Bộ tài liệu ôn tập trắc nghiệm môn giải tích II BKHN có đáp án và lời giải chi tiết

BÁCH KHOA ĐẠI CƯƠNG MÔN PHÁI

BỘ TÀI LIỆU ÔN TẬP TRẮC NGHIỆM
GIẢI TÍCH II
____________________________________________________
Biên soạn bởi: Team GT2 – BKĐCMP

Hà Nội, tháng 9 năm 2021


MỤC LỤC
Đề bài…..……………………………………………………………………..……1
Lời giải tham khảo……………………………………………………….………18
Tài liệu tham khảo……………………………………………………………….95


LỜI NĨI ĐẦU
Hiện nay, với hình thức thi đổi mới từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm, chinh
vì vậy nhiều bạn sinh viên sẽ gặp khó khăn trong việc ơn tập. Trong tinh hình đó,
nhơm “BK – Đại cương mơn phai” đã biên soạn “BỘ TÀI LIỆU ƠN TẬP TRẮC
NGHIỆM MƠN GIẢI TÍCH II” để giúp các bạn thuận tiện hơn trong việc ơn tập.
Nhóm tác giả: Team Giải Tích II BK- Đại cương mơn phái
(Đỗ Tuấn Cường, Đinh Tiến Long, Phạm Thanh Tùng, Trần Trung Dũng, Đỗ Ngọc
Hiếu, Nguyễn Thu Hiền, Nguyễn Minh Hiếu)
Chịu trách nhiệm nội dung: Phạm Thanh Tùng
Do quá trình soạn bộ tài liệu gấp rút cùng với những hạn chế nhất định về
kiến thức, dù đã cố gắng hết sức nhưng chắc chắn không thể tránh khỏi những sai
sót về tính tốn, lỗi đánh máy, mọi ý kiến góp ý của bạn đọc xin gửi qua đường
link fb “fb.com/tungg810” hoặc email
Tài liệu chỉ mang tính chất tham khảo, khơng có tác dụng thay thế các giáo
trình, sách giáo khoa chính thống. Xin chân thành cảm ơn!

I. Bài tập trắc nghiệm Tích phân Euler
+

Câu 1: Kết quả của tích phân

A.


8

5 −x 4

0 x e

dx là:



B.

C.

2


6

D.


6

D.

3
512


2

Câu 2: Kết quả của tích phân  sin 6 x cos 4 xdx là:
0

A.

7
512

2
512

B.
+

Câu 3: Biết

6 −x 4

0 x 3

A. 𝑎 − 𝑏 = −1

dx =

C.


512

a 
, chọn khẳng định đúng:
b(ln 3) 7/2

B. 𝑎 + 𝑏 = 10
+

Câu 4: Biểu diễn tích phân

x

C. 𝑎 > 𝑏

2

0 (1 + x 4 )4 dx theo hàm Gamma:

 3   13 
   .  

4
4
A.    
6. ( 4 )

 3   13 
  .  
4
4
C.    
4. ( 4 )

3
1
  .  
4 4

B.
4. (4 )

3
5
  .  
4 4

D.
4. (4 )
1

Câu 5: Tính tích phân 

0



A.
30 i

 
 
 

1
30

1 − x 30

dx



B.
30 i

D. 𝑎. 𝑏 < 100



C.

  

 
 

i

1

 
 
 



D.
50 i

 
 
 


+

A.

4 3
27

x4

0 ( x 3 + 1)2 dx

Câu 6: Tính tích phân

4 2
27

B.

C.

Câu 8: Tính tích phân
A.

10!
511

D.

2 3
27

10

1

 1
Câu 7: Tính tích phân  ln  dx
x
0

A. 11!

2 2
27

B. 10!

C. 12!

1

0 x (ln x)
5

10

dx

10!
611

B.

D. 9!

C.

11!
511

D.

11!
611

D.

7
256 2

0

Câu 9: Biểu diễn tích phân

− e2

x3

1 − e3 x dx theo hàm Gamma:

2 4
  .  
3
3
A.    
2. (2 )

 2  1 
  .  

3
3
C.    
9.  ( 2 )

2
1
  .  
3  3

B.
3.  ( 2 )

2
4
  .  
3 3

D.
3. ( 2 )


Câu 10: Tính tích phân
A.

5
128 2

2

0

B.

sin 7 x cos 5 xdx

3
256 2

C.

2


256 2


II. Bài tập trắc nghiệm Tích phân đường
1. Tích phân đường loại I:

Câu 11: Tính tích phân  ( x + y)ds với 𝐿 là đoạn thẳng nối điểm 𝑂(0; 0) và 𝐴(4; 3)
L

35
A.
2

B.

35

4

C.

35
3

𝑥 = 2 + 2 cos 𝑡

D.

35
6

Câu 12: Tính  ( x + y) ds với 𝐿 là nửa đường tròn { 𝑦 = 2 sin 𝑡
L

A. 4 + 8

0≤𝑡≤𝜋

B. 8 + 4

C. 4

B. 𝑚 = 2

C. 𝑚 = 3

Câu 13: Tìm 𝑚 để  ( mx − y) ds = −18 với 𝐶: 𝑦 = √9 − 𝑥 2

A. 𝑚 = 1

C

Câu 14: Với 𝐶 là đường trịn 𝑥 2 + 𝑦 2 = 2𝑥, tính  ( x − y) ds
A. 𝜋

B. 2𝜋

A. √5

B. √6

C

Câu 16: Với 𝐶 là đường cong 𝑥 + 𝑦
2
𝐴(1,0) và 𝐵(0,1), tính ( y + 1) ds

2/3

D. 𝑚 = 4

C. 3𝜋

D. 6𝜋

C. √10

D. √2

−


Câu 15: Tính  ( x + y) ds với cung 𝐶: 𝑟 2 = cos 2𝜑,
4
4
C
2/3

D. 2 + 4

= 1 trong góc phần tư thứ nhất nối

C

A.

