Bài tập tính xác suất đơn giảncác công thức tính xác xuất có điều kiện và công thức xác suất đầy đủMôn Xác suất thống kê

EXERCISES CHAPTER:
PROBABILITY Formulas
Ngày 15 tháng 3 năm 2022

Lời giải:
Gọi A là biến cố lấy được 3 sản phẩm toàn loại A
Số kết cục đồng khả năng là A3100
Số kết cục thuận lợi cho A là A320
A3
19
Xác suất P (A) = 320 =
A100
2695

Lời giải:
4
Số kết cục đồng khả năng là Ω = C50
a) 2 nam 2 nữ
2
2
Số kết cục thuận lợi là C30
.C20
2
2
C .C
Xác suất P (A) = 30 4 20 = 0, 3589
C50
b) Có ít nhất 1 nam
Xác xuất để không chọn được sinh viên nam nào là P (A) =
−

4
C20
4 = 0, 021
C50

Suy ra, xác suất để có ít nhất 1 nam là P (A) = 1 − P (A) = 0, 978
c) Nhiều nhất 2 nam
C 2 .C 3
TH1:2 nam 2 nữ ⇒ P (A1 ) = 30 4 20 = 0, 1485
C50
1


TH2:1 nam 3 nữ ⇒ P (A2 ) =

1
3
C30
.C20
= 0, 3589
4
C50

4
C20
4 = 0, 021
C50
Vậy xác suất để chọn được nhiều nhất hai nam là
P (A) = 0, 1485 + 0, 3589 + 0, 021 = 0, 5283
d) Khơng có sinh viên nam nào

C4
Xác suất chọn được là P (A) = 20
4 = 0, 021
C50

TH3:4 nữ ⇒ P (A3 ) =

Lời giải:
Xác suất để người đó khơng có được vé nào trúng thưởng là
Cr
P (A) = N −M
r
CN
Suy ra, Xác suất để người đó có ít nhất một vé trúng thưởng là
Cr
P (A) = 1 − P (A) = 1 − N −M
r
CN

Lời giải:
a) Ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ
240
C 2 .C 3
TH1: 2 nam 3 nữ ⇒ P (A1 ) = 9 5 6 =
C15
1001
C 3 .C 2
60
TH2: 3 nam 2 nữ ⇒ P (A2 ) = 9 5 6 =
C15

143
36
C94 .C61
=
TH3: 4 nam 1 nữ ⇒ P (A3 ) =
5
C15
143
Suy ra xác suất để có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ là
20
60
36
912
P (A) =
+
+
=
1001 143 143
1001
b) Nga và Bình khơng đồng thời có mặt
Gọi A là biến cố có mặt cả Nga và Bình
B là biến cố khơng có mặt cả Nga và Bình
5
Số kết cục đồng khả năng là C15
3
Số kết cục thuận lợi cho A là C13
Suy ra xác suất để Nga và Bình cùng có mặt là P (A) =

2

3
C13
2
5 = 21
C15


Vậy xác suất để Nga và Bình khơng đồng thời có mặt là P (B) = 1 − P (A) =

Lời giải:
5
Số kết cục đồng khả năng là C27
a) 4 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm kém chất lượng
Gọi A là biến cố lấy được 4 tốt 3 kém
4
3
Số kết cục thuận lợi cho A là C15
.C10
4
3
1638
C .C
Xác suất của A là P (A) = 15 7 10 =
C25
4807
b) Ít nhất 5 sản phẩm tốt
Gọi B là biến cố ít nhất 5 sản phẩm tốt
TH1: 5 tốt 2 kém
C 5 .C 2
2457

P (B1 ) = 15 7 10 =
C25
8740
TH2: 6 tốt 1 kém
91
C 6 .C 1
P (B2 ) = 15 7 10 =
C25
874
TH3: 7 tốt
C7
117
P (B3 ) = 15
7 = 8740
C25
Vậy xác suất để có ít nhất 5 sản phẩm tốt là
91
117
871
2457
+
+
=
P (B) =
8740 874 8740
2185

Lời giải:
2
Số kết cục đồng khả năng là C10

a) 2 phế phẩm
Gọi A là biến cố lấy ra được 2 phế phẩm
C2
1
Số kết cục thuận lợi là C32 ⇒ P (A) = 23 =
C10
15
b) 1 phế phẩm
Gọi B là biến cố lấy ra 1 phế phẩm

3

19
21


Số kết cục thuận lợi là C31 .C71 ⇒ P (B) =

7
C31 .C71
=
2
C10
15

c) Lấy ra phế phẩm
P (A + B) = P (A) + P (B) =

1
7

8
+
=
15 15
15

Lời giải:
a) Có 1 nữ
Số kết cục đồng khả năng là A320
Gọi A là biến cố chọn ban cán sự có 1 nữ
2
Số kết cục thuận lợi là C81 .C12
.3! ⇒ P (A) =

