Phân loại và định hướng phương pháp giải một số dạng toán liên quan đồ thị hàm số f trong đề thi Trung học phổ thông Quốc gia môn Toán

Sáng kiến kinh nghiệm

Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ
PHẦN MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một bộ mơn khoa học địi hỏi sự tư duy cao độ của người dạy, người học
và cả người nghiên cứu. Qua việc dạy và học Toán, con người được rèn luyện năng lực phân
tích, tổng hợp, tư duy linh hoạt và khả năng sáng tạo, góp phần hình thành kỹ năng, nhân
cách cần thiết của người lao động trong thời đại mới. Muốn học giỏi Toán, học sinh phải
luyện tập, thực hành nhiều, tức là phải học giải toán.
Năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục và Đào tạo thực hiện đổi mới trong kỳ thi Trung
học Phổ thông Quốc gia (THPTQG). Trong đó mơn Tốn được đổi từ hình thức thi từ tự
luận sang hình thức thi trắc nghiệm. Việc thay đổi đã tạo nên nhiều bỡ ngỡ cũng như khó
khăn cho cả giáo viên và học sinh trong việc ôn luyện. Hình thức thi trắc nghiệm mơn Tốn
địi hỏi một số cách tiếp cận vấn đề mới so với hình thức thi tự luận. Vì vậy người giáo viên
cũng cần phải thay đổi phương pháp giảng dạy cho phù hợp.
Trong đề thi THPTQG, nội dung chương 1 của Giải tích lớp 12 “Ứng dụng đạo hàm để
khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” chiếm một phần quan trọng. Khi thi theo hình thức tự luận,
yêu cầu học sinh phải có kỹ năng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, đồng thời giải quyết được
các bài toán liên quan. Tuy nhiên, khi thi theo hình thức trắc nghiệm, ngồi những kỹ năng
trên, học sinh cịn phải có thêm nhiều kỹ năng khác, trong đó kỹ năng đọc đồ thị vô cùng
quan trọng. Xuất phát từ thực tế dạy học ở trường THPT Nguyễn Huệ, khi yêu cầu học sinh
đọc đồ thị hàm số y = f ( x ) để kết luận về tính đơn điệu, điểm cực trị của hàm số này đã có
thể nhầm lẫn cho học sinh thì khi học đồ thị hàm số f ' ( x ) để kết luận về các yếu tố của
hàm số y = f ( x ) cịn khó khăn hơn nhiều. Với mục đích giúp học sinh dễ dàng hơn trong
việc tiếp cận dạng toán này, đồng thời thuận tiện hơn trong việc ơn tập cho kì thi THPTQG,
tôi chọn đề tài nghiên cứu là:
“Phân loại và định hướng phương pháp giải một số dạng toán liên quan đồ thị hàm số
y = f ' ( x ) trong đề thi Trung học phổ thông Quốc gia môn Toán”.

Trang 1


Sáng kiến kinh nghiệm

Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ

2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài
Mục tiêu nghiên cứu
Để cho học sinh thấy được mối liên hệ của đồ thị hàm số y = f '( x ) với các vấn đề
của hàm số y = f ( x) . Từ đó có thể làm tốt các dạng tốn này, mang lại kết quả cao trong
các kì thi TN THPTQG.
Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Đưa ra những cơ sở lí luận cần thiết. Từ đó mơ tả phân tích để tìm ra biện pháp dạy
cho học sinh cách vận dụng vào giải các dạng toán này.
+ Kiểm tra đánh giá kết quả của học sinh trong quá trình triển khai đề tài để từ đó có
những điều chỉnh và bổ sung hợp lý.
3. Đối tượng nghiên cứu
Vận dụng một số lý thuyết trong chương trình SGK Giải tích 12 để giải quyết các dạng
toán liên quan đến đồ thị của hàm số y = f '( x) .
4. Giới hạn của đề tài
Các dạng toán liên quan đồ thị hàm số y = f '( x ) trong đề thi THPTQG mơn Tốn.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, những tài liệu về phương pháp dạy
học toán, đề thi THPTQG, các sách tham khảo…
Phương pháp nghiên cứu thực tiễn:
+ Tìm hiểu, quan sát quá trình học tập và giải các dạng tốn liên quan đồ thị hàm số

y = f '( x ) .
+ Trao đổi, thăm dò qua GV, thống kê lại những vướng mắc, khó khăn của HS khi làm

các dạng tốn liên quan đồ thị hàm số y = f '( x) .

