Bài tập tích phân bất địnhGiải tích 1Đại học Quốc Gia

Bài tập chương 3 - phần 2
Ngày 15 tháng 3 năm 2022

1

Bài tập 1
(i) Hãy chứng minh dựa trên phương pháp truy hồi
ˆ

1
du
u
= 2
+ (2n − 3)
2
2
n
2
(a ± u )
2a (n − 1) (a ± u2 )n−1
ˆ

(ii) Áp dụng để tính tích phân:

(x2

ˆ
(a2

du
,

± u2 )n−1

n ̸= 1.

x+1
dx.
+ x + 1)2

Lời giải:
(i)


u

dv


2nx
1

du = −
= 2
(x + a2 )n ⇒
(x2 + a2 )n+1

v
= dv
=x

Ta có

In =
Ta tính
ˆ

x2
dx =
(x2 + a2 )n+1

x
+ 2n
2
(x + a2 )n

ˆ

ˆ

x2
dx
(x2 + a2 )n+1

(x2 + a2 ) − a2
dx =
(x2 + a2 )n+1

= In − a2 In+1

1

ˆ

dx
− a2
(x2 + a2 )n

ˆ

dx
(x2 + a2 )n+1


Do đó
In =
=

x
(x+ a2 )n
(x2

+ 2n(In − a2 In+1 )

x
+ 2n(In − 2na2 In+1 )
+ a2 )n

Vậy
In+1 =

x
2na2 (x2

+

a2 )n

+

2n − 1
In
2na2

Với
ˆ
I1 =

x2

dx
1
x
= arctan ⇒ I2 , I3 , ..., In
2
+a
a
a

Vậy
ˆ

1

du
u
= 2
+ (2n − 3)
2
2
n
2
(a ± u )
2a (n − 1) (a ± u2 )n+1

ˆ
(a2

du
± u2 )n−1

(i)
ˆ

1
x+1
dx =
2
2
(x + x + 1)
2

=−

ˆ

1
2x + 1
dx +
2
2
(x + x + 1)
2

1
1
1
+
2
2x +x+1 2

1
1
1
=− 2
+
2x +x+1 3

ˆ

1
√
1 2
3 2

(x + ) + (
) )
2
2

ˆ

1
√
1 2
3 2
(x + ) + (
) )
2
2
x+

1
2

1
(x + )2 +
2
1
x+
1
1
1
2
=− 2

+
2x +x+1 3
1 2
(x + ) +
2

2

3
4

2

1
+
2

ˆ

√
3
4

2

+

2 dx

2 dx

dx
1 2 3
(x + ) +
2
4

3
2x + 1
arctan √
+C
3
3


2

Bài tập 2
Cho phân thức hữu tỉ sau
h(x) =

f (x)
4x3 − 18x2 + 22x − 6
= 4
.
g(x)
x − 6x3 + 11x2 − 6x

(i) Nhân tử hóa (factor) g(x) thành các nhân tử tuyến tính (linear factor).
(ii) Sử dụng phương pháp Heaviside để khai triển phân thức H(x) thành các

phân thức hữu tỉ đơn giản (partial fractions).
ˆ
(iii) Tính tích phân I = h(x) dx.
Lời giải:
(i)
g(x) = x4 − 6x3 + 11x2 − 6x = x(x − 1)(x − 2)(x − 3)
(ii)
h(x) =

f (x)
4x3 − 18x2 + 22x − 6
4x3 − 18x2 + 22x − 6
1
1
1
1
= 4
=
= +
+
+
g(x)
x − 6x3 + 11x2 − 6x
x(x − 1)(x − 2)(x − 3)
x x−1 x−2 x−3

(iii)
ˆ

ˆ

h(x) =

3

1
1
1
1
+
+
+
= ln |x| + ln |x − 1| + ln |x − 2| + ln |x − 3| + c
x x−1 x−2 x−3

Bài tập 3
Cho phân thức hữu tỉ sau:
H(x) =

x6 + 5x5 + 12x4 + 18x3 + 19x2 + 12x + 4
.
x6 + 4x5 + 8x4 + 10x3 + 8x2 + 4x + 1

(i) Chia đa thức tử cho đa thức mẫu.
(ii) Khai triển phân thức H(x) thành các phân thức hữu tỉ đơn giản (partial
fractions).
(iii) Tính tích phân I =

ˆ
H(x) dx.
3

Lời giải:
(i)
H(x) =

x5 + 4x4 + 8x3 + 11x2 + 8x + 3
x6 + 5x5 + 12x4 + 18x3 + 19x2 + 12x + 4
=
1
+
x6 + 4x5 + 8x4 + 10x3 + 8x2 + 4x + 1
x6 + 4x5 + 8x4 + 10x3 + 8x2 + 4x + 1

