Tài liệu Giải tích C1 doc

Giải tích C1
Giải Tích C1
Nguyễn Thị Thu Vân
Đại học Khoa Học Tự Nhiên
2009 - 2010
TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 1 / 122
Cách Tính Điểm Môn Học
Kiểm tra giữa học kỳ : 30% (xem thông báo)
Kiểm tra cuối kỳ : 70%
Một Số Phần Mềm Hổ Trợ Tính Toán
Maxima - Mathematica - Maple - Matlab
TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 2 / 122
Tài Liệu Tham Khảo
1
Dương Minh Đức: Giáo Trình Toán Giải Tích 1, NXB Thống Kê
(2004)
2
Nguyễn Quốc Hưng: Toán Cao Cấp C1 và Một Số Ứng Dụng Trong
Kinh Doanh, NXB ĐHQG Tp.HCM (2009)
3
Phan Quốc Khánh: Phép Tính Vi Tích Phân (tập 1), NXB Giáo Dục
(1998)
4
Nguyễn Thành Long và Nguyễn Công Tâm: Toán Cao Cấp C1, Khoa
Kinh Tế ĐHQG TpHCM (2004)
5

Stewart J.: Calculus - Concepts and Contexts, Brooks-Cole (2002)
TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 3 / 122
Chương 0. Số Phức
1. Dạng đại số của số phức
Định nghĩa:
Dạng đại số của số phức : z = a + ib
a gọi là phần thực của số phức z, ký hiệu là Re(z)
b gọi là phần ảo của số phức z, ký hiệu là Im(z)
Tập hợp số phức ta ký hiệu là C hay còn gọi là mặt phẳng phức
Modul của số phức:
j
z
j
=
p
a
2
+ b
2
: khoảng cách từ z tới O

z = a  ib : số phức liên hợp của z
TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 4 / 122
Các phép toán:
Cho 2 số phức z
1
= a
1
+ ib
1

; z
2
= a
2
+ ib
2
. Khi đó:
1
z
1
= z
2
, a
1
= a
2;
b
1
= b
2
2
z
1
+ z
2
= (a
1
+ a
2
) + i(b

1
+ b
2
)
3
z
1
.z
2
= (a
1
+ ib
1
)(a
2
+ ib
2
)
TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 5 / 122
Chương 0. Số Phức
2. Dạng lượng giác
Định nghĩa:
Cho số phức z = a + ib, z 6= 0.
Gọi r là khoảng cách từ z tới gốc O và ϕ là góc giữa hướng dương của
trục thực với bán kính vector của điểm z.
Khi đó, dạng lượng giác của số phức z được viết như sau:
z = a + ib = r(cos ϕ + i sin ϕ)
Khi z = 0 ta lấy r = 0, còn ϕ không xác định
Công thức chuyển từ dạng đại số sang lượng giác như sau:
r =

p
a
2
+ b
2
; tg ϕ =
b
a
cần chọn ϕ sao cho b và sinϕ cùng dấu
TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 6 / 122
Cho 2 số phức z
1
= r
1
(cos ϕ
1
+ i sin ϕ
1
); z
2
= r
2
(cos ϕ
2
+ i sin ϕ
2
). Khi
đó:
1
Sự bằng nhau:

z
1
= z
2
, r
1
= r
2;
ϕ
1
= ϕ
2
+ k2π, k 2 Z
2
Phép nhân/chia 2 số phức:
z
1
z
2
=
r
1
r
2
(
cos(ϕ
1
 ϕ
2
) + i sin(ϕ

1
 ϕ
2
)
)
z
1
z
2
= r
1
r
2
(
cos(ϕ
1
+ ϕ
2
) + i sin(ϕ
1
+ ϕ
2
)
)
3
Công thức Moivre:
(
cos ϕ + i sin ϕ
)
n

