Bài giảng phép tính vi tích phân hàm một biến đại học quốc gia hồ chí minh

1
BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK

BGĐT –TOÁN 1
PHÉP TÍNH VI –TÍCH PHÂN HÀM
MỘT BIẾN
TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006)
2
ĐỀ CƯƠNG

80Ứngdụngtíchphân8
328Tổngcộng
30Tíchphân7
86Khảosáthàmsố6
41KhaitriểnTaylor –Mac Laurint5
21Đạohàm4
19Hàmsố-Hàmsơcấp–Tínhliêntục3
31Giớihạnhàmsố2
20Dãysốvàgiớihạndãysố1
SỐSLIDENỘI DUNGSTT
Mônhọc: Toán1 MSMH: 006038 Số tínchỉ: 2
Thờilượngtrênlớp: 3 tiết/tuầnx 14 = 42 tiết/Họckỳ
3
GIÁO TRÌNH

Giáotrình:
1/ Giảitíchhàmmộtbiến-BM Toán ứngdụng– ĐHBK
2/ Giảitíchhàmmộtbiến–TácGiả: Đỗ CôngKhanh
3/ Toánhọccaocấp(Tậphai) -Nguyễn ĐìnhTrí(chủ biên)
Ý kiến đónggópxingửivề:
Địachỉ Website: />Trongquátrìnhthựchiệnbàigiảng, tácgiảđãthamkhảobài

giảngCalculus 1 (TiếngAnh, GS. NguyễnHữuAnh) vàbài
giảngToán1 (GVC. NgôThu Lương). Xinchânthànhcảmơn.
1
BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK

BGĐT –TOÁN 1
BÀI 1: DÃY SỐ & GIỚI HẠN
TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006)
2
NỘI DUNG

1- Khái niệm dãy số. Ba cách xác định dãy số
2- Ý tưởng giới hạn dãy số
3- Định nghĩa giới hạn dãy số. Dãy hội tụ, phân kỳ
4- Tính chất của giới hạn dãy số
5- Phương pháp tìm giới hạn dãy số. Định lý kẹp
6- Dãy đơn điệu. Tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn. Số e
7- Dãy con. Tiêu chuẩn phân kỳ
3
1. KHÁI NIỆM DÃY SỐ

Dãy số {x
n
}: Tập hợp các số đánh số thứ tự liên tiếp nhau:
x
1
, x
2
…x
n

…x
1
: số hạng thứ 1, …, x
n
: số hạng tổng quát.
VD: Dãy các số tự nhiên 1, 2, 3, …, n , … Þ Số hạng tổng
quát: x
n
= n với n ³ 1.
VD: Dãy nghịch đảo các số tự nhiên 1, 1/2, 1/3, …, 1/n , …
Þ Số hạng tổng quát: x
n
= 1/n, n ³ 1.
VD: Dãy 1, –1, 1, –1 … Þ Số hạng tổng quát: x
n
= (–1)
n –1
,
n ³ 1 (hoặc x
n
= (–1)
n
, n ³ 0: Cóthể đánh số lại dãy số!)
Dãy số cósốhạng đầu tiên, nhưng không cósốhạng chót!
4
1. BA CÁCH XÁC ĐỊNH DÃY SỐ

Mô tả (bằng lời): Đặc tính các số
hạng của dãy. VD: Dãy số tự
nhiên, dãy số chẵn, số lẻ …

Công thức (biểu thức số hạng
tổng quát): x
n
= f(n) : N ® R. VD:
x
n
= n
2
Þ Dãy số chính phương
Truy hồi: x
n
(số hạng đứng sau)
được tính bởi x
n –1
(số hạng
đứng trước). VD:
1
2
-
+
=
nn
xx
Dãy số {x
n
} có
thể được xác
định bởi 3 cách:
5
1. VÍDỤ

