyx
yyxx
KD 2003
3)
095
18)3)(2(
2
2
yxx
yxxx
4)
2
)(7
22
33
yxyx
yxyx
HD: tách thành nhân tử 4 nghiệm
5)
mxyx
yxy
26
12
2
2
Tìm m để hệ có
nghiệm
6)
19
2.)(
33
2
yx
yyx
dặt t=x/y có 2 nghiệm
7)
64
9)2)(2(
2
yxx
yxxx
đặt X=x(x+2) và
Y=2x+y
8)
4
)1(2
2222
yxyx
yxyx
đổi biến theo
v,u từ phương trình số (1)
9)
22
333
6
191
xxyy
xyx
Đặt x=1/z thay vào được
hệ y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2)
10)
12
11
3
xy
y
y
x
x
(KA 2003)
HD: x=y V xy=-1
CM
02
4
xx
vô nghiệm bằng cách
tách hoặc hàm số kq: 3 nghiệm
11)
axy
ayx
2
2
)1(
)1(
xác định a để hệ có
nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần và
đủ
12)
3
3
22
xyyx
x
y
y
x
HD bình phương 2 vế .
5
Bài 2: Phương trình và bất phương trình Đại số
Một số dạng phương trình và bất phương trình
thường gặp
1) Bất phương trình bậc hai ;
Định lýý về dấu của tam thức bậc hai;
Phương pháp hàm số.
2) Phương trình, bất phương trình chứa giá trị
tuyệt đối
2 2
2 2
0B
A B
A B
A B A B
A B
A B
A B
A B B A B
3) Phương trình, bất phương trình chứa căn thức
*PT chứa căn thức:
2
0
0( 0)
0
0
2
B
A B
A B
A hayB
A B
A B
A
A B C B
A B AB C
* Bất phương trình chứa căn thức:
2 2
2 2
0 0
* 0 * 0
0 0
0 0
* *
0 0
A A
A B B A B B
A B A B
A A
B B
A B A B
B B
A B A B
Một số ví dụ
BAỉI TAÄP :
Baứi 1: Bỡnh phửụng hai veỏ :
a) x
2
+
1 1
x
Hd:
4 2
0
1 1
1
2 0
1 5
2
x
x
x
x x x
x
b)pt:
5 1 3 2 1 0
x x x
ĐK x 1.
Chuyeồn veỏ, bỡnh phửụng hai veỏ : x = 2 ;
x = 2/11( loaùi ). Vaọy x=2 .
c)
: 9 5 2 4
pt x x
ĐK
2
x
.
Bỡnh phửụng hai laà ta coự : ẹS x = 0 .
d)
: 16 9 7
pt x x
. ĐS: x = 0, x = -7.
e)
2 2
:(4 1) 9 2 2 1
: 1/4
pt x x x x
dk x
Bình phương hai lần ta có :ẹS x = 4/3.
Baứi 2 : Đặt ẩn phụ:
a)
2 2
3 3 3 6 3
x x x x
. ĐS: x = 1, x = 2.
b)
2
2
1 1 0 : 0 1
3
x x x x dk x
- ẹaởt :
2
2
1
1 ; 0
2
t
t x x t x x
pt t
2
-3t +2 =0 t =1 ; t =2 Vn.
t =1 x = 0 ; x =1.
c)
2
2 3 1 3 2 2 5 3 16
x x x x x
HDẹS:
2 2
: 1
2 3 1 0
3 4 2 2 5 3
5 3.
DK x
t x x
t x x x
pt t x
2 2 2
2
) 7 2 3 3 19
. 2 7 / 4
5 3 13 4
1; 2
d x x x x x x
t x x
pt t t t t
x x
Bài 3:
1) 1 3 ( 1)(3 )
x x x x m
a) Giaỷi pt khi m=2
b) Tỡm m pt coự nghieọm.
HDẹS:
ẹK:
. 1 3 ; 2 2 2
: 2( )
t x x t
vi a b a b a b
2
0( )
1) 2 : 2 0 1, 3
2
t l
m t t x x
t
2) f(t) = -t
2
/2 + t +2 = m (1) . Laọp baỷng bieỏn thieõn
: Tacoự :
2 2 2 2.
m
Bài 4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
2
9 9
x x x x m
Bỡnh phửụng : ẹaởt t=
(9 ) 0 9/ 2
x x t
KSHS
2
( ) 2 9 ; 9/2 9/4 10
f t t t o t Ds m
d)
Bài 5. Tìm m để phương trình có nghiệm:
4 4
4
4 4 6
x x m x x m
HDẹS: ẹaởt
4 24
4 0 : 6 0
t x x m pt t t
6
4
4
4
3 ( )
2
4 2
4 1 6
l o¹ i
t
P T
t
x x m
m x x
Laọp BBT : m>19VN; m=19: 1 ngh ;m<19pt2ngh.
Baứi 6. Giải các phương trình sau:
1)
2 2
3 3
3
(2 ) (7 ) (7 )(2 ) 3
x x x x
-ẹaởt :
2 2
3
3 3
3
2 3
.
9
7
u x u v uv
pt
u v
v x
3
1; 2 1; 6
2
u v
u v x
uv
2)
3
2 1 1
x x
.ẹK : x
1
3
3 2
2
1; 0
1
0;1; 2; 1;0;3
1
1;2;10
u x
v x v
u v
u v
u v
x
Một số bài tập luyện tập:
Bài 1: Tìm m để
mxxxx )64)(3)(1(
2
Tìm m để bất phương trình trên nghiệm đúng
với mọi x.
HD: sử dụng hàm số hoặc tam thức : m≤-2
Bài 2: Giải các phương trình, bất phương trình
sau:
1) 014168
2
xxx
2) xxx 2114 : x = 0
3)
2 2
2( 2 ) 2 3 9 0. : 1 5
x x x x DS x
4) 211
22
xxxx . Tích 2 nhân tử
bằng 1 suy ra cách giải.
5) 023)3(
22
xxxx (KD 2002)
Bài 3: Tìm m để hệ sau có nghiệm
012
0910
2
2
mxx
xx
ĐS m 4.
Bài 4: Giải bất phương trình:
2212 xxx
HD :
nhân 2 vế với biểu thức liên hợp của VT
Biến đổi về BPT tích chú ýy ĐK
Bài 5: Giải bất phương trình:
7
2
1
2
2
3
3
x
x
x
x
HD Đặt 2,
2
1
t
x
xt AD BĐT cô si suy
ra ĐK.
Bài 6: Giải bất phương trình
4
)11(
2
2
x
x
x
HD
Xét 2 trường hợp chú ý DK x
-1.
Trong trường hợp x
4 tiến hành nhân và chia
cho biểu thức liên hợp ở mẫu ở VT.
Bài 7: Cho phương trình:
mxxxx 99
2
Tìm m để phương trình có nghiệm.
HD
Bình phương 2 vế chú ýy ĐK
Đặt t= tích 2 căn thớc Tìm ĐK t
Sử dụng BBT suy ra KQ
Bài 9: Giải bất phương trình (KA 2004)
3
7
3
3
)16(2
2
x
x
x
x
x
Bài tập áp dụng
1) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
mxx 41624
2)
16212244
2
xxxx
3) 12312 xxx
4) 1212)1(2
22
xxxxx
HD: đặt 12
2
xxt coi là phương trình bậc
hai ẩn t.
5)
2
2)2()1( xxxxx
6)
2
3
1)2(12
x
xxxx
7) 1
1
251
2
x
xx
8)
023243
2
xxx
.
9)
2
2 4 3 18 29
x x x x
7
Bài 3: Phương trình và
hệ phương trình lượng giác
Một số kiến thức cần nhớ
1. Các công thức biến đổi lượng giác
a) Công thức cộng:
cos(a - b) = cosacosb + sinasinb
cos(a + b) = cosacosb - sinasinb
sin(a + b) = sinaccosb + cosasinb
sin(a - b) = sinacosb - cosasinb
( )
1
tga tgb
tg a b
tgatgb
b) Công thức nhân đôi, nhân ba
cos2a = cos
2
a - sin
2
a = 2cos
2
a - 1 = 1- 2sin
2
a;
sin2a = 2sinacosa;
2
2
2 ,
2 4 2
1
tga
tg a a k a k
tg a
3 3
sin3 3sin 4sin ; cos3 4cos 3cos ;
a a a a a a
c) Công thức hạ bậc
2 2
1 cos 2 1 cos2
cos ; sin ;
2 2
a a
a a
d) Công thức chia đôi
Đặt
2
2
x
t tg x k
. Ta có:
2
2
2 2 2
2 1 2
sin ; cos ;
1 1 1
t t t
x x tgx
t t t
;
e) Công thức biến đổi
* Đổi tích thành tổng:
1
cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2
1
sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
* Đổi tổng thành tích:
cos cos 2cos cos ;
2 2
cos cos 2sin sin ;
2 2
sin sin 2sin cos ;
2 2
sin sin 2cos sin ;
2 2
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
f) Một số công thức hay dùng:
sin cos 2sin 2 cos
4 4
sin cos 2sin 2 cos
4 4
x x x x
x x x x
1 1
; ;
4 1 4 1
tgx tgx
tg x tg x
tgx tgx
2. Một số phương trình lượng giác thường gặp
a) phương trình lượng giác cơ bản:
+ sinx = a
1
2
1 (sin )
2
PTVN
PT cãngh
a
x k
a a
x k
+ cosx = a
1
1 2 (cos )
PTVN
PT cãngh
a
a x k a
+ tgx = a ĐK:
2
x k
, x =
k
(tg = a).
+ cotgx = a, ĐK:
x k
, x =
k
(cotg = a).
b) Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một
hàm số lượng giác.