= cos nϕ + i sin nϕ 8n 2 Z
4
Công thức Euler (thường được gọi là dạng mũ của số phức)
re
i ϕ
= r
(
cos ϕ + i sin ϕ
)
TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 7 / 122
Chương 0. Số Phức
3. Dạng lũy thừa, khai căn
Bài toán: Cho α 2 C . Tìm z 2 C thỏa phương trình z
n
= α?
Giả sử α = r(cos ϕ + i sin ϕ). Đặt: z = ρ(cos θ + i sin θ), ta có:
z
n
= ρ
n
(cos nθ + i sin nθ) = r(cos ϕ + i sin ϕ)
, ρ =
n
p
r ; θ =
ϕ + k2π
n
, k 2 Z
Vậy các nghiệm của phương trình z
n

= α là:
z
k
=
n
p
r

cos
ϕ + k2π
n
+ i sin
ϕ + k2π
n

, k 2 Z
Chú ý: thực sự k chỉ cần cho các giá trị k = 0, 1, 2, ..., n  1 là ta có đủ
mọi nghiệm của phương trình
TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 8 / 122
Thí dụ:
1
Tìm các căn bậc n của đơn vị?
2
Biểu diễn dạng lượng giác và dạng mũ của số phức z = 2 + 2
p
3i
3
Tìm các căn bậc 3 của số phức z = 2 + 2
p
3i

4
Sử dụng công thức Moivre tính biểu thức

1+i
p
3
1i

20
TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 9 / 122
Chương 0. Số Phức
4. Đa Thức
Định lý 1: Phương trình bậc n
a
n
x
n
+ a
n1
x
n1
+ + a
1
x + a
0
= 0 (a
n
6= 0)
có đúng n nghiệm kể cả nghiệm thực, phức và bội của nó
Định lý 2: Cho phương trình bậc n với hệ số thực:

f (x ) = a
n
x
n
+ a
n1
x
n1
+ + a
1
x + a
0
= 0 (a
i
2 R; i = 1, , n; a
n
6= 0)
Nếu x = α là nghiệm của phương trình thì x =

α cũng là nghiệm của nó
Thí dụ: Phương trình bậc 5: (x  1)
3
(x
2
+ 1) = 0 có đúng 5 nghiệm
TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 10 / 122
Chương 1. Số Thực
1.1. Tập hợp - Tập hợp các số nguyên - Tập hợp các số hữu tỉ - Số thực
Tập hợp các số nguyên dương: N =
f

1, 2, 3,
g
Tập hợp các số nguyên Z =
f
 ,3,2,1, 0, 1, 2, 3,
g
Tập hợp các số hữu tỉ Q=

m
n
jm 2 Z và n 2 N

Tập hợp các số thực R
Tập hợp các số phức C
TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 11 / 122
Các phép toán đối với tập hợp:
1
Hợp:
A[ B =

x : x 2 A hoặc x 2 B

2
Giao:
A\ B =

x : x 2 A và x 2 B

3
Hiệu:

AnB =

x : x 2 A và x /2 B

4
Bù:
A
c
= XnA
TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 12 / 122
Chương 1. Số Thực
1.2. Ánh xạ
Định nghĩa: Cho X và Y là hai tập hợp khác trống và D là một tập con
khác trống của X. Giả sử với mọi x trong D ta định nghĩa được một phần
tử f (x ) trong Y , ta nói ta xác định được một ánh xạ
f : D ! Y
và ta nói rằng hàm số f xác định trên D và nhận giá trị trong Y . Khi đó
D được gọi là miền xác định và f (D) =
f
y = f (x)jx 2 D
g
được gọi là
tập ảnh của f
Đồ thị hàm số: G (f ) =
f
(
x, y
)
jf (x) = y 8x 2 D
g

TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 13 / 122
Các hàm số sơ cấp cơ bản:
Hàm lũy thừa x
α
với α là số thực: miền xác định phụ thuộc vào α
Hàm mũ f (x ) = a
x
(a > 0 và a 6= 1) : a được gọi là cơ số. f (x) xác
định tại mọi x, luôn luôn dương và tăng nếu a > 1; giảm nếu
0 < a < 1
Hàm logarit log
a
x : chỉ xác định khi x > 0, nó tăng khi a > 1 và
giảm nếu 0 < a < 1. Đồ thị của hàm y = log
a
x đối xứng của đồ thị
của hàm y = a
x
qua đường phân giác thứ nhất
Các hàm lượng giác cos x, sin x, tgx (x 6=
π
2
+ kπ, k 2 Z), cot gx
(x 6= kπ, k 2 Z)
TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 14 / 122
Các hàm lượng giác ngược:
 x = arcsin y
y = sin x,
π
2

