MỘT số bài TOÁN số cơ bản và NÂNG CAO

MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
Bài 1: Rút gọn:
1) 13 + 30 2 + 9 + 4 2
5 - 3 - 29 - 6 20

2)
3)

6) 14 + 40 + 56 + 140
7) 4 6 + 8 3 + 4 2 + 18

6 + 2 5 - 13 + 48

8) 227 - 30 2 + 123 + 22 2

4) 17 - 4 9 + 4 5

9) 4 + 10 + 2 5 + 4 - 10 + 2 5

5)

17 + 12 2 - 2

11)

12 5 - 29 + 25 + 4 21 - 12 5 + 29 - 25 - 4 21

(

2 +2

10)

2 -1 +

2 -2

2 -1

)( 10 - 6 ) 4 - 15
5 ( 3 + 5 )( 10 - 2 )

12) 4 + 15
13) 3 -

7 + 48 -

14)
15)
16)
17)

28 + 16 3

7 + 48

( 2 2 - 5 + 3 2 )( 18 - 20 + 2 2 )( 60 +15 10 )
( 2 + 3 + 5 )( 2 + 3 - 5 )( 2 - 3 + 5 )( -

2+ 3+ 5

2+ 3 2+ 2+ 3 2+ 2+ 2+ 3 2- 2+ 2+ 3

18) A =

6+2

(

)

6 + 3 + 2 - 6-2
2

19) B =

9-6 2 - 6
2

20) C =

2 + 3+ 6 + 8 +4
2+ 3+ 4

(

6- 3+ 2

)

)

5 + 5 5- 5
+
-10
5- 5 5 + 5
4
4
4
4
4
22) E =
+
3- 8
7- 8
6- 7
6 - 5 2- 5
21) D =

23) F =
24) G =
25) H =
26) I =

27) K =

3- 2 2
17 -12 2

-

3+ 2 2
17 + 12 2

2 10 + 30 - 2 2 - 6
2
:
2 10 - 2 2
3 -1
2+ 3
2 + 2+ 3

+

2- 3
2 - 2- 3

5 +1
5 -1
+
1+ 5 + 3 1+ 3 - 5

3-4

1
+2
3

4 3 -4

0, 2 +

9 9 3

2 + 3 -1
2- 3
3
3
1
+
+
+ 3- 2
2+ 6
2 6
2- 6 2 + 6
2

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1+ 2
2+ 3
3+ 4
n -1 + n
1
1

1
1
1
29) M = +
+
- ... +
1- 2
2- 3
3- 4
4- 5
2n - 2n + 1
1
1
1
1
30) N =
+
+
+ ... +
2 1 +1 2 3 2 + 2 3 4 3 + 3 4
100 99 + 99 100
28) L =

31) O = 3 3 1 +

(

84 3
84 3
+ 1+ 7 - 5 2 + 3 11 2 - 9 3 - 5 3 - 8

9
9

Bài 2: Thực hiện phép tính:

)


1)

4 x4 - 4 x2 +1 - x4 - 6 x2 + 9

2)

2m + 4 + 6 2m - 5 + 2m - 4 - 2 2m - 5

3)

a - b + 9c + 6 ac - bc + a - b + 9c - 6 ac - bc

4)

4 - 2 4 x - x2

khi

5) x 1- y 2 + y 1- x 2

0

x

x + 4- x = b
0

khi

8) C =

x, y

1

x2 + y 2 = 1
a -1
a

6) A = 1- a + a ( a -1 ) + a
7) B =

4

x + 3 + 2 x2 - 9
2 x + 6 + x2 - 9
x2 + 5x + 6 + x 9 - x2
3x - x 2 + ( x + 2 ) 9 - x 2

9) D =

2

( x + 2 ) - 8x

x10) E =

2
x

2a 1 + x 2
1+ x2 - x

11) F = ( a + b ) -

khi x =

1
2

1- a
a
a
1- a

( a2 +1)( b2 +1)
( c 2 + 1)

khi ab + bc + ca = 1

a- a a+ a
a +1
a -1

12) G =

a
1
2
2 a

13) H =

1+ a
1- a
+
:
1- a
1+ a

1+ a
1- a
1- a
1+ a


14) I =

2+ a
a - 2 a a + a - a -1
.
a -1
a + 2 a +1

a
a +1
a -1
+4 a
a -1
a +1

15) J =

1

16) K =

a - a -b

17) L =

a+

(

20) O =

21) P =

22) Q =

1

+

a + a +b

b - ab
:
a+ b

1
a
a +b
a -b

: 1+

a
b
a +b
+
ab + b
ab - a
ab

1- a a
+ a
1- a

)

