Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Bất đẳng thức - ducduyspt
1

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
BẤT ĐẲNG THỨC



Bất đẳng thức - ducduyspt
2

PHƯƠNG PHÁP 1: Sử dụng định nghĩa và biến đổi
tương đương.

1.Cơ sở lí thuyết:
Ta sử dụng một số biến đổi sơ cấp để đưa bất đẳng thức cần phải chứng minh
về một bất đẳng thức mới mà bất đẳng thức mới luôn đúng hoặc có thể chứng
minh được đúng.
2.Một số ví dụ minh họa
Ta có thể biến đổi tương đương trực tiếp hoặc đặt ẩn phụ rồi biến đổi tương
đương
A.Biến đổi tương đương trực tiếp
VD1: Cho a,b,c>0.Cmr:
22
2
22
2
22
2
b
a

c
a
c
b
c
b
a
b
a
c
a
c
b
c
b
a











(1)
Giải
(1)


0)()()(
22
2
22
2
22
2












b
a
c
b
a
c
a
c
b
a

c
b
c
b
a
c
b
a



0
))(())(())((
22
2222
22
2222
22
2222









baba
cbcabcac

acac
babcabcb
cbcb
acabcaba



0
))((
)()(
))((
)()(
))((
)()(
222222
















baba
bccbacca
acac
ababcbbc
cbcb
caacbaab























))((

1
))((
1
)(
))((
1
))((
1
)(
22222222
babaacac
cbbc
acaccbcb
baab

0
))((
1
))((
1
)(
2222












cbcbbaba
acca
(2)
Do a,b,c>0 nên nếu ba

thì:










0
))((
1
))((
1
0
2222
acaccbcb
ba



0
))((
1
))((
1
)(
2222











acaccbcb
baab

Nếu
ba

thì:











0
))((
1
))((
1
0
2222
acaccbcb
ba




0
))((
1
))((
1
)(
2222












acaccbcb
baab

Như vậy ta luôn có:
0
))((
1
))((
1
)(
2222












acaccbcb
baab

Bất đẳng thức - ducduyspt
3

Tương tự:
0
))((
1
))((
1
)(
2222











babaacac
cbbc


0

))((
1
))((
1
)(
2222











cbcbbaba
acca
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên

(2) luôn đúng với a,b,c>0

đpcm.

VD2: Cho


1;0,, cba .Cmr: 1)1)(1)(1(
1

1
1






cba
b
a
c
a
c
b
c
b
a

Giải:
Do vai trò của a,b,c như nhau nên có thể giả sử:
1,,0


cba

Đặt
1





cbaS



c
S
a
a
S
a
c
b
a





1
(1)



c
S
b
b
S

b
a
c
b





1
(2)
Ta cm cho:
1
1
)1)(1)(1(



b
a
c
cba (3)



0
1
1
)1)(1()1( 









ba
bac


0
1
1)1)(1(
)1( 








b
a
baabba
c


0

1
11
)1(
2222




b
a
ababbabbabaababa
c




0
1
)1(
2222




b
a
abbaabba
c



0
1
))(1(
)1( 




b
a
baab
c
.Điều này luôn đúng vì


1;0,, cba
.
Từ (1),(2),(3)

1
1
)1)(1)(1(
1
1
1
















c
S
c
c
S
c
c
S
b
c
S
a
cba
b
a
c
a
c
b
c

b
a


đpcm.

VD3:
Cho
nn
nn
axaxaxaxp 


1
1
10
)(
có n nghiệm phân biệt,



nn ,2 .
Chứng tỏ:
20
2
1
2)1( nnan 
(1)
Giải
(1)



0
2
2
0
1
2)1(
n
n
a
a
n 








 (2)
Bất đẳng thức - ducduyspt
4

Do đa thức p(x) có n nghiệm phân biệt nên theo định lí Viet ta có:

0
1
21

:
a
a
xxxA
n


và
0
2
13221
:
a
a
xxxxxxB
nn



Ta có:
BxxxxxA
n
i
i
n
ji
ji
ji
n
i

i
n
i
i
2
1
2
1,1
2
2
1
2













(2)

nBAn 2)1(
2



nBBxn
n
i
i
2)2)(1(
1
2









n
i
i
Bxn
1
2
2)1(


 
 

n

i
n
i
ii
ABxxn
1 1
222
2

 
 







n
i
n
i
i
i
xxn
1
2
1
2
.Điều này luôn đúng theo bđt Bunhiacopski với 2 bộ số

), ,,(
21 n
xxx và )1, ,1,1( .Dấu bằng không xảy ra vì:

1

1
1
21 n
xxx

(các nghiệm của p(x) phân biệt).

(1) luôn đúng

đpcm.

B.Đặt ẩn phụ sau đó biến đổi tương đương

VD1: CMR: cba ,,

ta có
333333444666666
)(23 cbacbacbaaccbba 
(1)
Giải
(1)


)(23

222
4
22
4
22
4
22
ab
c
ca
b
bc
a
b
ac
a
cb
c
ba

(2)
Đặt
ca
b
z
bc
a
y
ab
c

x
222
,, 
.Ta có: xyz=1
Khi đó (2) trở thành: )(23
111
222
zyx
zyx



0)1()1)(1(2)
11
(
22
 xyyx
yx
(3)
Vì xyz=1 nên tồn tại 2 số nhỏ hơn hay bằng 1 hoặc 2 số lớn hơn hay bằng 1

0)1)(1(



yx

(3) luôn đúng
Vậy bất đẳng thức đã cho đã được chứng minh.

VD2: CMR: CBACBA coscoscos)cos1)(cos1)(cos1(




(1)
Giải
Ta luôn có: 1cos,cos,cos

CBA

0)cos1)(cos1)(cos1(




CBA
Nếu ABC

vuông hoặc tù thì 0coscoscos

CBA .Khi đó (1) luôn đúng.
Nếu ABC

nhọn

0coscoscos

CBA
Khi đó (1)


1
cos
cos1
cos
cos1
cos
cos1




C
C
B
B
A
A
(2)
Bất đẳng thức - ducduyspt
5

Đặt
2
tan,
2
tan,
2
tan
C

z
B
y
A
x 

Ta có (1)

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2

2
2
2
2
2
2
















z
z
z
z
y
y
y
y

x
x
x
x



1
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2

 z
z
y
y
x
x



xyz
z
z
y
y
x
x 1
1
2
1
2
1
2
222







2
tan
2
tan
2
tan
1
tantantan
CBA

CBA 




2
cot
2
cot
2
cottantantan
CBA
CBA 
(3)
Mặt khác:
ABC


luôn có:
CBACBA tantantantantantan





2
cot
2
cot
2

cot
2
cot
2
cot
2
cot
CBACBA

Từ đó (3)


2
cot
2
cot
2
cottantantan
CBA
CBA 



2
tan
2
tan
2
tantantantan
CBA

CBA 
(4)
Ta có bổ đề sau:
2
,0:,

 yxyx


2
tan2tantan
yx
yx


ABC

nhọn


2
,,0

 CBA .
Áp dụng bổ đề:
2
cot2
2
tan2tantan
CBA

BA 



2
cot2
2
tan2tantan
ACB
CB 




2
cot2
2
tan2tantan
BAC
AC 



Cộng vế với vế ta có: )
2
tan
2
tan
2
(tan2)tantan(tan2

CBA
CBA 



2
tan
2
tan
2
tantantantan
CBA
CBA  (đpcm)
Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh.

3.Bài tập áp dụng

Bài 1: Với mọi a,b cùng dấu và m,n là các số tự nhiên cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
CMR:
2
2
2
nmnmnnmm
bababa




(1)
HD:

Bất đẳng thức - ducduyspt
6

(1)

0))(( 
mmnn
baba luôn đúng do a,b cùng dấu và m,n là các số tự nhiên
cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Bài 2: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn: 1,,0


cba .Cmr:
accbbacba
222222
1  (1)
HD: (1)

1)1()1()1(
222
 accbba
Mà
)1()1()1()1()1()1(
222
accbbaaccbba 

cabcabcba








11)1)(1)(1(







abccba
(do 1,,0


cba )

Bài 3: Cho a,b >0.Cm:
)(4))()((
663322
babababa 
(1)
HD: (1)

))(1(4))(1)()(1)(1(
632
a
b

a
b
a
b
a
b

Đặt
a
b
t 
khi đó
)1(4)1)(1)(1(
632
tttt 

Bài 4: Cho
cab
ab
ab
ab
cab
ab
ab
ab
22










Cmr:







cba
cbaf
1
,
1
,
1
max4),,(
Bài 5: Cho a,b,c>0.Cm bất đẳng thức: )(2
222222
cba
c
ba
b
ac
a
cb








HD: áp dụng vd1.A

PHƯƠNG PHÁP 2:Sử dụng tam thức bậc hai
1.Cơ sở lí thuyết:
Xét )0()(
2
 acbxaxxf , : acb 4
2

Xuất phát từ đồng nhất thức









2
2
4
)

2
()(
a
a
b
xaxf ta có các kết quả sau:
Định lí 1:






0
0
0)(
a
xxf


Định lí 2:






0
0
0)(

a
xxf

Định lí 3:






0
0
0)(
a
xxf

Bất đẳng thức - ducduyspt
7

Định lí 4:






0
0
0)(
a

xxf
Định lí 5: 0)(

xf có nghiệm 0
21
 xx
Khi đó ))(()(
21
xxxxaxf  và










a
c
xx
a
b
xx
21
21

Để chứng minh
B

A

ta viết biểu thức
B
A

thành tam thức bậc hai theo một
biến số nào đó .Sau đó dựa vào các định lí về dấu của tam thức bậc hai suy ra
điều phải chứng minh.
2.Các ví dụ minh họa
VD1: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn: 36
3
a và 1

abc
Cmr: cabcabcb
a

22
2
3
(1)
Giải
(1)


0
3
3)()(
2

2

a
bccbacb
(2)

Từ
1

abc



a
bc
1

.
Thế vào (2) ta có:
0
3
1
3)()(
2
2

a
a
cbacb
(3)

0
3
12
3
412
22
2

a
a
a
a
a

(do
36
3
a
). Theo định về dấu tam thức bạc hai (3) luôn đúng.

(1) luôn đúng.

đpcm.

VD2: Giả sử CBA ,, là 3 góc của một tam giác không cân tai C.Biết rằng phương
trình :
0sinsin)sin(sin)sin(sin
2
 CBxACxBA
(1)

Có đúng một nghiệm thực.Cmr:
0
60B
Giải
Vì ABC

không cân tại C nên
B
A



BA sinsin

.Vậy (1) là pt bậc hai.
Mặt khác 0sinsinsinsinsinsin






ACCBBA nên (1) có 1 nghiệm 1
1
x

nghiệm kia là:
B
A
CB

a
c
x
sin
sin
sinsin
2



Vì (1) có đúng một nghiệm thực nên
21
xx 


1
sin
sin
sinsin



B
A
CB


BCA sin2sinsin




2
cos
2
sin4
2
cos
2
sin2
BBCACA






2
sin2
2
cos
BCA




1
2
sin20 
B



2
1
2
sin0 
B



0
30
2

B


0
60B

đpcm.

VD3: Cho ABC

có độ dài 3 cạnh là a,b,c và diện tích S.Khi đó ta có:
Bất đẳng thức - ducduyspt
8

0,34)1
2
()12(
222
 xScb
x
ax
(1)
Giải:
(1)


0,3422
222222
 xSxxcxbbxaxa





02)34(2
222222
 bxScbaxa

0


x
(2)
Có

22222
)4()34( abScba 


)434)(434(
222222
abScbaabScba 

Theo định lí côsin:
Cabbac cos2
222




Cabcba cos2
222


Xét SCabScba 34cos234
222

CabSCab sin
2
1
34cos2 

)sin3(cos2 CCab 

áp dụng Bunhiacopski ta có:

4)sin3(cos
2
 CC



2sin3cos2  CC




abCCabab 4)sin3(cos24 

Nên
0)434)(434(
222222
 abScbaabScba




0



Theo định lí về dấu của tam thức bậc hai

(2) luôn đúng

(1) được cm.

Dấu ‘=’ xảy ra


3
sin
1
cos


CC


3tan C


0
120C
VD4: Cho ABC

có độ dài 3 cạnh là a,b,c.Cmr:
)(12)(15)(2012152050
222222333
bacacbcbacbaabc  (1)
Giải:
Theo định lí hàm số cos ta có:
Abcacb cos2
222


Bacbac cos2
222



Cabcba cos2
222



(1)


CabcBabcAababc cos24cos30cos4050







CBA cos24cos30cos4050





025cos245)cos6cos8(25







CBA


025cos245)cos6cos8(5
2
 CBA
(2)
Coi 5 là ẩn có: 100)cos(96cos36coscos9664
22
 BABBAAsos

100sinsin96coscos96cos36coscos96cos64
22
 BABABBAA

100sinsin96sin36sin64100
22
 BABA

0)sin6sin8(
2
 BA


(2) luôn đúng.


(1) được cm.
Dấu bằng xảy ra khi 0





4
3
sin
sin

B
A


Bất đẳng thức - ducduyspt
9

VD5: Cho a,b,c thỏa mãn 0
22
 ba và x,y thay đổi thỏa mãn cbyax


(1)
CMR:
22
2
22
b

a
c
yx



Giải
Từ giả thiết
0
22
 ba








0
0
b
a

Không mất tính tổng quát ta giả sử:
0

b

Từ (1)



b
axc
y


.Do đó
2
222








b
axc
xyx




2222
2
2)(
1
cacxxba

b


Đặt
2222
2)()( cacxxbaxf 

Có
0
22
 ba



22
22
22
)()(
b
a
cb
b
a
ac
fxf







22
2
22
22
2
22
1
b
a
c
b
a
cb
b
yx






đpcm.

VD6: Cho 1
22
 ba và 3



dc với


cba ,,
CMR:
4
269 
 cdbdac
Giải
Đặt cdbdacS




Từ 3


dc

cd


3 .Nên )3()3( cccbacS





bcbac 3)3(

2
 (*)
Xét tam thức
CBxAxxf 
2
)(

Nếu 0

A thì
A
BAC
A
B
fxf
4
4
)
2
()(
2




(*)


4
)3(12

2



bab
S


4
11)(6)(
2


baba
S
Đặt
bat





2)(2)(
2222
 babat




22  t

Trên


2;2
hàm
116)(
2
 tttf
tăng


269)2()(  ftf

Do đó
4
269 
S

đpcm.
3.Bài tập áp dụng:
Bài 1: Với n là số nguyên dương cho 2n số bất kì:
nn
bbbaaa , ,,,, ,,
2121
.
Cmr:



n

i
ii
n
i
i
n
i
i
baba
1
2
1
2
1
2
)())((
.Dấu bằng xảy ra khi nào?
(Bất đẳng thức Bunhiacopski)
Bất đẳng thức - ducduyspt
10

HD: Xét xbxaxf
n
i
ii



0)()(
1

2

Viết lại:
xbxbaxaxf
n
i
i
n
i
ii
n
i
i



0)(2)()(
1
2
1
2
1
2

Theo định lí về dấu của tam thức bậc hai

0


.


đpcm.
Bài 2: Cho ABC

.Cmr x

ta đều có:
)cos(coscos
2
1
2
CBxA
x
 (1)
HD: (1)


xAxCBx  0)cos1(2)cos(cos2
2

Cm:
0
2
sin4
2
cos
2
cos4
222'





ACBCB

Bài 3: Cmr nếu b,c,d là 3 số thực thỏa mãn
bcd


,thì với mọi số thực a ta
có bất đẳng thức:
)(8)(
2
bdacdcba 
(1)
HD
Đưa (1) về bất đẳng thức bậc 2 ẩn a và chứng minh cho 0
'

Bài 4: Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn:
)(
2
1
444222222
cbaaccbba 
Cmr có thể dựng được một tam giác có độ dài 3 cạnh là a,b,c.
Bài 5: Cho x,y,z là 3 nghiệm của hệ:






4
4
zxyzxy
zyx
(1)
Cmr:
3
8
,,0  zyx

HD:
(1)







)(4
4
zyxyz
xzy








44
4
2
xxyz
xzy


y,z là hai nghiệm của phương trình: )2(044)4(
22
 xxXxX
Do x,y,z tồn tại nên (2) có nghiệm


0



Bài 6: Cmr :
xyz
zyx
C
z
B
y
A
x 2
cos
1

cos
1
cos
1
222

 (1) với 0,,

zyx
HD:
Đưa (1) về bất phương trình bậc hai với ẩn là x và chứng minh cho
0



Bài 7: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.Cmr nếu 0



czbyax thì
0



cxybzxayz
Bài 8: Cho
ABC

với 3 cạnh a,b,c và 3 đường cao
cba

hhh ,, với
2
cba
p



ta có:
































cba
cba
hc
bac
hb
acb
ha
cba
ba
hcc
ac
hbb
cb
haa
p
2
)(
2
)(
2
)(

)2()2()2(
2
)21(
22

Bất đẳng thức - ducduyspt
11

PHƯƠNG PHÁP 3: Sử dụng các bất đẳng thức cổ
điển
A.Bất đẳng thức Cauchy
1.Cơ sở lí thuyết:
Với n số không âm
n
aaa , ,,
21
ta luôn có:

n
aaa
aaa
n
n
n




21
21

.Dấu bất đẳng thức xảy ra khi
n
aaa 
21

2.Các ví dụ minh họa
VD1. Cho a,b,c>0 và
4
3
 cba .CMR:
a, 3333
333
 accbbaT
b,
3
333
23777  accbbaS
Giải
a, Áp dụng bất đẳng thức côsi cho các số dương a+3b,1,1:
Ta có:
3
113
3
3




ba
ba

Tương tự:
3
113
3
3




cb
cb

3
113
3
3




ac
ac

Cộng các vế bất đẳng thức trên ta được:
3
3
6)(4
333
333






cba
accbbaT
vì
4
3
 cba
theo giả thiết.
Dấu bằng xảy ra


4
1
 cba
b, Áp dụng bất đẳng thức côsi cho các số dương a+7b,2,2
Ta có:
3
227
47
3
3




ba
ba

Tương tự:
3
227
47
3
3




cb
cb

3
227
47
33




ac
ac

Cộng các vế bất đẳng thức trên ta được:
6
3
12)(8
4)777(
3

333





cba
accbba (vì
4
3
 cba )


3
3
333
23
4
6
777  accbbaS .Dấu bằng xảy ra

4
1
 cba
VD2: Cho a,b,c là 3 số dương.Cmr
2
3







b
a
c
a
c
b
c
b
a

Giải
Đặt
b
a
c
a
c
b
c
b
a
S






 Ta có: 1113 






b
a
c
a
c
b
c
b
a
S
Bất đẳng thức - ducduyspt
12




b
a
cba
a
c
cba
c

b
cba
S











 3


)
111
)((3
b
a
a
c
c
b
cbaS






 (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
Cho 3 số dương: a+b,b+c,c+a có:
3
))()((3 accbbaaccbba 

Cho 3 số dương
a
c
c
b
b
a

1
,
1
,
1
có:
3
))()((
1
3
111
accbbaaccbba 








Nhân 2 vế bất đẳng thức trên ta có:
))()((
1
3))()((3)
111
)(()3(2
3
3









accbba
accbba
accbba
accbbaS


2
9

3 S



2
3
S


đpcm.
Dấu bằng xảy ra


cba


.
VD3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
3
2
2
)(
x
xxf 
trên khoảng


;0

Giải:

Với 0


x ta có:
5
5
2
3
32
33
222
27
5
)
2
()
3
1
(5
11
333
)( 
x
x
xx
xxx
xf
Dấu “=” xảy ra


3
2
1
3
x
x



5
3x
Vậy
 
;0
)(min xf
=
5
27
5
khi
5
3x
VD4: cho a,b,c>0.Cmr:
3
3
1))()(( abcb
a
c
a
c

b
c
b
a
 (1)
Giải:
(1)


3
3
)1())()(( abcb
a
c
a
c
b
c
b
a
 (2)
Ta có VT(1)= ))((
2
b
a
c
cab
b
a
c

a

abccb
a
bc
a
b
ac
c
ab

222
1
Áp dụng bđt cauchy cho 0,0,0 
a
bc
b
ac
c
ab
và
0,0,0
222
 cba


3
3 abc
a
bc

b
ac
c
ab

và
3
222222
3 cbacba 



abcabcabcVT 
3
2
3
)(331



3
3
)1( abcVT 
.đpcm
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c.
VD5: Cho 0,,

cba , 3




cba .
CMR:
c
b
a
c
c
b
b
a
a











1
1
1
1
1
1
1

1
1
222
(1)
Bất đẳng thức - ducduyspt
13

Giải
(1)


)
1
1
1
(111
1
1
1
222
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b

a
a













3
1
1
1
1
1
1
222













c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
a
(2)
Xét
4
1
2
1
1
1.
1
1
1
1
2










a
a
a
a
a
a
a
a
a

Tương tự
4
1
2
1
1
1
2






b
b
b
b
b
,
4
1
2
1
1
1
2





c
c
c
c
c

Vậy
4
4
3

2
3
1
1
1
1
1
1
222
cba
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
a


















3
4
3
4
3
2
3
1
1
1
1
1
1
222













c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
a
(do a+b+c=3)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
VD6: Cho a,b,c>0.
Cmr: 1
888
222








abc
c
acb
b
bca
a
T
Giải
Ta có: ))(()()(
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
2
3
4
2
3

4
3
4
3
4
acbaacbaacba 
bcacbacba
3
2
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
8))(( 


2
3
4
3
2
2

3
4
3
4
3
4
)(8)( abcacba 

)()(
2
3
2
2
3
4
3
4
3
4
abcacba 


3
4
3
4
3
4
3
4

2
8
cba
a
bca
a



Tương tự:
3
4
3
4
3
4
3
4
2
8
cba
b
acb
b





3

4
3
4
3
4
3
4
2
8
cba
c
abc
c




Vậy 1
888
222







abc
c
acb

b
bca
a
T .
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
VD7: Cho n số dương
n
aaa , ,,
21
.
Cmr:
nn
aaa
n
aaa 


1

11
21
2
21

Giải
Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho n số dương
Ta có:
0
2121


n
nn
aaanaaa

Bất đẳng thức - ducduyspt
14

0

1

11
21
21

n
n
n
aaa
n
aaa



2
21
21
)
1

11
)( ( n
aaa
aaa
n
n




nn
aaa
n
aaa 


1

11
21
2
21
.
Dấu bằng xảy ra khi
n
aaa 
21

VD8: Cho x,y,z>0.Cmr:
3

xyz
zyx
x
z
z
y
y
x



Giải
Áp dụng cauchy cho 3 số dương có:
3
3
3
3
xyz
x
x
z
y
x
y
x
x
z
y
x
y

x


3
3
3
3
zzx
y
x
z
z
y
z
y
x
z
z
y
z
y


3
3
3
3
xxy
z
y

x
x
z
x
z
y
x
x
z
x
z




3
)(3
)(3
xyz
zyx
x
z
z
y
y
x



Nhận xét: Ta có thể thêm bớt điều kiện bài tóan trên để có bài toán mới

Bài toán 1: Cho x,y,z>0 và xyz=1.Cmr: zyx
x
z
z
y
y
x

Bài toán 2: Cho x,y,z>0 và x+y+z=1.Cmr:
3
1
xyz
x
z
z
y
y
x

Bài toán 3: Chứng minh 0,,


zyx có:
3
2)1)(1)(1(
xyz
zyx
x
z
z

y
y
x



3.Kĩ thuật Cauchy ngược dấu:
Đây là một trong những kĩ thuật khéo léo,mới mẻ và ấn tượng nhất của bất
đẳng thức cauchy.Ta hãy xét các ví dụ sau:
VD1: Cho x,y,z>0 và x+y+z=3.Cmr:
2
3
1
1
1
1
1
1
222





 zyx

Giải
Ta không thể sử dụng trực tiếp bất đẳng thức cauchy vì dấu đổi chiều:

zyx

zyx
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
222







Mà
2
3
2
1
2
1
2
1


zyx

Tuy nhiên ta có thể sử dụng bất đẳng thức cauchy theo cách sau:
2
2
2
1
1
1
1
x
x
x




Bất đẳng thức - ducduyspt
15

Vì xx 21
2



2
2
1
2

2
2
x
x
x
x
x 








2
1
1
1
2
2
x
x
x


 .Vậy
2
1
1

1
2
x
x



Tương tự ta được:
2
3
2
3
3)
222
(3
1
1
1
1
1
1
222






zyx
zyx

Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1.

VD2: Cmr mọi số dương có tổng bằng 4 thì

4
1
1
1
1
1
1
1
1
2222












d
d
c

c
b
b
a
S

Giải
Làm tương tự ví dụ trên:

2
1
2
)1(
1
1
)1(
1
1
1
2
2
2
2
bab
a
b
ab
a
b
ba

a
b
a 









Tương tự suy ra:
2
1
2
1
2
1
2
1
dda
d
dcd
c
cbc
b
bab
aS













2
4)(
dcbadacdbcab
dcbaS










2
)(
4
dcbadacdbcab
S











4
2
)(
4 








dacdbcabdcba
S
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=d=1.
4.Bài tập đề nghị:
Bài 1:Cho 0,

ba .Cmr: )(4)(
333

baba 
Bài 2:Cmr cbazyx ,,,,,

ta có:
))((
2
3
))((
222222
zyxcbazyxcbaczbyax 
Bài3: Cho a,b,c dương thỏa mãn: abccba 3)(4




Cmr:
8
3111
333

c
b
a

HD: Từ giả thiết


4
3111


ca
bc
ab

Áp dụng b đt cauchy cho 3 số dương:
ab
b
a
2
3
8
111
33



bc
c
b
2
3
8
111
33


ca
a
c
2

3
8
111
33

C ộng vế với vế

đpcm.
Bài 4: Cho





1
0,,
cba
cba
Chứng minh rằng: 6 accbba
Bất đẳng thức - ducduyspt
16

HD:
)
2
3
(
22
3
)(

3
2
2
3
 bababa

Bài 5: Cho

3
0,,


c
b
a
cba
.Cm:
3
1
1
1
1
1
1
222










a
c
c
b
b
a

HD: Sử dụng kĩ thuật cauchy ngược dấu:

2
1
2
)1(
1
1
)1(
1
1
1
2
2
2
2
bab
a
b

ab
a
b
ba
a
b
a 









Bài 6: Cho a,b,c>0 và a+b+c=1.Cmr:
64)
1
1)(
1
1)(
1
1( 
c
b
a

HD:
a

bca
a
cbaa
a
a
a
4 2
411
1 





Bài 7: Tìm GTLN của hàm số:
53
)2()( xxxf 
trên đoạn


2;0
HD: Viết
53
3
3
)2()
3
5
(
5

3
)( xxxf 

Áp dụng bđt cauchy cho 8 số không âm:3 số bằng x
3
5
,5 số bằng 2-x.
Bài 8: Cmr: nếu n số dương
n
aaa , ,,
21
thỏa mãn

1
1
1

1
1
1
1
21






n
aaa

n
thì phải có:
n
n
n
aaa
)1(
1

21



Bài 9: Cho n số
0
i
a
có tổng
1
21

n
aaa


phải chăng bất đẳng thức sau đây luôn đúng:
n
n
n
aaa

)1()1
1
) (1
1
)(1
1
(
21

B/Bất đẳng thức bunhiacopski:
1.Cơ sở lí thuyết:
Với 2 bộ n số ), ,,(
21 n
aaa và ), ,,(
21 n
bbb ta luôn có:
) )( () (
22
2
2
1
22
2
2
1
2
2211 nnnn
bbbaaabababa  (1)
Dấu đẳng thức xảy ra khi ), ,,(
21 n

aaa và ), ,,(
21 n
bbb là 2 bộ số tỉ lệ.
Tức là:
n
n
b
a
b
a
b
a

2
2
1
1
hoặc
n
n
a
b
a
b
a
b

2
2
1

1

Giải
Nếu
0
22
2
2
1

n
aaa
hoặc
0
22
2
2
1

n
bbb
thì (1) hiển nhiên đúng.
Do vậy chỉ cần xét trường hợp:
0
22
2
2
1

n

aaa
và
0
22
2
2
1

n
bbb

Ta có Rx


:
0)(2
2
11
2
111
2
2
1
 bxabxbaxa


0)(2
2
22
2

222
2
2
2
 bxabxbaxa

…………

0)(2
2
2
2
2

nnnnnn
bxabxbaxa

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta có:
Bất đẳng thức - ducduyspt
17

0 ) () (
22
2
2
12211
2
22
2
2

1

nnnn
bbbxbababaxaaa
Tam thức b ậc hai ở vế trái không âm với mọi x nên
0




0) )( () (
22
2
2
1
22
2
2
1
2
2211

nnnn
bbbaaabababa

) )( () (
22
2
2
1

22
2
2
1
2
2211 nnnn
bbbaaabababa 
Dấu bằng xảy ra khi
0
x sao cho:
nn
bxabxabxa 
0101001




n
n
b
a
b
a
b
a

2
2
1
1

2.Các hệ quả:
HQ1: Với 2 dãy số ), ,,(
21 n
aaa và ), ,,(
21 n
bbb , nib
i
, ,2,1,0 

n
n
n
n
bbb
aaa
b
a
b
a
b
a




) (

21
2

21
2
2
2
2
1
2
1

HQ2: Với 2 dãy số ), ,,(
21 n
aaa và ), ,,(
21 n
bbb , nib
i
, ,2,1,0 
Ta có:
) () (
22
2
2
1
2
21 nn
aaanaaa 


Bất đẳng thức bunhiacopski thường được áp dụng để chứng minh bất đẳng thức
đúng với các số thực và thường có dạng sau:
a,

cxgxf  )()(
với Axgxfxgxf



)()(,0)(),(
b,
22
22
)()(
b
a
c
xgxf

 với cxbgxaf


)()(
c, kbaxbgxaf
22
)()(  với )0()()(
222
 kkxgxf
d, )()()(
2
xgxfxh 
đ,
22
sincos baxbxa 

e, mdxcxxbxa 
22
sincossincos
f,
M
pxnxm
cxxbxa



sincos
cossincos

g,
Mxf )(

3.Một số ví dụ:
VD1: Cho phương trình 01
234
 axbxaxx (1) trong đó Rba

,
Biết (1) có ít nhất 1 nghiệm thực.Cmr:
5
4
22
 ba .Dấu bằng xảy ra khi nào?
Giải
Giả sử (1) có 1 nghiệm thực

0
x .Ta có:
01
0
2
0
3
0
4
0
 axbxaxx
(2)

0
0
x
Từ (2)


0)
1
()
1
(
0
0
2
0
2
0

 b
x
xa
x
x
(3)
Đặt
0
00
1
x
xy  .Từ (3)

02
0
2
0
 bayy


2
0
2
2
0
)()2( bayy 
Bất đẳng thức - ducduyspt
18

Áp dụng bunhiacopski cho 2 bộ số (a,b) và )1,(

0
y

)1)(()(
2
0
222
0
 ybabay




)1)(()2(
2
0
222
2
0
 ybay


1
)2(
2
0
2
2
0
22




y
y
ba

Mặt khác:
4)
1
(
2
0
0
2
0

x
xy
.Đặt
0,4
2
0
 tty



5
9
5

9
5
4
5
9
1
5
)2(
2
22








t
t
t
t
t
t
ba

5)5(
9
5
4



t
t
t
5
4
)
25
5
9
1(
5
4



t
t

Do đó:
5
4
22
 ba
Dấu bằng xảy ra khi t=0

4
2
0

y

1
0
x
Với
1
0
x



5
4
,
5
2
,
5
4
22


 baba

Với 1
0
x


5
4
,
5
2
,
5
4
22


 baba
VD2:
0,,


zyx
,Cmr:
)(6111
222
zyxzyx 


Giải:
Giả sử hệ quả 2 với 2 dãy số ),,( zyx và )1,1,1( có:
22222
3)(111  zyxzyx

Áp dụng bất đẳng thức cauchy với 2 số dương
2

)( zyx  và
2
3 ta có:


)(6111
222
zyxzyx 

Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1.
VD3: Trong ABC

chứng minh:
r
h
h
h
h
h
h
a
c
c
b
b
a
1
222

Giải

Ta có
cba
chbhahS
2
1
2
1
2
1



rpr
p
cba
Shhh
cba
1
2
2
)(
2
1111




22
)
111

()
1
(
cba
hhhr




r
h
h
h
h
h
h
r
b
a
c
b
a
c
1
)()
1
(
222
2




r
h
h
h
h
h
h
b
a
c
b
a
c
1
222
 .Dấu bằng xảy ra khi
cba
hhh 
Bất đẳng thức - ducduyspt
19

VD4: Giả sử 1,,

zyx và 2
111

zyx
.

Cmr:
111  zyxzyx

Giải
Từ 2
111

zyx


1
111






z
z
y
y
x
x

Áp dụng bđt Bunhiacopski cho
),,( zyx
và )
1
,

1
,
1
(
z
z
y
y
x
x 



Ta có: )
111
)(()111(
2
z
z
y
y
x
x
zyxzyx









111  zyxzyx
(đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi
2
3
 zyx
VD5: Cho
ABC

cạnh a,b,c. Điểm M trong
ABC

.Gọi khoảng cách từ M tới
BC,CA,AB lần lượt là :x,y,z.
Cmr:
R
cba
zyx
2
222

 (R bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC

)
Giải
Ta có:
R
abc

Sczbyax
4
2 



abc
czbyaxcba
R
cba ))((
2
222222




Luôn có:
cabcabcba 
222


))(
111
(
))(())((
222
czbyax
c
b
a

abc
czbyaxcabcab
abc
czbyaxcba





Áp dụng bđt bunhiacopski:
22
)
111
()(
c
cz
b
by
a
axzyx  )
111
)((
c
b
a
czbyax 


R
cba

zyx
2
)(
222
2




R
cba
zyx
2
222


Dấu bằng xảy ra khi





zyx
cba



ABC

đều, M là trọng tâm.

VD6: Cho 2 số dương x,y thay đổi sao cho: bayx




0 trong đó a,b là 2 số
cho trước.
Cmr:
ba
a
yxba
xa
yx
x
S







222
)(
)(
.Dấu bằng xảy ra khi nào?
Giải
Áp dụng bđt Bunhiacopski cho 4 số ta được:
)
)(

)(()
)(
)()(
(
22
2
yxba
xa
yx
x
yxbayx
yxba
yxbaxa
yx
yx
x











)
)(
)(()(

22
2
yxba
xa
yx
x
baxax





Bất đẳng thức - ducduyspt
20



ba
a
yxba
xa
yx
x






222

)(

Dấu bằng xảy ra

yxba
yxba
xa
yx
yx
x





::



yxba
xa
yx
x








))(()( yxxayxbax









byax


VD7: Xác định điều kiện cần và đủ với các hệ số thực
n
rrr , ,,
21
sao cho

2
2211
22
2
2
1
) (
nnn
xrxrxrxxx 
đúng


dãy Rxxx
n
, ,,
21

Giải
Điều kiện cần:
Chọn ), ,,(), ,,(
2121 nn
rrrxxx 


1
22
2
2
1

n
rrr
(*)
Điều cần đủ:
Dãy )(
i
r thỏa mãn điều kiện (*) theo bunhiacopski

) )( () (
22
2
2

1
22
2
2
1
2
2211 nnnn
xxxrrrxrxrxr 


) () )( (
22
2
2
1
22
2
2
1
22
2
2
1 nnn
xxxxxxrrr 

( do
1
22
2
2

1

n
rrr
)


2
2211
22
2
2
1
) () (
nnn
xrxrxrxxx 

Kết luận điều kiện cần và đủ là:
1
22
2
2
1

n
rrr

4.Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng
Cho các số .0,,,,,,,,
321321321

cccbbbaaa
Cmr:
))()(()(
3
3
3
3
3
3
3
2
3
2
3
2
3
1
3
1
3
1
3
333222111
cbacbacbacbacbacba 
(1)
Giải
Áp dụng bđt cauchy cho 3 số dương ta có:
3
3
3

3
2
3
1
3
3
3
3
2
3
1
3
3
3
3
2
3
1
111
3
3
3
2
3
1
3
1
3
3
3

2
3
1
3
1
3
3
3
2
3
1
3
1
3
cccbbbaaa
cba
ccc
c
bbb
b
aaa
a








Tương tự có bđt cho 3 số dương có tử số là:
222
,, cba và
333
,, cba
Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên ta được:
3
))()((
)(3
3
3
3
2
3
1
3
3
3
2
3
1
3
3
3
2
3
1
333222111




cccbbbaaa
cbacbacba


))()(()(
3
3
3
2
3
1
3
3
3
2
3
1
3
3
3
2
3
1
3
333222111
cccbbbaaacbacbacba 

đpcm.
Lưu ý: với cách làm tương tự ta có trường hợp tổng quát:

Cho m bộ số, mỗi bộ gồm n số không âm: mikba
iii
, ,2,1),, ,,( 
Bất đẳng thức - ducduyspt
21

Thế thì:
) ( )( () (
222111212121
m
m
m
m
m
m
mmmmmm
m
mmm
kbakbakbakkkbbbaaa 
5.Bài tập đề nghị:
Bài 1: Cho 0,,

zyx và 1



zyx
Cmr:
4
3

111





 z
z
y
y
x
x

Bài 2: Cmr
ba,

đều có:
2
1
)1)(1(
)1)((
2
1
22







ba
abba

HD: Biến đổi tương đương áp dụng bunhicopski cho 4 số:
bbaa 2,1,1,2
22


Bài 3: a,b,c là 3 số dương cho trước còn x,y,z là 3 số dương thay đổi luôn thỏa
mãn điều kiện: 1
z
c
y
b
x
a
với mỗi số nguyên dương n,hãy tìm giá trị nhỏ nhất
của tổng: ), ,2,1( nnzyxS
nnn
n

Bài 4: Cho x,y,z>0 cmr:

số nguyên dương n và m ta đều có:


mnmnmn
m
n
m

n
m
n
zyx
x
z
z
y
y
x


C.Bất đẳng thức Chebyshev
1. Cơ sở lý thuyết:
Cho 2 dãy n số
), ,,(
21 n
aaa
và
), ,,(
21 n
bbb

a, Nếu cả 2 dãy đều cùng tăng hoặc cùng giảm,tức là:
hoặc






n
n
bbb
aaa


21
21
hoặc





n
n
bbb
aaa


21
21


Thì ta có:
n
bbb
n
aaa
n

bababa
nnnn



21212211

b, Nếu 1 dãy tăng dãy kia giảm,tức là:
hoặc





n
n
bbb
aaa


21
21
hoặc





n
n

bbb
aaa


21
21

Thì ta có:
n
bbb
n
aaa
n
bababa
nnnn



21212211

Chứng minh
Ta chứng minh cho trường hợp 2 dãy cùng tăng
Gọi
n
aaa
a
n



21




chỉ số i sao cho:
nni
aaaaaa
i



1
21

Lấy b sao cho
nni
bbbbbb
i



1
21

Cộng n bất đẳng thức lại ta có:
nababbaba
n
k
k

n
k
k
n
k
kk


 111
0
(4) (vì



n
k
k
n
k
k
bnbana
11
;
)
Bất đẳng thức - ducduyspt
22

Vậy (4) tương ứng : 0
11




nabnabbaba
n
k
k
n
k
kk






n
k
k
n
k
kk
baba
11


n
bbb
n
n
aaa

bababa
nn
nn




2121
2211



n
bbb
n
aaa
n
bababa
nnnn



21212211

Dấu “=” chỉ xảy ra khi có:
0))((  bbaa
kk

Nếu ), ,,(
21 n

aaa không phải là dãy số dừng thì
n
aaa 
1
nên ta có:





0))((
0))((
11
bbaa
bbaa
nn


bbb
n

1



), ,,(
21 n
bbb
là dãy số dừng.Ngược lại ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả:

Nếu
n
aaa , ,,
21
là các số thực dương có tổng bằng n thì

n
n
nnn
n
nn
aaaaaa 


21
11
2
1
1

2.Các ví dụ
VD1: a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1
222
 cba .Cm:
a,
2
1
333







b
a
c
a
c
b
c
b
a

b,
2
3
222






b
a
c
a
c
b

c
b
a

Giải
a, Vì a,b,c có vai trò như nhau.Giả sử cba





222
cba 



b
a
c
a
c
b
c
b
a






Áp dụng bđt Chebyshev cho 2 dãy số đơn điệu giảm
),,(
222
cba

và ),,(
c
b
a
a
c
b
c
b
a



)(
3
1
)(
3
1
)(
3
1
222
333

cba
b
a
c
a
c
b
c
b
a
b
a
c
a
c
b
c
b
a















)(
3
1
)(
333
b
a
c
a
c
b
c
b
a
b
a
c
a
c
b
c
b
a












vì
1
222
 cba

Mà
2
3






b
a
c
a
c
b
c
b
a

(bất đẳng thức Nesbnit)
Vậy
2
1
2
3
3
1
333






b
a
c
a
c
b
c
b
a
.Dấu bằng xảy ra khi
3
1
 cba
b,Tương tự
VD2: Mở rộng bài toán vd1:

Cho
n
aaa , ,,
21
là các số dương thỏa mãn điều kiện:
1
22
2
2
1

n
aaa
Bất đẳng thức - ducduyspt
23

Cmr: a,
1
1



121
3
143
3
2
32
3
1









naaa
a
aaaa
a
aaa
a
n
n
nn

b,
1


121
2
143
2
2
32
2
1









n
n
aaa
a
aaaa
a
aaa
a
n
n
nn

Giải
a, Áp dụng Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu giảm
), ,,(
22
2
2
1 n
aaa và )

, ,

,

(
121143
2
32
1


n
n
nn
aaa
a
aaaa
a
aaa
a


)



(
1
12132
1






n
n
n
aaa
a
aaa
a
n
VT
Cm cho
1


121143
2
32
1








n

n
aaa
a
aaaa
a
aaa
a
n
n
nn


đpcm.
b, Làm tương tự
3.Kĩ thuật tách Chebyshev
VD1: Cho các số thực dương a,b,c,d thỏa mãn điều kiện

d
c
b
a
dcba
1111


CMR:
3333)(2
2222
 dcbadcba

Giải
Ta trừ tương ứng từng số hạng của 2 vế:
32
)1(3
32
2
2



aa
a
aa

Khi đó (1)


0
32
)1(3
32
)1(3
32
)1(3
32
)1(3
2
2
2
2

2
2
2
2












dd
d
cc
c
bb
b
aa
a

Không thể áp dụng bất đẳng thức chebyshev ngay được vì cả tử số và mẫu số đều
là hàm đơn điệu tăng
Tuy nhiên từ giả thiết
d
c

b
a
dcba
1111

(1)

0
1111
2222








d
d
c
c
b
b
a
a



0

3
12
1
3
12
1
3
12
1
3
12
1
2
2
2
2
2
2
2
2













d
d
d
c
c
c
b
b
b
a
a
a
(2)
Xét hàm: 0,
1
)(
2


 x
x
x
xf và
2
3
12
1
)(

x
xg



Ta thấy f(x),g(x) là các hàm đơn điệu tăng trên

R

Ta có thể áp dụng chebyshev cho bất đẳng thức
Bất đẳng thức - ducduyspt
24

(2)


2222
2222
3
12
1
3
12
1
3
12
1
3
12
1

.
4
1
).
1111
(
4
1
4
dcba
d
d
c
c
b
b
a
aVT










0


VT
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=d=1
VD2: Cho a,b,c 0

thỏa mãn điều kiện a+b+c=3
CMR:
1
111
222









c
b
a
a
c
b
b
a
c

Giải
Ta thấy

)3(3
)1(
)3(3
33
3
1
3
1
3
11
22
2
22








 cc
cc
cc
cc
ccbac

(1)


0
)3(3
)1(
)3(3
)1(
)3(3
)1(
222









aa
aa
bb
bb
cc
cc




0
)3(3
)1(

)3(3
)1(
)3(3
)1(
222









aa
aa
bb
bb
cc
cc




0
3
1
1
3
1

1
3
1
1









a
a
a
b
b
b
c
c
c

Vì vai trò của a,b,c như nhau ta giả sử
cba





111





cba

Mặt khác a+b+c=3 nên 3,,

cabcab

c
c
b
b
a
a
3
1
1
3
1
1
3
1
1







Áp dụng Chebyshev cho 2 dãy trên ta được
(2)


)
3
1
1
3
1
1
3
1
1
(
3
1
)111(
3
1
3
1
c
c
b
b
a

a
cbaVT










0

VT


đpcm.

4.Bài tập đề nghị
Bài1: Cm 0,,


cba ta có: )(3888
222
cbaabccabbca 
HD:
))(83(
))((8
83

2
2
2
cbbcaa
cbbca
bcaa




Sau đó áp dụng Chebyshev với tổng các tử số bằng không

Bài 2: Cho các số thực dương a,b,c,d có tổng bằng 4.
Cmr:
3
1
11
1
11
1
11
1
11
1
2222









d
c
b
a

Bất đẳng thức - ducduyspt
25

HD:
22
11
1
)1(
12
1
12
1
11
1
a
a
a
a





Bài 3: Cho n số nia
i
, ,2,1,0  .Cmr mọi số tự nhiên m ta có:

m
n
m
n
mm
n
aaa
n
aaa
)

(

2121





Bài 4: Chứng minh bất đẳng thức Nesbnit 3 biến bằng cách sử dụng bất đẳng
Chebyshev.

Sáng tạo bất đẳng thức

Phương pháp1:
Từ bài toán gốc thêm bớt điều kiện phát triển thành bài toán mới
VD1: Xét bài toán sau:
0,,,
222
 cbacba
a
c
c
b
b
a
(1)
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương có: ab
b
a
2
2


ba
b
a
 2
2

Tương tự: cb
c
b

 2
2

ac
a
c
 2
2

Cộng 3 vế bđt trên ta được:
0,,,
222
 cbacba
a
c
c
b
b
a
.
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c.

Phát triển bài toán:
Vd1.1: 0,,

cba và 1



cba .Tìm giá trị nhỏ nhất của:

a
c
c
b
b
a
T
2
22

Vd1.2: Cho 0,,

cba .Cmr: cba
a
c
c
b
b
a

333

Vd1.3:
222
333
cba
a
c
c
b

b
a


*Tổng quát hóa của ví dụ 1.2
a, Cho n số nguyên dương
n
aaa , ,,
21
.Cmr:
n
n
n
n
aaa
a
a
a
a
a
a
a
a



21
1
22
1

3
2
2
2
2
1

b, Cho 0,,

cba và n nguyên dương.Cm: cba
a
c
c
b
b
a
n
n
n
n
n
n

 111