Tài liệu Giải tích hàm một biến biên soạn Viện toán học P3 pdf

Chơng 6.
Đạo hàm


10
0
Chứng minh
Nếu f có đạo hàm thì
0lim
0
=

f
x

(vì ngợc lại thì f không thể có
đạo hàm hữu hạn). Điều này có nghĩa là
)()(lim
0
0
xfxf
xx
=

, hay
f
liên tục tại
0
x
.
Chú ý

Điều khẳng định ngợc lại của định lý trên không đúng. Ví dụ hàm số
xxf =)(
liên
tục tại 0 nhng không có đạo hàm tại 0 (Thí dụ 4).
6.3. Các phép toán cơ bản trên đạo hàm
____________

Trong mục này ta xét một số tính chất quan trọng của đạo hàm. Nhờ chúng mà ta tính
đợc đạo hàm của những hàm số phức tạp thông qua đạo hàm của các hàm cơ bản. Ví
dụ muốn tính đạo hàm của hàm số
17
)87()1(
)(
2
925
++
+++
=
xx
xxx
xf
,
ta không cần phải dựa vào định nghĩa của đạo hàm
và tìm giới hạn của biểu thức
x
xfxxf
x

+

)()(
lim
0

mà chỉ cần tính đợc đạo hàm của
đơn thức
và cách lấy đạo hàm của
tổng
, của
thơng
, Đồng thời ta cũng tính đợc đạo hàm của các hàm
lôgarit
, hàm
lũy thừa
tổng
quát, hàm
lợng giác
, hàm
lợng giác ngợc
, thông qua việc tính đạo hàm của hàm
số exp(.), hàm số sin(.) và các quy tắc lấy đạo hàm của hàm hợp, hàm ngợc, Trớc
hết ta lu ý
Nhận xét

Đạo hàm của hàm hằng
(
f
(

x
) =
c với mọi x
)
đồng nhất bằng không.

Chứng minh có ngay từ định nghĩa của đạo hàm.
6.3.1. Các phép toán số học
Mệnh đề
Nếu
f
và g là có đạo hàm tại
0
x
, thì
gfgf .,
cũng có đạo hàm tại đó và
(i)
),(')(')()'(
000
xgxfxgf =

(ii)
)()()()()().(
00000
xgxfxgxfxgf

+

=

.
(iii)
Nếu

0)(
0
xg

thì

g
f

cũng có đạo hàm tại

0
x

và

)(
)()()()(
)()(
0
2
0000
0
xg
xgxfxfxg

x
g
f



=

.
Chứng minh

(i) Suy ra ngay từ tính chất của phép lấy giới hạn của tổng (hiệu).
(ii) Ta có nhận xét sau đây
=++ )().()().( xgxfhxghxf )()()[()()]()([ xghxgxfhxgxfhxf ++++
].
Chơng 6.
Đạo hàm

10
1
Chia cả 2 vế cho
h
rồi cho
h
tiến dần tới 0, lu ý rằng do tính liên tục của hàm
g

mà
g(x+h)
tiến tới

g(x),
từ đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh.
(iii) Chứng minh bằng những lập luận tơng tự.
Mệnh đề đã đợc chứng minh đầy đủ.
Hệ quả
1)
Nếu
f
có đạo hàm tại
0
x
và c là hằng số, thì c
f
có đạo hàm tại
0
x
và
)(')()'(
00
xcfxcf =
.
(Đây là hệ quả của (ii) trong trờng hợp
g
là hàm hằng).
2)
Nếu g có đạo hàm tại
0
x
và
0)(

0
xg
, thì
g
1
cũng có đạo hàm tại
0
x
và
)(
)('
)(
1
0
2
0
0
xg
xg
x
g
=

.
(Đây là hệ quả của (iii) khi
f
bằng 1).
6.3.2. Đạo hàm của hàm hợp
Cho
UXf :
có đạo hàm tại
0
x
,
ZUg :
có đạo hàm tại
)(
0
o
xfu =
. Dới đây
là cách tính đạo hàm của hàm hợp
g
[
f
(
x
)] (hay còn đợc ký hiệu là
fg
D
) thông qua
đạo hàm

f
' và
g
'.
Mệnh đề
Nếu
)(xfu =
có đạo hàm tại
0
x
và
)(ugy =
có đạo hàm tại
)(
00
xfu =
, thì
fg
D

cũng có đạo hàm tại
0
x
và
)().(})]([{:)()(
0000
xfugxfgxfg

=

=

D
.
(Vế phải là: đạo hàm của
y
theo
u
nhân với đạo hàm của
u
theo
x
).
Chứng minh Ta chú ý rằng
)]()(.[
)()(
)]([)]([
)]([)]([ xfhxf
xfhxf
xfghxfg
xfghxfg +
+
+
=+

Đặt
)(
00
xfy =
và

)()(
00
xfhxfy +=
, từ biểu thức trên ta có
)]()(.[
)()(
)]([)]([
00
00
00
xfhxf
y
ygyyg
xfghxfg +

+
=+

Chú ý rằng khi
h
tiến tới 0 thì
y
cũng tiến tới 0, cho nên sau khi chia 2 vế của biểu
thức trên cho
h
rồi cho
h
tiến tới 0, từ định nghĩa của đạo hàm ta suy ra điều phải chứng
minh.
Chơng 6.

Đạo hàm


10
2
6.3.3. Đạo hàm của hàm ngợc
Mệnh đề

Giả sử
)(yfx =
có đạo hàm tại
),(
0
bay
và
0)(
0


yf
. Nếu tồn tại hàm ngợc
)(xgy =

liên tục tại
)(
00
yfx =
thì tồn tại đạo hàm
)(
0

xg

và
)(
1
)(
0
0
yf
xg

=

.
Chứng minh
Theo định nghĩa hàm ngợc chúng ta có
)]([ xgfx =
,
cho nên lấy đạo hàm cả 2 vế và áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp cho vế phải ta đợc
)(')].(['1
00
xgxgf=

Để ý rằng
)(
00
xgy =
ta có ngay điều cần chứng minh.
Thí dụ
Cho

2
)( yyfx ==
,
),0( y
. Dễ dàng thấy rằng
f
có hàm ngợc
xxfxgy ===

)()(
1
. Ta áp dụng định lý trên và có ngay kết quả
x
yyf
xg
2
1
2
1
)('
1
)(' ===

đúng nh đã biết trớc đây bằng cách tính trực tiếp theo định nghĩa.
6.3.4. Đạo hàm các hàm sơ cấp
Dựa vào các kết quả tính đạo hàm (bằng định nghĩa) đối với các hàm
đơn thức
, hàm số
sin
, hàm số

mũ
, kết hợp với các quy tắc đã thiết lập trong phần này, chúng ta dễ dàng
suy ra các công thức tính đạo hàm (còn gọi là gọi là
bảng đạo hàm
) dới đây:

1.
constcy ==

.0
xy =


2.
x
y =

.1
xy =


3.
n
xy =
(
n
nguyên dơng)
.,.
1

=

n
xny

4.
x
y
1
=

.0,
1
2
=

x
x
y

5.
xy =

.0,
2
1
>=

x
x

y

6.
x
ey =

.
xey
x
=



0, >= aay
x

.ln
xaay
x
=


7.
)ln(
xy =

.0,
1
>=

x
x
y

Chơng 6.
Đạo hàm

10
3

)(log xy
a
=

.0,
)ln(
1
>=

x
ax
y

8. )sin(
xy =
.)cos(
xxy =


9.

