Tài liệu 4 đề thi thử đại học SPHN 2010 (Kèm đáp án) docx

THI THỬ TRƯỜNG CHUYÊN ðHSP HÀ NỘI 2009 - 2010
=============================================
==============================================

1

TRƯỜNG ðHSP HÀ NỘI
ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC LẦN I NĂM 2010
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
– ðHSP Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao ñề
==========================================


Câu 1. ( 2,0 ñiểm )
Cho hàm số y = 2x
3
+ 9mx
2
+ 12m
2
x + 1, trong ñó m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ñã cho khi m = - 1.
2. Tìm tất cả các giá trị của m ñể hàm số có cực ñại tại x
Cð
, cực tiểu tại x
CT
thỏa mãn:
x
2

Cð
= x
CT
.
Câu 2. ( 2,0 ñiểm )
1. Giải phương trình:
1+x + 1 = 4x
2
+ x3 .
2. Giải phương trình: 5cos(2x +
3
π
) = 4sin(
6
5
π
- x) – 9 .
Câu 3. ( 2,0 ñiểm )
1. Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f(x) =
1
)1ln(
2
32
+
++
x
xxx
.
2. Cho hình chóp S.ABCD có SA =x và tất cả các cạnh còn lại có ñộ dài bằng a.
Chứng minh rằng ñường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC). Tìm x theo a

ñể thể tích của khối chóp S.ABCD bằng
6
2
3
a
.
Câu 4. ( 2,0 ñiểm )
1. Giải bất phương trình: (4
x
– 2.2
x
– 3). log
2
x – 3 >
2
1
4
+x
- 4
x
.
2. Cho các số thực không âm a, b.Chứng minh rằng:
( a
2
+ b +
4
3
) ( b
2
+ a +

4
3
)
≥
( 2a +
2
1
) ( 2b +
2
1
).
Câu 5. ( 2,0 ñiểm )
Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho ba ñường thẳng :
d
1
: 2x + y – 3 = 0, d
2
: 3x + 4y + 5 = 0 và d
3
: 4x + 3y + 2 = 0.
1. Viết phương trình ñường tròn có tâm thuộc d
1
và tiếp xúc với d
2
và d
3
.
2. Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc d
1
và ñiểm N thuộc d

2
sao cho
OM
+ 4
ON
=
0
.


……………………………… Hết…………………………………












THI THỬ TRƯỜNG CHUYÊN ðHSP HÀ NỘI 2009 - 2010
=============================================
==============================================

2

THI THỬ TRƯỜNG CHUYÊN ðHSP HÀ NỘI 2009 - 2010

=============================================
==============================================

3

THI THỬ TRƯỜNG CHUYÊN ðHSP HÀ NỘI 2009 - 2010
=============================================
==============================================

4


THI THỬ TRƯỜNG CHUYÊN ðHSP HÀ NỘI 2009 - 2010
=============================================
==============================================

5



TRƯỜNG ðHSP HÀ NỘI ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC LẦN II NĂM 2010
TRƯỜNG THPT CHUYÊN – ðHSP Môn thi: TOÁN
_______________
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát ñề
==========================================

Ngày thi: 07 – 3 – 2010
.

Câu 1. ( 2,0 ñiểm). Cho hàm số y =

1
12
−
−
x
x
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị ( C ) của hàm số.
2. Lập phương trình tiếp tuyến của ñồ thị ( C ) mà tiếp tuyến này cắt các trục Ox , Oy
lần lượt tại các ñiểm A và B thỏa mãn OA = 4OB.
Câu 2. ( 2,0 ñiểm)
1. Giải phương trình:
x
x
xx
cos
sin
cossin
−
+
+ 2tan2x + cos2x = 0.
2. Giải hệ phương trình:





=−++++
=−++++
011)1(

030)2()1(
22
3223
yyyxyx
xyyyxyyx

Câu 3. ( 2,0 ñiểm)
1. Tính tích phân: I =
∫
+
+
1
0
1
1
dx
x
x
.
2. Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông với AB = BC = a,
cạnh bên A A’ = a
2
. M là ñiểm trên A A’ sao cho
'
3
1
AÂAM =
. Tính thể tích của khối tứ
diện MA’BC’.
Câu 4. ( 2,0 ñiểm)

1. Tìm tất cả các giá trị của tham số a ñể phương trình sau có nghiệm duy nhất:
log
5
(25
x
– log
5
a ) = x.
2. Cho các số thực dương a, b, c thay ñổi luôn thỏa mãn a + b + c = 1.
Chứng minh rằng :
.2
222
≥
+
+
+
+
+
+
+
+
b
a
ac
a
c
cb
c
b
ba

Câu 5. ( 2,0 ñiểm).

Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho ñiểm E(-1;0) và ñường tròn
( C ): x
2
+ y
2
– 8x – 4y – 16 = 0.
1. Viết phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm E cắt ( C ) theo dây cung MN có ñộ dài
ngắn nhất.
2. Cho tam giác ABC cân tại A, biết phương trình ñường thẳng AB, BC lần lượt là:
x + 2y – 5 = 0 và 3x – y + 7 = 0. Viết phương trình ñường thẳng AC, biết rằng AC ñi
qua ñiểm F(1; - 3).
Hết

D kin thi th ln sau vào các ngày 27,28 tháng 3 năm 2010.





THI THỬ TRƯỜNG CHUYÊN ðHSP HÀ NỘI 2009 - 2010
=============================================
==============================================

6


THI THỬ TRƯỜNG CHUYÊN ðHSP HÀ NỘI 2009 - 2010

=============================================
==============================================

7


THI THỬ TRƯỜNG CHUYÊN ðHSP HÀ NỘI 2009 - 2010
=============================================
==============================================

8


THI THỬ TRƯỜNG CHUYÊN ðHSP HÀ NỘI 2009 - 2010
=============================================
==============================================

9


TRƯỜNG ðHSP HÀ NỘI ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC LẦN III NĂM 2010
TRƯỜNG THPT CHUYÊN – ðHSP Môn thi: TOÁN
_______________
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát ñề
==========================================
Ngày thi: 28 – 3 – 2010
Câu 1. ( 2,0 ñiểm). Cho hàm số y = x
4
+ 2m
2

x
2
+ 1 (1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số khi m = 1.
2. Chứng minh rằng ñường thẳng y = x + 1 luôn cắt ñồ thị hàm số (1) tại hai ñiểm
phân biệt với mọi giá trị của m.
Câu 2. ( 2,0 ñiểm)
1. Giải phương trình: 2sin
2
(x -
4
π
) = 2sin
2
x - tanx.
2. Giải phương trình: 2 log
3
(x
2
– 4) + 3
2
3
)2(log +x
- log
3
(x – 2)
2
= 4.
Câu 3. ( 2,0 ñiểm)
1. Tính tích phân: I =

∫
+
3
0
2
sin3cos
sin
π
dx
xx
x
.
2. Trong không gian, cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên
ñường thẳng d ñi qua A và vuông góc mặt phẳng (ABC) lấy ñiểm S sao cho mp( SBC) tạo
với mp(ABC) một góc bằng 60
0
. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.
Câu 4. ( 2,0 ñiểm)
1. Giải hệ phương trình:





+=+
+=+
)1(51
164
22
33

xy
xyyx
.
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
f(x) =
2
2
5884
2
234
+
−
+−+−
x
x
xxxx

Câu 5. ( 2,0 ñiểm)
1.
Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ñiểm A(0;1;3) và ñường thẳng
d:





=
+=
−=
3

22
1
z
ty
tx


Hãy tịm trên ñường thẳng d các ñiểm B và C sao cho tam giác ABC ñều.
2. Trong mặt phẳng Oxy cho elíp (E) có tiêu ñiểm thứ nhất là ( -
3
; 0) và ñi qua ñiểm
M ( 1;
5
334
). Hãy xác ñịnh tọa ñộ các ñỉnh của (E).

Hết

D kin thi th ln sau vào các ngày 17,18 tháng 4 năm 2010.







THI THỬ TRƯỜNG CHUYÊN ðHSP HÀ NỘI 2009 - 2010
=============================================
==============================================

10

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI THI LẦN 3
Câu 1.
1. Tự làm.
2. Xét phương trình hoành ñộ giao ñiểm: x
4
+2m
2
x
2
+1 = x + 1
⇔
x
4
+ 2m
2
x
2
– x = 0
⇔

x( x
3
+ 2m
2
x – 1) = 0
⇔








=−+
=
(*)012
0
23
xmx
x
ðặt g(x) = x
3
+ 2m
2
x – 1 ;
Ta có: g’(x) = 3x
2
+ 2m
2

≥
0 (với mọi x và mọi m )
⇒
Hàm số g(x) luôn ñồng biến với mọi giá trị
của m.
Mặt khác g(0) = -1
≠
0. Do ñó phương trình (*) có nghiệm duy nhất khác 0.