18) M = 1- a 2 :
19) N =

a-

1+ a a
- a
1+ a

a + b -1
a- b
b
b
+
+
a + ab
2 ab
a - ab a + ab
x- y
xy xy

1 1
1
+
.
+
x y x + y + 2 xy

:

x + x2 - y 2 - x - x2 - y 2

x + 2 2 x -1 + x - 2 2 x - 1

23) R

x

24) S

m

x2 - 4
x
2mn
1+ n

2

m

2mn
1+ n

2

1

)

3

. 2 x -1

x2 - 4
x

x

(

x+ y

1
1
+
x
y

( x > y > 0)

2 ( x- y)
x + 2 x -1 + x - 2 x -1

2

2x - 4
x
1
n

2

( x 2)

( m 0, n 1)


c - ac
a+ c

1

25) T

a

26) U =

1+ x
1- x
1 + x - 1- x
1 - x 2 -1 + x

27) V =

1
2 x
2 x
: 1x +1
x -1 x x + x - x - 1

x2 + x
2x + x
28) W =
+ 1x - x +1
x

(
29) X =
30) Y =

31) Z

x 2 + 12 - 2 3

)(

1
x

x- y
x- y
x- y
x+ y
x- y
x+ y
+
x- y
x- y

2

a- a +b

2

-1 2

x 2 + 12 + 2 3

) ( x -3

(

)

x x x - 27

a + a 2 + b2

( a, c 0; a c )

a
c
a+c
+
ac + c
ac - a
ac

.

1- x
x
.
x
1- x + 1- x 2

x +9

)

x +6 x +9

2 xy
y-x

a - a 2 + b 2 -16 a 4 + a 2b 2
:
2
2
b2
a + a +b

Bài 3: Giải phương trình:
1)

5 + x2 - 2 x = 7

2)

2 x - 3 = x +1

3)

x 2 - 2 x + 1 = 9 + 12 x + 4 x 2

4)

4 x2 - 4 x +1 = x + 2

5)

4 x 2 + 28 x + 49 + x 2 + 4 x + 4 = 3

( a, b 0 )


6)

x + 3 + 4 x -1 + x + 8 - 6 x - 1 =

(

x + 23
6

)

7) ( x - 3 ) x 2 - x - 6 = x 2 - 7 x + 12
8) x 2 -1 + x 2 - 4 = 3

9) x 2 - 3 x + 10 - 10 x 2 + 10 = 0
10) 4 x 2 + 14 x + 11 = 4 6 x +10
11) x + y + z + 4 = 2 x - 2 + 4 y - 3 + 6 z - 5
12)

y - 2006 -1
x - 2005 -1
z - 2007 -1 3
+
+
=
x - 2005
y - 2006
z - 2007
4

13) x 4 + x 2 - x 2 + 2 = 0
14)

x + 4 + x + 11 = -x 2 + x + 27

15)

x - 2 + 4 - x = 2 x 2 - 5 x -1

16) x 2 -10 x + 27 = 6 - x + x - 4
17) 13 - 3 x + 3 x -11 = 3 x 2 - 24 x + 50
18) 3x 2 -12 x + 21 + 5 x 2 - 20 x + 24 = -2 x 2 + 8 x - 3
19) 3x 2 + 6 x + 7 + 5 x 2 + 10 x + 14 = 4 - 2 x - x 2
20) 3x 2 -12 x + 16 + y 2 - 4 y + 3 = 5

21) 32 - x + 16 - x + 11- x = 10
22)

2028 - x + 2093 - x + 2268 - x = 29

23) 2 x x + 2 + 15 = 3 x + 2 + 10 x
24)

x 2 - 3x + 2 + x + 3 = x - 2 + x 2 + 2 x - 3

25) ( x + 3 ) ( x - 5 ) - 3 ( x - 5 )

x +3
=0
x -5


26) x + 1996 + 5 x + 2010 = 0
27) 9 x 2 - ( 3 x + 2 ) 3 x -1 + 2 = 3 x
28) x 2 - 2 x + 3 = ( x + 1 ) x 2 - 3x + 3
29) x 2 + x + 1 = 1
30) 2 x 2 - 3x + 2 = x 3x - 2
31)

x3 - 4 = 3 x 2 + 4

(

)

32) 2 x 2 + 2 = 5 x3 + 1
33)

4 x2 + 5x +1 - 4 x2 - 4 x + 4 = 9 x - 3

34) 2 2 x + 4 + 4 2 - x = 9 x 2 + 16
35)

36)

2 - x2 + x2 + 8 = 4

( 5- x ) 5- x +( x -3) x -3
5- x + x -3

=2

37) 4 97 - x + 4 x = 5
38)

(

39)

x -1 + x + 2 = x + 34 - x + 7

40)

5-2 6

)

x

+

(

5+2 6

x2 + 2 x - 3
= 3+ x
x -1

1
1
41) x = x - + 1x
x
42)