(ii)
x6 + 4x5 + 8x4 + 10x3 + 8x2 + 4x + 1 = (x + 1)2 (x2 + x + 1)2
(iii)
ˆ

ˆ

ˆ 5
x + 4x4 + 8x3 + 11x2 + 8x + 3
x5 + 4x4 + 8x3 + 11x2 + 8x + 3
=
6
5
4
3
2

x + 4x + 8x + 10x + 8x + 4x + 1
(x + 1)2 (x2 + x + 1)2
ˆ
A
B
Cx + D
Ex + F
= 1+
+
+ 2
+ 2
2
x + 1 (x + 1)
x + x + 1 (x + x + 1)2



A =1





B = 1




C = 0
⇒


D = 0






E =1




F = 1
ˆ
A
B
Cx + D
Ex + F
⇒ 1+
+
+ 2
+
x + 1 (x + 1)2
x + x + 1 (x2 + x + 1)2
ˆ
1
x+1
1
+

+ 2
= 1+
x + 1 (x + 1)2
(x + x + 1)2
1
ˆ
ˆ
d(x + )
1
1
d(x2 + x + 1) 1
2
= x + ln |x + 1| −
+
+
2
x+1 2
(x2 + x + 1)2
2
1 2 3
(x + ) +
2
4


1
√
x
+
1

1
2
2 + 2 3 arctan 2x√+ 1 
= x + ln |x + 1| −
−
+ 
+c
x + 1 x2 + x + 1 3 x2 + x + 1
3
3

H(x) =

4


4

Bài tập 4
(i) Bằng cách đổi biến x = a sin t, hãy chứng minh
ˆ
√

x
dx
= arcsin + C.
2
a
−x

a2

(ii) Áp dụng kết quả trên và sử dụng tích phân từng phần để chứng minh
ˆ
a2 − x2 dx =

1
x
x a2 − x2 + a2 arcsin
+ C.
2
a

Lời giải:
(i)
x = a sin t ⇒ dx = a cos tdt, t = arcsin

x
a

Sử dụng hệ thức sin2 t + cos2 t = 1
ˆ
⇒

5

dx
√
=
2

a − x2

ˆ

ˆ

a cos tdt
a2

−

a2

2

sin t

=

x
a cos tdt
= t + c = arcsin + c
a cos t
a

Bài tập 5
Sử dụng phép thế Euler thứ nhất (Euler’s first substitution)
1. Từ phép đổi biến:

√

√
ax2 + bx + c = ±x a+t, hãy dẫn ra x =

c − t2
√
.
±2t a − b

2. Với cách đổi biến trên, hãy tính các tích phân sau
ˆ
dx
√
(i)
.
x2 + c
ˆ
dx
√
(ii)
.
2
x x + 4x − 4
Lời giải:
1.
√
√
ax2 + bx + c = ±x a + t ⇒ ax2 + bx + c = x2 a ± 2xt a + t2
√
bx + c = ±2xt a + t2 ⇒ x =

5

c − t2
√
±2t a − b


2.

(i)
ˆ
√

dx
x2 + c
x2 + c = x + t ⇒ x2 + c = x2 + 2xt + t2 ⇒ x =
1
⇒ dx = − dt
2
ˆ
ˆ
1
dx
√
= −
⇒
2
2
x +c

c − t2
1
2t +
= − ln √
2
c

6

c − t2
2t

dt
(

c+(

c − t2 2
) +c
2t

c − t2 2
)
1
x
2t
= − ln √ +
c
2
c

c + x2
c

Bài tập 6
Sử dụng phép thế Euler thứ hai (Euler’s second substitution)
1. Từ phép đổi biến:

√

ax2

+ bx + c = xt ±

√

√
±2t c − b
c, hãy dẫn ra x =
.
a − t2

2. Với cách đổi biến trên, hãy tính các tích phân sau
ˆ
dx
√
(i)
.
x −x2 + x + 2
ˆ √ 2

c − x2
(ii)
dx.
x
Lời giải:
1.
ax2 + bx + c = xt ±
√
±2t c − b
⇒x=
a − t2

√

√
√
c ⇒ ax2 + bx + c = x2 t2 ± 2xt c + c ⇒ (a − t2 )x2 + x(b ± 2t c) = 0

6


2.

