SKKN các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO.....................
TRƯỜNG THCS TRẦN ...............................
*****    *****

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

CÁC PHƯƠNG PHÁP
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Giáo viên:.........................................
Tổ:Tốn,lí,hóa,sinh,cơng nghệ,tin
NĂM HỌC..........................................

1


MỤC LỤC
I/ ĐẶT VẤN ĐỀ (Lý do chọn đề tài)............................. ......................trang 3
II/GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ (Nội dung sáng kiến kinh nghiệm)............ trang 4
1)Cơ sở lý luận của vấn đề..................................................................trang 4
2)Thực trạng của vấn đề......................................................................trang 4
3)Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề.............................trang 5
4)Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm .............................................trang 19
III/KẾT LUẬN....................................................................................trang 20

2


CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
*****    *****

I. ĐẶT VẤN ĐỀ : (Lý do chọn đề tài)
-Để rèn luyện kỹ năng, phương pháp giải toán cho học sinh ngoài việc trang bị cho học
sinh kiến thức cơ bản, người thầy giáo cần giúp các em tổng hợp phân loại các phương pháp giải
và các dạng thường gặp để các em dễ nhớ, dễ vận dụng.
- Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó và rộng của bộ mơn Tốn nhưng
nhờ các bài tập về bất đẳng thức mà học sinh có thể hiểu kĩ hơn, sâu hơn về giải và biện luận
phương trình, bất phương trình; Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức, về mối liên hệ
giữa các yếu tố trong tam giác và trong q trình giải tốn khả năng tư duy sáng tạo của người
học được phát triển mạnh. Thực tế khi giải các bài tập về bất đẳng thức học sinh thường gặp
nhiều khó khăn vì cách giải chúng khơng hồn tồn có một mẫu quy tắc nào như ở một số mảng
kiến thức khác.
-Qua nhiều năm giảng dạy tốn ở trường phổ thơng, là người thầy, tôi thường trăn trở suy
nghĩ, thu thập tài liệu, cố gắng sắp xếp hợp lý một số phương pháp và bài tập về chứng minh bất
đẳng thức với mong muốn giúp học sinh tự tin hơn khi đứng trước một số bài toán về bất đẳng
thức cụ thể là các bài toán chứng minh bất đẳng thức.
- Phạm vi và giới hạn bài viết.
Khn khổ bài viết có hạn nên tôi muốn tổng hợp phân loại các phương pháp chứng minh
bất đẳng thức và các ví dụ áp dụng dành cho học sinh THCS đặc biệt là học sinh khá giỏi lớp 8; 9.

3


II.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: (Nội dung sáng kiến kinh nghiệm)
1)Cơ sở lý luận của vấn đề:
- Vận dụng tốt phương pháp phù hợp để giải các bất đẳng thức, Học Sinh sẽ tiết kiệm được
thời gian, bài giải gọn .
- Bất đẳng thức là một kiến thức khó nhưng khơng thể thiếu trong vốn kiến thức của Học
Sinh phổ thông, nhất là học sinh khá giỏi.
-Khi vận dụng phương pháp phù hợp , Học Sinh sẽ biến đổi nhanh gọn bất ngờ, đầy hứng
thú, kích thích và phát triển tinh thần say mê , thích thú học tốn.

2)Thực trạng của vấn đề:
- Học Sinh thường gặp những bài toán về bất đẳng thức mà không biết phải sử dụng phương
pháp nào để chứng minh nên lúng túng trong biến đổi,tính tốn
- Để có cơ sở vận dụng tốt phương pháp chứng minh bất đẳng thức các em cần nắm vững
kiến thức cơ bản về bất đẳng thức.Nếu không dễ bị dẫn đến khó khăn ,bế tắc.
* Kiến thức cần nắm vững:
A. Định nghĩa bất đẳng thức: Với hai số a, b bất kỳ ta nói rằng a ≥ b ⇔ a -b ≥ 0
a ≤ b ⇔ a -b ≤ 0
B. Tính chất:
1. a > b ; b >c ⇒ a > c
2. a >b ⇒ a + c > b + c
3. a > b ; c > 0 ⇒ ac > bc
a > b ; c < 0 ⇒ ac < bc
5. a > b ; c > d ⇒ a + c > b + d
a>b;c6. a > b ≥ 0 ⇒ ac > bd
7 a > b > 0 ; 0 < c < d⇒

a
b
>
c
d

8. a > b > 0 ⇒ an > bn
a > b ⇔ an > bn (n lẻ)
a 〉 b ⇔ an > bn ( n chẵn )

