Tài liệu Đề ( có ĐA) luyện thi ĐHCĐ số 15 pdf

www.khoabang.com.vn
Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________
Câu I.
Cho hàm số
y=
-x + x + a
x+a
2
trong đó a là tham số.
1) Xác định a để đồ thị của hàm số có tiệm cận xiên đi qua điểm (2, 0).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với giá trị vừa tìm đỷợc của a.
2) Xác định tất cả các giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt đỷờng thẳngy=x-1tại2điểm phân biệt. Khi đó gọi
y
1
,y
2
là tung độ của 2 giao điểm, hãy tìm một hệ thức giữa y
1
,y
2
, không phụ thuộc a.
Câu II.
Giải và biện luận theo k phỷơng trình
1
cosx
-
1
sinx
=k
.

Câu III.
1) Giải bất phỷơng trình
x - 3x + 2 + x - 4x + 3
22

2x-5x+4
2
.
Câu IV. Giải và biện luận theo a, b, phỷơng trình
x=a-b(a-bx
2
)
2
.
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0

__________________________________________________________

Câu I .
1 ) Phơng trình tiệm cận xiên : y = - x + a + 1. Từ đó suy ra a = 1.
2)
a642<
hoặc
a642> +
;
12 1 2
yy (y y ) 1+ =
.
Câu II. Phơng trình đã cho tơng đơng với
sin x cos x

k
sin x cosx

=
(1)
Đặt
tsinxcosx 2sinx
4


= =


,
|t| 2
; khi đó (1) trở thành
2
2t
k
t1

=

,
|t| 2(t 1)
(2)

2
f(t) kt 2t k 0=+=
,

|t| 2(t 1)
(3)
a)
k0:t0 2sinx
4


===



xk
4

=+
(k Z)
b) k 0 : f (-1) = - 2, f(1) = 2 nên (3) không có nghiệm t = 1.
*
f( 2) k 2 2 0= =

=k22:



= =


t22sinx
4

x2k
4

= + (k Z) ;
*
f( 2) k 2 2 0
=+ =

=k22:



==


t22sinx
4

3
x3k
4

=+
(k Z) ;
*
f( 2)f( 2) (k 2 2)(k 2 2) 0
=+<

|k| 2 2
<

:
(3) có một nghiệm
t: 2 t 2
<<
; đó là nghiệm
2
11k
t2sinx
k4
+ +

==



2
11k
sin x sin
4
2k
++

==




x2k
4
x(2k1)

4


=++




=+ +


(k Z)
*
f( 2)f( 2) (k 2 2)(k 2 2) 0=+>

|k| 2 2>


S1
22
22
<=<
(3) có 2 nghiệm
2t 2<<
, hai nghiệm đó là
2
1
11k
t2sinx
k4

+ +

==



2
1
11k
sin x sin
4
2k
++

= =




1
1
x2k
4
x(2k1)
4


=++

=+ +


(k Z)
và
2
2
11k
t2sinx
k4
+

==



2
2
11k
sin x sin
4
2k
+

==

2
2
x2k
4
x(2k1)
4


=++




=+ +


(k Z)
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0

__________________________________________________________

(Tất cả các nghiệm đều thỏa mãn điều kiện nghiệm).
Câu III.
1) Điều kiện
2
2
2
x3x20
x4x30

x5x40

+


+


+




x

1 và x

4.
a) Tìm nghiệm ở miền x 4 :
(x 1)(x 2) (x 1)(x 3) 2 (x 1)(x 4)+

x2 x32x4 +
.
Do x 4 nên
x2 x4
x3 x4

x2 x32x4 +
.
Vậy x 4 đều là nghiệm.
b) Rõ ràng x = 1 thỏa mãn bất phơng trình đã cho.
c) Xét x < 1. Khi đó, bất phơng trình đã cho đợc viết lại nh sau :
+
(1 x)(2 x) (1 x)(3 x) 2 (1 x)(4 x)

2x 3x 24x +
.
Do x < 1 nên
2x 4x
2x 3x 24x
3x 4x

<

+<

<



Vậy x < 1 không phải là nghiệm.

Kết luận : x 4 hoặc x = 1.
2) Đặt
22
Z(x2y1) (2xay5)= + + ++
.
Do
2
(x 2y 1) 0+
và
2
(2x ay 5) 0++
nên Z 0. Vậy
a)
min
Z0=

x2y10
2x ay 5 0,
+=


++=


tức là hệ phơng trình

x2y 1
2x ay 5
=

+=


phải có nghiệm a 4.
b) Xét trờng hợp a = 4. Khi đó
22
Z (x 2y 1) (2x 4y 5)= + + +
. Đặt t = x 2y + 1 ( < t < + ). Khi đó :
222
Zt (2t3) 5t 12t9=+ + = + +

và
min
9
Z
5
=
( khi
6
t)
5
=
.
Kết luận :
min
Z =
0 (nếu a 4)

9

5
(nếu a = 4).