 x 
π
2
() x = arcsin y
 x = arccos y
y = cos x, 0  x  π () x = arccos y
Ta có đẳng thức:
arcsin x + arccos x =
π
2
 x = arctgy
y = tgx,
π
2
< x <
π
2
() x = arctgy
 x = arccot gy
y = cot gx, 0 < x < π () x = arccot gy
TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 15 / 122
Định nghĩa: Cho X và Y là hai tập hợp khác trống, f là một ánh xạ từ X
vào Y. Ta nói:
f là một đơn ánh nếu và chỉ nếu f (a) 6= f (b) khi a 6= b
f là toàn ánh nếu và chỉ nếu f (X ) = Y
f là song ánh nếu và chỉ nếu f đơn ánh và toàn ánh
Nhận xét: Nếu phương trình f (x) = y có
nhiều nhất là một nghiệm thì f là một đơn ánh
ít nhất một nghiệm thì f là toàn ánh
có duy nhất một nghiệm thì f là song ánh

Exs: Stewart J. : Chapter 1, page 66, 3-14 - page 68, 63-68
TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 16 / 122
Chương 1. Số Thực
3. Dãy số
Cho hàm số x : N ! R. Các giá trị của x tại n = 1, 2, ...lập thành một
dãy số (gọi tắt là dãy)
x(1), x(2), x(3), ...
Nếu đặt x
n
= x(n), ta có thể viết dãy số đó như sau
x
1
, x
2
, ..., x
n
, ... hay fx
n
g
Các số x
1
, x
2
, ..., x
n
, ...được gọi là các số hạng của dãy, x
n
được gọi là các
số hạng tổng quát của dãy, còn n được gọi là chỉ số của nó
Ví dụ: Cho x

n
=
1
n
, x
n
= (1)
n
, thì các dãy tương ứng sẽ là
1,
1
2
,
1
3
, ...,
1
n
, ...
1, 1,1, ..., (1)
n
, ...
TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 17 / 122
Định nghĩa: Cho dãy số fx
n
g.Ta nói fx
n
g hội tụ nếu, tồn tại một số thực
a sao cho, với mọi ε > 0 cho trước, tồn tại số tự nhiên N sao cho
8n  N =)

j
x
n
 a
j
< ε
Ta gọi a là giới hạn của dãy fx
n
g và ký hiệu nó là
a = lim
n!∞
x
n
hay x
n
! a khi n ! ∞
Dùng các ký hiệu logic ta có thể diễn đạt định nghĩa trên như sau:
lim
n!∞
x
n
= a , 8ε > 0,9N 2 N : 8n 2 N, n  N =)
j
x
n
 a
j
< 
TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 18 / 122
Chú ý:

1
N tồn tại ở trên nói chung phụ thuộc vào ε, do đó ta có thể viết
N = N(ε). Hơn nữa N không cần thiết phải là số tự nhiên
2
Nếu dãy fx
n
g hội tụ thì số thực a trong định nghĩa ở trên là duy nhất
3
Dãy không hội tụ được gọi là phân kỳ
Ví dụ: Cho fx
n
g, với x
n
=
1
n
. Ta có lim
n!∞
x
n
= 0.Thật vậy
j
x
n
 0
j
=





1
n
 0




=
1
n
j
x
n
 0
j
< ε ()
1
n
< ε () n >
1
ε
Rõ ràng, nếu chọn N(ε) = [1/ε] + 1, ta có
8n  N(ε) =)
j
x
n
 0
j
< ε

TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 19 / 122
Các tính chất của dãy số:
Giả sử dãy fx
n
g hội tụ về a
1
Nếu a > p (tương ứng với a < p), thì
9N 2 N : 8n 2 N, n  N =) x
n
> p (tương ứng với x
n
< p)
2
Nếu x
n
 p (x
n
 q) với mọi n, thì a  p (a  q)
9N 2 N : 8n 2 N, n  N =) x
n
> p (tương ứng với x
n
< p)
3
Dãy fx
n
g được gọi là bị chận, nghĩa là:
9M > 0 :
j
x

n
j
 M 8n 2 N
TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 20 / 122
Cho ba dãy fx
n
g,fy
n
g và fz
n
g
1
Nếu x
n
 y
n
8n 2 N, thì lim
n!∞
x
n
 lim
n!∞
y
n
.
2
Nếu (i ) x
n
 y
n

 z
n
8n 2 N, và (ii ) lim
n!∞
x
n
= lim
n!∞
z
n
= a, thì
dãy fy
n
g cũng hội tụ và lim
n!∞
y
n
= a
3
Nếu các dãy fx
n
g và fy
n
g hội tụ thì dãy fx
n
 y
n
g cũng hội tụ và
lim
n!∞

(x
n
 y
n
) = lim
n!∞
x
n
 lim
n!∞
y
n
4
Nếu các dãy fx
n
g và fy
n
g hội tụ thì dãy fx
n
y
n
g cũng hội tụ và
lim
n!∞
(x
n
y
n
) = lim
n!∞

x
n
lim
n!∞
y
n
5
Nếu dãy fx
n
g hội tụ, và k là một số tùy ý, thì dãy fkx
n
g cũng hội tụ
và lim
n!∞
(kx
n
) = k lim
n!∞
y
n
6
Nếu các dãy fx
n
g và fy
n
g hội tụ, và y
n
6= 0 8n, lim
n!∞
y

n
6= 0 thì dãy
f
x
n
y
n
g cũng hội tụ và lim
n!∞
x
n
y
n
=
lim
n!∞
x
n
lim
n!∞
y
n
TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 21 / 122
Chương 1. Số Thực
1.4. Chuỗi số thực
Định nghĩa: Cho {x
n
} là một dãy số thực. Với mọi số nguyên dương n ta
đặt s
n

=
n
∑
k=1
x
k
. Ta gọi x
n
là tổng riêng phần thứ n của dãy
f
x
n
g
. Nếu dãy
số thực
f
s
n
g
hội tụ về một số thực s ta có thể coi s như là tổng số của
các số trong dãy
f
x
n
g
. Lúc đó ta gọi s là chuỗi số của các số trong dãy
f
x
n
g

và ký hiệu s là
∞
∑
k=1
x
k
và nói chuỗi số hội tụ
TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 22 / 122
Các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số thực:
Tiêu chuẩn so sánh: Cho một dãy số thực không âm
f
a
n
g
.Giả sử
chuỗi
∞
∑
k=1
a
k
hội tụ. Cho một dãy số thực
f
b
n
g
sao cho có một số
nguyên dương N để cho
j
b

n
j
 a
n
với mọi n  N. Lúc đó
∞
∑
k=1
b
k
hội tụ
Tiêu chuẩn căn số: Cho một dãy số thực
f
a
n
g
. Giả sử có một số
thực c 2 (0, 1) và một số nguyên dương N sao cho
n
p
j
a
n
j
 c với
mọi n  N. Lúc đó
∞
∑
k=1
a

k
hội tụ
TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 23 / 122
Tiêu chuẩn tỉ số: Cho một dãy số thực
f
a
n
g
, một số thực c 2 (0, 1)
và một số nguyên dương N. Ta có:
Nếu



a
n+1
a
n



< c với mọi n  N thì
∞
∑
k=1
a
k
hội tụ
Nếu




a
n+1
a
n



> 1 với mọi n  N thì
∞
∑
k=1
a
k
phân kỳ
Tiêu chuẩn Leibnitz: Cho một dãy số thực
f
a
n
g
sao cho
fj
a
n
jg
là
một dãy đơn điệu giảm hội tụ về 0 và a
m
 a

m+1
 0 với mọi số
nguyên dương m. Lúc đó
∞
∑
k=1
a
k
hội tụ
Tiêu chuẩn tích phân: Cho một dãy số thực sao cho có một số
nguyên dương N và một hàm số f đơn điệu giảm từ [N, ∞) vào [0, ∞)
sao cho a
n
= f (n) với mọi số nguyên dương n  N. Lúc đó chuỗi số
∞
∑
k=1
a
k
hội tụ nếu và chỉ nếu lim
n!∞
R
n
N
f (t)dt < ∞
TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 24 / 122