Tài liệu Chuyên đề lượng giác cực hay pptx

SỞGIÁODỤCVÀĐÀOTẠOTỈNHPHÚYÊN
TrườngTHPTChuyênLươngVănChánh
ĐỀTÀIKHOAHỌC:
Mộtsốbàitoánlượnggiác
hayvàkhó
Tổ4
Lớp: Toán2
Niênkhoá:2008 –2011
Tp.TuyHoà,tháng1năm2010
Mụclục:
1 
ChươngI:Biếnđổilượnggiác
ChươngII: Ứngdụngcủalượnggiáctronghìnhhọc
ChươngIII:Phươngtrìnhlượnggiác
ChươngIV:Bấtphươngtrìnhlượnggiác
ChươngV:Bấtđẳngthứclượnggiác
2
CHNGI:
BINILNGGIC
Bi1:Cho
2 2 1 2
2 1
tan tan 2 tan tan 2 tan tan
2 2 2 2 2
n
n
n n
a a a a a
S a
-
-

= + + + .Tỡm lim
n
n
S
đƠ
Gii:
Tacú
2
2 tan
tan 2
1 tan
x
x
x
=
-
2
tan 2 tan2 tan 2tanx x x x - =
2
tan tan 2 tan 2 2tanx x x x = - (1)
Thayvo(1)ricngvtheov,ta c:
2
2 2
2 2
2 2 2 3
3 2 2 3
1 2 1
1 1
tan tan tan 2tan
2 2

2 tan tan 2 tan 2 tan
2 2 2 2
2 tan tan 2 tan 2 tan
2 2 2 2

2 tan tan 2 tan 2 tan
2 2 2 2
n n n
n n n n
a a
a a
a a a a
a a a a
a a a a
- -
- -
ỡ
= -
ù
ù
ù
= -
ù
ù
ù
+ = -
ớ
ù
ù
ù

ù
= -
ù
ù
ợ
tan 2 tan
2
n
n
n
a
S a = -
lim tan lim 2 tan
2
n
n
n
n n
a
S a
đƠ đƠ
ổ ử
ị = -
ỗ ữ
ố ứ
tan
n
S a a = -
Bi2: Cho
2

cos cos cos
2 2 2
n
n
x x x
P = .Tỡm lim
n
n
P
đƠ
Gii:
T
sin 2
sin 2 2sin cos cos
2sin
a
a a a a
a
= ị =
2
2
2
3
3
1
sin
sin
2
co s , co s
2 2

2 sin 2 sin
2 2
sin
2
co s ,
2
sin
2
s in
2
co s
2
2 sin
2
n
n
n
x
x x x
x x
x
x
x
x
x
x
-
ỡ
ù
= =

ù
ù
ù
ù
ù
ù
=
ớ
ù
ù
ù
ù
ù
=
ù
ù
ợ
3
Nhõnvtheovtac:
sin
2 sin
2
n
n
n
x
P
x
=
ị

sin
lim lim
2 sin
2
n
n n
n
n
x
P
x
đƠ đƠ
=
sin
lim
sin
2
2
n
n
n
x
x
x
x
đƠ
=
ổ ử
ỗ ữ
ỗ ữ

ỗ ữ
ố ứ
=
sin x
x
Bi3:Rỳtgnbiuthc:
2 2 2 2
n
n
A = + + +
14444244443
Gii:
Tacúvin=1:
1
2 2cos
4
A

p

= =
Taschngminh: 2cos
2
n
n
A

p

= (*)

Vin=1,ngthcỳng
Gis(*)ỳngtin=k,tcl:
2cos
2
k
k
A

p

=
Tachngminh(*)ỳngvin=k+1,tcl
1
1
2cos
2
k
k
A

p

+
+
=
Thtvy:
1
1
2 2 2
k

k
A
+
+
= + +
1442443
2
k
A = +
= 2(cos2 cos
2
k

p
p
+
1 1
4cos( )cos( )
2 2
k k

p p
p p

+ +
= + -
1
2cos
2
k

p

+
= (pcm)
Vytheonguyờnlớquynp,tacú :
2cos
2
n
n
A

p

=
4 
Bài4: Chovài(hoặctấtcả)cácsố
1 2 3
, , , ,
n
a a a a bằng+1vàcácsốcònlạicủachúngbằng1.
Chứngtỏrằng:
1 2 3 1 2 3
1 2
1
2 1
1 2 3

2sin 45
2 2 2

2 2 2 2
n
n
n
a a a a a a aa a
a
a a a a
-
æ ö
+ + + +
ç ÷
è ø
= + + + +
o
Chẳnghạnvới
1 2 3
1
n
a a a a = = = = = tađược:
1 1
1 1 1 45
2sin(1 )45 2cos 2 2 . 2
2 4 2 2
n n
n
- -
+ + + + = = + +
o
o
1442443

Giải:
Tasẽtiếnhànhtừcôngthứcnửagóc:
2sin 2 2cos
2

a
a
= ± - trongđódấu“+”hoặc”–“đượcchọnchophùhợpvớiquiluậtvề
dấucủahàmsin.Sửdụngcôngthứcnàytalầnlượtđịnhđượcsincácgóc:
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1
2 2 1

45 ; 45 ; 45 ; ; 45
2 2 2 2 2 2
n
n
a a a a a a a a a a
a a a a a a
a a a a
-
æ ö æ ö
æ ö
+ + + + + + +
ç ÷
ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
o o o o
Giảsửtađãxácđịnhđượcsingóc:

1 2 3 1 2 3
1 2
1
2 1

45
2 2 2
n
n
a a a a a a a
a a
a
-
æ ö
+ + + +
ç ÷
è ø
o
trongđó
1 2 3
, , , ,
n
a a a a lấycácgiátrịbằng+1hoặc1bởi
vì:
1 2 3 1 2 3
1 2
1
2 1

