CHUYÊN đề bất ĐẲNG THỨC

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
DẠNG 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A>B TA XÉT HIỆU A-B >0, CHÚ Ý BĐT

x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx
Bài 1: CMR : với mọi x,y,z thì
HD:
Xét hiệu ta có:
2
2
2
2 x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx ≥ 0 <=> ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x ) ≥ 0

(

)

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2 xy + 2 yz − 2 zx
Bài 2: CMR : với mọi x,y,z thì
HD:
Xét hiệu ta có:
2
x 2 + y 2 + z 2 − 2 xy − 2 yz + 2 zx ≥ 0 <=> ( x − y + z ) ≥ 0
Dấu bằng xảy ra khi x+z=y
x2 + y 2 + z 2 + 3 ≥ 2 ( x + y + z )
Bài 3: CMR : với mọi x,y,z thì
HD:
Xét hiệu ta có:
2
2
2

( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) ≥ 0
Dấu bằng khi x=y=z=1
2

a 2 + b2  a + b 
≥
÷
2
 2 

Bài 4: CMR : với mọi a,b ta có :
HD :
Xét hiệu ta có :
a 2 + b 2 a 2 + 2ab + b 2
−
≥0
2
4

2a 2 + 2b 2 − ( a 2 − 2ab + b 2 ) ≥ 0

<=>
2
<=> a + 2ab + b ≥ 0 <=> ( a + b ) ≥ 0
2

2

Dấu bằng khi a=b
2

a 2 + b2 + c2  a + b + c 
≥
÷
3
3



Bài 5: CMR : với mọi a,b,c ta có :
HD:
Ta có:
a 2 + b 2 + c 2 a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac
≥
3
9

<=> 3a 2 + 3b 2 + 3c 2 − ( a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac ) ≥ 0
<=> 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 − 2ab − 2bc − 2ac ≥ 0

A2 ≥ 0


<=> ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ 0
2

2

2

, Dấu bằng khi a=b=c
a 2 + b2 + c2 ≥

( a + b + c)

2

3

Bài 6: CMR :
HD:
Ta có:
3a 2 + 3b 2 + 3c 2 ≥ a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca
<=> 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 − 2ab − 2bc − 2ac ≥ 0
<=> ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ 0
2

2

2

, Dấu bằng khi a=b=c
a +b
2

2

( a + b)
≥
2

Bài 7: CMR :
HD:

a +b
2

2

2

≥ 2ab

( a + b)
≥

2

2
Ta chứng minh:
<=> 2a 2 + 2b 2 ≥ a 2 + 2ab + b 2

<=> a 2 + b 2 − 2ab ≥ 0 <=> ( a − b ) ≥ 0
2

Dấu bằng khi a=b
2
( a + b ) ≥ 2ab
2
Ta chứng minh

2
<=> a 2 + 2ab + b 2 ≥ 4ab <=> ( a − b ) ≥ 0
Dấu bằng khi a=b

a2 +
Bài 8: Cho a,b,c là các số thực, CMR:
HD:
Ta có:
2
4a 2 + b 2 − 4ab <=> ( 2a − b ) ≥ 0

b2
≥ ab
4

Dấu bằng khi b=2a
Bài 9: Cho a,b,c là các số thực, CMR :
HD:
Ta có:
a 2 + b 2 + 1 − ab − a − b ≥ 0

a 2 + b 2 + 1 ≥ ab + a + b

<=> 2a 2 + 2b 2 + 2 − 2ab − 2a − 2b ≥ 0
<=> ( a 2 − 2ab + b 2 ) + ( a 2 − 2a + 1) + ( b 2 − 2b + 1) ≥ 0


<=> ( a − b ) + ( a − 1) + ( b − 1) ≥ 0
2

2

2

Dấu bằng khi a=b=1

a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e2 ≥ a ( b + c + d + e )

Bài 10: Cho a,b,c,d là các số thực : CMR :
HD:
Ta có:
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e2 − ab − ac − ad − ae ≥ 0
<=> 4a 2 + 4b 2 + 4c 2 + 4d 2 + 4e 2 − 4ab − 4ac − 4ad − 4ae ≥ 0
2
2
2
2
2
2
2
2
<=> ( a − 4ab + 4b ) + ( a − 4ac + 4c ) + ( a − 4ad + 4d ) + ( a − 4ae + 4e ) ≥ 0

<=> ( a − 2b ) + ( a − 2c ) + ( a − 2d ) + ( a − 2e ) ≥ 0
2

2

2

2

Dấu bằng xảy ra khi a=2b=2c=2d=2e

 1  1 
1 + ÷1 + ÷ ≥ 9
 a  b 

Bài 11: Cho a,b thỏa mãn: a+b = 1, a>0, b>0 CMR:
HD:
b 
a
 a + b  a + b  
a b
= 1 +
÷ 1 +
÷ =  2 + ÷ 2 + ÷ = 4 + 2  + ÷+ 1
a 
b  
a 
b

b a
ta có: VT
a b
= 5 + 2  + ÷ ≥ 5 + 2.2 = 9
b a

Dấu bằng khi

a b
1
= => a 2 + b 2 <=> a = b =
b a
2
2

 x+ y
x, y ≥ 0, CMR : 
÷ ≥ xy
 2 

Bài 12: Cho
HD:
Ta có:
2
x 2 + y 2 + 2 xy ≥ 4 xy <=> x 2 − 2 xy + y 2 ≥ 0 <=> ( x − y ) ≥ 0
, Dấu bằng khi x=y
a + b ≥ a b + ab
Bài 13: Cho a > 0, b > 0, CMR:
HD:
Ta có:
( a3 − a 2b ) + ( b3 − ab2 ) ≥ 0 <=> a 2 ( a − b ) − b2 ( a − b ) ≥ 0
3

<=> (

3

2

a − b ) ( a 2 − b 2 ) ≥ 0 <=> ( a − b )

2

2

( a + b) ≥ 0

Dấu bằng khi a=b
a ≥ b ≥ 1,
Bài 14: Cho
HD:

CMR:

1
1
2
+
≥
2
2
1 + a 1 + b 1 + ab


Xét hiệu:
1   1
1 
 1

−
−

÷+ 
÷≥ 0
2
2
 1 + a 1 + ab   1 + b 1 + ab 

<=>

a ( b − a)

b ( a − b)

+

( 1 + a ) ( 1 + ab ) ( 1 + b ) ( 1 + ab )
2

2

( b − a ) ( ab − 1)
2
2
<=> ( 1 + ab ) ( a + 1) ( b + a )

≥0

2

≥0

Dấu bằng khi a=b hoặc a=b=1

x2 + y 2 + z 2 + t 2 ≥ x ( y + z + t )

Bài 15: CMR : với mọi số thực x,y,z,t ta ln có :
HD:
Ta có:
x 2 + y 2 + z 2 + t 2 − xy − xz − xt ≥ 0
2
2
2
2
<=> 4 x + 4 y + 4 z + 4t − 4 xy − 4 xz − 4 xt ≥ 0

