Tải bản đầy đủ (.doc) (16 trang)

Chuyen de Bat dang thuc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (117.87 KB, 16 trang )

Phép biến đổi tơng đơng
áp dụng bất đẳng thức để tìm cực trị
I - Phép biến đổi tơng đơng
1) Phơng pháp chung
- Từ 1 BĐT ban đầu biến đổi tơng đơng về một BĐT luôn đúng ( hoặc ngợc
lại)
- Một số ví dụ;
VD1; Cho a;b; c > 0 CMR ; a
3
+ b
3
+ abc

ab (a + b + c)
Lời giải:
Ta có a
3
+ b
3
+ abc

ab (a + b + c)

a
3
+ b
3
+ abc

a
2


b + ab
2
+ abc

(a+b)(a
2
_ab+b
2
)

ab (a+b)

(a+b) (a-b)
2


0
Ta có: a; b; > 0

a + b > 0
(a - b)
2


0

a, b

(a + b).(a - b)
2



0 (Luôn đúng)

a, b > 0

a3 + b3 + abc

ab (a+b+c) (ĐpCM)
VD2: Cho a, b, c > 0 CM:
ab bc ca
a b c
c a b
+ + + +
Lời giải:
Ta có
ab bc ca
a b c
c a b
+ + + +

a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c

2
a
2


abc (a + b + c)

2(a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
)

2 abc(a + b + c)

(a
2
b
2
+ b
2
c

2
- 2ab
2
c)+ (a
2
b
2
+ a
2
c
2
- 2a
2
bc) + (b
2
c
2
+ c
2
a
2
- 2abc
2
)

0

b
2
(a - c) + a

2
(b - c)
2
+ c
2
(a - b)
2


0 ( Luôn đúng do a ; b ; c > 0 )
Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh.
VD3: Cho a , b , c là độ dài 3 cạnh của

Cm:
a b c a c b
1
b c a c b a
+ + − − − <
Bµi lµm
§Æt M =
a b c a c b
b c a c b a
+ + − − −
cã M =
a b b c c a
b a c b a c
− + − + −
2 2 2 2 2 2
a b b c c a
M

ab bc ac
− − −
⇔ = + +
2 2 2 2 2 2
1
M . ca cb ab ac bc ba
abc
⇔ = − + − + −
(V× a; b; c > 0)
( ) ( )
1
M . a c . b2 ac ab bc
abc
⇔ = − + − −
( ) ( ) ( )
1
M . a c . c b . b a
abc
⇔ = − − −

c a b> −
a b c> −

b c a> −
a b . b c . c a a.b.c⇒ − − − <
( ) ( ) ( )
1 1
. a b b c c a .abc 2
abc abc
M 1

⇔ − − − < =
⇔ <
VËy
a b c c b
1
b c a a a
+ + − − <
VD4 :Cho ab

1 CM:
1 1 2
(1)
a2 1 b2 1 ab 1
+ ≥
+ + +
Bµi gi¶i
Ta cã (1)
2 2
2 2 2 2
a b 2 2
ab 1
a b 1 a b
+ +
⇔ ≥
+
+ + +

2

( )

( )
( )
2 2 2 2 2 2
a b 2 . ab 1 . a b a b 12 + + + + + +
(Vì ab
1
)

3 3 2 2 2 2
a b ab 2a b a b 2ab 0 + +

( ) ( )
2 2 2 2
ab. a 2ab b a 2ab b 0 + +

( ) ( )
2
ab 1 . a b 0
( Luôn đúng
n
a 1
)

2
1 1 2
b2 1 ab 1
a 1
+
+ +
+

Dấu = xảy ra
a b
ab 1
=



=

VD5:Cho
a 1; b 1 ; c 1
CM:
3 3 3
1 1 1 3
1 abc
a 1 b 1 c 1
+ +
+
+ + +
Bài làm
áp dụng kết quả ở ví dụ 4 ta có:
(
)
3 3 2
3 3
3
1 1 1 2
1 a 1 b
1 a b
1 a

+ =
+ +
+
+
Tơng tự:
3
4
1 1 2
1 abc
c 1
abc 1
+
+
+
+
3 3 3
3 3 4
1 1 1 1 1 1
1 abc
1 a 1 b 1 c
1 a b abc 1

+ + + +


+
+ + +
+ +

mà :

(
)
(
)
2 2
3 3 4
4 4
3 3 4
4
4 4 4
1 1 1 1
2
1 a b abc 1
1 a b 1 abc
2 4
2.
1 abc
1 a b c