* Phương trình bậc nhất:
( ) ( ) 2
sin ( ) sin ( ) ;
( ) ( ) 2
cos ( ) cos ( ) ( ) ( ) 2 ;
( ) ( ) ( ) ( ) ;
( ) ( ) ( ) ( ) ;
sin ( ) sin ( ) sin ( ) sin ( ) ;
cos ( ) cos ( ) cos (
tg tg
cotg cotg
f x g x k
f x g x
f x g x k
f x g x f x g x k
f x g x f x g x k
f x g x f x g x k
f x g x f x g x
f x g x f x
) cos ( ) ;
sin ( ) cos ( ) sin ( ) ;
2
g x
f x g x g x
* Phương trình bậc 2:
2
sin sin 0
a x b x c
đặt t = sinx (
1
t
).
2
cos cos 0
a x b x c
đặt t = cosx (
1
t
).
2
2
0;
0;
atg x btgx c
acotg x bcotgx c
c) Phương bậc nhất đối với sinx và cosx.
asinx + bcosx = c.
Cách giải:
+ Cách 1: chia cả hai vế cho
2 2
a b
; đặt:
2 2 2 2
cos , sin
a b
a b a b
ta được PT:
2 2
sin( )
c
x
a b
;
*) Chú ý: Phương trình có nghiệm
2 2 2
c a b
.
+ Cách 2: Đặt
b
tg
a
ta được phương trình:
sin( ) cos
c
x
a
.
d) Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx
8
2 2
sin sin cos cos
a x b x x c x d
Cách giải:
* Cách 1: Thử với cos
2
x = 0 sinx = 1 nếu
nghiệm đúng phương trình thì đặt cosx làm thừa số
chung.
Với cos
2
x 0 chia cả hai vế cho cos
2
x ta được:
atg
2
x + btgx + c = d(1 + tg
2
x).
* Cách 2: Hạ bậc đưa về phương trình bậc nhất đối
với sin2x và cos2x.
e) Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx
*) Đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c
Đặt sinx + cosx = t, điều kiện
2
t
2
2
1
2 2 0
2
t
at b c bt at b c
* Giả đối xứng: a(sinx - cosx) + bsinxcosx = c
Đặt sinx - cosx = t, điều kiện
2
t
2
2
1
2 2 0
2
t
at b c bt at b c
.
3. Một số phương pháp thường dùng khi giải
các phương trình lượng giác:
+ áp dụng các hằng đẳng thức;
+ áp dụng các công thức biến đổi;
+ Đổi biến số, đặt ẩn phụ;
+ Biến đổi về tích bằng 0;
+ Đánh giá: dùng BĐT, tập giá trị của hàm số y =
sinx; y = cosx, dùng đạo hàm;
+ Biến đổi về tổng bình phương bằng 0.
4. Các ví dụ:
Giải các phương trình sau:
Bài 1:
x
x
tgxgx
2
sin
4cos.2
cot
.
ĐS:
3
x k
.
Bài 2:
)1(sin
2
1
3
2
cos
3
cos
22
xxx
ĐS:
5
; 2 ; 2
6 6
x k x k x x k
.
Bài 3:
2
sin
2sin
2
sin
sin
2
2
2
2
x
x
x
x
.
ĐS:
2
2 ; 2
3 3
x k x x k
.
Bài 4:
8
1
3
.
6
3cos.cos3sin.sin
33
xtgxtg
xxxx
HD:- Đặt ĐK rút gọn MS=1
AD công thức nhân 3
ĐS:
6
x k
.
Bài 5:
0cos.6)sin.2(3
xxtgxtgx
HD: Biến đổi theo sin và cos.
ĐS:
3
x k
.
Bài 6:
3. 6sin 2sin( ) (1)
2
2sin 6sin( ) (2)
2
y
tg x y x
y
tg x y x
HD: nhân (1) với (2) rút gọn y
y
tg
22
sin4
2
.
đặt
2
y
t tg
t
= 0, t =±
3
.
Bài 7:
xxxxxx cos13sin.
2
1
sin.4cos2sin.3cos
HD : BĐ tích thành tổng rút gọn.
Bài 8:
2
1
5cos4cos3cos2coscos xxxxx
HD: nhân 2 vế với 2.sin(x/2) chú ý xét trường hợp
bằng 0.
Nhận xét: Trong bài toán chứa tổng
nxxxT
nxxxT
sin 2sinsin
cos 2coscos
thực hiện rút gọn bằng cách trên.
Bài 9:
)cos.sin2(cos3sin.2sin.
22
xxxxxtgx
HD: BĐ về dạng:
2 2
(sin cos )(sin 3cos ) 0
x x x x
Bài 10
2
9
sin
cos
2
log 4.log 2 4
x
x
HD:
sin sin
2
sin
1
2 . lo g 2. lo g 2 4
2
log 2 4
x x
x
5. Một số phương trình có tham số:
Bài 1. Tìm m để phương trình:
sin2x + m = sinx + 2mcosx
có đúng 1 nghiệm
3
[0; ]
4
x
.
HD: PT (sinx - m)(2cosx - 1) = 0.
Bài 2. Tìm m để phương trình:
(2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3- 4cos
2
x
có đúng 2 nghiệm x [0; ].
HD: PT (2sinx - 1)(2cos2x + m - 1) = 0.
9
Bài 3. Tìm m để phương trình:
mcos
2
2x - 4sinxcosx + m - 2 = 0
có nghiệm x [0 ; /3].
HD: Đặt t = sin2x.
Bài 4: Cho phương trình
02sin24cos)cos.(sin2
44
mxxxx
Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiện thuộc
đoạn
0;
2
.
HD: [-10/3;-2]
Bài 5: Cho phương trình
3
cos
2
sin
1cossin2
x
x
xx
a
1) Giải phương trình khi a=1/3.
2) Tìm a để phương trình có nghiệm.
HD: Đưa về dạng
(2-a)sinx+(2a+1)cosx=3a+1
ĐS [-1/2,2]
Bài 6: Tìm nghiệm trong khoảng (0, )
4
3
cos212cos.3
2
sin4
22
xx
x
6. Các bài tập luyện tập:
1)
2
1
3sin.2sin.sin3cos.2cos.cos xxxxxx
.
2) 2cos.3sincos.3sin xxxx .
3)
x
x
x
x
cos
1
3cos.2
sin
1
3sin.2 .
4)
x
x
xg
2
sin
2cos1
2cot1
2
.
5)
2)1.2(cos2cos
2
xtgxx
.
6)
03cos2cos84cos3
26
xx
.
7)
1
1
cos
2
3sin
42
sin2cos)32(
2
x
x
x
x
.
8) 02cos2sincossin1
xxxx .
Một số đề thi từ năm 2002
1) Tìm nghiệm thuộc khoảng
0;2
của phương
trình 32cos
2sin21
3sin3cos
sin5
x
x
xx
x .
KA 2002
2) Giải phương trình
x
xx
xtg
4
2
4
cos
3sin)2sin2(
1
(DB 2002)
3) Tìm nghiệm thuộc khoảng
0;2
của phương
trình
x
xtgxxg
2
sin
2
2sin42cot KB 2003
4) Tìm x nghiệm đúng thuộc khoảng
0;14
của
phương trình
cos3 4cos2 3cos 4 0
x x x
KB 2003
5) Giải phương trình
4 4
sin cos 1 1
cot 2
5sin2 2 8sin 2
x x
g x
x x
DB 2002
6) Giải phương trình
2
cos cos sin 1 .
2
x
tgx x x x tgx tg
(DB
2002)
7) Cho phương trình
2sin cos 1
(1)
sin 2cos 3
x x
a
x x
a) Giải phương trình (2) khi
1
3
a
b) Tìm a để phương trình có nghiệm
8) Giải phương trình
2
1
sin
8cos
x
x
(DB
2002)
9) Giải phương trình
2
cos2 1
cot 1 sin sin2
1 2
x
gx x x
tgx
(KA
2003)
10) Giải phương trình
3 2sin 6cos 0
tgx tgx x x
(DBKA
2003)
11) Giải phương trình
2
cos2 cos 2 1 2
x x tg x
(DBKA 2003)
12) Giải phương trình
6 2
3cos4 8cos 2cos 3 0
x x x
(DBKB 2003)
13) Giải phương trình
2
2 3 cos 2sin
2 4
1
2cos 1
x
x
x
(DBKB 2003)
14) Giải phương trình
2 2 2
sin . cos 0
2 4 2
x x
tg x
(KD 2003)
15) Giải phương trình
2
cos cos 1
2 1 sin
cos sin
x x
x
x x
(DBKD 2003)
16) Giải phương trình
2sin4
cot
sin 2
x
gx tgx
x
(DBKD 2003)
17) Giải phương trình
2
5sin 2 3 1 sin t
x x g x
(KB 2004)
18) Giải phương trình :
2cos 1 2sin cos sin 2 sin
x x x x x
KB 2004.
10
Bài 4: Hệ thức lượng trong tam giác
Một số kiến thức cần nhớ
*Một số phép biến đổi thường dùng
+ Cung liên kết
+ Các công thức biến đổi.
*Một số hệ thức trong tam giác cần nhớ:
+
. 4 .
2 2 2
A B C
SinA SinB SinC Cos Cos Cos
+
. 1 4sin sin sin
2 2 2
A B C
CosA CosB CosC
+ tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC
+
2
cot.
2
cot.
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
C
g
B
g
A
g
C
g
B
g
A
g
+
1
2
2
2
.
2
2
.
2
A
tg
C
tg
C
tg
B
tg
B
tg
A
tg
+ cotgA.cotgB + cotgB.cotgC + cotgC.cotgA = 1
+
sCCosACosBCoCSinBSinASin 22.
222
+
CBACCosBCosACos sinsinsin21.
222
+ Sin2A + Sin2B + Sin2C = 4SinA.SinB.SinC
+ Cos2A + Cos2B + Cos2C = -1 - 4CosACosBCosC
Các ví dụ
Bài 1: Cho tam giác ABC, CMR
. . 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
tg tg tg tg tg tg
Bài 2:Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn CMR:
a) tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC
b)
33 tgCtgBtgA
dấu “=” xảy ra khi nào?
HD: áp dụng BĐT côsi
3
3 tgCtgBtgAtgCtgBtgA
lập phương hai vế thay trở lại phương trình đầu ta
được đpcm.
Bài 3: CMR: trong mọi tam giác ABC, ta luôn có :
HD: Biến đổi liên tiếp tích thành tổng ở VP.
