MỘT số bài TOÁN HÌNH cơ bản và NÂNG CAO

MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
Chủ đề 1
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Bài 1:
Cho tam giác cân ABC, đáy

(

)

BC = a, BAC = 2α α < 45o . Kẻ các

đường cao AH, BK, CE cắt nhau tại D.
Trên các đường cao AH, BK, CE lần lượt
lấy các điểm P, Q, R sao cho
BPC = AQC = ARB = 90o .

a) CMR: CA.CK = CH.CB và AK.AC =
AE.AB. Từ đó hãy suy ra
ΔBRP, ΔCQP, ΔAQR cân và
ΔBRP = ΔCQP .
b) Giả sử: BC = x, AH = m , chu vi 2p .
Chứng minh rằng: m
c) CMR:

p (p

x ).

a
b

c
1
1
1
=
=
= 2R và SABC = bc sin A = ac sin B = ab sin c.
sin a sin b sin c
2
2
2

2
3
cot B + cot C = 2 khi a = 2h.

d) CMR: cot B + cot C = . Giả sử: AH = h, BC = a. Chứng minh rằng:

AK
e) CMR:
AB

(

2

=

AE.EK SAKE
;

= cos 2 A và
AC.BC SABC

)

SHKE
= 1- cos2 A + cos2 B + cos2 C .
SABC

f) CMR: AK.BE.CH = AB.BC.CA. cos A cos B cos C và tính SABC khi
A = 30o , AB = 4cm. CMR: AB cos A = BC cos B.


g) Tính các cạnh của VABK, VBKC theo BC = a và theo tỉ số lượng giác của 2α,
của α.
h) Từ đó, chứng minh rằng:
sin 2α = 2 sin αcos α
cos 2α = cos 2 α - sin α = 2 cos 2 α -1 = 1- 2 sin 2 α
2 tan α
tan 2α =
1- tan 2 α

Bài 2:
Cho VABC vng tại A có C = 30o , đường cao AD, trung tuyến AM. Gọi E, F lần
lượt là hình chiếu của D lên AB, AC và H là giao điểm của EF và AD. Từ B kẻ
đường thẳng vuông góc với AM cắt AC tại S. Giả sử: BC = x ( cm ) .
a) CMR: AMB = 2ACB và VABM đều. Tính SBEFC theo x.
b) Tính:

SAEDF

SEADF
và
.
SABC
SAED + SDFC

c) Cho BC = x = 8 ( cm ) . Tính SABC ; SAEDF ; SAED ; SDFC và SDEB .
d) CMR: SBSC = 2SABS và tính SBSC theo x.
e) CMR: ΔAHF đều; EF// BS và tính:

Bài 4:

SAHF
.
SBSC


Cho ΔABC nhọn có B = 60o , C = 75o. Kẻ ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
Biết: EF = 4 2 cm; AB = 4 3 cm.
a) Tính SABC ?
b) Tính EHF và chứng minh: A = EHC; B = AHF; C = DHB.
c) Tính BE; CF và khoảng cách từ H đến các cạnh AB; AC; BC.
d) Gọi S là giao điểm của BC và FE, kẻ CI ^ FS tại I. Tính độ dài EI, từ đó hãy tính
SCFS và SBES .

Bài 5:
Cho hình bình hành ABCD có:
AB = 2AD = x ( cm ) và A = 2D. Đường

phân giác trong của A và B cắt nhau tại F;

đường phân giác trong của C và D cắt
nhau tại E. AF cắt DE tại G: CE cắt BF tại
H. Gọi O là giao điểm của GH; EF. Gọi M
là giao điểm của DA, CE và N là giao
điểm của AF, BC.
a) CMR:
- EHFG là hình chữ nhật.


- ADFE; NCEF là hình thoi.
- ΔMDC và ΔNAB đều.
1
4

b) CMR: SEHFG = SABCD .
c) Tính SABN và tính
EH =

SABCD
. Từ đó hãy suy ra: S2ABCD = 2SEGFH .SMBND và
SMBND

1
MC.
4

d) Chứng minh MBND là hình chữ nhật và O là tâm của nó.