Trang 2


Sáng kiến kinh nghiệm

Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ
PHẦN NỘI DUNG

1. Cơ sở lí luận
1.1. Sự tương giao giữa đồ thị hàm số y = f ( x ) và trục hoành.
Giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) với trục hoành là nghiệm của phương trình
hồnh độ giao điểm f ( x ) = 0.
y

Ví dụ minh hoạ:
Hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình bên.
a

Suy

ra

phương

trình

f ( x) = 0

có

3

b

O

c

x

nghiệm

( x = a; x = b; x = c )
1.2. Dấu hiệu nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số bằng bảng biến
thiên.
Bảng 1: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng ( x0 − h; x0 + h ) , với h > 0 và có bảng
biến thiên như một trong hai bảng sau:

Khi đó, hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại điểm x = x0 .
Bảng 2: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng ( x0 − h; x0 + h ) , với h > 0 và có bảng
biến thiên như một trong hai bảng sau:

Khi đó, hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu tại điểm x = x0 .
1.3. Dấu hiệu nhận biết giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số bằng bảng
biến thiên.
Trang 3

Sáng kiến kinh nghiệm

Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ

Bảng 3: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng [ a; b ] và có bảng biến thiên như một
trong hai bảng sau:

y = f ( x0 ) .
Khi đó, ta có: min
[ a ;b ]
Bảng 4: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng [ a; b ] và có bảng biến thiên như một
trong hai bảng sau:

y = f ( x0 ) .
Khi đó, ta có: max
[ a ;b]
Bảng 5: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng [ a; b ] và có bảng biến thiên như sau:

y = f ( a ) ;max y = f ( b ) .
Khi đó, ta có: min
[ a ;b]
[ a ;b]
Bảng 6: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng [ a; b ] và có bảng biến thiên như sau:

y = f ( b ) ;max y = f ( a ) .
Khi đó, ta có: min
[ a ;b ]
[ a ;b]

Trang 4

Sáng kiến kinh nghiệm

Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ

1.4. Xét dấu của tích phân xác định khi biết giới hạn miền phẳng giới hạn bởi đồ thị
hàm số dưới dấu tích phân, trục hồnh và hai đường thẳng x = a; x = b ( a < b ) .

b

∫ f ( x ) dx < 0.

b

∫ f ( x ) dx > 0.

a

a

b

∫  f ( x ) − g ( x ) dx > 0

b

∫ f ( x ) dx = S1 − S2 + S3 .

và

a

a

b

∫  g ( x ) − f ( x ) dx < 0
a

Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ a; b ] , khi đó

b

∫ f ' ( x ) dx = f ( b ) − f ( a ) .
a

1.5. Phép biến đổi đồ thị.
Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) . Khi đó, với số a > 0 ta có:
 Hàm số y = f ( x ) + a có đồ thị ( C ') là tịnh tiến ( C ) theo phương của Oy lên trên a
đơn vị.
 Hàm số y = f ( x ) − a có đồ thị ( C ') là tịnh tiến ( C ) theo phương của Oy xuống
dưới a đơn vị.
 Hàm số y = f ( x + a ) có đồ thị ( C ') là tịnh tiến ( C ) theo phương của Ox qua trái a
đơn vị.
 Hàm số y = f ( x − a ) có đồ thị ( C ') là tịnh tiến ( C ) theo phương của Ox qua phải
a đơn vị.
Trang 5

Sáng kiến kinh nghiệm

Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ

 f ( x ) khi x > 0
 Hàm số y = f ( x ) = 
có đồ thị ( C ') bằng cách:
 f ( − x ) khi x ≤ 0
+ Giữ nguyên phần đồ thị ( C ) nằm bên phải trục Oy và bỏ phần ( C ) nằm bên trái
Oy .
+ Lấy đối xứng phần đồ thị ( C ) nằm bên phải trục Oy qua Oy .
 f ( x ) khi f ( x ) > 0
 Hàm số y = f ( x ) = 
có đồ thị ( C ') bằng cách:
− f ( x ) khi f ( x ) ≤ 0
+ Giữ nguyên phần đồ thị ( C ) nằm trên Ox .
+ Lấy đối xứng phần đồ thị ( C ) nằm dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị ( C ) nằm
dưới Ox.
2. Thực trạng
Xét ví dụ sau: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình bên. Tìm mệnh đề đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1; +∞ ) .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;3) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; −1) .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0;2 ) .
Đối với ví dụ trên thì học sinh dễ dàng tìm ra đáp án D. Ta thử đặt vấn đề nếu cho đồ
thị của hàm số y = f ' ( x ) thì có thể kết luận về tính đơn điệu của hàm số y = f ( x ) khơng?
Ta xét ví dụ sau: Cho hàm số y = f ( x ) . Biết f ( x ) có đạo hàm là f ′ ( x ) trên ¡ và hàm số
y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Hàm số y = f ( x ) chỉ có hai điểm cực trị.

y

B. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( 1;3) .
C. Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −∞;2 ) .
D. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( 4; +∞ ) .
Học sinh sẽ gặp một số khó khăn sau:
- Hiểu nhầm đây là đồ thị hàm số y = f ( x ) .
Trang 6

4
O

1

2 3

5

x


Sáng kiến kinh nghiệm

Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ

- Thiếu kỹ năng đọc đồ thị, mà đây lại là đồ thị hàm số y = f ' ( x ) .
Bên cạnh đó, trong đề thi THPTQG 2016-2017 có câu sau:
Câu 48- Đề 102: Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) như hình bên. Đặt
g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x + 1) . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
2

A. g ( 3) > g ( −3) > g ( 1) .

y
4

B. g ( −3) > g ( 3) > g ( 1) .
C. g ( 1) > g ( −3) > g ( 3) .

−3

2
O 1
−2

D. g ( 1) > g ( 3) > g ( −3) .

3 x

Đối với câu hỏi này, học sinh hầu như bế tắc khơng có đường đi tìm câu trả lời. Đa
phần học sinh đều chọn lụi đáp án. Không những thế, trong đề tham khảo THPTQG 20182019 cịn có câu sau:
Câu

