Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên môn Toán năm 2020 - 2021 tỉnh Hậu Giang có đáp án chi tiết | Toán học, Đề thi vào lớp 10 - Ôn Luyện

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT, THPT CHUYÊN

TỈNH HẬU GIANG

ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)

NĂM HỌC 2020 – 2021
MƠN: TỐN – THPT CHUN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề

Câu I (2,0 điểm)
1) Tính giá trị đúng của biểu thức A = 43- 30 2 + 6- 4 2.
n2 - 5n+ 4
n- 5
2) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho
là một số nguyên.

Câu II (3,0 điểm)
2
2
1) Cho phương trình x - (2m+1)x + m + 2 = 0 (1) (với m là tham số thực).

a) Giải phương trình (1) khi m= 3.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện 1< x1 < x2.

ìï x3 (4y2 +1) + 2 x = 4
ïï
,

í 2
ïï x y 2+ 2 4y2 +1 - x2 +1 = x
2) Gii h phng trỡnh ợù
vi x, yẻ Ă .

(

)

Cõu III (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), cho hàm số
và vẽ đồ thị (P ).

y =-

1 2
x
2
có đồ thị (P ). Lập bảng biến thiên

Câu IV (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) và nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi D là điểm đối
xứng của B qua O. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vng góc của điểm B lên AC và AO, với K khác O
và thuộc đoạn thẳng AO. Gọi M là giao điểm của đường thẳng HK và BC.
1) Chứng minh bốn điểm A, B, H , K cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh tam giác MHB cân.
3) Chứng minh M là trung điểm của BC.
4) Cho điểm E nằm bên ngồi đường trịn (O) và một đường thẳng d thay đổi nhưng luôn đi qua E ,
đồng thời cắt (O) tại hai điểm phân biệt P, Q. Giả sử bán kính đường trịn (O) bằng a. Tính diện tích lớn nhất
của tam giác OPQ theo a.
Câu V (1,5 điểm)
2

1) Cho đa thức f ( x) = x + ax + b (với a, b Î ¡ ). Tìm a, b biết rằng f (2) =- 5 và f (3) = 7.

2) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3
P = 1+
.
xy + yz + xz

Liên hệ tài liệu word SĐT và zalo: 039.373.2038


-------------------HẾT------------------Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi khơng giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ……………………………………….
Chữ ký giám thị 1: ………………………….
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH HẬU GIANG

Số báo danh: ….....………………

Chữ ký giám thị 2: ………………………….

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT, THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2020 – 2021

HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN CHUN
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
I. Hướng dẫn chung
1. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà v ẫn đúng thì cho đ ủ đi ểm t ừng ph ần nh ư
hướng dẫn quy định.
2. Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm ph ải đ ảm b ảo không sai

lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong tổ chấm thi.
3. Điểm bài thi là điểm sau khi cộng điểm tồn bài thi và khơng làm tròn.
II. Đáp án và thang điểm
Câu I (2,0 điểm)
1) Tính giá trị đúng của biểu thức A = 43- 30 2 + 6- 4 2.
n2 - 5n+ 4
n- 5
2) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho
là một số nguyên.

Câu

Nội dung
Ta có

1

43 - 30 2 =
6- 4 2 =

( 5-

( 2-

3 2
2

)

2

)

2

= 5 - 3 2.

=2-

2.

Từ đó, ta có A = 7- 4 2.

2

Điểm
0,25
0,25
0,25

n 2 - 5n + 4
4
=n+
.
n- 5
n- 5
Ta có

0,25

n2 - 5n + 4
4
= n+
n- 5
n- 5 là số nguyên khi và chỉ khi 4(n  5).
Khi đó

0,25

Ta có 6 trường hợp:
n  5  1  n 4 (nhận) hoặc n  5 1  n 6 (nhận)
n  5  2  n 3 (nhận) hoặc n  5 2  n 7 (nhận)
n  5  4  n 1 (nhận) hoặc n  5 4  n 9 (nhận).

Liên hệ tài liệu word SĐT và zalo: 039.373.2038

0,75


Câu II (3,0 điểm)
2
2
1) Cho phương trình x - (2m+1)x + m + 2 = 0 (1) (với mlà tham số thực).

a) Giải phương trình (1) khi m= 3.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn
điều kiện 1< x1 < x2.

ìï x3 (4y2 +1) + 2 x = 4
ïï

,
í 2
ïï x y 2+ 2 4y2 +1 - x2 +1 = x
2) Giải hệ phương trình ỵï
với x, ¡ .

(

Câu

)

Nội dung
2
m

3,
a) Khi
phương trình (1) trở thành x - 7 x +11 = 0.

Điểm
0,25

Ta có  49  4.1.11 5  0.

0,25

Nghiệm của phương trình là

x

7 5
7 5
x
.
2
2
hoặc

0,5

2
2
b) Ta có  (2m  1)  4.1.(m  2) 4m  7.

Phương trình (1) có hai nghiệm

x1 , x2

phân biệt khi và chỉ khi

1
Với điều kiện (*), theo hệ thức Vi-et, ta có

 0 m

7
4 (*)

0,25

 x1  x2 2m  1
.

