Tài liệu Bài tập cơ lượng tử doc

Bài Tập 1.1
1. Cho hai trạng thái
1 2
9i 2ψ = φ + φ
và
1 2
i 1
2 2
χ = − φ + φ
, với
1
φ
và
2
φ
là
hai vectơ trực giao chuẩn hóa và đầy đủ
a) Tính các toán tử
ψ χ
và
χ ψ
. Chúng có bằng nhau không?
b) Tìm liên hợp phức và liên hợp Hermit của
ψ
,
χ
,
ψ χ
và
χ ψ
.

c) Tính Tr(
ψ χ
) và Tr(
χ ψ
). Chúng có bằng nhau không ?
d) Tính
ψ ψ
và
χ χ
và vết Tr(
ψ ψ
), Tr(
χ χ
). Chúng có là toán tử hình chiếu
không?
Bài tập 1.2
a) Chỉ ra rằng tổng của hai toán tử chiếu không thể là toán tử chiếu, nếu không tích của
chúng bằng không.
b) Chỉ ra rằng tích của hai toán tử chiếu không thể là toán tử chiếu, nếu không chúng giao
hoán
Bài tập 1.3
a) Cho các toán tử:
X,d / dx
∧
and
id / dx
.
Khảo sát tính Hermit của những toán tử
Tìm liên hợp phức của các toán tử trên?
Từ đó tìm liên hợp phức của những toán tử tọa độ và động lượng

b) Dùng kết quả câu a) khảo sát tính Hermit của các toán tử
X d/d
e ,e
x
∧
and
id/d
e
x
.
c) Tìm liên hợp Hermit của toán tử
Xd / dx
∧
.
d) Dùng kết quả câu a) khảo sát tính Hermit của các thành phần của toán tử momen động
lượng :
L i Y / z Z / y
x
∧ ∧ ∧
 
= − ∂ ∂ − ∂ ∂
 ÷
 
h

y
,L i Z / X / zx
∧ ∧ ∧
 
= − ∂ ∂ − ∂ ∂

 ÷
 
h
,
z
L i X / y Y / x
∧ ∧ ∧
 
= − ∂ ∂ − ∂ ∂
 ÷
 
h
.
Bài tập 1.4
a) Chỉ ra rằng toán tử
2
A i X 1 d / d iXx+
∧ ∧ ∧
 
= +
 ÷
 
là Hermit.
b) Tìm trạng thái
( )
xψ
thỏa
( )
A 0x
∧

ψ =
và chuẩn hóa nó.
c) Tính xác suất tìm thấy hạt (diễn tả bởi
( )
xψ
trong miền:
1 1x
− ≤ ≤
.
Bài tập 1.5
Tìm điều kiện để toán tử cho ở câu a) và b) là Unita
a)
1 i A / 1 i A ,
∧ ∧
   
+ −
 ÷  ÷
   
b)
2 2
A i B / A B
∧ ∧ ∧ ∧
 
+ +
 ÷
 
Bài tập 2.1
Khảo sát hạt bị nhốt trong thế một chiều giới hạn bởi 0 ≤ x ≤ a và có hàm sóng cho bởi
( )
, sin( / )exp( ).x t a i t

π ω
Ψ = −

(a) Tìm thế V(x).
(b) Tính xác suất tìm thấy hạt trong khoảng a/4 ≤ x ≤ 3a/4.
Bài tập 2.2
Hạt có khối lượng m, chuyển động tự do bên trong giếng thế có bề rộng a, có hàm sóng
ban đầu ở thời điểm t = 0:
3 3 1 5
( ,0) sin sin sin
5
5
A x x x
x
a a a a
a a
π π π
ψ
     
= + +
 ÷  ÷  ÷
     
Ở đây A là hằng số thực.
(a) Tìm A sao cho
( ,0)x
ψ
được chuẩn hóa.
(b) Nếu tiến hành đo năng lượng, người ta sẽ nhận được những giá trị năng lượng nào
với xác suất bao nhiêu? Tính năng lượng trung bình
(c) Tìm hàm sóng