VP= [cos(B-C) – cos(B+C)].cosA + [cos(C-A) –
cos(A+C)].cosB + [cos(A-B) – cos(A+B)].cosC
=Cos(B-C).cosA + Cos
2
A + Cos(C-A).cosB +Cos
2
B +
Cos(A-B).cosC + cos
2
C.
thực hiện nhân phá ngoặc xuất hiện cos2A, cos2B,
cos2C… sử dụng công thức nhân đôi thay bởi cos
2
A,
cos
2
B, cos
2
C suy ra đpcm.
Bài 4: CMR với mọi tam giác ABC ta có
2 2 2
1 . 2. 1
Cos A Cos B Cos C CosACosBCosC
Từ đó suy ra tam giác ABC có một góc tù khi và
chỉ khi
2.
222
CSinBSinASin
Bài 5: Cho tam giác ABC thoả mãn đk:
2tgA = tgB + tgC
CMR : tgB.tgC = 3 Và Cos(B - C) = 2CosA
HD: xuất phát:
tgCtgB
tgCtgB
CBtg
.1
)(
đpcm
Từ tgB.tgC = 3 khi và chỉ khi sinA.sinB=3cosB.cosC
(*)
Mà cos(B - C) =2.cos[ )( CB
] khai triển suy ra
đẳng thức (*).
Bài 6: CMR với mọi tam giác ABC ta có:
2
cot
2
cot
2
cot
2222
1
sin
1
sin
1
sin
1
A
g
A
g
A
g
C
tg
B
tg
A
tg
CBA
HD: thay
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot.
2
cot.
2
cot
C
g
B
g
A
g
C
g
B
g
A
g
áp dụng công thức nhân đôi.
Bài 7: CMR trong mọi tam giác ABC ta có
C
B
A
B
A
C
CCosA
B
CSinBSinASin
cos
sin
sin
2
cos
sin
sin
sin
sin
2
.
222
Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C
thoả mãn đk 4A = 2B = C. CMR:
c
b
a
111
và
4
5
.
222
CCosBCosACos
Bài 9: CMR trong mọi tam giác ABC ta đều có:
CBA
R
r
coscoscos1
Bài 10: Cho tam giác ABC thoả mãn đk:
bc
aA
Sin
2
2
, CMR tam giác ABC cân
Bài 11:Cho tam giác ABC thoả mãn đk
11
2
2
.
B
tg
A
tgtgBtgA
CMR tam giác ABC cân
Bài 12. CMR nếu tam giác ABC có
a
cb
CB
coscos thì tam giác vuông
Bài 13: Cho tam giác ABC với BC=a, AC=b,
AB=c
CMR tam giác ABC vuông hoặc cân tại A khi và
chỉ khi
2
CB
tg
c
b
cb
Bài 14: Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn đk:
3(cosB+2sinC) + 4(sinB+ 2cosC) =15
CMR tam giác vuông
Bài 15:Các góc tam giác ABC thoả mãn đk
2
1
2
sin.
2
sin.
2
sin
2
cos.
2
cos.
2
cos
CBACBA
CMR tam giác ABC vuông.
Bài 16: Cho tam giác ABC thoả mãn đk
2
4
2
sin
cos1
1)(
22
3332
ba
ba
C
C
acbacba
CMR tam giác ABC đều.
Bài 17: Tam giác ABC thoả mán đk:
gCgB
CA
cotcot3
sin
1
sin
1
2
CMR tam giác ABC là tam giác đều
Bài 18: Tam giác ABC thoả mãn đk
2
sin
2
sin
2
sin.
CA
CosCCosBCosA
B
CMR
tam giác ABC là tam giác đều
Bài 19: tam giác ABC có các góc thoả mãn hệ
thức:
9
2
2
.
2
222
C
Cotg
B
Cotg
A
Cotg
Bài 20:CMR nếu trong tam giác ABC ta có
2
cos
2
cos
2
cossinsinsin
CBA
CBA
thì tam giác đều
Bài 21: Cho tam giác ABC thoả mãn đk:
8(p-a)(p-b)(p-c)=abc
CMR tam giác đều
Bài 22: Cho tam giác ABC thoả mãn đk
gCgBgA
CBA
C
g
B
g
A
g
cotcotcot
2
cos
1
2
cos
1
2
cos
1
2
cot.
2
cot.
2
cot
Bài 23:
CtgBtgtgACtgBtgAtg
22888
9
Bài 24:
81
666
CtgBtgAtg
Bài 25: Tìm GTNN biểu thức
C
B
A
M
2
cos
2
1
2
cos
2
1
2
cos
2
1
Bài 26: Tam giác ABC bất kỳ tìm GTLN của:
P= cosA+ cosB +cosC
Bài 27: <Dùng phương pháp BĐ Lượng giác xuất
hiện bình phương một nhị thức>
Cho tam giác ABC bất kỳ. Tìm GTLN của biểu
thức
)cos(cos3cos3 CABP
Bài 28: Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức:
4
17
)coscos(sin3sin.sin.cos2 CBACBB
Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? CM?
12
Bài 5. Phương trình và hệ phương trình
mũ - Lôgarit
1. Một số kiến thức cần nhớ:
* Một số phép toán về luỹ thừa:
( ) ; ; . ;
; ;
m
n m
n
a a
ab a b a a a
b
b
a
a a a a a
a
* Một số công thức biến đổi về logarit:
1 2 1 2
1
1 2
2
log log
log ;
log ( . ) log log ;
log log log ;
1
log log ; log log ;
log
ln lg
log ;
log ln lg
1
log ; ;
log
log .log .log log
b b
x
a
a a a
a a a
a a a
a
b
a
b
c a
a
b
a b c a
a b x b
x x x x
x
x x
x
x x x x
x
x x
x
a a a
b a c
a
b c x x
2. Phương trình mũ:
a) Dạng cơ bản:
( )
( ) ( )
0
( ) log
( ) ( )
f x
a
f x g x
b
a b
f x b
a a f x g x
b) có số có chứa ẩn:
( ) ( )
( ) 1
( ), ( )
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
cã nghÜa
f x g x
h x
f x g x
h x h x
h x
f x g x
3. Một số phương pháp thường dùng khi giải
phương trình mũ:
+ Đưa về phương trình dạng cơ bản.
+ Lấy lôgarit hai vế;
+ Đặt ẩn phụ (chú ý điều kiện của ẩn phụ);
+ Đánh giá: Dùng BĐT, hàm số, đoán nghiệm và
chứng minh nghiệm duy nhất,
4. Phương trình logarit:
a) Dạng cơ bản:
0 1
log ( )
( )
( ) 0( ( ) 0)
log ( ) log ( )
( ) ( )
hoÆc
a
b
a a
a
f x b
f x a
f x g x
f x g x
f x g x
b) Cơ số có chứa ẩn:
( ) ( )
0 ( ) 1
log ( ) log ( )
( ) ( ) 0
f x f x
f x
g x h x
g x h x
5. Một số phương pháp thường dùng khi giải
phương trình logarit:
+ Đưa về cùng cơ số;
+ Đặt ẩn phụ để giải phương trình bậc hai;
+ Đặt ẩn phụ để giải phương trình mũ;
+ Đưa về dạng tích bằng 0;
+ Đáng giá: Dùng BĐT, Hàm số, đoán nghiệm và
chứng minh nghiệm duy nhất,
Một số ví dụ:
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
3 2 1
2 .3 .5 4000;
x x x
b)
2 2 2 2
1 1 2
5 3 2 5 3
x x x x
;
c)
2
2
3 ( 3) ;
x x
x x
d)
2 2
5 1 5
4 12.2 8 0
x x x x
;
e)
6.9 13.6 6.4 0;
x x x
ĐS: x = 1;
f)
(5 24) (5 24) 10;
x x
ĐS: x = 1;
g)
3
5 21 7 5 21 2
x x
x
;
g)
( 15) 1 4
x x
; ĐS: x = 2.
h)
3 2
2 3 7 14 2
x x x x
;
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a)
2
log 2.log ( 6) 1
x
x
;
b)
2
log (9 2 ) 3
x
x
;
c)
2 2
3 7 2 3
log (4 12 9) log (6 23 21) 4
x x
x x x x
d)
2
2 2
log ( 1)log 6 2 ;
x x x x
e)
2 2
log log 3
27 30
x
x
;
f)
5 7
log log ( 2);
x x
g)
84
6 4
2log ( ) log
x x x
;
h)
2
3 2
log ( 3 13) log
x x x
;
i)
2 2
3 3
log ( 1) log 2
x x x x x
;
j)
2
2
3
2
3
log 3 2
2 4 5
x x
x x
x x
;
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:
a)
log (3 2 ) 2
log (3 2 ) 2
x
y
x y
y x
;
b)
2 2 2
3 3 3
3
log 3 log log
2
2
log 12 log log
3
x
x y y
y
x x y
c)
2 3
2 2
log ( ) log ( ) 1
3
x y x y
x y
;
13
d)
2 2
2 2
(log log )( 1)
1
x y
e e y x xy
x y
;
Một số bài luyện tập:
Bài 1: Cho phương trình
0121loglog
2
3
2
3
mxx
1) Giải phương trình khi m=2.
2) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm
thuộc
3
3;1
.
HD: m thuộc [0;2]
Bài 2:
4loglog2
5)(log
24
22
2
yx
yx
đs (4,4)
Bài 3: )4(log)1(log
4
1
)3(log
2
1
2
8
4
2
xxx
HD: ĐK x>0 Và x ≠1
ĐS x=2 , 332 x .
Bài 4: xxxx
3535
log.loglog.log
HD: dổi cơ số x=1 va x=15
Bài 5:
2 2
log ( ) log 3
2 2
9 3( ) (1)
3 3 6 (2)
xy
xy
x y y x
DH: lôgarit hai vế phương trình (1) theo cơ số 3.
Bài 6:
x
x
)1(log
3
2
HD: ĐK x>-1
TH1: -1<x<=0 phương trình vn.
TH2: x>0 dặt y=log
3
(x+1)
Suy ra 1
3
1
3
2
yy
PP hàm số.