2 45

2 2 2
n
n
a a a a a a a
a a
a
-
æ ö
+ + + +
ç ÷
è ø
o
=
1 2 3 1 2 3
1 2
1
2 1

90 45
2 2 2
n
n
a a a a a a aa a
a
-
é ù
æ ö
± ± + + + +
ç ÷
ê ú

è ø
ë û
o o
trongđódấu“+”tươngứngvớia=1vàdấu”–
“ứmgvớia=1
Và
1 2 3 1 2 3
1 2
1
2 1

cos 90 45
2 2 2
n
n
a a a a a a aa a
a
-
é ù
æ ö
± ± + + + +
ç ÷
ê ú
è ø
ë û
o o
1 2 3 1 2 3
1 2
1
2 1


sin 45
2 2 2
n
n
a a a a a a a
a a
a
-
æ ö
= - + + + +
ç ÷
è ø
o
Ápdụngcôngthức 2sin 2 2cos
2

a

= ± - , tacó:
1 2 3 1 2 3
1 2
1
2 1

2sin 45
2 2 2
n
n
a a a a a a a

a a
a
-
æ ö
+ + + +
ç ÷
è ø
o
1 2 3 1 2 31 2
1
2 1

2 2sin 45 
2 2 2
n
n
a a a a a a aa a
a
-
æ ö
= ± + + + + +
ç ÷
è ø
o
Để ý rằng tất cả các góc được xét đều nhỏ hơn 90
o
về mặt giá trị tuyệt đối ( ngay cả
2
1 1 1 1
1 45 90 90 90

2 2 2 2
n n
æ ö
+ + + + = - <
ç ÷
è ø
o o o o
vàvìdấucủacácgócnàyđượcđịnhbởidấucủa
1
a ,nên
cănbậchaitrongcôngthứccuốiphảilấydấu“+”hoặc”–“tùytheodấucủa
1
a .Nóicáchkhácta
cóthểviết:
5 
1 2 3 1 2 3
1 2
1
2 1

2sin 45
2 2 2
n
n
a a a a a a a
a a
a
-
æ ö
+ + + +

ç ÷
è ø
o
1 2 3 1 2 31 2
1 1
2 1

2 2sin 45
2 2 2
n
n
a a a a a a aa a
a a
-
æ ö
= + + + + +
ç ÷
è ø
o
Giờtahãydùngcôngthứchiểnnhiên
1 1
2sin 45 2a a =
o
giúptasuyraliêntiếpcáchệthứcsau:
1 2
1 1 2
2sin 45 2 2
2
a a
a a a

æ ö
+ = +
ç ÷
è ø
o
1 2 3
1 2
1 1 2 3
2
2sin 45 2 2 2
2 2
a a a
a a
a a a a
æ ö
+ + = + +
ç ÷
è ø
o
……………………………………………
1 2 3 1 2 3
1 2
1
2 1
1 2 3

2sin 45
2 2 2
2 2 2 2
n

n
n
a a a a a a aa a
a
a a a a
-
æ ö
+ + + +
ç ÷
è ø
= + + + +
o
Bài5:Tìmđiềukiệnđốivớiavàbđểhàmsố:
2 sin cosy x a x b x = + + luônđồngbiến
Giải:
HàmsốcótậpxácđịnhD R =
Cóđạohàm ' 2 cos siny a x b x = + -
Trườnghợp1: 0 ' 2 0a b y = = Þ = >
x R " Î
Điềunàythỏamãnyêucầuđề bài
Trườnghợp2:
2 2
0a b + >
Tacó:
2 2
2 2 2 2
' 2 cos sin
a b
y a b x x
a b a b

æ ö
= + + -
ç ÷
+ +
è ø
Với
2 2
2 2
cos
sin
a
a b
b
a b

j
j

ì
=
ï
+
ï
í
ï
=
ï
+
î
( )

2 2
' 2 cosy a b x
j
= + + +
vì
( )
1 cos 1x
j
- £ + £ nên
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 cos 2a b a b x a b
j
Û - + £ + + + £ + +
Đểhàmsốluônđồngbiến:
' 0y Û ³
x R " Î
2 2
2 0a b Û - + ³
2 2
2a b Û + £
2 2
4a b Û + £
Kếiluận
2 2
4a b + £
(chúý
2 2
4a b + £ vẫnđúngkhi
0a b = =

)
6 
Bài6:
Chohàmsố
3
4y x mx = - .Tínhmđể 1y £ khi 1x £
Giải:
Thuận:vì 1x £ nêntachọn:
* 1 4x y m = Þ = -
Theogiả thiết 1y £ 4 1m Þ - £
Þ 1 4 1m - £ - £
Þ3 5m £ £
(1)
Theogiảthiết 1
2
1
1 £
-
Þ £
m
y
31
212
21
£ £ - Þ
£ - £ - Þ
£ - Þ
m
m
m