2
C81 .C12
44
.3!
=
3
A20
95

b) Có ít nhất 2 nữ
Gọi B là biến cố chọn ban cán sự có ít nhất 2 nữ
Số biến cố thuận lợi là 3!(c28 .c112 + c38 ) = 392.3! ⇒ P (B) =

392.3!
98
=

A320
285

Lời giải:

Gọi A là biến cố mà điểm B cách A khơng q R
Ta có ∆ đều MOA
Điểm B ta có thể chọn tùy ý trên vòng tròn, suy ra các kết cục đồng khả năng
4


là 2π
π
Các kết cục thuận lợi với A chỉ xảy ra khi điểm B nằm trên cung MN ⇒ α = ⇒
3
2π
Độ dài cung MN là
3
2π
1
Vậy xác suất để điểm B cách A không quá R là P (A) = 3 =
2π
3

Lời giải:

Gọi x và y(p) lần lượt là thời điểm mà người A và người B đến điểm hẹn tính
từ 1h
Ta có x ≥ 60, y ≤ 120 ⇒ tập hợp các kết cục đồng khả năng là hình vuông cạnh
60

Gọi C là biến cố để A và B gặp nhau
Theo đề bài thì điều kiện để C xảy ra là
x − y ≤ 30
y ≥ x − 30
|x − y| ≤ 30 ⇒
⇒
x − y ≥ −30
y ≤ x + 30
Ta vẽ hai đường thẳng trên như hình vẽ.
Vậy diện tích phần hình phẳng được giới hạn bởi 2 đường thẳng đó là
1
S = 602 − 2 302 = 2700
2
S
Vậy xác suất để hai người gặp nhau là P (C) = 2 = 0, 75
60

5


Lời giải:
60
365
40
Gọi B là biến cố ngày gió lớnP (B) =
365
20
P(AB) là xác suất ngày vừa mưa to vừa gió lớn là P (AB) =
365
P(A+B) là xác suất thời tiết thất thường

Xác suất để một ngày có thời tiết thất thường là
40
20
16
60
+
−
=
P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB) =
365 365 365
73
Gọi A là biến cố ngày mưa to P (A) =

Lời giải:
Cơng ty có 30 nữ trong đó 20 nữ gần cơ quan
Cơng ty có 70 nam trong đó 40 nam gần cơ quan
Gọi A là biến cố nhân viên đó là nam, P (A) = 0, 7
Gọi B là biến cố nhân viên đó gần cơ quan, P (B) = 0, 6
P(AB) là xác suất mà nhân viên đó vừa là nam vừa gần cơ quan,P (AB) = 0, 4
Vậy xác suất để người đó được đi trực là
P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB) = 0, 7 + 0, 6 − 0, 4 = 0.9

Lời giải:
a)Xác suất để thú trúng đạn
Gọi A là biến cố con thú bị trúng đạn của người thứ nhất
Gọi B là biến cố con thú bị trúng đạn của người thứ hai
Suy ra xác suất để thú bị trúng đạn là
P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB) = 0, 7 + 0, 7 − 0, 7.0, 7 = 0, 91
b) Xác suất để thú không trúng đạn
Xác suất để thú không trúng đạn là 1 − P (A + B) = 1 − 0, 91 = 0, 09

6


Lời giải:
Gọi A là biến cố có hai khẩu súng bắn trúng
Gọi A1 là biến cố khẩu súng 1 bắn trúng
Gọi A2 là biến cố khẩu súng 2 bắn trúng
Gọi A3 là biến cố khẩu súng 3 bắn trúng
a)Xác suất có hai khẩu súng bắng trúng
Gọi A12 là biến cố khẩu súng 1 và 2 bắn trúng
Gọi A23 là biến cố khẩu súng 2 và 3 bắn trúng
Gọi A31 là biến cố khẩu súng 3 và 1 bắn trúng
A = A12 + A23 + A31
Xác suất của từng trường hợp là
P (A12 ) = P (A1 ).P (A2 ).P (A3 ) = 0, 7.0, 8.0, 5 = 0, 28
P (A23 ) = P (A2 ).P (A3 ).P (A1 ) = 0, 8.0, 5.0, 3 = 0, 12
P (A31 ) = P (A3 ).P (A1 ).P (A2 ) = 0, 7.0, 5.0, 2 = 0, 07
⇒ xác suất để hai khẩu súng bắng trúng là
P (A) = 0, 28 + 0, 12 + 0, 07 = 0, 47
b)Có ít nhất một lần bắn trúng
Gọi B là biến cố có ít nhất một lần bắn trúng
Gọi B là biến cố không bắn trúng lần nào
Ta có P (B) = P (A1 ).P (A2 ).P (A3 ) = 0, 3.0, 2.0.5 = 0, 03
⇒ P (B) = 1 − 0, 03 = 0, 97
c) Có khẩu 1 bắn trúng và có 2 khẩu trúng mục tiêu
Gọi C là biến cố khẩu 1 bắn trúng và có hai khẩu bắn trúng mục tiêu
P (C) = P (A12 ) + P (A31 ) = 0, 28 + 0, 07 = 0, 35