Vậy ñường thẳng y = x+ 1 luôn cắt ñồ thị hàm số (1) tại hai ñiểm phân biệt với mọi giá trị của m.
Câu 2.
1. Giải phương trình: 2 sin
2
( x -
4
π
) = 2sin
2
x – tanx (1)
ðiều kiện: cosx
≠
0
⇔
x
≠

π
π
.
2
k+
(*).
(1)
⇔
1 – cos (2x -
2
π
) = 2sin
2

x – tan x
⇔
1 – sin2x = tanx ( sin 2x – 1)
⇔



−=
=
1tan
12sin
x
x


⇔






+−=
+=
π
π
π
π
.
4

2.
2
2
lx
kx
⇔






+−=
+=
π
π
π
π
.
4
.
4
lx
kx
⇔
x =
2
.
4
π

π
k+
. ( Thỏa mãn ñiều kiện (*) ).
2. Giải phương trình: 2log
3
(x
2
– 4) + 3
2
3
)2(log +x
- log
3
( x -2)
2
= 4 (2).
ðiều kiện:





≥+
>−
0)2(log
04
2
3
2
x

x

⇔






≥+
>−
1)2(
04
2
2
x
x
⇔



−≤
>
3
2
x
x
(**)
Pt (2) ñược biến ñổi thành: log
3

(x
2
– 4)
2
– log
3
(x – 2)
2
+ 3
2
3
)2(log +x
- 4 = 0

⇔
log
3
( x + 2)
2
+ 3
2
3
)2(log +x
- 4 = 0
⇔
(
2
3
)2(log +x
+ 4) (

2
3
)2(log +x
- 1) = 0.

⇔

2
3
)2(log +x
= 1
⇔
(x+2)
2
= 3
⇔
x+ 2 =
3±

⇔
x = - 2
3±
.
Kiểm tra ñiều kiện (**) chỉ có x = - 2 -
3
thỏa mãn.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là : x = - 2 -
3
.
Chú ý:

1/ Biến ñổi : 2log
3
( x
2
– 4) = log
3
(x
2
– 4)
2
làm mở rộng tập xác ñịnh nên xuất
hiện nghiệm ngoại lai x = -2 +
3
.
2/ Nếu biến ñổi: log
3
( x – 2)
2
= 2log
3
( x – 2) hoặc log
3
( x+2)
2
= 2log
3
(x+2) sẽ
làm thu hẹp tập xác ñịnh dẫn ñến mất nghiệm ( Lỗi phổ biến của học sinh!)
Câu 3.
1. Tính tích phân: I =

∫
+
3
0
2
.
sin3cos
sin
π
dx
xx
x

ðặt t =
x
2
sin3 +
=
x
2
cos4 −
. Ta có: cos
2
x = 4 – t
2
và dt =
dx
x
xx
2

sin3
cossin
+
.
ðổi cận: Với: x = 0 thì t =
3
; x =
3
π
thì t =
2
15

THI THỬ TRƯỜNG CHUYÊN ðHSP HÀ NỘI 2009 - 2010
=============================================
==============================================

11

I =
∫
+
3
0
2
.
sin3cos
sin
π
dx

xx
x
=
∫
+
3
0
22
sin3cos
cos.sin
π
dx
xx
xx
=
∫
−
2
15
3
2
4 t
dt
=
dt
tt
)
2
1
2

1
(
4
1
2
15
3
−
−
+
∫
=
=
2
15
3
2
2
ln
4
1
−
+
t
t
=
)
23
23
ln

415
415
(ln
4
1
−
+
−
−
+
=
))23ln()415(ln(
2
1
+−+
.
2. Ta có SA
⊥
mp(ABC)
⇒
SA
⊥
AB ; SA
⊥
AC
Tam giác ABC vuông cân cạnh huyền AB
⇒
BC
⊥
AC

⇒
BC
⊥
SC ( ðịnh lý 3 ñường
vuông góc) . Hai ñiểm A,C cùng nhìn ñoạn SB dưới góc vuông nên mặt cầu ñường kính
SB ñi qua A,C. Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC cũng chính là mặt cầu ñường kính
SB.
Ta có CA = CB = AB sin 45
0
= a
2
;
=
∠
SCA
60
0
là góc giữa mặt (SBC) và mp(ABC)
SA = AC.tan60
0
= a
6
.Từ ñó SB
2
= SA
2
+ AB
2
= 10a
2

.
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC là: S =
2
d
π
=
π
.SB
2
= 10
π
a
2
.
Câu 4.
1. Giải hệ:





+=+
+=+
)2) (1(51
)1 (164
22
33
xy
xyyx

Từ (2) suy ra y
2
– 5x
2
= 4 (3). Thế vào (1) ñược: x
3
+ (y
2
– 5x
2
).y = y
3
+ 16x
⇔

⇔
x
3
– 5x
2
y – 16 x = 0
⇔
x = 0 hoặc x
2
– 5xy – 16 = 0.
TH1: x= 0
⇒
y
2
= 4 ( Thế vào (3)).

