Tài liệu Bài giảng phần lượng giác doc

•
◘ ÔN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN:
•
I. Đơn vị đo góc và cung: Độ và Radian (Rad).
•
2. Đổi độ sang Radian (rad)

•
3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc
(cung ) thường dùng:
BÀI GIẢNG PHẦN LƯỢNG GIÁC
⇒
0 0
π
180 =π(rad) 1 = (rad)
180
5
π
6
3
π
2
0
3
π
4
2
π
3
π

2
π
3
2
π
π
4
π
π
6
0
0
360
0
270
0
180
0
150
0
135
0
120
0
90
0
60
0
45
0

30
0
Độ
Rad

II. Góc lượng giác & cung lượng giác:
•
1. Định nghĩa:
x
y
(tia gốc)
( , ) 2 (k Z)Ox Oy k
α π
= + ∈
+
t
(tia ngọn)
O
α
x
y
B
α
M
α
(điểm gốc)
+
t
O
A

(điểm ngọn)
2AB k
α π
= +

•
2. Đường tròn lượng giác:
•
Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt:

→
→
→
→
→
→
A 2kπ
π
B +2kπ
2
C π + 2kπ
π
D - +2kπ
2
A,C kπ
π
B,D +kπ
2
+
−

x
y
O
C
A
B
D

III. Định nghĩa giá trị lượng giác
•
1. Đường tròn lượng giác:
•
A: điểm gốc của cung lượng giác.
•
x'Ox : trục côsin ( trục hoành )
•
y'Oy : trục sin ( trục tung )
•
t'At : trục tang
•
u'Bu : trục cotang
•
2. Định nghĩa các giá trị lượng giác
•
Trong mặt phẳng Oxy
•
cho đường tròn (O;R=1),
•
điểm M(x;y) thuộc (O;R),
•

gọi:
•
ta có:
+
−
x
y
O
C
A
B
D
1
1
1R
=
1
−
1
−
'x
'u
u
t
't
'y
uuur uuur
(Ox,OM) =α
y x
sinα = y; cosα = x; tanα = ; cotα =

x y
cot
α
tan
α
cos
α
sin
α
α
0
M(x;y)
B'(0;-1)
B(0;1)
A'(-1;0)
A(1;0)

•
2. Định nghĩa các giá trị lượng giác:
•
a. Định nghĩa:
•
Trên đường tròn lượng giác cho số đo cung AM = α.
•
Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên
x'Ox và y'Oy
•
T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t'At và u'Bu.
•
Ta có:

y
t
'u
't
t
x
u
'y
'x
O
t
1
−
Q
B
T
α
M
α
A
P
U
Trục cosin
Trục tang
Trục sin
Trục cotang
+
−
cosα = OP
sinα = OQ

tanα = AT
cotα = BU

•
b. Các tính chất :
•
c. Tính tuần hoàn:
≤ ≤ ≤ ∀
hay -1 sinα 1 sinα 1 ( α)
≤ ≤ ≤ ∀
hay -1 cosα 1 cosα 1 ( α)
∀ ≠
xaùc ñò nh
π
tanα α +kπ
2
∀ ≠
xaùc ñònh cotα α kπ
sin(α+k2π) = sinα
cos(α+k2π) = cosα
tan(α+kπ) = tanα
cot(α+kπ) = cotα

•
IV.
Giá trị lượng giác
Giá trị lượng giác

của các cung (góc )
đặc biệt:

•
Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi
nhớ các giá trị đặc biệt:
- 3
-1
-
3
/3
(Ñieåm goác)
t
t'
y
y'
x
x'
u
u'
-
3
-1
-
3
/3
1
1
-1
-1
-
π
/2

π
5
π
/6
3
π
/4
2
π
/3
-
π
/6
-
π
/4
-
π
/3
-1/2
-
2
/2
-
3
/2
-1/2
-
2
/2

-
3
/2
3
/2
2
/2
1/2
3
/2
2
/2
1/2
A
π
/3
π
/4
π
/6
3
/3
3
B
π
/2
3
/3
1
3

O

2. Bảng giá trị lượng giác của các góc
2. Bảng giá trị lượng giác của các góc
đặc biệt:
đặc biệt:
0
-1
0
||
-1
-1
- 2
2
- 3
- 3
1
2
-1
3
1
1
2
2
2
2
-1
2
1
3

-1
3
3
2
2
2
3
2
- 3
2
3
3
1
3
1
2
3
2
1
2
0
0
0
1
0
||
1
-1
1
||

||
||
0
0
0
0
3
π
2
3
π
4
5
π
6
2
π
3
π
2
π
3
π
4
π
2
π
π
6
0

360
0
270
0
180
0
150
0
135
0
120
0
90
0
60
0
45
0
30
0
0
0
cot
α
tan
α
cos
α
sin
α

gtlg
α

•
3. Các hệ thức cơ bản:
3. Các hệ thức cơ bản:
•
Hệ quả:
Hệ quả:
( )
• ∀ ∈
2 2
sinα+cos α =1 α R
 
