de-kiem-tra-giua-hoc-ky-2-toan-9-nam-2021-2022-truong-thcs-giang-vo-ha-noi

PHỊNG GD & ĐT BA ĐÌNH

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ 2

TRƯỜNG THCS GIẢNG VÕ

NĂM HỌC 2021-2022
Mơn: TỐN 9

ĐỀ CHÍNH THỨC

Ngày kiểm tra: 11/3/2022

(Đề thi gồm 01 trang)

Thời gian làm bài: 90 phút

Bài I (2,0 điểm). Cho hai biểu thức:

A=

x −2

x +3

và B =

−

2

−

x +2 2− x
2 x +3
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16.

7 x −6
với x  0; x  4.
x −4

2 x +3
B
.
. Chứng minh: P =
A
x +2
3) Tìm tất cả giá trị của x để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài II (2,0 điểm). Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 240m. Người ta dự định mở rộng khu vườn
bằng cách tăng chiều dài thêm 9m, tăng chiều rộng thêm 7m, sao cho khu vườn vẫn là hình
2) Cho biểu thức P =

chữ nhật, do vậy diện tích khu vườn sẽ tăng thêm 963m 2 . Tính chiều dài và chiều rộng của
khu vườn ban đầu.
Bài III (2,5 điểm)
 2
2
+
=6


x
+
1
y
−
2
1) Giải hệ phương trình : 
.
5
1

−
=3
 x + 1 y − 2

(

)

2) Cho phương trình: x 2 − 2 m − 1 x + m 2 − 3m = 0 (1) ( x là ẩn số).

()

a) Giải phương trình 1 khi m = 5.

()

b) Tìm tất cả giá trị của m để phương trình 1 có hai nghiệm.

( )

( )
tiếp tuyến KA, KB với đường tròn (O ) , A và B là các tiếp điểm. Từ điểm K vẽ đường
thẳng d cắt đường tròn (O ) tại hai điểm C , D (KC  KD, d không đi qua tâm O).

Bài IV (3,0 điểm). Cho đường tròn O và điểm K nằm bên ngồi đường trịn O . Kẻ hai

1) Chứng minh tứ giác KAOB là tứ giác nội tiếp.
2) Gọi giao điểm của đoạn thẳng AB với đoạn thẳng OK là M . Chứng minh
KA2 = KC .KD = KM .KO.
3) Chứng minh đường thẳng AB chứa tia phân giác của CMD.
Bài V (0,5 điểm)
Cho a, b là các số dương thỏa mãn a + b = 3. Chứng minh rằng:
2

2


1 
1
169
.
 a +  + b +  
b
a
18

 

…….……………Hết………………….

2

Bài

Ý

1)

HƯỚNG DẪN CHẤM
Đáp án
Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16.
Thay x = 16 (tmđk) vào biểu thức A

16 − 2

Tính được A =

2 16 + 3

Cho biểu thức P =

x +3

B=

x +2

(
=

(
=

x +2

x +3

=

2)

Điểm
0,5

x −2

)(
x + 2 )(

−

2− x
2

0,25

−

(

7 x −6
x +2

)(

x −2

)

0,25

x −2

x −2 x +3 x −6+2 x +4−7 x +6

(

(

(

x −2

x +2

P =

)(

B

=
A

x +2

)

)(

1,0

7 x −6
x −4

) + 2 ( x + 2) −
x − 2 ) ( x + 2 )( x − 2 ) (

x +3

Bài I
2,0 điểm

=

+

2
11

2 x +3

B
.
. Chứng minh: P =
A
x +2

2

−

=

0,25

x −2

)

=

7 x −6
x +2

(

)(

x −2

)

x −4 x +4
x +2

)(

x −2

)

2

x −2

)

=

x −2

0,25

x +2

x −2 2 x +3
2 x +3
.
P =
x +2
x −2

x +2

0,25

Tìm tất cả giá trị của x để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất.

P =

3)

2 x +3
x +2

Với x  0 thì

2−

1
x +2

2 x + 4 −1

=

x +2

=2−

x +2

x  0  x +2  2 


0,5

1
1
x +2



1
2

0,25

3
3
P  .
2
2

Dấu “=” xảy ra khi x = 0 (TMĐK)  min P =

Bài II
2,0 điểm

0,25

3

khi x = 0 .
2

Vậy khi x = 0 thì P đạt giá trị nhỏ nhất.
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 240m. Người ta dự định mở
rộng khu vườn bằng cách tăng chiều dài thêm 9m, tăng chiều rộng thêm

7m, do vậy diện tích khu vườn sẽ tăng thêm 963m 2 . Tính chiều dài và
chiều rộng của khu vườn ban đầu.

0,25

2,0


3

( )(

)

+) Gọi chiều dài của mảnh vườn là x m x  0 ; chiều rộng của

( )(

)

mảnh vườn là y m y  0, x  y .

0,25

+) Vì chu vi mảnh vườn là 240m nên ta có phương trình

(

)

0,25

2 x + y = 240 = x + y = 120.

( )

+) Chiều dài sau khi mở rộng là x + 9 m ; chiều rộng sau khi mở rộng

( )

0,25

là y + 7 m .

( )

+) Diện tích mảnh vườn ban đầu là xy m 2 ; diện tích mảnh vườn sau

(

)( )

)(

khi mở rộng là x + 9 y + 7 m2 .