<=> (

x 2 − 4 xy + 4 y 2 ) + ( x 2 − 4 xz + 4 z 2 ) + ( x 2 − 4 xt + 4t 2 ) + x 2 ≥ 0

Dấu bằng khi x= 2y=2z=2t=0
a2
+ b 2 + c 2 ≥ ab − ac + 2bc
4
Bài 17: CMR :
HD:
Ta có:
a 2 + 4b 2 + 4c 2 − 4ab + 4ac − 8bc ≥ 0
<=> a 2 − 4a ( b − c ) + 4 ( b 2 + c 2 − 2bc ) ≥ 0

2
<=> a − 4a ( b − c ) + 4 ( b − c ) ≥ 0
2

<=> ( a − 2a + 2c ) ≥ 0
2

x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2 xy − 2 zx + 2 yz
Bài 19: CMR :
HD:
Ta có:
x 2 + y 2 + z 2 − 2 xy − 2 yz + 2 zx ≥ 0
x 2 − 2 x ( y − z ) + y 2 − 2 yz + z 2 ≥ 0

x 2 − 2 x ( y − z ) + ( y − z ) ≥ 0 <=> ( x − y + z ) ≥ 0
2

x 4 + y 4 + z 4 + 1 ≥ 2 x ( xy 2 − x − z + 1)
Bài 20: CMR :
HD:
Ta có:

2


x 4 + y 4 + z 4 + 1 − 2 x 2 y 2 + 2 x 2 − 2 xz − 2 x ≥ 0

(x

4

+ y 4 − 2 x 2 y 2 ) + ( x 2 − 2 xz + z 2 ) + ( x 2 − 2 x + 1) ≥ 0

(x

2

− y 2 ) + ( x − z ) + ( x − 1) ≥ 0
2

2

2

±1
Dấu bằng khi x=z=1, y=
a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca
Bài 21: CMR :
HD:
Ta có :
a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca ≥ 0

<=> 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 − 2ab − 2bc − 2ca ≥ 0
<=> ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ 0
2

Bài 22: CMR :
HD:
ta có:

2

2

a 2 + b 2 ≥ ab

2

b b 2 3b 2
b  3b2

<=>
a
−
2
a
.
+
+
≥
0
<=>
a
−
≥0

÷ +
2 4
4
2

4

a 2 + b 2 − ab ≥ 0
2

x 2 + xy + y 2 ≥ 0
Bài 23: CMR :
HD:
Ta có:
2

y y2 3y2
y  3y2

x + 2 x. +
+
≥ 0 <=>  x + ÷ +
≥0
2 4
4
2
4

2

a ( a + b ) ( a + c ) ( a + b + c ) + b 2c 2 ≥ 0

Bài 24: CMR :
HD:
<=> a ( a + b + c ) ( a + b ) ( a + c ) + b 2 c 2 ≥ 0

2
2
2 2
<=> ( a + ab + ac ) ( a + ab + ac + bc ) + b c ≥ 0

Đặt

a 2 + ab + ac = x

bc = y

x ( x + y ) + y 2 ≥ 0 <=> x 2 + xy + y 2 ≥ 0

Khi đó ta có:

(a

2

+ b2 ) ( a 4 + b 4 ) ≥ ( a 3 + b3 )

2

Bài 25: CMR :
HD:
Ta có:
a 6 + a 2 b 4 + a 4 b 2 + b 6 ≥ a 6 + 2 a 3b 3 + b 6


4 2

3 3
2 4
3 3
<=> ( a b − a b ) + ( a b − a b ) ≥ 0
3 2
2 3
<=> a b ( a − b ) + a b ( b − a ) ≥ 0

<=> (

a − b ) ( a 3b 2 − a 2b 3 ) ≥ 0 <=> a 2b 2 ( a − b ) ≥ 0
2

( a + b ) ( a 3 + b3 ) ≤ 2 ( a 4 + b 4 )
Bài 26: CMR :
HD:
Ta có:
a 4 + ab3 + a 3b + b 4 ≤ 2a 4 + 2b 4 <=> a 4 − ab3 + b 4 − a 3b ≥ 0

(

)

3
3
a 3 − b3 ( a − b ) ≥ 0 <=> ( a − b )
<=> a ( a − b ) + b ( b − a ) ≥ 0 <=>

2 ( a 3 + b3 ) ≥ ( a + b ) ( a 2 + b 2 )
Bài 27: Cho a,b > 0, CMR :

HD:
Ta có:
2a 3 + 2b3 ≥ a 3 + ab 2 + a 2b + b3
3
2
3
2
<=> a − a b + b − ab ≥ 0
2
2
<=> a ( a − b ) + b ( b − a ) ≥ 0

<=> ( a − b )

2

( a + b) ≥ 0
4 ( a 3 + b3 ) ≥ ( a + b )

3

Bài 28: Cho a, b > 0, CMR:
HD:
Ta có:
4a 3 + 4b3 ≥ a3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3
3
2
3
2
<=> 3a − 3a b + 3b − 3ab ≥ 0

2
2
2
2
<=> 3a ( a − b ) + 3b ( b − a ) ≥ 0 <=> 3 ( a − b ) ( a − b ) ≥ 0

<=> 3 ( a − b )

2

( a + b) ≥ 0
a 3 + b3 + abc ≥ ab ( a + b + c )

Bài 29: Cho a,b,c > 0, CMR:
HD:
Ta có:
a 3 + b3 + abc ≥ a 2b + ab 2 + abc
3
2
3
2
<=> a − a b + b − ab ≥ 0
2
2
<=> a ( a − b ) + b ( b − a ) ≥ 0

<=> ( a − b )

2

( a + b) ≥ 0

2

(a

2

+ ab + b 2 ) ≥ 0


(a

2

+ b 2 ) ≥ ab ( a + b )
2

2

Bài 30: CMR:
HD:
Ta có:
a 4 + 2a 2b 2 + b 4 ≥ ab ( a 2 + 2ab + b 2 ) = a 3b + 2a 2b 2 + ab3
4
3
4
3
<=> ( a − a b ) + ( b − ab ) ≥ 0
3

3
<=> a ( a − b ) + b ( b − a ) ≥ 0

3
3
<=> ( a − b ) ( a − b ) ≥ 0 <=> ( a − b )

2

(a

2

+ ab + b 2 ) ≥ 0

a2 + b2 + c 2 ≥ a ( b + c )

Bài 31: CMR:
HD:
ta có:
a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac ≥ 0
2
2
2
<=> 4a + 4b + 4c − 4ab − 4ac ≥ 0
2
2
2
2
2

<=> ( a − 4ab + 4b ) + ( a − 4ac + 4c ) + 2a ≥ 0
2
<=> ( a − 2b ) + ( a − 2c ) + 2a ≥ 0
2

2

a 2 + b2 + c 2 + d 2 ≥ a ( b + c + d )