6
8
+
=6
3- x
2- x

43)

x - x +1 = x - 3

44) 3 -2 x + 1 - 9 x = 0

)

x

= 10


45) 7 -4 3 x - 9 + 5 + 21x - 63 = 0

(

46) 4 x 2 + 3 x 2 - x

)

(

x + 1 = 2 x3 + 1

)

47) 2 x3 - x 2 - 3 x + 1 = x5 + x 4 + 1
48)

(

x +8 - x +3

)(

)

x 2 + 11x + 24 + 1 = 5

Đề thi HSG cấp Quận TP.HCM 2017 - 2018

49) 4 x + 3 = 1 + 4 x +

2
x
Tuyển sinh lớp 10 Chuyên TP.HCM 2017 - 2018

50) x6 + 3x5 - 6 x4 - 21x3 - 6 x2 + 3x +1 = 0

Bài 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
a) xy - 2 y + 3x + 1 = 0

e) x 2 - x + 6 + y 2 = 0

b) 2 x - 3 y + 5 xy = 3

f) x 4 + x 2 +1 = y 2

c) 3xy + 6 x + y - 52 = 0

g) x 2 - 2 x ( 2 x - 5 y ) - y 2 = 31

d) y ( x 1)

h) 4 y 2

x2

2

2

199

x2

2x

Bài 5: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

( 15 x 13 )


a) 8 x + 11y = 73

f) xy 2 + 2 xy - 243 y + x = 0

b) x + y + z = xyz

g) 3 x 2 + 4 y 2 = 6 x +13

c) xyz = 2 ( x + y + z )

h)

( x2 + 4 )( y 2 + 25 ) = 40 xy

d)

1
x

1
y

z

( x; y 0 )

i) a 2 + b 2 + c 2 + 3 = 2 ( a + b + c )

e)

1
x

1
y

4

( x; y 0 )

j) a 4

b4

c4

1

Bài 6:
x -1
x +3
x +5
x +1
x -2 x- x -2

1) Cho: A =
a) Rút gọn A.

b) Tìm x để A > -1; để A

Z (x

Z ).

2 x − 4 4 + 2 x x + 13 x − 20
−
+
3 x −4
x − 2 3 x − 10 x + 8

2) Cho: B =
a) Rút gọn B.

b) Tìm x sao cho B 

3) Cho: C =

−3
; để C  Z ( x  Z ) .
4

3− x
3 x +4
42 x + 34
+
−
5 x + 7 3 x − 2 15 x + 11 x − 14

a) Rút gọn C.

2a 2 b 2 1

c +1
a


−2
; để C  Z ( x  Z ) .
3

b) Tìm x sao cho C 


4) Cho: D = 


1
1  
−
:
a −1
a  

a +1
−
a −2

a +2

a −1 

a) Rút gọn D.
b) Tìm a để D 

1
.
6

 

a
5) Cho: E = 1 :  1 −
1+ a
 



 


2 a
 1
−
 a − 1 ( a + 1) a − 1


(

a) Rút gọn E.
b) Tìm a để E  Z .

6) Cho: F = 13 - 10 x +

(

x -3

)

2

+ 2x

a) Tìm x để P = 0.
b) Tìm xmin sao cho P

7) Cho: G =

x+

Z.

y - xy
x+ y

:

x
y
x+ y
+
xy + y
xy - x
xy

)








a) Rút gọn G.
b) Tính giá trị của G khi x = 3; y = 4 + 2 3.

8) Cho: H =

15 x -11 3 x - 2 2 x + 3
x + 2 x - 3 1- x
x +3

a) Chứng minh rằng: H =

b) So sánh H với

9) Cho: I =

17
- 5.
x +3

2
.
3

x+2
x
1
x -1

+
+
:
2
x x -1 x + x + 1 1 - x

a) Rút gọn I.
b) Chứng minh rằng: 0 < I < 2.

10) Cho: J =

x -2
x +2
x -1
x + 2 x +1

1- x
2

a) Rút gọn J. Tìm GTLN của J.
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì J > 0.

2


11) Cho: K =

x +4 x-4 + x-4 x-4
8 16
1- + 2

x x

a) Rút gọn K.
b) Tìm x

Z, x

12) Cho: L =

8 để K

Z.

1
1
+
.
x
y

x+ y
2
1 1
+ + :
x+ y x y
xy

a) Rút gọn L.
b) Cho xy = 16. Tìm GTNN của L.

a) Tìm x để M = 2 và tìm GTNN của M.
b) Giả sử x > 1. Chứng minh rằng M - M = 0.

x2 - x
2 x + x 2 ( x -1)
13) Cho: N =
+
x + x +1
x
x -1
a) Rút gọn N. Tìm GTNN của N.
b) Tìm x

Z sao cho P

2 x
N

Z.