50:

Cho

hàm

( m, n , p , q , r ∈ ¡ ) .

số

f ( x ) = mx 4 + nx 3 + px 2 + qx + r

Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ

bên. Tập nghiệm của phương trình f ( x ) = r có số phần tử là
A. 4 .
B. 3 .
C. 1.
D. 2 .
Trước các vấn đề trên tơi thấy cần có một lý thuyết, phương pháp và phân dạng bài tập
đối với loại toán này.
3. Giải pháp giải quyết vấn đề
3.1. Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu và điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) ; y = f ( x ± a ) ;
y = f ( x ) ± ax.
Bài 1. Hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng K , biết đồ thị
của hàm số y = f ' ( x ) trên K như hình vẽ bên. Tìm số
cực trị của hàm số y = f ( x ) trên K .
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.
Hướng dẫn:
Đối với dạng này ta chỉ cần tìm xem đồ thị y = f ' ( x ) cắt trục Ox tại mấy điểm mà

thôi, không kể các điểm mà đồ thị y = f ' ( x ) tiếp xúc với trục Ox . Ta chọn đáp án B.
Trang 7


Sáng kiến kinh nghiệm

Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ

Nhận xét: Xét một thực a dương. Ta có thể đổi yêu cầu lại là: Tìm số cực trị của hàm
số y = f ( x + a ) hoặc y = f ( x − a ) trên K , thì đáp án vẫn khơng thay đổi. Chú ý số cực trị
của các hàm số y = f ( x ) , y = f ( x + a ) và y = f ( x − a ) là bằng nhau nhưng mỗi hàm số
đạt cực trị tại các giá trị x0 khác nhau!
Giả thiết ở thí dụ 1 và các thí dụ sau có thể thay đổi theo hướng như sau: Hàm số
y = f ( x ) liên tục trên khoảng K và có đồ thị như hình vẽ. Biết y = g ( x ) là một nguyên
hàm của hàm số y = f ( x ) . Tìm số cực trị của hàm số y = g ( x ) trên K .
Bài 2. Cho hàm số f ( x ) xác định trên ¡ và có đồ thị của hàm số f ′ ( x ) như hình vẽ bên.
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( −∞;2 ) .
B. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( −∞; −1) .
C. Hàm số y = f ( x ) có ba điểm cực trị.
D. Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0;1) .
Hướng dẫn:
Đồ thị hàm số f ′ ( x ) cắt trục hoành tại 3 điểm nên chọn đáp án C.
Bài 3. Cho hàm số f ( x ) có đồ thị f ′ ( x ) của nó
trên khoảng K như hình vẽ. Khi đó trên K ,
hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1.

B. 4.

C. 3.

D. 2.

Hướng dẫn:
′
Đồ thị hàm số f ( x ) cắt trục hoành tại 1 điểm nên chọn đáp án A.
Bài 4. Cho hàm số f ( x ) xác định trên ¡ và có đồ thị của hàm

y

f ′( x)

số f ′ ( x ) như hình vẽ bên. Hàm số f ( x + 2018 ) có mấy
O

điểm cực trị?
A. 1.

B. 2 .

x

C. 3 .

D. 4 .
Hướng dẫn:
Đồ thị hàm số f ' ( x + 2018 ) là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số f ′ ( x ) theo phương

trục hoành nên đồ thị hàm số f ' ( x + 2018 ) vẫn cắt trục hoành tại 3 điểm. Ta chọn đáp án C.

Trang 8


Sáng kiến kinh nghiệm

Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ

Bài 5. Cho hàm số f ( x ) có đồ thị f ′ ( x ) của nó trên khoảng

y

K như hình vẽ. Khi đó trên K , hàm số y = f ( x − 2018 )
có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1.

O

C. 3 .

B. 2 .

D. 4 .
Hướng dẫn:
Đồ thị hàm số f ' ( x − 2018 ) là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số f ′ ( x ) theo phương

trục hoành nên đồ thị hàm số f ' ( x − 2018 ) vẫn cắt trục hoành 1 điểm.Ta chọn đáp án A.
Bài 6. Cho hàm số f ( x ) xác định trên ¡ và có đồ thị của
hàm số f ′ ( x ) như hình vẽ. Hàm số y = g ( x ) = f ( x ) + 4 x
có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1.

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

Hướng dẫn:
Cách 1:
y ' = g ' ( x ) = f ' ( x ) + 4 có đồ thị là phép tịnh tiến đồ thị
hàm số f ' ( x ) theo phương Oy lên trên 4 đơn vị.
Khi đó đồ thị hàm số g ' ( x ) cắt trục hoành tại 1 điểm, ta
chọn đáp án A.

Cách 2: Số cực trị của hàm g ( x ) bằng số nghiệm bội lẻ của phương trình
g ' ( x ) = f ' ( x ) + 4 = 0 ⇔ f ' ( x ) = −4
Dựa vào đồ thị của hàm f ' ( x ) ta thấy phương trình trên có một nghiệm đơn.