9. Nếu m > n >0 thì a >1 ⇒ am > an
4

a =1 ⇒ am = an
0 < a < 1 ⇒ am = an
10. a > b , ab > 0 ⇒

1 1
<
a b

C. Các hằng bất đẳng thức:
1. a2 ≥ 0 với mọi a. Dấu bằng xẩy ra ⇔ a = 0
2. a ≥ 0 với mọi a. Dấu bằng xẩy ra ⇔ a = 0
3. a ≥ a với mọi a. Dấu bằng xẩy ra ⇔ a ≥ 0
4. a + b ≤ a + b với mọi a,b. Dấu bằng xẩy ra ⇔ ab ≥ 0
5. a − b ≥ a - b với mọi a,b. Dấu bằng xẩy ra ⇔ ab > 0 và a ≥ b
3)Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề:
-Để học sinh vận dụng tốt các phương pháp chứng minh bất đẳng thức ngồi việc nắm vững
lí thuyết ,các em phải nhớ dạng và phương pháp thích hợp
Học Sinh cần:
o Học thuộc lòng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức
o Biết phối hợp với một số kiến thức khác
o Kết hợp với biến đổi, tính tốn , rút gọn .
-Để học sinh có kết quả tốt thì học sinh cần nắm chắc nội dung và cách giải quyết một số bài
toán chứng minh bất đẳng thức sau:
*11 PHƯƠNG PHÁP :Mỗi phương pháp có:1/ Phương pháp giải
2/Ví dụ áp dụng
3/ Bài tập tương tự
1. Phương pháp sử dụng định nghĩa:
1.1. Phương pháp giải: Muốn chứng minh A > B hãy xét hiện A - B. Nếu hiện A - B dương thì

khẳng định được A > B là bất đẳng thức cần chứng minh.
1.2. Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Cho a,b,c > 0. chứng minh rằng (a + b + c) (
Giải: Xét hiệu H = (a + b + c) (
=(
=

1
1 1
+ + )≥9
a
b c

1
1 1
+ + )-9
a
b c

a
b
a
c
b
c
+ - 2) + ( + - 2) + ( + - 2)
b
a
c
a

c
b

( a − b) 2
ab

+

( a − c) 2
ac

+

( b − c) 2
bc
5


Do a,b,c > 0 ⇒ H ≥ 0 Theo định nghĩa bất đẳng thức:
⇒ (a + b + c) (

1
1 1
+ + )≥ 9
a
b c

Dấu = xẩy ra ⇔ H = 0 ⇔ a = b = c
a3 + b3  a + b 
≥

Ví dụ2: Cho a > 0, b > 0. chứng minh rằng:

2
 2 
a3 + b3  a + b 
−

2
 2 

Giải: Xét hiệu: A =

3

3

Bỏ ngoặc, phân tích thành nhân tử ta được: A =

3
(a + b) (a - b)2 Vì a > 0 , b > 0 ⇒ a + b > 0 mà
8

(a - b)2 ≥ 0 ⇒ A ≥ 0
Theo định nghĩa ⇒

a3 + b3
2

a +b


 2 

3

≥ 

Dấu bằng xẩy ra ⇔ a = b
1.3. Bài tập tương tự:
Bài 1: Chứng minh:

a
b
≥ 2 với ab > 0
+
b
a

Bài 2: Chứng minh: x2 + y2 + z2

≥

2xy + 2yz - 2x

Bài 3: Cho a,b,c > 0 chứng minh:
a2
+
b2 + c2

b2
c2 + a2

c2
a
≥
2
2
b+c
a +b

+

+

b
c
+
c+a
a+b

2. Phương pháp sử dụng tính chất:
2.1. Phương pháp giải: Sử dụng một hay nhiều tính chất đã nêu ở 2.2 để biến đổi. Từ đó khẳng
định bất đẳng thức cần chứng minh
2.2. Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Cho a, b > 2. Chứng minh ab > a + b
Giải: Ta có: a > 2 , b > 0 ⇒ ab > 2b (1) (Tính chất 3)
b > 2 , a > 0 ⇒ ab > 2a (2) (Tính chất 3)
Từ (1) và (2) ⇒ 2ab > 2 (a + b) (Tính chất 4)
⇒ ab > a + b

Ví dụ 2: Cho x

≥

0, y

≥

0, z

(Tính chất 3)
≥

0. Chứng minh rằng:

(x + y) (y + z) (z + x)

≥

8xyz
6


(x-y)2 ⇒ x2 - 2xy +y2 ≥ 0

Giải: Ta có:

⇒ x2 + 2xy +y2 ≥ 4xy (Tính chất 2)
⇒ (x+y)2 ≥ 4xy (1)

Tương tự ta có: (y+z)2

≥

(x+z)2

4yz (2)

≥

4xz (3)