( , )x t
ψ
ở những thời điểm t sau.
(d) Xác định xác suất tìm thấy hệ ở thời điểm t trong trạng thái
5
( , ) 2 / sin(5 / )exp( / )x t a x a iE t
ϕ π
= − h
; và xác suất tìm thấy hạt trong trạng thái
2
( , ) 2 / sin(2 / )exp( / )x t a x a iE
χ π
= − h
.
Bài tập 2.3
Hạt có khối lượng m, chuyển động tự do bên trong giếng thế có bề rộng a, có hàm sóng
ban đầu ở thời điểm t = 0 là
( ) ( )
( )
( )
,0 3 / 5 sin 3 / 1/ 5 sin 5 / .x a x a a x a
ψ π π
= +
(a) Tìm hàm sóng ở thời diểm t là
( , )x t
ψ
(b) Tính mật độ xác suất
( )
,x t
ρ

và mật độ dòng
( )
,J x t
r
(c) Chứng tỏ xác suất bảo toàn tức là
( )
/ , 0t J x t
ρ
∂ ∂ + ∇× =
r r
Bài tập 2.4
Hệ có trạng thái ban đầu
0 1 2 3 4
2 3 / 7
ψ φ φ φ φ
 
= + + +
 
, ở đây
n
φ
là những
trạng thái riêng của Hamilton của hệ
2
0
ˆ
n n
H n
φ φε
=

.
(a) Nếu năng lượng được đo, sẽ thu được năng lượng nào và xác suất bằng bao nhiêu?
(b) Cho toán tử
ˆ
A
mà khi tác động lên
n
φ
được định nghĩa bởi
0 1
ˆ
n n
A na
φ φ
+
=
.
Nếu A được đo thì sẽ có giá trị nào và xác suất bằng bao nhiêu?
(c) Giả sử phép đo có năng lượng
0
4
ε
. Nếu chúng ta đo A ngay sau tức thời thì thu
được giá trị nào?
Bài tập 2.5
(a) Giả sử hệ trong bài tập 2.4 ở trong trạng thái
3
φ
, giá trị nào của năng lượng và giá
trị A nào ta thu được nếu chúng ta đo (i) H trước kế đến A (ii) A trước kế đến H

(b) So sánh những kết quả có được trong (i) và (ii) và suy ra
ˆ
H
và
ˆ
A
có thực hiện đồng
thời được không. Tính
3
ˆ
ˆ
,A H
φ
 
 
.
Bài tập 2.6
Khảo sát hệ vật lý có Hamiltonian H và trạng thái ban đầu
0
φ
are given by
0 0
0 0 ,
0 0
i
H i
i
ε
 
 ÷

= −
 ÷
 ÷
−
 
0
1
1
1
5
1
i
i
ψ
−
 
 ÷
= −
 ÷
 ÷
 
Ở đây ε có thứ nguyên năng lượng.
(a) Chúng ta sẽ thu được giá trị năng lượng nào? Ứng với xác suất bao nhiêu
(b) Tính
ˆ
H
Bài tập 3.1
Khảo sát hạt có khối lượng m chuyển động tự do giữa x = 0 and x = a trong thế vuông 1
chiều vô hạn
a) Tính các giá trị trung bình

2 2
, ,
n n
n n
X P X and P
∧ ∧
∧ ∧
, và so sánh những giá trị này
với giá trị tính được bằng cơ cổ điển.
b) Tính độ bất định của tích
n n
x p
∆ ∆
.
(a) Sử dụng kết quả câu b) tính năng lượng điểm không
Bài tập 3.2
Một electron di chuyển tự do bên trong thế vô hạn một chiểu giữa vị trí x = 0 và x = a. Nếu
lúc đầu electron ở trạng thái cơ bản (n = 1) của hộp và nếu thình lình chúng ta tăng kích
thước hộp lên thình lình từ x=a thành x=4a. Tính xác suất tìm thấy electron trong :
(a) Trạng thái cơ bản của hộp mới
(b) Trạng thái kích thích đầu tiên của hộp mới
Bài tập 3.3
Khảo sát hạt có khối lượng m chịu tác động thế hút
( ) ( )
0
,V x V x
δ
= −
ở đây V
0

> 0 (V
0
có
thứ nguyên của năng lượng còn x có thứ nguyên khoảng cách).
(a) Trong trường hợp năng lượng âm, chỉ ra rằng hạt chỉ có trạng thái liên kết, tìm năng
lượng liên kết và hàm sóng.
b) Xác suất mà hạt vẫn còn trog trạng thái buộc khi V
0
là (i) giãm một nửa (ii) tăng 4 lần?
(c) Khảo sát trường hợp tán xạ (i.e, E > 0) và tính hệ số phản xạ và hế số truyền theo số
sóng k.
Bài tập 3.4
Khảo sát hạt có khối lượng m chuyển động trong thế
( )
0
0
0
0
x
V x V x a
x a
∞ ≤