Bài 6:
Cho hình chữ nhật ABCD có

AB = BC 3 ( cm ) và O là giao điểm của hai
đường chéo AC, BD. Từ mỗi đỉnh của hình
chữ nhật hạ các đường cao
AE ^ BD; BH ^ AC; CF ^ BD và DI ^ AC.
Gọi M là giao điểm của AE và DI; và N là
giao điểm của CF và BH.
a) CMR: AI = IO = OH = HC =
1
4

b) CMR: SIFHE = SABCD và
c) CMR:

1
AC và IFHE là hình chữ nhật.
4

SAIED SBFHC 1
=
= .
SDEHC SAIFB 3

SIFNM
7
=
và 20SIFNM = 7SMNCD .
SIFCD 27

d) Cho BC = 4 cm. Tính SMIFNHE và chứng minh: SMIFN = SMEHN .
e) CMR:

Bài 7:

SOEN
SAED
SIDHB
1
1
2
= .
= ;
= và
SMIFNHE 7
SABCD 8 SABFCDE 3


Cho ΔABC đều có 3 đường cao AD; BE; CF cắt
nhau tại H. Hai đường phân giác ngoài của B và
C cắt nhau tại I (biết A; D; I thẳng hàng). Từ I
kẻ IM ^ AB; IN ^ AC và gọi P; K lần lượt là

giao điểm của EF; MN với đường thẳng AI. Giả
sử: AB = BC = CA = a ( mm ) .
a) CMR:
- ABIC; MDNI là hình thoi.
- EFBC; MFEN là hình thang cân.
- CFMI; IBEN là hình chữ nhật.
b) CMR: sin ICD =

CF

và tính SBFCI theo a.
CI

c) CMR: SABIC = 4SAFDE và tính SAFDE ; SBDE theo a.
d) Cho BC = a = 4 3 cm. CMR: MBED là hình bình hành và tính SBHCNDM .
AP 1 AF
AE 1
= ;
=
= . Từ đó suy ra: AM.AI = 12 ( AF.AI - AP.AM ) và
AI 4 AM AN 3
AE.AI - AP.AN = 3BC.

e) CMR:

Bài 8:
Cho tứ giác ABCD có C = 75o , D = 60o ; A + C = B + D và hai đường chéo cắt nhau
tại O. DA cắt CB tại Q, AB cắt DC tại T. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của
DA, AB, BC, CD. Và I, M lần lượt là giao điểm của EF, GH với AC và K, N lần
lượt là giao điểm của FG, HE với BD.
a) CMR: tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn.
b) CMR: EFGH là hình bình hành. Từ đó suy ra:
SEFGH =

1
1
SABCD ; SIKMN = SABCD .
2
4

c) CMR: DEIN, KGCM là hình thoi và ΔDBC cân.
d) CMR: VDQT vng. Kẻ BP ^ DQ, BS ^ QT; chứng minh PQSB là hình vng.


e) CMR: B là giao điểm 3 đường phân giác ΔDQT.

Bài 9:
Cho ΔABC cân tại A có A = 45o ; kẻ 3 đường
cao AD, BE, CF và chúng cắt nhau tại H. Gọi
O, I, K lần lượt là trung điểm của HB, HC,
HA và M, N là trung điểm của AB, AC. Gọi
P, L, Q lần lượt là giao điểm của AH với
MN, EF và OI.
Hãy chứng minh rằng:
a) SOIK =

1
SABC và H là trực tâm VOIK.
4

b) MK//FN//BE. Từ đó suy ra: K là trực tâm
VAMN.

c) MK ^ IK và KF ^ KE.
d) KF = KH = KE; MF = NE .
e) MKF = OKF = OKD = DKI = IKE = EKN.
f) MNIO là hình vng.
g) EF, MI, ON đồng quy tại L.
h) L là trung điểm PQ.

Bài 11:
Cho tam giác nhọn ABC đường cao CK; H
là trực tâm của tam giác. Gọi M là một
điểm trên CK sao cho AMB = 90o. S, S1 , S2
theo thứ tự là diện tích các tam giác AMB,
ABC và ABH. Chứng minh rằng:
S = S1S2 .

Bài 12:
Cho tam giác ABC với các đỉnh A, B, C và
các cạnh đối diện với các đỉnh tương ứng là:
a, b, c. Gọi D là chân đường phân giác trong
góc A.
Hãy chứng minh rằng:
a) a 2 = b2 + c2 - 2bc cos A
b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B
c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C

b) AD =

2bc cos
b+c

A
2 .

Bài 13:
Không dùng máy tính bỏ túi và bảng số hãy chứng minh rằng: sin 75o =

Bài 14:
Cho M là một điểm bất kì thuộc miền trong của
hình chữ nhật ABCD. CMR:
MA2 + MC2 = MB2 + MD2 .