Bài 32: CMR:
HD:
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − ab − ac − ad ≥ 0
2
2
2
2
<=> 4a + 4b + 4c + 4d − 4ab − 4ac − 4ad ≥ 0
2
2
2
2
2
2
2
<=> ( a − 4ab + 4b ) + ( a − 4ac + 4c ) + ( a − 4ad + 4d ) + a ≥ 0
2
<=> ( a − 2b ) + ( a − 2c ) + ( a − 2d ) + a ≥ 0
2

a 2 + b2 + c2 +

Bài 33: CMR:
HD:
Ta có:

(a

2

2

2

3
≥ ( a + b + c)
4

− a ) + ( b2 − b ) + ( c2 − c ) +

3
≥0
4

1  2
1  2
1
 2
 a − a + ÷+  b − b + ÷+  c − c + ÷ ≥ 0
4 
4 
4

<=> 
2

2

2

1 
1 
1

 a − ÷ + b − ÷ +  c − ÷ ≥ 0
2 
2 
2
<=> 

Bài 34: CMR:

a 4 + b4 + 2 ≥ 4ab


HD:
ta có:
a 4 + b 4 − 4ab + 2 ≥ 0
4
4
2 2
2 2
<=> a + b − 2a b + 2a b − 4ab + 2 ≥ 0

<=> ( a

2

− b 2 ) + 2 ( a 2b 2 − 2ab + 1) ≥ 0
2

2
2
<=> ( a − b ) + 2 ( ab − 1) ≥ 0
2

2

x4 − 4 x + 5 > 0

Bài 35: CMR:
HD:
ta có:
( x 4 − 4 x 2 + 4 ) + ( 4 x 2 − 4 x + 1) > 0
<=> ( x

2

− 2 ) + ( 2 x − 1) > 0
2

2

Không xảy ra dấu bằng
1
x4 − x + > 0
2
Bài 36: CMR:
HD:
Ta có:
1
 4 2 1  2
 x − x + ÷+  x − x + ÷ ≥ 0
4 
4

2

2

1
 2 1 
x − ÷ +x− ÷ ≥ 0
2 
2
<=> 

x3 + 4 x + 1 > 3 x 2 ( x > 0)
Bài 37: CMR:
HD:
x3 − 3x 2 + 4 x + 1 > 0
ta có:
2

2
<=> x ( x − x + 4 ) + x + 1 > 0
2
<=> x ( x − 2 ) + x + 1 > 0
2

, Vì x > 0
( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 3) ( x − 4 ) ≥ −1

Bài 39: CMR:
HD:
( x − 1) ( x − 4 ) ( x − 2 ) ( x − 3) + 1 ≥ 0
2
2
<=> ( x − 5 x + 4 ) ( x − 5 x + 6 ) + 1 ≥ 0

Đặt

x2 − 5x + 5 = t

Khi đó ta có:

( t − 1) ( t + 1) + 1 ≥ 0


2
<=> t ≥ 0

Bài 40: CMR:
HD:

, Dấu bằng khi t=0

x 4 + x3 + x 2 + x + 1 > 0
x 3 ( x + 1) + ( x + 1) + x 2 > 0

Ta có :
3
2
<=> ( x + 1) ( x + 1) + x > 0
<=>

x
( x + 1) ( x − x + 1) + x > 0
2

2

2

( ĐPCM)
a + 4b + 4c ≥ 4ab + 8bc − 4ac
2

2

2

Bài 41: CMR :
HD:

Ta có:
a 2 + 4b 2 + 4c 2 − 4ab − 8bc + 4ac ≥ 0

2
<=> a + ( 2b ) + ( 2c ) − 2.a.2b − 2.2b.2c + 2.a.2c ≥ 0
2

2

<=> ( a − b + c ) ≥ 0
2

8 ( a 3 + b3 + c 3 ) ≥ ( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a )
3

3

3

Bài 42: CMR :
với a, b, c >0
HD:
Ta có:
8a 3 + 8b3 + 8c3 ≥ 2a3 + 2b3 + 2c3 + 3a 2b + 3ab 2 + 3b 2 c + 3bc 2 + 3a 2 c + 3ac 2
3
3
3
2
2
2

2
2
2
<=> 6a + 6b + 6c − 3a b − 3ab − 3b c − 3bc − 3a c − 3ac ≥ 0

<=> (

3a 3 − 3a 2b ) + ( 3a 3 − 3a 2c ) + ( 3b3 − 3b 2 a ) + ( 3b3 − 3b 2 c ) + ( 3c 3 − 3bc 2 ) + ( 3c 3 − 3ac 3 ) ≥ 0

2
2
2
2
2
2
<=> 3a ( a − b ) + 3a ( a − c ) + 3b ( b − a ) + 3b ( b − c ) + 3c ( c − b ) + 3c ( c − a ) ≥ 0
2
2
2
2
2
2
<=> 3 ( a − b ) ( a − b ) + 3 ( a − c ) ( a − c ) + 3 ( b − c ) ( b − c ) ≥ 0

<=> 3 ( a − b )

2

( a + b ) + 3( a − c ) ( a + c ) + 3( b − c ) ( b + c ) ≥ 0

( a + b + c)

2

3

≥ a 3 + b3 + c3 + 24abc

Bài 43: CMR:
với a,b,c>0
HD:
Ta có:
a 3 + b3 + c 3 + 3 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ a 3 + b 3 + c 3 + 24abc
<=> 3 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ 24abc


Vì

 a + b ≥ 2 ab

b + c ≥ 2 bc

c + a ≥ 2 ca

, Nhân theo vế ta được ĐPCM
 x y
x2 y 2
+ 2 + 4 ≥ 3 + ÷
2
y

x
 y x
Bài 44: CMR: Với mọi x, y # 0 ta có:
HD:
Ta có:
x 4 + y 4 + 4 x 2 y 2 ≥ 3 xy ( x 2 + y 2 )
<=> ( x

2

+ y 2 ) − xy ( x 2 + y 2 ) + 2 x 2 y 2 − 2 xy ( x 2 + y 2 ) ≥ 0
2

2
2
2
2
2
2
<=> ( x + y ) ( x + y − xy ) + 2 xy ( xy − x − y ) ≥ 0
2
2
2
2
<=> ( x + y − xy ) ( x + y − 2 xy ) ≥ 0

<=> ( x − y )

2

(x

2

− xy + y 2 ) ≥ 0

a3 + b3 ≥

a +b ≥1

Bài 45: CMR : Nếu
, thì
HD:
Ta có:
b ≥ 1 − a => b3 ≥ 1 − 3a + 3a 2 − a3

1
4

2

1 1 1

a 3 + b3 ≥ 3a 2 − 3a + 1 = 3  a − ÷ + ≥
2 4 4

<=>

ab + bc + ca ≤ a 2 + b 2 + c 2

Bài 46: Cho a,b,c > 0, CMR :
HD:
Ta có:
a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca ≥ 0

<=> ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ 0
2

Bài 47: CMR :
HD:
Ta có:

2

2

a2 + a + 1
>0
a2 − a + 1

1 3

a 2 + a + 1 =  a 2 + a + ÷+ > 0, ∀a
4 4



1 3

a 2 − a + 1 =  a 2 − a + ÷+ > 0, ∀a

4 4

Nên VT > 0
4a ( a + b ) ( a + 1) ( a + b + 1) + b 2 ≥ 0
Bài 48: CMR :
HD:
Ta có:
4a ( a + b + 1) ( a + 1) ( a + b ) + b 2 ≥ 0
2
2
2
<=> 4 ( a + ab + a ) ( a + ab + a + b ) + b ≥ 0

<=> 4 x ( x + y ) + y ≥ 0

a 2 + ab + a = x
b= y
. đặt

2

2
2
<=> 4 x + 4 xy + y ≥ 0

<=> ( 2 x + y )

2

2 x = − y => 2a 2 + 2ab + 2a = −b => b = −

≥0

, Dấu bằng khi
2
x + y)
(
2
2
x +y ≥
≥ 2 xy
2

Bài 49: CMR :
HD:
Ta có:
2
 2
x + y)
(
2
2
<=> 2 x 2 + 2 y 2 ≥ x 2 + y 2 + 2 xy <=> ( x − y ) ≥ 0
x + y ≥
2

2
( x + y)
2


≥ 2 xy => x 2 + y 2 + 2 xy ≥ 4 xy <=> ( x − y ) ≥ 0
 2

Bài 50: CMR :
HD:
Ta có:
( a + b)

ab

1 1
4
+ ≥
a b a+b

≥

, Với a,b > 0

4
2
2
a + b <=> ( a + b ) ≥ 4ab <=> ( a − b ) ≥ 0

a 4 + b 4 ≥ ab ( a 2 + b 2 )
Bài 51: CMR :
HD:
a 4 + b 4 − a 3b − ab3 ≥ 0
Ta có:
3

3
<=> a ( a − b ) + b ( a − b ) ≥ 0
<=> ( a − b )

2

(a

2

+ ab + b 2 ) ≥ 0

2a ( a + 1)
2a + 1


4

a 4 + b4  a + b 
≥
÷
2
 2 

Bài 52: CMR :
HD:
Ta có:
8a 4 + 8b 4 ≥ a 4 + b 4 + 4a 2b2 + 2a 2b 2 + 4a3b + 4ab3
4
4

2 2
2 2
3
3
<=> 7 a + 7b − 4a b − 2a b − 4a b − 4ab ≥ 0
4
4
2 2
4
4
2
2
2 2
<=> ( a + b + 2a b ) + ( 6a + 6b ) − 4ab ( a + b ) − 8a b ≥ 0

<=> ( a
<=> ( a

2

+ b 2 ) − 4ab ( a 2 + b 2 ) + 4a 2b 2 + 6 ( a 4 + b 4 ) − 12a 2b 2 ≥ 0

2

+ b 2 − 2ab ) + 6 ( a 4 + b 4 − 2a 2b 2 ) ≥ 0

2

2

<=> ( a − b )

4

+ 6 ( a 2 − b2 ) ≥ 0
2

ab + bc + ca ≤ 0
Bài 53: Cho a+b+c=0, CMR :
HD:
a 2 + b 2 + c 2 + 2 ( ab + bc + ca ) = 0
Ta có:
2 ab + bc + ca ) = − ( a 2 + b2 + c 2 ) ≤ 0
<=> (

Dấu bằng khi a=b=c=0
∈R

( x − y)

2

+ ( y − z ) + ( z − x ) ≤ 3( x2 + y 2 + z 2 )
2

2

Bài 54: Cho x,y,z
, CMR :
HD:

Ta có:
2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 − 2 xy − 2 yz − 2 zx ≤ 3 x 2 + 3 y 2 + 3 z 2
2
2
2
<=> x + y + z + 2 xy + 2 yz + 2 zx ≥ 0

<=> ( x + y + z ) ≥ 0
2

x4 + y 4 ≤
Bài 55: CMR : Với mọi x,y khác 0, ta ln có :
HD:
x 2 y 2 ( x 4 + y 4 ) ≤ x8 + y 8
Ta có:
8
8
6 2
2 6
<=> x + y − x y − x y ≥ 0
6
2
2
6
2
2
<=> x ( x − y ) − y ( x − y ) ≥ 0
6
6
2

2
<=> ( x − y ) ( x − y ) ≥ 0
2
2
4
2 2
4
2
2
<=> ( x − y ) ( x + x y + y ) ( x − y ) ≥ 0

x6 y 6
+
y2 x2


<=> ( x

− y2 )

2

2

(x

4

+ x2 y 2 + y4 ) ≥ 0

2 a 2 + b 2 + c 2 ≥ 2a ( b + c )
Bài 56: CMR :
HD:
2a 2 + b 2 + c 2 − 2ab − 2ac ≥ 0
Ta có:
a 2 − 2ab + b 2 ) + ( a 2 − 2ac + c 2 ) ≥ 0
<=> (
<=> ( a − b ) + ( a − c ) ≥ 0
2

2

a 4 + a3b + ab3 + b 4 ≥ 0

Bài 57: CMR :
HD:
ta có:
a3 ( a + b ) + b3 ( a + b ) ≥ 0
3
3
<=> ( a + b ) ( a + b ) ≥ 0

a + b)
<=> (

2

(a

2

− ab + b 2 ) ≥ 0

a 4 − 2a 3b + 2a 2b 2 − 2ab3 + b 4 ≥ 0

Bài 58: CMR :
HD:
Ta có:
( a 4 − 2a 2 .ab + a 2b2 ) + ( b 4 − 2ab.b 2 + a 2b 2 ) ≥ 0

<=> ( a 2 − ab ) + ( b 2 − ab ) ≥ 0
2

2

a 4 + b 4 + c 2 + 1 ≥ 2a ( ab 2 − a + c + 1)
Bài 59: CMR :
HD:
Ta có:
a 4 + b 4 + c 2 + 1 − 2a 2b 2 + 2a 2 − 2ac − 2a ≥ 0
4
4
2 2
2
2
2
<=> ( a + b − 2a b ) + ( a − 2ac + c ) + ( a − 2a + 1) ≥ 0

<=> ( a

2

− b 2 ) + ( a − c ) + ( a − 1) ≥ 0
2

( ab + bc + ca )

2

2

2

≥ 3abc ( a + b + c )

Bài 60: CMR :
HD:
Ta có:
a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 + 2ab 2c + 2abc 2 + 2a 2bc − 3a 2bc − 3ab 2c − 3abc 2 ≥ 0
<=> a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 − ab 2c − abc 2 − a 2bc ≥ 0