Nhân từng vế (1),(2),(3) ⇒ [(x+y)(y+z)(x+z)]2 ≥ (8xyz )2 (Tính chất 6)
⇒ (x+y)(y+z)(x+z)

≥ 8xyz

(Tính chất 8)

2.3. Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho a + b > 1. Chứng minh rằng a4 +b4 >
Bài 2: Chứng minh rằng:

1
8

a2
b2
c2
c
b

≥
+
+
+
2
2
2
b
c
a
b
a

+

a
c

Bài 3: Cho x + y = 2. Chứng minh : x4 + y4 ≥ 2
3. Phương pháp phân tích: ( Biến đổi tương đương)
3.1. Phương pháp giải: Xuất phát từ bất đẳng thức cần chứng minh ta biến đổi nó tương đương
với một bất đẳng thức khác mà ta đã biết là đúng từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là
đúng.
3.2. Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (a + b)2 ≤ 2 (a2 + b2) với mọi a , b.
Giải:

(a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)

(1)

⇔ a2 +2ab +b2 - 2a2 - 2b2 ≤ 0
⇔ -(a2 - 2ab + b2) ≤ 0
⇔ -( a - b)2 ≤ 0

(2)

Bất đẳng thức (2) luôn đúng ⇒ bất đẳng thức (1) đúng (đpcm)
Ví dụ 2: Cho 2 số a, b thoả mãn: a + b = 1
Chứng minh: a3 + b3 +ab ≥
Giải: (1) ⇔ a3 + b3 +ab -

1
2

≥

1
2

(1)

0

⇔ (a + b) (a2- ab + b2) +ab -

1
2

≥

0

7


⇔ a2- ab + b2 + ab ⇔ a2 + b2 -

1
2

≥

1
2

≥

0 (vì a + b = 1)

0

⇔ 2a2 + 2b2 - 1 ≥ 0
⇔ 2a2 + 2(1 - a)2 - 1 ≥ 0 ( vì b = 1 - a)
1
2

⇔ 4 (a -

)2 ≥ 0

(2)

Bất đẳng thức (2) luôn đúng mà các phép biến đổi trên là tương đương
⇒ (1) đúng .

Dấu bằng xảy ra ⇒ a =

1
=b
2

3.3. Bài tập tương tự

≥

Bài 1: Với mọi a, b chứng minh a4 + b4
Bài 2: Cho a > 0, b > 0. Chứng minh

a
b

a3b + ab3
− a≥ b−

b
a

x6 y 6
Bài 3: Chứng minh x + y ≤ 2 + 2 với x ≠ 0, y ≠ 0

y
x
4

4

4. Phương pháp tổng hợp:
4.1. Phương pháp giải: Từ một bất đẳng thức đã biết là đúng, dùng các phép biến đổi tương
đương biến đổi bất đẳng thức đó về bất đẳng thức cần chứng minh.
Phương pháp giải này làm cho học sinh thấy khó ở chỗ là không biết nên bắt đầu từ bất đẳng
thức nào nhưng nếu biết phương pháp giải này ngược với phương pháp phân tích thì cũng rất dễ
tìm ra bất đẳng thức xuất phát.
4.2. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Cho a, b

≥

Giải: Theo giả thiết a, b
Ta có: ( a - b)2

≥

a+b
≥ 2 ab (Bất đẳng thức Côsi)
2

0. Chứng minh

≥

0 ⇒ ab

≥

0 ⇒

ab xác định.

0

≥ 0
⇔ a2 + 2ab +b2 ≥ 4ab
⇔ ( a - b)2 ≥ 4ab
⇔ a2 - 2ab +b2

8


≥

⇔a+b

2 ab (vì a + b

a+b
≥ ab (đpcm).
2

⇔

≥

0)

Dấu “ =” xảy ra ⇔ a = b.

Ví dụ 2: Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng:

( a + c) 2 + ( b + d ) 2

a2 + b2 + c2 + d 2 ≥

Ta có: (ad - bd)2

Giải:

≥

⇔ a2d2 - 2adbc + b2c2

0

≥

0

≥
⇔ a2d2 - 2adbc + b2c2 + a2c2 + b2d2 ≥
⇔ a2d2 - 2adbc + b2c2 + a2c2 + b2d2

a2c2 + b2d2
a2c2 + 2acbd + b2d2

⇔ a2(c2 + d2) + b2(c2 + d2) ≥ (ac + bd)2
⇔

(a

2

)(

⇔ a2 + b2 + 2
⇔(
⇔

(a

)

+ b 2 c 2 + d 2 ≥ ac + bd ( vì ac + bd > 0)

2

(a

)(

)