15
8

B.

15
9

C.

15
7

D.

Câu 17: Tính  yds với 𝐶 là đường 𝑥 = 𝑦 2 đi từ 𝑂(0,0) đến 𝐴(1,1)

15
4

C

A.

3
1

−

B.

12
1

−

C.

3

6
1

−

D.

12

−


Câu 18: Tính  xyds
𝐶(4,2), 𝐷 (0,2)

L

với 𝐿 là chu tuyến của hình chữ nhật 𝐴𝐵𝐶𝐷 với 𝐴(0,0); 𝐵 (4,0),

A. 20

B. 25

C. 24

D. 18

B. 4

C. 2

D. 0

C. 4

D. 10

với 𝐶 là biên của miền |𝑥| + |𝑦| ≤ 1

Câu 19: Tính
A. 1

Câu 20: Tính  x + y ds với 𝐿: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 2𝑥
2

2

L

A. 8

B. 6

2. Tích phân đường loại II:

⏜ là cung 𝑦 = 1 − 𝑥 2 , 𝐴(1,0), 𝐵(−1,0)
Câu 21: Tính  (x − 3y )dx + 2 ydy với 𝐴𝐵
AB

A. 0
Câu 22: Tính

B. 2

C. 4

D. 6

C. 5

D. 4

C. 0

D. 1

C. −2𝜋

D. 4𝜋

 5 y dx − 4 x dy với 𝐴𝐵𝐶 là đường gấp khúc đi qua các điểm
4

3

𝐴(0,1); 𝐵 (1,0); 𝐶 (0, −1)
ABC

A. 2

B. 3

−10
với 𝐶 là cung bé trên đường trịn
Câu 23: Tìm 𝑚 để  ( x + xy) dx + m. x 2dy =
3
C
𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 đi từ 𝐴(−2,0) đến 𝐵(0,2)

A. 2

B. 3

Câu 24: Tính

+ x + y )dx + (−xy + e − y − x + sin y )dy với 𝐿 là đường

𝑥 2 + 𝑦 2 = 2𝑥 theo chiều dương.

A. −3𝜋

B. 3𝜋

4


2y + e y + 1 + sin(y 2 )dy
 với 𝐿 là chu tuyến của tam giác
2

Câu 25: Tính

𝐴𝐵𝐶 có 𝐴(−1,0), 𝐵 (0,2), 𝐶 (2,0) chiều cùng chiều kim đồng hồ.

A. 1

B. 2

Câu 26: Tính 

A.

D. 6

⏜ là cung 𝑦 = √1 − 𝑥 2 đi từ điểm
(xy + e )dx + ( y − x )dy với 𝐴𝐵

𝐴(−1,0) đến 𝐵(1,0)
AB

C. 4

e2 − 1
2e

10

x

B.

2

e2 − 1
e

C.

e2 − 2
2e

D.

e2
3

x
y
2
4
Câu 27: Tính  (2e + y )dx + ( x + e )dy với 𝐶: 𝑦 = √1 − 𝑥 2 đi từ 𝐴(−1,0) đến

𝐵(1,0)

A.



2

−

4

C

2
+ 2e
e

B.


2

(3,0)

Câu 28: Tính tích phân

3
− −𝑒
e

 (x

4

C.


2

−

3
e

D.


2

3
− + 3e
e

+ 4 xy3 )dx + (6 x 2 y 2 − 5 y 4 )dy

( −2, −1)

A. 61

B. 62

Câu 29: Tìm 𝑚 để tích phân e x

2

C. 63

+y

𝑥 = 1 − 𝑦 2 đi từ 𝐴(1,0) đến 𝐵(0,1)
L

A. 1

đi từ 𝐴(0,2) đến 𝐵(2,6)
A. 4

2
2
2xy dx + ( y + m. y )dy  = e với 𝐿 là đường

B. 2

Câu 30: Tính tích phân

D. 64

C. 3

D. 4

− y + 2 xy − x + 1
x − x −1
dx +
dy với 𝐿: 𝑦 = 2𝑥 + 2
2
2
−
−

− x2 − 1) 2
y
x
y
(
1)
(
L
2



2

B. 3

C. 2

D. 1

Câu 31: Tìm 𝑎, 𝑏 để tích phân  e x  ( 2 x + ay 2 + 1 ) dx + ( bx + 2 y ) dy  không phụ
L

thuộc vào đường đi

5


B. 𝑎 = 0
{𝑏 = 1

A. {𝑏𝑎==01

C. 𝑎 = 0
{𝑏 = 0

D. 𝑎 = 1
{𝑏 = 1

Câu 32: Tìm hằng số 𝑎, 𝑏 để biểu thức [𝑦 2 + 𝑎𝑥𝑦 + 𝑦 sin(𝑥𝑦)]𝑑𝑥 + [𝑥 2 + 𝑏𝑥𝑦 +
𝑥 sin(𝑥𝑦)]𝑑𝑦 là vi phần toàn phần của một hàm số 𝑢(𝑥, 𝑦) nào đó
𝑎=1
𝑏=1

A. {

Câu 33: Tính


L

xe x

2

𝑎=2
𝑏=2

B. {

+ y2

dx + ye x

( x − 1)

A. 1

2

2

+ y2

dy

+ y2

𝑎=2
𝑏=1

𝑎=1
𝑏=2

C. {

D. {

C. 2

D. 3

với L : y = 2 x − x 2 đi từ 𝑂(0,0) đến 𝐴(2,0)

B. 0

+ (5x + 2 y) dy
với 𝐶 là biên của hình
+ y2
2x − 5 y
phẳng 𝐷: 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 9, theo chi ều dương, bạn 𝐴 lập luận “Ta đặt P = 2
và
x + y2
5x + 2 y
Q= 2
, Q'x − Py' = 0 , 𝐶 là đường cong kín, chiều dương, giới hạn miền 𝐷 nên
x + y2
Câu 34: Cho tích phân 𝐼 =