0,25

+) Vì diện tích khu vườn sẽ tăng thêm 963m 2 , nên ta có phương trình:

(x + 9)(y + 7 ) − xy = 963 = 7x + 9y = 900.

+) Ta có hệ phương trình:



x + y = 120
7x + 7y = 840
x + y = 120
= 
= 

7x + 9y = 900
7x + 9y = 900
2y = 60






x + y = 120
x = 90

= 
= 
(TMĐK)
y
=
30
y
=
30


Vậy chiều dài, chiều rộng của khu vườn ban đầu lần lượt là 90m; 30m.

0,25
0,25

1,0

Điều kiện x  −1; y  2.

0,25

 1
1
 1
1
+
=3
+
=3



x + 1 y − 2
x
+
1
y
−
2

I 
 6 =6
 5 − 1 =3
 x + 1
 x + 1 y − 2

 1
1

1
=2
=3
1 +

y − 2 =
y
y
−
−
2

2



2
x + 1 = 1
 1 =1
 1 =1

 x + 1
 x + 1

5
y =

2 (TMĐK).
x = 0

 5
Vậy hệ phương trình có nghiệm x ; y =  0;  .
 2

()

Bài III
2,5 điểm

0,25

 2

2
+
=6

x
+
1
y
−
2
Giải hệ phương trình : 
I
5
1

−
=3
 x + 1 y − 2

()

1)

0,25

0,25

0,25

0,25

( )

2)

(

)

Cho phương trình: x 2 − 2 m − 1 x + m 2 − 3m = 0 (1) ( x là ẩn số).

1,5


4

()

a) Giải phương trình 1 khi m = 5.

()

b) Tìm tất cả giá trị của m để phương trình 1 có hai nghiệm.

()

a) Thay m = 5 vào phương trình 1 ta nhận được:

(

)

0,25

x 2 − 2 5 − 1 x + 52 − 3.5 = 0 = x 2 − 8x + 10 = 0.
+) Tính được  ' = 6 =  '  0.

0,25

()

Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt x 1 = 4 + 6 ; x 2 = 4 − 6.

0,25

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = 4 + 6; 4 − 6 .

0,25

(





)
Phương trình (1) có hai nghiệm   '  0  m + 1  0  m  −1.
2

b)  ' = m − 1 − m 2 + 3m = m + 1.

Kết luận phương trình có hai nghiệm khi m  −1.
Chứng minh tứ giác KAOB là tứ giác nội tiếp.
+) Vẽ hình đúng đến câu 1.

A

+) Lập luận được

D

1)

K

C
O

B

D

2)
K

C
M

B

O

KAO + KBO = 180, mà hai
góc ở vị trí đối nhau => tứ giác
KAOB là tứ giác nội tiếp.

0,25
0,25
1,25
0,25
0,25

( )

+) Xét O có: KAC = ADK
(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây
cung và góc nội tiếp cùng chắn

AC .
+) Chỉ ra được KAC đồng
dạng với KDA.
= KA2 = KC .KD.

= KA2 = KC .KD = KM .KO.
Chứng minh đường thẳng AB chứa tia phân giác của CMD.
3)

1,25
0,25
0,25

0,25

+) Lập luận được AB ⊥ OK tại
M.
+) Lập luận được
KA2 = KM .KO.

A

0,25

KAO = KBO = 90.
+) Tứ giác KAOB có:

Chứng minh KA2 = KC .KD = KM .KO.

Bài IV
3,0 điểm

0,25

+) Từ KC .KD = KM .KO lập
luận được tứ giác CMOD là tứ

0,25

0,25
0,25
0,5
0,25

5

giác nội tiếp

A
D
C

K

M

= DMO = OCD;CMK = ODC .
+) OCD cân tại O

= OCD = ODC , nên suy được

O

DMO = CMK = CMA = DMA
=> đường thẳng AB chứa tia phân

B

0,25

giác của CMD.
Cho a, b là các số dương thỏa mãn a + b = 3. Chứng minh rằng:

2

2


1 
1
169
.
 a +  + b +  
b
a
18

 


(

)

+) Chứng minh: a 2 + b 2 

0,5

2
1 1
1
4
a +b ; + 

a b a +b
2

(

)

+) Ta có:
2
2
2
2
0,25

1 
1
1 
1 1
1 
4 
a
+
+
b
+

.
a
+
b

+
+

.
a
+
b
+

(1)

 





b 
a
2 
a b
2 
a +b 


Bài V
0,5 điểm

Thay a + b = 3.
2

2


1 
1
1 
 a +  + b +   .  3 +
b 
a
2 


2

4
169
 =
3
18

+) Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = b =
C2

+) Chứng minh:

0,25

3
.

2

1 1
4
+ 
a b a +b

+) Ta có:
2

2



1  169
13 
1
1  169 13 
1
 2.  a +    a +  +

a +  +
 a +  (1)
b
36
6 
b
b
36
3 

b


2


1  169 13 
1
+) Tương tự, có: b +  +

b +  (2)
a
36
3 
a


0,25


6

() ()

+) Cộng vế với vế của 1 và 2 , ta có :
2

2



 1 1 
1 
1  169 13 

 a + b +  + 
 a +  + b +  +
b 
a
18
3 

 a b 
2
2

1 
1  169 13 
4  169
=  a +  + b +  +

a
+
b
+

=
b 
a
18
3 

a +b
9

2
2

1 
1
169
  a +  + b +  
.
b 
a
18


(

)

(

+) Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = b =

)

3
.
2

0,25


7