6+ 2
.
4


Bài 15:
Cho hình vng ABCD. Qua A vẽ một cát tuyến bất kì cắt
các cạnh BC và CD (hoặc đường thẳng chứa các cạnh đó) tại
các điểm E và F. CMR:

1
AE

2

+

1
2

AF

=

1

AD

.

2

Bài 16:
Cho ΔABC cân, A = 20o , AB = AC, AC = b, BC = a. Hãy chứng minh
rằng: a3 + b3 = 3ab2 .

Chú ý: Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b và AB = c. Gọi
ma ; mb ; mc là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B, C của
tam giác.

Ta có:

b2 + c2 a 2
ma =
2
4

AB2 + AC2 BC2
AM =
2
4

a 2 + c2 b2
mb =
2
4

AB2 + BC2 AC2
hay BN =
2
4

a 2 + b2 c2
mc =
2
4

AC2 + BC2 AB2
AM =
2
4

2

2

2

Đôi khi ta cũng viết:
a2
+
2

BC2
AB + AC = 2AM +
2

b2
a + c = 2mb +
2

AC2
hay AB + BC = 2BN +
2

c2
a + b = 2mc +
2

AB2
AC + BC = 2CP +
2

2

2

b + c = 2ma
2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2


Chủ đề 2
ĐƯỜNG TRỊN
Bài 1:
Cho đường trịn (O) đường kính AB và
C là một điểm trên đường tròn sao cho

AB = AC 2. Tiếp tuyến tại B của (O)
cắt AC tại D; DO cắt (O) tại I ( I  ( O ) và
ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C).
Kẻ BH ^ OD; AE ^ OI. Tiếp tuyến tại I
cắt tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại M
và N. Gọi P là giao điểm của IA với OM
và Q là giao điểm của ON với IB.
a) CMR: VABD vng cân. Từ đó hãy
suy ra: AH ^ HC.
b) CMR: AHBE là hình bình hành. Từ
đó tính SAHBE theo R khi
AB = 2R ( cm ) .

c) CMR: MN = AM + BN và
AB2 = 4AM.BN.


d) Gọi K là trung điểm ON. CMR: ON 2 = BI2 + 4QK 2 (Sử dụng tính chất ở gợi ý
bên dưới) và OPIQ là hình chữ nhật.

Bài 2:
Cho hình thang vng ABCD ( A = B = 90o ) có O là trung
điểm của AB và góc COD = 90o. Chứng minh CD là tiếp
tuyến của đường tròn đường kính AB.

Bài 3:
Cho ΔABC vng tại A ( AB < AC ) , đường cao AH. Gọi E
là điểm đối xứng với B qua H. Đường tròn tâm O đường
kính EC cắt AC tại K. CMR: HK là tiếp tuyến của (O).

Bài 4:
Cho ΔABC vuông tại A đường cao AH. Vẽ đường
trịn tâm A bán kính AH, kẻ các tiếp tuyến BD, CE
với (A) (D, E là các tiếp điểm khác H). CMR: DE tiếp
xúc với đường tròn đường kính BC.

Bài 5:
Cho ΔABC ngoại tiếp đường trịn tâm I bán kính
r. Giả sử ( I, r ) tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CE
lần lượt tại D, E, F. Đặt: BC = a, AC = b,
AB = c, AD = x, BE = y, CF = z.

a) Hãy tính x, y, z theo a, b, c.
b) CMR: S = pr (trong đó S là diện tích tam giác,
p là nửa chu vi tam giác, r là bán kính đường
tròn ngoại tiếp tam giác).


c) CMR:

1 1
1
1
trong đó ( ha ; hb ; hc ) lần lượt là đường cao kẻ từ các
= + +
r ha hb hc

đỉnh A, B, C của ΔABC .

Bài 6:

Cho ( O; R ) , AC và BD là hai đường kính. Xác định vị trí của hai đường kính AC
và BD để SABCD max . (tự vẽ hình)

Bài 7:
Cho đường trịn ( O; R ) , đường kính AB, dây
cung CD sao cho COD = 90o , CD cắt AB tại M
(D nằm giữa C và M) và OM = 2R. Tính độ dài
các đoạn thẳng MD, MC theo R.

Bài 8:
Đường tròn tâm I nội tiếp ΔABC tiếp
xúc với BC, AB, AC lần lượt ở D, E, F.
Đường thẳng qua E song song với BC
cắt AD, DF lần lượt ở M, N. CMR: M là
trung điểm của đoạn thẳng EN.