⇔
y =
±
2.
TH2: x
2
– 5xy – 16 = 0
⇔
y =
x
x
5
16
2
−
( 4). Thế vào (3) ñược:
22
2
5)
5
16
( x
x
x
−
−
= 4
⇔

⇔

x
4
– 32x
2
+ 256 – 125x
4
= 100x
2

⇔
124 x
4
+132x
2
– 256 = 0
⇔
x
2
= 1
⇔
x =
±
1.
Thế vào (4) ñược giá trị tương ứng y =
3
∓
.
Vậy hệ có 4 nghiệm: (x;y) = (0;2) ; (0;-2); (1;-3); (-1; 3).
Chú ý: Nếu thay giá trị của x vào (3) ở trường hợp 2, sẽ thừa 2 cặp nghiệm!
2. Tìm GTNN của hàm số: f(x) =

2
2
5884
2
234
+
−
+−+−
x
x
xxxx
.
Tập xác ñịnh: R vì x
2
– 2x + 2 = (x – 1)
2
+ 1 > 0 với mọi x.
Biến ñổi ñược: f(x) = x
2
– 2x + 2 +
2
2
1
2
+
−
x
x

2

≥
( Bất ñẳng thức Cosi cho hai số dương).
Dấu bằng xảy ra khi : x
2
– 2x + 2 =1
⇔
x = 1.
Vậy: min f(x) = 2 ñạt ñược khi x = 1.
Câu 5.
1. Tìm các ñiểm B,C?
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d. H
∈
d
⇔
H ( 1-t; 2+2t;3)
⇔

AH
= ( 1-t; 1+2t; 0). Mà AH
⊥
d nên
d
uAH ⊥
( -1;2;0). Từ ñó có -1(1-t)+2(1+2t) =0
⇔

t = -1/5
⇔
H ( 6/5; 8/5; 3).
Ta có AH =

5
53
.mà tam giác ABC ñều nên BC =
5
152
3
2
=
AH
hay BH =
5
15
.
Gọi: B ( 1-s;2+2s;3) thì
25
15
)2
5
2
()
5
1
(
22
=++−− SS

⇔
25s
2
+10s – 2 = 0

⇔
s =
5
31 ±−

Vậy: B (
)3;
5
328
;
5
36 ±∓
và C(
3;
5
328
;
5
36 ∓±
) ( Hai cặp).
2. Xác ñịnh tọa ñộ các ñỉnh của (E)?
THI THỬ TRƯỜNG CHUYÊN ðHSP HÀ NỘI 2009 - 2010
=============================================
==============================================

12

Theo bài ra có F
1
( -

3
; 0) và F
2
(
3
;0) là hai tiêu ñiểm của (E). Theo ñịnh nghĩa của (E)
suy ra : 2a = MF
1
+ MF
2
=
22
)
5
334
()31( ++
+
22
)
5
334
()31( +−
= 10
⇒
a = 5.
Lại có c =
3
và a
2
– b

2
= c
2

⇒
b
2
= a
2
– c
2
= 22. Vậy tọa ñộ các ñỉnh của (E) là:
A
1
( - 5;0) ; A
2
( 5;0) ; B
1
( 0; -
22
) ; B
2
( 0;
22
).

Hết
✤
✣
✜

✢
TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI
Đề thi : 4
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2009 - 2010
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I. (2 điểm)
Cho hàm số: y = 2x
3
− 3(2m + 1)x
2
+ 6m(m + 1)x + 1, trong đó m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, hàm số luôn có cực đại, cực tiểu và
khoảng cách giữa các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số không đổi.
Câu II. (2 điểm)
1. Giải hệ:





2 + 6y =
x
y
−
√
x − 2y

x +

√
x − 2y = x + 3y − 2
(Với x, y ∈ R).
2. Giải phương trình: sin 2x +
(1 + cos 2x)
2
2 sin 2x
= 2 cos 2x.
Câu III. (2 điểm)
1.Tính tích phân: I =

