Bội và ước của số nguyên

BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUYÊN – TOÁN 6
Chuyên đề: TẬP HỢP SỐ NGUYÊN
Giáo viên: ĐỖ VĂN BẢO
0. Bội và ước của số a,(a  N )
*Nếu a b thì a  B(b) thì a  b.x( x  N )

* B(6)  {0;6;12;18;...}
U (6)  {1;2;3;6}
1. Bội và ước của một số nguyên
Nếu a, b, x  Z và a  b.x thì a b và a là một bội của b; b là một ước của a
B(6)  {...;-12;-6;0;6;12;18;...}
U (6)  {1;2;3;6;-1;-2;-3;-6}
B(6)  {...;-12;-6;0;6;12;18;...}
U (6)  {1;2;3;6;-1;-2;-3;-6}
-6:5=1,2;1,2  Z  -6  5  5  U(6)
B(a )  B(a );
U (a )  U (a )

2. Tính chất
* Nếu a b; b c  a c
* Nếu a b  m.a b(m  Z )
* Nếu a m; b m  (a  b) m;(a  b) m
* Chú ý: Số ước của một số nguyên
+) Nếu a  N ; a  p m .q n (PTRTSNT) thì số ước (tự nhiên) của a là: (m  1).(n  1)
+) Nếu a  Z ;| a | p m .q n (PTRTSNT) thì số ước (nguyên) của a là: 2(m  1).(n  1)
104. SGK/97
a ) 15.x  75
x  75 :15

b,3 | x | 18
| x | 18 : 3

| x | 6

x  5

x  6; x  6

106 SGK/97

1

Truy cập trang để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa
- GDCD tốt nhất!


a b; b a
ab
 a  b
153 SBT/91

b) 2 | x | 16

a ) 12.x  36
x  36 :12
x  3

| x | 16 : 2
| x | 8
x  8; x  8

13.3

a ) 2 | x  1| 10
| x  1| 10 : 2

b) (12) 2 .x  56  10.13 x
144 x  56  130 x
144 x  130 x  56
14 x  56

| x  1| 5
Th1: x  1  5
x  5  1
x  6

x  56 :14
x4

Th 2 : x  1  5
x  5 1
x4

Vậy x {4;-6}
*Bài tập 1: Tìm x  Z ; biết (n  3) U (7)
(n  3) U (7)  (n  3) {-7;-1;1;7}

Xét bảng:
n-3
1
n
4
Vậy n {4;10;2;-4}

7
10

-1
2

-7
-4

*Bài tập 2: Tìm x, y  Z
a ) ( x  3)( y  1)  3
3  1.3  (1)(3)
Th1:

Th3 :

x  3  1; y  1  3
 x  2; y  2

 x  0; y  0

Th 2 :
x  3  1; y  1  3
 x  4; y  4

2

x  3  3; y  1  1
Th 4 :

x  3  3; y  1  1
 x  6; y  2

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa
- GDCD tốt nhất!


Vậy x  4; y  4 hoặc x  2; y  2 hoặc x  0; y  0 hoặc x  6; y  2
b) ( x  1)(x y  1)  2
2  1.2  (1)(2)
Th1:
x  1  2; x y  1  1
 x  3; x y  0
 x  3; y  0
Th 2 :
x  1  2; x y  1  1
 x  1; x y  2
 x  1; y  2

Th3 :
x  1  1; x y  1  2
 x  2; x y  1
1
 x  2; y  (ktm)
2
Th 4 :
x  1  1; x y  1  2
 x  0; x y  3
 x  0;0 y  3(ktm)

Vậy x  3; y  0 hoặc x  1; y  2
c) xy  2 x  5
x(y  2)  5
5  1.5  (1)(5)
Th1: x  1; y  2  5
 x  1; y  7
Th 2 : x  5; y  2  1
 x  5; y  3

Th3 : x  1; y  2  5
 x  1; y  3
Th 4 : x  5; y  2  1
 x  5; y  1

Vậy x  1; y  7 hoặc x  5; y  3 hoặc x  1; y  3 hoặc x  5; y  1
*Bài tập 3: Tìm n  Z biết: (2n  1) (n  2)
(2n  1) (n  2)  [2(n+2)-5] (n  2)

Vì 2(n+2) (n  2)
 5 (n  2)
 (n  2)  U (5)
 (n  2)  {1;5;-1;-5}
 n  {-1;3;-3;-7}

3

Truy cập trang để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa
- GDCD tốt nhất!

