Tài liệu ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC TỈNH docx

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THỊ XẤ HÀ ĐÔNG, HÀ
TÂY
Môn Toán lớp 7 (2003 - 2004)
(Thời gian : 120 phút)
o Bài 1 : (4 điểm) Cho các đa thức :
f(x) = 2x
5
- 4x
3
+ x
2
- 2x + 2
g(x) = x
5
- 2x
4
+ x
2
- 5x + 3
h(x) = x
4
+ 4x
3
+ 3x
2
- 8x +
a) Tính M(x) = f(x) - 2g(x) + h(x).

b) Tính giá trị của M(x) khi :
c) Có giá trị nào của x để M(x) = 0 ?
o Bài 2 : (4 điểm)
a) Tìm 3 số a, b, c biết : 3a = 2b ; 5b = 7c và 3a + 5c - 7b = 60.
b) Tìm x biết : |2x - 3| - x = |2 - x|.
o Bài 3 : (4 điểm) Tìm giá trị nguyên của m, n để biểu thức :
a) có giá trị lớn nhất.
b) có giá trị nguyên nhỏ nhất.
o Bài 4 : (5 điểm) Cho tam giác ABC có AB < AC, AB = c, AC = b. Qua M là trung
điểm của BC ngƣời ta kẻ đƣờng vuông góc vớ iđƣờng phân giác trong của A đƣờng
thẳng này cắt các đƣờng thẳng AB, AC lần lƣợt tại D và E.
a) Chứng minh : BD = CE.
b) Tính AD và BD theo b, c.
o Bài 5 : (3 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A,  A = 100
o
, D là một điểm thuộc miền
trong của tam giác ABC sao cho DBC = 10
o
, DCB =20
o
. Tính ADB.
Môn Toán lớp 8 (2003 - 2004)
(Thời gian : 150 phút)
o Bài 1 : (5 điểm) Cho

a) Rút gọn A.
b) Tìm A để x = 6013.
c) Tìm x để A < 0.
d) Tìm x để A nguyên
o Bài 2 : (3 điểm)

Cho A = (x + y + z)
3
- x
3
- y
3
- z
3

a) Rút gọn A.
b) Chứng minh A chia hết cho 6 với mọi x, y, z nguyên.
o Bài 3 : (4 điểm)
Sau một loạt bắn đạn thật của 3 chiến sĩ Hùng, Dũng, Cƣờng (mỗi ngƣời bắn một viên),
ngƣời báo bia cho biết có ba điểm khác nhau là 8, 9, 10 và thông báo :
a) Hùng đạt điểm 10.
b) Dũng không đạt điểm 10.
c) Cƣờng không đạt điểm 9.
Đồng thời cho biết trong 3 thông báo trên chỉ có một thông báo là đúng, hãy cho biết kết
quả điểm bắn của mỗi ngƣời.
o Bài 4 : (5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AC = b. Lần lƣợt dựng trên AB, AC, bên ngoài
tam giác ABC các tam giác vuông cân ABD tại D, ACE tại E.
a) Chứng minh các điểm E, A, D thẳng hàng.
b) Gọi trung điểm của BC là I, chứng minh tam giác DIE vuông.
c) Tính diện tích tứ giác BDEC.
d) Đƣờng thẳng ED cắt đƣờng thẳng CB tại K. Tính các tỉ số sau theo b và c
o Bài 5 : (3 điểm)
Cho tứ giác ABCD, M là một điểm trên CD (khác C, D).
Chứng minh rằng MA + MB < max {CA + CB ; DA + DB} (kí hiệu max {CA + CB ;
DA + DB} là giá trị lớn nhất trong 2 giá trị CA + CB ; DA + DB).