π

2
π

4
x cos x
sin
3
x
dx.
2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, mặt bên (SBC)
vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại tạo với mặt đáy một góc α. Tính thể
tích hình chóp S.ABC.
Câu IV. (2 điểm)
1. Tìm nghiệm phức của phương trình: 2(1 + i)z
2
− 4(2 − i)z − 5 − 3i = 0.
2. Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng:

x
2
− xy
x + y
+
y
2
− yz
y + z
+
z
2
− zx
z + x
≥ 0
Câu V. (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC vuông
cân tại A. Biết rằng cạnh huyền nằm trên đường thẳng d : x + 7y − 31 = 0, điểm
N(7; 7) thuộc đường thẳng AC, điểm M (2; −3) thuộc AB và nằm ngoài đoạn AB.
2. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ :














x = t
y = −7 + 2t
z = 4
. Gọi ∆

là giao
tuyến của hai mặt phẳng (P ) : x −3y + z = 0, (Q) : x + y − z + 4 = 0. Chứng minh
rằng hai đường thẳng ∆ và ∆

chéo nhau. Viết phương trình (dạng tham số) đường
vuông góc chung của hai đường thẳng ∆, ∆

.
1


HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2010 DHSP HÀ NỘI LẦN IV

Câu 1. 1. Tự làm.
2. Ta có y’ = 6x
2
– 6(2m+1)x + 6m(m+1)
Þ
y’ = 0 khi x
1
=m hoặc x
2

= m+1. Do x
1

¹
x
2
với mọi m nên hàm số luôn có cực đại, cực tiểu. Gọi A(x
1
;y
1
), B(x
2
;y
2) là
các
điểm cực trị thì
y
1
= f(x
1
)= 2m
3
+3m
2
+ 1; y
2
= f(x
2
) = 2m
3

+ 3m
2

Þ
AB =
2
không đổi (đpcm!).
Câu 2.1. Giải hệ: Điều kiện: y
¹
0; x – 2y
³
0; x + 02 ³- yx .
Pt
Û
0622 = yyx
y
x
Û
6
2
2
2
-
-
-
-
y
yx
y
yx

= 0 ( chia cả hai vế cho y)
Û
y
yx 2-
= 3 hoặc
y
yx 2-
= - 2.
Với
y
yx 2-
= 3
Û
î
í
ì
+=
>
yyx
y
29
0
2
thay vào pt(2) ta được nghiệm x =
9
24
,y =
9
4

Với
y
yx 2-
= -2
Û

î
í
ì
+=
<
yyx
y
24
0
2
thay vào pt(2) ta được nghiệm: x =12, y = - 2.
Vậy hệ có hai nghiệm(x;y) = (12;-2),(
9
4
;
3
8
).
2. Giải phương trình lượng giác:
Điều kiện: sin2x
¹
0. Pt
Û

sin
2
x +
02
sin
cos
sin5)sin21(2
cos
sin
4
cos4
3
22
4
=-+Û-=
x
x
xx
x
x
x

Û
5 +
x
x
x
23
3
sin

1
.2
sin
cos
-
= 0
Û
cot
3
x – 2cot
2
x + 3 = 0
Û
(cotx + 1)(cot
2
x – 3cot x + 3)
= 0
Û
cotx = -1 ( Vì cot
2
x – cotx + 3> 0)
Û
x =
Zkk Î+- ,.
4
p
p
(thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình có nghiệm: x =
Zkk Î+- ,.

4
p
p
.
Câu 3.1.Tính tích phân: Ta có
'
2
sin
1
÷
ø
ö
ç
è
æ
x
=
x
x
3
sin
cos2
-
nên
I =
ò
-
2
4
2

)
sin
1
(
2
1
p
p
x
xd
=
2
4
2
|
sin
1
.
2
1
p
p
x
x- +
2
4
2
4
2
|cot

2
1
)
22
(
2
1
sin
2
1
p
p
p
p
pp
x
x
dx
=
ò
=
2
1
.
2. Tính thể tích khối chóp: Hạ SH
^
BC
Þ
SH
^

(ABC) ( vì: (SBC)
^
(ABC) ).
Hạ HM
^
AB, HN
^
AC thì
Ð
SMH =
Ð
SNH =
a

Þ

D
SHM =
D
SHN
Þ
HM = HN
Þ
H là trung điểm của BC ( vì tam giác ABC đều)
Þ
HM =
4
3
2
ah