Đặt

 ab = x

bc = y
ca = z


x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx ≥ 0

=>
2
2
x
−
y
+
y
−
z
+
z
−
x
≥0
(
)
(
)
(
)
<=>
2

1 1 1
1 1
y  + ÷+ ( x + z ) ≤  + ÷( x + z )
x z y

x z

Bài 61: CMR :
HD:
Ta có:
2
y ( x + z) x + z ( x + z)
+
−
≤0
xz
y
xz

0< x≤ y≤ z
, Với

2
<=> y + xz − y ( x + z ) ≤ 0

2
<=> y + xz − xy − yz ≥ 0

<=> ( y − x ) ( z − y ) ≥ 0

1
1
4
+
≥

a +1 b +1 3

Bài 62: Cho a,b dương có tổng 1, CMR :
HD:
Ta có:
<=> 3 ( a + b + 2 ) ≥ 4 ( a + 1) ( b + 1)
Quy đồng
2
<=> 4 ( ab + a + b + 1) ≤ 9 <=> 1 ≥ 4ab <=> ( a + b ) ≥ 4ab
<=> ( a − b ) ≥ 0
2

( đúng)

a 2 b2 a b
+ ≥ +
b2 a 2 b a

Bài 63: CMR : Với a,b,c > 0 thì
HD:
a 2 b2
a b a b
+ 2 − 2  + ÷+  + ÷ ≥ 0
2
b
a
b a b a
Ta có:
 a2 b2 
a b

VT ≥  2 + 2 ÷− 2  + ÷+ 2
a 
b a
b
<=>
 a2
a   b2
b 
−
2.
+ 1÷+  2 − 2. + 1÷ ≥ 0
 2
b  a
a 
<=>  b

Bài 64: CMR :
HD:

a 8 + b8 + c8 1 1 1
≥ + + , ( a , b, c > 0 )
a 3b3c 3
a b c


a 8 + b 8 + c 8 ≥ a 4 b 4 + b 4 c 4 + c 4 a 4 = ( a 2b 2 ) + ( b 2 c 2 ) + ( c 2 a 2 )
2

2

2

Ta có:

2 2 2
2
2
2
2 2 2
VT > a 2b 4 c 2 + b 2c 4 a 2 + a 4b 2c 2 = a b c ( a + b + c ) ≥ a b c ( ab + bc + ca )

<=>

a8 + b8 + c8
a 8 + b8 + c 8 1 1 1
≥
ab
+
bc
+
ca
<=>
≥ + +
a 2b 2 c 2
a 3b3c 3
a b c

(a

10

+ b10 ) ( a 2 + b 2 ) ≥ ( a8 + b8 ) ( a 4 + b 4 )

Bài 65: CMR :
HD:
a12 + a10b 2 + a 2b10 + b12 ≥ a12 + a 8b 4 + a 4b8 + b12

Ta có:
<=> ( a10b 2 − a8b 4 ) + ( a 2b10 − a 4b8 ) ≥ 0
<=> a 8b2 ( a 2 − b 2 ) + a 2b8 ( b 2 − a 2 ) ≥ 0
<=> a 2b 2 ( a 2 − b 2 ) ( a 6 − b6 ) ≥ 0
2 2
2
2
<=> a b ( a − b )

2

(a

4

+ a 2b 2 + b 4 ) ≥ 0

a+b+c >

1 1 1
+ +
a b c

( a − 1) ( b − 1) ( c − 1) > 0

Bài 66: Cho a,b,c dương có abc=1, và
, CMR :
HD:
a + b + c > ab + bc + ca
Ta có:
,
a
−
1
b
−
1
c
−
1
=
abc
− ( ab + bc + ca ) + ( a + b + c ) − 1
(
)( )( )
Xét
( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) > 0
=
a 3 + b3 = a − b
a 2 + b 2 + ab < 1
Bài 67: Cho a,b>0, thỏa mãn :
, CMR :
HD:

Ta có:
a 3 + b3 > a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 )
<=> ( a − b ) > ( a − b ) ( a 2 + b 2 + ab ) <=> a 2 + b 2 + ab < 1
2 ( a 8 + b8 ) ≥ ( a 3 + b3 ) ( a 5 + b5 )
Bài 68: CMR :
HD:
2a 8 + 2b8 ≥ a 8 + a 3b 5 + a 5b 3 + b8
Ta có:
8
5 3
8
3 5
<=> ( a − a b ) + ( b − a b ) ≥ 0
<=>

a 5 ( a 3 − b3 ) − b5 ( a 3 − b3 ) ≥ 0


5
5
3
3
<=> ( a − b ) ( a − b ) ≥ 0

a < b ,a < b
3

3

5

a 3 > b3 , a 5 > b5
, Giả sử a > b =>

=> ĐPCM

5

Nếu a<b =>
=> ĐPCM
8
8
8
3
3 ( a + b + c ) ≥ ( a + b 3 + c 3 ) ( a 5 + b5 + c 5 )
Bài 79: CMR :
HD:
Ta có:
2 ( a 8 + b8 ) ≥ ( a 3 + b3 ) ( a 5 + b5 )
2 ( b8 + c 8 ) ≥ ( b 3 + c 3 ) ( b 5 + c 5 )
2 ( c8 + a 8 ) ≥ ( a 3 + c 3 ) ( a 5 + c5 )
Cộng theo vế ta được:
4 ( a 8 + b 8 + c 8 ) ≥ ( a 8 + b8 + c 8 ) + a 3 ( a 5 + b 5 + c 5 ) + b 3 ( a 5 + b 5 + c 5 ) + c 3 ( a 5 + b 5 + c 5 )
<=> 3 ( a8 + b8 + c8 ) ≥ ( a 3 + b3 + c 3 ) ( a 5 + b5 + c5 )
a 8 + b8 ≥ a 7 + b 7

Bài 70: Cho a+b=2, CMR :
HD:
2 ( a8 + b8 ) ≥ ( a + b ) ( a 7 + b 7 ) = a8 + b8 + ab 7 + a 7b
Ta có:

8
8
7
7
7
7
<=> a + b − a b − ab ≥ 0 <=> ( a − b ) ( a − b ) ≥ 0

Giả sử

a − b > 0
a > b =>  7
7
a − b > 0

a − b < 0
a < b =>  7
7
a − b < 0

Nếu
a + b + c ≥ a b + b c + c 5 a , ( a , b, c > 0 )
6

6

6

5

5

Bài 71: CMR :
HD:
Ta có:
a 5 ( a − b ) + b5 ( b − c ) + c 5 ( c − a ) = ( a − b ) ( a 5 − b5 ) + ( c − a ) ( c 5 − b 5 ) ≥ 0

Giả sử :

c − a < 0
a ≥ b ≥ c =>  5
5
c − b < 0

và

a − b > 0
 5 5
a − b > 0

=> ĐPCM
a
b
c
a
b
c
+ 2
+ 2 2≥
+

+
2
2
2
b +c c +a a +b
b+c c+a a +b
2

2

2

Bài 72: CMR : Với mọi a,b,c > 0 thì
HD:
a 2 ( b + c ) − a ( b 2 + c 2 ) ab ( a − b ) + ac ( a − c )
a2
a
−
=
=
b2 + c 2 b + c
( b + c ) ( b2 + c2 )
( b + c ) ( b2 + c2 )
Xét
a≥b≥c
Giả sử
=> Các ngoặc đều dương => ĐPCM