Bài 9:
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau
tại A và B. Qua A vẽ hai cát tuyến CAD
và EAF (C và E nằm trên (O), D và F
nằm trên (O’)) sao cho CAB = BAF.
CMR: CD = EF.


Bài 10:

(

)

Cho ΔABC A = 90o và AB < AC. Vẽ đường trịn tâm A
bán kính AB cắt BC tại D, cắt AC tại E. CMR: DC.DB =
EB2.

Bài 11:
Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm
là O. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ
AB dựng nửa đường tròn tâm O đường
kính AB và nửa đường trịn (O’) đường
kính AO. Trên (O’) lấy điểm M (khác
A và O), tia OM cắt (O) tại C, gọi D là
giao điểm thứ hai của CA với (O’).
a) CMR: ΔADM cân.
b) Tiếp tuyến tại C của (O) cắt tia OD tại E, xác định vị trí tương đối của đường
thẳng EA đối với (O) và (O’).

Bài 12:
Cho đường trịn (O) có đường kính
AB = 2R. Gọi M là điểm di động
trên đường tròn (O). Điểm M khác
A, B; dựng đường tròn tâm M tiếp
xúc với AB tại H. Từ A và B kẻ hai
tiếp tuyến AC và BD với đường tròn
(M) vừa dựng.
a) CMR: BM và AM lần lượt là các
tia phân giác của ABD và BAC.
b) CMR: C, M, D nằm trên tiếp
tuyến của đường tròn (O) tại điểm
M.

c) CMR: AC + BD = const, từ đó tính tích AC.BD theo CD.
d) Giả sử ngồi A, B trên nửa đường trịn đường kính AB khơng chứa M có một
điểm N cố định. Gọi I là trung điểm của MN, kẻ IP ^ MB. Khi M chuyển động
thì P chuyển động trên đường cố định nào?

Bài 13:
Cho nửa đường trịn (O) đường
kính AB, điểm C thuộc nửa đường
trịn. Gọi I là điểm chính giữa
AC, E là giao điểm của AI và BC.

Gọi K là giao điểm của AC và BI.
a) CMR: EK ^ AB.
b) Gọi F là điểm đối xứng với K
qua I. CMR: AF là tiếp tuyến
của (O).
2
. Gọi H là giao điểm của EK và AB. CMR:
3
KH ( KH + 2HE ) = 2HE.KE.

c) Nếu sin BAC =

Bài 14:
Cho đường trịn (O) đường kính AB = 2R, điểm C
thuộc đường tròn. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa
điểm C, kẻ đường thẳng qua A tiếp xúc với (O). Gọi
M là điểm chính giữa cung nhỏ AC. BC cắt đường
thẳng qua A tại Q, tia AM cắt BC tại N.

a) CMR: ΔBAN và ΔMCN cân.
b) Khi MB = MQ, tính BC theo R.


Bài 15:
Cho đường trịn (O; R) đường kính AC.
Trên đoạn thằng OC lấy điểm B và vẽ
đường tròn (O’) đường kính BC. Gọi M
là trung điểm của AB, qua M vẽ dây
cung vng góc với AB cắt đường trịn
(O) tại D và E. CD cắt đường tròn (O’)
tại I.
a) Tứ giác DAEB là hình gì? Vì sao?
b) CMR: MD = MI và MI là tiếp tuyến
của đường tròn (O’).
c) Gọi H là hình chiếu vng góc của I trên BC. Hãy chứng minh rằng:
CH.MB = BH.MC.

Bài 16:
Cho ΔABC đều, dựng nửa
đường trịn (D) đường kính BC
tiếp xúc với AB, AC lần lượt
tại K, L. Lấy điểm P thuộc
cung nhỏ KL, dựng tiếp tuyến
với nửa đường tròn tại P cắt
cạnh AB, AC lần lượt tại M và
N.
a) CMR: ΔBMD : ΔCDN rồi
BC2
suy ra: BM.CN =

.
4

b) CMR:

SMDN
MN
=
.
SABC
2BC

c) Gọi E, F lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC sao cho chu vi ΔAEF bằng một nửa
chu vi ΔABC. CMR: EDF = 60o.


Bài 17:
Cho ΔABC có AC = 2AB nội tiếp đường tròn
(O; R). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A,
C cắt nhau tại M. BM cắt đường tròn (O) tại D.
Chứng minh rằng:
a)

MA AD
=
.
MD AB

b) AB.CD + AD.BC = AC.BD.
c) AD.BC = AB.CD.

d) ΔCBD cân.

