Đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2017 - 2018 sở GD&ĐT Lai Châu - TOANMATH.com

_UBND TINH LAI CHAU
SO GIAO DUC VA DAO TAO

KY THI CHON HOC SINH GIOI LOP 12 CAP TINH
NAM HOC 2017-2018

ĐÈ THI CHÍNH THỨC |_ Mơn: Tốn
(Đề thi có 01 trang)

TỐ

`

Thời gian: 180 phút (không kê thời gian giao đê)

Ngày thỉ: 22/4/2018

Câu 1 ( 6,0 điểm)
a) Cho hàm số y= x* — mx’ +m-—1

cé dé thị là (C,,) .Tìm tất cả các giá trị thực của

tham số 7 dé dé thị (C,„) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
b) Cho hàm số y= /(x) liên tục trên R thoa man f(x°+2x-2)=2x-1. Tinh tích
10

phân J = [ /(x)dx.
1

e) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số 7 để phương trình 25? —2.10' +m?4" =0 có
hai nghiệm trái dẫu.

Câu 2 ( 4.0 điểm)
a) Cho hình lang tru ABCD.A'B'C'D'
vng góc của

4` lên (ABCD)

c6 day

ABCD

là hình thoi. Hình chiếu

là trọng tâm của tam giác

ABD.

Bist

AB=a,

ABC =120°, 4A'= a. Tính thể tích khéi lang tru ABCD.A'B'C'D' theo a.
_
,
.
.
b) Trong không gian véi hé toa d6 Oxyz , cho dudng thang d: T

phăng

(a):x+y-z+3= 0 và điểm

A(1;2;-1).

3
= —

= 2:

mặt

Viết phương trình chính tắc của

đường thăng A đi qua điểm A, cắt đường thăng đ và song song với mặt phăng (œ) .

Câu 3 ( 4,0 điểm) Giải hệ phương trình

x +2y+x+y=64+3xy
x —2x° +y+V2x-3

=41-2y

Câu 4 ( 3,0 điểm) Cho các số thực không âm z,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Tim giá trị lớn

nhất của biểu thức P=ab+3ae+5bc.
Câu 5 ( 3,0 điểm) Có 20 người xếp thành một vịng trịn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5
người sao cho khơng có hai người kê nhau được chọn.
Thi sinh không được sứ dụng tài liệu. Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.
Trang 01/01

KY THI CHON HOC SINH GIOI LOP 12 CAP TINH
NAM HOC 2017-2018

UBND TINH LAI CHAU

SO GIAO DUC VA DAO TAO

DAP AN THANG DIEM
Mon:

Toan

HUONG DAN CHAM

- Điểm bài thi là tổng điểm của các câu thành phân. Thang điểm toàn bài là 20 điểm,
khơng được làm trịn (điểm lẻ từng ý trong một câu nhỏ nhất là 0,25)
- Thí sinh làm bài bằng cách khác, lập luận chặt chẽ, logic, ra kết quả đúng vẫn cho
diém toi da.

DAP AN, BIEU DIEM
a) Cho ham số y= x” — óx” +m— 1
thực của tham số 7

để đồ thị (C„)

có đồ thị là (C,,) .Tìm tất cả các giá trị
cắt trục hồnh tại bốn điểm phân biệt.

Phương trình hồnh độ giao điểm của (C,,)

LG

x°-mx'+m-1=0
7

x

Ya

(2 diém)

Dat t=x

2

và trục hồnh là:

0.5

(I)
..

2

(¢>0). Khid6 (1) oF

—mt+m-1=0

~~

(2) =|

0.5

(=m_—]

u câu bài tốn <> (I) có 4 nghiệm phân biệt

<> (2) có hai nghiệm phân biệt dương <>0
< 7ø— Iz ]
©
Cho

m>|I

VA
. Vậ
m#2
°
hàm

số

m>|
im # 2
y=/(x)

0.
05

.