Bài 7:
32
2
2
23
1
log xx
x
x
HD: VP <= 1 với x >0 BBT.
VT >=1 Côsi trong loggrit
ĐS x =1.
Bài 8:
y
yy
x
xx
x
22
24
452
1
23
ĐS (0,1) (2,4)
Bài 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
thuộc [32, +)
3log3loglog
2
4
2
2
1
2
2
xmxx
HD: Đặt t =
2
log
x
(t 5.)
2
0
1 3
1
3
m
m
t
m
t
Bài 10
322
loglog
yx
xy
yxy
HD ĐK x,y>= và khác 1
BĐ (1) được
TH1: y=x thay vào (2) có nghiệm.
TH2:
2
1
y
x
thay vào (2) CM vô nghiệm
chia thành 2 miền y >1 và 0<y<1.
Các bài tập tự luyện:
1)
x
x
x
x
2
3
323
log
2
1
3
loglog.
3
log
2)
)112(log.loglog2
33
2
9
xxx
3)
0loglog
034
24
xx
yx
ĐK x, y1 (1,1)(9,3)
4)
3)532(log
3)532(log
23
23
xyyy
yxxx
y
x
5)
25
1)
1
(log)(log
22
4
4
1
xy
y
xy
KA 2004 (3,4)
6)
6)22(log).12(log
1
22
xx
. ĐS x=log
2
3.
7)
1)69(loglog
3
x
x
8) Giải phương trình
)2(log)12(log
2
2
2
3
xxxx
9)
yx
xyyx
xyx 1
22
22
10)
06)(8
13).(
4
4
4
4
yx
xy
yx
yx
11) Tìm m để phương trình
0loglog4
2
1
2
2
mxx
có nghiệm thuộc khoảng (0;1).
12) Giải hệ phương trình:
2 2
1 1
1 1
log (1 2 ) log (1 2 ) 4
log (1 2 ) log (1 2 ) 2
x y
x y
y y x x
y x
14
Bài 6: Bất phương trình và hệ bất phương
trình mũ - lôgarit
Một số kiến thức cần nhớ:
* Bất phương trình mũ:
( ) ( )
1: ( ) ( )
0 1: ( ) ( )
f x g x
a f x g x
a a
a f x g x
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
[ ( ) 1][ ( ) ( )] 0
f x g x
h x
h x h x
h x f x g x
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
[ ( ) 1][ ( ) ( )] 0
f x g x
h x
h x h x
h x f x g x
* Bất phương trình logarit:
1: ( )
log ( )
0 1:0 ( )
1: 0 ( )
log ( )
0 1: ( )
b
a
b
b
a
b
a f x a
f x b
a f x a
a f x a
f x b
a f x a
1: ( ) ( ) 0
log ( ) log ( )
0 1:0 ( ) ( )
a a
a f x g x
f x g x
a f x g x
( ) ( )
log ( ) log ( )
( ) 0
[ ( ) 1][ ( ) ( )] 0
f x f x
g x h x
f x
f x g x h x
Một số ví dụ:
Ví dụ 1. Giải các bất phương trình sau:
a)
2
2
5 6
1 1
;
3
3
x
x x
b)
2
2
(4 2 1) 1
x x
x x
;
c)
9 3 2 3 9
x x x
;
d)
2 2 2
2.49 9.14 7.4 0;
x x x
e)
1
2 2 1
0
2 1
x
x
x
;
Ví dụ 2. Giải các bất phương trình sau:
a)
2
1 5
5
log ( 6 8) 2log ( 4) 0
x x x
;
b)
9
log log (3 9) 1
x
x
;
c)
1
2 1
2
log (4 4) log (2 3)
x x
x
;
d)
2 2
4 2
log (2 3 2) 1 log (2 3 2)
x x x x
;
e)
2
6 6
log log
6 12
x x
x
;
Bài tập luyện tập:
Bài 1: Tìm k để hệ phương trình sau có nghiệm
3
2 3
2 2
1 3 0 (1)
1 1
log log ( 1) 1 (2)
2 3
x x k
x x
HD: ĐK x > 1.
Giải (2) 1< x ≤ 2.
BBT: f(x) = (x -1)
3
-3x. ĐS k > -5
Bài 2:
06log)1(log2log
2
4
1
2
1
xx
Bài 3:
1))279.((loglog
3
x
x
Bài 4:
0)2(loglog
2
2
4
xxx
Bài 5:
06log)52(log)1(
2
1
2
2
1
xxxx
HD
đặt t bằng log của x coi là phương trình
bậc 2 ẩn t.
Chú ý so sánh 2 trường hợp t
1,
t
2
ĐS (0;2] v (x
4)
Bài 6: Giải bất phương trình
xx
x
22
log
2
3
log
2
1
22
Lấy logarit 2 vế theo cơ số 2.
Bài 7. Tìm m để phương trình:
9 (2 1)6 .4 0 (1)
x x x
m m m
nghiệm đúng với mọi x [0; 1].
Bài 8: Giải bất phương trình
0
1
)3(log)3(log
3
3
1
2
2
1
x
xx
Bài 9: Giải bất phương trình
2
4 2
1 1
log ( 3 ) log (3 1)
x x x
Bài 10. Giải bất phương trình
3
3
1
29
2
2
2
2
xx
xx
Bài 11. Giải bất phương trình:
2 1
2
1 1
9. 12
3 3
x x
(1)
Tìm m để mọi nghiệm của (1) đều là nghiệm của
bất phương trình:
2x
2
+ (m + 2)x + 2 - 3m < 0 (2)
Bài 12. Giải bất phương trình:
2
lg( 6) 4 lg( 2)
x x x x
15
Bài 7. Đạo hàm và ứng dụng
Một số kiến thức cần nắm vững:
Các quy tắc tính đạo hàm.
Bảng đạo hàm của các hàm số thường gặp.
Đạo hàm cấp cao.
1. Đạo hàm cấp n:
PP tính đạo hàm cấp n:
+ Bước 1: Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3.
+ Dự đoán công thức tổng quát;
+ Chứng minh bằng quy nạp;
+ Kết luận.
* Một số công thức tính đạo hàm cấp n:
( )
1
1 1
( )
( )
( )
1 ( 1) . !
( )
( 1) ( 1)!
ln( )
( )
sin sin
2
cos cos
2
n n
n
n
n n
n
n
n
n
a n
y y
ax b ax b
a n
y ax b y
ax b
n
y x y x
n
y x y x
Ví dụ 1. Cho hàm số y =
1
1
x
.
a) Tính y’, y’’, y’’’
b) Chứng minh rằng:
( )
1
!
(1 )
n
n
n
y
x
.
Ví dụ 2. Tính đạo hàm cấp n của hàm số:
a) y =
2
2
1
x
x
; b) y =
2
2008
5 6
x
x x
.
2. ứng dụng của đạo hàm để chứng minh bất
đẳng thức:
PP: Để chứng minh f(x) > g(x) x (a; b) ta đặt
(x) = f(x) - g(x).
+ Xét xự biến thiên của hàm y = (x) trên (a; b).
+ Dựa vào sự biến thiên chứng tỏ rằng (x) > 0,
x (a; b).
* Chú ý: Đôi khi ta phải chọn hàm số (x) để có
điều cần chứng minh.
Ví dụ. Chứng minh rằng:
a) ln(1 + x) > x -
2
2
x
, x > 0.
b)
2
sin , (0; )
2
x
x x
.
HD:
a) Đặt f(x) = ln(1 + x) - x +
2
2
x
với x > 0.
Có
2
1
'( ) 1 0, 0
1 1
x
f x x x
x x
f(x) > f(0) = 0 với x > 0 đpcm.
b) Đặt f(x) =
sin 2
x
x
với
(0; )
2
x
.
Có
2
cos sin
'( )
x x x
f x
x
.
Đặt g(x) = xcosx - sinx.
g’(x) = -xsinx < 0 với
(0; )
2
x
g(x) là hàm
NB trên
(0; )
2
g(x) < g(0) với
(0; )
2
x
.
f’(x) là hàm số NB trên
(0; )
2
f(x) > f(
2
) =
2
,
(0; )
2
x
.
Bài tập luyện tập:
Chứng minh các BĐT:
a) e
x
> x + 1 với x > 0; b) x > ln(1 + x) với x > 0.
c) (x + 1)lnx > 2(x - 1) với x > 1;
d) cosx 1 -
2
2
x
với x > 0; e) sinx x -
3
6
x
với
x>0;
3. ứng dụng định nghĩa đạo hàm để tính giới
hạn.
0
0
0
0
( ) ( )
lim '( )
x x
f x f x
f x
x x
.
PP: Để tính giới hạn của hàm số bằng định nghĩa
đạo hàm tại một điểm ta làm theo các bước:
+ Bước 1: Đưa giới hạn cần tính về đúng công
thức:
0
0
0
( ) ( )
lim
x x
f x f x
x x
+ Bước 2: Xét hàm số y = f(x). Tính f(x
0
), f’(x) và
f’(x
0
).
+ Bước 3: Kết luận
0
0
0
0
( ) ( )
lim '( )
x x
f x f x
f x
x x
.
Chú ý: Một số trường hợp ta phải biến đổi về dạng:
0
0
0 0
0
0
0
( ) ( )
'( )
lim
( ) ( )
'( )
x x
f x f x
x x f x
g x g x
g x
x x
.
Ví dụ. Tính các giới hạn:
a)
3
0
1 1
lim
x
x x
x
;
HD: Đặt f(x) =
3
1 1
x x
thì giới hạn có
dạng:
0
( ) (0)
lim
0
x
f x f
x
. Do đó:
3
0
1 1
lim '(0)
x
x x
f
x
.
Có
2
3
1 1
'( )
2 1
3 ( 1)
f x
x
x
; f’(0) =
1 1 5
3 2 6
16
Vậy
3
0
1 1 5
lim
6
x
x x
x
.
b)
34
7
9 1
lim
7
x
x x
x
; ĐS:
5
96
c)
3
1
(2 1) 3 9
lim
1
x
x x x
x
; ĐS:
4
3
d)
3
3
0
1 1
lim
1 cos
x
x x
x x
; ĐS:
5
2
.