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẬNN HOÀN KIẾM, HÀ NỘI
2003 - 2004
Môn toán lớp 7
(Thời gian : 120 phút)
Bài 1 : (4 điểm)
Giải phƣơng trình

Bài 2 : (4 điểm)
Cho các số nguyên dƣơng x, y, z.
Chứng minh rằng :

Bài 3 : (4 điểm)
Tìm các nghiệm nguyên của phƣơng trình :
(2a + 5b + 1)(2
|a|
+a
2
+ a + b) = 105.
Bài 4 : (3 điểm)
Ba bạn A, B, C chơi một cỗ bài gồm 3 quân. Trên mỗi quân bài có viết một số tự nhiên
(các số khác nhau và lớn hơn 0). Mỗi ngƣời đƣợc phát một quân bài và đƣợc nhận số kẹo
bằng đúng số đã viết trên quân bài ấy. Sau đó các quân bài đƣợc thu lại, xáo trộn và phát
lại. Sau hơn hai lần chơi, A nhận đƣợc 20 cái kẹo, B nhận đƣợc 10 cái kẹo, C nhận đƣợc
9 cái kẹo. Hỏi số đã đƣợc ghi trên mỗi quân bài ? Biết số lớn nhất đƣợc viết trên các quân
bài lớn hơn 9.
Bài 5 : (5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A,  A =  C = 80
o
Từ B và C kẻ các đƣờng
thẳng cắt các cạnh đối diện tƣơng ứng ở D và E sao cho  CBD = 60

o
và  BCE = 50
o

Tính  BDE.
Môn toán lớp 8
(Thời gian : 120 phút
Bài 1 : (4 điểm)
Giải phƣơng trình

Bài 2 : (4 điểm) Tìm x để hàm số y = x/(x + 2004)
2
có giá trị lớn nhất.
Bài 3 : (4 điểm)
Cho phƣơng trình

Với giá trị nào của a thì phƣơng trình có nghiệm không nhỏ hơn 1 ?
Bài 4 : (4 điểm)
Từ điểm O thuộc miền trong của hình thang cân ABCD (AB = CD) nối với các đỉnh của
hình thang đƣợc 4 đoạn thẳng OA, OB, OC, OD. Chứng minh rằng từ 4 đoạn thẳng nhận
đƣợc, có thể dựng đƣợc một tứ giác nội tiếp hình thang này (mỗi đỉnh của tứ giác nằm
trên một cạnh của hình thang cân).
Bài 5 : (4 điểm) Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b. Gọi I
b
, I
c
theo thứ tự là
độ dài của các đƣờng phân giác của góc B và góc C. Chứng minh rằng nếu b > c thì I
b
<

I
c

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƢƠNG
Môn Toán lớp 9 (2003 - 2004)
(Thời gian : 150 phút)
Bài 1 : (2,5 điểm)
Giải phƣơng trình :
|xy - x - y + a| + |x
2
y
2
+ x
2
y + xy
2
+ xy - 4b| = 0


Bài 2 : (2,5 điểm)
Hai phƣơng trình :
x
2
+ (a - 1)x + 1 = 0 ; x
2
+ (b + 1)x + c = 0 có nghiệm chung, đồng thời hai phƣơng trình :
x
2
+ x + a - 1 = 0 và x
2

+ cx + b + 1 = 0 cũng có nghiệm chung.
Tính giá trị của biểu thức 2004a/(b + c).
Bài 3 : (3,0 điểm)
Cho hai đƣờng tròn tâm O
1
và tâm O
2
cắt nhau tại A, B. Đƣờng thẳng O
1
A cắt đƣờng
tròn tâm O
2
tại D, đƣờng thẳng O
2
A cắt đƣờng tròn tâm O
1
tại C.
Qua A kẻ đƣờng thẳng song song với CD cắt đƣờng tròn tâm O
1
tại M và cắt đƣờng tròn
tâm O
2
tại N.
Chứng minh rằng :
1) Năm điểm B ; C ; D ; O1 ; O2 nằm trên một đƣờng tròn.
2) BC + BD = MN.
Bài 4 : (2,0 điểm) Tìm các số thực x và y thỏa mãn x
2
+ y
2

= 3 và x + y là một số nguyên.
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH THUẬN
Môn Toán lớp 9 (2003 - 2004)
(Thời gian : 150 phút)
Bài 1 : (6 điểm)
1) Chứng minh rằng :


là số nguyên.
2) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số sao cho :


với n là số nguyên lớn hơn 2.
Bài 2 : (6 điểm)
1) Giải phƣơng trình :


