Tài liệu Toán giải tích - Kiến thức cơ bản doc

Phụ lục
KIẾN THỨC CƠ BẢN CHƯƠNG I
Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
Chuẩn kiến thức kỹ năng cần đạt
 Biết khái niệm hàm số đơn điệu.
 Biết mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biên của một hàm số và dấu đạo hàm cấp
một của nó
 Kỹ năng xét dấu một biểu thức
 Kỹ năng xét tính đơn điệu của một hàm số.
I.Tóm tắt lý thuyết:
Định lý 1: Cho hàm f(x) có đạo hàm trên K ( K có thể là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)
a) f’(x)>0,
∀
x∈K
⇒
y= f(x) đồng biến trên K
b) f’(x)< 0,
∀
x∈K
⇒
y= f(x) nghịch biến trên K
c) f’(x)=0,
∀
x∈K
⇒
f(x) không đổi trên K
Định lý 2: y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f ’(x)
≥
0 (f’(x)
≤
0),

∀
x
K∈

và

f ’(x) = 0 chỉ tại
một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K
Phương pháp xác định khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số :
+ Tìm TXÐ ?
+ Tính đạo hàm : y
/
.Tìm nghiệm của phương trình y
/
= 0 ( nếu có )
+ Lập bảng BXD y
/

+ Kết luận : Hàm số đồng biến nghịch biến trên khoảng nào ?
II.Bài tập
A.Bài tập mẫu :
1.Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
a) y= –2x
3
+9x
2
+24x –7 b)
2
x x 1
y

1 x
− +
=
−
Giải
a)Tập xác định: D=
¡

2
y 6x 18x 24
′
= − + +
, cho
x 1
y 0
x 4
= −

′
= ⇔

=

 Bảng biến thiên:
x
-∞ -1 4 +∞
y’ - 0 + 0 -
y
+∞
-∞

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng:
( ; 1),(4; )−∞ − +∞
; Hàm số đồng biến trên khoảng: (–1;4)
b)Tập xác định: D=
{ }
\ 1¡

( )
2
2
x 2x
y
1 x
− +
′
=
−
, cho
x 0
y 0
x 2
=

′
= ⇔

=

 Bảng biến thiên
x

-∞ 0 1 2 +∞
y’ - 0 + + 0 -
y
14
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng: (0;1) và (1;2)
Hàm số số nghịch biến trên mỗi khoảng: (-∞;0) và (2:+∞)
Ví dụ 2: Định m để hàm số: y= x
3
– 3mx
2
+ (m+2)x– m đồng biến trên
¡
Giải:
 Tập xác định: D=
¡

y
′
= 3x
2
– 6mx+ m+ 2
Ta co:
′
∆
= 9m
2
– 3m– 6
Bảng xét dấu ∆’:
m
-∞

2
3
−
1 +∞
∆’
+ 0 - 0 +
Ta phân chia các trường hợp sau:
 Nếu
2
m 1
3
− ≤ ≤
.Ta có:
′
∆
≤
0
⇒
y 0, x
′
≥ ∀ ∈¡
⇒
hàm số đồng biến trên
¡
 Nếu
2
m
3
m 1


< −


>

. Ta có:
′
∆
> 0 phương trình
y
′
=0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
(giả sử x
1
<
x
2
)
 Bảng biến thiên:
x
-∞
1
x

2
x
+∞

y’ + 0 - 0 +
y
+∞
-∞
Hàm số không đồng biến trên
¡
Kết luận: Giá trị m thỏa mãn bài toán là:
2
m 1
3
− ≤ ≤
B.Bài tập tự giải
Bài 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
a) y = x
3
+3x
2
+1. b) y = 2x
2
- x
4
.
c) y =
x 3
x 2
−
+
. d) y =
2
x 4x 4

1 x
− +
−
.
Bài 2: Chứng minh rằng: hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác định (hoặc trên từng khoảng
xác định) của nó :
a) y = x
3
−3x
2
+3x+2. b)
2
x x 1
y
x 1
− −
=
−
. c)
x 1
y
2x 1
−
=
+
.
Bài 3 : Cho hàm số y = f(x) = x
3
−3(m+1)x
2

+3(m+1)x+1. Định m để hàm số :
Luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.Kq:1 ≤ m ≤ 0
Bài 4: Định m∈Z để hàm số y = f(x) =
mx
1mx
−
−
đồng biến trên các khoảng xác định của nó.
Kq: m = 0
Bài 5 : Chứng minh rằng : hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác định (trên từng khoảng xác
định) của nó :
a) y = x
3
−3x
2
+3x+2. b)
1x
1xx
y
2
−
−−
=
. c)
1x2
1x
y
+
−
=

