Bài giải chi tiết đạo hàm và vi phân hayGiải tích 1Đại học Sư Phạm

Bài tập chương 2
Ngày 15 tháng 3 năm 2022

1

Bài tập 1
Tìm đạo hàm của các hàm sau
(i) y =

−1 −

csc θ θ2
−
2
4

2

.

(ii) y = 2 tan2 x − sec2 x.
2
.
t

(iii) s = cot3

(iv) s = csc5 (1 − t + 3t2 ).
√
(v) r = 2θ sin θ.
(vi) r =

1 + sin θ
.
1 − cos θ

Lời giải:
(i)
y ′ = 2 −1 −

csc θ θ2
−
2
4

1
1
csc θ cot θ − θ
2
2

(ii)
y ′ = (2 tan2 x)′ − (sec2 x)′ = 4 tan x sec2 x − 2 sec x tan x
(iii)
2
6 cot2 ( )
2 ′
2′
−1 −2
2 2
2 2

t t2
s = [cot ( )] = 3 cot ( )[cot( ] = 3 cot ( )[
]
=
2 t2
2
t
t
t
t
sin( )
sin ( )
t
t
′

3

1


(iv) Trình bày vào đây.
(v)
2θ sin θ)′
2 sin θ + 2θ cos θ
sin θ + θ cos θ
√
r′ = ( √
)=
= √

2 2θ sin θ
2 2θ sin θ
2θ sin θ
(vi)
(1 + sin θ)′ (1 − cos θ) − (1 + sin θ)(1 − cos θ)′
(1 − cos θ)2
cos θ(1 − cos θ) − (1 + sin θ) sin θ
cos θ − sin θ − 1
=
=
2
(1 − cos θ)
(1 − cos θ)2

r′ =

2

Bài tập 2
Tìm dy/dx.

(i) x3 + 4xy − 3y 4/3 = 2x.
√
(ii) xy = 1.
(iii) y 2 =

1+x
.
1−x

Lời giải:
(i)
4
d 3
d
(x + 4xy − 3y 3 ) =
2x
dx
dx
1 dy
dy
− 4y 3
=2
⇔ 3x2 + 4y + 4x
dx
dx
1
dy
⇔
(4x − 4y 3 ) = 2 − 3x2 − 4x
dx
2 − 3x2 − 4y
dy
=
⇔
1
dx
4x − 4y 3

(ii)

d √
d
xy =
1
dx
dx
dy
y+x
dx
⇔
=0
√
2 xy
1 y
1
+
2 x 2
dy
y
⇔
=−
dx
x
⇔

2

x dy
=0
y dx

(iii)
d 2
d
y =
dx
dx
dy
⇔ 2y
=
dx
⇔

3

dy
=
dx

2y

1+x
1−x
1
1+x
(1 − x2 )
1−x
1
1+x

(1 − x)2
1−x

Bài tập 3
Khơng giải phương trình. Tìm d2 y/dx2 .
(i) x3 + y 3 = 1.

(ii) y 2 = 1 −

2
.
x

Lời giải:
(i)
d
d 3
(x + y 3 ) =
=1
dx
dx
dy
⇔ 3x2 + 3y 2
=0
dx
x2
dy
=− 2
⇔
dx

y
d
x2
d dy
( )=
(− 2 )
⇔
dx dx
dx y
dy
2xy 2 + 2yx2
d2 y
dx
⇔ 2 =
dx
y4
x2
−2xy 2 + 2yx2 (− 2 )
2x 2x4
y
=
=− 2 − 5
4
y
y
y

3

(ii)
d 2
d
2
y =
(1 − )
dx
dx
x
dy
2
⇔ 2y
= 2
dx
x
dy
1
⇔
= 2
dx
x y
d 1
−2(x2 y)′
d dy
( )=
( 2 )=
dx dx
dx x y
(xy )2
dy

dy
2(2xy + x2 )
−4xy − 2x2
3 2
2
d2 y
dx =
dx = −8x y − 4x = − 2 − 1
⇔ 2 =−
dx
x4 y 2
x4 y 2
4x6 y 3
x3 y x4 y 3

4

Bài tập 4
(i) Tìm giá trị của dy/dt tại t = 0 nếu y = 3 sin 2x và x = t2 + π.