+ b 2 c 2 + d 2 + c2 + d2

2

)(

) ≥

+ b 2 c 2 + d 2 )2

a2 + b2 + c2 + d 2 ≥

≥

2ac + 2bd + a2 + b2 + c2 +d2

(a + c)2 + (b + d)2

( a + c ) 2 + ( b + d ) 2 (đpcm). Dấu “=” xảy ra

⇔

a c
=
b d

Chú ý: với a, b, c, d >0 thì các phép biến đổi trong cách giải trên là tương đương.
4.3. Bài tập tương tự: Chứng minh các bất đẳng thức
Bài 1: a2 + b2 + c2

≥

ab + bc + ca với mọi a, b

Bài 2: (x-y)2+ (y -z)2 + (z -x)2 ≤ 3(x2 + y2+z2) với mọi x, y, z
3

a3 + b3  a + b 
≥
Bài 3:
 với a > 0 , b > 0
2
 2 

5. Phương pháp phản chứng:
5.1. Phương pháp giải: Nếu bài toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức A
( hoặc A < B) thì ta giả sử A < B (hoặc A

≥

≥

B

B). Từ điều mà ta vừa giả sử cùng với giả thiết của bài

toán ta suy ra một điều mâu thuẫn với giả thiết với các kiến thức đã học. Cuối cùng ta khẳng định
kết luận của bài toán A

≥

B ( hoặc A < B) là đúng.

Giải như vậy gọi là phương pháp phản chứng.

9


5.2. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Cho a2 + b2 ≤ 2 . Chứng minh: a + b ≤ 2
Giải: Giả sử: a + b > 2
⇔ a2 + 2ab + b2 > 4

(1)

Ta có: (a - b)2 ≥ 0 ⇔ a2 - 2ab + b2 ≥ 0
⇔ 2ab ≤ a2 + b2
⇔ a2 + b2 + 2ab ≤ 2(a2 + b2)

Mặt khác theo giả thiết ta có: a2 + b2 ≤ 2
⇔ 2(a2 + b2) ≤ 4

Suy ra: a2 + b2 + 2ab ≤ 4 (2) mâu thuẫn với (1). Vậy phải có a + b ≤ 2
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Nếu a + b + c > 0; abc >0 , ab + bc + ac > 0
thì a > 0, b > 0, c > 0.
Giải: giả sử a ≤ 0
Nếu a = 0 thì abc = 0 trái với giả thiết abc > 0
Nếu a < 0 : do a + b + c > 0 nên b + c > 0
Do abc > 0 nên bc < 0
⇒ a(b + c) + bc < 0

Hay ab + ac + bc < 0 trái với giả thiết ab + ac + bc > 0
Vậy a > 0. Tương tự ta chứng minh được b > 0, c > 0
5.3. Bài tập tương tự:
Bài 1: cho các số a, b, c , m, n, p thoả mãn: ap - 2bn + cm = 0 và ac - b2 = 0
chứng minh mp - n2 ≤ 0
Bài 2: chứng minh rằng: Nếu a ≥ 3; b ≥ 3; a2 + b2 ≥ 25 thì a + b ≥ 7
Bài 3: Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh a + b ≤ 2
6. Phương pháp quy nạp toán học:
6.1. Phương pháp giải: Nếu cả 2 vế của bất đẳng thức phải chứng minh đều phụ thuộc vào đối số
tự nhiên n thì có thể dùng phương pháp quy nạp tốn học. Khi đó địi hỏi phải chứng minh:
+ Bất đẳng thức đúng với n = 1 (hoặc đúng với n = n 0 là giá trị tự nhiên bé nhất thừa nhận được
của n theo yêu cầu của đề bài)
+ Thừa nhận bất đẳng thức đúng với n = k (k > 1 hoặc k > n 0) rồi chứng minh bất đẳng thức đúng
với n = k + 1.
10


6.2. Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 3 thì 2n > 2n + 1 (1)
Với n= 3 ta có 23 = 8 ; 2n + 1 = 7 ⇒ 2n > 2n + 1 đúng với n = 3

Giải:

Giả sử (1) đúng với n = k (k ∈ N , k ≥ 3 )
Tức là 2k > 2k + 1. Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1
hay 2k+1 > 2(k+1) +1
hay 2k+1 > 2k+3

(2)

Thật vậy: hay 2k+1 =2.2k mà 2k > 2k +1
⇒ 2k+1 > 2. (2k +1) = (2k+3)+(2k-1) > 2k+3 (vì 2k -1>0)
⇒ (2) đúng với ∀k ≥ 3