7

Lời giải:
Gọi A là biến cố tín hiệu phát ra là A
Gọi B là biến cố tín hiệu phát ra là B
Gọi C là biến cố thu được tín hiệu A
Gọi D là biến cố thu được tín hiệu B
1
1
P (A) = 0, 8, P (B) = 0, 2, P (D/A) = , P (C/B) =
6
8
Áp dụng cơng thức tính xác suất đầy đủ ta có xác xuất thu được tín hiệu B là
1
7
37
P (D) = P (A).P (D/A) + P (B).P (D/B) = 0, 8. + 0, 2. =
6
8
120
b) Tìm xác suất để phát được tín hiệu như lúc thu được
Giả sử lúc thu tín hiểu B , xác suất để thu được đúng tín hiệu lúc phát là
7
0, 2.
21
P (B).P (D/B)
8
=
=
P (B/D) =

37
P (D)
37
120

Lời giải:
Gọi A là biến cố sinh viên đạt môn thứ nhất
Gọi B là biến cố sinh viên đạt môn thứ hai
a) Sinh viên đạt cả hai môn
P (AB) = P (A).P (B/A) = 0, 9.0, 7 = 0, 63
b) Sinh viên đạt môn thứ hai
P (B) = P (A).P (B/A) + P (A).P (B/A) = 0, 1.0, 4 + 0, 9.0, 7 = 0, 67
c) Sinh viên đó đạt ít nhất một mơn
Gọi C là biến cố sinh viên đó đạt ít nhất một môn
P (C) = 1 − P (C) = 1 − P (A).P (B/A) = 1 − 0, 1.0, 6 = 0, 94

8


Lời giải:
a)Có 2 sinh viên đậu
Gọi A B C lần lượt lầ biến cố sinh viên A B C đậu và D là biến cố 2 sinh viên
đậu
P (D) = P (ABC) + P (ABC) + P (ABC)
= P (A).P (B).P (C) + P (A).P (B).P (C) + P (A).P (B).P (C)
= 0, 8.0.7.0, 1 + 0, 8.0.3.0, 9 + 0, 2.0, 7.0, 9 = 0, 398
b)Nếu có 2 sinh viên đậu, tính xác suất để sinh viên A thi rớt
Gọi A là biến cố để sinh viên A thi rớt
Gọi E là biến cố 2 sinh viên đậu và sinh viên A rớt
P (E) = P (A).P (B).P (C) = 0, 2.0, 7.0, 9 = 0, 126

Lời giải:
5
18
7
Gọi B là biến cố xạ thu thuộc nhóm 2 P (B) =
18
2
Gọi C là biến cố xạ thủ thuộc nhóm 3 P (C) =
9
1
Gọi D là biến cố xạ thủ thuộc nhóm 4 P (D) =
9
Gọi E là biến cố xạ thủ được chọn bắn trượt
P (E) = P (A).P (E/A) + P (B).P (E/B) + P (C).P (E/C) + P (D).P (E/D)
5
7
2
1
19
=
.0, 2 + .0, 3 + .0, 4 + .0, 5 =
18
18
9
9
60
Áp dụng công thức Bayes để xác định xem người đó thuộc nhóm nào là khả
năng cao nhất
Nhóm 1

5
.0, 2
P (A).P (E/A)
10
18
P (A/E) =
=
=
19
P (E)
57
60
Nhóm 2
Gọi A là biến cố xạ thủ thuộc nhóm 1 P (A) =

9


P (B/E) =
Nhóm 3
P (C/E) =

P (B).P (E/B)
7
=
P (E)
19
P (C).P (E/C)
16
=

P (E)
57

Nhóm 4

P (D).P (E/D)
10
=
P (E)
57
Vậy người xạ thủ đó khả năng cao thuộc nhóm 2
P (D/E) =

Lời giải:
a) Xác suất lấy được chính phẩm
Gọi A B C lần lượt là biến cố mà sản phẩm được rút từ hộp 1 2 3
1
1
1
P (A) = , P (B) = , P (C) =
3
3
3
Gọi D là biến cố rút được chính phẩm
P (D) = P (A).P (D/A) + P (B).P (D/B) + P (C).P (D/C)
133
1 10 1 15 1 20
=
= . + . + .
3 15 3 20 3 25