HD:
3
3
3 3
0 0
1 1
1 1
lim lim
1 cos 1 cos
x x
x x
x x
x
x x x x
x
.
e)
3
0
1 2 1 3
lim
x
x x
x
; f)
3 2
2
1
5 7
lim
1
x
x x
x
;
4. ứng dụng đạo hàm để tìm GTLN, GTNN
* Bài toán 1: GTLN, GTNN của hàm số trên một
khoảng.
PP: + Lập BBT của hàm số trên khoảng cần tìm.
+ Nếu trên khoảng đó hàm số có duy nhất một
điểm cực tiểu thì đó là GTNN.
+ Nếu trên khoảng đó hàm số có duy nhất một
điểm cực đại thì đó là GTLN.
* Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên
một đoạn.
PP: + Tìm TXĐ, tìm các điểm tới hạn x
1
, x
2
, x
3
,
của f(x) trên đoạn [a; b].
+ Tính f(a), f(x
1
), f(x
2
), , f(b).
+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số
trên rồi kết luận.
M =
[ ; ]
max ( )
a b
f x
, m =
[ ; ]
min ( )
a b
f x
* Bài toán 3: Xác định tham số để các phương trình
hoặc bất phương trình có nghiệm.
+ F(x) = m m [MaxF(X); minF(x)]
+ F(x) > m với mọi x . .<=> m < minF(x)
+ F(x) > m có nghiệm . .<=> m<MaxF(x) . . .
Chú ý ý: khi đổi biến phải tìm ĐK của biến mới
có thể sử dụng phương pháp miền giá trị.
Các ví dụ
Bài 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm
số
1
1
2
x
x
y trên đoạn [-1;2].
Bài 2: Tìm GTLN,GTNN của hàm số
x
x
y
2
ln
trên đoạn [1;e
3
].
Bài 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
326
)1(4 xxy
trên đoạn [-1;1] .
Bài 4: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
với mọi x thuộc [-1/2;3]
)352()3).(21(
2
xxmxx
HD Đặt t=
)3).(21( xx
Từ miền xác đinh của
x suy ra
4
27
;0t .
Biến đổi thành f(t) = t
2
+ t > m + 2.
Tìm miền giá trị của VT m < -6.
Bài 5: Tìm a nhỏ nhất để bất phương trình sau
thoả mãn với mọi x thuộc [0;1]
222
)1()1.( xxxxa
HD Đặt t = x
2
+ x dùng miền giá trị suy ra
a = -1.
Bài 6: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
2 2
1 1
x x x x m
HD: m 2.
Bài 7: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
với mọi x
4 2 2
3cos 5.cos3 36.sin 15cos 36 24 12 0
x x x x m m
HD Đặt t = cosx BBT 0 m 2.
Bài 8: Tìm m để phương trình sau có nghiệm trên
[-/2; /2]
2
)cos1(2sin22 xmx
Bài 9: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
xxy 2cossin2
48
HD : 3 và 1/27
Bài 10: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2 2 (4 4 )
x x x x
y
với
0 x 1
.
Bài 11: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
4 xxy
* PP tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng miền giá
trị của hàm số.
Ví dụ:
Tìm GTLN, GTNN của các hàm số:
a)
2
2
3
12
x
y
x x
; b)
2
8 3
1
x
y
x x
;
c)
2sin 1
cos 2
x
y
x
; d)
sin cos
sin 2cos 3
x x
y
x x
.
17
Bài 8: Tiếp tuyến, tiếp xúc và
tương giao
1. Phương trình tiếp tuyến của hàm số.
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C).
* Tiếp tuyến tại điểm M(x
0
; y
0
)
(C):
y - y
0
= f’(x
0
)(x - x
0
).
* Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước:
+ Gọi x
0
là hoành độ tiếp điểm. Ta có f’(x
0
) = k.
+Giải phương trình ta tìm được x
0
, rồi tìm y
0
=
f(x
0
)
Từ đó ta viết được phương trình.
Chú ý: Nếu là tiếp tuyến và:
+ // d: y = ax + b k
= a.
+ d: y = ax + b k
= -1/a.
+ hợp với trục Ox một góc k
= tg().
+ hợp với tia Ox một góc k
= tg().
* Tiếp tuyến đi qua một điểm A(x
1
; y
1
).
Cách 1: Gọi x
0
là hoành độ tiếp điểm.
PTTT tại x
0
là: y = f’(x
0
)(x - x
0
) + f(x
0
).
A TT y
1
= f’(x
0
)(x
1
- x
0
) + f(x
0
).
Giải phương trình ẩn x
0
rồi tìm f(x
0
), f’(x
0
).
Cách 2: Đường thẳng đi qua A có hệ số góc k có
phương trình: y = k(x - x
1
) + y
1
.
là tiếp tuyến của (C) hệ PT sau có nghiệm:
1 1
( ) ( )
'( )
f x k x x y
f x k
giải hệ phương trình bằng phương pháp thế để tìm
k.
2. Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị:
Đồ thị 2 hàm số y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc nhau
hệ phương trình sau có nghiệm:
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm.
Đặc biệt đồ thị hàm số y = f(x) tiếp xúc với trục Ox
hệ phương trình sau có nghiệm.
3. Điểm cố định của họ đường cong.
Điểm cố định là điểm có toạ độ (x
0
; y
0
) nghiệm
đúng phương trình: y
0
= f(x
0
, m). Vì vậy: muốn tìm
điểm cố định mà họ đường cong (C
m
) đi qua ta làm
theo hai bước tuỳ theo dạng hàm số như sau:
+ Đưa phương trình về dạng:
*
2
0
0 0
0
A
Am Bm C m B
C
*
0
0
0
A
Am B m
B
+ Giải hệ điều kiện trên ta tìm được điểm cố định.
4. Tiếp tuyến cố định
* PP:
Dạng 1: Họ đường cong đi qua điểm cố
định: Ta tìm điểm cố định M(x
0
; y
0
), rồi chứng
minh f’(x
0
) = hằng số với m.
Dạng 2: Họ đường cong không đi qua điểm
cố định: áp dụng điều kiện tiếp xúc của đồ thị hai
hàm số, ta có hệ phương trình sau có nghiệm với
mọi m:
( )
'( )
f x ax b
f x a
.
5. Tương giao
Hoành độ giao điểm của đồ thị 2 hàm số y = f(x)
và y = g(x) là nghiệm của phương trình: f(x) =
g(x).
Chú ý bài toán tìm số giao điểm của đồ thị hàm số
với trục hoành.
* Đồ thị hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d cắt trục
hoành tại 3 điểm lập thành cấp số cộng hàm số
có 2 cực trị và điểm uốn nằm trên trục hoành
' 0
0
uèn
cã hai nghiÖm ph©n biÖt
y
y
.
* Đồ thị hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c cắt trục hoành tại
4 điểm lập thành cấp số cộng phương trình:
at
2
+ bt
+ c = 0 có 2 nghiệm dương t
1
< t
2
thoả mãn
t
2
= 9t
1
.
Các bài tập luyện tập:
a) Các bài tập về phương trình tiếp tuyến:
Bài 1. Cho hàm số y = x
3
- 2x
2
+ 2x có đồ thị là
(C).
1) Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với
đường thẳng y = -x +1.
2) Chứng minh rằng trên (C) không có 2 điểm mà
tiếp tuyến với (C) tại hai điểm này vuông góc với
nhau.
HD: 1) ĐS: y = x, y = x + 2/27.
2) CM: y’ > 0 với x.
Bài 2. Viết PTTT tại điểm uốn của đồ thị hàm số y
= x
3
- 3x
2
. CMR đây là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ
nhất trong các hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị.
HD: ĐS: y = -3x + 1.
CMR y’ - 3 với x.
Bài 3. Cho hàm số y = x
3
- 3x + 1. Viết PTTT với
(C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 6).
ĐS: y = 9x - 15.
Bài 4. Cho hàm số y =
1
2
x
x
. CMR tiếp tuyến tại
một điểm bất kì của đồ thị luôn cắt hai đường tiệm
cận và tam giác tạo thành có diện tích không đổi.
HD: + Giao với TCĐ tại
0
0
4
(2; )
2
x
A
x
, giao với
TCN tại
0
(2 2;1)
B x .
18
Bài 5. Cho hàm số y = f(x) =
( )
( )
u x
v x
.
1) CMR hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm x =
x
0
của đồ thị với trục hoành là k =
0
0
'( )
( )
u x
v x
.
2) Tìm m để đồ thị hàm số y =
2
2
2
x x m
x
cắt trục
hoành tại 2 điểm mà các tiếp tuyến của đồ thị tại 2
điểm này vuông góc với nhau.
ĐS: m = 2/5.
b) Các bài toán về tiếp tuyến cố định:
Bài 6. CMR đồ thị hàm số
2
2 (1 ) 1
x m x m
y
x m
luôn tiếp xúc với một
đường thẳng cố định tại một điểm cố định.
HD: Điểm cố định (-1; -2). y’(-1) = 1.
Bài 7. CMR với m0 thì đồ thị hàm số
( 1)
m x m
y
x m
luôn tiếp xúc với một đường
thẳng cố định.
HD: điểm cố định (0; 1), y’(0) = 1.
Bài 8. Chứng minh rằng đồ thị hàm số
2
( 2) ( 2 4)
m x m m
y
x m
luôn tiếp xúc với hai
đường thẳng cố định.
HD: G/s tiếp tuyến cố định là y = kx + b. Ycbt
hệ:
2
4
1
4
( )
m kx b
x m
k
x m
có nghiệm với
m
.
ĐS: y = x + 3, y = x - 5.
c) Các bài toán về tiếp xúc:
Bài 9. Tìm m để hàm số y = x
3
- 3mx + m + 1 tiếp
xúc với trục hoành.
ĐS: m = 1.
Bài 10. Cho (C): y= (x
2
- 1)
2
và (P): y = ax
2
- 3.