Kếthợp(1)và(2)suyram=3
Đảo:vớim=3 xxy 34
3
- = Þ
Theogiảthiết 1 £x

a a
 cos: = Î $ Û xR
Vậy
a a
 cos3cos4
3
- =y
13cos
3cos
£ = Û
= Û

a
a

y
y
Kếtluậnm=3
Bài7:Chứngminhrằngnếu )cos()sin( baam = = + trongđo

p
kba ¹ -
và
1 ¹m

thìbiểuthức
bmam
E
2sin1
1
2sin1
1
-
+
-
= khôngphụthuộcvàoavàb
Giải:
Tacó: )]()sin[(2sin babaa - + + =
)sin()cos()(sin
)sin()cos()cos()sin(
2
bababam
babababa
- + + + =
- + + - + =
)]cos())[sin(sin(
)sin()cos()(sin
)sin()cos()(cos1
)sin()cos()(sin12sin1
2
2
22
bambaba
babamba
babamba

babambamam
+ - - - =
- + - - =
- + - - - =
- + - + - = - Þ
Tươngtự )]cos())[sin(sin(2sin1 bambababm + + - - = -
1 1
sin( )[sin( ) cos( )] sin( )[sin( ) ( )]
1 1 1
sin( ) sin( ) cos( ) sin( ) cos( )
E
a b a b m a b a b a b mco a b
a b a b m a b a b m a b
= +
- - - + - - + +
é ù
= +
ê ú
- - - + - + +
ë û
7
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
1 2sin( )
sin( ) sin ( ) cos ( )
2
sin ( ) [1 sin ( )]
2
sin ( ) sin ( )

a b
a b a b m a b
a b m a b
a b m a b m
-
=
- - - +
=
- - - +
=
- + + -
2 2 2
2
sin ( ) cos ( )a b a b m
=
- + - -
2
1
2
m -
= (khụngph thucvoav b)
Bi8:Chodóys
{ }
n
u xỏcnhnhsau:
2,1),1t an(tan = - = nnnu
n
Chngminhrngtnticỏchngs
b a
, saochotacú

nnuuuS
nn

b a
+ = + + = tan
21
2,1 = "n
Gii:
Theocụngthccngcung,tacú 2,1 = "n
1tan
)1tan(tan
)1tan(tan
)1tan(tan1
)1tan(tan
1tan
- -
= - ị
- +
- -
=
kk
kk
kk
kk
Túsuyra:
n
n
n
kk
kk

kkS
n
k
n
k
n
k
n
- = -
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ - -
=
ỳ
ỷ
ự
ờ
ở
ộ
-
- -
= - =
ồ
ồ ồ
=
= =
1tan

tan
1tan
)1tan(tan
1
1tan
)1tan(tan
)1tan(tan
1
1 1
t
1tan
1
=
a
, 1 - =
b
khiú 2,1 = "n tacú:
nnS
n

b a
+ = tan
Vybitoỏncchngminhvistnticacỏchngs
b a
, nhtrờn
Bi9:Dóysxỏcnhnhsau:
ù
ợ
ù
ớ

ỡ
- =
=
+
12
2
1
0
nn
xx
ax
n=0,1,2
Bit 1 <a .Tỡmiukincaacỏcshngcadóytrờnụimtkhỏcnhau.
Gii:
Vỡ 1 <a nờntacú tht
a
cos =a vi

p a
< <0
Khiútacú:

a a a
a a
a

22
2
2
1

0
2cos4cos12cos2
2cos1cos2
cos
= = - =
= - =
=
x
x
x
Bngquinpdthy
a

n
n
x 2cos =
8
Gistacú mn < m
mn
xx = tcl
a a

mn
2cos2cos =
zkk
mn
ẻ + = ị ,222
p a a

mn

k
22
2
m
= ị

p
a

Lshut
oligis

p
a

lshut,tcl
q
p
=

p
a

Trongúp,q nguyờndngvnguyờntcựngnhau.
Khiútacú:
( )
qq
q
q
p

kkkk
kk

p
b p a
p
b a
p
a
+ = + = = 2222
Trongú
k

b
nhnmt trongcỏcgiỏ tr 0,1,2.2q1v N
k
ẻ
a

Vỡ
a

k
k
x 2cos = suyramimts
k
x trongdóyvụhn
{ }
2,1,0, =kx
k

sbng1phnttrongdóy
huhn
ỵ
ý
ỹ
ợ
ớ
ỡ
q
l
p

cos
vil=1,22q1
iuúcúnghatntin<msaocho x
n
=x
m
Vykhi 1 <a ,mishngcadóyụimtkhỏcnhau,iukincnvl

p
a

lsvụtvi
cos=a
Bi10:Cho
V
ABCcú

= = CBA 24 .Chngminhrng:

5
4
coscoscos
222
= + + CBA
Gii:
Trchttachngminhngthcsau:
( )
1
2
1
7
3
cos
7
2
cos
7
cos = + -

p p p

Thtvy,nhõnc2vcho
7
2
sin

p

,ta c

ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+ - =
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
- +
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
- - =
= + -
7
4
sin
7
3
sin
7
sin

2
1
7
2
sin
7
4
sin
2
1
7
sin
7
3
sin
2
1
7
sin
2
1
7
sin
2
1
7
sin
7
3
cos

7
sin
7
2
cos
7
sin
7
cos

p p p
p p p p p
p p p p p p p

VT
Nhng
7
3
7
4
p
p
p

- = ,nờn
7
3
sin
7
4

sin

p p

=
Vy
dpcmVP
VT
ị = =
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+ - =
7
sin
2
1
7
4
sin
7
3
sin
7
sin
2
1

p
p p p

Tgithittacú:
9 
7
4
;
7
2
;
7
24

p p p
p

= = = Û
ï
î
ï
í
ì
= =
= + +
Ù Ù Ù
Ù Ù Ù
CBA
CBA

CBA
( )
2
5
4
coscoscos
222
= + + CBA
( )
1
2
1
7
3
cos
7
2
cos
7
cos
2
1
7
cos
7
3
cos
7
2
cos

2
1
7
8
cos
7
4
cos
7
2
cos
2
1
2cos2cos2cos
5
4
2
2cos1
2
2cos1
2
2cos1
= + - Û
- = - - Û
- = + + Û
- = + + Û
=
+
+
+

+
+
Û

p p p
p p p
p p p

CBA
CBA
(1)đúng
Þ
2đúng
Bài11:Chodãysốxácđịnhnhưsau:
( )
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
- -
- +
=
=
+
3,2;
231