180
b)Xác suất để sản phẩm đó được rút ra từ hộp 1
10 1
.
P (D/A).P (A)
40
P (A/D) =
= 15 3 =
133
P (D)
133
180

Lời giải:
Tính xác suất để chi tiết chuẩn do máy 1 sản xuất ra
Gọi A là biến cố chi tiết đó do máy 1 sản xuất ra P (A) = 0, 6
Gọi B là biến cố chi tiết đó do máy 2 sản xuất ra P (B) = 0, 4
Gọi C là biến cố lấy được chi tiết đạt yêu cầu
P (C) = P (A).P (C/A) + P (B).P (C/B) = 0, 6.0, 9 + 0, 4.0, 4 = 0, 7
⇒ xác xuất để chi tiết đó do máy 1 sản xuất ra là
P (C/A).P (A)
0, 9.0, 6
27
P (A/C) =
=
=
P (C)
0, 7
35
10

Lời giải:
Gọi A là biến cố linh kiện thuộc loại 1: P (A) = 0, 35
Gọi B là biến cố linh kiện thuộc loại 2: P (B) = 0, 25
Gọi C là biến cố linh kiện thuộc loại 3: P (C) = 0, 4
Gọi D là biến cố linh kiện bị hỏng
P (D) = P (A).P (D/A) + P (B).P (D/B) + P (C).P (D/C)
= 0, 35.0, 15 + 0, 25.0, 25 + 0, 4.0, 05 = 0, 135
Xác suất để từng loại bị hỏng là
Loại 1
P (D/A).P (A)
0, 15.0, 35
7
P (A/D) =
=
=
P (D)
0, 135
18
Loại 2
P (D/B).P (B)
0, 25.0, 25
25
P (B/D) =
=
=
P (D)
0, 135
54

Loại 3
P (D/C).P (C)
0, 05.0, 4
4
P (C/D) =
=
=
P (D)
0, 135
27

Lời giải:
GọiA1 , A2 , A3 lần lượt là biến cố máy bay trúng 1,2,3 phát đạn,P (A1 ) =
0, 3, P (A2 ) = 0, 6, P (A3 ) = 1
Gọi B1 , B2 , B3 lần lượt là biến cố phát đạn thứ 1,2,3 bắn trúng máy bay,
P (B1 ) = 0, 5, P (B2 ) = 0, 6, P (B3 ) = 0, 8
11


Gọi C là biến cố máy bay rơi
Áp dụng công thức đầy đủ ta có:
P (C) = P (A1 ).P (C/A1 ) + P (A2 ).P (C/A2 ) + P (A3 ).P (C/A3 )(1)
Khi máy bay trúng một phát đạn
P (A1 ) = P (B1 ).P (B2 B3 ) + P (B2 ).P (B1 B3 ) + P (B3 ).P (B1 B2 )
13
= 0, 5.0, 4.0, 2 + 0, 6.0, 5.0.2 + 0, 8.0, 5.0, 4 =
50
Khi máy bay trúng 2 phát đạn
P (A2 ) = P (B1 ).P (B2 ).P (B3 ) + P (B2 ).P (B3 ).P (B1 ) + P (B1 ).P (B3 ).P (B2 )
23

= 0, 5.0, 6.0, 2 + 0, 6.0, 8.0, 5 + 0, 5.0, 8.0, 4 =
50
Khi máy bay trúng 3 phát đạn
6
P (A3 ) = P (B1 ).P (B2 ).P (B3 ) = 0, 5.0, 6.0, 8 =
25
13
23
6
297
Suy ra, (1) = 0, 3. + 0, 6. + 1.
=
50
50
25
500
297
Vậy xác suất để máy bay bị bắn rơi là
500
b)
13
0, 3.
P (C/A1 )
50 = 13
=
P (A1 /C) =
297
P (C)
99
500

Lời giải:
a) Xác suất để người này là tội phạm
Gọi A là xác suất để người này là tội phạm
7
P (A) =
= 0, 7
10
b) Xác suất để máy báo người này là tội phạm
Gọi T là biến cố máy báo người này là tội phạm
P (T ) = P (A).P (T /A) + P (A).P (T /A) = 0, 7.0, 85 + 0, 3.0, 1 = 0, 625
c)Người này thật sự có tội
P (A).P (T /A)
0, 7.0, 85
P (A/T ) =
=
= 0, 952
P (T )
0, 625

12


d) Máy báo đúng
Để máy báo đúng P (AT + AT ) = 0, 7.0, 85 + 0, 3.0, 9 = 0, 865

13