.
có

đạo

hàm

liên

tục

trên

R

thỏa

mãn

10

f (x°+2x-2)=2x-1. Tính tích phân 7 = | ƒ(x)dx.
10

10

1

1

Ta có: 1= | /(x)dx=
[ /(0)át.

cânAu

Ï

va

(2 diém)

0.5

Đặt /=xÌ+2x—2— dự =(3x) +2) dy.
Đổi cận: Í

`" I=x=lve

0.5

t=10>x=2
10

2

1

1

Khi đó: 7= | ƒ()át = | /(x`+2x—2)(x)
+2).
f

0.5

39

= Ị( |(2x-1)(3x°
x
)( x +2)a&=—
)
5

0.5

Trang 1/4


Tìm

tất

cả

các

giá

trị thực

của

tham

số

25* —2.10" +m’4* =0 cé hai nghiém trai dau
2x

z„

để

phương

trình

x

25° 2.10" +m?4* =0 aye(5) -2|3] +m =0
Dat ¢= B

0.5

>0. Phương trình (I) có dạng:

/?—2t+m =0 am

=-t’ +2t

(2)

Đề phương trình (1) có hai nghiệm trái dâu thì phương trình (2) phải
có hai nghiệm /,,í, thỏa mãn: 0<¡,<]<í,

Cau 1

0.5

Số nghiệm phương trình (2) là số giao điểm của đỗ thị hàm số

Y C
(2 điêm)

g()=-# +2. re(0;+so) và đường thang d:y=m’.
Xét hàm số g(t) =-f +2

Với £>0

s()=-~24+2 ; g(/)=0<¡=1: lim g(/)= =œ
BBT:
t
|0

g (t)

1

~

0

g(t)}g ———*

0.5

+00

+

| —_,

—=oo

m e(—I;0)t2(0:1).

0.5

~

ms

Từ bảng biến thiên suy ra 0< ø” <1

~.“

Cáu 2
Ya

(2 diém)

-

_

Gọi // là trọng tâm của tam giác 4BD

=> A'H 1 (ABCD) .

B4D =180° ~ 4BC =60° nên tam giác 4BD
AA'AH

V aBCDA'BIC'D'

b)

Trong

đều cạnh a => AH = ws

vuong tai H > A'H =VAA”AH? = ~

Supcp — 2 S4Bp

Cau 2

-

—

=2.

=A

'

không

0.5

as av
4

ALS scp

gian

0.5

2

—

7

a2

0.5

2
với

0.5

hệ

tọa

độ

Oxyz,

cho

đường

thắng
Trang 2⁄4


Yb

(2 điểm)

di

_

1 s -“

_

.

mặt phăng (a):x+y-z+3= 0 va diém A(1;2;-1).

Viết phương trình chính tắc của đường thắng A đi qua điểm
đường thăng đ và song song với mặt phăng (œ) .

A. cắt

Mặt phẳng (#) có vectơ pháp tuyến n= (1;1;-1)

05

Gọi M4 =đA = M(3+(;3+3/;22)— AM =(2+£;1+3;2+1)
A1/(z)> AM.n=0©¡=-l

0.5

Vectơ chỉ phương của đường thắng Alà 4M = (I:-2:-1)

0.5

;
-Ï
—2
z+l
Phuong trinh chinh tac cua A là: ~—=# 5 == 7

0.5

x +2y+x+y=643xy

(1)

x —2x°+y+vV2x-3=41-2y

(2)

2. Điều kiện x >Š va y sẽ

0.5

(1) viết lại là x? +(7-3y)x + 2yˆ +y-6 = 0.

0.5

=
2
Do đó J7
Tế
x=2y-3

0.5

Vì điều kiện nên ta loại x= 2y—3.

0.5

Câu3 | Thay y=x—2

vào (2) ta được phương trình

05

(4 điểm | x—2x?+x—2+vJ2x—3—45—2x
=0 @)

Xét hàm số f(x) =x`—2x?+x—2+x2x—3—#5—2x

Jxci 2/5-

tacd f'(x)=3x° —4y414—L_,—_!_ _
nên /#‡) đồng biến trên

5

=0 với xe =|

0.5

22

0s

VỚI x€ =|

|—:—

Nhận thây x=2 là nghiệm của (3). Do đó x=2 là nghiệm duy nhất.
Vậy hệ có nghiệm (x, y) = (2,0)

Cho các số thực không âm a,b,c thoa man a+b+c=1.

biểu thức
Câu 4

(3 điểm)

0.5

Tim gia tri lon nhất của

P=ab+3ac+5bc.