Trang 9

x


Sáng kiến kinh nghiệm

Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ

Bài 7. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ . Hàm số
y = f '( x)

có đồ thị như hình vẽ. Hàm số

y = g ( x) = f ( x) +

2017 − 2018 x
2017

có bao nhiêu

cực trị?
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hướng dẫn:
Ta có y ' = g ' ( x ) = f ' ( x ) −

2018
. Suy ra đồ thị của
2017

hàm số g ' ( x ) là phép tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ' ( x )
theo phương Oy xuống dưới
Ta có 1 <

2018
đơn vị.
2017

2018
< 2 và dựa vào đồ thị của hàm số
2017

y = f ' ( x ) , ta suy ra đồ thị của hàm số g ' ( x ) cắt trục hoành
tại 4 điểm. Ta chọn phương án D.
Bài 8. Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên
¡ . Biết đồ thị của hàm số f ′( x) như hình vẽ. Tìm
điểm cực tiểu của hàm số y = f ( x) trên đoạn
[0;3] ?
A. x = 0 và x = 2.

B. x = 1 và x = 3.

C. x = 2.

D. x = 0.

Hướng dẫn:
Đồ thị hàm số f ′ ( x ) cắt trục hoành tại 3 điểm, ta thấy f ′ ( x ) đổi dấu từ âm sang
dương khi qua x = 2 nên chọn đáp án C.
Bài 9. Cho hàm số f ( x ) xác định trên ¡ và có đồ thị hàm số f ' ( x )
là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .
B. Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng ( 1; 2 ) .
C. Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng ( −2;1) .

Trang 10


Sáng kiến kinh nghiệm

Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ

D. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) .
Hướng dẫn:
Cách 1: sử dụng bảng biến thiên.
Từ đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) ta có bảng biến thiên như sau:

Chọn đáp án D
Cách 2: Quan sát đồ thị hàm số y = f ' ( x )
Nếu trong khoảng K đồ thị hàm số f ' ( x ) nằm trên trục hồnh (có thể tiếp xúc) thì f ( x )
đồng biến trên K .
Nếu trong khoảng K đồ thị hàm số f ' ( x ) nằm dưới trục hồnh (có thể tiếp xúc) thì f ( x )
nghịch biến trên K .
Nếu trong khoảng K đồ thị hàm số f ' ( x ) vừa có phần nằm dưới trục hồnh vừa có phần
nằm trên trục hồnh thì loại phương án đó.
Trên khoảng ( 0; 2 ) ta thấy đồ thị hàm số y = f ' ( x ) nằm bên dưới trục hoành nên ta chọn
đáp án D.
Bài 10. Cho hàm số y = f ( x ) . Biết f ( x ) có đạo hàm là f ′ ( x ) và hàm số y = f ′ ( x ) có đồ
thị như hình vẽ bên. Kết luận nào sau đây là đúng?

y

A. Hàm số y = f ( x ) chỉ có hai điểm cực trị.
B. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( 1;3) .
C. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( −∞;2 ) .

4
O

1

2 3

5

x

D. Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 4; +∞ ) .
Hướng dẫn:
Trên khoảng ( 1;3) ta thấy đồ thị hàm số f ′ ( x ) nằm trên trục hoành nên chọn đáp án B.
Bài 11. Cho hàm số y = f ( x ) . Biết f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) và hàm số y = f ' ( x ) có đồ
thị như hình vẽ. Đặt g ( x ) = f ( x + 1) . Kết luận nào sau đây đúng?

Trang 11


Sáng kiến kinh nghiệm

Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ

A. Hàm số g ( x ) có hai điểm cực trị.

y

B. Hàm số g ( x ) đồng biến trên khoảng ( 1;3) .

C. Hàm số g ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 2;4 ) .
D. Hàm số g ( x ) có hai điểm cực đại và một điểm cực
tiểu.
Hướng dẫn:
x +1 = 1
x = 0


Cách 1: Ta có g ' ( x ) = f ' ( x + 1) = 0 ⇔  x + 1 = 3 ⇔  x = 2
 x + 1 = 5
 x = 4
1 < x + 1 < 3
0 < x < 2
g ' ( x ) = f ' ( x − 1) > 0 ⇔ 
⇔
x +1 > 5
x > 4
Từ đó ta có bảng biến thiên

Ta chọn đáp án C.
Cách 2: Đồ thị hàm số g ' ( x ) = f ' ( x + 1) là phép tịnh
tiến đồ thị hàm số y = f ' ( x ) theo phương trục hoành
sang trái 1 đơn vị.
Ta thấy trên khoảng

( 2;4 )

đồ thị hàm số

g ' ( x ) = f ' ( x + 1) nằm bên dưới trục hoành nên hàm số

g ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 2;4 ) , ta chọn đáp án C.

Trang 12

4
O

1

2 3

5

x


Sáng kiến kinh nghiệm

Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ

Bài 12. Cho hàm số y = f ( x ) . Biết f ( x ) có đạo hàm
f ' ( x ) và hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Hàm
số g ( x ) = f ( x − 1) đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?
A. x = 2.