(i)
√
1 + 2t 2
+ x + 2 = xt − 2 ⇒ −x + x + 2 = x t − 2 2xt + 2 ⇒ x =
1 + t2
√
√ 2

2 2 − 2 2t + 2t
⇒ dx =
dt
(1 + t2 )2
√
√
√
t2 2 + t − 2
−x2 + x + 2 = xt − 2 =
t2 + 1
√
√
√
√
(1 + 2t 2)(t2 2 + t − 2)
2
⇒ x −x + x + 2 = x(xt − 2) =
(t2 + 1)2
√
ˆ
ˆ
ˆ
dx
−1
d(1 + 2t 2)
−2
√ dt = √
√
√
⇒

=
1 + 2t 2
2
1 + 2t 2
x −x2 + x + 2
√
√
− 2
=
ln |1 + 2t 2| + c
2
√
√
√
√
− 2
−x2 + x + 2 + 2
ln 1 + 2 2
+c
=
2
x
√

−x2

2

2 2

√

(ii)
ˆ √

c2 − x2
dx
x

c2 − x2 = xt − c ⇒ x =
⇒ dx =

2tc
4t2 c2
⇒ x2 =
2
1+t
(1 + t2 )2

−2t2 c + 2c
dt
(1 + t2 )2

c2 − x2 = xt − c =

2t2 c
c(t2 − 1)
−c= 2
2
1+t

t +1

t2 − 1
xt − c
=
x
2t
ˆ √ 2
ˆ
ˆ 4
ˆ
ˆ
c − x2
(t2 − 1)2
t − 2t2 + 1
1
2d(t2 + 1)
=
c
=
c(
⇒
dx = c
dt
−
x
t(t2 + 1)2
t(t2 + 1)2
t
(t2 + 1)2

√
2
−x2 + c2 + c
2c

= c(ln |t| + 2
+ c) = c ln
+ √
2
t +1
c
2
2
−x + c + c

+ 1
x

⇒

7

Bài tập 7
Sử dụng phép thế Euler thứ ba (Euler’s third substitution)

7


1. Giả sử đa thức ax2 + bx + c có 2 nghiệm thực α và β.
√

aβ − αt2
Từ phép đổi biến: ax2 + bx + c = (x − α)t, hãy dẫn ra x =
.
a − t2
2. Với cách đổi biến trên, hãy tính các tích phân sau
ˆ
dx
√
(i)
dx.
2
x + 3x − 4
ˆ
x2
√
(ii)
dx.
−x2 + 3x − 2
Lời giải:
1.
ax2 + bx + c = (x − α)t ⇒ ax2 + bx + c = (x − α)2 t2
⇔ (x − α)(ax − aβ) = (x − α)2 t2
⇔ (ax − aβ) = (x − α)t2
⇔x=
2.

aβ − αt2
a − t2

(i)

ˆ
√

1
dx
x2 + 3x − 4

x2 + 3x − 4 = (x − 1)t ⇒ x2 + 3x − 4 = (x − 1)2 t2
⇒ (x − 1)(x + 4) = (x − 1)2 t2 ⇒ x =

−4 − t2
1 − t2

−10t
⇒ dx =
dt
(1 − t2 )2
ˆ
ˆ
2
1
√
dx =
dt = ln |x + 1| + ln |x − 1| + c
⇒
2
1 − t2
x + 3x − 4
(ii)
ˆ

√

x2
dx
−x2 + 3x − 2

−t2 + 2
2t
−x2 + 3x − 2 = (x − 1)t ⇒ x =
⇒ dx =
dt
1 − t2
(1 − t2 )2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
x2
(−t2 + 2)2
1
2t − 3
√
⇒
dx = 2
dt = 2
−2
2 )3
2
2
(1

−
t
1
−
t
(1
− t2 )3
−x + 3x − 2
= ln |x + 1| + ln |x − 1|−
8


8

Bài tập 8

Khơng sử dụng phép thế Euler, hãy tính các tính phân sau:
ˆ
dx
√
(i)
.
x2 + x + 1
ˆ
x+1
√
(ii)
dx.
x2 + x + 1
ˆ

x2 + 1
√
dx.
(iii)
x2 + x + 1
Lời giải:
(i)
ˆ
√

dx
=
2
x +x+1

ˆ

dx
1
= ln |x + +
2
3
1
(x+ )2 +
2
4

1
3
(x + )2 + + c|

2
4

(ii)
ˆ
√

1
x+1
dx =
2
2
x +x+1
1
=
2

=

ˆ
√
ˆ

1
2x + 1
+
2
2
x +x+1

ˆ

d(x2 + x + 1) 1
√
+
2
x2 + x + 1

x2 + x + 1 +

9

√
ˆ

1
1
ln |x +
2
2

dx
+x+1
1
d(x + )
2
1 2 3
(x + ) +
2
4

x2

1
3
(x + )2 + | + c
2
4