Bài 18:
Trên nửa đường tròn tâm (O; R), đường kính
AB lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B.
Hai đường thẳng AM và BE cắt nhau tại C,
AE và BM cắt nhau tại D.
a) CMR: Tứ giác MCED nội tiếp và CD ^ AB.
b) Gọi H là giao điểm của CD và AB. CMR:
BE.BC = BH.BA.

c) CMR: Các tiếp tuyến tại M và E của (O) cắt
nhau tại I CD.

Bài 19:
Cho ΔABC đều, gọi O là trung điểm của cạnh BC. Các điểm D, E lần lượt di động
trên các cạnh AB, AC sao cho DOE = 60o.
a) CMR: BD.CE = const.
b) CMR: DO là tia phân giác của BDE.
c) Dựng đường tròn tâm O tiếp xúc với AB. CMR: Đường tròn này luôn tiếp xúc
với DE và AC.


d) Gọi P, Q lần lượt là tiếp điểm của (O) với AB, AC. I và N lần lượt là giao điểm
của PQ với OD và OE. CMR: DE = 2IN.

Bài 20:
Cho đường tròn (O; R) và điểm
A ở bên ngồi đường trịn. Vẽ hai
tiếp tuyến AB, AC với đường

trịn (O) (B, C là tiếp điểm). Gọi
M là trung điểm AB.
a) CMR: Tứ giác ABOC nội tiếp
và xác định tâm I của đường
tròn này.
b) CMR: AM.AO = AB.AI.
c) Gọi G là trọng tâm ΔACM. CMR: MG // BC.
d) CMR: IG ^ CM.

Bài 21:


Cho đường tròn (O; R) nội tiếp
ΔABC, tiếp xúc với cạnh AB,
AC lần lượt ở D và E.
a) Gọi O’ là tâm đường trịn
ngoại tiếp ΔADE, tính OO’
theo R.
b) Các đường phân giác trong
của B và C cắt đường thẳng
DE lần lượt tại M và N.
CMR: Tứ giác BCMN nội
tiếp được đường tròn.
c) CMR:

MN DM EN
=
=
.
BC

AC AB

Bài 22:
Cho ΔABC đều nội tiếp đường trịn (O). Trên
cung BC khơng chứa A ta lấy điểm P bất kì (P
khác B và P khác C). Các đoạn PA và BC cắt
nhau tại Q.
a) Giả sử D là một điểm trên đoạn PA sao cho
PD = PB. CMR: ΔPDB đều.
b) CMR: PA = PB + PC.
c) Chứng minh hệ thức:

1
1
1
=
+
.
PQ PB PC

Bài 23:
Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O). Đường phân giác trong A cắt đường tròn ngoại
tiếp tam giác tại D. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC. CMR: DB = DC = DI.


Bài 24:
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) và
AB < AC. Lấy điểm M thuộc cung BC không chứa
điểm A. Vẽ MH, MK, MI lần lượt vuông góc với 3
cạnh của tam giác ABC. CMR:

BC
AC AB
=
+
.
MH MK MI

Bài 25:
Giả sử A và B là hai điểm phân biệt trên đường tròn (O). Các tiếp tuyến của đường
tròn (O) tại A và B cắt nhau tại M. Từ A kẻ đường thẳng song song với MB cắt (O)
tại C. MC cắt (O) tại E. Các tia AE và MB cắt nhau tại K. CMR: MK 2 = AK.EK và
MK = KB.


Bài 26:
Cho ΔABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH và phân giác trong AD của HAC. Phân
giác trong góc ABC cắt AH, AD lần lượt tại M, N. CMR: BND = 90o.

Bài 27:
Cho ΔABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) có trực tâm H. Gọi M là điểm
trên dây cung BC không chứa điểm A (M khác B, C). Gọi N, P theo thứ tự là các
điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB, AC.
a) CMR: AHCP là tứ giác nội tiếp.
b) CMR: N, H, P thẳng hàng.
c) Tìm vị trí điểm M để đoạn NP có độ dài lớn nhất.


Bài 28:

(

)

Cho tam giác cân ABC AB = AC, A < 90o có đường cao BD. Gọi M, N, I theo
thứ tự là trung điểm các đoạn BC, BM, BD. Tia NI cắt cạnh AC tại K. CMR: Các tứ
giác ABMD, ABNK nội tiếp và BC2 = 4CA.CK.