32
3
3
1
1
1
n
U
U
U
U
n
n
Tìm
2008
u
Giải:
Tacó: 32
32
32
6
cos1
6
cos1
12
tan - =
+
-
=
+

-
=

p
p
p

ViếtlạibiểuthứccủaU
n+1
dướidạngsau:
( )
1
12
tan1
12
tan
1

p
p

n
n
n
U
U
U
-
+
=

+
ĐặtU
n
=tanβthìtừ(1)suyra
( )
2
12
tan
1
÷
ø
ö
ç
è
æ
+ =
+

p
b

n
U
Vì
2
3
1
=U nêntừ(2)vànguyênlý quynạptadễ dàngsuyra:
( )
÷

ø
ö
ç
è
æ
- + =
12
1
6
tan

p p

nU
n
10
Vy:
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+ =
12
2007
6
tan
2008

p p

U
tan 167 tan
6 4 6 4
3
1
3 3
3
2 3
3 3 3
1
3

p p p p
p

ổ ử ổ ử
= + + = +
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
+
+
= = = +
-
-
*Chỳý:Bngcỏchgiihontontngt,talmcbitoỏnsau:
Cho 2
1
=U v

( )
112
12
1
+ -
- +
=
+
n
n
n
U
U
U
.TỡmU
2008
Do 12
8
tan - =

p

.Nờntasuyra
( )
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ

- + =
8
1tan

p
a
nU
n
vi
2arctan =
a

2tan
2008
= = ị
a
U
11 
CHƯƠNGII:
ỨNGDỤNGCỦALƯỢNGGIÁCTRONGHÌNHHỌC
Lượnggiáclàmộtcôngcụmạnhtrongtoánhọc,nóđượcứngdụngtronggiảicácdạngtoán
khác,điểnhìnhnhưhìnhhọc,khảosáthàmsố,chứngminhbấtđẳngthức… Cácbàitậpởchương
nàychủyếunêuranhữngvídụvềsửdụngcôngcụlượnggiácđểchứngminhnhữngbàitậpkhóvà
giớithiệucho cácbạnmộtsốbàitoánđặcbiệt.
Bài1:(ĐịnhlýStewart)
Cho ABCDlà1điểmtrêncạnhBC.ĐặtAD=d,BD=m,DC=n.Khiđótacócôngthứcsau:
(gọilà hệ thứcStewart):
Giải:
KẻđườngcaoAH xét2tam giácABD vàACDvà theođịnhlýhàmsốcosin,ta có:
Nhântừngvế(1) và(2)theothứtựvớin vàm

rồicộnglại,ta có:
Do nêntừ(3)suyra:
Định lýStewartchứngminhxong.
*Mở rộng:
1.Stewart(17171785)lànhàtoán họcvàthiênvăn họcngườiScotland.
2.Nếutronghệ thứcStewartxétAD làđườngtrungtuyếnthì từhệ thứcStewartcó:
(4)chínhlà hệthức xácđịnhtrungtuyếnquenbiếttrongtam giác
3.NếutronghệthứcStewartxétADlàphângiác.Khiđótheotínhchấtđườngphângiáctrongta
có:
TừhệthứcStewartcó:
12 
Chúý rằng:
Từ(5)và(6)suyra:
(7)chínhlà hệthức xácđịnhđườngphângiác .
Vậy,hệthứcStewartlàtổngquáthóacủahệthứcxácđịnhđườngtrungtuyếnvàđườngphângiác
đãquenbiết.
Bài2:Cho ABCgiảsửDvàElà2điểmtrêncạnhBCsaocho .Đườngtrònnộitiếp
các ABD và ACEtiếpxúcvớicạnhBCtươngứng tạiMvà N.Chứngminhrằng:
Giải:
Tacó:
Vậyđẳngthứccầnchứngminhtươngđươngvớiđẳngthứcsau:
(*)
Đặt
Ápdụngđịnh lýhàmsốsintrong các ABDvà ACE,ta có:
Trong ABEtheođịnh lýhàmsố sin,ta có:
Tươngtự:
13 
Thay(3)vào(1) có:
Thay(4)vào(2) có:
Do nêntừ(5)và (6)suyra:

Trong ABDta có:
Tươngtự:
Từđósuyra:
(8)
Từ(1)và(2)suyra:
Ápdụngđịnh lýhàmsốcosintrong cáctamgicasABDvà ACEtacó:
Tacó: và theo(8)có
(11)
Tươngtựtacó:
14 
(12)
Thay(11),(12)vào(1) có:
( ) (13)
Từ(9)và(13)có (14)
Từ(3)(4) và(14)suyra
Haysaukhithay
Tacó :
(15)
Thay(7)vào(15)có:
Hay (*)
Vậy(*)đúng vàlàđiềucầnchứngminh.
Bài3:(Địnhlí hàmsốcosthứnhấtvớitứgiác)
ChotứgiáclồiABCD,trongđó
·
·
, , , , ,AB a BC b CD c DA d ABC BCD
b g
= = = = = = AB=a,BC=b,CD
=c,DA=d.Chứngminhrằng:
( )

2 2 2 2
2 cos 2 cos 2 cosd a b c ab bc ac
b g b g
= + + - - - +
Giải:
GọiK,LtươngứnglàtrungđiểmACvàBDvàMlàtrungđiểmBC(ChỉxétkhiK ¹ L,tứclàkhi
ABCDkhôngphảilàhìnhbìnhhành,vìnếuABCDlàhìnhbìnhhànhthì
0
180 ; ,a c b d
b g
+ = = = và
kếtluậntrênlàđiềuhiểnnhiên)
Có2khảnăngxảyra:
1)NếuABkhôngsongsongvớiCD
Giảsử
·
·
AB CD E KML AED Ç = => =
VớitrườnghợpABcắtCDvềphíatrên,tacó:
·
( ) ( )
0 0 0 0
180 180 180 180AED
b g b g