.
Bài 6 : Tìm m để hàm số :
mx
2mmx2x
y
2
−
++−
=
luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
Bài 7 : Chứng minh rằng :
15
a) ln(x+1) < x , ∀ x > 0. b) cosx ≥
2
x
2
, với x > 0
Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Chuẩn kiến thức kỹ năng cần đạt
 Biết các khái niệm điểm cực đại, cực tiểu, điểm cực trị của hàm số
 Biết các điều kiện đủ để có điểm cực trị của hàm số
 Tìm điểm cực đại, cực tiểu của hàm số, của đồ thị hàm số
 Nắm vững kỹ năng tìm cực trị của hàm số bằng dấu hiệu 1
 Giải được bài toán tìm m để hàm số đạt CĐ, CT bằng dấu hiệu 2
I.Tóm tắt lý thuyết:
• Dấu hiệu cần: Hàm f(x) đạt cực trị tại x
0
và có đạo hàm tại x
0
th́ f

/
(x
0
)=0
• Dấu hiệu đủ thứ I : Cho sử hm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (x
0
– h; x
0
+ h) với h >
0.
+Nếu y
/
đổi dấu từ dương sang âm qua x
0
(xét từ trái sang phải) thì hàm số đạt cực đại tại x
0
+Nếu y
/
đổi dấu từ âm sang dương qua x
0
(xét từ trái sang phải) thì hàm số đạt cực tiểu tại x
0
Qui tắc tìm cực trị bằng dấu hiệu I:
+ TXĐ
+ Tính : y
/
, tìm nghiệm của phương trình y
/
= 0 (nếu có)
+ BBT :

+ Kết luận cực trị ?
•Dấu hiệu II:
Cho hàm f(x) có đạo hàm tới cấp II trong (a;b), x
0
∈ (a;b)
+Nếu


/
0
//
0
y (x ) 0
y (x ) 0

=


>


thì hàm số đạt cực tiểu tại x
0
.
+Nếu


/
0
//

0
y (x ) 0
y (x ) 0

=


<


thì hàm số đạt cực đại tại x
0
.
Qui tắc tim cực trị bằng dấu hiệu II:
+ TXÐ
+ Tính : y
/
. Tìm nghiệm y
/
= 0.( nếu có ), giả sử các nghiệm x
1
, x
2
…x
n

+ Tính y
//
và y
//

(x
i
),
i 1,n=
 Nếu y
//
(x
i
) > 0 thì hàm số đạt CT tại x
i
.
 Nếu y
//
(x
i
) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x
i
.
II.Bài tập:
A.Bài tập mẫu:
Áp dụng quy tắc 1
1.Tìm các điểm cực trị của hàm số sau: y= –x
4
+ 2x
2
– 3
Giải
Tập xác định: D=
¡


y
′
= – 4x
3
+ 4x= 4x(–x
2
+ 1);
y
′
= 0
⇔
x 0
x 1
x 1
=


=


= −

 Bảng biến thiên
x
-∞ -1 0 1 +∞
y’ + 0 - 0 + 0 -
y
-2 -2
-∞ -3 -∞
16

Hàm số đạt cực đại tại các điểm: x=–1, x=1
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm: x=0
Áp dụng quy tắc 2
2)Tìm các điểm cực trị của hàm số: y= x– 2sin
2
x
 Miền xác định: D=
¡

y
′
= 1– 4sinxcosx= 1– 2sin2x;
y
′
=0
⇔
sin2x=
1
2
x k
12
k
5
x k
12
π

= + π

⇔ ∈


π

= + π


¢

y
′′
= – 4cos2x
*
y k 4cos k2
12 6
π π
   
′′
+ π = − + π
 ÷  ÷
   
= –2
3
<0 Vậy:
x k
12
π
= + π
,
k ∈¢
là những điểm cực

đại.
*
5 5
y k 4cos k2
12 6
π π
   
′′
+ π = − + π
 ÷  ÷
   
= 2
3
>0 Vậy:
5
x k
12
π
= + π
,
k ∈¢
là những điểm cực tiểu.
Một số bài toán có tham số
1.Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau có cực đại và cực tiểu
a)
( )
3 2
y m 2 x 3x mx m= + + + +
. b)
2 2 2

x 2m x m
y
x 1
+ +
=
+
Giải
a)
( )
3 2
y m 2 x 3x mx m= + + + +
Tập xác định:
D = ¡
 Đạo hàm:
( )
2
y' 3 m 2 x 6x m= + + +
 Hàm số có cực đại và cực tiểu⇔
( ) ( )
2
g x 3 m 2 x 6x m 0= + + + =
có hai nghiệm phân biệt
( )
m 2 0
' 9 3m m 2 0
+ ≠