Câu IV. Đặt z=a-bx
2
(1) ta có
x=a-bz
2
. (2)
Từ(1)và(2)tacó: z-x=b(z
2
-x
2
)=b(z+x)(z-x)(3)
a)b=0ị x=a.
b) b ạ 0 : Từ (3) ta có:
)z-x=0ị x=a-bx
2
bx
2
+x-a=0
x
12,
=
-1 1 + 4ab
2b

,ab -
1
4

;
) z-xạ 0 ị b(z+x)=1 b[a-bx
2
+x]-1=0
b
2
x
2
-bx+1-ab=0
x
34,
=
b b 4ab - 3
2b
=
14ab-3
2b
2

,ab
3
4
.
Tóm lại ta có:
Nếub=0thìx=a.
Nếu b ạ 0:
Với
3
4
>ab -

1
4

:x
12,
=
-1 1 + 4ab
2b

;
với
ab
3
4

:x
12,
=
- 1 1 + 4ab
2b

;x
34,
=
14ab-3
2b

.
Câu Va. 1) Xét hàm g(t) =
t

- lnt với tập xác định (0 ; +Ơ). Ta có
g(t) =
1
2t
-
1
t
=
t-2
2t
,
vậy g(t) có bảng biến thiên
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________
t 04+Ơ
g(t) - 0 +
+Ơ +Ơ
g(t)
2 - ln4
suy ra g(t) có giá trị nhỏ nhất
ming(t)=g(4)=2-ln4> 0,
bởi vì 2 > ln4 e
2
> 4 mà e = 2,78 > 2.
Thành thử g(t) > 0 với mọi t > 0, hay
t
> lnt.
2) Đặt t =
1
|x|

,tacótđ +Ơ khi x đ 0, sử dụng kết quả 1, thì suy ra điều cần chứng minh.
3) Với x ạ 0, ta có
f
n
(x)=nx
n-1
ln|x| + x
n-1
màn-1 1, nên
lim f' (x) = 0
x0
n

.
Mặt khác
f' (0) = lim
f (0 + x) - f (0)
x
= lim ( x) ln| x
n
x0
nn
x0
n-1





|=0

,
vậy f
n
(x) liên tục tạix=0.Hiển nhiên f
n
(x) liên tục tại các điểm x ạ 0.
Câu Vb. 1) (Q) cắt mp (BDDB) theo giao tuyến BD ; BD // EC ị BD // BD.
Kéo dài EC, cắt AD kéo dài tại F ị F cố định. AD đi qua F, vậy AD luôn đi qua điểm cố định F.
2) mp (AABB)// mp (DDC)
ị AB // DC,
mp (AADD) // mp(BBC)
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________
ị AD // BC;
do đó ABCD là hình bình hành. Mặt khác, BBDD là
hình chữ nhật
ị BB = DD ị BBC = DDCị BC = DC
ị ABCD là hình thoi.
Ta có
S
ABCD''''
=
S
cos
3
=2a
ABCD
2

.

3)
ImpDDBB
ImpAAC





(' ')
(' )
ị I thuộcgiao tuyến hai mặt phẳng (DDBB) và (AAC)
ị tập hợp các điểm I là nửa đỷờng thẳng cùng phía với Ax, và vuông góc (P) tại O (O là giao điểm của AC và BD).
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________
Câu Va.
1) Chứng tỏ rằng với t > 0, ta luôn luôn có
lnt < t.
2) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dỷơng n, ta đều có
lim lnxx
n
x 0
=0.
3) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dỷơng 2, hàm số
khix

o,
xx
o

n
ln





khix=0
có đạo hàm f
n
(x) liên tục trên R.
Câu Vb. Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Kéo dài AB thêm đoạn BE = a. Dựng ba nửa đỷờng
thẳng Ax, By, Dz vuông góc với (P) và ở về cùng một phía đối với (P). Một mặt phẳng (Q) chứa CE quay quanh CE,
cắt Ax, By, Dz lần lỷỳồt tại A, B, D.
1) Chứng minh rằng BD//BD, và đỷờng thẳng AD luôn đi qua một điểm cố định.
2) Tứ giác ABCD là hình gì ? Tính diện tích tứ giác ấy khi (Q) tạo với (P) góc 60
0
.
3) Khi (Q) quay quanh CE, hãy tìm tập hợp giao điểm I của các đỷờng chéo AC và BD của tứ giác ABCD.