Bài 29:
Từ điểm K ngồi đường trịn ta kẻ các tiếp tuyến KA, KB và cát tuyến KCD đến
(O). Gọi M là giao điểm OK và AB. Vẽ dây DI qua M. CMR:
a) Tứ giác KIOD nội tiếp.
b) KO là phân giác của IKD.


c) CMOD là tứ giác nội tiếp
d) Đường thẳng AB chứa phân giác của CMD.

Bài 31:
Từ điểm K nằm ngoài đường tròn (O) ta kẻ các
tiếp tuyến KA, KB, cát tuyến KCD đến (O).
Gọi H là trung điểm CD. Vẽ dây AF đi qua H.
a) CMR: BF // CD.
b) Đường thẳng qua H song song với BD cắt
AB tại I. CMR: CI ^ OB.

Bài 32:
Cho đường tròn (O) dây cung AD. Gọi I là điểm đối xứng với A qua D. Kẻ tiếp
tuyến IB với (O). Tiếp tuyến của (O) tại A cắt IB ở K. Gọi C là giao điểm thứ hai
của KD với (O). CMR: BC // AI.

Chủ đề 3
MỘT SỐ ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC
Bài 1: (Đường thẳng Euler)
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng trọng
tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại
tiếp O cùng nằm trên một đường thẳng và:
GH
= 2.
GO

(Đường thẳng H, G, O gọi là đường thẳng
Euler của ΔABC ).

Bài 2: (Đường trịn Euler)
Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Gọi M, N, P lần
lượt là trung điểm của BC, CA, AB và S, R, Q lần lượt là trung điểm của HA, HB,
HC. Chứng minh rằng 9 điểm D, E, F, M, N, P, S, R, Q cùng nằm trên một đường
tròn.
(Đường tròn đi qua 9 điểm trên gọi là đường tròn Euler của ΔABC ).


Bài 3: (Đường thẳng Simson)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O). M là
một điểm bất kì trên đường trịn. Kẻ MH, MI, MK
lần lượt vng góc với AB, BC, AC. Chứng minh
rằng ba điểm H, I, K thẳng hàng.
(Đường thẳng đi qua H, I, K gọi là đường thẳng
Simson của điểm M).

Bài 4: (Đường thẳng Steiner)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), M là điểm bất kì thuộc đường trịn. Gọi
N, P, Q theo thứ tự là các điểm đối xứng với M qua AB, BC, CA. Chứng minh rằng
ba điểm N, P, Q thẳng hàng.
(Đường thẳng đi qua N, P, Q gọi là đường thẳng Steiner của điểm M).


Bài 7: (Định lý Ceva)
Cho tam giác ABC và các điểm D, E, F lần lượt nằm trên cạnh BC, CA, AB.
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để AD, BE, CF đồng quy là ta có hệ thức:
DB EC FA
.
.
= 1.
DC EA FB

(Tự vẽ hình)

Bài 8: (Định lý Menelaus)
Cho tam giác ABC và các điểm M, N, P theo thứ tự nằm trên các đường thẳng BC,
CA, AB. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để M, N, P thẳng hàng là ta có hệ
thức:

MB MB MB
.
.
= 1.
MC MC MC

(Tự vẽ hình)


Chủ đề 4
MỘT SỐ BÀI TỐN TRÍCH TRONG CÁC ĐỀ THI
Bài 1:
Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao
AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A vẽ
nửa đường trịn (O) đường kính HC. Trên
nửa mặt phẳng bờ BC khơng chứa A vẽ nửa
đường trịn (O’) đường kính BC. Qua điểm E
thuộc nửa đường tròn (O) kẻ EI ^ BC cắt
nửa đường tròn (O’) ở F. Gọi K là giao điểm
của EH và BF. CMR: CA = CK.

Bài 2:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O). Đường
vng góc với AB tại B cắt CD ở I. Gọi K là giao
điểm của IO và AD. CMR:
a) IBK = IDK.
b) CBK = 90o.

Bài 3:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC. Đường phân giác trong
BAC cắt đường tròn (O) tại D khác A. Gọi M là trung điểm của AD và E là điểm
đối xứng của D qua tâm O. Đường tròn ngoại tiếp ΔABM cắt đoạn thẳng AC tại
điểm F khác A. CMR: ΔBMD : ΔBFC và: EF ^ AC.

(Trích đề thi Tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên ĐHQG Hà Nội năm 2013)