Vậy 2n > 2n + 1 với mọi n nguyên dương và n ≥ 3.
Ví dụ 2: chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 1 thì (n+1)(n+2)(n+3)….2n > 2n (1)
Giải: Với n = 2 thì (1) đúng với n = k (k ∈ N, k ≥ 2) tức là(k+1)(k+2)(k+3)….2k > 2k.
Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1 tức là phải chứng minh
(k+2)(k+3)(k+4)…2(k+1) > 2k+1

Hay (k+2)(k+3)(k+4)…(2k+2) > 2k+1

Thật vậy: Theo giả thiết quy nạp ta có:
(k+2)(k+3)(k+4)…2k > 2k
⇒ (k

+1)(k+2)(k+3)…(2k)(2k+1) > 2k

⇒ 2(k

+1)(k+2)(k+3)…(2k)(2k+1) > 2.2k

⇒ (k+2)(k+3)…(2k)(2k+1)(2k+2)

> 2k+1

Vậy bất đẳng thức (1) đúng với mọi số tự nhiên n >1 nghĩa là:
(n+1)(n+2)(n+3)….2n > 2n
6.3. Bài tập tương tự

Bài 1: Cho a ≥ 0, b ≥ 0, n ∈ N. Chứng minh rằng
n

an + bn
a +b

 ≤
2
 2 

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ≥ 3
thì n2 > n + 5
Bài 3: Chứngminh rằng vớimọi số nguyên dương n thì
1
1
1
+
+ ... +
>1
n +1 n + 2
3n + 1
11


7. Phương pháp xét các khoảng giá trị của biến:
7.1. Phương pháp giải: Có những bài tốn u cầu chứng minh bất đẳng thức A(x) > 0 mà không
cho thêm giả thiết nào nữa ta có thể suy nghĩ theo cách giải sau: Nếu biểu thức A(x) viết được về
dạng tổng các hạng tử nx(x-a) thì ta xét các khoảng giá trị của biến x chẳng hạn như x ≥ a và x <
a để sử dụng định nghĩa bất đẳng thức x ≥ a ⇔ x − a ≥ 0 hay
x < a ⇔ x -a < 0.

Trong trường hợp bất đẳng thức cần chứng minh chưa có dạng A(x) > 0 hay A(x) < 0 trước hết ta
chuyển vế để đưa về dạng đó.
7.2. Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Chứng minh x10 -x9 +x4 - x+ 1 >0
Giải:
Xét A = x10 -x9 +x4 - x+ 1
= x9(x-1) + x(x3 -1) +1

(1)

Hoặc A = x10 + x4(1-x5) +(1-x)

(2)

+ Nếu x ≥ 1 ⇒ x9 > 0; x-1 ≥ 0; x3+1 ≥ 0
Nên từ (1) ⇒ A > 0
+ Nếu x < 1 ⇒ 1-x5 > 0; 1-x > 0 mà x10 ≥ 0 và x4 ≥ 0 nên từ (2) ⇒ A > 0.
Ví dụ 2: Chứng minh 12x4 + 8x3 +11x2 +7x+10 >0
Giải: xét B = 12x4 + 8x3 +11x2 +7x+10 (1)
Hoặc

B= 10(x4 + x3 +x2 +x+1) + 2x4 +x2 -2x3 -3x (2)

+ Nếu x ≥ 0 thì từ (1) ⇒ B > 0 ( vì x4 + x3 +x2 +x+1 >0 tương tự ví dụ 1 và 2x 4 +x2 > 0; -2x3 -3x >
0 ( do x<0)
Vậy B > 0 (đpcm)
7.3. Bài tập tương tự
Bài 1: chứngminh x8 +x4 +1 > x7 + x
Bài 2: Chứngminh x6 - x5 + x4- x3+x2 - x + 1 > 0
Bài 3: Chứng minh x6 - x5 + x4- x3+x2 - x +

3
>0
4

8. Phương pháp làm trội ( hoặc làm giảm)
8.1. Phương pháp giải: Để chứng minh A < B ta làm trội A thành C (A < C) rồi chứng minh C ≤
B (biểu thức C đóng vai trò trung gian để so sánh A và B)
12


Tương tự đối với phương pháp làm giảm
8.2. Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2 ta có:
A=

1
1
1 1
+ 3 + ... + 3 <
3
4
2
3
n

Giải: Làm trội mỗi phân số ở A bằng cách giảm mẫu
Ta có:

1

1
1
1
< 3
=
=
3
2
k
k − k k k − 1 ( k − 1) k ( k + 1)

(

Do đó: A <
Đặt C =

Vậy:

)

1
1
1
1
1
1
+ 3
+ ... + 3
=
+

+ ... +
( n − 1) n( n + 1)
2 −2 3 −3
n − n 1.2.3 2.3.4
3

1
1
1
+
+ ... +
1.2.3 2.3.4
( n − 1) n( n + 1)

