Đề thi học sinh giỏi Toán 11 năm 2012 – 2013 trường THPT Thuận An – TT Huế

SO GD&DT THỪA THIÊN HUẺ
TRƯỜNG

THỊ HỌC SINH GIỎI TỐN KHĨI 11

THPT THUẬN AN

NĂM HỌC 2012-2013
Thời gian làm bài: 120 phút ( khơng kề thời gian phát đề)

Họ và tên thí sinh ......................
- - c1 1113151111111 1111 181 118g HH Hàn

Số báo danh:.....................--2222

ĐÈ CHÍNH THỨC
Bai 1: (4 điểm) Giải các phương trình sau :
.

10

1. 4sinx.cosx + tant

.

.

)(2sin* x—1)=2sin3x

2. 1+ sin= sin.

— cos- sinŸ x= 200s'[ 2-2)

Bài 2: (2 điểm) Bạn Tùng có 10 người bạn thân, trong đó có Long và Lân. Tùng muốn mời 5 bạn
đến tham dự sinh nhật của mình. Hỏi bạn Tùng có bao nhiêu cách mời, biết rang hai ban Long va

Lân rất ghét nhau nên Tùng không thể đồng thời mời cả hai bạn này cùng có mặt.

Bài 3: (3 điểm)
I.

r
°
.
2
H
_
Chứng
minh:
€ÿ 1 n+l ,+C?
¡+...+C?
¡=C€?2

2.

Tim hé s6 cua so hang chita x” trong khai triên nhị thức Newtơn

`

nk»

biết rang C!

_k

ntl

$C

2

„

si.

.

Bai 4: (2 diém) Cho dãy sô (w ):1

`

1+... CS

n+2

ek

2n

ae

l

Phủ
4

"

Xx

,

=2-]

+...+Œ;,2n+1

2n+1

¡+

ntl

=2

n+l

5)

=—Su

.

—

2

4" Tim sô hạng tông quát của ø theo n.

Bai 5: 2 điểm). Ba số x, y, Z theo thứ tự lập thành mot cấp số nhân; đồng thời chúng theo thứ tự là
số hạng thứ nhất, số hạng thứ ba và số hạng thứ chín của một cấp số cộng. Tìm 3 số đó biết tổng
của chúng bằng 13.
Bài 6: (3 điểm) Trong mặt phăng Oxy, cho AABC. Biết B,C năm trên đường thằng đ:x-+-y—3=0,
A nằm trên đường thăng d':3x+y+2=0, trong tam cua tam giac ABC la Ga)

va dién tich tam

giac ABC bang 10. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác, biết hoành độ của điểm A khơng âm.

Bài7:

(2

điểm)

Cho

tam

giác

ABC,

về

phía

ngồi

của

tam

giác,

ABC,, BCA,,CAB,. Chứng minh AA,,BB,,CC, đồng quy.

Bài 8: (2 điểm) Cho 3 số dương a, b, c thỏa : athens,
Chung minh :

!

Ja+2b+3c

+

Vb+2c+3a

+

!

xle+2a+3b

>3

dựng

3 tam

giác

đều


DAP AN, BIEU DIEM
Bai
1)

(4diém)

Dap an
+2

tos

ì

,

10a

1)(2điêm) Giải phương trình: 4sin x.cos x-+- tan}

Diém
;
sin’‘2 x —1)=2sin3x

Phương trình đã cho tương đương với: sin2x — V3cos2x = 2sin3x

0,5

1.
3
.
<> —sin 2x ———cos2x = sin3x
2
2

0,5

.
7
.
& sin(2x — 3) = sin3x

0,5

x=-—+k2r

°

¬ 4m

3

keZ

k27

15

0,5

5

2)(2điểm) Giải phương trình: 1+ sin sina — cos sin’ x= reo

Phương trình đã cho tương đương với: sin xGSin=— cos. sinx—l)=0

0,5

©sinx(2sinÌ Ý—ginỶ—I)

0,5

2

2)
sở
(2diém)

# 3

2

=0

e

snx=O0Sx=kr

°

2sin°-Ý— sin *—1=0

2

2

0,5
&sin

2

=1 © x—=x~-+k4x

0.5

Bạn Tùng có 10 người bạn thân, trong đó có Long và Lân. Tùng muốn mời 5 bạn đến tham dự
sinh nhật của mình. Hỏi bạn Tùng có bao nhiêu cách mời, biết rằng hai bạn Long và Lân rất ghét
nhau nên khơng thê đồng thời có mặt.

Số cách bạn Tùng chọn Š người bạn trong 10 người đến dự sinh nhật của mình là :
5

Cy, = 252

0,5

Số cách bạn Tùng mời 5 người bạn trong 10 người đồng thời có cả Long và Lân là:
3

C, =56
Vi hai ban Long va Lân rât ghét nhau nên không thể đồng thời có mặt, vì vậy bạn Tùng
chỉ có thể mời nhiều nhất là 1 ban Long hoặc Lân dự sinh nhật.

Vậy, số cách bạn Tùng mời 5 bạn đến dự sinh nhật là: 252 — 56 = 196

0,5

0.5
°

0.5


3)
(

3diém

1) (1,0 điểm) Chimg minh:

}lvi Co =O
Con

Vk€Ñ,k<2n~T+] nên:

— CoCo

Do do:

Coat

C),+C>,,,+..+C%,,,
=Cr2n+1 +077
+$..4C0322n+1
n+l
2n+1
2nt+l]
+
2nt+l]

— Cs

+ Con

+...T

reeteeee ees Cou

Cont

=

Cr

0,5

= Cora

+ Cor

+...T

Cr

(dpcm)

0,5

2) (2,0 diém) Tìm hệ sô của sô hạng chứa x'” trong khai nhị thức New ton Phủ
X

.

biếtrăng Cj ,+C? ,+..+Œ?=2”—I
Theo câu l) và từ C, =C2” =1 ta có:
0,5
Coral

Ma

+ Coat

27

=

+...†

q

Con

=

+ D””=

(Củ,

Cont

+ Cont

+ Cont

+...T

+...†

Cy)

1

đặn

(2)

¬-

1

Do đó, từ (1), (2) và từ giả thiệt đã cho suy ra: 32.
Với n =10,
|

.

(2điểm)

10

Ci

210

=2

.

wu, =Su,-4e(u,,, -)=5u,

`

A

A

A

ro

A

A

A

z

A:

2

~

-)

0,5

(v

yO): fi

Day (v,) la cap s6 nhan với cơng bội q=Š

.

Tìm sơ hạng tơng quát của w theo n.

= Su, —4,Vn>1

Do đó, datv, =u, —1 thi ta dugc
day

^

0,5

0,5

=

(2 điểm) Cho dãy số (u,):

~

—1=2”"-1en=10

°

là

Taco:

0,5

tính được hệ số của số hạng chứa x““ trong khai nhị thức New tơn

nha

4)

(1)

~

`

A

và y, =l nên y =

`

0,5
°

=5v ,vn>=1

Vậy sô hạng tông quát theo n của day (u,)la: u, =

5"

—_

1

3

~~

1

5

0,5

0,5

5)

Ba số x, y, Z theo thu tự lập thành một cấp sô nhân; dong thời chúng theo thứ tự là số hạng thứ
.
nhất, số hạng thứ ba và số hạng thứ chín của một cấp số cộng. Tìm 3 số đó biết tổng chúng bằng
(2điêm) | 13.
Vi

x, y, z theo thir tu la số hạng thứ nhất, thứ 3 và thứ 9 của một cấp số cộng, do đó nếu

gọi d là cơng sai của cấp số cộng thì ta có: y=x+2d;

z=x+4+8d

0,5


Tổng của 3 số là 13 nên: x-L y-Lz= 13 & 3x -+ 10đ = 13

0,5

X, y, z theo thứ tự lập thành 1 cấp số nhân nên:
xZ=y

Ox(x+8d)=(x+2dy

S xd-d*

=08

d=0
x=

1

0,9

1
3
e

6)

x=d>x=1,

y=3,

0,5
z=9

Trong mat phang Oxy, cho AABC. Biét B,C nam trên dudng thang d: x +y—3=0, Anam

(3diem) | trén duong thang d':3x+y+2=0, trong tam ctia tam giac ABC là GS)

va dién tich tam

giác là 10. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác, biết hồnh độ của A khơng âm.

Vi A€d':3x+y+2=0 và hồnh độ A khơng âm nên A(z;—3a—2),

¬

B,C€d:x+y—3=0

vàG

2a+5

5/2

là trọng tâm nén: d(A, BC) = 3d(G, BC) = >
2a+5

Ma Aa,soy— 2}

nên ta có : Pars] _sv2

J2

Vi a>O

oo

a>0

J2

2

a

0.5

(*)

—()

a=—5

0,5

nén ta nhan gia tri a=0 => A(O;—2)

Ngồi ra, từ (*) và diện tích tam giác ABC băng 10, ta suy ra duoc BC = 442 và tọa độ

trung điểm I của BC là I(1:2)
B€d:x+y—3=0>
e

7)
(2điểm)

BŒ;3—b)và

b—_—I=B(l;4),
®e

0,5

b—=3—=(3;0),

.

5
5
1B =+|(b—LÝ +(I—b) =2/26

b=-1
b

0.5

:

0.5

C(3;0)

C(—l;4)

0,5

Cho tam giác ABC, về phía ngồi của tam giác, dựng 3 tam giác đều ABC,, BCA,,CAB,. Ching
minh AA,, BB,,CC, đồng quy
By

0,5


Xét phép quay tâm B, góc quay 60”, ta có:

Q (B,60°)

(A,)=C,

0

60°) AA) —= CC, = (A,A,C,C) _—= 60

—
> Q
Q 9.604) =C,

Gọi I la giao điểm của AA,,CC, thi AIC, = 60°.

0,5

Trên C7, lấy điểm E sao cho [E=IA, suy ra tam giác IAE déu.
Xét phép quay tâm A, góc quay 60”, ta có
Ở 60° (O) = Bes Q 4 60, (FI =F

Ma C,E,C, thang hang, suy ra B1,B

8)
(2điểm)

,

0,5

Q 690 (CG) = B
thăng hàng. Vậy AA,.PB,,CC

.

đồng quy tạiÏ

0,5

uy,

Cho 3 sô dương a,b,c thda:a+b+c= 2° Chứng minh :

1

Vat2b+3c

1

+

+

Vb+2c4+3a

1

Ne+2a+3b

>3

Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số ta có:

1

CƠ

2 \a+2b+3c

Tương tự ta có:

1l

2 Ja+2b+3c
!

Vb +2c +3a

(642i) 3l
2

(Fee

2

2

2.

+ 3a) >3,

2_

đa+2b+ä3c
1

\c+2a+3b

(4i2pi3)3 | OP
22

4 ict

2

a+ 30) >3

2

2

0,5

Cộng các bất đăng thức trên về theo về ta được:

———+_———+1-————1(34135+3e)>`

Vat2b+3c
ÂẦ

1

Va+2b+3c

Vb+2c+3a
+

1

Vb4+2c+3a

Ne+2a+3b
+

Vc+2a+3b

—2

> 3(dpem)

"
0,5