−

𝐼 = 0”. Hỏi bạn 𝐴 làm vậy có đúng khơng? Nếu sai, thì sửa lại đáp án chính xác

B. Sai, 𝐼 = 10𝜋

A. Đúng

Câu 35: Tìm 𝑚 để tích phân
điểm A(1,0), B( −1,0)
A. 1

C. Sai, 𝐼 = 𝜋

 ( x − 3 y)dx + 2 ydy = 4 với

D. Sai, 𝐼 = 5𝜋

AB : y = m − x2 và hai

AB

B. −1

C. 2

D. −2

B. 𝜋

C. −𝜋

D. 3𝜋

Câu 36: Tính  ydx + zdy + xdz với 𝐶: 𝑥 = cos 𝑡 , 𝑦 = sin 𝑡 , 𝑧 = 2𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 theo
chiều tăng của 𝑡
C

A. 2𝜋

Câu 37: Tính tích phân

A. 4𝑒 5 + 6𝑒 6 − 𝑒 2 − 3𝑒 3

(4,5,6)



e y dx + xe y dy + ( z + 1)e z dz

(1,2,3)

B. 4𝑒 4 + 6𝑒 6 − 𝑒 2 − 3𝑒 3
6


C.

4𝑒 4 + 6𝑒 6 − 2𝑒 2 − 3𝑒 3

Câu 38: Tìm hàm thế vị của biểu thức
A.

1 2
x + 2 x 2y 3 − y 5
5

B.

2 2
x + 2x 2y 3 − y 5

5

(𝑥 4

D. 4𝑒 5 + 6𝑒 6 − 2𝑒 2 − 3𝑒 3

+ 4𝑥𝑦 3 )𝑑𝑥 + (6𝑥 2 𝑦 2 − 5𝑦 4 )𝑑𝑦

C.

2 2
x + x 2y 3 − y 5
5

D.

1 2
x + x 2y 3 − y 5
5

Câu 39: Tính  (2 xy −5) dx + (2 x + 3 y) dy với 𝐿 là biên của miền 𝐷 xác định bởi
các đường 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑦 = 0, 𝑥 = 1, chiều dương
L

A.

1
3

B.

1
4

C.

1
5

D.

1
6


2 
2 

Câu 40: Tính   3 x 2 y 2 + 2  dx +  3 x 3y + 3
 dy với 𝐶 là đường cong
y +4
4x +1

C
𝑦 = √1 − 𝑥 4 đi từ 𝐴(1,0) đến 𝐵(−1,0).

A.

4
− arctan 2

7

C.

4
− 3arctan 2
7

B.

4
− 2arctan 2
7

D.

4
+ 2arctan 2
7

3. Ứng dụng của tích phân đường

𝑥 = 2(𝑡 − sin 𝑡)
với trục 𝑂𝑥
𝑦 = 2(1 − cos 𝑡 )

Câu 41: Tính diện tích của miền D giới hạn bởi 𝐿: {
biết rằng 𝑡 đi từ 2𝜋 dến 0
A. 13𝜋 (đvdt)

B. 12𝜋 (đvdt)

C. 11𝜋 (đvdt)

D. 10𝜋 (đvdt)

A. 21 (đvc)

B. 21,5 (đvc)

C. 26 (đvc)

D. 27 (đvc)

Câu 42: Tính cơng của lực 𝐹 = (𝑥 + 2𝑦 )𝑖 + (3𝑥 + 4𝑦 )𝑗 làm dịch chuyển một chất
điểm từ 𝐴(1,3) đến 𝐵(2,4) dọc theo đoạn thẳng 𝐴𝐵. (đvc: đơn vị công)

7


𝑦𝑥 =
= sin
cos𝑡𝑡

Câu 43: Tính khối lượng)của đường cong vật chất 𝐿 có phương trình {0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋/2
biết hàm mật độ là 𝑝(𝑥, 𝑦 = 𝑦
A. 1 (đvkl)

B. 2 (đvkl)

C. 3 (đvkl)

D. 5 (đvkl)

A. 1 (đvc)

B. 2 (đvc)

C. 5 (đvc)

D. 4 (đvc)

A. 3𝜋 (đvkl)

B. 4𝜋 (đvkl)

C. 2𝜋 (đvkl)

D. 𝜋 (đvkl)

Câu 44: Tính cơng làm dịch chuyển một chất điểm từ A(0,1) đến B(1,0) của lực
𝐹 = [8𝑥 3 − 2𝑦 ln(1 + 𝑥 2 𝑦 2 )]𝑖 + [5𝑦 4 − 2𝑥 ln(1 + 𝑥 2 𝑦 2 )]𝑗

Câu 45: Tính khối lượng của đường cong vật chất 𝐿 có phương trình 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1
biết hàm mật độ là 𝑝(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2

8


III. Bài tập trắc nghiệm Tích phân mặt

1. Tích phân mặt loại I:
Câu 46: Tính

S xydS

A. 0

B. 2

Câu 47: Tính

A.

với 𝑆 là mặt 𝑧 = √𝑥 2 + 𝑦 2 , 𝑧 ≤ 1, 𝑥 ≥ 0

S x dS
2

 (2 + 2)

Câu 48: Tìm 𝑚 để

 (2 + 3)
4

S ( x + y + mz )dS =

kiện 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0

A. 𝑚 = 0

D. 3

với 𝑆 là biên của miền giới hạn bởi mặt 𝑧 = √𝑥 2 + 𝑦 2 , 𝑧 = 1

B.

4

C. 1

C.

 (1 + 2)

D.