)cos(
xy =

.)sin(
xxy =


10.
y
= tan(
x
)

2
)12(,
)(cos
1
2

+=

kx
x
y
(
k
nguyên).
11.

y

= cot(
x
)

=

kx
x
y
,
)(sin
1
2
(
k
nguyên).
12.
)arcsin(
xy =

.11,
1
1
2
<<

=

x
x

y

13.
)arccos(xy =

.11,
1
1
2
<<

=

x
x
y

14.
y= arctan(x)

.
1
1
2
x
x
y
+
=

15.
y= arccot(x)


.
1
1
2
x
x
y
+
=


6.4. Các định lý cơ bản
_____________________________

6.4.1. Định lý Fermat (về điều kiện cực trị)
Trớc hết ta trình bày định lý về giá trị cực tiểu, cực đại của hàm số mà ta gọi chung là
cực trị. Cho hàm số
f
xác định trên khoảng
(
a,b
).
Ta nói rằng
f
đạt

cực tiểu
(
cực đại
)
tại
),(
bac
nếu
)()(
xfcf

))()((
xfcf
đúng với mọi
),( bax
.
Định lý sau cho ta
điều kiện cần
của cực trị.
Định lý (Fermat) C
ho
f
xác định trên khoảng (a,b). Nếu
f
đạt cực trị tại điểm
),(
bac
và
)(cf

tồn tại, thì
0)( =

cf

Chứng minh Ta chứng minh định lý này cho trờng hợp cực đại, trờng hợp cực tiểu
chứng minh hoàn toàn tơng tự.
Giả sử rằng

f
(
c
)
là giá trị cực đại của hàm
f
trên
(
a,b
),
và
f
'
(c) tồn tại.
Xét đại lợng
x
cfxcf

+
)()(
,

trong đó
x
lấy đủ nhỏ để
),(
baxc +
. Vì

f
(
c
)
là cực đại nên
)()(
cfxcf +
hay
0)()(
+ cfxcf
.
Chơng 6.
Đạo hàm


10
4
Cho nên khi
x
> 0 thì
0
)()(

+
x
cfxcf
.
Khi
0
x
thì đại lợng này tiến tới

f'
(
c
).
Vậy
0
)()(
lim)('
0


+
=

x
cfxcf
cf
x
.
Khi

x
< 0 thì
0
)()(


+
x
cfxcf
.
Qua giới hạn ta đợc
0
)()(
lim)('
0


+
=

x
cfxcf
cf
x
.
Từ hai điều trên ta suy ra
f'
(
c
) = 0

. Định lý đã đợc chứng minh.
6.4.2. Định lý Rolle
Xét hàm số
f
xác định và liên tục trên đoạn
[
a
,
b
].
Đoạn đồ thị nối hai điểm
(
a,f
(
a
))
và
(
b,f
(
b
))
đợc gọi là cung. Ta giả sử
)()(
bfaf =
và hàm số
f

có đạo hàm trên khoảng
(

a,b
).
Khi ấy chắc chắn sẽ có điểm
),(
bac
để tiếp tuyến đi qua điểm
(
c,f
(
c
))
của đồ
thị sẽ song song với trục

Ox
.
Cụ thể ta có
Định lý

(Rolle):
Cho
f
là hàm liên tục trên đoạn
[
a,b
]
và có đạo hàm tại mọi
),(
bax
.

Nếu
)()(
bfaf =
thì tồn tại ít nhất một điểm
),(
bac

để
f'
(
c
)
= 0
.
Chứng minh
Từ giả thiết liên tục của
f
trên đoạn đóng
[
a,b
],
theo Định lý
Weierstrass,

hàm

f

phải đạt giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trên [
a

,
b
], tức là tồn tại
các điểm
[]
baxx
,,
21

sao cho
[]
mxfxf
bax
==

)(min)(
,
1
và
[]
Mxfxf
bax
==

)(max)(
,
2
.
Có hai khả năng:
a)

m = M
.
Khi ấy
constxf =
)(
trên [a,b], do đó
0)(
=

xf
với mọi
),(
bax
.
b)


m
<
M
.
Khi ấy vì
)()(
bfaf =

nên ít nhất một trong 2 điểm
1
x
,

2
x
sẽ không trùng
với các đầu mút
a
và
b
. Theo Định lý Fermat thì đạo hàm bằng 0 tại điểm này.
Định lý Rolle đã đợc chứng minh xong.
Thí dụ
Ta áp dụng Định lý Rolle cho hàm

f
(
x
)=cos(
x
)

trên đoạn
)5,(


.
Do
)5(1)(

ff ==
và hàm cos có đạo hàm
)sin()]'[cos(

xx =
trên toàn đoạn
)5,(

nên ta lấy

5,
== ba
thì mọi điều kiện của định lý trên đều đợc thỏa mãn.
Theo định lý này ta suy ra tồn tại điểm
)5,(

c
để
0)]'[cos(
=x
. Đó chính là các
điểm

4,3,2
=x
.
Chơng 6.
Đạo hàm

10
5
6.4.3. Định lý Lagrange về giá trị trung bình
Đây là sự tổng quát hóa Định lý Rolle. Ta biết rằng hệ số góc của đờng thẳng qua hai
điểm

(
a, f(a)
)
và
(
b, f(b)
)
trên đồ thị của hàm
f
chính là đại lợng
ab
afbf


)()(
. Vì hệ
số góc của tiếp tuyến đối với đồ thị tại điểm
(
c, f(c)
)
chính bằng
f'(c),

cho nên, nếu
đờng tiếp tuyến tại
(
c, f(c)
)
song song với dây cung nối
(

a, f
(
a
))
và
(
b
,
f
(
b
))
thì phải có
ab
afbf
cf


=

)()(
)(
.
Định lý
(Lagrange):
Cho hàm
f
liên tục trên đoạn

[

a,b
]
và có đạo hàm tại mọi điểm của
khoảng
(
a,b
)
.
Khi ấy tồn tại ít nhất một điểm
c
(
a,b
)
để
ab
afbf
cf


=

)()(
)(
.
Chứng minh Đặt
)(
)()(
)()(
ax
ab

afbf
xfxg


=
.
Ta có
g
(
a
) =
g
(
b
)
.
Hàm số
g
thỏa mãn mọi điều kiện của Định lý Rolle. Theo định lý
này ta suy ra tồn tại ít nhất một điểm
c
(
a,b
)
để
g'
(
c
)
=

0.
Chú ý rằng
ab
afbf
cfcg




=

)()(
)()(
.
Nên từ đẳng thức trên ta có ngay điều cần chứng minh.
Thí dụ
Một ô tô chuyển động trên đờng thẳng theo công thức
y
=
s
(
t
).