(ii) Tìm giá trị của ds/du tại u = 2 nếu s = t2 + 5t và t = (u2 + 2u)1/3 .
√
(iii) Tìm giá trị của dw/ds tại s = 0 nếu w = sin( r − 2) và r = 8 sin(s + π/6).
(iv) Tìm giá trị của dr/dt tại t = 0 nếu r = (θ2 + 7)1/3 và θ2 t + θ = 1.
Lời giải:
(i)
y = 3 sin(2t2 + 2π)
y ′ = 3 cos(2t2 + 2π)4t
= 12t cos(2t2 + 2π)
t = 0 ⇒ y′ = 0

(ii)
1

2

s = (u2 + 2u) 3 + 5(u2 + 2u) 3
1
2
2 2
5
(u + 2u)− 3 + (u2 + 2u)− 3 (2u + 2)
3
3

s′ =
u = 2 ⇒ s′ =

9
2

4


(iii)
π
) − 2)
6
π
w′ = cos( 8 sin(s + ) − 2)[
6

w = sin( 8 sin(s +

8 sin(s +

π
) − 2]′
6

π
4 cos(s + )
π
6
= cos( 8 sin(s + − 2)
6
π
8 sin(s + )
6
√
′
s=0⇒w = 3
(iv)
1

r = (θ2 + 7) 3 , t = 0, θ2 t + θ = 1 ⇒ θ = 1, t =
2
dr
1
1
= (θ2 + 7)− 3 2θ =
dθ

3
6
1−θ
−1θ2 − (1 − θ).2θ
dt
=
=
= −1
dθ
θ2
θ4
1
dr
=−
⇒
dt
6

5

Bài tập 5
Nếu y 3 + y = 2 cos x, tìm giá trị d2 y/dx2 tại điểm (0, 1)
Lời giải:
d
d 3
(y + y) =
2 cos x
dx
dx
dy

dy
⇔ 3y 2
+
= −2 sin x
dx dx
dy
−2 sin x
⇔
=
dx
3y 2 + 1
2
d −2 sin x
d y
⇒ 2 =
dx
dx 3y 2 + 1
dy
−2 cos x(3y 2 + 1) + 2 sin x.6y
d2 y
dx
⇔ 2 =
dx
(3y 2 + 1)2

Tại điểm (0, 1)
1
d2 y
=−
dx2

2
5

1−θ
θ2


6

Bài tập 6
Hàm số
f (x) =

0≤x≤1
1
x,
2 − x,

(i) có liên tục tại x = 1 khơng?
(ii) có khả vi tại x = 1 khơng?
Giải thích.
Lời giải:
(i)
lim x = lim+ 2 − x = 1

x→1+

x→1

lim x = lim− 2 − x = 1

x→1−

x→1

⇒ Hàm liên tục tại x = 1
(ii)
f ′ (x) =

1,
−1,

0≤x≤1
1
Ta có
f ′ (1− ) = 1
f ′ (1+ ) = −1
⇒ f ′ (1− ) ̸= f ′ (1+ )
⇒ Hàm f (x) khơng khả vi

7

Bài tập 7
Tìm phương trình tiếp tuyến của đường cong x +

6

√

xy = 6 tại điểm (4, 1).


Lời giải:
x+

√

xy = 6 ⇒ xy = (6 − x)2 ⇒ y =

(6 − x)2
x

d
d
√
(x + xy) =
6
dx
dx
dy
y+x
dx
⇔1+ √
=0
2 xy
⇔1+

⇔

1
2

dy
=
dx

y
1
+
x 2

x dy
=0
y dx

1 y
2 x
1 x
2 y

−1 −

x = 4 ⇒ y(4) = 1, y ′ (4) = −

5
4

5

5
⇒ ytt = 1 − x + 5 = − x + 6
4
4

8

Bài tập 8
Tìm độ dốc của đường cong x3 y 3 + y 2 = x + y tại các điểm (1, 1) và (1, −1).
Lời giải:
d
d 3 3
(x y + y 2 ) =
(x + y)
dx
dx
dy
dy
dy
⇒ 3x2 y 3 + 3y 2 x3
+ 2y
=1+
dx
dx
dx
dy
⇒
(3y 2 x3 + 2y − 1) = 1 − 3x2 y 3
dx
dy

1 − 3x2 y 3
⇒
= 2 3
dx
3y x + 2y − 1
dy
1
=−
dx
2
dy
(1, −1) ⇒
=∞
dx
(1, 1) ⇒

9

Bài tập 9

Nếu hai điện trở R1 và R2 (ohm) được mắc song song trong mạch điện để
thành một điện trở tương đương R, giá trị của R được xác định từ phương trình
1
1
1
=
+
R
R1
R2

7


Nếu R1 đang giảm với tốc độ 1 ohm/sec và R2 đang tăng với tốc độ 0.5
ohm/sec, tốc độ thay đổi của R như thế nào khi R1 = 75 ohm và R2 = 50 ohm?
(Gợi ý: dR1 /dt = −1 ohm/sec và dR2 /dt = 0.5 ohm/sec, tìm dR/dt).
Lời giải:
1
1
1
R1 R2
=
+
⇒R=
R
R1
R2
R1 + R2
dR1
dR2
= −1Ω/s,
= 0, 5Ω/s, R1 = 75Ω, R2 = 50Ω
dt
dt
d
d
R1 R2
R=
dt
dt R1 + R2

dR1
dR2
dR1
dR2
(
R2 +
R1 )(R1 + R2 ) − R1 R2 (
+
)
dR
dt
dt
dt = 0.02
= dt
⇔
dt
(R1 + R2 )2