4

 (1 + 3)
4

5 6
với 𝑆 là mặt 2𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 4 và điều
3

B. 𝑚 = 1

C. 𝑚 = −1

D. 𝑚 = 2

C. 2

D. 3

Câu 49: Tính  xyzdS với 𝑆 là mặt 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 − 4 = 0 giới hạn trong mặt trụ có
phương trình 2𝑥 2 + 3𝑦 2 = 6
S

A. 1

Câu 50: Biết

B. 0

a 5

S xdS = 

12

1
+   biết 𝑆 là phần mặt paraboloid 𝑥 = 𝑦 2 + 𝑧 2 thỏa
b

mãn 𝑥 ≤ 1. Kết luận nào sau đây là chính xác?
A. 𝑎 + 𝑏 < 70

B. 𝑎 − 𝑏 > 0

C. 𝑎. 𝑏 < 70

D. 𝑎/𝑏 > 1

C. 4

D. 0

Câu 51: Tính  1 + x2 + y2 dS với 𝑆 là phần mặt 2𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 , 0 ≤ 𝑥, 𝑦 ≤ 1. Chọn
S

đáp án gần với kết quả của tích phân nhất.
A. 2
Câu 52: Biết

B. 3

4

S dS = 15 (33 − a

3 − b 2) với 𝑆 là mặt z = 2 (x 3/2 + y 3/ 2 ) với điều

kiện 0 ≤ 𝑥 ≤ 2, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1. Tìm khẳng định đúng?
9

3

A. 𝑎 < 𝑏
B. 𝑎 + 𝑏 = 10
C. 𝑎 − 𝑏 = 5
D. 𝑎. 𝑏 = 10
Câu 53: Tính  zy2 dS với 𝑆 là phần mặt nón 𝑧 = √𝑥 2 + 𝑦 2 nằm giữa hai mặt 𝑧 = 1
và 𝑧 = 2
A.

S

31 2
3

B.

31 2
10

C.

31 2
5

C.

31 2
4

D.

33 2
5

D.

Câu 54: Tính  yx2 dS với 𝑆 là phần mặt nón 𝑦 = √𝑥 2 + 𝑧 2 , 1 ≤ 𝑦 ≤ 2

31 2
5

S

A.

32 2
5

B.

34 2
5

Câu 55: Tính  xdS với 𝑆 là mặt trụ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 nằm giữa hai mặt 𝑧 = 0 và 𝑧 = 6
S

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

2. Tích phân mặt loại II:
Câu 56: Tính
0, 𝑧 ≥ 0

A.

S (1 − x − z)dzdx với 𝑆 là mặt trên của mặt 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥

1
5

Câu 57: Tính I =

B.

 (x

2

2
3

C.

A. 𝜋

Câu 58: Cho 𝐼 =

B. −𝜋

C. 2𝜋

Câu 59: Tính 𝐼 =

4
3

D. 3𝜋

S ydzdx + z dxdy , 𝑆 là phía ngồi mặt 𝑥 2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1 với điều
2

kiện 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0. Chọn đáp án gần nhất với kết quả của 𝐼

A. 1

D.

+ y 2 + z 2 )dxdy với 𝑆 là mặt nửa cầu 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 1 phía

trên 𝑂𝑥𝑦, mặt 𝑆 hướng lên trên.
S

1
6

B. 0

C. 2

S xdzdx + z dxdy với 𝑆 là phía ngồi mặt 𝑧 = 𝑥

kiện 0 ≤ 𝑧 ≤ 2, 𝑦 ≥ 0

2

10

D. 3

2

+ 𝑦 2 với điều


A.

−4
5

Câu 60: Tính

−7
3

B.
2

C.
2

2

S xz dydz + 4yx dzdx + 9zy dxdy

hướng ra ngoài.
A.

4
15

B.

2
15

C.

−5
3

D.

2
13

D.

−4
3

với mặt 𝑆: 4𝑥 2 + 9𝑦 2 + 𝑧 2 = 1,

2
19

Câu 61: Biết 𝐼 =  2xydydz + ( x + y 2 )dzdx + (4 x + y 2 )dxdy = a với mặt 𝑆 là biên của
miền 𝑉: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 1, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0 hướng ra ngồi. Tìm khẳng định đúng
b

S

A. 𝑎 − 𝑏 = 7

Câu 62: Tính 𝐼 =

B. 𝑎. 𝑏 = 7
2

S ( xy

C. 𝑎 + 𝑏 = 7

3

2

cầu 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 1, 𝑧 ≥ 0 hướng ra ngồi mặt cầu.
A.

8
5

B.

Câu 63: Tính 𝐼 =

3

S ( x

8
3

C.

B. 0

Câu 64: Tính 

D.

8
7

C. 2

D. 8

1
( −xdydz − ydzdx + dxdy) với 𝑆 là mặt 2𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 ,
1+ x2 + y2

𝑧 ≤ 2 theo chiều âm của trục 𝑂𝑥
S

6
7

+ 2 yz) dydz + (3 x2 y + y) dzdx + (6 y2 z + xy) dxdy với 𝑆 là mặt

𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 với 𝑧 ≤ 1, hướng xuống dưới.

A. 1

D. 𝑎/𝑏 = 7

+ 2 z )dydz + ( z + 2 y)dzdx + x zdxdy với 𝑆 là nửa mặt
3

A.

(2 + 10 5)
3

C.

(−2 + 10 5)
3

B.

(2 + 5)
3

D.

(−2 + 5)
3

11


Câu 65: Biết

S xdydz + zdxdy = b  với 𝑆 là phần trên của mặt nón có phương
a

trình 𝑧 = −√𝑥 2 + 𝑦 2 , −1 ≤ 𝑧 ≤ 0 khi nhìn từ chiều dương trục 𝑂𝑧. Tính 2𝑎 + 𝑏
A. 1

B. 9

Câu 66: Tính

C. 0

chiều dương giới hạn mặt cầu 𝑧 = √1 − 𝑥 2 − 𝑦 2
A.