Tìm a để (C) và (P) tiếp xúc nhau. Viết PT các tiếp
tuyến chung của (C) và (P).
HD: a = 2, tiếp điểm là x =
2
.
Bài 11. Tìm m để (P): y = x
2
+ m tiếp xúc với đồ
thị hàm số:
2
1
1
x x
y
x
.
ĐS: k = -1.
d) Các bài toán về tương giao:
Bài 12. Tìm m đề đồ thị hàm số y = x
3
- 3mx
2
+
4m
3
cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành một CSC.
HD: m = 0, m =
1
2
.
Bài 13. Tìm m để đồ thị hàm số y = x
4
- 2(m + 1)x
2
+ 2m + 1 cắt trục hoành tại 4 điểm lập thành một
CSC.
ĐS: m = 4, m = -4/9.
Bài 14: Cho hàm số
)1(
1
)2(
2
x
mxmx
y
Tìm m để đường thẳng y=-x-4 cắt đồ thị hàm số (1)
tại 2 điểm đối xứng nhau qua đường thẳng y=x.
HD: Ycbt trung điểm đoạn thẳng thuộc đường
thẳng y = x.
Bài 15: Cho hàm số
)1(
1
1
x
x
y
1) Tìm m để đường thẳng D: y= 2x + m cắt (C )
tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho tiếp tuyến của
(C ) tại A, B song song với nhau.
2) Tìm tất cả các điểm M thuộc (C ) sao cho
khoảng cách từ M đến giao điểm 2 đường tiệm
cận là ngắn nhất.
Bài 16: Cho hàm số )1(
1
12
x
x
y
Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận của (C ) Tìm
điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M vuông
góc với dường thẳng IM.
Bài 17: Cho hàm số
)1(
1
2
x
mxmx
y
Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 2
điểm phân biệt có hoành độ dương.
Bài 18: Cho hàm số
)1(1
24
mmxxy
Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4
điểm phân biệt
Bài 19: Cho hàm số )1(
1
22
2
x
xx
y
Tìm toạ độ 2 điểm A,B nằm trên (C ) và đối xứng
nhau qua đường thẳng x - y - 4 = 0.
Bài 20: Cho hàm số )1(4
24
mxxy
Giả sử đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
Hãy xác định m sao cho hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị (C) và trục hoành có diện tích phần phía
trên và phần phía dưới đối với trục hoành bằng
nhau.
HD: ĐK cắt 0<m<4 vẽ minh hoạ gọi x
1
, x
2
, x
3
,
x
4
, là nghiệm
S
trên
= S
duói
<=>
3 4
3
0
( ) ( )
x x
x
f x dx f x dx
Vận dụng tính chất đối xứng , định ly viét m=20/9
Bài 21: Cho hàm số
)1(
2
92
2
x
xx
y
Xác định m để (d) y = m(x - 5) + 10 cắt đồ thị (C )
tại 2 điểm phân biệt nhận I(5;10) là trung điểm.
Bài 22. Cho hàm số
2
2 1
(1)
1
x x
y
x
19
CMR tích các khoảng cách từ M thuộc (C ) dến 2
tiệm cận của (C ) không phụ thuộc vào vị trí của
M.
Các bài tập tự luyện:
Bài 1 (39.I): Cho y = x
3
+ 3x
2
+ 3x + 5.
1. CMR: Trên đồ thị không tồn tại hai điểm mà hai
tiếp tuyến tại đó vuông góc với nhau.
2. Tìm k để trên đồ thị có ít nhất một điểm mà tiếp
tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng y = kx.
Bài 2: Tìm các điểm M đồ thị hàm số y =
2
2
2
x x
x
sao cho tiếp tuyến tại M cắt các trục toạ
độ tại A và B tạo thành tam giác vuông cân OAB.
Bài 3 : Tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của y
= x
3
+ 3x
2
- 9x + 5.
Bài 4 : Viết tiếp tuyến với y = -x
3
+ 3x
2
biết tiếp
tuyến vuông góc với y =
1
9
x.
Bài 5: Viết pttt qua M(
2
3
; 1) với y = -x
3
+3x -1.
Bài 6:Viết pttt đi qua M(1 ; 0) với y =
2
1
1
x x
x
.
Bài 7: CMR trên đồ thị của y =
3 2
1
x
x
không có
tiếp tuyến nào đi qua giao hai tiệm cận.
Bài 8: Qua A(-2; 5) có mấy tiếp tuyến với y = x
3
-
9x
2
+ 17x + 2.
Bài 9. Tìm m để đồ thị hàm số y = (x - 1)(x
2
+ mx
+ m) tiếp xúc với trục hoành.
Bài 10. Cho hàm số
2
1
1
x x
y
x
. Xác định a để
hàm số tiếp xúc với Parabol y = x
2
+ a.
Bài 11. Cho hàm số
2
2 1
1
x x
y
x
có đồ thị là
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao
cho các tiếp tuyến ấy vuông góc với tiệm cận xiên.
Chứng minh rằng tiếp điểm là trung điểm của đoạn
thẳng tiếp tuyến bị chắn bởi hai đường tiệm cận.
Bài 12. Cho hàm số
2
2
x mx m
y
x m
có đồ thị là
C
m
. Tìm m để đồ thị (C
m
) cắt trục Ox tại hai điểm
và tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau.
Bài 13. Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
+ 2 có đồ thị (C).
Qua A(1; 0) kẻ được mấy tiếp tuyến tới (C). Viết
các phương trình tiếp tuyến ấy. Chứng minh rằng
không có tiếp tuyến nào của đồ thị song song với
tiếp tuyến qua A(1; 0).
Bài 14. Tìm m để đồ thị hàm số y = x
3
+ mx
2
+ 1
tiếp xúc với đường thẳng d có phương trình y = 5.
Bài 15. Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị
hàm số y = x
4
- 2x
2
tại 4 điểm phân biệt.
Bài 16. Tìm m để đồ thị (C) của hàm số y =
1
1
x
x
cắt đường thẳng d: y = mx + 1 tại 2 điểm thuộc 2
nhánh khác nhau của đồ thị.
Bài 17. Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C)
của hàm số y =
2
3 3
2( 1)
x x
x
tại hai điểm A, B sao
cho AB = 1.
Bài 18. Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C)
của hàm số y =
2
1
x mx m
x
tại hai điểm phân biệt
A, B sao cho OA OB.
Bài 19. Tìm m để đồ thị hàm số y = x
3
+ mx
2
- m
cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành cấp số cộng.
Bài 20. Tìm m đề đồ thị hàm số y =
4
2
1
2 2
x
mx m
cắt trục hoành tại 4 điểm lập
thành một cấp số cộng.
20
Bài 9. Tính đơn điệu và cực trị
Một số kiến thức cần nắm vững:
1. Tính đơn điệu của hàm số:
Hàm số y = f(x) ĐB/(a; b) f’(x) 0 x (a; b).
Hàm số y = f(x) NB/(a; b) f’(x) 0 x (a; b).
Chú ý:
Cho tam thức bậc 2: f(x) = ax
2
+ bx + c (a 0).
+ f(x) 0 x
0
0
a
; f(x) 0 x
0
0
a
f(x) có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
+ x
1
< x
2
0
( ) 0
2
af
S
+ x
1
< x
2
0
( ) 0
2
af
S
2. Cực trị của hàm số.
Cần nắm vững hai quy tắc để tìm cực trị.
* Cho hàm số y = f(x).
+ Hàm số đạt cực đại tại x = x
0
0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
f x
.
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x = x
0
0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
f x
.
* Đối với hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d.
+ Hàm số có cực trị y’ = 0 có 2 nghiệm phân
biệt. Khi đó hàm số có một CT và một CĐ.
+ Khi chia y cho y’ ta được: y = y’.g(x) + r(x).
Nếu x
0
là điểm cực trị thì y
CT
= r(x
0
) y = r(x)
chính là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.
* Đối với hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c:
+ Hàm số luôn có một điểm cực trị nằm trên trục
tung.
+ Vì y’ = 2x(2ax
2
+ b) nên hàm số có 3 cực trị
phương trình 2ax
2
+ b = 0 có 2 nghiệm phân biệt
khác 0.
+ Do tính chất đối xứng nên nếu hàm số có 3 cực
trị thì luôn có 2 cực trị đối xứng nhau qua trục Oy.
* Đối với hàm số
2
' '
ax bx c
y
a x b
:
+ Hàm số có cực trị y’ = 0 có 2 nghiệm phân
biệt
'
'
b
a
. Khi đó hàm số có một CT và một CĐ.
+ Hàm số có 2 cực trị trái dấu
' 0
0
cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
v« nghiÖm
y
y
+ Hàm số có 2 cực trị cùng dấu
' 0
0
cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
y
y
+ Nếu hàm số đạt cực trị tại x
0
thì y(x
0
) =
0
2
'
ax b
a
.
+ Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là
2
' '
a b
y x
a a
.
Một số ví dụ :
* Các ví dụ về tính đơn điệu của hàm số:
Ví dụ 1. Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
+ mx + 1.
1) Tìm m để hàm số ĐB trên R.
2) Tìm m để hàm số ĐB với x > 1.
HD:
1) ĐK y’ 0 với x g(x) = 3x
2
- 6x + m 0
với x ’ 0 9 - 3m 0 m 3.
2) ĐK y’ 0 với x > 1. Xét 2 trường hợp:
+ TH1: ’ 0 m 3 y’ 0 x y’ 0 với
x > 1.
+ TH2: ’>0 thì y’ 0 với x > 1 g(x) có 2
nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: x
1
< x
2
1.
ĐS: m 3.
Cách 2: Dùng PP hàm số.
Ví dụ 2. Tìm m để hàm số y =
2 2
5 6
3
x x m
x
ĐB trên khoảng (1; +).
HD: Hàm số xác định với x(1; +).
2 2
2
6 9
'
( 3)
x x m
y
x
.
ĐK y’ 0 với x > 1 g(x) = x
2
+ 6x + 9 - m
2
0 với x > 1 m
2
x
2
+ 6x + 9 x > 1 m
2
mint(x) = x
2
+ 6x + 9 x > 1.