π
• ∀α ≠ ∈
 ÷
 
tanα.cotα =1 k ,k Z
2
 
π
• ∀α ≠ + π ∈
 ÷
 
2
2
1
=1+ tanα
cosα

k ,k Z
2
( )
• ∀α ≠ π ∈
2
2
1
=1+cotα
sinα
k ,k Z
2 2 2 2
sinα =1- cos α, cos α =1- sin α
1 1
tanα = , cotα =
cotα tanα

Giá trị lượng giác các góc liên quan đặc biệt:
Giá trị lượng giác các góc liên quan đặc biệt:
•
1. Hai góc đối nhau:
•
2. Hai góc bù nhau:
•
3. Hai góc hơn, kém π:
•
4. Hai góc phụ nhau:
•
5. Hai góc hơn nhau π/2:
•
cos(-α) = cosα

sin(-α) = -sinα
tan(-α) = -tanα
cot(-α) = -cotα
•
cos(π - α) = -cosα
sin(π - α) = sinα
tan(π - α) = -tanα
cot(π - α) = -cotα
•
π
cos( -α) = sinα
2
π
sin( -α) = cosα
2
π
tan( -α) = cotα
2
π
cot( -α) = tanα
2
•
cos(π + α) = -cosα
sin(π +α) = -sinα
tan(π + α) = tanα
cot(π + α) = cotα
•
π
cos( +α) = -sinα
2

π
sin( +α) = cosα
2
π
tan( +α) = -cotα
2
π
cot( +α) = -tanα
2

1. Hai góc đối nhau:
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2
-
α
α
-1
1
-1
1

0
cot(-
α
)
cot
α
tan(-
α
)
tan
α
sin(-
α
)
sin
α
cos(-
α
)
cos
α
cos(-α) = cosα; sin(-α) = -sinα
tan(-α) = -tanα; cot(-α) = -cotα

2. Hai góc bù nhau:
1.2
1
0.8
0.6
0.4

0.2
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2
tan(
π
-
α
)
cot(
π
-
α
)
π
-
α
α
-1
1
-1
1
0
cot
α
tan
α

sin(
π
-
α
)
sin
α
cos(
π
-
α
)
cos
α
cos(π - α) = -cosα; sin(π - α) = sinα
tan(π - α) = -tanα; cot(π - α) = -cotα

3. Hai góc hơn, kém π:
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

tan(
π
+
α
)
cot(
π
+
α
)
π
+
α
α
-1
1
-1
1
0
cot
α
tan
α
sin(
π
+
α
)
sin
α

cos(
π
+
α
)
cos
α
cos(π +α) = -cosα; sin(π + α) = -sinα
tan(π +α) = tanα; cot(π + α) = cotα

4. Hai góc phụ nhau:
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-1.4
-1.6
-1.8
-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
tan(

π
2
-
α
)
cot(
π
2
-
α
)
π
2
-
α
α
-1
1
-1
1
0
cot
α
tan
α
sin(
π
2
-
α

)
sin
α
cos(
π
2
-
α
)
cos
α
π π
cos( -α) = sinα; sin( - α) = cosα
2 2
π π
tan( -α) = cotα; cot( - α) = tanα
2 2

5. Hai góc hơn nhau π/2:
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
-0.4
-0.6

-0.8
-1
-1.2
-1.4
-1.6
-1.8
-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
tan(
π
2
+
α
)
cot(
π
2
+
α
)
π
2
+
α
α
-1
1
-1
1
0
cot

α
tan
α
sin(
π
2
+
α
)
sin
α
cos(
π
2
+
α
)
cos
α
π π
cos( +α) = -sinα; sin( + α) = cosα
2 2
π π
tan( +α) = -cotα; cot( + α) = -tanα
2 2

V. Công thức lượng giác
V. Công thức lượng giác
•
1. Công thức cộng góc:

•
cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
•
cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
•
sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb
•
sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
•
•
tana - tanb
tan(a -b) =
1+tana.tanb
tana+tanb
tan(a+b) =
1-tana.tanb

•
2. Công thức góc nhân đôi:
•
sin2a = 2sina.cosa .
•
cos2a = cos
2
a – sin
2
a = 2cos
2
a – 1 = 1 – 2 sin
2

a.
•
3. Công thức hạ bậc:
•
4. Công thức góc nhân ba:
•
sin3a = 3sina – 4sin
3
a
•
cos3a = 4cos
3
a – 3cosa
•
5. Công thức sinx, cosx, tanx, cotx theo :
•
2
1+cos2a
cos a =
2
•
2
1-cos2a
sin a =
2
x
t = tan
2
•
2

2t
sinx =
1+ t
•
2
2
1- t
cosx =
1+ t
•
2
2t
tanx =
1- t
•
2
1- t
cotx =
2t

•
5. Công thức biến đổi tổng thành tích:
   