( a + b ) ( a 3 + b3 ) ≤ 2 ( a 4 + b 4 )

Bài 73: Cho a, b là hai số dương, CMR :
HD:
2a 4 + 2b 4 − a 4 − ab3 − a 3b − b 4 ≥ 0
Ta có:
4
3
4
3
<=> ( a − a b ) + ( b − ab ) ≥ 0
3
3
<=> a ( a − b ) − b ( a − b ) ≥ 0

( a + b ) ( a 4 + b 4 ) ≥ ( a 2 + b 2 ) ( a 3 + b3 )
Bài 74: Cho a,b là hai số dương, CMR :
HD:
a 5 + ab 4 + a 4b + b5 − a 5 − a 2b3 − a 3b 2 − b5 ≥ 0
Ta có:
4
3 2
4
2 3
<=> ( a b − a b ) + ( ab − a b ) ≥ 0
3
3
<=> a b ( a − b ) + ab ( b − a ) ≥ 0

<=> (

a − b ) ( a 3b − ab3 ) ≥ 0

<=>

ab ( a − b ) ( a 2 − b 2 ) ≥ 0

a 2 + b 2 + 4 ≥ ab + 2 ( a + b )

Bài 75: CMR :
HD:
Ta có:
a 2 + b 2 + 4 − ab − 2a − 2b ≥ 0
2
2
<=> 2a + 2b + 8 − 2ab − 4a − 4b ≥ 0

<=> (

a 2 − 2ab + b 2 ) + ( a 2 − 4a + 4 ) + ( b 2 − 4b + 4 ) ≥ 0

Bài 76: Cho a,b là hai số có tổng bằng 2, CMR :
HD:
Ta có:
2 ( a 4 + b 4 ) ≥ ( a + b ) ( a 3 + b3 )

a 4 + b 4 ≥ a 3 + b3

4
4
4
3

3
4
<=> 2a + 2b − a − ab − a b − b ≥ 0
4
3
4
3
3
3
3
3
<=> ( a − a b ) + ( b − ab ) ≥ 0 <=> a ( a − b ) + b ( b − a ) ≥ 0 <=> ( a − b ) ( a − b ) ≥ 0

Bài 77: Cho a,b,c là ba số thỏa mãn : a+b+c=3, CMR :
HD:
Ta có:
3 ( a 4 + b 4 + c 4 ) ≥ ( a + b + c ) ( a 3 + b3 + c 3 )

a 4 + b 4 + c 4 ≥ a 3 + b3 + c 3


2

b 3 2
2
2
( a − b )  a + ÷ + b  + ( b − c ) ( b 2 + bc + c 2 ) + ( c − a ) ( c 2 + ac + a 2 ) ≥ 0
2  4 

<=>

2

0 ≤ x, y , z ≤ 1
0 ≤ x + y + z − xy − yz − zx ≤ 1
Bài 78: Cho
, CMR :
HD:
Ta có:
( 1 − x ) ( 1 − y ) ( 1 − z ) = − ( xyz − xy − yz − zx + x + y + z − 1) ≥ 0
Xét tích
 x > xy

 y > yz => x + y + z − xy − yz − zx ≤ 1 − xyz
 z > zx

mà
0 ≤ xyz ≤ 1 <=> 1 − xyz ≤ 1
mà
x2 + y2 + z2 ≤ 6
−1 ≤ x, y, z ≤ 2
Bài 79: Cho
và x+y+z=0, CMR :
HD:
Ta có:
( x − 2 ) ( x + 1) ≤ 0
 x2 − x − 2 ≤ 0

 2
( y − 2 ) ( y + 1) ≤ 0 <=>  y − y − 2 ≤ 0


z2 − z − 2 ≤ 0

( z − 2 ) ( z + 1) ≤ 0
Xét
, Cộng theo vế ta có:
2
2
2
2
2
2
x + y + z − 6 ≤ 0 <=> x + y + z ≤ 6

1 1 1
1
+ − <
x y z xyz

x2 + y 2 + z 2 =

Bài 80: Cho x > 0, y > 0, z > 0, CMR :
, Với
HD:
Ta có:
2
( x + y − z ) ≥ 0 <=> x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy − 2 yz − 2 zx ≥ 0

5
+ 2 ( xy − yz − zx ) ≥ 0
<=> 3

<=>

2 ( xy − yz − zx ) ≥

−5
5
<=> yz + zx − xy ≤ ≤ 1
3
6

1 1 1
1
+ − <
<=> x y z xyz
2a 3 + 2b3 + 2c 3 < 3 + a 2b + b 2 c + c 2 a

Bài 81: Cho 0 < a,b,c < 1, CMR :
HD:
a < 1 => a 2 < 1, b < 1
Do
( 1 − a 2 ) ( 1 − b ) > 0 <=> 1 + a 2b − a 2 − b > 0 <=> 1 + a 2b > a 2 + b
=>

5
3


a 2 > a 3 , b > b3 => a 2 + b > a 3 + b 3
Mặt khác: 0< a, b<1=>
1 + a 2 b < a 3 + b3

Vậy
, Chứng minh tương tự => ĐPCM
4
4
4
a + b + c ≥ abc ( a + b + c )
Bài 82: CMR :
HD:
a 4 + b 4 + c 4 − a 2bc − ab 2c − abc 2 ≥ 0
Chuyển vế ta có:
<=> ( a
<=> ( a

2

− b 2 ) + 2a 2b 2 + ( b 2 − c 2 ) + 2b 2c 2 + ( c 2 − a 2 ) + 2a 2c 2 − 2a 2bc − 2b 2 ac − 2abc 2 ≥ 0

2

− b2 ) + ( b2 − c 2 ) + ( c 2 − a 2 )

2

2

2

2

2

2

+ ( a 2b 2 − 2a 2bc + a 2c 2 ) + ( a 2b 2 − 2ab 2 c + b 2 c 2 ) + ( a 2b 2 − 2ab 2 c + b 2c 2 ) + ( a 2c 2 − 2abc 2 + b 2c 2 ) ≥ 0
a >c+d b >c+d
ab > ad + bc
Bài 83: Cho a,b,c,d > 0 thỏa mãn:
,
, CMR:
HD:
a > c + d
a − c > d > 0
=> 
=> ( a − c ) ( b − d ) > cd

b > c + d
b − d > c > 0
Ta có:
, Nhân vào ta được ĐPCM
( 1 − a ) ( 1 − b) ( 1 − c ) ( 1 − d ) > 1 − a − b − c − d
0 < a, b, c, d < 1
Bài 84: Cho
, CMR :
HD:
( 1 − a ) ( 1 − b ) = 1 − a − b + ab > 1 − a − b
Ta có:
( do ab >0)
c < 1 => 1 − c > 0 => ( 1 − a ) ( 1 − b ) ( 1 − c ) > ( 1 − a − b ) ( 1 − c ) > 1 − a − b − c
Do
Chứng minh tương tự => ĐPCM

a2
+ b 2 + c 2 > ab + bc + ca
a 3 > 36
3
Bài 85: Cho a.b.c=1,
, CMR :
HD:
 a2
 a2
2
2
a2 a2
2
2
<=>
+
b
+
c
−
ab
−
ac
+
2
bc