ĐS: -4 m 4.
Ví dụ 3. Tìm m để hàm số
2 2
2 3
2
x mx m
y
x m
đồng biến trên khoảng (1; +).
HD: Hàm số xác định với x > 1 2m 1 m
1/2.
2 2
2
4
'
( 2 )
x mx m
y
x m
.
ĐK y’ 0 với x > 1 g(x) = x
2
- 4mx + m
2
0 với x > 1. Xét 2 trường hợp:
+ TH1: ’ 0 m = 0.
+ TH2: ’>0 m < 2 -
3
.
* Các ví dụ về cực trị của hàm số:
21
Dạng 1. Tìm m để hàm số có cực trị:
Bài 1. Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
+ 3(2m - 1)x + 1.
Tìm m để hàm số có CĐ và CT.
HD: y’ = 3x
2
- 6x + 3(2m - 1).
ĐK y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
y’
> 0
m > -1.
Bài 2. Cho hàm số:
y =
3 2 2
1
( 2) (5 4) 1
3
x m x m x m
Tìm m để hàm số có CĐ, CT và x
1
< -1 <x
2
.
HD: ĐK 1.f’(-1) < 0 m < -3.
Bài 3. Cho hàm số:
3 2 2 2
1
( 2) (3 1) 5
3
y x m m x m x
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = -2.
HD: ĐK
'( 2) 0
''( 2) 0
y
y
. ĐS: m = 3.
Bài 4. Cho hàm số
3 2
1
1
3
y x mx x m
.
Tìm m để hàm số có CĐ, CT và khoảng cách giữa
chúng là nhỏ nhất.
HD: y’ = x
2
-2mx - 1, y’ = 0 x
2
-2mx - 1 = 0 (1).
Có = m
2
+ 1 > 0 m hàm số luôn có CĐ và
CT.
Chia y cho y’ ta được:
2
1 2 2
'. ( ) ( 1) ( 1)
3 3 3
y y x m m x m
.
Gọi 2 điểm cực trị là: A(x
1
; y
1
), B(x
2
; y
2
) với x
1
, x
2
là nghiệm của (1) thì:
y
1
=
2
1
2 2
( 1) ( 1)
3 3
m x m
;
y
2
=
2
2
2 2
( 1) ( 1)
3 3
m x m
;
AB
2
= (x
2
- x
1
)
2
+ (y
2
- y
1
)
2
= (4m
2
+ 4)[1+
2 2
4
( 1)
9
m
]
4 52
4(1 )
9 9
.
AB
2 13
3
; AB min m = 0.
Dạng 2. Biểu thức đối xứng của cực trị:
Bài 5. Tìm m để hàm số y =
2
3
4
x x m
x
có CĐ,
CT và
4
CD CT
y y
.
HD: y’ =
2
2
8 12
( 4)
x x m
x
HS có CĐ và CT y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
khác 4
4 0
4.
16 32 12 0
m
m
m
Gọi (x
1
; y
1
), (x
2
; y
2
) là các điểm cực trị thì:
y
1
= -2x
1
+3, y
2
= -2x
2
+ 3.
2
1 2 1 2 1 2 1 2
4 2 4 ( ) 4 4
y y x x x x x x
m = 3.
Bài 6. Tìm m để hàm số y =
2
2 3 2
2
x x m
x
có
CĐ, CT và
12
CD CT
y y
.
ĐS: m
9
0;
2
.
Bài 7. Tìm m để hàm số :
y =
2 2
( 1) 4 2
1
x m m m
x
có CĐ, CT và y
CĐ
.y
CT
là nhỏ nhất.
ĐS: y
CĐ
.y
CT
nhỏ nhất = -4/5 khi m = 7/5.
Bài 8. CMR hàm số y =
2
1
x mx m
x
luôn có CĐ,
CT và khoảng cách giữa chúng không đổi.
Dạng 3. Vị trí của CĐ và CT trong mặt phẳng
Oxy.
Bài 9. Cho hàm số
2 2
3 4 1
1
mx mx m m
y
x
.
Tìm m để hàm số có CĐ, CT nằm về hai phía của
trục Ox.
HD:
2
2
2 5 1
'
( 1)
mx mx m
y
x
;
ĐK
' 0
0
cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
v« nghiÖm
y
y
ĐS: 0 < m < 4.
Bài 10. Tìm m để hàm số y =
2
( 1) 1
x m x m
x m
có 2 cực trị cùng phía.
ĐK
' 0
0
cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
y
y
.
Bài 11. Cho hs:
2 2 3
( 1) 4
mx m x m m
y
x m
.
Tìm m để hàm số có CĐ, CT nằm ở góc phần tư
thứ II và thứ IV.
HD:
ĐK
0
' 0
0
cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu
v« nghiÖm
m
y
y
.ĐS:
1
5
m .
Các bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho hàm số )1(
1
22
2
x
mxx
y
Tìm m để hàm số (1) có 2 điểm cực trị A, B. CMR
khi đó đường thẳng AB song song với đường thẳng
2x - y -10 = 0.
Bài 2: Cho hàm số )1(3)(
3
xmxy
22
Tìm m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có
hoành độ x = 0.
Bài 3: Cho hàm số )1(
312
22
m
x
mmxx
y
Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía
của trục tung.
Bài 4: Cho hàm số )1(12
224
xmxy
Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 3 điểm cực trị là
3 đỉnh của một tam giác vuông.
Bài 5: Cho hàm số )1(
1
1)1(
2
x
mxmx
y
CMR với m bất kỳ đồ thị ( C
m
) luôn luôn có điểm
cực trị và khoảng cách giữa 2 điểm đó bằng 20 .
Bài 6: Cho hàm số:
)1(
)(2
4)12(
22
mx
mmxmx
y
Tìm m để hàm số có cực trị và tính khoảng cách
giữa hai điểm cực trị của đồ thị của hàm số.
Bài 7: Cho hàm số
2
(5 2) 2 1
(1)
1
x m x m
y
x
Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách giữa
điểm CĐ,CT nhỏ hơn
2 5
.
Bài 8: Cho hàm số )1(12
224
xmxy .
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số khi
m=1
2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 3 điểm cực
trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân.
Bài 9: Cho hàm số y=
2
3( 1) 1
2
x m x m
x
.
1) Khảo sát khi m =2.
2) Tìm m để hàm số đồng biến với x -2.
Bài 10: Cho hàm số y=mx
3
-(2m-1)x
2
+ (m-2)x - 2.
1) Khảo sát khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số đồng biến với x.
Bài 11: Cho hàm số y =
2
2 3
1
x x m
x
.
1) Khảo sát khi m = 2.
2) Tìm m để hàm số đồng biến với x (3, +).
Bài 12: Cho hàm số y =
2
2 2
x mx m
x m
.
1) Khảo sát khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng
xác định.
Bài 13: Cho hàm số y = (m + 2)x
3
+ 3x
2
+ mx - 5.
Tìm m để hàm số có cực trị.
Bài 14: Cho hàm số y = x
3
+ mx
2
+ 3mx + 5.
Tìm m để hàm số có cực trị.
Bài 15: Cho hàm số y = x
3
+ mx
2
+ 7x + 3.
1) Khảo sát khi m= 5.
2) Tìm m để hàm số có cực trị, viết phương trình
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Bài 16: Cho hàm số y =
2 2
(2 ) 2 1
mx m x m
x m
.
Tìm m để hàm số có 2 cực trị.
Bài 17: Cho hàm số y =
2 2
2 (1 )
x m x m m
x m
.
Tìm m để hàm số có hai cực trị trái dấu.
Bài 18: Cho hàm số y =
2
1
mx x m
x
.
1) Khảo sát khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số không có cực trị.
Bài 19: Cho hàm số y =
2
2 2
1
x x m
x m
.
Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm
cực trị.
Bài 20: Cho hàm số y =
2 2
2 2
1
x x m
x
.
1) Khảo sát khi m= 0.
2) Tìm m để: đồ thị hàm số có hai điểm cực trị trái
dấu; khoảng cách từ cực tiểu và cực đại đến Ox
bằng nhau.
Bài 21: Cho hàm số y = x
4
- 2mx
2
+ m
4
. Tìm m để
hàm số có ba cực trị và các điểm cực trị tạo thành
một tam giác đều.
23
Bài 10. Biện luận số nghiệm của phương trình
bằng đồ thị
Một số kiến thức cần nắm vững:
Để biện luận số nghiệm phương trình F(x, m) = 0
ta có thể biến đổi về dạng: f(x) = g(m), trong đó y
= f(x) là hàm số đã khảo sát hoặc có thể dễ dàng
khảo sát còn y = g(m) là đường thẳng phụ thuộc
tham số m.
Với phương pháp này ta chú ý tới cách vẽ đồ thị
các hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối:
* Đồ thị hàm số y = f(|x|):
Đồ thị hàm số y = f(|x|) được suy ra từ đồ thị hàm
số y = f(x) bằng cách:
+ Giữ nguyên phần đồ thị phía bên phải trục Oy.
+ Bỏ phần đồ thị phía bên trái trục Oy và lấy đối
xứng phần bên phải qua trục Oy.
* Đồ thị hàm số y = |f(x)|:
Đồ thị hàm số y = |f(x)| được suy ra từ đồ thị hàm
số y = f(x) bằng cách:
+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục Ox.
+ Bỏ phần đồ thị phía dưới trục Ox và lấy đối xứng
phần phía dưới qua trục Ox.
* Đồ thị hàm số
2
' '
ax bx c
y
a x b
được suy ra từ
đồ thị hàm số
2
' '
ax bx c
y
a x b
(1) bằng cách:
+ Giữ nguyên phần đồ thị hàm số (1) với
'
'
b
x
a
.
+ Bỏ phần đồ thị hàm số (1) với
'
'
b
x
a
và lấy
đối xứng phần đó qua trục Ox.
Bài tập áp dụng:
Bài 1. Khảo sát y = (x + 1)
2
(x - 1)
2
(C). Biện luận
số nghiệm của (x
2
- 1)
2
- 2m +1 = 0 (1).
