Tài liệu SKKN: dạy học phân số cơ bản và nâng cao

A. Đặt vấn đề
I. Lí do chọn đề tài
- Trong chơng trình môn Toán ở Tiểu học hiện nay, nội dung dạy về phân
số, các phép tính về phân số đợc đa vào giảng dạy, trong chơng trình Toán 4.
Đây là nội dung dạy học toán mới trong chơng trình Toán 4. Phân số, các phép
tính về phân số là một nội dung khó đối với học sinh lớp 4, hơn thế nữa là các
bài toán có kiến thức nâng cao bồi dỡng cho học sinh khá, giỏi ở lớp 4 lại là
những bài toán mang tính trừu tợng cao. Đòi hỏi học sinh phải t duy và sáng tạo
mới có thể giải đợc các bài toán đó.
- Trong các nội dung bồi dỡng toán cho học sinh giỏi lớp 4 hiện nay thì
nội dung bồi dỡng về phân số, các phép tính về phân số, các bài toán có nội
dung về phân số là một nội dung khó, hai nữa các nội dung này thờng xuất hiện
trong các đề thi học sinh giỏi. Các bài tập này hầu hết học sinh đều khó khăn
trong cách giải hoặc nhiều học sinh không giải quyết nổi.
- Qua thực tế là kết quả của bài kiểm tra định kỳ, kết quả kiểm tra chất l-
ợng học sinh giỏi, các đề thi học sinh giỏi của nhiều năm trở lại đây. Bài toán về
phân số thờng xuyên xuất hiện với nhiều dạng loại khác nhau. Nhng số em giải
quyết tốt các bài toán về phân số cha nhiều, kết quả bài kiểm tra, bài thi cha
cao.
- Chính vì vậy trong năm học năm 2009 - 2010 này, Tôi đã đi sâu tìm tòi
và nghiêm cứu cách dạy các bài toán về phân số để bồi dỡng cho những học
sinh khá và giỏi toán ở lớp 4, nhằm giúp các em có kiến thức một cách hệ thống
các dạng toán về phân số, giúp các em tháo gỡ khó khăn khi gặp các bài toán về
phân số trong các đề thi học sinh giỏi
II. Phạm vi đề tài
Học sinh khá, giỏi lớp 4 - Trờng tiểu học Xuân Lộc 1.
III.Thời gian thực hiện
Năm học 2009 - 2010
1
B. Quá trình thực hiện đề tài
I. Khảo sát thực tế

1. Về học sinh
- ở chơng trình môn toán lớp 4, nội dung phân số và các phép tính về
phân số đợc đa vào dạy học kỳ II. Vừa làm quen, học khái niệm phân số các em
phải học ngay các phép toán về phân số, rồi giải các bài toán về phân số cho
nên các em cảm thấy đây là một nội dung khó, khi bồi dỡng các bài toán khó về
phân số nhiều em cảm thấy " sợ "giải các bài toán về phân số.
- Việc vận dụng các tính chất của phân số, các qui tắc tính chậm.
- Các tính chất của các phép tính về phân số trừu tợng nhiều học sinh khó
nhận biết, mối quan hệ giữa các thành phần trong các phép tính về phân số
nhiều học sinh không phát hiện đợc do khả năng quan sát cha nhanh.
- Qua nhiều đề thi kiểm tra chất lợng học sinh giỏi của trờng, của huyện,
của tỉnh (những năm trớc), phần nhiều học sinh không giải quyết đợc bài toán
có nội dung về phân số, giải sai về cách giải, không chính xác về kết quả. Gần
đây nhất là trong đề thi kiểm tra định kỳ lần 1 (giữa kỳ 1 ) ở lớp 4 có một bài
tập số 5 :
Tính nhanh : (1điểm) - Bài tập phát hiện học sinh giỏi

128
1
64
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2

1
++++++
Thực tế số em giải đợc và đúng bài tập này rất ít, phần nhiều giải sai hoặc
bỏ giấy trắng, nhiều em giải dài dòng cha nhanh. Tìm hiểu nguyên nhân thấy
rằng các em không biết quan sát, so sánh, các phân số trong tổng, không phân
tích đợc qui luật có trong dãy phân số đó để tính nhanh.
2. Về giáo viên
Trong các bài dạy về phân số giáo viên không mở rộng kiến thức cho học
sinh. Không phân định đợc rõ dạng bài, để khắc sâu cách giải cho học sinh.
3. Kết quả
2
Với 20 học sinh lớp 4 năm học trớc 2009 - 2010 và đề kiểm tra khảo sát
học sinh giỏi của khối năm học này.
Bài toán về phân số đợc học sinh giải quyết với kết quả nh sau :
G : 1 em =5% TB : 8 em =40%
K : 5 em = 25% y : 6 em = 30%
Trớc thực trạng trên tôi rất băn khoăn và trăn trở. Vì vậy, tôi đã nghiên
cứu các tài liệu và tìm ra cho mình 1 số biện pháp để dạy cho học sinh giải các
bài toán về phân số nhằm nâng cao chất lợng học sinh giỏi ở lớp 4 tạo nền tảng
cho các em học tốt toán ở lớp 5 và các lớp trên.
II. Biện pháp thực hiện đề tài
Trong quá trình bồi dỡng nội dung về phân số cho học sinh giỏi toán ở
lớp 4, tôi phân thành các dạng bài nh sau:
Dạng 1: Các bài toán về cấu tạo phân số :
A. Các kiến thức cần ghi nhớ :
1. Thơng của phép chia số tự nhiên cho số tự nhiên (khác 0) có thể viết thành
phân số, tử số là số bị chia, MS là số chia a : b =
b
a
( với b 0 )