÷+ − 3bc > 0
+ + b + c − ab − bc − ac > 0
 4

 12
4 12
Xét hiệu
2
3
a
 a − 36abc
a 3 − 36abc
3
−
b
−
c
+
a
>
36
=>
>0

÷
12a

12a
<=>  2
, Do
ĐPCM

Bài 86 : Chứng minh rằng : Nếu
a= b= c= d

a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd

và a,b,c,d là các số dương thì
2

 ab + 1
a +b +
÷ ≥2
 a+ b 
2

Bài 87: Cho hai số a, b thỏa mãn:
HD:

a + b ≠ 0,

Chứng minh rằng:

2


2

2
2
2
 ab + 1
a +b +
≥ 2 <=> a2 + b2 ( a + b) + ( ab + 1) ≥ 2( a + b)

÷
 a+ b 
2

Ta có:

(

2

)

2
2
2
2
<=> ( a + b) ( a + b) − 2ab − 2( a + b) + ( ab + 1) ≥ 0



<=> ( a + b) − 2ab( a + b) − 2( a + b) + ( ab + 1) ≥ 0
4

2

<=> ( a + b) − 2( a + b)
4

2

2

2

( ab + 1) + ( ab + 1)

2

≥0

2

2
<=> ( a + b) − ab − 1 ≥ 0



(ĐPCM)
x− y
A=
x+ y

x2 − y2
x2 + y2

B=

x> y> 0
Bài 88: Cho
hãy so sánh :

, và
HD:
x > 0, y > 0 => x + y ≠ 0
Vì
x − y ( x − y) ( x + y)
A=
=
2
x+ y
( x + y)
x2 + y2 + 2xy > x2 + y2, x2 − y2 > 0
, lại có:
2
2
2
x −y
x − y2
=> A =
<
=B
2xy + x2 + y2 x2 + y2

x2 + y3 ≥ x3 + y4

x3 + y3 ≤ 2

Bài 89: Cho x, y > 0 thỏa mãn điều kiện:
, Chứng minh rằng:
, Dấu bằng
xảy ra khi nào?

HD:
Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có:
x + x3 ≥ 2x2, y2 + y4 ≥ 2y3
, Do vậy
3
2
4
2
3
x + x + y + y ≥ 2x + 2y => x + y2 ≥ x2 + y3 + x2 + y3 − x3 − y4 ≥ x2 + y3 x2 + y3 ≥ x3 + y4
,(
)
x2 + 1≥ 2x, y4 + 1≥ 2y2
1+ x2 + 1+ y4 ≥ 2x + 2y2 ≥ 2x2 + 2y3 ≥ x2 + y3 + x3 + y4
Mà:
, nên
3
3
x +y ≤2
Do vậy
x = y= 1
Dấu bằng xảy ra khi:
x2 + y2 − xy ≥ x + y − 1
Bài 90: Chứng minh BĐT sau:
HD:
x2 + y2 − xy ≥ x + y − 1<=> 2 x2 + y2 − xy ≥ 2( x + y − 1)

(

(

Ta có:

) (

)

)

(

) (

) (

)

2
2
2
2
<=> 2x2 + 2y2 − 2xy ≥ 2x + 2y − 2 <=> x − 2xy + y + x − 2x + 1 + y − 2y + 1 ≥ 0


a3 + b3 = a5 + b5

a2 + b2 ≤ 1+ ab

Bài 91: Cho a, b là các số dương thỏa mãn:
, Chứng minh rằng:

HD:
a2 + b2 ≤ 1+ ab <=> a2 + b2 − ab ≤ 1<=> ( a + b) a2 + b2 − ab ≤ a + b

(

)

Ta có:
<=> a3 + b3 ≤ a + b <=> a3 + b3 a3 + b3 ≤ ( a + b) a5 + b5 <=> 2a3b3 ≤ ab5 + a5b

(

(

)(

)

)

(

<=> ab a4 − 2a2b2 + b4 ≥ 0 <=> ab a2 − b2

Bài 92: Cho các số a, b, c
HD:
Do a, b,c

∈  0;1

∈  0;1

(

)

2

, chứng minh rằng:

)

≥ 0,∀a,b > 0
a + b2 + c3 − ab − bc − ca ≤ 1

, nên:

( 1− a) ( 1− b) ( 1− c) ≥ 0 => 1− a − b − c + ab + bc + ca − abc ≥ 0
=> a + b + c − ab − bc − ca ≤ 1− abc ≤ 1
a, b, c ∈  0;1 => b2 ≤ b,c3 ≤ c

Do
, từ đó ta có:
2
3
a + b + c − ab − bc − ca ≤ a + b + c − ab − bc − ca ≤ 1


DẠNG 2 : SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ
Các BĐT phụ hay dùng :

2
a + b)
(
2
2
2
a +b ≥
( x + y ) ≥ 4 xy
2

a 4 + b4 >
Bài 1: Cho a+b > 1, CMR :
HD:

( a + b)

2

Ta có:

(a

2

+b

)

=>

a 4 + b4 >
Vậy

2
2
1
 a + b + 2ab > 1
> 1 =>  2
<=> a 2 + b 2 >
2
2
 a + b − 2ab ≥ 0

1
8
a 2 + b2 ≥

Bài 2: Cho a+b = 1, CMR :
HD:

Ta có:

1
8

1
 4 4
2 2
1
1

a + b + 2a b >
> => 
4 => 2a 4 + 2b 4 >
4
4
 a 4 + b2 − 2a 2 b2 ≥ 0


2 2

( a + b)

x y
+ ≥2
y x

2

1
2

a 2 + 2ab + b 2 = 1
1
= 1 =>  2
=> 2a 2 + 2b 2 ≥ 1 => a 2 + b 2 ≥
2
2
a − 2ab + b ≥ 0

Bài 3: Cho a+b > 2, CMR :

HD:

a 2 + b2 > 2

a 2 + 2ab + b 2 > 4
2
a
+
b
>
4
=>
=> 2a 2 + 2b 2 > 4 => a 2 + b 2 > 2
(
)
 2
2
a − 2ab + b ≥ 0

Ta có:
a2 + b2 ≤ 2
a+b≤ 2
Bài 4: Cho
, CMR:
HD:
Ta có:
 a 2 + b 2 ≤ 2
 2
2
2

2
 a + b ≥ 2ab => 2ab ≤ a + b < 2

a 2 + b 2 + 2ab ≤ 4 <=> ( a + b ) ≤ 4 => a + b ≤ 2
2

Cộng theo vế ta được:

a 2 + b 2 + c 2 < 2 ( ab + bc + ca )

Bài 5: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR:
HD:
Ta có: Vì a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác nên ta có:


a 2 < ab + ac
a < b + c
 2

2
2
2
b < a + c => b < ab + bc => a + b + c < 2 ( ab + bc + ac )
c < a + b
c 2 < ac + bc



a3 + b3 ≥
Bài 6: Cho a,b là hai số thực bất kỳ có tổng bằng 1, CMR:

HD:
3
a + b = 1 => b = 1 − a => b 3 = ( 1 − a )
Ta có:
a 3 + b3 = a 3 + 1 − 3a + 3a 2 − a 3 = 3a 2 − 3a + 1
=>
2
1 3
1 1 1


= 3  a2 − a + + ÷= 3  a − ÷ + ≥
4 4
2 4 4



( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) ≥ 8xyz

x, y , z ≥ 0
Bài 7: Cho
HD:

Ta có:

, CMR :
 x + y ≥ 2 xy

 y + z ≥ 2 yz


 z + x ≥ 2 zx

( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) ≥ 8 xyz
, Nhân theo vế ta được:
1
1
1
1
+ 3 3
+ 3 3
≤
3
3
a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc

Bài 8: Cho a,b,c > 0, CMR :
HD:
a 3 + b 3 = ( a + b ) a 2 − ab + b 2 ≥ ( a + b ) ab

(

Ta có:
3

)

, Do
+b3 + abc ≥ ( a + b ) ab + abc = ab ( a + b + c )

Khi đó

Chứng minh tương tự ta có:
b3 + c 3 + abc ≥ bc ( a + b + c )

Khi đó ta có:

a 2 − ab + b 2 ≥ ab

c 3 + a 3 + abc ≥ ac ( a + b + c )

và
1
1 1 
1
a+b+c
1
 1
VT ≤
.
=
 + + ÷=
a + b + c  ab bc ca  a + b + c abc
abc

( a + b + c ) 

1 1 1
+ + ÷≥ 9
a b c

Bài 9: CMR: Với mọi a,b,c > 0 thì

HD:

a + b + c ≥ 3 abc

1 1 1
1
+ + ≥ 33
a b c
abc

3

Ta có:

1
4

và

( a + b + c ) 
Nhân theo vế ta có:

1 1 1
+ + ÷≥ 9
a b c


Bài 10: Cho a,b,c > 0, CMR :
HD:
Ta có:

a
b
c
3
+
+
≥
b+c c +a a +b 2

1 1 1
+ + ÷≥ 9
x y z

( x + y + z) 
Từ

=>

x = a + b

y = b + c
z = c + a


, Đặt
1
1
1 


2( a + b + c) 
+
+
÷≥ 9
 a+b b+c c+a 

<=>

a+b+c a+b+c a+b+c 9
+
+
≥
a+b
b+c
c+a
2

=>

c
a
b
9
3
+
+
≥ −3=
a+b b+c c+a 2
2

a
b
1
3
+
+
≥
b +1 a +1 a + b 2

Bài 11: Cho a,b > 0, CMR :
HD:
1
1 
9
3
 a
  b
  1

 1
+ 1÷+ 
+ 1÷+ 
+ 1÷+ 3 = ( a + b + 1) 
+
+

÷− 3 ≥ − 3 =
2
2
 b +1   a +1   a + b 

 a + b a +1 b +1 
Ta có:
a2
b2
c2
a +b+c
+
+
≥
b+c c+a a+b
2
Bài 12: Cho a,b,c là ba số dương, CMR :
HD:
 a2
b + c   b2
c + a   c2
a +b  a +b +c
VT = 
+
+
+
÷+ 
÷+ 
÷−
4  c+a
4   a +b
4 
2
b+c
Ta có:

a+b+c a+b+c
VT ≥ a + b + c −
=
= VP
2
2

a
b
c
11 1 1
+ 2 2+ 2
≤  + + ÷
2
2
a +b b +c c +a
2a b c
2

Bài 13: Cho a,b,c > 0, CMR :
HD:
a 2 + b 2 ≥ 2ab
 2
a
b
c
1
1
1 11 1 1
2

+
+
=
+ +
=  + + ÷
b + c ≥ 2bc => VT ≤
2ab 2bc 2ca 2b 2c 2a 2  a b c 
 2
2
c + a ≥ 2ca
Ta có:
a 2 b2 c 2
+ + ≥ a+b+c
b c a
Bài 14: CMR: với a,b,c > 0 thì :
HD:
 a2
  b2
  c2

+
b
+
+
c

÷ 
÷+  + a ÷− ( a + b + c )
≥ 2a + 2b + 2c − ( a + b + c ) = a + b + c = VP
 b

  c
 a

Ta có:


a2 + b2 + c 2 +

3
≥ −a − b − c
4

Bài 15: CMR :
HD:
1  2
1  2
1
 2
 a + a + ÷+  b + b + ÷+  c + c + ÷ ≥ 0
4 
4 
4

Ta có:
1 1 1
+ + ≥9
a b c
Bài 16: Cho a,b,c dương có tổng là 1, CMR :
HD:
1 1 1

( a + b + c ) = 1 => ( a + b + c )  + + ÷ ≥ 9
a b c
Vì
a+b+c ≤ 3
Bài 17: Cho a,b,c là các số không âm và
,CMR :
a
b
c
3
1
1
1
+
+
≤ ≤
+
+
1 + a2 1 + b2 1 + c 2 2 1 + a 1 + b 1 + c
HD:
1 + a 2 ≥ 2a

a
b
c
a
b
c 3
2
+

+
≤
+
+
=
1 + b ≥ 2b =>
2
2
2
1+ a 1+ b 1+ c
2a 2b 2a 2
1 + c 2 ≥ 2c


Ta có:
1 + a = x

1 + b = y => x + y + z = a + b + c + 3 ≤ 6
1 1 1 3
B= + + ≥
1 + c = z
x y z 2

Đặt
=>
,
1 1 1
1 1 1
9
9 3

≥ =
( x + y + z )  + + ÷ ≥ 9 => + + ≥
x y z x+ y+z 6 2
x y z
Khi đó:
x4 y 4 x2 y 2 x y
+ − − + + ≥2
y4 x4 y2 x2 y x
Bài 18: Cho x,y,z > 0, CMR :
HD:
 x2 y2 
x4 y4
x y
−  2 + 2 ÷ ≤ −2
+
≥2
+ ≥2
x 
y4 x4
y x
y
Ta có:
, Tương tự
và
VT ≥ 2 + 2 − 2 = 2
Cộng theo vế ta có:
Bài 19: Cho a,b là các số dương thỏa mãn: a+b < ab, CMR : a+b > 4
HD:
Ta có:
a +b

4
a + b ab
4
2
≥
a + b < ab =>
<
= 1 => 1 >
=> a + b > 4
( a + b ) ≥ 4ab =>
ab
a+b
ab
ab
a +b
Do
3
3
a b c3
+ + ≥ ab + bc + ca
b c a
Bài 20: Cho a,b,c > 0, CMR :