Đề ( có ĐA) luyện thi ĐHCĐ số 20

Câu I.
Cho hàm số y=
362
2
xxa+
với -2 Ê x Ê 3. Xác định tham số a để giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu II.
1) Chỷỏng minh rằng nếu một trong hai điều kiện sau đây đỷợc thỏa mãn, thì ABC là tam giác đều :
a) 3S =
2
23 3 3
RABC(sin sin sin++
);
b)b+c=
a
2
+
h
a
3
.
2) Giải phỷơng trình
tgx +
tgx tgx gx gx gx
23 2 3
++ + +cot cot cot
=6.
Câu III.
1) Các tham số a, b phải thỏa mãn điều kiện gì để phỷơng trình sau có nghiệm :
x
2

2
+ 5 = 2(x - 2cos(ax + b)).
2) Giải bất phỷơng trình
x
x+1
-2
x+1
x
>3
.
Câu IVa.
1) Chỷỏng tỏhàm
F(x) =
khi x

0
Khi x=0
www.khoabang.com.vn
Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________
22
ln
24
0
xx
x

Câu I.
Trên hình vẽ, ta vẽ đồ thị hàm số:
f(x) = 3x
2
-6x+2a-1(-2Ê x Ê 3) trong 4 trỷỳõng hợp:
I) f(1) 0;
II) f(-2) = -f(1) = H;
III) f(-2) > H > -f(1) > 0;
IV) f(-2) < H.
Dựa vào đồ thị, dễ thấy rằng hàm
y =|f(x)| sẽ đạt giá trị lớn nhất nhỷ sau:
f(- 2) (trỷỳõng hợp I)
H(trỷỳõng hợp II)
f(- 2) (trỷỳõng hợp III)
- f(1) (trỷờng hợp IV).
Cũng từ đó thấy rằng để f
max
đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần chọn a sao cho xảy ra trỷỳõng hợp II.
Ta có : f(-2) = 2a + 23;
-f(1) = -(2a - 4);
H = f(-2) = -f(1) 2a+23=-(2a-4) a=
-
19
4
.
Câu II.1)a)
3abc
4R

=2R .
1
8R
2
3
(a
3
+b
3
+c
3
) 3abc = a
3
+b
3
+c
3
.
Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
a
3
+b
3
+c
3
3abc.
www.khoabang.com.vn
Luyện thi trên mạng
________________________________________________________________________

Dấu bằng xảy ra khia=b=c.VậyABCđều.
b) b+c=
a
2
+ 3bsinC

sinB + sinC =
1
2
sinA + 3sinBsinC
sinB + sinC =
1
2
sin(B + C) + 3sinBsinC
sinB + sinC =
[]
1
2
sinBcosC + sinCcosB + 3sinBsinC
sinB
1-
cosC
2
-

3
2
sinC + sinC 1 -
cosB
2
-
3
2
sinB = 0













sinB 1 - sin(C +
6
)

+
sinC 1 - sin(B +
6
)





=0

+=
+=






sin( )
sin( )
C
B


3
1
6
1
C

B
=
=







3
3
2) Đặt tgx + cotgx = t(|t| 2) thì sẽ có:
tg
2
x + cotg
2
x = (tgx + cotgx)
2
-2=t
2
-2;
tg
3
x + cotg
3
x =(tgx + cotgx)
3
- 3tgxcotgx (tgx + cotgx) = t
3

- 3t.
Vậy ta có phỷơng trình: t+(t
2
-2)+(t
3
-3t)=6
hay t
3
+t
2
-2t-8=0 (t-2)(t
2
+3t+4)=0 t=2.
Sau đó giải phỷơng trình: tgx + cotgx = 2 sẽ đỷợc một họ nghiệm là: x=


4
+k
(k ẻ Z).
Câu III. 1) Viết lại phỷơng trình đã cho:
x
2
-2x+5=-4cos(ax + b) (x-1)
2
+4=-4cos(ax + b) .(1)
Ta có:(x - 1)
2
+4 4 - 4cos(ax + b).
Vì thế x là nghiệm của (1) khi và chỉ khi x là nghiệm của hệ:
www.khoabang.com.vn

Luyện thi trên mạng
________________________________________________________________________________
()
cos( )
x
ax b
+=
+=



144
44
2

x
ax b
=
+=



1
1cos( )

=
+=

x
ab
1
1cos( )
Vậy a+b= +2k (k ẻ Z).
2) Điều kiện :
x+1
x
0
x

-1 hoặc x>0.
Đặt t =
x+1
x
thì t

0 và sẽ đến :
1
t
2
-2t-3>0 2t
3
+3t
2
-1<0 (t + 1)(2t
2
+t-1)<0
2(t+1)
2

t-
1
2






<0.
Dot>0nên ta đỷợc :0<t<
1
2
. Từ đó :
0<
x+1
x
<
1
2

0<
x+1
x
<
1
4
.
Giải hệ này, ta sẽ đỷợc :
-

4
3
<x<-1
.
www.khoabang.com.vn
Luyện thi trên mạng
________________________________________________________________________________
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng

________________________________________________________


Câu IVa.
1) a ) x > 0 :
=+ =
2
x1x
F'(x) xlnx . xlnx
2x 2
.
b)
++



===



x0 x0

F(x) F(0) x x
x 0 : lim lim ln x
x0 2 4

Xét x (0 ; 1 ]. Khi đó
xxx
ln x
244

. Mặt khác dễ chứng minh đợc rằng :
1
ln x
x

.
Từ đó ta có :
1xx x x
xlnx
42 4 4
x





( *)
Cho
x0
+

và chú ý đến(*) ta đợc :
x0
xx
lim ln x 0
24
+


=


.
Suy ra : F'(0) = f (0).
2)
1
0
1
22
0
xx1
S |xlnx|dx lnx
244


==+=




.

Vậy diện tích cần tính
2
13
S.2cm.3cmcm
42
==
.
Câu Va. Đờng thẳng
x4y2z70,
(d) :
3x 7y 2z 0
++=


+=


có vectơ chỉ phơng
u (6; 4; 5)=
G

Mặt phẳng (P)
3x + y z + 1 = 0
có vectơ pháp tuyến
=
G
n(3;1;1)
.
Do vậy góc ( 0 ) giữa các vectơ
u

G
và
n
G
đợc xác định bởi
u.n 19
cos
|u|.|n|
11 7
= =
G
G
G
G
.
Góc họn tạo bởi đờng thẳng (d) với mặt phẳng (P) bằng
2

=
.
Từ kết quả trên, suy ra
19
sin | cos |
11 7
= =
,
Câu IVb.
1) Vì I là trung điểm của CH nên SH = SC.