=

1 1
1
1
1
1
1 
−
+
−
+ ... +
−

2 1.2 2.3 2.3 3.4
( n − 1) n n( n + 1) 

=

1 1
1  1
1
1
−
= −
<


2  2 n( n + 1)  4 2n( n + 1) 4

1
1
1 1
+ 3 + ... + 3 <
3
4
2
3
n

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2 ta có:
1
2

1
3

A = 1+ + + ... +
Giải:

1
2

1
2 −1
n

1  1 1 1 1  1 1
1
1 
 1
+ + +  +  3 + + ... +  + ... +  n −1 + ... + n

2
3  2
5 6 7 2
9
15 
2 − 1
2

A= 1 +  +  + 

ở mỗi nhóm trong A ta làm trội bằng cách thay các phân số bởi phân số lớn nhất trong nhóm, ta
được

1
2

A< 1 + .2 +

1
1
1
.4 + 3 .8 + ... + n −1 .2 n −1 =
2
2 .
2
2

11+412
+ ...
+1 = n
43
n

Vậy A < n (đpcm)
8.3. Bài tập tương tự
Bài 1: Cho A =

2 4 6 200
. . ...
1 3 5 199

Bài 2: Chứng minh:

Chứng minh 14 < A < 20

1
1
1
1
+
+
+ ... +
< 2 Với n nguyên dương
n +1 n + 2 n + 3
3n + 1
13


9. Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức kinh điển: ( bất đẳng côsi và bất đẳng thức
bunhiacốpxki)
9.1. Phương pháp giải: Để chứng minh một bất đẳng thức nào đó ngồi các cách đã giới thiệu ta
có thể sử dụng các bất đẳng thức kinh điển. Trong phạm vi chương trình THCS , tơi xin giới
thiệu và hướng dẫn học sinh vận dụng bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacốpxki để
chứng minh các bất đẳng thức khác.
a. Bất đẳng thức Côsi: Cho a1, a2,….,an là các số khơng âm. Khi đó ta có:
a1 + a 2 +  + a n n
≥ a1 a 2  a n
n

Dấu bằng xảy ra ⇔ a1= a2 = …= an

b. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: Cho hai dãy số a1,a2,…và b1,b2,…bn. khi đó ta có:

(a1b1+ a2b2 + …+ anbn)2 ≤ (a12 +a22 + …+ an2)(b12 +b22 + …+bn2)
Dấu bằng xẩy ra

⇔

a
a1 a 2
=
= ... = n với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0.
b1 b2
bn

9.2. Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
Giải: Do a, b, c >0 ⇒

b+c
a2
>0
> 0 và
4
b+c

b+c
a2
áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số
và
ta có
4
b+c

a2
b+c
a2 b + c
a
+
≥2
.
= 2. = a
b+c
4
b+c 4
2
⇒

a2
b+c
≥a−
b+c
4

b2
a+c
≥b−
Tương tự ta có:
a+c
4
c2
a+b
≥c−
a+b

4

Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta được:
a2
b2
c2
a+b+c a+b+c
+
+
≥ (a + b + c) −
=
b+c a+c a+b
2
2

14

a2
b2
c2
a+b+c
+
+
≥
b+c c+a a+b
2


Vậy

a2
b2
c2
a+b+c
+
+
≥
b+c a+c a+b
2

(đpcm)

Ví dụ 2: Cho a, b, c là các số không âm và a+b+c=1. Chứng minh rằng:
a+b+ b+c+ c+a ≤ 6

Giải: a, b, c ≥ 0 ⇒ a+b ≥ 0; b+c ≥ 0; c+a ≥ 0
⇒

a+b,

b+c,

c + a có nghĩa.

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpski với 2 bộ số:
a1=1, a2=2, a3=3, b1= a + b , b2 b + c , b3= c + a
ta có: (1. a + b +1. b + c +1. c + a )2 ≤ (1+1+1)(a+b+b+c+c+a)
(vì a+b+c=1)

⇔ ( a + b + b + c + c + a ) 2 ≤ 3.2

⇔( a+b + b+c + c+a ≤ 6

(đpcm)