6

B.

D. 5

+ zdz dọc theo đường tròn 𝐶: 𝑥 + 𝑦 = 1, 𝑧 = 0
2

−
4

C.


7

2

D.

−
8

1
( −2 xdydz− 2 ydzdx+ dxdy) với 𝑆 là

1+ 4x 2 + 4y 2
mặt có phương trình 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 , 0 ≤ 𝑧 ≤ 4 theo chiều 𝑧 ≥ 0
Câu 67: Tính tích phân 𝐼 =

S

A.

(17 17 − 1) 
7

C.

(17 16 − 1) 
6

B.

(17 17 − 1) 
6

D.

(17 17 + 1)
6

Câu 68: Tính tích phân 𝐼 =

S (6z

3

− 9 y)dydz + (3x − 2 z3 )dzdx + (3y − 3x)dxdy với

𝑆 là mặt 𝑥 2 + 3𝑦 2 + 𝑧 4 = 1, 𝑧 ≥ 0, hướng lên trên.
A. 2

Câu 69: Tính

B. 3

C. 0

D. 1

S (2 x + xy) dydz + ( y + 2 xz)dzdx + (1 + 6 z + z ) dxdy với 𝑆 là mặt nằm
2

trong của nửa cầu 𝑧 = −√16 − (𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )
A. (80 − 190√2)𝜋

C. (80 − 193√2)𝜋
D. (80 − 194√2)𝜋

B. (80 − 192√2)𝜋

Câu 70: Tính

S xydydz + yzdzdx + zxdxdy biết 𝑆 là mặt ngoài của tứ diện 𝑂𝐴𝐵𝐶 với

𝑂(0,0,0), 𝐴(1,0,0), 𝐵 (0,1,0), 𝐶 (0,0,1)

12


A.

1
7

B.

Câu 71: Biết

1
8

C.

1
9

D.

1
10

 2x dydz + y dzdx − z dxdy = a + b , S là mặt ngoài của miền giới
2

2

2

hạn bởi 𝑦 = 0, 𝑦 = √1 − 𝑧 2 , 𝑥 = 0, 𝑥 = 2 chọn khẳng định đúng
S

A. 𝑎 + 3𝑏 = 12

C. −𝑎 + 3𝑏 = 0

B. 3𝑎 + 6𝑏 = 16

D. 𝑎 + 𝑏 = 4

a
Câu 72: Biết I =  ( x + z )dydz + ( y + x )dzdx + ( z + y )dxdy =  với 𝑆 là mặt trong
b
S
của parabol 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 nằm dưới mặt 𝑥 + 𝑧 = 2 . Tính 𝑎 − 𝑏
A. 50

B. 49

C. 52

D. 47

3. Ứng dụng của tích phân mặt:

Câu 73: Tính diện tích mặt 𝑆: 𝑧 = 2 + √𝑥 2 + 𝑦 2 , 𝑧 ≤ 3
A. 7 (đvdt)

B. 3 (đvdt)

C.

2 (đvdt)

D. 5 (đvdt)

C.

3
(đvdt)
2

D.

Câu 74: Tính diện tích mặt cong 𝑆 với 𝑆 là phần mặt nón 𝑦 = √𝑥 2 + 𝑧 2 với điều
kiện 1 ≤ 𝑦 ≤ 2, 𝑧 ≥ 0
A.

3 2
(đvdt)
2

B.

3 3

(đvdt)
2

3
(đvdt)
3

Câu 75: Tính diện tích mặt paraboloid 𝑧 = 4𝑥 − 𝑥 2 − 𝑦 2 nằm phía trên mặt 𝑂𝑥𝑦 là
(a 17 − 1)
, tính 𝑎 + 𝑏
b
A. 20

B. 23

C. 19

D. 15

Câu 76: Tính diện tích phần mặt paraboloid 𝑥 = 𝑦 + 𝑧 thỏa mãn 𝑥 ≤ 1
A.



6

(5 5 − 1)

B.

 6
2

C.



6

2

(3 6 − 1)

Câu 77: Tính diện tích mặt 𝑆: 𝑧 = √𝑥 2 + 𝑦 2 , 𝑧 ≤ 3
A. 9𝜋√2

B. 8𝜋√5

13

2

C. 9𝜋√8

D.



6

( 6 −1)

D. 7𝜋 √3


IV.Bài tập trắc nghiệm Lý thuyết trường
1. Trường vô hướng:

Câu 78: Tính đạo hàm theo hướng 𝑙 = (1,2, −2) của 𝑢 = 𝑒 𝑥 (𝑦 2 + 𝑧 ) − 2𝑥𝑦𝑧 3 tại
𝐴(0,1,2)
A.

−11
4

B.

− 11
3

C.

−15
4

D.

−15
2

Câu 79: Cho 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧 ) = 𝑥 3 + 3𝑦𝑥 2 + 2𝑦𝑧 2 . Tính u
với 𝑛󰇍 là vecto pháp tuyến
n
hướng ra ngồi của mặt cầu 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 3, 𝑧 ≤ 0 tại điểm 𝐴(1,1, −1)
A. −6√3

B. −6√2

C. −2√3

D. −2√6

Câu 80: Biết nhiệt độ tại điểm (𝑥, 𝑦, 𝑧) trong không gian được cho bởi hàm
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) =

80
1 + 𝑥 2 + 2𝑦 2 + 3𝑧 2

ở đó 𝑇 có đơn vị là ℃ và 𝑥, 𝑦, 𝑧 là mét. Theo hướng nào thì nhiệt độ tăng nhanh
nhất tại điểm 𝐴(1,1, −2)

 5 5 15 
A.  ; ; 
8 4 4 

 −5 −5 15 
C.  ; ; 
8 4 4 

 5 15 15 

B.  ; ; 
8 4 4 

 5 − 5 15 
D.  ; ; 
8 4 4 

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑧 (đơn vị: radian) của các trường vô hướng
Câu 81: Tính góc giữa hai vecto 𝑔𝑟𝑎𝑑
sau 𝑧1 = √𝑥 2 + 𝑦 2 , 𝑧2 = 𝑥 − 3𝑦 + √3𝑥𝑦 tại 𝑀(3,4) (Chọn đáp án gần đúng nhất)

A. 2

B. 1

C. 3

D. 4

Câu 82: Cho 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧 ) = ln(1 + 𝑥 2 + 𝑒 𝑦−𝑧 ) , 𝑂 (0,0,0), 𝐴(1, −2,2). Tính u
l
hướng 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍
𝑂𝐴
A.