Ta biết rằng đại lợng
ab
asbs


)()(

là
vận tốc trung bình
của ô tô trong khoảng từ
a
đến
b
. Theo định lý giá trị trung bình
tồn tại ít nhất tại một thời điểm
c

nào đó giữa (
a,b
)

sao cho
vận tốc tức thời
của ô tô
đúng bằng
vận tốc trung bình
này.
6.4.4. Các hệ quả
Định lý
(Cauchy):
Cho các hàm
f
,
g
liên tục trên đoạn
[

a,b
]
và có đạo hàm tại mọi điểm của
khoảng

(
a,b
)
, ngoài ra
0)('
xg
trên

(
a,b
)
.
Khi ấy tồn tại ít nhất một điểm
c
(
a,b
)
để
)('
)('
)()(
)()(
cg
cf
agbg

afbf
=


.
Chứng minh
Từ Định lý Lagrange và điều kiện
0)('
xg
trên

(
a,b
)
ta suy ra rằng
0)()(
agbg
. Xét hàm số
Chơng 6.
Đạo hàm


10
6
)]()([
)()(
)()(
)()()(
agxg
agbg

afbf
afxfxF


=

ta thấy rằng nó thoả mãn mọi điều kiện của Định lý

Rolle. Cho nên tìm đợc
),(
bac

sao cho
0)('
=cF
. Bằng tính toán trực tiếp ta suy ra ngay đây chính là điểm cần tìm.
Hệ quả

Nếu đạo hàm của hàm số bằng
0
trên một đoạn nào đó thì hàm số đó là hằng trên
đoạn ấy
.
Chứng minh

Thật vậy, cho
a, b
là hai điểm khác nhau (bất kỳ) thuộc đoạn cho trớc.
Theo định lý giá trị trung bình ta tìm đợc điểm
c

(
a,b
)
để
0)(
)()(
=

=


cf
ab
afbf
.
Từ đây suy ra
)()(
afbf =
. Cho nên
f
là hàm hằng.
Hệ quả
Nếu hai hàm số có cùng một đạo hàm trên đoạn cho trớc thì chúng chỉ sai khác nhau
một hằng số
.
Chứng minh Suy ra từ hệ quả trên bằng cách xét hiệu của hai hàm.
107
_________________________________
Bài tập và

Tính toán thực hành Chơng 6
1. Câu hỏi củng cố lý thuyết
_______________________

Bài 1
Tìm chỗ sai trong tính toán sau rồi sửa lại cho đúng:
1) [sin(2x)]' = cos(2x);
2)
)12()2(
2][

=
xx
xee
dx
d
;
3)
[xsin(x)]' = 1+ cos(x).
Bài 2
Cho
f
(
x
) là một hàm chẵn (lẻ ), khả vi trên
),(
.
a) Chứng minh rằng f'
(
x

)
là một hàm lẻ (chẵn).
b) Điều ngợc lại có đúng không ?
2. Tính đạo hàm của hàm số thông thờng
___________

Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1)
3
23
2
35
x
xxy =
; 2)
x
ey
1
2
sin
=
;
3)
1
22
+= xxy
; 4)
42
4
++= xxy

;
5)
)2(cos
3
xy =
; 6)
)2sin(
)(cos
2
x
x
y =
;
7)
)]1ln[sin(
2
+= xy
;
3. Tính đạo hàm của hàm ẩn
_______________________

Tính đạo hàm
dx
dy
của các hàm ẩn sau:
1)
3
22
=
yx

tại (2,1) ;
2)
12
22
=+ xyyx
tại (3,1) ;
3) 742
23
=++ xxyy tại (1,1) ;
4)
4
5235
=+++ yyxxyx
tại (1,1) ;
Bài tập và tính toán thực hành

Chơng 6


10
8
5)
2)sin(
2
=+

y
xy
tại
)

2
,1(

.
4. Các định lý giá trị trung bình và ứng dụng
__________

Bài 1
Chứng minh rằng với mọi
11 x
ta luôn có
2
)arccos()arcsin(

=+ xx
.
Bài 2
Chứng minh rằng phơng trình
)1ln()arctan(2
2
xxx +=
có một nghiệm duy nhất
x
=
0
.
Bài 3
Cho
m

>
0 còn
a,b,c
là ba số bất kỳ thoả mãn điều kiện
0
12
=+
+
+
+ m
c
m
b
m
a
. Chứng
minh rằng phơng trình
0
2
=++ cbxax
có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0,1).
Bài 4
Chứng minh bất đẳng thức
b
ba
b
a
a
ba
<

<

ln
.
Bài 5
Cho
a, b, c, d
là các số bất kỳ. Chứng minh bất đẳng thức
64
3
1
cdbdbcadacabbcdacdabdabc +++++







+++

.
Bài 6
Chứng minh rằng biểu thức






+
+
2
1
2
arcsin)arctan(2
x
x
x

nhận giá trị

nếu
x1
và nhận giá trị


nếu
1x

.
Bài 7
Chứng minh rằng với hai số
a, b
bất kỳ
a)
baba sinsin
;
b)
baba arctanarctan
.
Bài 8
Cho hàm số liên tục
]1,0[]1,0[: f
có đạo hàm trên (0,1) thoả mãn
f(0) = 0
và
f
(
1
)
= 1
. Chứng minh rằng tồn tại
a,b
trên (0,1) sao cho
ba
và
f'(a).f'(b) = 1.
Bài 9
Chứng minh rằng

ne
xx
n
2
1
1 <
với mọi
x
thuộc (0,1) .
5. Bài tập nâng cao

______________________________

Bài 1
Cho
7
)7sin(
5
)5sin(
3
)3sin(
)sin()(
xxx
xxf +++=
. Chứng minh rằng:
2
1
9
' =

f
.
Bài tập và tính toán thực hành

Chơng 6


10
9
Bài 2
Cho hàm
( )
{
}
xmx
n
nm
!coslimlim)(


=
.
Chứng minh rằng
)(x

là hàm Dirichlet, tức là
)(x

=0 khi x là số vô tỷ và
)(x

=1
khi x là số hữu tỷ.
Suy ra
)(x

gián đoạn tại mọi điểm x.
6. Thực hành tính toán đạo hàm
____________________

Để thực hành tính đạo hàm , hãy đa vào dòng lệnh có cú pháp nh sau:
[>

diff(f(x),x);

Trong đó
f
(
x
) là hàm số và
x
là biến số mà ta cần tính đạo hàm. Sau dấu (;), ấn phím
"Enter" thì việc tính đạo hàm sẽ đợc thực hiện và sẽ có ngay đáp số.
Thí dụ

[>
diff(x^2*sqrt(x^2+1),x);
1
12
2
3
2
+
++
x
x
xx

Muốn biểu diễn quá trình này một cách tờng minh (qua các công thức quen biết) ta
dùng các thủ tục sau đây:
Xác định hàm số bằng dòng lệnh có cú pháp nh sau:
[>
f:=x -> Biểu thức của x
Thiết lập công thức đạo hàm của
f
(
x
) theo biến
x
bằng dòng lệnh có cú pháp nh sau:
[>