2) Cho Parabol (P) : y = 1/4 x
2
và đƣờng thẳng (d) : y = 1/2 x + 2.
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy.
b) Gọi A, B là giao điểm của (P) và (d). Tìm điểm M trên cung AB của (P) sao cho diện
tích tam giác MAB lớn nhất.
c) Tìm điểm N trên trục hoành sao cho NA + NB ngắn nhất.
Bài 3 : (8 điểm)
1) Cho đƣờng tròn tâm O và dây cung BC không qua tâm O. Một điểm A chuyển động
trên đƣờng tròn (A khác B, C). Gọi M là trung điểm đoạn AC, H là chân đƣờng vuông
góc hạ từ M xuống đƣờng thẳng AB. Chứng tỏ rằng H nằm trên một đƣờng tròn cố định.
2) Cho 2 đƣờng tròn (O, R) và (O’, R’) với R’ > R, cắt nhau tại 2 điểm A, B. Tia OA cắt
đƣờng tròn (O’) tại C và tia O’A cắt đƣờng tròn (O) tại D. Tia BD cắt đƣờng tròn ngoại

tiếp tam giác ACD tại E. So sánh độ dài các đoạn BC và BE.

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TỈNH VĨNH PHÚC,
NĂM HỌC 2003 - 2004
Môn : Toán
(Thời gian : 150 phút)
Câu 1 : (3 điểm) Cho hệ phƣơng trình với tham số a :


a) Giải hệ phƣơng trình khi a = -2.
b) Tìm các giá trị của tham số a để hệ phƣơng trình có đúng hai nghiệm.
Câu 2 : (2 điểm)
a) Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x + y + z = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
A = -z2 + z(y + 1) + xy.
b) Cho tứ giác ABCD (hai cạnh AB và CD có cùng độ dài) nội tiếp đƣờng tròn bán kính
1. Chứng minh rằng nếu tứ giác ABCD ngoại tiếp đƣờng tròn bán kính r thì
Câu 3 : (2 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dƣơng n sao cho phƣơng trình 499(1997
n
+ 1) = x
2
+ x có
nghiệm nguyên.
Câu 4 : (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông (AC BC). Đƣờng tròn (O) đƣờng kính CD cắt hai cạnh AC
và BC lần lƣợt tại E và F (D là hình chiếu vuông góc của C lên AB). Gọi M là giao điểm
thứ hai của đƣờng thẳng BE với đƣờng tròn (O), hai đƣờng thẳng AC và MF cắt nhau tại
K, giao điểm của đƣờng thẳng EF và BK là P.
a) Chứng minh bốn điểm B, M, F và P cùng thuộc một đƣờng tròn.

b) Giả sử ba điểm D, M và P thẳng hàng. Tính số đo góc của tam giác ABC.
c) Giả sử ba điểm D, M và P thẳng hàng, gọi O là trung điểm của đoạn CD. Chứng minh
rằng CM vuông góc với đƣờng thẳng nối tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác MEO với
tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác MFP.
QUẠN PHÚ THUẬN, TP. HỒ CHÍ MINH, NĂM HỌC
2004 - 2005
Môn : Toán
(Thời gian : 90 phút)
Bài 1 : (2 điểm)
Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là số chính phƣơng :
x
4
- x
2
+ 2x + 2
Bài 2 : (2 điểm)
Giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình :


Bài 3 : (2 điểm)
Cho 3 số dƣơng a, b, c thỏa mãn chứng minh
Bài 4 : (2 điểm)
Cho đƣờng tròn (O) đƣờng kính AB. Trên đƣờng thẳng AB lấy điểm C nằm ngoài đoạn
AB. Từ C kẻ hai tiếp tuyến CE, CF với đƣờng tròn (O) (E, F là hai tiếp điểm). Gọi I là
giao điểm của AB và EF. Qua C kẻ một cát tuyến bất kì cắt đƣờng tròn (O) tại M và N
(M nằm giữa C và N). Chứng minh :
a) Bốn điểm O, I, M, N cùng nằm trên một đƣờng tròn.
b) AIM = BIN
Bài 5 : (2 điểm)
Cho đƣờng tròn (O) đƣờng kính BC và điểm A thuộc đƣờng tròn (O). Kẻ đƣờng cao AH

của tam giác ABC. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của các đƣờng phân giác của các
tam giác AHB, AHC. Đƣờng thẳng IK cắt AB, AC tại M và N. Chứng minh
(S
AMN
: diện tích tam giác AMN, S
ABC
: diện tích tam giác ABC).