−2
5

B.

−2
3

C.

14

−1
3

D.

−1
5

theo


Câu 83: Theo hướng nào thì sự biến thiên của hàm 𝑢 = 𝑥 sin 𝑧 − 𝑦 cos 𝑧 tại gốc tọa

độ là lớn nhất

C. 𝑙 = (0, −2,0)

B. 𝑙 = (0, −1,0)

A. 𝑙 = (0,1,0)

D. 𝑙 = (0, −3,0)

Câu 84: Cho điểm 𝐴(2, −1,0), 𝐵 (1,1,3). Tính đạo hàm của hàm 𝑢 = 𝑥 3 + 3𝑦 2 +
󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍
𝑒 𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 2 tại điểm 𝐴 theo hướng 𝐴𝐵
A.

14
3

14
2

B.

󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑢, u =
Câu 85: Tính góc giữa 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍
𝑔𝑟𝑎𝑑

 −8 
A. arccos  
 9 

C.

−3 14
2

D.

−2 14
3

x
tại điểm 𝐴(1,2,2) và 𝐵(−3,1,0)
x2 + y2 + z2

 −1 
B. arccos 
 9

 −7 
D. arccos  
 9 

1 
C. arccos  
 9

2.Trường Vecto:

Câu 86: Cho 𝐹 = 𝑥 2 𝑦𝑧 𝑖 + 3𝑥𝑦 2 𝑧𝑗 + 𝑚𝑥𝑦𝑧 2 𝑘󰇍 với 𝑚 là tham số thực. Tìm 𝑚 để 𝐹 là
trường ống.
A. 𝑚 = 4

B. 𝑚 = −4

C. 𝑚 = 5

D. 𝑚 = −5

A. (1,0,0)

B. (0,0,1)

C. (0,0,0)

D. (0,1,0)

Câu 87: Xác định những điểm khơng phải điểm xốy trong trường vecto
󰇍
𝐹 = (𝑧 2 + 2𝑥𝑦)𝑖 + (3𝑥 2 − 2𝑦𝑧)𝑗 − 𝑧 2 𝑘

2
2
2
Câu 88: Biết 𝐹 = 𝑒 𝑥 +𝑦 +𝑧 [(2𝑥 2 𝑦𝑧 + 𝑦𝑧)𝑖 + (2𝑦 2 𝑥𝑧 + 𝑥𝑧 )𝑗 + (2𝑧 2 𝑦𝑥 + 𝑥𝑦)𝑘󰇍] là

trường thế. Tìm hàm thế vị.
2

2

2

x2

+ y2

+ z2

A. u = e x + y + z xyz + C

B. u = e

C. u = ex+ y
D. u = e

xy + C

2+ z2

y 2+ z 2

Câu 89: Biết 𝐹 = (3𝑥 2 − 3𝑦 2 𝑧)𝑖 + (arctan 𝑧 − 6𝑥𝑦𝑧)𝑗 + (
thế, tìm hàm thế vị.

A. u = x + y arctan z + 3xy 2z + C
B.

xy + C

xyz + C
𝑦

1+𝑧 2

+ 3𝑥𝑦 2 ) 𝑘󰇍 là trường

C. u = y arctan z + 3xy 2 z + C

2

D.
15

3

2


2
2
2
𝑧 󰇍

Câu
90:
hàm th
ế vBiết
ị 𝐹 = (3𝑥 + 𝑦𝑧)𝑖 + (6𝑦 + 𝑥𝑧)𝑗 + (𝑧 + 𝑥𝑦 + 𝑒 )𝑘

là trường thế, tìm

A. u = x3 + 2 y3 +

z3
+ ez + xyz + C
3

C. u = x3 + 2 y3 +

z3

+ ez + xy + C
3

B. u = x3 + 3y3 +

z3
+ ez + xyz + C
3

D. u = x3 + 2 y3 +

z3
+ exz + xyz + C
3

Câu 91: Tính thơng lượng của 𝐹 = 𝑥𝑖 + (𝑦 3 + 2𝑧)𝑗 + (3𝑥 2 𝑧 − 𝑥 )𝑘󰇍 qua mặt cầu
𝑆: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 1 hướng ra ngồi.
A.

54
15

B.

57
15

C.

47

15

D.

44
15

Câu 92: Tính thơng lượng của 𝐹 = 𝑥𝑦 2 𝑖 − 𝑧𝑒 𝑥 𝑗 + (𝑥 2 𝑧 + sin 𝑦 )𝑘󰇍 qua 𝑆 là mặt
𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 , 𝑧 ≤ 4, hướng ra ngoài. (Chọn kết quả gần đúng nhất)

A. −17

B. −15

C. −10

D. −14

A. 25

B. 16

C. 0

D. 20

Câu 93: Tính thơng lượng của 𝐹 = (𝑥 2 − 2𝑦 + 𝑧 )𝑖 − (𝑧 2 + 2𝑥𝑦)𝑗 + 𝑥𝑘󰇍 qua phía
trên mặt nón 𝑧 = 1 + √𝑥 2 + 𝑦 2 cắt bởi hai mặt phẳng 𝑧 = 2, 𝑧 = 5
Câu 94: Tính thơng lượng của trường vecto 𝐹 = 2𝑥 2 𝑖 + 𝑦 2 𝑗 − 𝑧 2 𝑘󰇍 qua S là mặt
ngoài của miền giới hạn bởi 𝑦 = 0, 𝑦 = √1 − 𝑧 2 , 𝑥 = 0, 𝑥 = 2