+ = +



+ +


+ +



=
+
+
3 3 3
1 1 1 1 4
1 abc 1 abc
1 a 1 b 1 c
+ + +
+ +
+ + +
3 3 3
1 1 1 3
1 abc
1 a 1 b 1 c
+ +
+
+ + +
3
A
C
h
a
B
a
b
c
Dấu = xảy ra

a = b = c = d

VD6: Cho

abc Với: A

B

C
a b c b a c
b c a a c b
h h h h h h
h h h h h h
+ + + +
(ha ; hb ; hc lần lợt là các đờng cao hạ từ A; B; C xuống 3 cạnh của

)
Bài làm:
Gọi S là diện tích

ABC
a a
1 2S
S a.h h
2 a
= =
tơng tự:


b c
2S 2S
h ; h

b c
= =
(1)
2S 2S 2S 2S 2S 2S
a b c b a c
2S 2S 2S 2S 2S 2
ab
S
b a c b
+ + + +

2 2 2 2 2 2
2
2
b c a a c b
a b c b a c
b c c a a b a c c b b a
c(b a)(a b) c (b a) ab(b a) 0
(b a)(ac bc c ab) 0
(b a)(c b)(a c) 0
+ + + +
+ + + +
+
+

Lại có A

B

C


a

b

c (Quan hệ cạnh góc trong

)
( ) ( ) ( )
b a 0
a c 0 b a c b a c 0
c b 0










Đpcm
Dấu= xảy ra (=)
a c
a b
c a
=



=


=

VD7 : CM: a
2
+ b
2
+ c
2


ab + bc + ca
4
Tõ ®ã chøng minh:
8 8 8
3 3 3
a b c 1 1 1
a b c
a .b .c
+ +
≥ + +
Víi a , b , c , > 0
Bµi gi¶i:
a
2
+ b
2
+ c

2


ab + bc + ca (*)

2(a
2
+ b
2
+ c
2
) - 2.(ab + bc + ca)

0
(=) (a - b)
2
+ (b - c)
2
+ (c - a)
2


0 ( lu«n ®óng )
DÊu “=” x¶y ra (=) a = b = c
Ta cã : a
2
+ b
2
+ c
2



ab + bc + ca
a
4
+ b
4
+ c
4

a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
a
8
+ b
8
+ c
8



a
4
b
4
+ b
4
c
4
+ c
4
a
4
¸p dông (*)

a
8
+ b
8
+ c
8


a
4
b
4
+ b
4
c
4

+ c
4
a
4


a
2
b
3
c
3
+ a
3
b
2
c
3
+ a
3
b
3
c
2
8 8 8 3 3 3
1 1 1
a b c a b c
a b c
 
⇔ + + ≥ + +

 ÷
 
8 8 8
3 3 3
a b c 1 1 1
a b c
a b c
+ +
≥ + +⇔
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra (=) a = b = c
VD 8: Cho a ; b ; c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña 1

; p lµ nöa chu vi
Cm:
1 1 1 1 1 1
2
p a p b p c a b c
 
+ + ≥ + +
 ÷
− − −
 
Bµi gi¶i
Tõ bÊt ®¼ng thøc
1 1 1
x y x y
+ ≥
+
(x ; y kh«ng ©m ; xy


0 )
(DÔ dµng CM ®îc B§T C«si)
Ta cã:
1 1 4 4
p a p b 2p a b c
+ ≥ =
− − − −

1 1 4
p b p c a
1 1 4
p c p a b
+ ≥
− −
+ ≥
− −
Céng tõng vÕ cña B§T trªn ta ®îc:
5

1 1 1 1 1 1
2 4
p a p b p c a b c


+ + + +







1 1 1 1 1 1
2
p a p b p c a b c

+ + + +



*Chú ý : Biến đổi ngợc lại ta sẽ đợc một bài C/m BĐT bằng cách biến đổi tơng đ-
ơng thực sự.
VD 9: Cho a> b > 0 ; m > n
n N ; m N


m m n n
m m n n
a b a b
CM :
a b a b

>
+ +
(*)
Bài làm:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
m m n n n n m m
m n m n m n m n n m n m n m m n

m n n m
n n m n m n
(*) a b a b a b a b
a .a a .b b .a b .b a .a a .b b .a b .b
2 a .b a .b 0
2.a .b a b 0 (1)

+ > +
+ > +
>
>
Có a > b
m n m 1
a b

>

(1) luôn đúng

(*) luôn đúng

Đpcm
*Một số bài tập áp dụng:
1) Cho
z y x 0 >
C/m:
( ) ( )
1 1 1 1 1
y x z x z (*)
x z y x z


+ + + + +
ữ ữ

2) Cho a , b , c là các số thực dơng thoả mãn abc = 1
CMR:
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 3
2
a b c b c a c a b
+ +
+ + +
( Chú ý BĐT Nesôlsit )
6

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay
×