é ù
= - - + - = + -
ë û
KhiABcắtCBvềphíadưới,tacó:
·

( )
0
180AED
b g
= - +
Trongcảhaitrườnghợpđềucó:
( )
cos cosAED
b g
= - +
15 
Trong D MKL,theođịnhlíhàmsốsin,tacó:
( )
( )
2 2 2
2 2
2
2 2
2
2 . cos
2 cos
4 4 2 2
cos (1)
4 4 2
KL MK Ml ML MK KML
a c a c
KL
a c ac
KL

b g
b g

= + -
= + + +
=> = + + +
TheocôngthứcEulervớitứgiác,tacó:
( )
( )
2 2 2 2 2 2 2
1
2
4
KL a b c d e f = + + + - -
Với ,e AC f BD = = ,thay(2)vào(1):
( )
2 2 2 2 2 2 2 2
2 cos (3)a b c d e f a b ac
b g
+ + + - - = + + +
Lạiápdụngđịnhlíhàmsốcos,tacó:
2 2 2
2 2 2
2 cos (4)
2 cos (5)
e a b ab
f c b bc

b
g

= + -
= + -
Thay(4)và(5)vào(3),tacó:
( )
( )
2 2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos 2 cos 2 cos
d e f b ac
a b c ab bc ac

b g
b g b g

= + - + +
= + + - - + +
2)NếuAB//CD
Khiđó
0
180
b g
+ =
Vậyđẳngthứctươngđươngvới:
( )
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2cos 2

2 cos ( ) 2 6
d a b c ab bc ac
d a b c b a c ac

b
b

= + + - - -
<=> = + + - - -
Thậtvậy,kẻAE//BC, theođịnhlíhàmsốcostrong D AEDtacó:
( ) ( )
( )
2
2 2
2 2 2
2 cos
2 cos 2
d b c a b c a
b c a b c a ac

g
b

= + - - -
= + + - - -
Vậy(6)đúng.Đóchínhlàđpcm.
*Chúý:
1.NhắclạicôngthứcEulersauđây:
ChotứgiáclồiABCD,trongđó , , , , ,AB a BC b CD c DA d AC e BD f = = = = = = .GọiKvàLlà
trungđiểmACvàBD.Khiđótacó:

( )
2 2 2 2 2 2 2
1
4
KL a b c d e f = + + + - -
ChứngminhcôngthứcEulernhưsau:
XéttamgiácALC,theotínhchấttrungtuyến:
( )
2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
2 2
4
2 2 2 2
2. 2.
4 4
4
1
4
LC LA AC
KL
BC CD BD AB AD BD
AC
a b c d e f
+ -
=
+ - + -
+ -

=
= + + + - -
16
úlpcm.
2.Tacúcỏchgiikhỏcchobitoỏntrờnnhsau:
Hinnhiờncú:
2 2 2 2
2 . 2 . 2 .
AD AB BC CD
AD AB BC CD AB BC AB CD BC CD
= + +
<=> = + + + + +
uuur uuur uuur uuur
uuuruuur uuur uuur uuur uuur
Theonhnghacatớchvụhngsuyra:
( )
2 2 2 2
2 cos 2 cos 2 cos ,d a b c ab bc ac AB CD
b g
= + + - - +
Do
( ) ( )
cos , cosAB CD
b g
= +
(Chỳýl
( )
( )
( )
( )

0 0
cos , cos 180 cos ,cos , cos 180 cos .AB BC BC CD
b b g g
= - = - = - = -
uuur uuur uuur uuur
=>pcm
Bi4:ChotamgiỏcABCcú
à
à
B C >
,giAH,AP, AMtng nglngcao,ngphõngiỏc
trongvngtrungtuynktA.t
ã
MAP
a
=
.Chngminhrng:
2
tan tan .cot
2 2
A B C

a

-
=
Gii:
Cỏch1:
1 1
. sin . sin

2 2
.sin .sin (1)
2 2
ABM ACM
MB MC
S S
c AM MAB b AM MAC
A A
c b
a a

=
=> =
=> =
ổ ử ổ ử
=> + = -
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
Theonhlớhmssin,t(1)tacú:
( ) ( )
2
sin sin sin sin
2 2
sin sin cos sin cos sin sin sin cos si n cos sin
2 2 2 2
cos sin sin sin sin cos sin sin
2 2
2cos sin sin cos 2sin cos cos sin
2 2 2 2 2 2
sin cos cos

2
A A
C B
A A A A
C C B B
A A
B c B C
A B C B C A B C B C
A B C

a a
a a a a
a a
a a
a

ổ ử ổ ử
+ = -
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
=> + = -
=> + = -
+ - + -
=> =
-
=>
( )
2
cos sin sin 2
2 2 2

A B C

a

-
=
Chiac2vca(2)cho
2
cos cos sin
2 2
A B C

a

-
tacú:
2
tan tan .cot
2 2
A B C

a

-
=
úlpcm.
Cỏch2:
17 
ĐườngphângiáctrongAPkéodàicắtđườngtrònngoạitiếp D ABCtạiI.KéodàiOIcắtđườngtròn
tạiJ.

DễdàngthấyrằngPATMlàtứgiácnộitiếp.
=>
·
·
PJM PAM
a
= =
Mặtkhác
·
2
B C
PIM
-
=
Từđósuyra:
( )
.
tan cot . 1
2 .
B C PM MI MI IJ
JM PM MJ IJ

a

-
= =
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
2
2
.