2
 x1 x2 m  2

ìï x - 1+ x2 - 1> 0
1< x1 < x2 Û 0 < x1 - 1< x2 - 1Û ïí 1
Û
ïỵï (x1 - 1)(x2 - 1) > 0
Khi đó
ïì 2m +1- 2 > 0
Û ïí 2
Û
ïỵï m + 2 - 2m - 1 +1 > 0

0,25

ìïï x1 + x2 - 2> 0
í
ïỵï x1x2 - (x1 + x2 ) +1> 0

ìï
1
ïï m >
1
Û m> .
2
í

ïï 2
2
ïỵ m - 2m + 2 > 0

0,25

0,25

7
m .
4
So với điều kiện (*), ta nhận:

2

ìï x3 (4 y 2 +1) + 2 x = 4
(1)
ïï
í 2
ïï x y 2 + 2 4 y 2 +1 = x + x 2 +1 (2)
Ta có ỵï

(

)

x  0
1 1 1
.
2y + 2y (2y)2 +1 = +

+1

2
y

0
x
x
x

Dễ thấy
Từ phương trình (2), ta có:
(3)
u 2 y  0

.

1
v


0

x
Đặt 
Từ (3), ta có

u  u u 2  1 v  v v 2  1  u  u 4  u 2 v  v 4  v 2

Liên hệ tài liệu word SĐT và zalo: 039.373.2038

0,25
0,25



(u  v)(u 2  v 2  1)
 (u  v) 1 
u 4  u 2  v4  v2



 0  u v.


Với u v, ta có 2 xy 1.
3
Thay 2 xy 1 vào phương trình (1), ta có: x  x  2 x  4 0 (4)

0,25

Đặt t  x  0. Từ (4), ta có
t 6  t 2  2t  4 0  (t  1)  t 5  t 4  t 3  2t  4  0  t 1

Với t 1, ta có

5
4
3
(do t  t  t  2t  4  0 )

 x 1


1.
1
y
x 1  x 1  y  .

2
2 Vậy 

Câu III (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), cho hàm số
thiên và vẽ đồ thị (P ).
Câu

y =-

0,25
1 2
x
2
có đồ thị (P ). Lập bảng biến

Nội dung

Điểm

Bảng biến thiên
0,25

Một số giá trị cụ thể: cho x 0  y 0. Cho x 2  y  2.

0,25

Đồ thị
1

0,5

Câu IV (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, AB < AC và nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là điểm đối
xứng của B qua O. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vng góc của điểm B lên AC và AO, với K khác
O và thuộc đoạn thẳng AO. Gọi M là giao điểm của đường thẳng HK và BC.
1) Chứng minh bốn điểm A, B, H , K cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh tam giác MHB cân.
3) Chứng minh M là trung điểm của BC.
4) Cho điểm E nằm bên ngồi đường trịn (O) và một đường thẳng d thay đổi nhưng luôn đi qua
E , đồng thời cắt (O) tại hai điểm phân biệt P ,Q. Giả sử bán kính đường trịn (O) bằng a. Tính diện tích
lớn nhất của tam giác OPQ theo a.
Câu
1

Nội dung
Hình vẽ thể hiện được đầy đủ giả thiết.

Liên hệ tài liệu word SĐT và zalo: 039.373.2038

Điểm
0,25

0
·
·
a) Ta có AHB = AKB = 90 nên tứ giác ABKH nội tiếp trong đường trịn đường kính
AB. Do đó, bốn điểm A, B, K , H cùng thuộc một đường trịn.









b) Ta có BAK BAO BHK BHM (1) ; ABH DAC DBC (2) và BAO  ABO (3)


Từ (1), (2) và (3), ta suy ra MBH BHM .
Suy ra MBH cân tại M .
c) Gọi F là trung điểm của BH . Do MBH cân tại M nên MF  BH .
Mặt khác, ta có BH  HC. Suy ra MF // HC.
BF BM 1

 .
Suy ra BH BC 2 Suy ra M là trung điểm của BC.
d) Kẻ đường cao QI , I  PO.

1
1

1
1
S  .OP.QI  a.QI  a.QO  a 2 .
2
2
2
2
Ta có
1
S  a2
2
khi và chỉ khi I O hay tam giác OPQ vng tại O (tam giác OPQ ln tồn
0

tại vì ln tồn tại hai điểm P và Q thuộc (O) sao cho POQ 90 và đường thẳng PQ đi

qua điểm E).
1
S max  a 2
2 là diện tích lớn nhất của tam giác OPQ.
Vậy

0,5

0,5

0,5

0,25
0,25

0,25

Câu V (1,5 điểm)
2
1) Cho đa thức f ( x) = x + ax + b (với a, b Ỵ ¡ ). Tìm a, b biết rằng f (2) =- 5 và f (3) = 7.

2) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
3
P = 1+
.
xy + yz + xz
thức
Câu

1

Nội dung

Điểm

Ta có f (2) =- 5 Û 2a + b =- 9 và f (3) = 7 Û 3a + b =- 2.

0,25

ïìï 2a + b =- 9 ïìï a = 7
Û í
.
í
ïỵï 3a + b =- 2 ïỵï b =- 23
Giải hệ

0,25

Liên hệ tài liệu word SĐT và zalo: 039.373.2038


Dễ thấy với mọi số thực dương a và b, ta có a  b 2 ab (*)
3
3
P 2
b=
,
xy  yz  xz
xy + yz + xz ta có
Áp dụng (*), với a = 1 và

0,25
(**)

2
2
2
Với các số thực x, y, z , ta ln có: x  y  z  xy  yz  xz.

Suy ra

2

 x  y  z

2

3( xy  yz  xz )

hay

3
32

xy  yz  xz  x  y  z  2

32
6
6
P 2

 2.
2
( x  y  z)
x yz 3
Từ (**) và (***), ta suy ra

0,25
(***)
0,25

P 2  x  y  z 1.
Vậy

Pmin 2

0,25
là giá trị nhỏ nhất.
-------------------HẾT-------------------

Liên hệ tài liệu word SĐT và zalo: 039.373.2038