Theo giả thiết ta có:

c=I-(a+b)>0<>0
0.5

a+c=l-b>0<>0
Khi d6 ab+3ac+5be = ab+3c(a+b)+2be = ab+3(I—(a+b))(a+b)+2b(I—(a+b)

=3|-(a+b)

+ (a+b) |+2(-0° +b)-ab

Xét hàm f(x)=-x’ +x, xe[0;1]. Dễ thay f (x) <7 Vx € [0:1]

0.5
0.5

Trang 3/4


Theo chứng minh trên a+b €[0:1]; b

[0:1]
0.5

nén f(a+b)<—: f(b)<—3-ab <0
Suy ra ab + 3ae + 5be<3.L+2,L=Š

4

4

0.5

4

Dau dang thire xay ra khi a =0;b=c = :

0.5

Có 20 người xếp thành một vịng trịn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người

sao cho khơng có hai người kê nhau được chọn.
Ta giải bài tốn tơng qt sau: Có ø người xếp thành một hàng dọc. Có bao
nhiêu cách chọn ra # người, sao cho khơng có hai người kể nhau được chon?

Giả sử ta chọn được é người. Gọi x; là số người tính từ người đầu tiên đến
trước người thứ nhất được chon, x2 1a sé người giữa người thứ nhất được
chọn và người thứ hai được chọn, ..., x¿ là số người giữa người thứ k -/ va

Cau 5
(3 điểm)

người thứ & được chọn và z::; là số người sau người thứ #& được chọn đến
cuối. Khi đó ta có: x;+x;+... +x¿=n—k
(1)
Với x¡, x¿.; là các số ngun khơng âm : x¿,..., x¿ là các số nguyên > I.
Ngược lại, nếu (z¡,...., x¿-;) là một nghiệm của (1) với x¡, x¿-¡ >0, xz,..., X¿ >
/ thì ta cho tương ứng với cách chọn
người thứ
/+x;, 2+x;+⁄¿,...,
k+x¡+... +x¿ thì rõ ràng do (7ï + x¡ +...+ xj — (-l + xi ~+...†x¿zj =l~x¡¿>2
nên khơng có 2 người liên tiếp được chọn.
Đặt y¡ = #x¡, ¿+¡ = X¿:¡ VàVị = Xi— 1 với =2, ..., k thì được
vị + y2 +... Ty: =n— 2k + Ï (2) với y¡ là các sô nguyên không âm.
Theo kết quả định lý chia kẹo của Euler, ta có số nghiệm của (2) bằng C”_....

0.5

0.5

0.5

Giả sử 20 người đó được đánh số 1, 2,..., 20. Ta xét các trường hợp sau :

THI: Người số I được chọn. Khi đó người số 2 và số 20 khơng được chọn.
Như vậy ta phải chọn thêm 4 người từ 3 đến 19 sao cho khơng có hai người
kề nhau được chọn. Vì 19 khơng kê 3 nên có thể coi đây là 17 người xếp theo
một hàng dọc. Theo kết quả của bài toán trên, số cách chọn bằng

0.5

Ci, .

TH2 : Người số 1 khơng được chọn. Khi đó ta cần chọn 5 người từ số 2 đến
20 sao cho khơng có 2 người kể nhau được chọn. Vì 2 và 20 khơng kề nhau
nên có thể coi đây là 19 người xếp theo một hàng dọc. Theo kết quả của bài
toán trên, số cách chọn bằng C7.

0.5

C¡, + C¡; =4004

0.5

Trang 4⁄4


KY THI CHON HOC SINH GIOI LOP 12 CAP TINH
NAM HOC 2017-2018

UBND TINH LAI CHAU

SO GIAO DUC VA DAO TAO

Cau 1

PHIEU CHAM VONG 1

Mon: Dia li

Ma tii

Số phách..............................

Noior dununs

a) Cho hàm số y= x” — mx” + m— 1
thực của tham số 7

Caul|
Ko

đề đồ thị (C,,)

Điểm
rem || Điểm
chấm

có đồ thị là (C,,) .Tìm tất cả các giá trị
cắt trục hồnh tại bốn điểm phân biệt.