Các vídụdãy số được xác định hoặc bằng cách đưa ra
công thức tổng quát, hoặc viết ra vài số hạng của dãy
{ } { }
þ
ý
ü
î
í
ì
³=
þ
ý
ü
î
í
ì
-³-=-
þ
ý
ü
î
í
ì
+-

+-
=
þ
ý

ü
î
í
ì
+-
þ
ý
ü
î
í
ì
++
=
þ
ý
ü
î
í
ì
+
¥
=
¥
=
¥
=
LL
LL
LL
LL

,
6
π
cos,,0,
2
1
,
2
3
,10,
6
π
cos
6
π
cos
,3,,3,2,1,03,33
,
3
)1()1(
,,
27
4
,
9
3
,
3
2
3

)1()1(
3
)1()1(
,
1
,,
4
3
,
3
2
,
2
1
11
0
3
1
n
n
n
a
n
nnnan
nn
a
n
n
n
n

n
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
6
1. VD DÃY XÁC ĐỊNH QUA MÔ TẢ & DÃY TRUY HỒI

Dãy số cóthể được xác định qua cách mô tả (bằng lời):
(a) Dãy {s
n
}, với s
n
–dân số của Việt Nam vào năm thứ n
(b) Ký hiệu c
n
–chữ số thập phân thứ n sau dấu phẩy
của số pÞDãy {c

n
} = {1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 4 …}
Dãy số xác định theo kiểu truy hồi: Dãy Fibonacci với
công thức truy hồi:
f
1
= 1 f
2
= 1 f
n
= f
n-1
+ f
n-2
n ³ 3
{f
n
} = {1,1,2,3,5,8,13,21,…}
7
2. Ý TƯỞNG: GIỚI HẠN DÃY SỐ

Bằng máy tính, lập bảng giátrị các số hạng của 2 dãy số:
1
2
/
2
2
+
=
n

n
xa
n
(
)
2
1
2
1
/
n
yb
n
n
-
+=
0.56250.48484
0.460.49025
0.38890.47373
0.750.44442
–0.5 0.33331
y
n
x
n
n
1
x
2
x

3
x
4
x
5
x
5
.
0
5
.
0
1
y
2
y
3
y
4
y
5
y
Khi n tăng, số hạng x
n
(vày
n
)
ngày càng tiến sát đến L = 0.5
theo nghĩa: Khoảng cách |x
n

–L|
sẽ rất bénếu chọn n đủ lớn
8
2. NGƠN NGỮ GIẢI TÍCH: e – N
0

4 :95.401.0/
0
=
>
Û
=
<
-
NnLxa
n
Chọn
e
VD trước: Þ=
+
=
2
1
,
1
2
2
2
L
n

n
x
n
( )
122
1
2
1
12
22
2
+
=-
+
=-
nn
n
Lx
n
?/
0
=
Þ
Nc
bất kỳ
e
?
001
.
0

/
0
=
Þ
=
N
b
e
15
001
.
0
0
=
Þ
=
N
e
Trả lời:
Ngơn ngữ Giải tích: Khoảng cách |x
n
–L| rất bénếu n đủ lớn
· |x
n
–L| rất bé Û"e > 0 sẽ có|x
n
–L| < e (n thỏa đk nào đó)
· n đủ lớn Û Tìm được số tự nhiên N
0
& chỉ xétn > N

0
a) nhất lớn nguyên số [a] :thích (Giải £-
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ư
ç
è
ỉ
-= 1
2
1
2
1
0
e
N
ĐS:
9
3. ĐỊNH NGHĨA GIỚI HẠN DÃY SỐ THỰC

Kyùhieäu:
L
x
n

n
=
¥
®
lim
L
e
-
L
e
+
L
1
x
1000
x
2
0
+N
x
1
0
+N
x
Vídụ: Câu (c) vídụ trước cho phép thiết lập:
2
1
1
2
lim