- Mẫu số b chỉ số phần = nhau lấy ra từ 1 đơn vị, tử số a chỉ số phần lấy đi.
2. Mỗi số tự nhiên có thể viết thành phân số mẫu số là 1 : a =
1
a
3. Phân số nào có tử số nhỏ hơn mẫu số thì nhỏ hơn 1; phân số nào có tử số lớn
hơn mẫu số thì lớn hơn 1,àphan số nào có tử số bằng mẫu số thì bằng 1.
4. Nếu nhân cả tử số và mẫu số của 1 phân số với một số tự nhiên khác 0 thì đợc
phân số bằng phân số đã cho :
n
b
a
nxb
nxa
(
=
0 )
5. Nếu chia cả tử số và mẫu số của phân số đã cho với 1 số tự nhiên 0 ( gọi là
rút gọn phân số ) thì đợc phân số bằng phân số đã cho.

b
a
mb
ma
=
:
:
( m 0 )
3
6. Nếu cộng cả tử số và mẫu số của phân số với cùng 1 số (hoặc trừ cả tử số và
mẫu số ) cùng một số thì hiệu giữa mẫu số và tử số không thay đổi.(với phân số

< 1 )
B. Các ví dụ :
Ví dụ 1 : Rút gọn các phân số sau :
a.
2525
2323
=
25
23
10125
10123
=
x
x

b.
345345
123123
=
115
41
345
123
001345
1001123
==
x
x
Ví dụ 2 : Cho phân số
7

3
, cộng thêm vào tử số và mẫu số của phân số đó với 1
số tự nhiên ta đợc phân số bằng
9
7
. Tìm số đó
Giải : Hiệu của mẫu số và tử số của phân số
7
3
là :
7 - 3 = 4 ( đơn vị )
Khi cộng vào tử số và mẫu số với cùng 1 số thì hiệu của mẫu số và tử số
vẫn không thay đổi. Nếu coi tử số của phân số mới là 7 phần thì mẫu số của nó
là 9 phần.
Ta có sơ đồ :
Số phần bằng nhau của mẫu số hơn số phần bằng nhau của tử số là :
9 - 7 = 2 ( phần )
Tử số của phân số mới là : 4 : 2 x 7 = 14
Số cộng thêm vào là : 14 -3 =11
Đáp số : 11
Ví dụ 3 : Cho phân số
14
11
.Tìm phân số bằng phân số đã cho biết rằng mẫu số
của phân số đó lớn hơn tử số của nó là 1995 đơn vị.
Giải
4
?
?
4

Tử số
Mẫu số
Nếu ta coi mẫu số của phân số phải tìm là 14 phần thì tử số của phân số đó là
11 phần nh thế.
Hiệu số phần bằng nhau là : 14 - 11 = 3 (phần)
Tử số của phân số phải tìm là : 1995 : 3 x 11 = 7315
Mẫu số là : 1995 + 7315 = 9310
Vậy phân số phải tìm là :
9310
7315
C. Các bài tập luyện tập
Bài 1: Rút gọn các phân số sau :
a.
363363
123123
b.
471947194719
961996199619
c.
8181818181
1818181818
Bài 2 : Tìm phân số biết tổng của tử số và mẫu số bằng 40 và rút gọn phân số
đó thì đợc
5
3
.
Gợi ý
- Coi tử số của phân số phải tìm là 3 phần thì mẫu số là 5 phần
- áp dụng toán tìm 2 số khi biết tổng và tỷ số của 2 số đó để tìm tử số và mẫu
số của phân số mới.

Đáp số :
25
15
Bài 3 : Cho phân số
313
211
. Trừ cả tử số và mẫu số của phân số đó cho cùng 1 số
tự nhiên ta đợc phân số bằng
5
3
. Tìm số đó.
Gợi ý : - Khi trừ cả tử số và mẫu số của phân số
313
211
đi cùng 1 số thì hiệu của
mẫu số và tử số không thay đổi.
- Tìm hiệu của mẫu số và tử số của phân số
313
211
- Coi tử số của phân số mới là 3 phần thì mẫu số là 5 phần .
áp dụng bài toán tìm 2 số khi biết hiệu và tỷ số của 2 số để tìm tử số (hoặc
mẫu số). Lấy tử số cũ trừ đi tử số mới ta đợc số phải tìm
Đáp số : 28
5
Bài 4 : Cho phân số
49
35
. Cộng vào tử số 1 số nào đó và mẫu số trừ đi số đó ta
đợc phân số bằng
4