A. 4 +

8
3

B. 3 +

8
3

C.  +

8
3

Câu 95: Tính thơng lượng của trường vecto 𝐹 = 𝑥 3 𝑖 + 𝑦 2 𝑗 +
ngoài của miền 𝑉: |𝑥 − 𝑦 | ≤ 1, |𝑦 − 𝑧 | ≤ 1, |𝑧 + 𝑥 | ≤ 1

D. 4 +

𝑧2

2

8
5

󰇍𝑘 qua 𝑆 là biên

A. 5

B. 4

C. 0

D. 3

A. 11

B. 12

C. 16

D. 14

Câu 96: Cho trường vô hướng 𝑢 = 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧 . Tính lưu số của trường vecto
󰇍󰇍𝑔𝑟𝑎𝑑
󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍𝑢 dọc theo đoạn thẳng nối từ 𝐴(−1, −1, −1) đến 𝐵(2,4,1)

Câu 97: Tính lưu số của 𝐹 = 𝑥 2 𝑦 3 𝑖 + 𝑗 + 𝑧𝑘󰇍 dọc theo đường trịn có phương trình
16


𝐶: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1, 𝑧 = 0 giới hạn mặt cầu 𝑧 = √1 − 𝑥 2 − 𝑦 2

A.

−
6

B.

−
8

C.

−
7

D.

−
9

Câu 98: Tính lưu số của 𝐹 = (𝑦𝑒 𝑥𝑦 + 3𝑦 + 𝑧 )𝑖 + (𝑥𝑒 𝑥𝑦 + 𝑦 − 5𝑧 )𝑗 + (1 + 2𝑥 )𝑘󰇍 dọc
theo đường cong 𝐿 là giao của mặt 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 4 và mặt 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0 hướng
ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ chiều dương trục 𝑂𝑧.
A. 3√3𝜋

B. 6√3𝜋

C. 4√3𝜋

D. √3𝜋

A. 3

B. 0

C. 1

D. 5

A. 3

B. 0

C. 2

D. 1

Câu 99: Tính lưu số của 𝐹 = (𝑦 2 + 𝑧 2 )𝑖 + (𝑥 2 + 𝑧 2 )𝑗 + (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑘󰇍 dọc theo đường
cong 𝐶 trong đó 𝐶 là giao của mặt cầu 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 4 và mặt nón có phương
trình 𝑧 = −√𝑥 2 + (𝑦 − 1)2 với hướng cùng chiều kim đồng hồ khi nhìn từ gốc O.
Câu 100: Tính thơng lượng của 𝐹 = (6𝑧 − 2𝑦 3 )𝑖 + (2𝑥 − 3𝑧 )𝑗 + (2𝑦 3 − 4𝑥)𝑘󰇍 qua
mặt cong 𝑆: 2𝑥 2 + 𝑦 4 + 3𝑧 2 = 1, 𝑧 ≥ 0 hướng lên trên.

17


V. Lời giải tham khảo
Tích phân Euler:
+

4

5 −
Câu 1: Kết quả của tích phân  x e x dx là:
0

Đáp án: A.


8

Giải:

du
 3
3
4 x dx = du  x dx =
Đặt x 4 = u  
4

x 2 = u1/2
⇒∫
0

+∞

𝑥 5 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 =
4

1 +∞ 3 −1
1 +∞ 1/2 −𝑢
1 3
√𝜋
∫ 𝑢 𝑒 𝑑𝑢 = ∫ 𝑢 2 𝑒 −𝑢 𝑑𝑢 = Γ ( ) =
8

4 0
4 0
4 2


2

Câu 2: Kết quả của tích phân  sin 6 x cos 4 xdx là:
0

3
Đáp án: D.
512
Giải:
𝜋
2

𝜋
2

7

5

∫ sin6 𝑥 cos 4 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(sin 𝑥)2.2−1 . (cos 𝑥)2. 2−1 𝑑𝑥 =
0

0

Câu 3: Biết

x

+
0

6

7 5
1
𝐵( , )
2 2 2

7
5
1
1
1 Γ ( ) . Γ ( 2) 1 45 Γ ( 2) . Γ (2) 3𝜋
= . .
=
= . 2
Γ(6)
2 32
5!
512
2
x4

dx

3
Đáp án: A. 𝑎 − 𝑏 = −1
−

a 

b

7/2

, chọn khẳng định đúng:

18


Giải:
du

 2ln 3.xdx = du  dx = 2 ln 3.u

Đặt ln3.x 2 = u  
u3

x6 =

(ln 3) 3
𝜋
2

⇒ ∫𝑥 .3

0

6

−𝑥2

𝜋
2

𝜋
2

5
7
𝑒 −𝑢
𝑢3
1
𝑑𝑥 = ∫
.
𝑑𝑢 = ∫(ln 3)− 2 . 𝑢 2 . 𝑒 −𝑢 𝑑𝑢
(ln 3)3 2√ln 3 . 𝑢
2

=

⇒ 𝑎 = 15, 𝑏 = 16

0

0

𝜋
2

7
(ln 3)−7/2
(ln 3)−7/2
7
15√𝜋
−1
. ∫ 𝑢2 . 𝑒 −𝑢 𝑑𝑢 =
.Γ( ) =
7
2
2
2
16(ln 3)2
0

+

Câu 4: Biểu diễn tích phân

x2

0 (1 + x4 )4 dx theo hàm Gamma:

 3   13 
   .  
4

4
Đáp án: C.    
4. ( 4 )
Giải:

du
 3
2
4 x dx = du  x dx = 1/4
Đặt x4 = u  
4u

x = u1/4
+∞

⇒∫
0

+∞
−1
13
3
𝑥2
1
1 3 13
1 Γ (4) . Γ ( 4 )
𝑢 4 𝑑𝑢
.
=
=

𝐵
(
,
)
=
∫
𝑑𝑥
(1 + 𝑢)4 4 4 4
(1 + 𝑥 4 )4
4
4
Γ(4)
0

1

Câu 5: Tính tích phân  30
0

1

1 − x 30

dx

19


Đáp án: B.