Diff(f(x),x);
Tìm giá trị thực tế của biểu thức trên bằng dòng lệnh có cú pháp nh sau:
[>

f_prim:=value(");
Muốn rút gọn biểu thức này ta dùng lệnh:
[>
simplify(");
Thí dụ
[>

f:=x->5*x^3-3*x^2-2*x^(-3);
3
23
2
35:
x
xxxf =

[>

Diff(f(x),x);







3
23
2
35
x

xx
x



[>

f_prim:=value(");

Bµi tËp vµ tÝnh to¸n thùc hµnh

Ch−¬ng 6


11
0
4
2
6
615:prim_
x
xxf +−=

ThÝ dô
[>

f:=x -> ((cos(x))^2/sin(2*x));
)2sin(
)cos(
:

2
x
x
xf →=

[>

Diff(f(x),x);

)2sin(
)cos(
2
x
x
x
∂
∂

[>

f_prim:=value(");

2
2
)2sin(
)2cos()cos(
2
)2sin(
)sin()cos(
2:prim

x
xx
x
xx
f −−=

[>

simplify(");

2
2
)2cos(1
)cos(
2
x
x
+−
.
(L−u ý r»ng m¸y kh«ng viÕt
)(cos
2
x
, nh− chóng ta hay viÕt, mµ viÕt lµ
2
)cos(x
).
111
Chơng 7
________________________________

ứng dụng
của đạo hàm
7.1. Vi phân
________________________________________

7.1.1. Khái niệm
Vi phân là một khái niệm độc lập nhng có quan hệ mật thiết với khái niệm đạo hàm.
Để trình bày khái niệm này ta đa ra
Định nghĩa Hàm số r(x) đợc gọi là một đại lợng vô cùng bé bậc cao tại lân cận
điểm a nếu nh nó thỏa mãn điều kiện sau
0
)(
lim =


a
x
xr
ax
.
Khi ấy, với
axx =
, ngời ta nói rằng
r
(
x
) là
vô cùng bé
bậc cao hơn

x
(tại lân cận
điểm
a
) và ký hiệu nó là
o
(
x
). Nếu
a =
0 thì
xx
= và trong trờng hợp này một
đại lợng vô cùng bé (bậc cao hơn
x
tại lân cận điểm gốc) sẽ đợc ký hiệu là
o
(
x
).
Nh vậy, theo định nghĩa ta có
0
)(
lim
0
=



x

xo
x
.
Nhớ lại rằng số gia của hàm số
y = f
(
x
) (tơng ứng với số gia
x
của biến số) thờng
đợc ký hiệu là y, chúng ta đa ra
Định nghĩa

Hàm
f
đợc gọi là khả vi tại điểm
),(
0
bax
nếu tồn tại một số
K
sao
cho
xKy .
là một đại lợng vô cùng bé bậc cao tại lân cận điểm x
0
, nghĩa là
)(.)()(:
00
xoxKxfxxfy +=+=

.
Biểu thức
xK .
đợc gọi là vi phân cấp 1 của hàm
f
tại điểm x
0
(ứng với số gia biến
số là
x
) và đợc ký hiệu là dy.
Nhận xét
Từ định nghĩa ta có ngay vi phân của biến số độc lập đúng bằng số gia của biến số,
nghĩa là :
xdx =
. Và vì vậy ngời ta còn viết vi phân của hàm số là dy = K.dx
Thí dụ
Hàm
2
xy =
là hàm khả vi tại điểm x = 1 và có vi phân tại đó là dy = 2dx, bởi vì
222
)(.21)1( xxx +=+
mà đại lợng
2
)( x
rõ ràng là một vô cùng bé bậc cao
(dễ dàng kiểm tra bằng định nghĩa).
Chơng 7.
ứng dụng của đạo hàm

11
2
7.1.2. Quan hệ giữa đạo hàm và vi phân
Định lý

f
khả vi tại
x
khi và chỉ khi nó có đạo hàm tại
x
.
Chứng minh Giả sử
f
khả vi tại
x
, khi đó ta có
)(. xoxKy +=

Suy ra
x
xo
K
x
y


+=

)(
, và khi cho
0
x
ta thấy rằng giới hạn
x
y
x


0
lim
là tồn tại.
Nh vậy, theo định nghĩa, hàm
f
là
có đạo hàm
tại
x
, và ngoài ra
Kxf =

)(
.
Đảo lại, giả sử
f
có đạo hàm tại
x
. Khi ấy tồn tại
)('lim

0
xf
x
y
x
=



, hay đại lợng
)(')(
xf
x
y
xu


= (*)
sẽ tiến tới 0 khi

x tiến tới 0. Nh vậy đại lợng
)(.:)( xuxxr =
sẽ là vô cùng bé
bậc cao khi

x tiến tới 0. Biểu thức (*) có thể viết lại thành
)().(')()(
xoxxfxrxxfy +=+

=

Điều này có nghĩa rằng
f
là hàm khả vi tại x, và ngoài ra
dxxfdy
).(

=
.
Nhận xét
Từ định lý trên và các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thơng, hàm hợp,
hàm ngợc, của các hàm số ta dễ dàng tính đợc vi phân của một hàm phức tạp
thông qua vi phân của các hàm đơn giản
Thí dụ

dvduvud =
)(
,
vduudvuvd +=)(
.
Nhận xét
Chính mối quan hệ mật thiết nêu trên giữa đạo hàm và vi phân đã dẫn đến một cách ký
hiệu đạo hàm nữa, thông qua khái niệm vi phân, đó là
f
dx
d
dx
df
,
,

dx
dy
, . Xin lu ý
rằng đây là những ký hiệu mang tính hình thức (mà không có nghĩa là thơng của 2
đại lợng).
7.1.3. Vi phân và phép tính xấp xỉ
Định nghĩa của vi phân cho thấy rằng nó là một xấp xỉ tốt của số gia hàm số tại lân cận
điểm đang xét. Độ lệch giữa nó và số gia hàm số là không đáng kể so với độ lệch của
biến số so với điểm đang xét, cho nên đại lợng
dyxf +
)(
0
sẽ là một xấp xỉ tốt của
)(
0
xxf +
. Nghĩa là
xxfxfdxxfxfdyxfxxf +=+=++
).(')()(')()()(
000000
.
Nh vậy, để có một xấp xỉ tốt của giá trị hàm số tại các điểm lân cận x
0
ta chỉ cần biết
đợc giá trị và đạo hàm của hàm số tại đúng điểm x
0
. Chúng ta hãy minh họa điều này
qua các ví dụ dới đây.
Chơng 7.
ứng dụng của đạo hàm

11
3
Thí dụ
Hãy tính
3
29
.
Ta biết rằng không thể tính chính xác đợc giá trị này, cho nên ta phải tính xấp xỉ của nó.
Đặt
3
)( xxf =
. Khi x = 27 ta tính đợc chính xác
327
3
=
. Ngoài ra ta còn biết rằng
3/2
3/2
)27(3
1
)27(
3
1
)27(' ==

f
.
Lấy
2=x

và áp dụng công thức
xafafxaf ++ )(')()(
ta đợc
2)27(')27(29
3
ff +

0741,30741,03
27
2
3 =+=+=
.
Vậy
0741,329
3

.
Tổng quát
Muốn tính giá trị hàm số
f
tại một điểm
b
nào đó thì:
1) Chọn điểm
a
gần điểm
b
mà
f
(

a
),
f
'
(
a
) là tính đợc.
2) Lấy
abx =
(
x
có thể dơng hoặc âm tùy theo vị trí của
b
).
3) Tính
xafaf + )(')(
. Đó chính là xấp xỉ của
f
(
b
). Ta viết
)(')()()( afabafbf +
.
Thí dụ