*Lưu ý: + Việc chứng minh các bất đẳng thức côsi và bất đẳng thức Bunhiacôpxki ở đây không
đề cập mà chỉ hướng dẫn các em chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng một hoặc nhiều
bất đẳng thức đã biết khác.
+ Khi sử dụng bất đẳng thức cơsi thì cần chú ý các số áp dụng phải có điều kiện ≥ 0
cịn bất đẳng thức Bunhiacơpxki thì khơng cần điều kiện các số ≥ 0 nhưng phải áp dụng cho 2 bộ
số.
+ Ngoài 2 bất đẳng thức hay sủ dụng cho học sinh THCS đã nêu ở trên thì các em có
thể sử dụng một số bất đẳng thức đã biết để chứng minh một bất đẳng thức khác.
9.3. Bài tập tương tự:
Bài 1: cho a, b, c >0. Chứng minh
a
+
b+c

b
+
a+c

c
>2
a+b

Bài 2: Cho a+b = 2. Chứng minh a4+b4 ≥ 2
10.Phương pháp tam thức bậc hai:
10.1. Phương pháp giải: Dùng định lí về dấu của tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức
Định lý về dấu của tam thức bậc hai:

Định lý về dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
∆ = b2 - 4ac

- Nếu ∆ < 0 thì f(x) ln cùng dấu với a với mọi giá trị của x (nghĩa là a.f(x) > 0)
15


- Nếu ∆ =0 thì f(x) ln cùng dấu với a với mọi giá trị của x, trừ khi x=
a.f(x) ≥ 0, af(x) = 0 khi x=

−b
thì f(x) = 0 (nghĩa là
2a

−b
);
2a

- Nếu ∆ > 0 thì f(x) cùng dấu với a khi x nằm trong khoảng hai nghiệm (x 1, x2) và khác dấu với a
khi x nằm trong khoảng hai nghiệm.
10.2. Ví dụ áp dụng
a 2 + b 2 = 1
Ví dụ 1: Cho bốn số thực a, b, c, d thoả mãn hệ điều kiện 
c + d = 6

Chứng minh rằng: c2 + d2-2ac -2bd ≥ 18 - 6 2 (1)
Giải: c + d = 6 ⇒ d = 6- c . Khi đó bất đẳng thức (1) có dạng:
c2+ (6-c)2 -2ac -2b(6-c) -18+ 6 2 ≥ 0 (2)
Quan niệm vế trái của (2) là tam thức bậc hai của c, ta có:

(

∆' = ( a + 6 − b ) − 2 − 12b − 18 + 6 2
2

)

= - (a+b)2 + 12(a+b) + 2 -12 2 (3)
Do a2+b2 =1 ⇒ − 2 ≤ a + b ≤ 2
Xét tam thức bậc hai f(x) = -x2 +12x+2-12 2
Ta có bảng xét dấu sau:
x
f(x)

12- 2
0
+
0
'
Do − 2 ≤ a + b ≤ 2 nên từ (3) và bảng xét dấu ⇒ ∆ ≤ 0 . Theo định lý về dấu của tam thức bậc
2

hai thì (2) đúng với mọi c. Đó là điều phải chứng minh.
Dấu = xảy ra

a + b = 2

2

a = b =

⇔
⇔

2
a+6−b
c =
c = d = 3

2


Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôpxki đã nêu trong phần <9>
Giải: Xét tam thức bậc hai
F(x) = (b1x - a1)2 + (b2x - a2)2+….+(bnx - an)2
Ta thấy f(x) ≥ 0 với mọi x. Ta viết f(x) dưới dạng sau
F(x) =( b 12 +b22 +  + bn2 ) x2 - 2(a1b1+a2b2+…+anbn)x + ( a12 + a 22 +  + a n2 )
Do f(x) ≥ 0 với mọi x nên từ (1) suy ra:
16


(

)(
)(b

)

∆' = ( a1b1 + a 2 b2 +  + a n bn ) − a12 + a 22 +  + a n2 b12 + b22 +  + bn2 ≤ 0
2

(

⇒ ( a1b1 + a 2 b2 +  + a n bn ) 2 ≤ a12 + a 22 +  + a n2

2
1

+ b22 +  + bn2

)

Dấu = xảy ra ⇔ ∆' = 0 ⇔ phương trình f(x) =0 có nghiệm kép ⇔

a
a1 a 2
=
= = n
b1 b2
bn

* Nhận xét: khi sử dụng phương pháp tam thức bậc hai để chứngminh bất đẳng thức như ví dụ 1,
ví dụ 2 của <10> đã nêu ở trên thì học sinh cần biết định lí về dấu của tam thức bậc hai nhưng
kiến thức đó chưa được chính thức giới thiệu ở bậc THCS nên hơi khó đối với các em. Vì thế tơi
xin giới thiệu 2 ví dụ để HS tham khảo chứ khơng u cầu các em tự làm bài tập ở phần này.
11. Phương pháp đồ thị và hình học:
11.1. Phương pháp giải: Vận dụng các kiến thức hình học để chứng minh các bài tốn về bất đẳng
thức đại số.
11.2. Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với a, b ta có:
Giải: Xét ∆ ABC có Â = 900, AB =

a+b < a + b

B

a,

AC = b .
Theo định lý Pi ta go ta có: BC =

a+b

a+b

Trong ∆ ABC ta có: BC < AB + AC

A

⇒ a + b < a + b (đpcm)

C

b

Ví dụ 2: Cho a,b,c,d > 0 . Chứng minh rằng:

( a + c) 2 + ( b + d ) 2

a2 + b2 + c2 + d 2 ≥

Giải: Trên trục hoành Ox đặt liên tiếp hai đoạn OA = a, AB = c, còn trên trục Oy đặt liên tiếp OC
= b, CD = d. Xét hình chữ nhật COAE và DOBF. Theo định lý pitago ta có:
y
OE =

a2 + b2

EF = c 2 + d 2
OF =

( a + c) 2 + ( b + d ) 2

D
d
C
b
O

Mà OE + EF ≥ OF
⇒ a2 + b2 + c2 + d 2 ≥

( a + c) 2 + ( b + d ) 2
17

F
G
E
a Ac B

x

Dấu bằng xảy ra ⇔ ∆ OAE :

∆ EFG ⇔

a c
=
b d

Ví dụ 3: Cho x, y là 2số thoả mãn:
2 x + y − 2 ≥ 0

2 x − y − 2 ≤ 0
2 y − x − 4 ≤ 0


≥

Chứng minh: x2 + y2

4
5

y
C

Giải:

A 2

Gọi I(x;y) là điểm trên
mặt phẳng Oxy trong đó x, y thoả mãn
đề bài. Tập hợp các điểm I(x,y) là miền

-4

ặt phẳng giới hạn bởi tam giác ABC.

Vậy OH2 =

4
4
⇒ OI2 ≥
5
5

1

4
5
1
1
1
=
+
2
2
OH
OA

OB 2

AB; OI ≥ OH

Mà OH

x

-2

4
Như vậy muốn chứng minh x2 + y2 ≥
5

ta cần chứng minh : OI2 ≥

O

HB

Hay x2 + y2 ≥

4
5

11.3. Bài tập tương tự
Bài 1: Chứngminh rằng với a > b > 0 thì

a − b < a−b

Bài 2: Chứng minh rằng với x, y, z, t > 0 thì

(x

2

)(

)

+ z2 y2 + z2 +

(x

2

Bài 3: Chứng minh rằng:

)(

)

+ t 2 y 2 + t 2 ≥ ( x + y )( z + t )
x 2 − 6 x + 34 − x 2 − 6 x + 10 ≤ 4

4)Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
-Tôi đã giới thiệu một số bài toán về chứng minh bất đẳng thức cho học sinh, trong q trình học
tốn tơi thấy khi các em gặp chứng minh bất đẳng thức khơng cịn lúng túng nữa mà biết tìm cho
mình phương pháp phù hợp để giải
-Từ đó học sinh quen dần với những bài chứng minh bất đẳng thức khó hơn làm tiền đề cho sự

phát triển toán học
18


III. KẾT LUẬN:
-Học sinh biết được càng nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức thì khi giải các
loại bài tập liên quan đến việc chứng minh bất đẳng thức có nhiều hướng suy nghĩ nên dễ tìm ra
cách giải, qua đó cũng phát triển được tư duy và nâng cao được năng lực sáng tạo.
-Bất đẳng thức là một chuyên đề khó , phức tạp,phong phú với nhiều phương pháp giải
nhưng học sinh thường gặp phải khi giải toán.Để học sinh chọn lựa được phương pháp phù hợp
thì cần phải nghiên cứu và đầu tư thời gian nhiều.
-Trên đây là một vài kinh nghiệm mà tơi đã tích luỹ trong quá trình giảng dạy và hướng dẫn
học sinh học tốn, rất mong được sự đóng góp ý kiến của quý thầy, cô cùng các bạn đồng nghiệp
để sáng kiến kinh nghiệm ngày càng hồn thiện.Tơi xin chân thành cám ơn
Quy Nhơn,ngày 25/04/2013
Người viết :

19

Nguyễn Kim Chánh


Tài liệu tham khảo
-Sách giáo khoa toán 9-tập1,2
-Sách bài tập toán 9 -tập1,2
-Sách giáo viên toán 9-tập1,2
-500 bài toán 9 chọn lọc (Nguyễn ngọc Đạm-Nguyễn quang Hanh-Ngô long Hậu)
-Để học tốt đại số 9 (Nguyễn vĩnh Cận-Vũ thế Hựu-Hoàng Chúng)
-Bất đẳng thức và bài toán cực trị(Trần đức Huyên)
-Nâng cao và phát triển tốn 9 (Vũ hữu Bình)

20