HD: y = x
4
- 2x
2
+ 1.
Bài 2. Khảo sát y = x
3
-3x
2
+ 2. Biện luận số
nghiệm của PT: x
3
-3x
2
+ 2 = 2(
2
1
m
m
).
HD:
2
1 1 1
2
m
m m
m m m
2
1
2
m
m
hoặc
2
1
2
m
m
.
Bài 3. Khảo sát y =
2
2
1
x x
x
. Biện luận số
nghiệm của:
cos
2
x - (m -1)cosx + m + 2 = 0 (1) (0 x ).
HD: Đặt cosx = t (-1 t 1) thì
(1) t
2
- (m -1)t + m + 2 = 0
2
2
1
t t
t
= m.
Bài 4. Khảo sát y =
2
2 2
x x
x
. Biện luận số nghiệm
của phương trình:
2
2 2
x x
x
= m.
Bài 5. Khảo sát y =
2
3
2 2
x x
x
. Biện luận số
nghiệm của PT: x
2
+ 3x + 2kx - 1= 0 (1).
HD: (1)
2
3
2 2
x x
k
x
.
Bài 6. Khảo sát y =
2
1
1
x
x
. Biện luận số nghiệm
của PT
2
1
1
x
k
x
.
Bài 7. Khảo sát y =
2
1
1
x x
x
. Biện luận số
nghiệm của PT: x
2
- x - k
1
x
+ 1 = 0. (1)
Bài 8. Khảo sát y = -x
3
+ 3x
2
- 2. Biện luận số
nghiệm: x
3
- 3x
2
+ m = 0.
Bài 9. Khảo sát y =
2
2 2 3
( 1)
x x
x
. Biện luận số
nghiệm của PT:
2
2 3 2
1
x x
x
= m.
Bài 10. Khảo sát y = 4x
3
- 3x - 1 (C). Tìm m để
phương trình
3
4 3
x x m
có 4 nghiệm phân
biệt.
Bài 11. Cho hàm số
)1(
2
2
2
x
mxx
y
a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm
số khi m=1
b) Xác định m để hàm số (1) nghịch biến trên
đoạn [-1;0]
c) Tìm a để phương trình sau có nghiệm:
2 2
1 1 1 1
9 ( 2).3 2 1 0
t t
a a
(2)
HD:
Đặt x =
2
1 1
3
t
. Điều kiện x 3.
(2) x
2
- (a + 2)x + 2a + 1 = 0
2
2 1
2
x x
a
x
Xét hàm số
2
2 1
2
x x
y
x
trên [3; + ).
DS: m 4.
24
Bài 11. Tích phân - diện tích- thể tích
Một số kiến thức cần nắm vững:
1. Bảng nguyên hàm của các hàm số.
2. Các phương pháp tính tích phân:
a) Phương pháp đổi biến số:
* Loại 1:
Dạng:
2 2
a x dx
,
2 2
dx
a x
đặt x = asint.
Dạng:
2 2
dx
x a
đặt x = atgt,
2 2
( )
dx
ax b c
đặt
tg
ax b c t
.
* Loại 2:
( ( )) '( ) .
b
a
f u x u x dx
Đặt t = u(x).
+ Nhiều khi phải biến đổi mới xuất hiện u’(x)dx.
+ Ta cũng có thể biến đổi:
( ( )) '( ) ( ( )) ( ( ))
b b
a a
f u x u x dx f u x d u x
b) Phương pháp tích phân từng phần:
Dạng:
( )sin ,
b
a
P x xdx
( )cos ,
b
a
P x xdx
( ) ,
b
x
a
P x e dx
Đặt u = P(x), dv = sinxdx (dv = cosxdx, dv = e
x
dx).
Dạng:
2 2
, ,
cos sin
b b
a a
x x
dx dx
x x
Đặt u = x, dv =
2
cos
dx
x
hoặc dv =
2
sin
dx
x
.
3. Một số tích phân thường gặp:
a) Tích phân hữu tỉ:
( )
( )
b
a
P x
dx
Q x
P(x), Q(x) là các
đa thức.
+ Nếu bậc P(x) bậc Q(x) chia P(x) cho Q(x).
+ Nếu bậc của P(x) < bậc Q(x) dùng phương pháp
đổi biến hoặc phương pháp hệ số bất định.
b) Tích phân chứa các hàm số lượng giác.
+ Nắm vững các công thức biến đổi.
c) Tích phân hồi quy:
Dạng
sin ,
b
x
a
e xdx
cos .
b
x
a
e xdx
Đặt u = sinx (u = cosx), dv = e
x
dx. Tích phân từng
phần 2 lần.
Dạng:
sin(ln ) , cos(ln ) .
b b
a a
x dx x dx
Đặt u = sin(lnx) (u = cos(lnx)), dv = dx. Tích phân
từng phần 2 lần.
d) Tích phân hàm số chẵn, lẻ:
Nếu y = f(x) liên tục trên đoạn [-a; a] và:
+ y = f(x) chẵn thì
0
( ) 2 ( )
a a
a
f x dx f x dx
.
+ y = f(x) lẻ thì:
( ) 0
a
a
f x dx
.
e) Tích phân dạng
( )
1
x
f x
dx
a
trong đó f(x) là
hàm số chẵn.
Cách giải: Tách thành 2 tích phân :
0
0
( ) ( ) ( )
1 1 1
x x x
f x f x f x
dx dx dx
a a a
Xét tích phân
0
( )
1
x
f x
dx
a
đổi biến số x = -t.
Kết quả ta được
0
( )
( )
1
x
f x
dx f x dx
a
.
f) Tích phân dạng:
0 0
( ) ( )
a a
f a x dx f x dx
trong
đó f(x) là hàm số liên tục trên [0; a].
Đổi biến x = a - t.
Các ví dụ
Bài 1: Tính tích phân
1
0
2
3
1
dx
x
x
I
ĐS I =1/2(1-ln2).
Bài 2: Tính tích phân
3ln
0
3
)1(
dx
e
e
I
x
x
HD: đưa về dạng
b
a
u du
. ĐS
12 I
Bài 3: Tính tích phân
0
1
3
2
)1( dxxexI
x
HD Tách thành 2 tích phân.
ĐS I=3/4e
-2
- 4/7
Bài 4: Tính tích phân
2
0
56 3
cos.sin.cos1
dxxxI
HD: t =
6 3
1 cos
x
cos
3
x = 1- t
6
.
ĐS I =12/91
Bài 5: Tính tích phân
32
5
2
4.
1
dx
xx
I
HD: nhân cả tử và mẫu với x rồi đặt 4
2
xt .
ĐS I=1/4.ln5/3
Bài 6: Tính tích phân
4
0
2cos1
dx
x
x
I
25
HD:Đưa về dạng tích phân từng phần.
ĐS I =
/8-1/4.ln2
Bài 7: Tính tích phân
1
0
23
1 dxxxI
Bài 8: Cho hàm số
x
ebx
x
a
xf .
)1(
)(
3
Tìm a,b
biết rằng f’(0) = -22 và
1
0
5)( dxxf
Bài 9: Tính tích phân
3
4
2
cos1.cos
dx
xx
tgx
I
HD: Biến đổi về dạng
3
2 2
4
cos . 1
tg
tg
x
I dx
x x
.
Đặt
2
1
tg
t x
.
Bài tập áp dụng
1) Tính tích phân
3
1
3
1
dx
xx
I
2) Tính tích phân
8ln
3ln
2
.1 dxeeI
xx
3) Tính tích phân
2
0
2
cos)12(
xdxxI
4) Tính tích phân
3
1
2
1ln
ln
e
dx
xx
x
I
5) Tính tích phân
2
0
sin
cos)cos(
xdxxeI
x
6) Tính tích phân
2
0
2
4
4
1
dx
x
xx
I
7) Tính tích phân
7
0
3
1
2
dx
x
x
I
8) Tính tích phân
4
0
sin
)cos(
dxxetgxI
x
9) Tính tích phân
3
0
2
sin
dxtgxxI
10) Tính tích phân
2
0
cos
.2sin
dxxeI
x
11) Tính tích phân
0
2
cos1
sin.
dx
x
xx
I
12) Tính tích phân
3
0
2
35
1
2
dx
x
xx
I
13) Tính tích phân
e
dxxxI
1
2
.ln
14) Tính tích phân
1
2 2
0
4 3
I x x dx
15) Tính tích phân
4
0
sin 2 cos
1 cos
x x
I dx
x
16) Tính tích phân:
1
4
2
1
sin
1
x x
I
x
17) Tính tích phân
2
sin
2 1
x
x
I dx
18) Tính tích phân
2
1
2 2
1
( sin )
x
I e x e x dx
19) Tính tích phân
1
2
1
1
1
x
x
I dx
e
20) Tính tích phân
2
0
sin
4 cos
x x
I dx
x
.
4. Diện tích:
* Bài toán 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị 2 hàm số y = f(x), y = g(x) trên đoạn [a;
b]. Trong đó phương trình: f(x) - g(x) = 0 vô
nghiệm trên [a; b].
( ) ( )
b
a
S f x g x dx
* Bài toán 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị 2 hàm số y = f(x), y = g(x) trên đoạn [a;
b]. Trong đó phương trình: f(x) - g(x) = 0 có ít nhất
một nghiệm x = x
0
trên [a; b].
0
0
( ) ( ) ( ) ( )
x
b
a x
S f x g x dx f x g x dx
* Bài toán 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị 2 hàm số y = f(x), y = g(x).
GPT: f(x) - g(x) = 0, được các nghiệm x = a, x = b.
( ) ( )
b
a
S f x g x dx
5. Thể tích:
* Quay quanh Ox:
2
( )
ví i
b
a
V y dx y f x
* Quay quanh Oy:
2
( )
ví i
b
a
V x dx x g y
Các ví dụ :
![Tài liệu Thi thử ĐH môn Toán_THPT Tống Văn Trân Nam Định [2009-2010] docx](https://media.store123doc.com/images/document/13/ce/ww/medium_wwm1386922509.jpg)