=

2

Þ
SH = HM.tan
a
=
4
3a
tan
a
. Vậy thể tích khối chóp là: V
S.ABC
=
3
1
.SH.S
ABC
=
16
tan
3
a
a
.
Câu 4. 1.Tìm nghiệm phức:
Ta có
D
’ = 4(2 – i)

2
+ 2(1 + i)(5 + 3i) = 16. Vậy phương trình cho hai nghiệm là:
Z
1
= i
ii
i
i
i
i
2
5
2
3
2
)1)(4(
1
4
)1(2
4)2(2
-=
-
-
=
+
-
=
+
+
-

Z
2
=
i
ii
i
i
i
i
2
1
2
1
2
)1)((
1)1(2
4)2(2
=
-
-
=
+
-
=
+
-
-

2.Chứng minh BĐT:

Ta có:
22)(2
)(22)(
22
yxyx
x
yx
yx
x
yx
xy
x
yx
xyyxx
yx
xyx -
=
+
-=
+
+
-³
+
-=
+
-+
=
+
-
(1)( vì

x,y>0)
Tương tự:
2
2
zy
zy
yzy -
³
+
-
(2),
2
2
xz
x
z
zxz -
³
+
-
(3). Cộng từng vế (1),(2),(3) suy ra:
0
222
222
=
-
+
-
+
-

³
+
-
+
+
-
+
+
- xzzyyx
xz
zxz
zy
yzy
yx
xyx
.Đẳng thức xảy ra khi x = y = z
(đpcm!).
Câu 5. 1. Xác định tọa độ các đỉnh:
Đường thẳng AB đi qua M(2;-3) nên có phương trình: a(x – 2) + b(y + 3) = 0, ( a
2
+ b
2

¹
0).
Do tam giác ABC vuông cân tại A nên:
22
0
.50
7

45cos
2
1
ba
ba
+
+
==

Û
12a
2
-7ab -12b
2
= 0
Û
ê
ë
é
-=
=
ba
ba
34
43
.
Với: 3a = 4b,Chọn a = 4, b = 3 ta được d
1
: 4x + 3y + 1 = 0.
Với: 4a = - 3b, chọn a =3, b = - 4 ta được d

2
: 3x – 4y – 18 = 0.
+)Nếu lấy AB là d
1
: 4x + 3y + 1 = 0 thì AC// d
2
nên AC là:3(x -7) –4(y –7) = 0
Û
3x –
4y+7 = 0.
Hệ phương trình tọa độ A:
î
í
ì
=+-
=++
0743
0134
yx
yx

Û
A(-1;1)
Hệ phương trình tọa độ B:
î
í
ì
=-+
=++
0317

0134
yx
yx

Û
B( -4;5).
Ta có:
MAMBMBMA 2)8;6(),4;3( =Þ-=-=
Þ
M nằm ngoài đoạn AB ( Thỏa mãn)
Hệ phương trình tọa độ C:
î
í
ì
=-+
=+-
0317
0743
yx
yx

Û
C(3;4).
+) Nếu lấy AB là d
2
sẽ không thỏa mãn.
Vậy A(-1;1), B(-4;5) và C(3;4).
3

2. a). Đường thẳng

D
đi qua M(0;-7;4) và có VTCP ).0;2;1(
1
=u
Đường thẳng
D
’ đi qua N(0;2;6) có VTCP
2
u
= (
1 1
31
;
11
1 1
;
11
31 -

-
) = (2;2;4)
Ta có [
21
,uu
] = (8;-4;-2) và
)2;9;0(=MN
Þ
[
21
,uu

].
MN
= 0 – 36 – 4 = - 40
¹
0.
Vậy
D
,
D
’ chéo nhau.
b). Đường vuông góc chung d của
D
,
D
’ có VTCP:
u
=(4;-2;-1) ( = ½.[
21
,uu
]).
Gọi HK là đoạn đường vuông góc chung của
D
,
D
’ với H
D
Î
D
Î
K,

’.
Ta có: H=( t; -7+2t;4), K(s;2+s;6+2s)
Þ

HK
( s – t; 9 + s – 2t; 2 + 2s) cũng là VTCP của
d.
Suy ra :
1
22
2
29
4
-
+
=
-
-
+
=
-
ststs

Þ
s =
21
11
- , t =
7
23

Þ
H( )4;
7
3
;
7
23
-
Vậy phương trình tham số đường vuông góc chung là:
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
-=
=
+=
tz
ty
tx
4
2
7
3
4
7

23
.