.
MI IJ IC
MJ IJ IJ
ì
=
ï
í
=
ï
î
Vậythayvào(1)tađược:
2
2 2
tan cot tan tan
2
B C IC
IJC
JC

a a

-
æ ö
= = =
ç ÷
è ø
Đólàđpcm.
Cách3:
Đẳngthức
2

tan tan .cot
2 2
A B C

a

-
=
( )
tan tan tan tan
2 2 2
tan
tan
2
1
tan tan
2 2
A B C B C
B C
A B C

a
a

- -
<=> =
-
<=> =
+
Theođịnhlíhàmsốtan,tacó

tan
2
tan
2
B C
b c
B C
b c
-
-
=
+
+
Vậytừ(1)suyra:
( )
2
tan tan cot
2
tan
2
tan
2
B C
b c
A
b c

a a
a

-
=
-
<=> =
+
KéodàiAbmộtđoạnBE=bc.APkéodàicắt ECtạiK
AI EC => ^
vàIE=IC
Tacó:
( )
tan
3
tan
2
IK
IK
AI
A EI
EI
AI

a

= =
DễthấyMI//BE(Đườngtrungbìnhtrong D BEC)
18
=>TheonhlớThalestacú:
( )
2
4

2
b c
IK MI IK MI IK b c
b c
EK AE EK IK AE MI EK b c
b
-
-
= => = => = =
-
- - +
-
Thay(4)vo(3)tacú:
tan
tan
2
b c
A
b c

a
-
=
+
.Vy(2)ỳng=>pcm.
Cỏch4:
ã
à
ã
à

à
à
à
à
à
à
ã
à
à
0
0
2
180
90
2 2 2
A
APB C MAC C
B C B C B C
C HAD
= + = +
- - - -
= + = - => =
Mtkhỏc:
ã
ã
( )
ã
à
à
ã

à
à
ã
à
à
tan tan
tan
2
tan tan
2
1 tan tan
2
HAM HAD
B C
HAM
B C
HAM
B C
HAM

a
= -
ổ ử
-
= -
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
-
-

=
-
+
Tacú:
( )
( )
( )
sin
1
tan cot cot 2
2 2 2sin sin
B C
HM HC HB
HAM C B
AH AH B C
-
-
= = = - =
Thay(2)vo(1),tacú pcm
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
2
sin
tan
2sin sin 2
tan

sin
1 tan
2sin sin 2
sin cos sin sin sin
2 2 2
sin sin sin cos
2 2
sin 1 cos cos cos
2
cos cos 1 cos cos
2
2cos
2
tan .
2
2
B C
B C
B C
B C
B C
B C
B C B C B C
B C
B C B C
B C
B C
B C B C B C
B C
B C B C B C

B C
B C

a

-
-
-
=
-
-
+
- - -
-
=
- -
ổ ử
+
ỗ ữ
ố ứ
-
+ - - - + + ộ ự
ở ỷ
=
-
- - + + - - ộ ự
ở ỷ
+
-
=

2
2
2 2
tan cot
2 2
sin
2
tan tan tan tan cot
2 2 2 2
B C B C
B C
B C A A B C

a

- +
=
+
- -
= => =
19
Cỏch5:
KAt//BC.TBdngngvuụnggúcviphõngiỏcAD.ngnylnltctAD,AM,AC,At
tiI,P,Q,R.DthyrngB,P,Q,Rlmthngimiuho.RừrngIltrungimPQ,vy
theohthcNewtonvihngimiuho,tacú:
(soletrong)
Thay(2)vo(1)tacúpcm.
*Chỳý:Vibitptrờnchỳngemara5cỏchchngminhkhỏcnhau.Núichung,mtbitoỏn
cúnhiucỏchgiiv5chaphilmtconslnngitadngvictỡmtũi.No,thkhỏm
phỏmtconngcỏokhỏcxem,cỏchgiith6anginhngnhtoỏnhctinngnht

y!
Bi5:
ChotamgiỏcABC.GiIvsOltõmngtrũnnitipvngoitiptamgiỏc.Kớhiud
e
=IO.
1.ChngminhcụngthcEulersauõy:
2 2
2
e
d R rR = -
2.Gistacú
2 1
sin sin sin
2 2 2 4
A B C -
= ,chngminhrngOI=r.
Gii:
1.Tacú
( ) ( )
2 2
. ' 1
I
O R OI IA IA R = - = ,viA'lgiaoimcaAIvingtrũn.
Tacú:
=> DIA'CcõnnhAnờnIA'=A'C
pdngnhlớhmssintrong D AA'C,
tac: ' 2 sin
2
A
A C R =

Vyt(1),tacú:
2 2 2 2
.2 sin 2
2
sin
2
e e
r A
R d R d R Rr
A
- = => = -
ã
ã ã
à
à
( )
2
2
2
.
.
tan tan cot
2
, 2
2
IB IP IR
IB IP IR
IA IA IA
A
IRA

B C
IRA IBD IBD

a

=
ổ ử
=> =
ỗ ữ
ố ứ
<=> =
-
= =
sin
2
'
2
'
2
r
IA
A
A C
A IC IAC ICA
A C
ICA
=
+
= + =
+

=
20 
CôngthứcEulerđượcchứngminh.
2.Ápdụngcôngthức 4 sin sin sin
2 2 2
A B C
r R = vàtheogiảthiếtsuyra:
2 2 2
2 2
2 1
2
4 4
2 2
2
r
r R R
R
r Rr R R
r R Rr
-
= => + =
=> + + =
=> = -
TheocôngthứcEulerởphần1,tađược
2 2
e
r d =
hayIO=r(đpcm)
Bài6:ChotamgiácABCvới
µ