Tính giá trị xấp xỉ của hàm
y = tan(x)
tại các điểm gần
4

.
Ta có
1)
4
tan()
4
( ==

f
,
)(sec)('
2
xxf =
,


2)2()
4
(sec)
4
('
22
===

f
.
Vậy tại các điểm gần
4

hàm

tan(x)
đợc tính một cách xấp xỉ bằng

)
4
)(
4
(')
4
()(

+= xffxp

)
4
(21

+= x
.
7.2. Công thức Taylor
_______________________________

7.2.1. Đặt vấn đề
Phần trên ta đã thấy rằng hàm affine
))(()(
00
'
0
xxxfxf +

là một xấp xỉ khá tốt của hàm
f
trong lân cận của điểm
0
x
. Đây là cách xấp xỉ đơn
giản, dễ tính toán, tuy nhiên độ chính xác không thật cao (chỉ là vô cùng bé bậc cao
hơn 1 mà thôi). Khi có nhu cầu tìm một xấp xỉ với độ chính xác cao hơn, ta phải tìm ở
ngoài lớp hàm affine, và lớp hàm tự nhiên đợc để ý tới sẽ là lớp các hàm đa thức, tức
là hàm số có dạng
n
no
xaxaaxP +++= )(
1
.
Lớp hàm này tuy là phi tuyến, nhng dễ tính toán, cho nên cũng rất phổ biến. Mở rộng
trực tiếp phơng pháp xấp xỉ một hàm bằng vi phân đã đa đến phơng pháp dùng đa
thức Taylor mô tả dới đây.

Chơng 7.
ứng dụng của đạo hàm


11
4
7.2.2. Đa thức Taylor
Cho hàm số
f
có đạo hàm cấp cao hơn n tại
0

x
. Khi ấy đa thức
n
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxP )(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
++

+

+=

đợc gọi là đa thức Taylor bậc
n
tơng ứng với hàm
f
tại
0
x
.
Thí dụ
Tìm đa thức Taylor bậc 5 của hàm
xxf sin)( =
tại điểm
0
x
=0.
Ta có bảng tính đạo hàm cấp cao của hàm số
xsin
tại điểm
x = 0
nh sau:
.1)0cos()0()cos()(
,0)0sin()0()sin()(
,1)0cos()0()cos()(
,0)0sin()0()sin()(
,1)0cos()0()cos()(
,0)0sin()0()sin()(
)5()5(
)4()4(
===
===

==

=

==

=

==

=

===
fxxf
fxxf
fxxf
fxxf
fxxf
f
x
x
f

Vậy
xxffxP )0()0()(
1
=

+=

!3
!3
)0(
)0()0()(
3
5
)3(
3
x
x
x
f
xffxP
=
+

+=

!5!3
!5
)0(
)0()0()(
53
5
)5(
5
xx
x
x
f

xffxP
+=
++

+=

Để thấy đợc tính năng xấp xỉ của đa thức Taylor đối với hàm phi tuyến nói
chung, và đối với hàm
sin(x)
nói riêng, ta hãy quan sát các đồ thị của chúng
(nh trong Hình vẽ 7.1)

7.2.3. Phần d và dạng Lagrange của phần d
Cho hàm số
f
và đa thức Taylor
);( axP
n
bậc n tơng ứng với
f
tại a. Để làm rõ khả
năng xấp xỉ của đa thức Taylor, ta xem xét biểu thức
);()();( axPxfaxR
nn
=
,
còn đợc gọi là phần d hoặc sai số của hàm
f
khi dùng xấp xỉ là đa thức Taylor.
Biểu thức

);();( axRaxP
nn
+
thờng đợc gọi là khai triển Taylor (bậc n) của hàm
f
(x).
Mệnh đề
Nếu
f
có đạo hàm liên tục tới cấp (n+1) trên [a,b] , thì tồn tại số
),( bac
sao cho
1
)1(
)(
)!1(
)(
),(
+
+

+
=
n
n
n
ab
n
cf
baR

.









Hình 7.1
Chơng 7.
ứng dụng của đạo hàm

11
5
Chứng minh
Ký hiệu

là số thỏa mãn
1
1
)(
)(
)!1(
)(
)1(
)(
)()(
+

=

+
+
+
=

nk
n
k
k
ab
n
ab
n
af
afbf

.
Xét hàm số
1
1
)(
)(
)!1(
)(
!
)(
)()()(
+

=

+
=

nk
n
k
k
xb
n
xb
k
xf
xfbfxh

.
Hàm
h(x)
có đạo hàm liên tục trên [
a,b
] và
h(a) = h(b) = 0.
Theo định lý giá trị
trung bình ta tìm đợc
),( bac
sao cho
0)( =

ch

, tức là
nnn
cb
n
cbcf
n
ch )(
!
))((
!
1
)(0
)1(
+=

=
+

.
Suy ra
)(
)1(
cf
n+
=

và mệnh đề đã đợc chứng minh xong.
Nhận xét
Định lý trên cho thấy rằng khi đạo hàm cấp n+1 của
f

là bị chặn thì sự sai khác giữa
hàm số
f
và đa thức Taylor của nó là một vô cùng bé bậc cao cấp n+1, và vì vậy đa
thức Taylor là một xấp xỉ lý tởng khi n đủ lớn.
7.3. Tìm giới hạn
___________________________________

7.3.1. Giới hạn dạng không xác định
0
0

Định lý
(lHôpital 1): Giả sử
f
,g là các hàm khả vi liên tục trong lân cận điểm a thỏa mãn
điều kiện
f
(a) = g(a) = 0. Nếu tồn tại giới hạn
L
xg
xf
ax
=



)(
)(
lim

thì cũng tồn tại giới hạn
L
xg
xf
ax
=

)(
)(
lim
.
Chứng minh

Sử dụng Định lý Rolle cho hàm
)()]()([)()]()([)( ygxfafyfagxgyF +=

ta tìm đợc điểm

nằm giữa
a
và
x
sao cho
)()]()([)()]()([


fagxggafxf

=

.
Để ý rằng
f(a)=g(a)=0
ta có
)()()()(


fxggxf

=

. Do sự tồn tại của giới hạn
L
xg
xf
ax
=



)(
)(
lim
ta suy ra rằng
g'(x) 0
tại những điểm khác
a
trong lân cận đủ nhỏ
của điểm

a
và theo định lý giá trị trung bình
g(x)