Phương trình hồnh độ giao điểm của (C,,) và trục hồnh là:
4
2
(2m
+m 41=0
()

? | pat í=x”(í >0). Khi đó (1) ©/ˆ -mf+m—1=0
điểm)
|” “`”
VS”j:
_

0.5

(2) ©

I
t=m-1

u câu bài tốn <© (1) có 4 nghiệm phân biệt

0.5
0

© (2) có hai nghiệm phân biệt duong @0
&
Cho

m>| VA
. Vậ
m # 2

hàm

số

m>|
7

m # 2

s

N
.

.

y=/(x)

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

R

thỏa

mãn

10

f (x° +2x-2)=2x-1. Tính tích phân 7 = | ƒ(x)dx.
Cau I

Yb
(2

diém)

10

10

|

j

Ta có: 7= | /(x)dx= | /()ái.

0.5

Đặt t= x° +2x-2=>
dt = (3x? +2)dy.
2

=

=

0.5

Đôi cận: (=l=x=l

t=10>x=2
10

2

1

1

Khi d6: 1 = | f(0)at= | f(x° +2x-2)(3x?
+2)dr.
f

= |I( (2x-1)(3x?
x—1)(3x? +2)dx
+2)

Tìm

tất

cả

các

giá

dx

39

=—5

trị thực

0.5
của

tham

số

25* —2.10° +m’ 4* =0 cé hai nghiém trai dau

A

2x

25" 2.10" +m?4? =0 0e|Š]2 -2|3]2 +m =0

diém)

Dat t= B

5\"

/?—2t£+m=0

để

phương

trình

x

CauYe I
(2

0.5

>0. Phương trình (I) có dạng:
<ềà&m ` =-f +2t

(2)

Đê phương trình (1T) có hai nghiệm trái dâu thì phương trình (2) phải |

Trang 1/4

0.5

0.5


co hai nghiém ¢,,¢, thoa man: 0<¢,<1
Số nghiệm phương trình (2) là số giao điểm của đô thị hàm số
g(t)=—t°+2t, te(0;+0) va dudng thang d:y=m’.
Xét ham s6 g(t) =-(?+2r

véi t>0

g'(t)=-21+2 ; g'(t)=0r=1; lim g(t)=-«
BBI:
t 10

g(t)

1

-

0

g(t) 09 ——_”

+00

+

Ị oy

Từ bảng biến thiên suy ra 0< mm”
arg 2

a

0.5

Goi J là trọng tâm của tam giác 4BD

me (-1;0)U(0;1).

0.5

=> A'H L (ABCD) .

—

‹

0.5

@ | BaD =180° — ABC = 60° nén tam giác ABD déu canh a=> AH =av33

diém)

AA'AH vuéng tai H > A'H = VAA?—
AH? =.
S ep = 2S aypp = 2
V ABCDA'B'C'D' =A

b)

Trong

d: —
Câu 2

, HS

không

“.

a3

4

—=

0.5

a3

0.5

2

a 2V2
3

mep

gian

—

với

hệ

0.5

tọa

độ

xyz,

cho

đường

mặt phẳng (œ):xz+—z+3=0 và điểm A(1;2;-1).

Viết phương trình chính tắc của đường thắng

ýp | đường thắng đ và song song với mặt phăng (œ).

A đi qua điểm

(2 | Mặt phẳng (œ) có vectơ pháp tuyến n= (1;1;-1)

diộm)

Goi M=dONA>

thng

a

M (3+#;3+ 3t;2t) > AM =(24+6:14362Â+1)

A.

ct

0.5

A//(z)> AM.n=0â:=-l

0.5

Vect ch phương của đường thắng Alà 4M = (I:-2:-1)

0.5

Trang 2/4


Phương trình chính tắc của A là: *
x +2y+xty=6+3xy

-l y-2_ z+l
5

1

0.5

(1)

x —2x? +y4+V2x—-3=41-2y

(2)

2. Diu kign x >= va y<—

0.5

(1) viết lại là x? +(1-3y)x + 2y? +y-6 = 0.

0.5

Do đó x=2y-3
J = Tế,2

0.5

Câu | Vì điều kiện nên ta loại x= 2 y¬3.

3

điểm)
iém

| Thay y=x—2

0.5

vào (2) ta được phương trình

05

x`—2x?+x—2+AJ2x—3—#5—2x =0 (3)

Xét hàm số #) =x)—2x?+x—2+42x—3—§5—2x

=0 với xe =|

tacd f'(x)=3x° —4y414—L_,—_1__ 59 VỚI x€ 3
V2x-3
24/(5—2xy°
2°2

nên /‡z) đồng biến trên

Vậy hệ có nghiệm (x, y) = (2,0)
Cho các số thực khong 4m

a,b,c

thoa man

a+b+c=1.