B. x = 4.

C. x = 3.

D. x = 1.

Hướng dẫn:
 x −1 = 1
x = 2


Cách 1: g ' ( x ) = f ' ( x − 1) = 0 ⇔  x − 1 = 3 ⇔  x = 4
 x − 1 = 5
 x = 6
1 < x − 1 < 3
2 < x < 4
g ' ( x ) = f ' ( x − 1) > 0 ⇔ 
⇔
 x −1 > 5
x > 6
Từ đó ta có bảng biến thiên

Ta chọn đáp án B.
Cách 2: Đồ thị hàm số g ' ( x ) = f ' ( x − 1) là phép tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ' ( x ) theo
phương trục hoành sang phải 1 đơn vị.
Đồ thị hàm số g ' ( x ) = f ' ( x − 1) cắt trục hồnh tại các điểm có hồnh độ
x = 2; x = 4; x = 6 và giá trị hàm số g ' ( x ) đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm x = 4 . Ta
chọn đáp án B.
3.2. Dạng 2:Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất hoặc so sánh các giá trị của hàm số
y = f ( x) .
Bài 1. Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên [ −2;2]

y

, có đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) như hình bên. Tìm giá

trị x0 để hàm số y = f ( x ) đạt giá trị lớn nhất trên

[ −2;2] .
Trang 13

x
−2 −1 O

1

2


Sáng kiến kinh nghiệm
A. x0 = 2 .

B. x0 = −1 .

Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ
C. x0 = −2 .

D. x0 = 1 .

Hướng dẫn:
Từ đồ thị ta có bảng biến thiên:

Ta chọn đáp án D.
Bài 2. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm là f ′ ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) được cho như
hình vẽ bên. Biết rằng f ( 0 ) + f ( 3) = f ( 2 ) + f ( 5 ) . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị
lớn nhất M của f ( x ) trên đoạn [ 0;5] ?

A. m = f ( 0 ) , M = f ( 5 ) .
B. m = f ( 2 ) , M = f ( 0 ) .
C. m = f ( 1) , M = f ( 5 ) .
D. m = f ( 2 ) , M = f ( 5 ) .

Hướng dẫn:
Từ đồ thị ta có bảng biến thiên:

Trang 14


Sáng kiến kinh nghiệm

Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ

f ( x ) = f ( 2 ) và f ( 3) > f ( 2 ) . Giá trị lớn nhất chỉ có thể là f ( 0 ) hoặc
Từ đó suy ra min
[ 0;5]
f ( 5) .
Ta lại có f ( 0 ) + f ( 3) = f ( 2 ) + f ( 5 ) ⇒ f ( 0 ) − f ( 5 ) = f ( 2 ) − f ( 3) < 0 ⇒ f ( 0 ) < f ( 5 ) .
f ( x ) = f ( 5 ) . Ta chọn đáp án D.
Vậy, max
[ 0;5]
Bài 3. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm là f ′ ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) được cho như
hình vẽ bên. Biết rằng f ( 0 ) + f ( 1) − 2 f ( 2 ) = f ( 4 ) − f ( 3) . Tìm giá trị nhỏ nhất m và
giá trị lớn nhất M của f ( x ) trên đoạn [ 0;4] ?
A. m = f ( 4 ) , M = f ( 2 ) .
B. m = f ( 4 ) , M = f ( 1) .
C. m = f ( 0 ) , M = f ( 2 ) .
D. m = f ( 1) , M = f ( 2 ) .

Hướng dẫn:
Từ đồ thị ta có bảng biến thiên:

Dựa vào BBT ta có M = f ( 2 ) , GTNN chỉ có thể là f ( 0 ) hoặc f ( 4 ) .

Trang 15


Sáng kiến kinh nghiệm

Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ

Ta lại có: f ( 1) ; f ( 3) < f ( 2 ) ⇒ f ( 1) + f ( 3) < 2 f ( 2 ) ⇔ 2 f ( 2 ) − f ( 1) − f ( 3) > 0 .
f ( 0 ) + f ( 1) − 2 f ( 2 ) = f ( 4 ) − f ( 3) ⇔ f ( 0 ) − f ( 4 ) = 2 f ( 2 ) − f ( 3) − f ( 1) > 0.

⇒ f ( 0) > f ( 4) .

Ta chọn đáp án A.
Bài 4. Cho hàm số y = f ( x )

y

có đồ thị hàm số

y = f ′ ( x ) như hình bên. Biết f ( a ) > 0 . Phương

a

trình f ( x ) = 0 có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?

A. 2 nghiệm.

B. 1 nghiệm.

C. 4 nghiệm.

D. 3 nghiệm.

b

O

c

x

Hướng dẫn:
Từ đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) ta có bảng biến thiên như sau:

c

b

c

a

a

b

Có f ( c ) − f ( a ) = ∫ f ' ( x ) dx = ∫ f ' ( x ) dx + ∫ f ' ( x ) dx < 0 ⇒ f ( c ) < f ( a ) . Do f ( a ) > 0 nên
f ( c ) > 0 : PT f ( x ) = 0 vô nghiệm.
f ( c ) = 0 : PT f ( x ) = 0 có 1 nghiệm.
f ( c ) < 0 : PT f ( x ) = 0 có 2 nghiệm.
Chọn đáp án A
Bài 5. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên ¡ , đồ thị

y

f ′( x)

hàm số y = f ′ ( x ) như trong hình vẽ bên, f ( a ) > 0
. Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f ( x )
?
A. 3 .

B. 5 .

C. 2.

D. 7 .
Hướng dẫn:
Trang 16

O

a

b

c

x


Sáng kiến kinh nghiệm

Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ

Từ đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) ta có bảng biến thiên như sau:

c

b

c

a

a

b

Ta có f ( c ) − f ( a ) = ∫ f ' ( x ) dx = ∫ f ' ( x ) dx + ∫ f ' ( x ) dx > 0 ⇒ f ( c ) > f ( a ) > 0
Đồ thị f ( x ) nằm trên trục Ox với mọi x ⇒ đồ thị f ( x ) cũng chính là đồ thị f ( x ) .
Chọn đáp án A
Bài 6. Người ta khảo sát gia tốc a ( t ) của một vật thể
chuyển động ( t là khoảng thời gian tính bằng giây
từ lúc vật thể chuyển động) từ giây thứ nhất đến

giây thứ 3 và ghi nhận được a ( t ) là một hàm số
liên tục có đồ thị như hình bên dưới. Hỏi trong thời
gian từ giây thứ nhất đến giây thứ 3 được khảo sát
đó, thời điểm nào vật thể có vận tốc lớn nhất?
A. giây thứ 2.
B. giây thứ nhất.
C. giây thứ 1,5.
D. giây thứ 3.
Hướng dẫn:
Từ đồ thị của hàm số y = a ( t ) ta có bảng biến thiên như sau:

Trang 17


Sáng kiến kinh nghiệm

Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ

Ta chọn đáp án A.
Bài 7. Cho các số thực a , b , c , d thỏa mãn 0 < a < b < c < d và hàm số y = f ( x ) . Biết
hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên [ 0; d ] . Khẳng định nào sau đây là khẳng định
đúng?
A. M + m = f ( 0 ) + f ( c ) .

y
a

B. M + m = f ( d ) + f ( c ) .

b

c d

x

O

C. M + m = f ( b ) + f ( a ) .
D. M + m = f ( 0 ) + f ( a ) .

Hướng dẫn:
Ta có bảng biến thiên:

So sánh f ( a ) ; f ( c ) .
c

b

c

a

a

b

b

a

b

0

0

a

Ta có f ( c ) − f ( a ) = ∫ f ' ( x ) dx = ∫ f ' ( x ) dx + ∫ f ' ( x ) dx < 0 ⇒ f ( c ) < f ( a ) ⇒ m = f ( c ) .
So sánh f ( 0 ) ; f ( b ) ; f ( d ) .
Ta có f ( b ) − f ( 0 ) = ∫ f ' ( x ) dx = ∫ f ' ( x ) dx + ∫ f ' ( x ) dx < 0 ⇒ f ( b ) < f ( 0 ) .
d

c

d

b

b

c

f ( d ) − f ( b ) = ∫ f ' ( x ) dx = ∫ f ' ( x ) dx + ∫ f ' ( x ) dx < 0 ⇒ f ( d ) < f ( b ) .
⇒ f ( d ) < f ( b ) < f ( 0) ⇒ M = f ( 0) .
Ta chọn đáp án A.

Trang 18

Sáng kiến kinh nghiệm

Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ

3.3. Dạng 3: Tìm khoảng đơn điệu, điểm cực trị, so sánh các giá trị của hàm số
y = f u ( x )  , y = kf ( x ) ± g ( x ) .
Bài 1. (Câu 39 đề minh hoạ 001 năm 2018) Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f '( x) có
đồ thị như hình bên. Hàm số y = g ( x ) = f (2 − x) đồng biến trên khoảng
A. ( 1;3)

B. ( 2; +∞ )

C. ( −2;1)

D. ( −∞; −2 )

Hướng dẫn:
 2 − x < −1
x > 3
⇔
Ta có g ' ( x ) = − f ' ( 2 − x ) > 0 ⇔ f ' ( 2 − x ) < 0 ⇔ 
1 < 2 − x < 4
1 > x > −2
Chọn đáp án C.
Bài 2. Cho hàm số y = f ( x ) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e , đồ thị hình bên là đồ thị của hàm số
y = f ' ( x ) . Xét hàm số g ( x ) = f ( x 2 − 2 ) . Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Hàm số g ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −∞; −2 ) .
B. Hàm số g ( x ) đồng biến trên khoảng ( 2; +∞ ) .
C. Hàm số g ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −1;0 ) .

D. Hàm số g ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0;2 ) .
Hướng dẫn:

Ta có: g '( x) = 2 x. f ' ( x − 2 )
2

 x 2 − 2 = −1  x = ±1
f '( x − 2) = 0 ⇔  2
⇔
x
−
2
=
2
 x = ±2

2

 x < −2
f '( x2 − 2) > 0 ⇔ x2 − 2 > 2 ⇔ x2 > 4 ⇔ 
x > 2
Từ đó ta có bảng xét dấu

Trang 19


Sáng kiến kinh nghiệm

Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ

Vậy, ta chọn đáp án C.
Bài 3. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ¡ thoả f ( 2 ) = f ( −2 ) = 0 và đồ thị của hàm
số y = f ' ( x ) có dạng như hình bên. Hàm số y = ( f ( x ) ) nghịch biến trên khoảng nào
2

trong các khoảng sau?
3

A.  −1; ÷.
2


B. ( −1;1) .

C. ( −2; −1) .

D. ( 1; 2 ) .
Hướng dẫn:

Ta có f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 1; x = ±2.
Lại theo giả thiết f ( 2 ) = f ( −2 ) = 0 .
Từ đó suy ra, ta có bảng biến thiên:

⇒ f ( x ) < 0; ∀x ≠ ±2.
Xét y = ( f ( x ) ) ⇒ y ' = 2 f ( x ) . f ' ( x )
2

 f ( x) = 0
 x = ±2
y' = 0 ⇔ 

⇔
 x = 1; x = ±2
 f ' ( x ) = 0
Bảng xét dấu :

Trang 20


Sáng kiến kinh nghiệm

Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ

Chọn đáp án D.
Bài 4. (Câu 48-đề 102-THPTQG 2017-2018)Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị của hàm số
y = f ′ ( x ) như hình bên. Đặt g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x + 1) 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. g ( 3) > g ( −3) > g ( 1) .

y
4

B. g ( −3) > g ( 3) > g ( 1) .
C. g ( 1) > g ( −3) > g ( 3) .

−3

D. g ( 1) > g ( 3) > g ( −3) .

O 1
−2

Hướng dẫn:
Ta có: g ' ( x ) = 2 f ' ( x ) − 2 ( x + 1) = 2  f ' ( x ) − ( x + 1) 
Ta vẽ đường thẳng y = x + 1 .
Khi đó, trên khoảng ( −3;1) đồ thị f ' ( x ) nằm trên đường
thẳng

y = x + 1 , suy ra

2

f ' ( x ) > x + 1, ∀x ∈ ( −3;1)

hay

g ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( −3;1) .
Tương tự , ta cũng có g ' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( 1;3) .
Từ đó ta có bảng biến thiên

Vậy, g ( 1) lớn nhất.
Ngồi cách đó, ta cũng có thể chỉ ra g ( 1) lớn nhất như sau :
1

1

−3

−3

g ( 1) − g ( −3) = ∫ g' ( x ) dx = 2 ∫  f ' ( x ) − ( x + 1) dx > 0 ⇒ g ( 1) > g ( −3) .

Trang 21

3

x


Sáng kiến kinh nghiệm

Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ

3

3

1

1

g ( 3) − g ( 1) = ∫ g' ( x ) dx = 2 ∫  f ' ( x ) − ( x + 1) dx < 0 ⇒ g ( 3) < g ( 1) .
Để so sánh g ( −3) và g ( 3) , ta có:
3

3

g ( 3) − g ( −3) = ∫ g' ( x ) dx = 2 ∫  f ' ( x ) − ( x + 1) dx
−3

−3

1

3

−3

1

= 2 ∫  f ' ( x ) − ( x + 1) dx + 2 ∫  f ' ( x ) − ( x + 1) dx
= 2 S1 − 2 S 2 > 0

⇒ g ( 3) > g ( −3) .
Như vậy. ta có: g ( 1) > g ( 3) > g ( −3) . Ta chọn đáp án D.
Bài 5. (Câu 46-đề 103-THPTQG 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị của hàm số
y = f ′ ( x ) như hình vẽ. Đặt g ( x ) = 2 f ( x ) + x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. g ( 3) < g ( −3) < g ( 1) .
B. g ( 1) < g ( 3) < g ( −3) .
C. g ( 1) < g ( −3) < g ( 3) .
D. g ( −3) < g ( 3) < g ( 1) .
Hướng dẫn:
Ta có: g ' ( x ) = 2 f ' ( x ) + 2 x = 2  f ' ( x ) + x  ⇒ − g ' ( x ) = 2  − x − f ' ( x ) 
Ta vẽ đường thẳng y = − x . Tương tự như bài 4 ta có:
1

1

−3

−3

g ( −3) − g ( 1) = − ∫ g ' ( x ) dx = 2 ∫  − x − f ' ( x )  dx > 0
⇒ g ( −3) > g ( 1) .
3

3

1

1

g ( 1) − g ( 3) = − ∫ g ' ( x ) dx = 2 ∫  − x − f ' ( x )  dx < 0
⇒ g ( 3) > g ( 1) .

3

1

3

−3

−3

1

g ( −3) − g ( 3) = − ∫ g' ( x ) dx = 2 ∫  − x − f ' ( x ) dx + 2 ∫  − x − f ' ( x ) dx = 2S1 − 2S 2 > 0
⇒ g ( −3) > g ( 3) .

Như vậy ta có: g ( 1) < g ( 3) < g ( −3) . Ta chọn đáp án B.