 
30sin  
 30 

Giải:

du

29
du = 30 x dx  dx =
Đặt u = x30  
30.u29/30

x = u1/30
1

1

1

29

1
29
1
1
1
1
1 29

𝑢−30
−1
⇒ ∫ 30
∫ 𝑢30−1 . (1 − 𝑢)30 𝑑𝑢 =
𝑑𝑢 =
𝐵( , )
∫ 30
𝑑𝑥 =
30
30 30
30
30
30
√1 − 𝑥
−𝑢
√1
0
0
0

=

1 𝜋
30 sin ( 𝜋 )
30
1

10

 1

Câu 7: Tính tích phân  ln  dx
x
0

Đáp án: B. 10!
Giải:

1
Đặt ln   = u 
x 
1

−1
 −1
 x dx = du  dx = eu du

1

=eu

x
0

+∞

1 10
⇒ ∫ (ln ) 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑢10 . 𝑒 −𝑢 𝑑𝑢 = ∫ 𝑢11−1 . 𝑒 −𝑢 𝑑𝑢 = Γ(11) = 10!
𝑥
0

+∞

1

0

5
10
Câu 8: Tính tích phân  x (ln x ) dx
0

Đáp án: B.

10!
611

Giải:
20


1
u
 dx = du  dx = e du
Đặt ln x = u   x

x 5 = e 5u

1

0

⇒ ∫ 𝑥 5 (ln 𝑥)10 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 6𝑢 . 𝑢 10 𝑑𝑢
−∞

0

Đặt 6u = − t  du =

−dt 10 t 10
,u = 10
6
6

Đổi cận: 𝑢 = 0 ⇒ −𝑡 = 0, 𝑢 → −∞ ⇒ −𝑡 → +∞
0

⇒ ∫ 𝑒 6𝑢 . 𝑢 10 𝑑𝑢 =
−∞

+∞

1
1
10!
∫ 𝑒 −𝑡 . 𝑡 10 𝑑𝑡 = 11 . Γ(11) = 11
6
6
611
0

Câu 9: Biểu diễn tích phân

0

e

2x 3

1 − e3 x dx theo hàm Gamma:

−

2
1
2
4
   .  
  .  
3  3
3 3


và D.
Đáp án: C.
9. ( 2)
3. ( 2 )
Giải:
Đặt 𝐼 =

0

− e2x

3

3

1 − e x dx

Đặt 𝑢 = 𝑒 3𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = 3𝑒 3𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑥 =

𝑢−1 𝑑𝑢
𝑑𝑢
=
3𝑥
3𝑒
3

Với 𝑥 = 0 ⇒ 𝑢 = 1, 𝑥 = −∞ ⇒ 𝑢 = 0
⇒𝐼=

1
1
2
4
2
1
1
1
1

1
1 2 4
1 Γ (3) Γ ( 3)
∫ 𝑢 3 (1 − 𝑢 )3 𝑢−1 𝑑𝑢 = ∫ 𝑢−3 (1 − 𝑢 ) 3 𝑑𝑢 = 𝐵 ( , ) =
3 Γ(2)
3 3
3
3
3
0

0

2
2
1
𝜋
4
1 1
1 Γ (3) Γ ( 3) 1 √3
2
Mà Γ ( ) = Γ ( ) ⇒ 𝐼 =
=
=
𝜋
9 1!
9 Γ(2)
3
3 3
9√3

21




2

0

Câu 10: Tính tích phân
Đáp án: A.

sin 7 x cos 5 xdx

5
128 2

Giải:
𝜋
2

5
7
∫(sin 𝑥)2 (cos 𝑥 )2 𝑑𝑥
0

𝜋
2

9

7

= ∫(sin 𝑥)2.4−1 (cos 𝑥)2.4−1 𝑑𝑥 =
0

9
5 5
5 1
1
5
1
Γ( ) = Γ( ) = . .Γ( ) =
Γ( )
4 4
4 4
4
16 4
Mà { 4
7
3 3
Γ( ) = Γ( )
4
4 4

7
9
1
9 7
1 Γ (4) Γ ( 4)

.𝐵 ( , ) =
2 Γ(4)
4 4
2

2
1
3
𝜋
9 7
1 15 Γ (4) Γ ( 4) 15 √2
5𝜋
1
=
=
.
⇒ 𝑇𝑃 = . 𝐵 ( , ) = .
4 4
2 64
Γ(4)
2
128 3!
128√2

Tích phân đường

Câu 11: Tính tích phân ( x + y)ds với 𝐿 là đoạn thẳng nối điểm 𝑂(0; 0) và 𝐴(4; 3)
L

Đáp án: A.

35
2

Giải:

3
3
9
5
𝑑𝑥 = 𝑑𝑥
Phương trình đoạn 𝑂𝐴 là { 𝑦 =4 𝑥 ⇒ 𝑦 ′ (𝑥) = ⇒ 𝑑𝑠 = √1 +
4
4
16
0≤𝑥≤4
4

⇒ ∫ (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑠 = ∫ (𝑥 +
𝐿

0

3 5
35
𝑥) 𝑑𝑥 =
2
4 4

𝑥 = 2 + 2 cos 𝑡

Câu 12: Tính ( x + y) ds với 𝐿 là nửa đường tròn { 𝑦 = 2 sin 𝑡


L

22

0≤𝑡≤𝜋