10

Bài tập 10

Tọa độ của một hạt chuyển động trong mặt phẳng xy là các hàm khả vi theo
thời gian t với dx/dt = 10 m/sec và dy/dt = 5 m/sec. Tốc độ của hạt chuyển
động ra xa gốc tọa độ khi nó đi qua điểm (3, −4) là bao nhiêu? (Gợi ý: tìm
dD/dt với D2 = x2 + y 2 là bình phương khoảng cách từ gốc đến điểm (x, y)).
Lời giải:
D 2 = x2 + y 2 ,

dx

dy
= 10m/s,
= 5m/s
dt
dt

Thay (1, −4) vào D2 = x2 + y 2 ⇒ D = 5
d
d
(D2 ) = (x2 + y 2 )
dt
dt
dx
dy
dD
⇔ 2D
= 2x
+ 2y
dt
dt
dt
dD
10
= 20x + 10y
dt
dD
20x + 10y
⇒
=
=2

dt
10

11

Bài tập 11

(i) Chứng tỏ rằng hàm tuyến tính hóa của f (x) = (1 + x)k tại x = 0 là
L(x) = 1 + kx.
(ii) Sử dụng√gần đúng tuyến tính (1 + x)k ≈ 1 + kx để tìm gần đúng hàm
f (x) = 3 4 + 3x cho các giá trị x gần không.
8


√
(iii) Sử dụng gần đúng (1 + x)k ≈ 1 + kx để ước lượng 3 1.009.
√
(iv) Tìm hàm tuyến tính của f (x) = x + 1 + sin x tại x = 0.
Lời giải:
(i)
f ′ (x) = k(1 + x)k−1
f ′ (0) = k
Phương trình tiếp tuyến y = 1 + k(x − 0) = 1 + kx
(ii)
1
1
3 1
f (x) = (4 + 3x) 3 = 4 3 (1 + x) 3
4

Áp dụng
(1 + x)k ≈ 1 + kx
3 1
1
⇒ (1 + x) 3 = 1 + x
4
4
1
f (0) = 4 3
(iii) Trình bày vào đây.
(iv) Trình bày vào đây.

12

Bài tập 12

Hãy viết công thức để ước lượng sự thay đổi diện tích mặt xung quanh của
một hình nón có độ
√ cao thay đổi từ h0 đến h0 + dh và bán kính r khơng đổi.
(Gợi ý: S = πr r2 + h2 ).
Lời giải:
h = h0 + dh, r = const
S(h0 ) = πr

9

r2 + h2


Áp dụng công thức

f (a + dx) ≈ f (a) + dy
⇒ S(h0 + dh) ≈ S(h0 ) + dS
 
dr
2r
+
2h
0
dr
 

dS = S ′ (h0 )dh =
π( r2 + h20 ) +  dh
 πr dh
2
2
dh
2 r + h0


dr
=0
dh
2h0 πr

r = const ⇒
⇒ dS =

r2

2

+

h20

h0 πr

dh =

r2 + h20

dh

Công thức ước lượng sự thay đổi mặt xung quanh của một hình nón là
S(h0 + dh) = πr

13

r2 + h20 + √

πrh0
dh
r2 + h2

Bài tập 13

Sử dụng công thức Leibniz để tính đạo hàm cấp 100 của hàm số
(i) f (x) = (x + 1) sin x.
(ii) g(x) = ex sin x.

(iii) h(x) = x ln x.
Lời giải:
(i) Công thức Lebiniz
n

dn (u.v) =
k=0

u=x+1⇒

n n−k k
d
d v
k
u′
u(n)

=1
=0


π

v ′ (x) = x = sin(x + )



2
π
v = sin x ⇒ v ′′ (x) = − sin x = sin(x + 2 )

2



v (n) x = sin(x + n π )
2
100

⇒ f (100) x =

k
C100
uk (x)v (100−k) x
k=0

10


0
1
= C100
u(x)v (100) + C100
u′ (x)v (99) x
100π
99π
= (x + 1) sin(x +
) + 100 sin(x +
)
2
2

= (x + 1) sin x − 100 cos x

(ii) Công thức Lebiniz
n

dn (u.v) =
k=0

n n−k k
d
d v
k

u′
= ex
u(n) = ex

π

v ′ (x) = x = sin(x + )



2
π
v = sin x ⇒ v ′′ (x) = − sin x = sin(x + 2 )
2


π

 (n)

v x = sin(x + n )
2
u = ex ⇒

100

⇒ f (100) x =

k
C100
uk (x)v (100−k) x
k=0

0
1
= C100
u(x)v (100) + C100
u′ (x)v (99) x...
100π
99π
= ex sin(x +
) + 100ex sin(x +
)...
2
2
= ex sin x − 100ex cos x...

(iii) Trình bày vào đây.

11