2
2
=
+
¥®
n
n
n
Nhận xét:
e
e
e
e
e
+
<
<
-
Û
<
-
<
-
Û
<
-
LxLLxLx
nnn
Û Số hạng x
n

(kể từ n > N
0
) Î đoạn [L – e, L + e] ® Minh họa:
00
:,0lim NnLxNLx
nn
n
>
"
<
-
$
>
"
Û
=
¥
®
e
e
Định nghĩa:Dãy số {x
n
} tiến đến L (hoặc cógiới hạn làL):
Khi dãy số tiến đến L: ta nói dãy hội tụ (vàcógiới hạn làL)
Trường hợp ngược lại: ta nói dãy phân kỳ
10
3. MINH HỌA HÌNH HỌC DÃY HỘI TỤ

Biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ các điểm (n, x
n

) với dãy
số {x
n
} cógiới hạn bằng L
L
{x
n
} ® L Û Điểm (n, x
n
) tiệm cận đường y = L (nằm ngang)
11
3. MINH HỌA HÌNH HỌC DÃY PHÂN KỲ

Biểu diễn trên mặt phẳng các điểm (n, x
n
) với x
n
= (–1)
n
.
Từ đókết luận về bản chất hội tụ hoặc phân kỳ của dãy
Vô số số hạng của dãy = 1 và= –1 Þ Dãy không tiến đến
giátrị L nào Þ Phân kỳ!
12
3. GIỚI HẠN VÔ CÙNG –DÃY BỊ CHẶN

Khi x
n
®±¥ (xem định nghĩa dưới), ta nói dãy {x
n

} cógiới
hạn vô cùng. Nhưng Giới hạn vô cùng vẫn làphân kỳ!
00
:
,
lim
N
n
M
x
N
M
x
nn
n
>
"
>
$
"
Û
¥
=
¥
®
00
:
,
lim
N

n
M
x
N
M
x
nn
n
>
"
<
$
"
Û
-¥
=
¥
®
Dãy {x
n
}: bị chặn trên Û$M: x
n
< M "n. {x
n
}: bị chặn dưới
Û$m: x
n
> m "n. {x
n
} bị chặn Û Bị chặn trên lẫn dưới.

VD: Dãy x
n
= 1/n chặn trên bởi 1 và dưới bởi 0 Þ Bị chặn!
Hiển nhiên ta có: Dãy bị chặn Þ Không có giới hạn vô cùng
13
4. PHẫP TON & TNH CHT CA GII HN

Nu {x
n
}, {y
n
} lcỏc dóy s hi t v a, b lhng s thỡ:
(
)
( )
[ ]
00limlim
0lim
lim
lim
lim
limlimlim
lim
lim
lim
>>=
ạ=
ì=
+
=

+
Ơ
đ
Ơ
đ
Ơđ
Ơđ
Ơđ
Ơđ
ƠđƠđƠđ
ƠđƠđƠđ
n
p
n
n
p
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n

n
nn
n
n
n
n
n
nn
n
xpxx
y
y
x
y
x
yxyx
y
b
x
a
by
ax
vaứ neỏu
neỏu
f: hm s cp ị f(lim x
n
) = lim f(x
n
). VD:
n

nn
x
x
n
ee
Ơđ
=
Ơ
đ
lim
lim
Dóy hi t ị B chn. (ĩ): Sai! $ dóy b chn nhng phõn k
14
4. LIấN H GIA GII HN DY VGII HN HM

Nu
(
)
L
x
f
x
=
Ơ
đ
lim
.
lim
L
a

n
n
=
Ơ
đ
vdóy {a
n
} cúa
n
= f(n) " n ị
Nh vy, khi tỡm gii hn dóy s, ta cúth thay n bng x:
(
)
(
)

f(n))

daùng
ụỷ

a

khi
duứng

chổ
n
(
lim

lim
lim
L
x
f
n
f
a
x
n
n
n
=
=
=
Ơ
đ
Ơ
đ
Ơ
đ
p dng: Vỡ
0,0
1
lim >=
Ơđ
r
x
r
x

ị Vy ta cú
0,0
1
lim >=
Ơđ
r
n
r
n
15
5. PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN

Chuyển về các giới hạn cơ bản & thay vào biểu thức cần tính
giới hạn (nếu giátrị biểu thức xác định)
ï
î
ï
í
ì
=Þ<<
¥=Þ>
¥®
¥®
0lim10
lim1
n
n
n
n
aa

aa
ï
î
ï
í
ì
=Þ<
¥=Þ>
¥®
¥®
0lim0
lim0
a
a
a
a
n
n
n
n
Hàm mũ: Lũy thừa:
VD: Tính các giới hạn:
1
12
lim/
2
2
-
+
¥®

n
n
a
n
nn
nn
n
b
3
5
2
25
lim/
+
×
-
¥®
Giải:
(
)
( )
(
)
( )
2
1lim1
1lim2
11
12
lim/

2
2
22
22
=
-
+
=
-
+
¥
®
¥®
¥®
n
n
nn
nn
a
n
n
n
(
)
(
)
( )
(
)
2

1
5325
5215
lim/ =
+
-
¥®
n
n
n
n
n
b
VD: Tìm
n
n
n
1
sinlim
¥®
Giải:
1
sin
lim1
1
sinlim
0
01
==
®

®
=
¥®
x
x
n
n
x
nx
n
16
5. TIấU CHUN 3 DY KP

Cho 3 dóy {x
n
}, {y
n
}, {z
n
}
ù
ợ
ù
ớ
ỡ
==

"
Ê
Ê

Ơ
đ
Ơ
đ
azx
Nnzyx
n
n
n
n
nnn
limlim
0
a
y
y
n
n
n
n
=
$
ị
Ơ
đ
Ơ
đ
lim
&
lim

n
n
n
z
y
x
Ê
Ê
a
H qu (hay s dng):
0lim0lim
=
ị
=
Ơ
đ
Ơ
đ
n
n
n
n
xx
VD: Tỡm cỏc gii hn
n
n
n
c
ữ
ứ

ử
ỗ
ố
ổ
Ơđ
10
lim/
n
n
n
n
b
!
lim/
Ơđ
(
)
n
a
n
n
1
lim/
-
Ơđ
Gii:
(
)
(
)

0
1
lim.0
1
lim
1
lim/ =
-
ị==
-
ƠđƠđƠđ
nnn
a
n
nn
n
n
quaỷ Tửứ heọ
0
!
lim0
1
2
1
!
0/ =ịđ<
ì
ì
=<
Ơđ

n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
K
K
20
2
110
/ >"
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
<
ữ
ứ
ử
ỗ

ố
ổ
n
n
c
nn
17
6. DÃY ĐƠN ĐIỆU

VD: Khảo sát tính đơn điệu của dãy
3
2
+
=
n
x
n
Giải: Dãy giảm do (hoặc xét x
n
–x
n+1
):
1
4
2
3
2
+
=
+

>
+
=
nn
x
n
n
x
Cách 2:
()
( )
() (
)
10
3
2
':1,
3
2
2
+>Þ¯Þ<
+
-
=³
+
= nfnff
x
fx
x
xf

Dãy số {x
n
} được gọi là tăng khi x
n
< x
n+1
với mọi n ³ 1, và
giảm nếu x
n
> x
n+1
với mọi n ³ 1. Dãy tăng vàdãy giảm
được gọi chung là dãy đơn điệu.
Dãy tăng được viết ở dạng: x
1
< x
2
< x
3
< …< x
n
< x
n+1
< …
Dãy giảm được viết ở dạng: x
1
> x
2
> x
3

> …> x
n
> x
n+1
> …
18
6. TIấU CHUN DY N IU B CHN

Tiờu chun Weirstrass: Dóy tng & chn trờn thỡhi t
Dóy gim & chn di thỡhi t
ồ
=
=++++=
n
k
n
k
n
x
1
2222
11
3
1
2
1
1 L
VD: Kho sỏt tớnh hi t ca
Gii: Bc 1: Tớnh n iu
( )

nnn
x
n
xx >
+
+=
+
2
1
1
1
ị Dóy tng
Bc 2: Dóy b chn trờn:
( )
=
-
++
ì
+
ì
+<
nn
x
n
1
1
32
1
21
1

1 K
2
1
2
1
1
1
3
1
2
1
2
1
11 <-=
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
-
-
++
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
-+

ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
-+=
nnn
K
ị Hi t
L. Euler tỡm c:
!
6
1
2
1
1lim
2
22
p
=
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+++
Ơđ
n

n
K
Cỏch gii c bn
da trờn kthc lp 9 (!), c Erdos gi: Cminh ca Chỳa
19
6. S e

Mnh : Dóy s
1
,
1
1
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+= n
n
x
n
n
tng vbchn trờn
H qu:
n
n
n
ữ
ứ

ử
ỗ
ố
ổ
+$
Ơđ
1
1lim
Gii hn ny ký hiu lse ằ 2.718
Chng minh: Bc 1: Tng:
()
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+<
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+<
+
+

nn
xx
n
n
nn
Bthc Cụsi cho (n+1) s dng: n s = (1 + 1/n), 1 s = 1 ị (1)
Bc 2: Chn trờn: Khai trin nh thc Newton vbin i:
ủpcm:3
2
1
2
1
2
2
1
1
1
!
11
1
!2
1
2
1
<++<
ữ
ứ
ử
ỗ
ố

ổ
-
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
-++
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
-+=
-n
n
nnnn
x KKK
L. Euler chng minh: e
ix
= cosx + isinx, x ẻR ị e
ip
= 1 (*)
H thc (*) liờn h e, i v p , c gi lCụng thc ca Chỳa!
20
7. DÃY CON –TIÊU CHUẨN PHÂN KỲ

lim x

n
= a Û Mọi dãy con của {x
n
} đều ® a:
a
x
k
n
k
=
¥
®
lim
{
}
¥
=
<
<
<
¥
®
k
k
knn
n
n
n
x
x

k
lim
,
,
,
,
,
1
1
L
L
L
L
Cho dãy {x
n
}ÞDãy con của dãy {x
n
}:
Dãy{x
n
} hội tụ Û Mọi dãy con của {x
n
} đều cócùng giới hạn
Dãy {x
n
} phân kỳ Û
$ một dãy con phân kỳ của dãy {x
n
}
$ hai dãy con hội tụ cólim ¹ nhau

VD: Chứng tỏ dãy {x
n
} = {(–1)
n
} phân kỳ. Giải: Xét x
2n
& x
2n+1
VD: Dãy con:
{
}
{
}
1
2
2
/
/
+
n
n
x
b
x
a
1
BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG – ĐHBK

BGĐT –TOÁN 1
BÀI 2: GIỚI HẠN HÀM SỐ

TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006)
2
NỘI DUNG

1- GIỚI THIỆU: BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN
2- Ý TƯỞNG GIỚI HẠN HÀM. ĐỊNH NGHĨA HÌNH THỨC
3- ĐỊNH NGHĨA GIỚI HẠN (NGÔN NGỮ e – d)
4- GIỚI HẠN VÔ CÙNG -TẠI VÔ CÙNG –1 PHÍA
5- TÍNH CHẤT VÀPHÉP TÍNH TRÊN GIỚI HẠN
6- PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN -KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH
7- GIỚI HẠN KẸP
8- ĐỊNH NGHĨA NGÔN NGỮ DÃY. CM KHÔNG CÓG.HẠN
9- VÔ CÙNG BÉ–VÔ CÙNG LỚN