0 tại những điểm
x

a
trong một
lân cận đủ bé của
a
.
Nh vậy từ đẳng thức trên ta suy ra
)(
)(
)(
)(


g
f
xg
xf


=
.
Để ý rằng khi
x

tiến dần tới

a

thì

cũng tiến dần tới
a

(do bị kẹp giữa
x

và
a
), cho
nên từ đây ta có ngay điều cần chứng minh.
Chơng 7.
ứng dụng của đạo hàm


11
6
7.3.2. Giới hạn dạng không xác định



Định lý
(lHôpital 2) Giả sử
f

,g là các hàm khả vi liên tục trong lân cận điểm a và thỏa mãn
điều kiện
==

)(lim)(lim
xgxf
axax
. Khi đó nếu tồn tại giới hạn
L
xg
xf
ax
=



)(
)(
lim
thì cũng
tồn tại giới hạn
L
xg
xf
ax
=

)(
)(
lim

.
Chứng minh Từ điều kiện
L
xg
xf
ax
=



)(
)(
lim
, ta tìm đợc số dơng
M
và, với mỗi số
dơng (đủ nhỏ)

, tồn tại

1
> 0 sao cho

< L
xg
xf
)('
)('
,
M

xg
xf
<
)('
)('
khi
1
||

< ax
.
Chú ý rằng với mỗi
0
x
thoả mãn
10
||

< ax
ta có
)(/)(1
)(/)(1
.
)()(
)()(
)]()()[(
)]()()[(
.
)()(
)()(

)(
)(
0
0
0
0
0
0
0
0
xfxf
xgxg
xgxg
xfxf
xfxfxg
xgxgxf
xgxg
xfxf
xg
xf




=




=

Đặt
)(/)(1
)(/)(1
),(
0
0
0
xfxf
xgxg
xxI


=
ta thấy
1),(lim
0
=

xxI
ax
cho nên tồn tại số dơng
1



sao cho
)2/(|1),(|
0
MxxI

. Mặt khác, do Định lý Cauchy ta tìm đợc điểm
c
nằm
giữa
x
và
x
o
thoả mãn
)('
)('
)()(
)()(
0
0
cg
cf
xgxg
xfxf
=


.
Tổng hợp lại, với mỗi số dơng

ta đã tìm đợc số dơng

> 0 sao cho với

< || ax

thì
+= .]11),([
)('
)('
),(
)('
)('
)(
)(
00
LxxI
xg
xf
LxxI
xg
xf
L
xg
xf





=++
M
MxxI

xg
xf
L
xg
xf
2
.
2
]1),([
)('
)('
)('
)('
0
,
nghĩa là ta có điều cần chứng minh.
7.4. Nguyên lý cực trị của hàm số
____________________

7.4.1. Điều kiện cần bậc nhất
Cho hàm
f
xác định trên khoảng (a,b). Ta nói rằng
f
đạt cực trị địa phơng tại
),( bac
nếu tìm đợc lân cận của c (trong khoảng (a,b)) để
f
đạt giá trị lớn nhất
hoặc nhỏ nhất trên lân cận này tại điểm c. Dĩ nhiên, nếu

f
đạt cực trị trên (a,b) tại
),(
bac

thì nó cũng đạt cực trị địa phơng tại c, nhng điều ngợc lại không đúng.
Thí dụ hàm
|1|)(
2
=
xxf
đạt cực đại địa phơng tại x = 0, nhng không đạt cực đại
trên khoảng (-2,2) tại điểm đó.
Chơng 7.
ứng dụng của đạo hàm

11
7
Định lý
Cho hàm f xác định trên (a,b) và đạt cực trị địa phơng tại
),(
bac

. Nếu f khả vi
tại
c
thì
.0)( =

cf

Chứng minh Đây chính là Định lý Fermat đã đợc chứng minh trong chơng trớc.
Chú ý
Mệnh đề ngợc lại của định lý trên là không đúng. Từ tính suy thoái của đạo hàm
(bằng 0) tại điểm
0
x
cha thể suy ra
0
x
là cực trị của hàm số. Thí dụ, hàm số
3
xy
=

có đạo hàm suy thoái tại
x =
0,
nhng không đạt cực trị tại 0.
7.4.2. Điều kiện đủ bậc nhất
Mệnh đề
Cho hàm
f
liên tục trong lân cận
),(
00

+
xx
của điểm

0
x
và giả sử rằng
f
có
đạo hàm tại mọi điểm trong lân cận ấy.
i. Nếu khi x đi qua
0
x
mà đạo hàm đổi dấu từ âm sang dơng thì hàm số đạt cực
tiểu tại
0
x
.
ii. Nếu khi x đi qua
0
x
mà đạo hàm đổi dấu từ dơng sang âm thì hàm số đạt cực đại
tại
0
x

iii. Nếu khi x đi qua
0
x
mà đạo hàm không đổi dấu thì
0
x
không phải là cực trị .
Chứng minh Giả thiết điều kiện đầu tiên của định lýthoả mãn. Nếu

0
x
không phải là
điểm cực tiểu, ta sẽ tìm đợc điểm x trong khoảng
),(
00

+
xx
sao cho
f
(x) <
f
(
0
x
).
Theo định lýgiá trị trung bình, tồn tại điểm c trong khoảng giữa x và
0
x
sao cho
))((')()(
00
xxcfxfxf
=
. Vậy, nếu
x
<
0
x

thì
f
(
c
) > 0, và nếu
x
>
0
x

thì
f
(
c
) < 0.
Chứng tỏ
f
(x) không thể đổi dấu từ âm sang dơng khi qua
0
x
, điều này trái với giả thiết.
Các điều kiện khác chứng minh tơng tự.
7.4.3. Điều kiện cực trị bậc 2
Mệnh đề
Cho hàm
f
khả vi liên tục trên (a,b) và có đạo hàm bậc hai liên tục tại điểm
),( bac
:

i. Nếu
f
đạt cực tiểu địa phơng tại c thì
f
'(c) = 0 và
0)(

cf
. Ngợc lại, nếu
f
'(c) = 0 và
0)( >

cf
thì
f
có cực tiểu địa phơng tại c.
ii. Nếu
f
đạt cực đại địa phơng tại c thì
f
'(c) = 0 và
0)(

cf
. Ngợc lại, nếu
f
'(c) = 0 và
0)( <

cf
thì
f
có cực đại địa phơng tại c.
Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh phần (i), phần còn lại chứng minh tơng tự.
Điều kiện cần: Tính suy biến của đạo hàm bậc nhất tại điểm c đã đợc chỉ ra trong Định
lý Fermat. Ta chỉ cần chứng minh tính không âm của đạo hàm bậc 2 tại điểm c. Từ khai
triển Taylor ta có
2
"
'
)(
!2
)(
))(()()(
cx
f
cxcfcfxf
++=


trong đó

là điểm nằm trong khoảng (x,c). Do
0)(
'
=
cf
nên với
c

x

ta có
)("

f
=
)]()([)(2
2
cfxfcx

.
Chơng 7.
ứng dụng của đạo hàm


11
8
Khi cho x tiến dần đến c thì vế phải luôn luôn không âm (vì c là điểm cực tiểu) và
vế trái tiến dần tới
f
(
c
)

(vì
f
(.)