3
. Tìm số đó ?
Đáp số : 1
Bài 5 : Hãy tìm một số nào đó sao cho khi tử số và mẫu số của phân số
64
29

cùng trừ đi số đó thì đợc phân số mới bằng
9
2
.
Đáp số : 19
Bài 6 : Tìm một số sao cho cả tử số và mẫu số của phân số
49
35
cùng trừ đi số đó
thì đợc phân số mới bằng
3
1
.
Đáp số : 28
Bài 7 : Tìm 1 phân số bằng
13
7
sao cho mẫu số của nó lớn hơn tử số 114 đơn vị
.
(Giải tơng tự ví dụ 3) Đáp số :
247
133

=
13
7
19:247
19:133

Bài 8 : Tìm 1 phân số bằng
16
9
sao cho tổng của tử số và mẫu số của phân số ấy
bằng 1000.
(HD tơng tự bài 2)
Đáp số :
640
360







=
16

9
40:640
40:360

Bài 9 : Tìm 1 phân số bằng
23
21
; biết rằng khi ta cộng thêm vào tử số và mẫu số
của phân số đó với cùng 1 số tự nhiên ta đợc phân số
72
66
.
HD : Nhận xét
72
66
là phân số cha tối giản ta phải rút gọn

12
11
36
33
72
66
==
áp dụng giải nh ví dụ 2
Đáp số : 1
6
Bài 10 : Tìm phân số bằng phân số
19
15

, biết rằng khi ta trừ cả tử và mẫu của
phân số đó đi cùng 1 số tự nhiên ta đợc phân số bằng
37
21
.
Gợi ý : Xét hiệu của mẫu số và tử số của phân số
19
15
bằng 4
Xét hiệu số phần bằng nhau giữa mẫu số và tử số của phân số mới là : 37 - 21 =
16. Ta thấy hiệu của mẫu số và tử số của phân số
19
15
nhỏ hơn hiệu số phần số
lần là :
16 : 4 = 4 ( lần )
Vậy phân số phải tìm là :
67
60
419
415
=
x
x
Số trừ đi là : 60 - 21 =39 hoặc 76 - 37 = 39
Dạng 2 : Các bài toán về so sánh phân số
A. Kiến thức cần ghi nhớ :
1. Muốn quy đồng mẫu số của 2 phân số, ta nhân cả tử số và mẫu số của phân
số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ 2. Nhân cả mẫu số và tử số của phân số
thứ hai với mẫu số của phân số thứ nhất.

2. Quy đồng tử số: Nhân cả mấu số và tử số của phân số thứ nhất với tử số của
phân số thứ hai. Nhân cả mẫu số và tử số của phân số thứ hai với tử số của phân
số thứ nhất.
3. Khi so sánh 2 phân số :
- Có cùng mẫu số : Ta so sánh 2 tử số, phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn
hơn.
- Không cùng mẫu số : Trớc hết ta qui đồng mẫu số rồi so sánh nh trờng hợp
trên.
4. Các phơng pháp sử dụng so sánh phân số
- Vận dụng quy tắc so sánh ở phần 3.
- Nếu 2 phân số có cùng tử số phân số nào có mẫu số nhỏ hơn thì lớn hơn.
- So sánh qua 1 phân số trung gian.
7

b
a
<
d
c
và
d
c
<
f
e
thì
b
a
<
f

e
- So sánh hai phần bù với 1 của mỗi phân số
1-
b
a
<1-
d
c
thì
b
a
>
d
c
- So sánh " phần hơn " với 1 của 1 phân số

1

b
a
<
1

d
c
thì
b
a
<
d

c
B. Các ví dụ
VD1 : So sánh 2 phân số
7
5
và
9
7
Giải :Cách 1: Quy đồng mẫu 2 phân số

63
45
7
5
=
;
63
49
9
7
=
;
63
45
<
63
49
. Vậy :
7
5

<
9
7
Cách 2: Quy đồng tử số 2 phân số:

7
5
=
49
35
;
9
7
=
45
35
;
49
35
<
45
35
Vậy :
7
5
<
9
7

Cách 3: Tìm và so sánh phần bù tới 1của hai phân số;

1 -
7
5
=
7
2
; 1 -
9
7
=
9
2
mà
7
2
>
9
2
nên
7
5
<
9
7

VD 2 :Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự từ nhỏ đén lớn:
2
1
;
7

3
;
4
3

Cách 1: Quy đồng mẫu số:
2
1
=
56
28
;
7
3
=
56
24
;
4
3
=
56
42


56
24
<
56
28

<
56
42
nên
7
3
<
2
1
<
4
3
.
Cách 2: Quy đồng tử số:
2
1
=
18
9
;
7
3
=
21
9
;
4
3
=
12

9
Mà
21
9
<
18
9
<
12
9
nên
7
3
<
2
1
<
4
3
.
Cách 3: 1-
2
1
=
2
1
; 1-
7
3
=

7
4
; 1-
4
3
=
4
1
Mà
4
1
<
2
1
<
7
4
nên
7
3
<
2
1
<
4
3

8