Trang 22


Sáng kiến kinh nghiệm

Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ

Bài 6. Cho hàm số y = f ( x ) và đồ thị hình bên là đồ
thị của hàm f ' ( x ) . Hỏi đồ thị của hàm số
g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x − 1)

2

có tối đa bao nhiêu điểm

cực trị?
A. 9.

B. 11.

C. 8.

D.7.

Hướng dẫn:
Đặt h ( x ) = 2 f ( x ) − ( x − 1)

2

⇒ h ' ( x ) = 2 f ' ( x ) − 2 ( x − 1) .

Ta vẽ thêm đường thẳng y = x − 1 .
Ta có h ' ( x ) = 0 ⇔ f ' ( x ) = x − 1
⇔ x = 0; x = 1; x = 2; x = 3; x = a ( a ∈ ( 1;2 ) )

Theo đồ thị h ' ( x ) > 0 ⇔ f ' ( x ) > x − 1 ⇔ x ∈ ( 0;1) ∪ ( a;2 ) ∪ ( 3; +∞ ) .
Lập bảng biến thiên của hàm số h ( x ) .

Đồ thị hàm số g ( x ) có nhiều điểm cực trị nhất khi h ( x ) có nhiều giao điểm với trục hồnh
nhất, vậy đồ thị hàm số h ( x ) cắt trục hoành tại nhiều nhất 6 điểm, suy ra đồ thị hàm số
g ( x ) có tối đa 11 điểm cực trị. Ta chọn đáp án B.
3.4. Dạng 4: Liên quan đến đồ thị của hàm số y = f ( x ) ; y = f ' ( x ) ; y = f '' ( x ) .
Phương pháp: sử dụng 1 trong 2 phương pháp hoặc kết hợp cả 2 phương pháp.
PP1: Đồ thị hàm số f ' ( x ) cắt trục hoành tại những điểm là các điểm cực trị của đồ thị hàm
số f ( x ) .
PP2: Tìm giao điểm của các đồ thị hàm số với trục hồnh (nếu có). Sau đó dựa vào tính chất
sau.
Trang 23


Sáng kiến kinh nghiệm

Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ

f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ K ⇒ f ( x ) tăng trên K .
f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ K ⇒ f ( x ) giảm trên K .
Minh hoạ bằng hàm số y = sin x .

Bài 1. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên
¡ , sao cho đồ thị hàm số y = f ' ( x ) là parabol có
dạng như trong hình bên. Hỏi đồ thị của hàm số

y = f ( x ) có đồ thị nào trong bốn đáp án sau?

Hướng dẫn:
Ta chọn đáp án B.
Bài 2. Cho đồ thị của ba hàm số y = f ( x ) , y = f ′ ( x ) ,
y = f ′′ ( x ) được vẽ mô tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị
các hàm số y = f ( x ) , y = f ′ ( x ) và y = f ′′ ( x ) theo
thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào ?
A. ( a ) , ( b ) , ( c ) .

B. ( b ) , ( a ) , ( c ) .

C. ( a ) , ( c ) , ( b ) .

D. ( b ) , ( c ) , ( a ) .
Hướng dẫn:
Trang 24


Sáng kiến kinh nghiệm

Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ

Dựa vào phương pháp 1 có hai khả năng: ( a ) ; ( c ) ; ( b ) hoặc ( b ) ; ( c ) ; ( a ) . Quan sát đồ
thị ta thấy ứng với các khoảng mà đồ thị ( b ) nằm trên trục hồnh thì đồ thị ( c ) “đi lên” và
ngược lại; còn ứng với các khoảng mà đồ thị ( c ) nằm trên trục hồnh thì đồ thị ( a ) “đi lên”
và ngược lại.
Ta chọn đáp án C.
Bài 3. Cho đồ thị của ba hàm số y = f ( x ) ,
y = f ′ ( x ) , y = f ′′ ( x ) được vẽ mơ tả ở hình

dưới đây. Hỏi đồ thị các hàm số y = f ( x ) ,
y = f ′ ( x ) và y = f ′′ ( x ) theo thứ tự, lần
lượt tương ứng với đường cong nào ?
A. ( C3 ) ; ( C2 ) ; ( C1 ) .

B. ( C2 ) ; ( C1 ) ; ( C3 ) .

C. ( C2 ) ; ( C3 ) ; ( C1 ) .

D. ( C1 ) ; ( C3 ) ; ( C2 ) .
Hướng dẫn:

Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị ( C1 ) cắt trục Ox tại 2 điểm là 2 điểm cực trị của của đồ thị
hàm số ( C2 ) ; đồ thị ( C3 ) cắt trục Ox tại 2 điểm là 2 điểm cực trị của của đồ thị hàm số

( C1 ) . Ta chọn đáp án B.
Bài 4. Cho 3 hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) = f ′ ( x ) , y = h ( x ) = g ′ ( x ) có đồ thị là 3 đường
cong trong hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. g ( −1) > h ( −1) > f ( −1) .

y

B. h ( −1) > g ( −1) > f ( −1) .
C. h ( −1) > f ( −1) > g ( −1) .
D. f ( −1) > g ( −1) > h ( −1) .

x
−2

Hướng dẫn:

−1 −0,5 O 0,5 1

( 3)

Trang 25

1,5 2

( 2 ) ( 1)