ĐỀ THI ONLINE – BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUYÊN - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

CHUYÊN ĐỀ: TẬP HỢP SỐ NGUN
MƠN TỐN: LỚP 6
BIÊN SOẠN: BAN CHUN MƠN TUYENSINH247.COM

Mục tiêu:
+) Hiểu khái niệm bội và ước của một số nguyên; khái niệm “chia hết cho”; hiểu được tính chất chia hết
trong tập số nguyên
+) Biết tìm bội và ước của một số nguyên, biết vận dụng giải các bài toán tìm giá trị của số nguyên x thỏa
mãn điều kiện cho trước, bài toán chứng minh một biểu thức chia hết cho một số,…
A. PHẦN TRẮC NGHIỆM (3 điểm)
Câu 1 (NB): Các bội của 5 là:
A. 5; 5; 0; 23;  23

B. 212;  212; 15

C. 1; 1; 5;  5

D. 0; 5;  5; 10;  10;...

Câu 2 (NB): Tập hợp các ước của -6 là:
A. A  1;  1; 2;  2; 3;  3; 6;  6

B. A  1; 2; 3; 6; 12;...

C. A  0; 6;  6; 12;  12;...

D. A  16;  16; 26;  26;...

Câu 3 (TH): Tìm x biết: 24.x  120
A. x  5

B. x  5

Câu 4 (TH): Cho x 
A. x chia 3 dư 1
Câu 5 (VD): Cho x 

C. x  96

D. x  96

và  258  x  3 thì:
B. x 3

C. x chia 3 dư 2

D. x không chia hết cho 3

và x  9 là ước của 7 thì:

A. x  2;  8

B. x  8;  10;  2;  16

C. x  10; 8; 17; 3

D. x  1;  1; 7;  7

Câu 6 (VD): Cho x, y 
A. 1;  3 ;  3;1

1

và x. y  3 thì các cặp giá trị  x; y  là:
B.

 1;3 ;  3; 1

Truy cập trang để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa
- GDCD tốt nhất!


C. 1; 3 ;  3;1 ;  1;3 ; 3; 1

D.  3;  1 ; 1;  3

B. PHẦN TỰ LUẬN(7 điểm)
Câu 1 (TH): Tìm tất cả các ước chung của -12 và 30
Câu 2 (VD): Chứng minh rằng nếu a là bội của b thì:
a) a là bội của b
b) b là ước của a
Câu 3 (VD): Tìm x 

thỏa mãn:

a) 3. x  2  30
b)

 9

2

.x  150  12.13x

Câu 4 (VD): Tìm x; y 

sao cho:

a) x  5 là bội của x  2
b)

 2 x  1 y  3  10

Câu 5 (VDC): Cho x; y  . Chứng minh rằng:
Nếu 5x  47 y chia hết cho 17 thì x  6 y cũng chia hết cho 17.

2

Truy cập trang để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa
- GDCD tốt nhất!


HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
THỰC HIỆN BỞI BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM
A. PHẦN TRẮC NGHIỆM
1D

2A

3A

4B

5B

6C

Câu 1:
Phương pháp:
Sử dụng khái niệm bội và ước của một số nguyên:
Nếu a, b, x  Z và a  b.x thì a b và a là một bội của b; b là một ước của a
Cách giải:
Bội của 5 là số 0 và những số nguyên có hàng đơn vị là 0 và 5.
Các bội của 5 là: 0; 5;  5; 10;  10;...
Chọn D.
Câu 2:
Phương pháp:
Sử dụng khái niệm bội và ước của một số nguyên:
Nếu a, b, x  Z và a  b.x thì a b và a là một bội của b; b là một ước của a
Cách giải:
Ta có: 6  1.6  1. 6  2.3  2. 3.
Tập hợp các ước của -6 là: A  1;  1; 2;  2; 3;  3; 6;  6
Chọn A.
Câu 3:
Phương pháp:
Sử dụng quy tắc nhân hai số nguyên và tính chất bội và ước của một số ngun để tìm giá trị của x.
Cách giải:
Ta có:

3

Truy cập trang để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa
- GDCD tốt nhất!


24.x  120
x  120 : 24
x

 5

Vậy x  5 .
Chọn A.
Câu 4:
Phương pháp:
Sử dụng tính chất chia hết trong tập hợp các số nguyên: a m; b m  (a  b) m
Cách giải:
Vì 258 có tổng các chữ số là 2  5  8  15 3 nên 258 3 .
Do đó để  258  x  3 thì x 3 .
Chọn B.
Câu 5:
Phương pháp:
+ Sử dụng khái niệm bội và ước của một số nguyên để tìm các ước của 7
+ Lập bảng giá trị để tìm x
Cách giải:
Ta có:  x  9 U  7    x  9   7;  1;7;1
Xét bảng:
x+9

x

-7
-16

-1
-10

1
-8

7
-2

Vậy x  16;  10;  8;  2  .
Chọn B.
Câu 6:
Phương pháp:
+ Sử dụng khái niệm bội và ước của một số nguyên để tìm các ước của -3

4

Truy cập trang để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa
- GDCD tốt nhất!


+ Lập bảng giá trị để tìm cặp giá trị  x; y 
Cách giải:
Ta có: x. y  3
Mà x, y 

nên x; y U  3  3;  1; 1; 3 .

Xét bảng:
x
y

-3
1

-1
3

1
-3

3
-1

Vậy ta có các cặp giá trị  x; y  là: 1; 3 ;  3;1 ;  1;3 ;  3;  1
Chọn C.
B. TỰ LUẬN
Câu 1:
Phương pháp:
+ Sử dụng khái niệm bội và ước của số nguyên để tìm ước của -12 và ước của 30
+ Sử dụng tính chất sau để tìm ước chung của chúng:
Nếu c vừa là ước của a vừa là ước của b thì c cũng được gọi là ước chung của a và b.
Cách giải:
Tập hợp các ước của -12 và 30 là:
U  12   1;  2;  3;  4;  6;  12

U  30   1;  2;  3;  5;  6;  10;  15;  30

Suy ra tập hợp các ước chung của -12 và 30 là: UC  12;30   1;  2;  3;  6
Câu 2:
Phương pháp:
Sử dụng khái niệm bội và ước của một số nguyên để chứng minh:
Nếu a, b, x  Z và a  b.x thì a b và a là một bội của b; b là một ước của a
Cách giải:
a) Vì a là bội của b nên a  b.x,  x 

5

.

Truy cập trang để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa
- GDCD tốt nhất!


Suy ra a    b.x   b. x  .
Mà x 

suy ra  x 

, suy ra  a  b hay a là bội của b.

b) Vì b là ước của a nên a  b.x,  x 

.

Suy ra a   b  . x  .

Mà x 

suy ra  x 

, suy ra a  b  hay –b là ước của a.

Câu 3:
Phương pháp:
a) + Sử dụng khái niệm bội và ước của một số nguyên và tính chất chia hết trên tập số nguyên
+ Sử dụng tính chất sau để chia các trường hợp và tìm x


 a  0
a
a 
 a  0

a
b) + Sử dụng khái niệm bội và ước của một số nguyên và tính chất chia hết trên tập số nguyên
+ Sử dụng tính chất phân phối, biến đổi để tìm x
Cách giải:

a) 3. x  2  30
x2

 30 : 2

x2

 15.

b)  9  .x
2

 150  12.13x

81x
 150  156 x
81x  156 x  150

TH1: x  2  0  x  2  x  2  x  2

 81  156  x  150

 x  2  15

 75 x

 150

x

 15  2

x

 150 :  75 

x

 17  tm 

x

 2.

TH2 : x  2  0  x  2  x  2   x  2

Vậy x  2.

  x  2  15
x

 2  15

x

 13  tm 

Vậy x  17 và x  13 .
Câu 4:
Phương pháp:
a) + Tách x  5   x  2   7 , sử dụng tính chất chia hết của một tổng suy ra x+2 thuộc ước của 7
+ Tìm ước của 7 rồi lập bảng ta tính được giá trị của x

6

Truy cập trang để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa
- GDCD tốt nhất!

b) + Sử dụng khái niệm bội và ước của số nguyên để suy ra 2x+1 và y-3 là ước của -10
+ Tìm ước của -10
+ Sử dụng tính chất chia hết để loại bớt các trường hợp
+ Lập bảng giá trị để tìm các cặp giá trị  x; y 
Cách giải:
a) x  5 là bội của x  2
Ta có:  x  2 

 x  2.

Lại có: x  5   x  2   7
  x  5

 x  2   7  x  2 .
  x  2   U  7    x  2   1;  7.
Ta có bảng sau:
x+2
x

-7
-9

-1
-3

1
-1

7

5

Vậy x 9;  3; 1;5
b)  2 x  1 y  3  10
Vì x; y    2 x  1 ;  y  3 

mà  2x  1 y  3  10

  2x  1 ;  y  3  U  10 
Mà U  10  1;  2;  5;  10
Ta có: 2x 2   2x  1 không chia hết cho 2   2x  1  1;  5.
Ta có bảng:
2x  1
y3

-1
10

1
-10

-5
2

5
-2

x
y

-1
13

0
-7

-3
5

2
1

Vậy ta có các cặp giá trị  x; y  là:  1;13 ;  0;  7  ;  3;5 ;  2;1 .
Câu 5:

7

Truy cập trang để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa
- GDCD tốt nhất!


Phương pháp:
+ Biến đổi để tách 5x  47 y thành tổng của hai số, trong đó một số chia hết cho 17 và một số chứa nhân tử
x  6y .

+ Sử dụng tính chất chia hết trên tập hơp các số nguyên để chứng minh.
Cách giải:
Ta có:

5 x  47 y  5 x  30 y  17 y

  5 x  30 y   17 y
 5  x  6 y   17 y
Vì 5x  47 y chia hết cho 17 và 17y chia hết cho 17 nên suy ra 5  x  6 y  chia hết cho 17.
Mà 5 không chia hết cho 17 nên suy ra x  6 y chia hết cho 17.
Vậy nếu 5x  47 y chia hết cho 17 thì x  6 y cũng chia hết cho 17.

8

Truy cập trang để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa
- GDCD tốt nhất!