là hàm liên tục và

luôn nằm giữa
x
và
c
). Điều
này có nghĩa rằng
f
(c) là không âm và điều kiện cần đã đợc chứng minh xong.
Điều kiện đủ: Giả sử
f
'
(
c
)
=
0
và
0)( >

cf
. Vì
0)("
)(')('
lim
)('
lim
00
>=

+
=

+

cf
x
cfxcf
x
xcf
xx

nên khi
x

đủ nhỏ,
)('
xcf
+
cùng dấu với
x

. Chứng tỏ đạo hàm đổi dấu từ âm
sang dơng khi x đi qua c, và vì vậy hàm số đạt cực tiểu tại c.
Mệnh đề đã đợc chứng minh xong.
7.5. Khảo sát các tính chất của hàm số
_______________

7.5.1. Tính đơn điệu

Mệnh đề
Hàm khả vi là đơn điệu tăng (giảm) khi và chỉ khi đạo hàm của nó không âm
(không dơng).
Chứng minh

()
Nếu f là hàm khả vi và đơn điệu tăng thì ta có
0
)()(


+
x
xfxxf
với mọi
0>
x
.
Suy ra
0
)()(
lim)(
0


+
=

+
x

xfxxf
xf
x
.
Tơng tự, nếu
f
là đơn điệu giảm ta có
0)(


xf
.
()
Cho
12
xx
>
bất kỳ. Theo định lý giá trị trung bình ta có
)(
)()(
12
12
cf
xx
xfxf

=

với c là một điểm nào đó trên khoảng
),(
21
xx
. Từ đây ta suy ra rằng
)]()([
12
xfxf

là cùng dấu với
)(
cf

, và do đó
f
sẽ là đơn điệu tăng khi
f
' là không âm, và là đơn điệu
giảm khi
f
' là không dơng. Mệnh đề đã đợc chứng minh.
7.5.2. Tính lồi
Mệnh đề
Hàm khả vi là lồi khi và chỉ khi đạo hàm của nó là một hàm đơn điệu tăng.
Chứng minh
()
Nếu
f
là hàm lồi thì với mọi
)1,0(,,

21
tRxx
ta có
)(
)(
)(])1([)(])1([
)()(
21
21
221221
21
xx
xxt
xfxttxf
t
xfxttxf
xfxf


+
=
+


Cho
t
giảm dần về 0 ta có
))(()()(
21221
xxxfxfxf

.
Chơng 7.
ứng dụng của đạo hàm

11
9
Tơng tự ta cũng có
))(()()(
12112
xxxfxfxf



.
Bằng cách cộng 2 bất đẳng thức trên theo vế ta thu đợc
))](()([))(())((0
1221212121
xxxfxfxxxfxxxf



=

+


.

Điều này suy ra
f
là hàm đơn điệu tăng.
()
Ngợc lại, giả sử
f
'(.) là hàm đơn điệu tăng, ta sẽ chỉ ra rằng

f
là hàm lồi. Bằng
phản chứng, giả sử rằng
f
không lồi, khi đó tìm đợc các điểm a
<
b và số




(
0,1
)

sao cho
)()1()( ])1([
bfafbaf

+>+
.
Đặt
bac )1(


+=
, ta có
a
<
c
<
b
và


=

(
b-c
)
/
(
b-a
)
. Nh vậy,
)()()(
bf
ab
ac

af
ab
cb
cf


+


>
.
Từ đây suy ra
cb
cfbf
ac
afcf


>

)()()()(
.
Theo định lý giá trị trung bình ta tìm đợc các điểm
),(),,(
21
bcca


sao cho
)(

)()()()(
)(
21

f
ab
afbf
ac
afcf
f

=


>


=

.
Điều này mâu thuẫn với tính đơn điệu tăng của hàm

f'
(.), vì rõ ràng là
21

<
.
Mệnh đề đã đợc chứng minh đầy đủ.
Hệ quả

Hàm khả vi bậc 2 là lồi khi và chỉ khi đạo hàm bậc 2 của nó không âm.
Chứng minh
Suy ra từ 2 định lý trên.
7.5.3. Điểm uốn
Cho đờng cong y =
f
(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b). Với
),(
bac

, ta nói điểm
M(c,
f
(c)) là điểm uốn của đồ thị nếu tìm đợc một số
0>

sao cho hàm số lồi trên
khoảng
),(
cc


và lõm trên khoảng
),(

+
cc
, hoặc ngợc lại, hàm số lõm trên
khoảng
),(

cc


và lồi trên khoảng
),(

+cc
.
Nhận xét
Có thể nói một cách ngắn gọn nh sau: Điểm uốn là điểm mà tại đó đồ thị hàm số
chuyển từ lõm sang lồi hoặc ngợc lại.
Từ mệnh đề ở phần trên, ta dễ dàng suy ra:
Mệnh đề
Giả sử tồn tại một số
0>

sao cho hàm số
)(
xfy
=
có đạo hàm bậc hai trên khoảng
),(


+
cc
. Khi ấy
i. Nếu
"
f

đổi dấu khi x đi qua c thì M(c,
f
(c)) là điểm uốn của đồ thị.
ii. Nếu
"
f
không đổi dấu khi x đi qua c thì M(c,
f
(c)) không phải là điểm uốn của đồ
thị hàm số .
Chơng 7.
ứng dụng của đạo hàm


12
0
Chứng minh
Từ (i) suy ra: khi đối số x đi qua c thì đồ thị hàm số đổi miền lồi sang
lõm hoặc ngợc lại. Chứng tỏ M(c,
f
(c)) là điểm uốn của đồ thị hàm số.
Trong trờng hợp (ii) tính lồi (lõm) của đồ thị hàm số vẫn giữ nguyên. Do đó điểm
M(c,
f
(c)) không là điểm uốn.
Thí dụ
Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số
34
34
+=

xxy
.
Ta có:
23
124'
xxy
=
;
xxy
2412"
2
=
;
0"=
y
khi
0=
x
hoặc
2=
x
. Vì y là tam
thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt nên qua điểm nghiệm
0
=x
và
2
=x
nó đổi
dấu. Chứng tỏ hàm số đổi miền lồi sang lõm hoặc lõm sang lồi. Đồ thị hàm số có hai

điểm uốn
)3,0(
1
M
và
)13,2(
2

M
.
121
_________________________________
Bài tập và
Tính toán thực hành Chơng 7
1. Đạo hàm bậc cao
_____________________________

Bài 1
Tính đạo hàm bậc hai của các hàm số sau:
1)
1+
=
x
x
y
; 2)
1
2

=

x
x
y
; 3)
x
xy
1
2 =
;
4)
xy =
; 5)
x
x
y
)sin(
=
; 6)
)tan(
2
xy =
;
7)
x
x
y
21
)3tan(
+
=

.
Bài 2
Tìm đạo hàm bậc 10 tại x = 0 của hàm số
)2cos(
2
xxy =

Bài 3
Chứng minh rằng biểu thức
2
)(
2
3
y
y
y
y
z





=
không đổi khi thay
y
bởi
y
1
.