•
 ÷  ÷
   
a+b a -b
cosa+cosb = 2cos cos
2 2
   

•
 ÷  ÷
   
a+b a -b
cosa -cosb = -2sin sin
2 2
   
•
 ÷  ÷
   
a+b a -b
sina +sinb = 2sin cos
2 2
   
•
 ÷  ÷
   
a+b a-b
sina - sinb = 2cos sin
2 2
( , , )
2
a b k k Z
π
π
• ≠ + ∈
sin(a ±b)
tana ± tanb=
cosa.cosb
( , , )a b k k Z

π
±
• ± ≠ ∈
sin(b a)
cota cotb=
sina.sinb

•
6. Công thức biến đổi tích thành tổng:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
1
cosa.cosb= cos(a-b)+cos(a+b)
2
1
sina.sinb= cos(a -b)-cos(a+b)
2
1
sina.cosb = sin(a+b)+sin(a -b)
2
1
sinb.cosa = sin(a+b)-sin(a -b)
2

Chương I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
•
§1. CÁC HÀM SỐ

LƯỢNG GIÁC
•
1. Các hàm số y = sinx
và y = cosx.
•
a) Định nghĩa:
•
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số
thực x với sin của góc lượng
giác có số đo radian bằng x
được gọi là hàm số sin, kí hiệu
là y = sinx.
•
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số
thực x với cosin của góc lượng
giác có số đo radian bằng x
được gọi là hàm số cosin, kí
hiệu là y = cosx.
•
Tập xác định của y = sinx và y
= cosx là R. Do đó:
•
sinx là hàm số lẻ. Bởi vì:
•
cosx là hàm số chẵn. Bởi vì:
sin cos
;
x x x x
→ →
a a

¡ ¡ ¡ ¡sin: cos :
AA’
B
B’
Trục cosin
T
r
ụ
c

s
i
n
M
H
K
x
0
f(-x) = sin(-x) = -sinx = -f(x)
f(-x) = cos(-x) = cosx = f(x)

•
b. Tính chất tuần hoàn của y = sinx, y = cosx
•
Ta có: sin(x + k2π) = sinx và cos(x + k2π) = cosx . Trong
các số dạng k2π (k thuộc Z) thì số 2π là số nhỏ nhất, do
đó hàm số y = sinx và y = cosx tuần hoàn với chu kì 2π .
•
c. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = sinx
•

Do hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì 2π nên ta chỉ
cần khảo sát hàm số trên một đoạn có độ dài 2π, chẳng
hạn trên [-π ; π] .
•
Chiều biến thiên:
•
Hàm số giảm trên
•
Hàm số tăng trên
   
   
   
U
π π
-π;- ;π
2 2
 
 
 
π π
- ;
2 2
AA’
B
B’
Trục cosin
T
r
ụ
c

s
i
n
M
H
K
x
0

•
Bảng biến thiên:
•
Đồ thị:
0
0
1
-1
0
π
π
2
0
-
π
2
-
π
y=sinx
x

2
1.5
1
0.5
-0.5
-1
-1.5
-2
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
y
x
π
π
2
0
-
π
2
-
π
f x
( )
= sin x
( )

•
c. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = cosx
•
Do hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kì 2π nên ta chỉ
cần khảo sát hàm số trên một đoạn có độ dài 2π, chẳng

hạn trên
•
Chiều biến thiên:
•
Hàm số tăng trên
•
Hàm số giảm trên
•
Chú ý:
•
có thể tịnh tiến đồ thi hàm số y = sinx dọc theo trục Ox
một đoạn bằng π/2 ta được đồ thi hàm số y = cosx
   
   
   
U
π 3π
- ;0π;
2 2
[ ]
0;π
AA’
B
B’
Trục cosin
T
r
ụ
c

s
i
n
M
H
K
x
0
 
 
 
π 3π
- ;
2 2

•
Bảng biến thiên:
•
Đồ thị:
3
2
1
-1
-2
-3
-6 -4 -2 2 4 6
3
π
2
g x

( )
= cos x
( )
y
x
π
π
2
0
-
π
2
-
π
f x
( )
= sin x
( )
1
-1
0
0
0
3
π
2
π
π
2
0

-
π
2
y=cosx
x

GHI NHỚ
•
Hàm số y = sinx
•
Có tập xác định là R.
•
Có tập giá trị là [-1;1]
•
Là hàm số lẻ.
•
Là hàm số tuần hoàn chu kì
2π.
•
Đồng biến trong mỗi khoảng:

•
Nghịch biến trong mỗi khoảng:
•
Có đồ thị là đường hình sin.
•
Hàm số y = cosx
•
Có tập xác định là R.
•

Có tập giá trị là [-1;1]
•
Là hàm số chẵn.
•
Là hàm số tuần hoàn chu kì
2π.
•
Đồng biến trong mỗi khoảng:
•
Nghịch biến trong mỗi khoảng:
•
Có đồ thị là đường hình sin.
 
 ÷
 
π π
- +k2π; +k2π
2 2
, k
 
∈
 ÷
 
¢
π 3π
+k2π; +k2π
2 2
( )
-π +k2π;k2π
( )

, k+ ∈¢k2π;π k2π