Đề thi học sinh giỏi Toán 10 năm 2012 – 2013 trường THPT Thuận An – TT Huế

SO GD&DT THỪA THIÊN HUẺ
TRƯỜNG

THỊ HỌC SINH GIỎI TỐN KHĨI 10

THPT THUẬN AN

:
NĂM HỌC 2012-2013

Thời gian làm bài: 120 phút ( khơng kề thời gian phát đề)
Họ và tên thí sinh :....................
- St St E1 1511151111111 1kg ryo Số báo danh:.........................---se

ĐÈ CHÍNH THỨC
Câu I. (2 điểm) Cho phương trình øx” +(2mm—1)x+ m— 2= 0, m là tham số
1. Tim m để phương trình đã cho có một nghiệm.
2. Tìm 7 để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn nghiệm nay gấp hai lần
nghiém kia.
x+y+xy=a

Câu II. (2 điểm) Cho hệ phương trình |

x+y

y2

(1). a là tham số

=a

1. Giai hé phuong trinh (1) khi a=5.
2. Tìm z đề hệ phương trình (1) có nghiệm.

Câu III. (2 điểm) Giải phương trình: Ax+13=Ax—3+X16—x
Câu IV. (4 điểm)
1. Cho tam giác ABC.

Trên các cạnh AB,

Pthỏa mãn 4AM =AB-2BC, BN=3BC+AC,
giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

BC,

CA lay lần lượt các diém M, N,

CP=2CA.

Chimg

minh

rang

hai

tam

2. Trong mat phang toa do, cho A( - 2; -1); B(2; - 4). Tìm trên đường thắng x = l

điểm M sao cho góc

Ä#B4= 45”.

Câu V. (2 điểm) Gọi a, b, e là độ dài ba cạnh của tam giác; h,„h,,h. là độ dài ba đường
cao tương ứng ba cạnh đó; z là bán kính đường trịn nội tiếp tam giác đó.

manh

Chứng minh:

EE
hh
hr

Cau VI. (4 diém)
Cho a, 6, c la ba số thực dương.

Chứng minh:

a

b

cổ

bc

ca

aba

T1

11

——+——†+——>—+†~+†—

be


HUONG DAN CHAM

CAU
L1

NOI DUNG

DIEM

(2 điểm) Cho phương trình mx? +(2—1)x+m—2=0

„ m là tham số

1. Tìm 7 để phương trình có một nghiệm
0,25d

e

m=0:

x=-2

©

m0:

A=4m+41

Pt cd 1 nghiém

A=

m=—2

Vay: m = 0 hoac m=—7

1.2

0,5d

1

0,25d

| 2. Tim m dé phương trình có hai nghiệm thỏa mãn nghiệm nay gấp hai lần
nghiệm kia
Ptcd

,

`

A>0

2 nghiém =<

.

`

m z 0

,

oS

025đ

m= _i

4

m z 0

I—2m
X, +x, =——
m
m—2

0, 25d

Theo Viet va gt ta c6: 4 x,.x, =——
m

xX, = 2x,

Giai duoc: m? -10m—-2=0
=5-3v3
| ™=5-N3
(thỏa),

0, 5d

m=5+3N3

vậy |”

=5-3v3
v3

m=5+3N3

HI.I

(2 diém) Cho hé phuong trinh |

x+y+xy=a
x+y

=a

„ đ là tham sơ

1. Giải hệ phương trình khi a= Š
0,25d


a=5:ftaCó

„

x+y+xy=%

+,

x+y

„,

=5

x+y+xy=%

oS

(x+y)

3

—2xy =5

_ [S+P=5

đặtŠS=x+y;P=xy,
ta có:4
,-

+ Với |

|S9=3..,.

giải được Ũ

P=2

.{/S=3,

+ Với là

=]

y=2

„

c©

S*-2P=5
J

hoặc Ũ

0,25d

S=3,

p=2

.

[S=5

hoặc

P=10

0,254

=2

y=l

0,254

`

: vơ nghiệm

Vậy hpt có 2 nghiệm (1;2);(2;1)

1.2

|2. Tìm a để hệ phương trình có nghiệm
Ta có: S“+2§—3a=0 (*)
A=3a+l

1

0,25đ

°

a<-.

: (*) vơ nghiệm

°

a=-. : (*)

e

a>—44*) có 2 nghiệm: +4 ˆ
3
b=a+l+1+3

Ly có eg
2 naan
nghiệm
S = -] =P== : vô nghiệm

`"

S=-l-NI+3

_

l9 =-l+xI+3

hoặc +4 7
P, =a+1-V1+3

0,25đ

ĐK hệ pt có nghiệm S*-4P>0
(a) S’-4P >0 giai duge : 0
0,254

(b) Sj/-4P,>0 : vô nghiệm

.

0,254

Vay 0
I

| (7 diém) Giải phương trình:
DK:

Jx+13
= Vx—3+V16—x

3
Với ĐK trên (*)e x+13=(jx~3+l6=x))

(*)
0,25đ

0,25d


<=x=2w(x—-3)(16x)
2x

=4(x-3)(16—x)
0,25đ

©>5x”-76x+192=0

=|

Vậy:|

x=12

16

58

(thoa)
0,25đ

x=12

16

x=—

5

IV

Cho tam giác ABC.

Trên cạnh AB, BC, CA lay lần lượt các diém M, N,

P thoa man AM = AB-2BC, BN =3BC+AC,

CP=2AC. Chttng minh rang

hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Ta có hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm <= 4AM+BN+CP= 0

Ma: AM+BN+CP = AB-2BC +3BC + AC+2CA= 0

0, 5d

0. 5d

Vay ta co DPCM

IV.2

|2. Trong mat phang toa d6, cho A( - 2; -1); B(2; - 4). Tìm trên đường
thang x = 1 diém M sao cho géc ZMBA =45°
Gọi M(I; y) thuộc đt x = Ì

BM =(-1:y+4)
BA=(-4:3)

0,254

GT: cos(BM, BA) = CDC213024) - cos45”
jJl+(y+4)°A4ˆ +3
<>

3y+l6

5jJI+(y+42_

V2

2

0, 25d

Ty +8y—87=0
0,25d


y=3

c©

29
__““
7

0,25đ

Vậy : M.(3):M,(E—=S”
Vv

(1 điểm) Gọi a, b, e là ba cạnh của tam giác; h,„„„h là độ dài ba đường
cao tương ứng ba cạnh đó; z là bán kính đường trịn nội tiếp tam giác đó
Chứ

+ ] + l1
hr
hh

ảnh
ứng minh:

a

1

S= ah, > 7-= 55

Taco:

a

0, Sd

€

10.1

Tuong tu

|i

p

a+ö+c

#1

1

1

2S

29h

,„

0,94

= 2 =— : DPCM
—+——+—
dé: ho
Do 8
(SS
bh ho =—>——
VL | (2 diém)
.

,

k

`

a

b

e111

bc

ca

a@babqe

Cho a, 0, e là ba sô thực dương. Chứng minh:——+——+——>—+—+—
,

Ap dung BDT Cauchy, ta co:
|
a
——†+-—
c
bc

1
b
|†+| —+a
ca

cl
†+| Got
b
ab

Suy ra:
2

„4

bc

bc
2

P6

ca

2

2

2

ait

+ ot
ca

c

ab

ca

ca

bc

ba

ca_

s]
b
(
—+—+—
ab
ca
bc

Garleaedueaseeeuan

Ma ft. b 42)
be

|2

+ cyt
ab

a

0, 5d

b

ab

be

22[ 24544)
abe

abe

0, 9d

0, 5đ

2

vÌ

|

a@babe

Ì

- DPCM

0,

5d