µ
B C >
.GọiOlàtâmđườngtrònnộitiếp,O'làtâmđườngtrònngoại
tiếp,O
1
làtâmđườngtrònbàngtiếpgócAtamgiác.Chứngminhrằng:
1
2(sin sin )
tan '
2cos 1
B C
OO O
A
-
=
-
Giải:
Rõràng
0
1 1
OCO 90OBI = = =>BOCO
1
làtứgiácnộitiếp.
GọiIlàtrungđiểmOO
1
·
·
µ
µ
µ

·
1
0
2
180
BIC BO C B C
A BIC
=> = = +
=> + =
=>ABIClàtứgiácnộitiếp.VậyInằmtrênđườngtrònngoạitiếp DABCvàIchínhlàgiaođiểmcủa
AO
1
vớiđườngtrònấy.
Dễthấy
º º
BI CI =
Ápdụngđịnhlíhàmsốcottrong D OO'O
1
,tacó:
( )
( )
1
1
2 2 2
1 1
1
'
' '
1
1

' '
cot ' *
4
1
2 2. . 'sin '
2
1
. 'sin '
2
OO O
OO O OO I
O O O O O O
OO O
S
S S OI IO OIO
OO IO OIO
OI O I
+ -
=
= =
=
=
Vì
( )
1
' 1
1
' . sin 1
2 2 2
OO O

B C B C
OIO S R OO
- -
= => =
Ápdụngđịnhlíhàmsốsintrong D BOC,tacó:
(vớichúýlàđườngtrònngoạitiếp DBOCchínhlàđườngtrònngoạitiếptứgiácBOCO
1
cóđường
kínhOO
1
)
1 1 1
sin sin cos
2 2
B C A
BC OO BOC OO OO
+
= = =
Mặtkháctheođịnhlíhàmsốsintrong D ABCtacó:
( )
1 1
2 sin
2 sin cos 4 sin 2
2 2
BC R A
A A
R A OO OO R
=
=> = => =
21 

Thay(2)vào(1)có:
( )
1
2
'
2 sin sin 3
2 2
OO O
A B C
S R
-
=
Lạicó:
( )( )
2 2 2 2 2 2
1 1 1
2 2 2 2
' ' 2 ' 2
2 8 sin 2 2co s 1 4
2
O O O O OO O I OI OO
A
R R R A
+ - = + -
= - = -
Thay(4)vào(3)tađược
( )
( )
1
1

2cos 1 2cos 1
cot '
2 sin sin
4sin cos
2 2
2 sin sin
tan '
2cos 1
A A
O OO
B C B C
B C
B c
O OO
A
- -
= =
- -
-
-
=> =
-
Đólàđpcm.
Bài7:(ĐịnhlíSteinerLemusvềtamgiáccân)
Cho D ABCcó
b c
= l l .ChứngminhrằngABClàtamgiáccânđỉnhA.
Giải:
Tacó
( )

2 cos
2
2 cos
2
2 cos 2 cos
2 2
1 1 1 1 1 1
1
cos cos
2 2
b
c
b c
B
ac
a c
C
ab
a b
B C
ac ab
a c a b
B C
a c a b
=
+
=
+
= <=> =
+ +

æ ö æ ö
<=> + = +
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
l
l
l l
Giảthiếtphảnchứng
b c ¹
,khôngmấttínhtổngquát,giảsửb>c
0
90 0 cos cos
2 2 2 2
1 1
cos cos
2 2
1 1
B C B C
b c
B C
b c
c b
> => > > > => <
=> >
> => >
VậyVP(1)>VT(1).Điềunàyvôlí,chứngtỏgiảthiếtphảnchứnglàsai,nênb=c.
DođóABClàtamgiáccânđỉnhA(đpcm).
*Chúý:
1.JacobSteiner(17961863)lànhàhìnhhọcnổitiếngngườiThuỵSĩ.ĐịnhlíSteinernàycóhàng
chụccáchchứngminhkhácnhau,trongđócáchchứngminhtrênlàcáchduynhấtsửdụngcáckiến

thứclượnggiác.
22 
2.Sauđâychúngemxinđưarahaicáchchứngminh"philượnggiác"đẹpmắtđểbạnđọcthưởng
thức.
Cách1:(Tácgiảlà2kĩsưngườiAnhG.JylbertvàD.Mac  Donnell,đượccôngbốtrêntạpchí
"AmericanMathematicalMonthly"vàonăm 1963vàđượccoilàcáchgiảiđơngiảnnhấttạithời
điểmnày.)
Bổđề:TrongtamgiácABC,nếu
µ µ
A B < thìđườngphângiácANlớnhơnđườngphângiácBM.
Chứngminhbổđề:
LấyN'trênANsaocho
·
µ
'
2
A
MBN =
TừđósuyratứgiácABN'Mnộitiếp(vì
· ·
' 'MBN MAN =
)
Trongđườngtrònnày
·
·
¼
¼
' '
'
MAB N BA BM N A

BM N A
< => <
=> <
Mà
'N A AN BM AN < => <
Bổđềđượcchứngminh.
ĐịnhlíSteinerLenmuslàhệquảtrựctiếpcủabổđềtrên.
Cách2:(CủatácgiảR.W.Hegyđăngtrêntạpchí"TheMathematicalGazette"củaAnhvàonăm
1992.Đượcxemlàcáchgiảiđơngiảnnhất)
VẽhbhAMDNnhưhìnhvẽvớicáckíhiệugóc , , ,
a b g d

DoAN=BM=> D MBDcânởM
( )
1
a g b d
=> + = +
Nếu
a b
< ,từ(1)suyra
( )
2
g d
<
MặtkhácxéthaitamgiácNABvàMABcóABchung,BM=AN
Mà
a b
< nênBN>AM=>BN>DN(3)
Vìvậytrong D BDNtừ(3)suyra
( )