= − < <


>

ở đây V

0
> 0
(a) Tìm hàm sóng.
(b) Chỉ ra cách xác định trị riêng
(c) Tính giá trị cực tiểu của V
0
(theo m, a, và
h
) để hạt có 1 trạng thái liên kết (buộc).
Sau đó tính nó để có hai trạng thái liên kết. Từ hai kết quả này cố gắng tính giá trị V
o
để hệ
có n trạng thái liên kết (buộc)
Bài giải
Bài Tập 1.1
1. Cho hai trạng thái
1 2
9i 2ψ = φ + φ
và
1 2
i 1
2 2
χ = − φ + φ
, với
1
φ
và
2
φ
là

hai vectơ trực giao chuẩn hóa và đầy đủ
e) Tính các toán tử
ψ χ
và
χ ψ
. Chúng có bằng nhau không?
f) Tìm liên hợp phức và liên hợp Hermit của
ψ
,
χ
,
ψ χ
và
χ ψ
.
g) Tính Tr(
ψ χ
) và Tr(
χ ψ
). Chúng có bằng nhau không ?
h) Tính
ψ ψ
và
χ χ
và vết Tr(
ψ ψ
), Tr(
χ χ
). Chúng có là toán tử hình chiếu
không?

a) Bra của
1 2
9i 2ψ = φ + φ
là
1 2
9i 2ψ = − φ + φ
và
1 2
i 1
2 2
χ = − φ + φ
là
1 2
i 1
2 2
χ = φ + φ
Chúng ta có
( ) ( )
1 2 1 2
1
9i 2 i
2
ψ χ = φ + φ φ + φ


( )
1 1 1 2 2 1 2 2
1
9 9i 2i 2
2

= − φ φ + φ φ + φ φ + φ φ

( )
1 1 1 2 2 1 2 2
1
9 2i 9i 2
2
χ ψ = − φ φ − φ φ − φ φ + φ φ
Ta thấy
ψ χ
và
χ ψ
là không bằng nhau; chúng chỉ bằng nhau khi
ψ
và
χ
là
tỉ lệ với nhau qua hằng số thực
Tìm Liên hợp phức của
ψ

ψ χ
ta chỉ biến đổi liên hợp phức của hệ số phức, ket
vẫn giữ là ket và bra vẫn giữ là bra
1 2
' 9i 2ψ = − φ + φ
,
1 2
1
(i )

2
χ = φ + φ
( ) ( )
1 1 1 2 2 1 2 2
1
' 9 9i 2i 2
2
ψ χ = − φ φ − φ φ − φ φ + φ φ
( ) ( )
1 1 1 2 2 1 2 2
1
' 9 2i 9i 2
2
χ ψ = − φ φ + φ φ + φ φ + φ φ
Liên hợp Hermit của
ψ
,
χ
,
ψ χ
và
χ ψ
, chúng ta thay bra bởi ket và ket bởi
bra biến đổi i thành (-i)
†
1 2
9i 2ψ = ψ = − φ + φ
,
( )
†

1 2
1
i
2
χ = χ = φ + φ

( ) ( )
†
1 1 1 2 2 1 2 2
1
9 2i 9i 2
2
ψ χ = χ ψ = − φ φ − φ φ − φ φ + φ φ

( ) ( )
†
1 1 1 2 2 1 2 2
1
9 9i 2i 2
2
χ ψ = ψ χ = − φ φ + φ φ + φ φ + φ φ
b) Sử dụng tính chất Tr(AB) = Tr(BA) và bởi vì
1 1 2 2
| | 1φ φ = φ φ =
và
1 2 2 1
| | 0φ φ = φ φ =
, chúng ta có
( ) ( )
Tr Tr | |ψ χ = χ ψ = χ ψ

( )
1 2 1 2
i 1 7
9i 2
2 2 2
 
= φ + φ φ + φ = −
 ÷
 
( ) ( )
Tr Tr | |χ ψ = ψ χ = ψ χ

( )
1 2 1 2
i 1 7
9i 2
2 2 2
 
= − φ + φ − φ + φ = −
 ÷
 

( )
Tr= ψ χ
c) Biểu thức
ψ ψ
và
χ χ
là

( ) ( )
1 2 1 2
9i 2 9i 2ψ ψ = φ + φ − φ + φ

1 1 1 2 2 1 2 2
81 18i 18i 4= φ φ + φ φ − φ φ + φ φ