Bài 4
Giả sử
f
(
x
) là một hàm chẵn, hai lần khả vi liên tục và
f"
(
0
) khác 0. Chứng minh rằng
x =
0 là điểm cực trị của hàm số.
Bài 5
Cho







=
x
exf
1
)(
khi
0>x
và
f

(
x
)
=
0 khi
0x
. Chứng minh rằng
f
(
x
) khả vi vô hạn
lần.
2. Khai triển Taylor của hàm số
_____________________

Bài 1

Tìm khai triển Taylor bậc 5 của các hàm số sau tại điểm
x =
0
1)
)cos()sin( xxy +=
; 2)
)sin(xxy =
; 3)
)sin(xey
x
=
;
4)

y =
tan
(
x
) +
cot(x)

;

5)
)(
2
x
ey

=
; 6)
y =
arcsin
(
x
)

+

sin(
x
)
.
Bài 2 Tìm khai triển Taylor bậc 6 của các hàm số sau đây tại điểm

x =
1

1)
x
x
y
)sin(
=
; 2)
)cos()sin(
xxy =
; 3)
132743
234710
++++++= xxxxxxy

Bài tập và tính toán thực hành

Chơng 7

12
2
4)
x
xy
1
)sin( +=
; 5)
x

x
e
x
x
e
y
)sin(
)sin(
+=
; 6)
)1arcsin(
)2(
+=
+
xxey
x
.
3. Khảo sát hàm số và ứng dụng
____________________

3.1. Tính đơn điệu
Bài 1
Tính đạo hàm bậc nhất và khảo sát tính đơn điệu của các hàm số sau:
1)
x
exy
2
=
; 2)
)1ln(

2
+= xxy
;
3)
2
)arctan(
x
exy

=
; 4)
2
3

=
x
x
y
.
Bài 2
Chứng minh rằng
f'(x) + af(x)
không giảm khi và chỉ khi
ax
exf
)(


không giảm.
3.2. Sử dụng tính đơn điệu để giải phơng trình và bất phơng trình

Bài 1
Tìm các nghiệm âm của phơng trình
032
56
= xx
.
Bài 2
Giải bất phơng trình
).16()4(6
282
++< xxxx

Bài 3
Giải hệ phơng trình





=+++
=+++
=+++
xzzxz
zyyxy
yxxxx
)1ln(33
)1ln(33
)1ln(33
23
23

23

Bài 4
Cho biết
032 =+ cb
. Chứng minh rằng phơng trình 0)cos()2cos( =++ cxbxa
luôn luôn có nghiệm thuộc khoảng
)
2
,0(

.
3.3. Sử dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức
Bài 1
Chứng minh rằng
)ln(
1
1 x
x

với mọi
)1,0(x
.
Bài 2
Tìm tất cả các giá trị của
a
sao cho bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi
0x
:
)1ln(

2
xaxx +

Bài 3
Chứng minh rằng với mọi
x
dơng thì
)cos(
2
1
2
x
x
<
.
Bài 4
Cho
2
0

<<< ba
. Chứng minh rằng
)sin()sin()]cos()[cos(2 bbaaab <
.
Bài 5
Chứng minh rằng
y
x
yxyx
+

+
<+
1
1
ln2))(2)((
với mọi
x > y > 0
.
Bài tập và tính toán thực hành

Chơng 7


12
3
3.4. Khảo sát tính lồi, lõm của hàm số


Tính đạo hàm bậc hai và xét tính lồi, lõm của các hàm số sau:
Bài 1
1)

45
53 xxy =
; 2)
x
x
y
1
2

2
+=
.
Bài 2
1)

2
x
xey

=
; 3)
x
exy += )
tan( .
3.5. Khảo sát các điểm đặc biệt của hàm số
Tìm các điểm đặc biệt (điểm cực trị,điểm uốn) của các hàm số sau:
Bài 1

1)

234
64 xxxy +=
; 2)
264
234
++= xxxy
.
Bài 2
1)

23
1
2
+
=
x
x
y
; 2)
1
1
2
3
+
+
=
x
x
y
.
3.6. Tìmgiá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Bài 1

Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số:
2
2
1
1
xx

xx
y
++
+
= .
Bài 2
Chứng minh rằng với mọi
0a
, hàm số
1
2)1(
2
2
++
+++
=
xx
xax
y
luôn có cực trị.
Bài 3

Dùng đạo hàm cấp hai để tìm cực trị của các hàm số sau:
1)
22
)( xaxy =

2)
)(2
x

exy

=

Bài 4

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
)
2
,0(sincos

= xxxxy
qp
, trong đó
p
và
q
là
những số tự nhiên lớn hơn 1.
4. Tính giới hạn dạng không xác định
_______________

Bài 1

Sử dụng quy tắc lHôpital để tính các giới hạn sau
;
1)cos(
1
lim)2;
)cos(1

lim)1
0
2
0



x
xe
x
x
x
xx

)ln(
)ln(
lim)4;
1)cos(
)sin(
lim)3
00
ax
xx
ee
ax
x
xx

.

Bài 2

Giải thích tại sao các giới hạn sau không dùng đợc quy tắc lHôpital, và tính các giới
hạn đó bằng cách khác:
;
)cos(
lim)2;
)(
)sin(
lim)1
0
x
xx
x
xx
xx
++


cot

Bài tập và tính toán thực hành

Chơng 7

12

4
)sin(
)
1
sin(
lim)4;
1
lim)3
2
0
2
x
x
x
x
x
xx
+

.
Bài 3

Tính
)(cot
)sin(
lim
0
x
xx
x

+

.
5. Thực hành tính toán trên máy
____________________

5.1. Tính đạo hàm bậc cao trên máy
Ta tính đạo hàm cấp 2 bằng cách tính 2 lần đạo hàm bậc nhất. Nghĩa là ta sẽ làm
những bớc sau:
1. Tính đạo hàm bậc nhất của hàm f(x) và thu đợc hàm g(x) = f'(x);
2. Tính đạo hàm bậc nhất của hàm g(x) để có đợc hàm g'(x) = f"(x):
Bớc 1:
Vào lệnh
[>

diff(f(x),x);

Trong đó, f(x) là hàm mà ta cần tính đạo hàm, x là biến. Sau dấu chấm phẩy (;) ấn
phím "Enter", trên màn hình sẽ hiện ra công thức đạo hàm bậc nhất của f(x).
Bớc 2:
Vào tiếp lệnh tính đạo hàm của biểu thức trên
[>

diff(",x);
Sau dấu chấm phẩy (;) ấn phím "Enter" , ta sẽ đợc đạo hàm bậc hai của f(x).
Thí dụ
[>
diff(x^3-3*x^2+2*cos(x) ,x);
)sin(263
2

xxx .
[>
diff(",x);
6x 6 2 cos(x).
Muốn có công thức tờng minh biểu diễn quá trình tính đạo hàm bậc 2 của một hàm
số, ta có thể thực hiện các thủ tục tơng tự nh đối với hàm
1
)(
+
=
x
x
xf dới dây:
[>
f:=x->x/(x+1);
[>

Diff(f(x),x);

[>
f_prime:=value(");

[>
simplify(");
[>
Diff(",x);
[>
f_prime:=value(");
(Các bạn hãy tự thực hiện trên máy và xem kết quả).