4
d g
<
(2)và(4)mâuthuẫn=>Vôlí
Vìlídotươngtự,
a
 khôngthểbéhơn
b
a b
=> = (đpcm)
Cácbạnđộcgiảthânmến!Kểtừnăm1840khiS.L.LenmusgửithưchonhàhìnhhọcJ.Steinerđến
nay đã 170 năm. Từ cách chứng minh của Steiner cho đến cách chứng minh gần đây nhất của
R.W.Hegy,conngườiđãdầnthựchiệnđượckhátvọngvươnđếncáiđơngiảnnhất.Chắcrằngquá
trìnhnàychưadừnglạiởđây!
3.CuốiphầnchúýnàyxingiànhchocáchgiảicủachínhJ.Steiner
Dựavàocôngthức:
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
2
b
c

ac a c b
a c
ab a b c
a b
ì
é ù
+ -
ë û
ï
=
ï
+
ï
í
é ù
+ -
ï
ë û
ï
=
+
ï
î
l
l
Từ
b c
= l l saukhibiếnđổi,đưađượcvềdạng:
23 
( ) ( )

( )
( )
2
2 0a a b c a b c a bc abc b c
b c
é ù
+ + + + + + - =
ë û
=> =
=>ABClàtamgiáccânđỉnhA
Bài8:(ĐiểmvàgócBroca)
ChotamgiácABC.Mlà1điểmtrongtamgiácsaocho
·
·
·
MAB MBC MCA
a
= = =
.Chứngminhrằng:
1.
cot cot cot cotA B C
a
= + +
2.
2 2 2 2
1 1 1 1
sin sin sin sinA B C
a

= + +

3.
( ) ( ) ( )
3
sin sin sin sinA B C
a a a a
= - - -
4.
3 3
. . 8 sinMA MB MC R
a
=
5.DiệntíchcủacáctamgiácMAB,MBC,MACtỉlệvới
2 2 2
1 1 1
, ,
a b c
Giải:
1.ĐặtMA=x,MB=y,MC=z
S
MAB
=S
1
,S
MBC
=S
2
,S
MCA
=S
3

NhưvậyS=S
1
+S
2
+S
3
Theo định lí hàm số cottrong các tamgiác MAB, MBC,
MCAtacó:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
cot
4 4 4 4
cot
4 4 4
cot cot cot cot
c x y a y z b z x a b c
S S S S
b c a a c b a b c
S S S
A B C

a
a
a

+ - + - + - + +
= = = =
+ - + - + -
= + +

<=> = + +
(đpcm)
2.Từcâu1tacó:
cot cot cot cotA B C
a
= + +
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
cot cot cot cot 2(cot cot cot cot cot cot )
cot cot cot 2
cot 1 1 cot 1 cot 1 cot
A B C A B B C C A
A B C
A B C

a
a

=> = + + + + +
= + + +
<=> + = + + + + +
<=>
2 2 2 2
1 1 1 1
sin sin sin sinA B C
a

= + + (đpcm)

3.Tacó
·
·
·
MAB MBC MCA
a
= = =
Rõràng
( )
1 1
. sin . sin
2 2
MAC
S MA AC A MC AC
a a
= - =
sin
sin( )
MA
MC A

a
a

=> =
-
Lýluậntươngtự,tacó
sin
sin( )
sin

sin( )
MC
MB C
MB
MA B

a
a
a
a

=
-
=
-
24 
Nhântừngvếbađẳngthứctrên,tacó:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3
3
sin
1
sin sin sin
sin sin sin sin 
A B C
A B C

a
a a a

a a a a

=
- - -
<=> = - - -
(đpcm)
4.GọiR
1
,R
2
,R
3
tươngứnglàbánkínhcácđườngtrọnngoạitiếpcủacáctâmgiácMBC,MAC,
MAB.
TheođịnhlíhàmsốsintrongtamgiácMBC,tacó:
( )
( )
1 1 1 1
1 1 1 1
2 sin 2 sin
2 sin 2 sin
BC a R BMC R B C C
B C BC a R C R C

p
a p

= = = - + - é ù
ë û
= = => = = - =

Líluậntươngtự:
2 3
2 sin , 2 sinb R A c R B = =
( )
1 2 3
3
1 2 3
8 sin sin sin
1
abc R R R A B C
R R R R
=> =
=> =
ÁpdụngđịnhlíhàmsốsintrongtamgiácMAB,tacó:
3
2 sinMB R
a
=
Tươngtự
( )
1
2
3
1 2 3
2 sin
2 sin
. . 8 sin 2
MC R
MA R
MA MB MC R R R

a
a
a

=
=
=> =
Thay(1)vào(2)tacó
3 3
. . 8 sinMA MB MC R
a
= (đpcm)
5.Tacó
1
. sin
2
MAC
S MC b
a
=
Theocâu4tacó:
1
2 sinMC R
a
= và
2
1
sin
2sin 2sin

MAC
a ab
R S
C C

a

= => =
Líluậntươngtự:
2
2
sin
2sin
sin
2sin
: : : :
sin sin sin
MAB
MBC
MAB MBC MCA
bc
S
A
ac
S
B
bc ca ab
S S S
A B C

a
a

=
=
=> =
: : : :
MAB MBC MCA
bc ac ab
S S S
a b c
<=> = (Theođịnhlíhàmsốsin)
Chia2vếđẳngthứctrênchoabc,tacóđpcm.
Bài9:(ĐịnhlíMorley)
ChotamgiácABC.Ởmỗigóccủatamgiácấyvẽhaiđườngchiagócđóralàmbaphầnbằngnhau.
CácđườngấycắtnhautạiX,Y,Z.ChứngminhrằngXYZlàtamgiácđều.
Giải: