MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG ĐẠI SỐ LỚP 8

Tra ng 1

Tên đề tà i :

MỘ T SỐ KINH NGHIỆ M HƯỚ NG DẪ N HỌ C SINH
GIẢ I CÁ C BÀ I TOÁ N CỰ C TRỊ TRONG ĐẠ I SỐ
LỚ P 8

I- LÝ DO CHỌ N ĐỀ TÀ I :
Trong trường phổ thơng mơn Tốn có một vị trí rất quan trọng. Các
kiến thức và phương pháp Tốn học là cơng cụ thiết yếu giúp học sinh
học tốt các mơn học khác, hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực.
Đồng thời mơn Tốn cịn giúp học sinh phát triển những năng lực và
phẩm chất trí tuệ; rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy tích cực,
độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức và thẩm mỹ
của người cơng dân.
Ở trưịng THCS, trong dạy học Tốn: cùng với việc hình thành
cho học sinh một hệ thống vững chắc các khái niệm, các định lí; thì
việc dạy học giải các bài tốn có tầm quan trọng đặc biệt và là một
trong những vấn đề trung tâm của phương pháp dạy học Toán ở trường
phổ thơng. Đối với học sinh THCS, có thể coi việc giải bài tốn là một
hình thức chủ yếu của việc học tốn.
Cùng với việc hình thành cho học sinh một hệ thống vững chắc
các kiến thức cơ bản để học sinh có thể vận dụng vào làm bài tập thì
việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi là mục tiêu quan trọng của ngành
giáo dục nói chung và bậc học THCS nói riêng. Do đó việc hướng dẫn
học sinh kĩ năng tìm tịi sáng tạo trong q trình giải tốn là rất cần
thiết và khơng thể thiếu được.
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn tốn ở trường THCS tơi
đi sâu nghiên cứu nội dung chương trình và qua thực tế dạy học tơi
thấy: trong chương trình Tốn THCS "Các bài toán về cực trị trong đại

số" rất đa dạng, phong phú và thú vị, có một ý nghĩa rất quan trọng đối
SK KN NĂ M 2011- 2012

GV S OẠ N: PHẠ M VĂ N Đ Ứ C


Tra ng 2

với các em học sinh ở bậc học này.Ở THPT để giải quyết các bài toán
về cực trị đại số người ta thường dùng đến "công cụ cao cấp" của toán
học là: đạo hàm của hàm số. Ở THCS, vì khơng có (hay nói chính xác
hơn là khơng được phép dùng) "cơng cụ cao cấp" của Tốn học nói
trên, nên người ta phải bằng các cách giải thơng minh nhất, tìm ra các
biện pháp hữu hiệu và phù hợp với trình độ kiến thức ở bậc học THCS
để giải quết các bài tốn loại này. Chính vì vậy, các bài tốn cực trị
đại số ở THCS khơng theo quy tắc hoặc khn mẫu nào cả, nó địi hỏi
người học phải có một cách suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp kiến
thức cũ với kiến thức mới một cách logic có hệ thống.
Trên thực tế giảng dạy Tốn 8-9 những năm qua tơi nhận thấy:
phần "Các bài tốn cực trị trong đại số" là một trong những phần trọng
tâm của việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi ở trường THCS. Thế nhưng
thực trạng học sinh trường chúng tôi và những trường tôi đã từng dạy
là: học sinh không có hứng thú với loại tốn này, bởi lẽ các bài tốn về
cực trị đại số ở trường THCS khơng theo một phương pháp nhất định
nên các em rất lúng túng khi làm tốn về cực trị, các em khơng biết
bắt đầu từ đâu và đi theo hướng nào. Hầu hết học sinh rất ngại khi gặp
các bài toán cực trị và không biết vận dụng để giải quyết các bài tập
khác.
Thực trạng đó khiến tơi ln băn khoăn suy nghĩ: "Làm thế nào để
học sinh không thấy ngại và có hứng thú với loại tốn này". Với trách

nhiệm của người giáo viên tơi thấy mình cần giúp các em học tốt hơn
phần này.
Tôi đã dành thời gian đọc tài liệu, nghiên cứu thực tế giảng dạy
của bản thân và của một số đồng nghiệp; qua sự tìm tịi thử nghiệm,
được sự giúp đỡ của các bạn đồng nghiệp. Đặc biệt là những bài học
sau những năm ở trường sư phạm. Tôi mạnh dạn chọn nghiên cứu đề
tài: "Hướng dẫn học sinh THCS giải các bài toán cực trị trong đại số".
Với đề tài này tôi hi vọng sẽ giúp học sinh khơng bỡ ngỡ khi gặp
các bài tốn cực trị đại số, giúp các em học tốt hơn. Đồng thời hình
SK KN NĂ M 2011- 2012

GV S OẠ N: PHẠ M VĂ N Đ Ứ C


Tra ng 3

thành ở học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực
phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức
vào hoạt động thực tiễn, rèn luyện nếp nghĩ khoa học luôn mong muốn
làm được những việc đạt kết quả cao nhất, tốt nhất.

II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.
1/ Thuậ n lợ i :
- Luôn trau giồ i họ c hỏ i, dự giờ , gó p ý , rú t kinh nghiệ m từ đồ ng
nghiệ p.
- Có sự hỡ trợ và độ ng viên củ a BGH nhà trườ ng và tổ chuyên môn.
- Mạ ng thơng tin internet có mộ t kho tà ng kiế n thứ c khổ ng lồ .
2/ Khó khăn :
- HS hệ bá n công yế u nhiề u về kiế n thứ c, kỹ năng , ý thứ c họ c tậ p
không cao. Thiế u niề m tin trong họ c tậ p.

- Đa số HS thiế u nề n tả ng kiế n thứ c. Tư duy , suy luậ n không cao.
3/ Điề u tra cơ bả n:
Trước thực trạng trên tôi đã điều tra học sinh qua khả o sá t chấ t
lượ ng đầ u năm, kết quả cho thấy.

Năm

Lớp

Sỉ
số

Giỏi
SL
%

Khá
SL %

TB
Sl

8.3

43

02

4,7

08

8.5

40

01

2,5

8.3

42

01

8.5

40

01

Yếu- kém
SL
%

%

19,0

25

58,1

8

18,6

09

22,5

23

57,5

7

17,5

2,4

08

19,0

26

61,9

7

16,6

2,5

10

25,0

22

55,0

7

17,5

2009-2010

2010-2011

Sau khi kiểm tra tôi thấy rằng học sinh hiểu và làm rất mơ hồ,
một sô học sinh làm được chỉ nằm vào một số học sinh khá- giỏi. Số
còn lại chủ yếu là học sinh TB, Yếu, kém không biết giải thích bài
tốn như thế nào.
SK KN NĂ M 2011- 2012

GV S OẠ N: PHẠ M VĂ N Đ Ứ C

Tra ng 4

III- NỘ I DUNG ĐỀ TÀ I:
A/ Cơ sở lý luậ n:
1/ Đối với học sinh :. khi nhận chun mơn phân cơng dạy tốn
8 ở những tiết đầu tiên tôi cảm thấy hụt hẩng trước cách học của học
sinh.
Để thống kê năng lực tiếp thu bài của học sinh tơi dùng nhiều
hình thức phát vấn trắc nghiệm rút ra một hiện tượng nổi bật học sinh
trả lời rõ ràng mạch lạc nhưng mang tính chất học vẹt chấp hành đúng
nguyên bản, quá trình dạy để kiểm tra việc thực hành ứng dụng của
học sinh tôi đưa ra một số ví dụ thì học sinh lúng túng khơng biết
chứng minh như thế nào.
2/ Đối với giáo viên :
Vấ n đề này không thể đổ lỗi cho tất cả học sinh bởi vì người giáo
viên là người chủ động, chủ đạo kiến thức, cũng chỉ tuân theo SGK mà
dạy, bài tốn này địi hỏi học sinh phải tư duy tốt và phải thâu tóm
được kiến thức đã học để tận dụng vào làm bài tập .
Đôi khi giáo viên áp đặt gị bó các em phải thê này, phải thế nọ
mà không đưa ra thực tế để các em nhìn nhận vấn đề.
Về phía học sinh cảm thấy khó tiếp thu bởi vì đây là dạng tốn
mà các em rất ít được gặp chính vì lí do đó mà người thầy phải tìm ra
PP phù hợp nhất để học sinh có hứng học, bước đầu học sinh làm quen
với dạng bài toán “ Toán Cực chỉ” nên cảm thấy mơ hồ phân vân tại
sai lại phải làm như vậy. Nếu khơng biến đổi thì có tìm được kết quả
khơng. Từ những băn khoăn đó của học sinh giáo viên khẳng định nếu
khơng biến đổi như vậy thì khơng trả lời u cầu của bài tốn.
Sau đây tơi xin đưa ra một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh
giải các bài toán cực trị trong đại số 8 .

B. Nộ i dung
1. Khái niệm về cực trị của một biểu thức
Cho biểu thức nhiều biến số P(x, y, ..., z) với x, y, ..., z thuộc
miền S nào đó xác định. Nếu với bộ giá trị của các biến

(x 0 , y 0 ,

...z 0 )  S mà ta có: P(x 0 , y 0 , ...z 0 )  P(x, y, ..., z) hoặc P(x 0 , y 0 , ...z 0 ) 

SK KN NĂ M 2011- 2012

GV S OẠ N: PHẠ M VĂ N Đ Ứ C


Tra ng 5

P(x, y, ..., z) thì ta nói P(x, y, ..., z) lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại (x 0 ,
y 0 , ...z 0 ) trên miền S.
P(x, y, ..., z) đạt giá trị lớn nhất tại (x 0 , y 0 , ...z 0 )  S còn gọi là P
đạt cực đại tại (x 0 , y 0 , ...z 0 ) hoặc P m a x tại (x 0 , y 0 , ...z 0 ). Tương tự ta có:
P đạt giá trị nhỏ nhất tại (x 0 , y 0 , ...z 0 )  S còn gọi là P đạt cực tiểu tại
(x 0 , y 0 , ...z 0 ) hoặc P m i n tại (x 0 , y 0 , ...z 0 ).
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P trên miền xác định S gọi là các
cực trị của P trên miền S.
2. Nguyên tắc chung tìm cực trị của một biểu thức
Tìm cực trị của một biểu thức trên một miền xác định nào đó là
vấn đề rộng và phức tạp, nguyên tắc chung là:
a) Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức P(x, y, ..., z) trên miền
xác định S, ta cần chứng minh hai bước:

- Chứng tỏ rằng P  k ( với k là hằng số ) với mọi giá trị của các
biến trên miền xác định S
- Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức.
b) Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức P(x, y, ..., z) trên miền
xác định S, ta cần chứng minh hai bước:
- Chứng tỏ rằng P  k ( với k là hằng số ) với mọi giá trị của các
biến trên miền xác định S
- Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức.
Chú ý rằng không được thiếu một bước nào trong hai bước trên .
VÍ DỤ:

Cho biểu thức A = x 2 + (x - 2) 2

Một học sinh tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A như sau:
Ta có

x 2  0 ; (x - 2) 2  0 nên A  0.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 0.
Lời giải trên có đúng khơng?
Giải :
Lời giải trên không đúng. Sai lầm của lời giải trên là mới chứng tỏ
rằng A  0 nhưng chưa chỉ ra được trường hợp xảy ra dấu đẳng thức.
Dấu đẳng thức không xảy ra, vì khơng thể có đồng thời:
x 2 = 0 và (x - 2) 2 = 0 .
SK KN NĂ M 2011- 2012

GV S OẠ N: PHẠ M VĂ N Đ Ứ C

Tra ng 6

Lời giải đúng là:
A = x 2 + (x - 2) 2 = x 2 + x 2 - 4x +4 = 2x 2 - 4x + 4
= 2(x 2 -2x - +1) + 2 = 2(x - 1) 2 + 2
(x - 1) 2  0 ,  x

Ta có:

2(x - 1) 2 + 2  2



 A 2

x

x

Do đó A = 2 khi x = 1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 2 với x = 1.
3. Kiến thức cần nhớ:
Để tìm cực trị của một biểu thức đại số, ta cần nắm vững:
a) Các tính chất của bất đẳng thức, các cách chứng minh bất đẳng
thức.
b) Sử dụng thành thạo một số bất đẳng thức quen thuộc:
* a 2  0, tổng quát: a 2 k  0 (k nguyên dương)
Xảy ra dấu đẳng thức  a = 0
* -a 2  0, tổng quát:

-a 2 k  0 (k nguyên dương)

Xảy ra dấu đẳng thức  a = 0

*

a 0 .

* - a a  a .

(Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0)
(Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0)

*

a  b  a  b (Xảy ra dấu đẳng thức khi ab  0)

*

a  b a  b
(Xảy ra dấu đẳng thức khi a  b  0 hoặc a  b  0)
1
2 ,  a >0
a

và a 

1
 2 ,  a <0
a

*

a

*

a  b2  a  b 

  ab  a,b (Xảy ra dấu đẳng thức  a = b)
2
2



*

a  b, ab >0 

2

1
1

a
b

(Xảy ra dấu đẳng thức  a = b)

C. CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN

SK KN NĂ M 2011- 2012

GV S OẠ N: PHẠ M VĂ N Đ Ứ C


Tra ng 7

(Một số dạng bài toán cực trị trong đại số)
Thơng qua các bài tốn trong sách giáo khoa (sách tham khảo) tôi
tiến hành phân loại thành một số dạng cơ bản nhất về các bài toán cực
trị trong đại số ở THCS rồi hướng dẫn học sinh tìm kiến thức có liên
quan cần thiết để giải từng dạng tốn đó. Sau đây là một số dạng cơ
bản thường gặp:
DẠNG 1 : BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN
NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC LÀ TAM THỨC BẬC HAI.
Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
A(x) = x 2 - 4x + 1
Trong đó x là biến số lấy các giá trị thực bất kỳ.
Hướng dẫn giải :
Gợi ý : Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) ta cần phải
biến đổi về dạng A(x) k (k là hằng số) với mọi gía trị của biến và chỉ
ra trường hợp xảy ra đẳng thức
Lời giải : A(x) = x 2 - 4x+1
= x 2 - 2.2x+1
= (x 2 - 2.2x+4)- 3
= (x- 2) 2 - 3
Với mọi giá trị của x: (x - 2) 2 0 nên ta có:
A(x) = (x- 2) 2 - 3 -3
Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng -3 khi x=2
Đáp số : A(x) n h ỏ n h ấ t = - 3 với x=2

Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
B(x) = -5x 2 - 4x+1
Trong đó x là biến số lấy giá trị thực bất kỳ
SK KN NĂ M 2011- 2012

GV S OẠ N: PHẠ M VĂ N Đ Ứ C


Tra ng 8

Hướng dẫn giải :
Gợi ý : Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) ta cần phải
biến đổi đưa B(x) về dạng B(x)  k (k là hằng số) với mọi giá trị của
biến khi đó giá trị lớn nhất của B(x)= k và chỉ ra khi nào xảy ra đẳng
thức
Lời giải : B(x) = -5x 2 – 4x+1
= -5 (x 2 +

4
x) +1
5

2
2
 2
2
 2
 2 
x


2
.
x







 1
= -5
5
 5
5 


2

2
4
=  5  x   
 1
5
25





2

2 4

= -5  x     1
5 5

2

2
9

= -5  x   
5
5

2

Với mọi giá trị của x:  x  
5


2

2

2

 0 nên -5  x    0
5



2

9
9
2


suy ra: B(x)= -5  x   +
5
5
5


Vậy B(x)đạt giá trị lớn nhất khi B(x)=
Đáp số : B(x) l ớ n

nhất

=

9
2
, khi x = 5
5
9
2
với x = 5
5

Ví dụ 3: (Tổng quát)
Cho tam thức bậc hai P = ax 2 +bx + c
Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a > 0
Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a < 0

SK KN NĂ M 2011- 2012

GV S OẠ N: PHẠ M VĂ N Đ Ứ C


Tra ng 9

Hướng dẫn giải :
Gợi ý : Để tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của P ta cần phải biến
đổi sao cho P = a.A 2 (x) + k. Sau đó xét với từng trường hợp a>0 hoặc
a<0 để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất.
Lời giải :
P = a.A 2 (x) + k
= a (x 2 +

b
x) + c
a

 2
b
b2 
b2
 a x  2.x.  2   c 

2a 4a 
4a 2

2

b 

 a x    k
2a 


b2
k c  2
4a

với

2

b 

Do  x 
 0 nên:
2
a


2

b 


+Nếu a>0 thì a x 
 0 do đó P  k
2a 

2

b 

+Nếu a<0 thì a x 
 0 do đó P  k
2a 

Vậy khi x = -

b
thì P có giá trị nhỏ nhất bằng k (nếu a>0)
2a

hoặc giá trị lớn nhất bằng k (nếu a<0)

DẠNG 2 : BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
GIÁ TRI LỚN NHẤT CỦA ĐA THỨC BẬC CAO:
Ví dụ4 :
Tìm giá trị nhỏ nhất của A = (x 2 + x + 1) 2
Hướng dẫn giải :
SK KN NĂ M 2011- 2012

GV S OẠ N: PHẠ M VĂ N Đ Ứ C

Tra ng 10

(?)

Ta nhận thấy A = (x 2 + x + 1) 2  0, nhưng giá trị nhỏ nhất của A

có phải bằng 0 hay khơng? Vì sao?
Trả lời : Mặc dù A  0 nhưng giá trị nhỏ nhất của A khơng phải
bằng 0 vì: x 2 + x +1 ≠ 0
Do đó A m i n  (x 2 + x +1) m i n
(?)

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của x 2 + x +1? và tìm giá trị nhỏ nhất

của A?
Trả lời: Ta có x 2 + x +1

= x 2 + 2x.

1
1
1
+
+ 1
2
4
4

2

3
3
1


= x  +
4
4
2

3
1
với x = 4
2

Vậy giá trị nhỏ nhất của x 2 + x + 1 bằng
 3
 4

2

Trả lời: Giá trị nhỏ nhất của A bằng   

9
16

với x = -

1

2

Ví dụ 5 :
Tìm giá trị nhỏ nhất của
x 4 – 6x 3 + 10x 2 – 6x + 9
Hướng dẫn giải :
Gợi ý: -Hãy viết biểu thức dưới dạng A 2 (x) + B 2 (x)  0
-Xét xem xảy ra dấu đẳng thức khi nào? Giá trị nhỏ nhất
của biểu thức bằng bao nhiêu?
Lời giải :

x 4 - 6x 3 + 10x 2 - 6x +9

= x 4 - 2.x 2 .3x + (3x) 2 + x 2 - 2x.3 +3 2
= (x 2 - 3x) 2 + (x - 3) 2  0
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi:

SK KN NĂ M 2011- 2012

GV S OẠ N: PHẠ M VĂ N Đ Ứ C


Tra ng 11

�
�x  0
�x  x  3  0
�x 2  3x  0
�x  0
�

�
��
� ��x  3 � �
�
�x  3
�x  3  0
�x  3  0
�x  3
�
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3
Đáp số : Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3

DẠNG 3 : BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT,
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA ĐA THỨC
CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TỤT ĐỚI
Ví dụ 6 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x  1  x  3
Hướng dẫn giải :

Gợi ý: Bài toán đề cập tới dấu giá trị tuyệt đối do đó chúng ta
phải nghỉ tới các khoảng nghiệm và định nghĩa giá trị tuyệt đối của
một biểu thức.
A nêu A �0
�
A �
 A nêu A < 0
�

Cách 1 : Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta tính giá trị của A

trong các khoảng nghiệm. So sánh các giá trị của A trong các khoảng
nghiệm đó để tìm ra giá trị nhỏ nhất của A.
Lời giải
+ Trong khoảng x < 1 thì
x  2    x  2  2  x
x  5    x  5  5  x

� A  2  x  5  x  7  2x

Do x < 2 nên -2x > -4 do đó A = 7 - 2x >3
+ Trong khoảng 2  x  5 thì

SK KN NĂ M 2011- 2012

GV S OẠ N: PHẠ M VĂ N Đ Ứ C


Tra ng 12

x2  x2
x  5    x  5  5  x


A= x- 2+ 5 - x= 3

+ Trong khoảng x > 5 thì
x 2  x 2
x 5  x 5


A = x - 2 + x - 5 = 2x - 7

Do x > 5 nên 2x > 10 do đó A = 2x – 7 > 3
So sánh các giá trị của A trong các khoảng trên, ta thấy giá
trị nhỏ nhất của A bằng 3 khi và chỉ khi 2  x  5
Đáp số: A m i n = 3 khi và chỉ khi 2  x  5
Cách 2 : Ta có thể sử dụng tính chất: giá trị tuyệt đối của một tổng
nhỏ hơn hoặc bằng tổng các giá trị tuyệt đối. Từ đó tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức A.
Lời giải:
A  x  2  x 5  x 2  5 x

Ta có:

x  2  5  x �x  2  5  x  3

�
�x  2 �0
A 3� �
�5  x �0
�  x 2  
5�
 x 0� 2

x

5

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 3 khi và chỉ khi 2  x  5

DẠNG 4 : BÀI TOÁN TÌM GTNN, GTLN CỦA PHÂN THỨC
CĨ TỬ LÀ HẰNG SỚ, MẪU LÀ TAM THỨC BẬC HAI
Ví dụ 7 :

3
4x - 4x  5

Tìm giá trị lớn nhất của M =

2

Hướng dẫn giải :
SK KN NĂ M 2011- 2012

GV S OẠ N: PHẠ M VĂ N Đ Ứ C


Tra ng 13

1
1
 hoặc theo quy
a
b

Gợi ý : Sử dụng tính chất a  b, ab >0 

tắc so sánh hai phân số cùng tử, tử và mẫu đều dương.
Lời giải:
Xét M =

3
3
3
=
=
2
(2 x)  4 x  1  4
(2x - 1)2  4
4x 2 - 4x  5

Ta thấy (2x - 1) 2  0 nên (2x - 1) 2 + 4  4
Do đó:

3
(2x - 1)2  4

3
4



Trả lời: Vậy M lớn nhất bằng
Đáp số : M l ớ n
Ví dụ 8 :

nhất

=

3
1
khi 2x – 1 = 0 => x =
4
2

3
1
với x =
4
2

Tìm giá trị nhỏ nhất của B =

1
2x - x 2 - 4

Hướng dẫn giải :
Ta có: B =
Vì
=>

1
= 2x - x 2 - 4

1
1
= (x - 1) 2  3
x - 2x  4
2

(x - 1) 2  0 => (x + 1) 2 + 3  3
1
1

2
(x - 1)  3
3

=> -

Vậy B nhỏ nhất bằng -

1
1
2
(x - 1)  3
3

1
khi x – 1= 0 => x =1
3

Đáp số : M n h ỏ n h ấ t = -

1
với x = 1
3

Chú ý: Khi gặp dạng bài tập này các em thường xuyên lập luận

rằng M (hoặc B) có tử là hằng số nên M (hoặc B) lớn nhất (nhỏ nhất)
khi mẫu nhỏ nhất (lớn nhất)
Lập luận trên có thể dẫn đến sai lầm, chẳng hạn với phân thức

SK KN NĂ M 2011- 2012

GV S OẠ N: PHẠ M VĂ N Đ Ứ C


Tra ng 14

1
x 3
2

Mẫu thức x 2 - 3 có giá trị nhỏ nhất là -3 khi x = 0
Nhưng với x = 0 thì

1
1
= khơng phải là giá trị lớn nhất
x 3
3
2

của phân thức
Chẳng hạn với x = 2 thì

1
1

= 1> x 3
3
2

Như vậy từ -3 < 1 khơng thể suy ra Vậy từ a < b chỉ suy ra được

1
1
>
3
1

1
1
>
khi a và b cùng dấu .
a
b

DẠNG 5 : BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT
CỦA PHÂN THỨC CĨ MẪU LÀ BÌNH PHƯƠNG CỦA NHỊ THỨC
x2  x  1
Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
( x  1) 2

Ví dụ 9
Cách1 :

Gợi ý: Hãy viết tử thức dưới dạng lũy thừa của x + 1, rồi đổi
biến bằng cách viết A dưới dạng tổng các biểu thức là lũy thừa của

1
. Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A.
x 1

Lời giải :

Ta có:

x 2 + x + 1 = (x 2 + 2x + 1) - (x +1) + 1
= (x + 1) 2 - (x + 1) + 1

Do đó

Đặt y=

1
1
( x  1) 2 ( x  1)
1


A=
+
2 = 1 2
2
( x  1)
( x  1) 2
( x  1)
( x  1)
x 1

1
khi đó biểu thức A trở thành:
x 1

SK KN NĂ M 2011- 2012

A = 1 - y + y2

GV S OẠ N: PHẠ M VĂ N Đ Ứ C


Tra ng 15

1
1
3
+ ( )2 +
2
2
4

A = 1 - y + y 2 = y 2 – 2.y.

Ta có:

2

3
3
1



= y  +
4
4
2


Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng
y 

3
khi và chỉ khi:
4

1
1
1
1
0  y  

2
2
x 1 2
 x + 1 = 2
 x = 1

Đáp số :

Anhỏ nhất =

3
khi x = 1
4

Cách 2 :
Gợi ý : Ta có thể viết A dưới dạng tổng của một số với một biểu
thức khơng âm. Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Lời giải:
x 2  x  1 4 x 2  4 x  1 3x 2  6 x  3  x 2  2 x  1
A


2
2
 x  1 2
4 x  1
4 x  1
A

3( x  1) 2  ( x  1) 2
4( x  1) 2

3 ( x  1) 2
A 
4 4( x  1) 2
3  x 1 
A 

4  2( x  1) 

A=

2

3  x 1 2
3
+
 
4  2( x  1) 
4

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng

3
khi x-1=0  x=1
4

Đáp số : A n h ỏ n h ấ t =
SK KN NĂ M 2011- 2012

3
khi x=1
4
GV S OẠ N: PHẠ M VĂ N Đ Ứ C


Tra ng 16

DẠNG 6 : BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT

CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ
DẠNG

A( x)
A( x )
 0 ( hoặ c
 0)
2
k
k2

Ví dụ 10 :
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

M (x) =

3 x 2  6 x  10
x2  2x  3

(Với x thuộc tập hợp số thực)
Hướng dẫn giải :
Gợi ý : Từ M ( x ) =

3x 2  6 x  9  1
3( x 2  2 x  3)  1
=
x2  2 x  3
x2  2x  3

M(x) =

(?)

3 x 2  6 x  10
ta có:
x2  2x  3

Ta có thể chia cả tử thức và mẫu thức của biểu thức cho

x2

+ 2x + 3 được khơng? Vì sao?
Trả lời : Vì x 2 + 2x + 3 = x 2 + 2x + 1 + 2 = (x+1) 2 > 0 với mọi giá
trị của x. nên sau khi chia cả tử và mẫu cho x 2 + 2x + 3 ta được
M(x) = 3 +
(?)

1
( x  1) 2  2

Bài tốn xuất hiện điều gì mới?

Trả lời: Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1
( x  2) 2  2

(?)

Hãy tìm giá trị lớn nhất của

1

từ đó suy ra giá trị
( x ) 2  2

lớn nhất của M(x)
Trả lời: Vì (x+1) 2  0
Nên

(x+1) 2 + 2  2

SK KN NĂ M 2011- 2012

Với mọi x
với mọi x
GV S OẠ N: PHẠ M VĂ N Đ Ứ C


Tra ng 17

Do đó

1
1

2
( x  1)  2
2

Từ đó ta có:
M(x) = 3 +

1
1
1
3 +
= 3
2
( x  1)  2
2
2

Dấu “=” xảy ra khi x+1=0 hay x=-1
Vậy giá trị lớn nhất của M(x) = 3
Đáp số : M(x) L ớ n

1
khi và chỉ khi x=-1
2
nhất

=3

1
với x = -1
2

IV- KẾ T QUẢ
Để giải quyết các bài toán về cực trị đại số ở lớp 8 các em phải
biến đổi đồng nhất các biểu thức đaị số, phải biến đổi và sử dụng khá
nhiều các hằng đẳng thức đáng nhớ từ dạy đơn giản đến phức tạp.
Ngồi ra cịn liên quan mật thiết đến các kiến thức chứng minh đẳng

thức bởi thế nói các bài tốn cực trị đại số 8 tạo ra khả năng giúp học
sinh có điều kiện để rèn luyện kĩ năng biến đổi đồng nhất các biểu
thức đại số, kĩ năng tính tốn, khả năng tư duy.
Đề tài này giúp học sinh giải quyết các bài tốn về cực trị trong
đại số 8 có PP hơn, có hiệu quả hơn và vận dụng vào giải quyết các bài
tập có liên quan kích thích được sự đam mê học tốn nói chung và sự
say mê giải các bài tốn cực trị nói riêng.
u cầu về phát huy tính tự giác rèn luyện khả năng tư duy tích
cực độc lập, sáng tạo của học sinh thông qua hoạt động giải toán đã
được học.
Về mặt tư tưởng các bài tốn cực trị giúp học sinh thêm gần gũi
với kíên thức thực tế của đời sống, rèn luyện nếp nghỉ khoa học . luôn
mong muốn làm được những công việc đạt hiệu quả cao nhât, tốt nhất.
Sau khi áp dụng các cách giải bài toán cực trị trong đại số 8
thực tế học sinh dần dần chú trọng khi giải tốn chứ khơng lúng túng
như trước. Khả o sá t kế t quả cuố i mỗ i năm họ c thu đượ c như sau:

Năm

Lớp

SK KN NĂ M 2011- 2012

Giỏi

Khá

TB

Yếu- kém

GV S OẠ N: PHẠ M VĂ N Đ Ứ C


Tra ng 18

Sỉ
số

SL

%

SL

%

Sl

%

SL

43

04

9,3

09

20,9

27

62,8

3

7,0

8.5

40

03

7,5

10

25,0

23

57,5

4

10,0

8.3

42

02

4,8

10

23,8

26

61,9

4

9,5

8.5

40

04

10,0

12

30,0

22

55,0

2

5,0

8.3

%

2009-2010

2010-2011

V- KẾ T LUẬ N - BÀ I HỌ C KINH NGHIỆ M:
Với đề tài “ Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực
trị trong đại số” Tôi đã cố gắng hệ thống một số dạng cơ bản nhất về
các bài toán cực trị trong đại số 8. Trong mỡi giờ dạy tơi có đưa ra cơ
sở lí thuyết và những ví dụ trong mỡi ví dụ đó có gợi ý và hướng dẫn
học sinh cách giải và những chú ý cần thiết để khi gặp các ví dụ khác
các em có thể giải được.
Các dạng bài tập đưa ra từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức
tạp nhằm giúp cho học sinh có những kiến thức cơ bản về giải bài toán
cực trị trong đại số 8. Bên cạnh đó tơi cịn đưa ra các ví dụ là các bài
tốn tổng hợp các kiến thức và kĩ năng tính tốn, khả năng tư duy ở

cấp học này, qua đó làm cho các em say mê hứng thú học tập bộ mơn
Tốn.
Tuy nhiên trong q trình giảng dạy vẫn có rất nhiều học sinh
cịn bỡ ngỡ trong qúa trình giải các bài tốn cực trị, lập luận chưa có
căn cứ, suy diễn chưa hợp logic và đặc biệt là một số dạng chưa phù
hợp với học sinh trung bình, yếu.
Mặc dù có rất nhiều cố gắng nhưng do thời gian khơng nhiều,
do trình độ năng lực của bản thân và tài liệu tham khảo cịn hạn chế lại
chưa có kinh nghiệm trong lĩnh vực nghiên cứu khoa học nên trong
cách trình bày khơng tránh khỏi những sơ xuất thiếu sót . Rất mong
nhận được sự giúp đỡ, góp ý của các thầy , cơ và và bạn đồng nghiệp

SK KN NĂ M 2011- 2012

GV S OẠ N: PHẠ M VĂ N Đ Ứ C


Tra ng 19

để tơi có thể rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy của mình trong
thời gian sau.
Xé t duyệ t củ a Hiệ u Trưở ng
2011

Tam Hiệ p , ngày 08 tháng 9 năm
Người viết

PHẠ M VĂN ĐỨ C

TÀI LIỆU THAM KHẢO:

1. SGK Toán 8- NXB Giáo dục- Phan Đức Chính, Tơn Thân.
2. SBT Tốn 8 – NXB Giáo dục- Tơn Thân chủ biên
3. Tốn nâng cao tự luận và trắc nghiệm Đại số 8- NXB Giáo dụcNguyễn Văn Lộc.
4. Toán bồi dưỡng học sinh lớp 8 Đại số-NXB Giáo dục Trần San
5. Để học tốt đại số 8- NXB Giáo dục Hoàng Chúng Chủ biên
6. Các bài tốn đại số hay và khó – NXB Giáo dục Nguyễn Đễ
7. PP dạy học mơn tốn – NXB Giáo dục Phạm Gia Đức.

SK KN NĂ M 2011- 2012

GV S OẠ N: PHẠ M VĂ N Đ Ứ C