Tim gia tri lớn nhat

c=I~(a+p)>0œ0
0.5

a+c=l-b>0<>0
Khi đó ab+3ac+ Sbc = ab+ 3c(a+b)+2bc = ab+3(I—(a+b))(a+b)+2b(I—(a+b)

(3

điểm

)

0.5

P =ab+3ac+5bc.

Theo giả thiết ta có:

Cau 4

05

=

Nhận thay x=2 là nghiệm của (3). Do đó x=2 là nghiệm duy nhất.

của biểu thức

0.5

—

— 3|-(a+b)

1

+ (a+b) ]+2(-0° +b)-ab

| Xét ham f (x) =-Y +x,xe [0:1] . Dé thay f (x) < 7 Vxe [0:1]

0.5
0.5

Theo ching minh trén a+b e€[0;1]; b <[0;1]
0.5

nén f(a+b)<—: f(b)<—3-ab <0
Suy

4

ra ab+3ac+5be
<3

1215

4

4

4

Dau dang thuc xay ra khi a=0;b=c= Ý

Có 20 người xếp thành một vịng trịn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người
Cau 5 | sao cho khơng có hai người kê nhau được chọn.
(3 | Ta giải bài tốn tơng qt sau: Có ø người xếp thành một hàng dọc. Có bao
điêm) | nhiêu cách chọn ra & người, sao cho khơng có hai người kê nhau được chọn?

Gia su ta chon được & người. Gọi x; là sơ người tính từ người đâu tiên đên

Trang 3/4

0.5

"

0.5

0.5


trước người thứ nhât được chọn, xz là sô người giữa người thứ nhât được chọn
và người thứ hai được chọn,

..., x;¿ là sô người giữa người thứ & -7 và người

thứ & được chọn và z¿:; là sô người sau người thứ ¿ được chọn đên ci. Khi
đó ta có: x; Xa +... + xX) =n-k
(1)
VớI x¡, x¿:; là các sô nguyên không âm : xa, ..., x¿ là các sô nguyên > ].
Ngược lại, nêu (¡,..., x¿:;) là một nghiệm của (l) với x¡, x¿:¡ >Ú, x2,...., X¿ >

/ thì ta cho tương ứng với cách chọn
người thứ
/+x; 2+x)+x2, ...,
k+x¡+... +x¿ thì rõ ràng do (7 + x¡ +...T+ #j) — (-l + xi +....+x¿j =I+x¡>2
nên khơng có 2 người liên tiêp được chọn.
Đặt yị = xì, ykci — Xk‹i Vàyị — Xi — Ï với =2, ...., & thì được
yityot.. tye =n—2k + Ì (2) với y¡ là các sô nguyên không âm.
Theo kết quả định lý chia kẹo của Euler, ta có số nghiệm của (2) bằng C*n-k+1°

0.5

0.5

Gia su 20 nguoi do duoc danh s6 1,2, ..., 20. Ta xét cdc truong hop sau :

THI: Người số 1 được chọn. Khi đó người số 2 và số 20 không được chon.
Như vậy ta phải chọn thêm 4 người từ 3 đến 19 sao cho khơng có hai người kề
nhau được chọn. Vì 19 khơng kê 3 nên có thê coi đây là l7 người xêp theo
một hàng dọc. Theo kết quả của bài toán trên, số cách chọn bằng

Ci, .

TH2 : Người số Ï không được chọn. Khi đó ta cần chọn 5 người từ sơ 2

đến

20 sao cho khơng có 2 người kê nhau được chọn. Vì 2 và 20 khơng kê nhau
nên có thể coi đây là 12 người xếp theo một hàng dọc. Theo kết quả của bài
tốn trên, sơ cach chon bang C...

Cƒ,+ Cÿ, =4004

0.5

0.5

b5

Tổng điểm toàn bài:............................ điểm.
Bằng chữ:...........................-S
222 22E 2 Errersei
Lai Cháu, ngày................ tháng .............

2015
;
CAN BO CHAM THI LAN 1
(Ky, ghi ro ho tén)

Trang 4/4