Bài 7: Giải bất phương trình:
1)

3 x + 1 x - 2 1- 2 x
<
2
3
4

( 4 x +1)

2

2)
3)

4

2

-

x2 + x +1
2

x +2

4) ( x

9

>

3x
1
2

2

< 1-

8 x -1
12

x2 + x
x2 +1

2 ) ( 2 x 1) 2

5) ( 2 x 1 ) ( x
6)

( 6x - 2 )

( x 1) ( x 3 )

x2

3 ) 3x 1 ( x 1) ( x
x 5x
2 2

2

3)

x2

5

0

5
6x + < 4x + 7
7
7)
8x + 3
< 2x + 5
2
1
15 x - 2 > 2 x +
3
8)
3 x -14
2 ( x - 4)<
2
9)

5x + 2 3 - x
x 4 -3 3- x
-1 > 4
4
6

( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x + 1)
16)
>0
( x + 5) (7- x )
2

10) ( 4 x -1 ) ( 3 - 2 x ) ( 5 x + 3 ) < 0
11) x

5

x

4

15 x

3

5x

12) ( x -1 ) ( x - 3 ) ( x
13)

1
1
x -1

2

34 x
5) ( x

24
7)

297

17)

3

x 4 + 3x3 + 3x 2 + 3x + 2
3

2

x + 6 x + 5 x -12
2
5
18)
x -1 2 x -1
1
2
3
19)
x x+4 x+3

0


14)

1
1- x

1

20)

5 x ( 2 x +1) ( 5 - x )
15)
>0
( x + 3 ) ( 3x - 4 )

21)

22) 11- x 2 > 2

27) 3 +

23) 5 x

4

6

28) x

24)

2
x -13

8

9

29) x 2

25)

-5
10
<
x+2
x -1

26) 2 x -1 +

1
> 3x
x+4

30)

31)

1
x +1

x2 +

x -1

<1

2
< 2 1- x
x +5
2x 1

x 3

3x 1 ( 4 x

5)

1

2x

x2 - 4

x2 - 4 x + 3

14
x2 x 1

x2 + 2 x + 2 > x2 - 2 x + 3

17
1
 x+
4
2

35) 3 x 2 − 4  2 x − 1
36) 3 − x 2 + x + 6 + 2 ( 2 x − 1)  0
37) 2 − x + 2 x 2 − 6 x − 20  0

x4 − 5x2 + 4  0

39) 3x 2 + 13x + 4  x 2 − 2 x − 8 + 1
40) 4 x 2 + 28 x + 49 + 2 − x + x 2 − 6 x + 5  2 x 2 + 9 x − 35

Bài 8: Tìm:

2

2

34) 3 − 5 x 2  5 x − 2

38)

( x -1 )

x 2 - 3x +1

32) 3 x 2 − 6 x + 16  x 2 + 8 x + 20
33)

1

6

GTLN

GTNN

1) 1- x + x
3
2)
3x 2 - 6 x + 8

5)
6)

3) 1- x 4 - 4 x3 - 4 x 2
4)

3x 2 + 17

2 x 2 - 3x + 7
-4 3

4 x2 + 2 x +1
7) ( x - 2 ) ( x - 4 ) ( x + 6 ) ( x + 8 )
x +3 x +6
8)
x +2

2

x +4

Bài 9: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
x+ y
xy
2
x+ y+z 3
2)
xyz
3
1 1
4
2 2
3)
x y x+ y
x2 + y 2

1)

4)

1
x

1
y

1
z

9
x+ y+z

3 3
x2 + y 2 + z 2

GTNN VÀ GTLN

9) A =

x
x + x +1

10) B = 3 x -1 + 4 5 - x

(1 x 5 )
11) C =

2 x 2 - 2 xy + 9 y 2
x 2 + 2 xy + 5 y 2

( y 0)


5)

1
xy

6) x

4

(x+ y)

2

(

2 x2

y

)

y2

(x+ y)

3

7) x

3

y

3

4

( x2 + y 2 )

2

8) x

4

9) ( a
10)

y

4

b)(a

1
a +b-c

2
c ) (b

(x+ y)

4

8
c ) 8abc

1
a -b + c

1
b +c-a

1
a

1
b

1
c

Bài 10:
Một người gửi tiền tiết kiệm vào một ngân hàng. Nếu sau 3 tháng thì người đó thu
được cả vốn lẫn lãi là 172.800.000 đồng. Cịn nếu sau 5 tháng thì người đó thu
được là 248.832.000 đồng. Hỏi người đó đã gửi ngân hàng bao nhiêu tiền và với lãi
suất là bao nhiêu %/ tháng?

Bài 11:
Một dung dịch NaCl có nồng độ là a %. Nếu ta thêm 10g NaCl và m (g) dung dịch
thì nồng độ thu được là 25%. Còn nếu ta thêm 200g dung dịch NaCl thì nồng độ
thu được là 10%. Tính m và a.