⇔


∆ = − + >



( )
2
m 2
3 m 2m 3 0
≠ −


⇔

− − + >



m 2
3 m 1
≠ −

⇔

− < <

Vậy giá trị cần tìm là:
3 m 1
− < <
và
m 2≠ −

.
b)
2 2 2
x 2m x m
y
x 1
+ +
=
+
Tập xác định:
{ }
D \ 1= −¡
 Đạo hàm:
( )
2 2
2
x 2x m
y'
x 1
+ +
=
+
 Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔
( )
2 2
g x x 2x m 0= + + =
có hai nghiệm phân biệt khác –1
( )
2
2

' 1 m 0
g 1 1 m 0

∆ = − >

⇔

− = − + ≠



1 m 1
m 1
− < <

⇔

≠ ±


1 m 1
⇔ − < <
Vậy giá trị cần tìm là:
1 m 1− < <
2. Với giá trị nào của tham số m thì hàm số
( )
3 2
y m 3 x 2mx 3= − − +
không có cực trị.
Giải

Tập xác định:
D = ¡
 Đạo hàm:
( )
2
y' 3 m 3 x 4mx= − −
( )
2
y' 0 3 m 3 x 4mx 0= ⇔ − − =
(1)
 Xét
m 3=
:
y' 0 12x 0 x 0= ⇔ − = ⇔ =
y'⇒
đổi dấu khi x đi qua
0
x 0=
⇒
Hàm số có cực trị
m 3⇒ =
không thỏa
 Xét
m 3
≠
:
17
 Hàm số không có cực trị
⇔
phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

2
m 3 0
' 4m 0
− ≠

⇔

∆ = ≤


m 3
m 0
≠

⇔

=


m 0⇔ =
Vậy giá trị cần tìm là
m 0
=
.
3. Cho hàm số
4 2 4
y x 2mx 2m m= − + +
. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các
điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều.
Giải

 Tập xác định:
D = ¡
 Đạo hàm:
3
y' 4x 4mx= −
( )
2
x 0
y' 0
x m *
=

= ⇔

=

Hàm số có cực đại và cực tiểu
⇔
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0
m 0⇔ >
. Khi đó :
4
4 2
x 0 y m 2m
y' 0
x m y m m 2m

= ⇒ = +
= ⇔


= ± ⇒ = − +


Đồ thị hàm số có một điểm cực đại là
( )
4
A 0;m 2m+
và hai điểm cực tiểu là
( ) ( )
4 2 4 2
B m;m m 2m ,C m;m m 2m− − + − +
Các điểm A, B, C lập thành một tam giác đều
AB AC
AB BC
=

⇔

=

2 2
AB BC⇔ =

4
m m 4m⇔ + =

( )
3
m m 3 0⇔ − =

⇔
3
m 3=
(do
m 0>
). Vậy giá trị cần tìm là:
3
m 3=
4.Cho hàm số
4 2
1 3
y x mx
2 2
= − +
. Xác định m để đồ thị của hàm số có cực tiểu mà không có
cực đại.
Giải
 Tập xác định:
D = ¡
 Đạo hàm:
3
y' 2x 2mx= −
;
( )
2
x 0
y' 0
x m *
=


= ⇔

=

Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại
⇔
Phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
x 0
=

m 0
⇔ ≤
Vậy giá trị cần tìm là:
m 0
≤
B. Bài tập tự giải:
Bài 1: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a)
3 2
1
y x 4x 15x
3
= − + −
b) y=
4 3 2
3
x x 9x 7
4
− − +
c) y= 2sinx +cos2x trên

[ ]
0;2π
d) y=
2
x 3x 6
x 2
− + +
+
Bài 2: Xác định tham số m để hàm số y=x
3
−3mx
2
+(m
2
−1)x+2 đạt cực đại tại x=2.
Bài 3: Định m để hàm số sau đạt cực đại tại x=1: y = f(x) =
3
x
3
−mx
2
+(m+3)x−5m+1
Bài 4: Xác định tham số m để hàm số y=x
3
−3mx
2
+(m
2
−1)x+2 đạt cực đại tại x=2.
18

Bài 5: Định m để hàm số y = f(x) = x
3
−3x
2
+3mx+3m+4
a.Không có cực trị. b.Có cực đại và cực tiểu.
Bài 6: Cho hàm số
4 2
1 3
2 2
y x mx= − +
. Xác định m để đồ thị của hàm số có cực tiểu mà không
có cực đại.
Bài 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Chuẩn kiến thức kỹ năng cần đạt
 Biết các khái niệm GTLN, GTNN của hàm số
 Kỹ năng tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [a;b]
 Kỹ năng tìm GTLN, GTNN của hàm số trên khoảng (a;b)
 Kỹ năng tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác đơn giản
3.1.Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s trên [a;b]:
 Tính y’
 Tìm nghiệm của y
/
= 0 ( nếu có ) giả sử phương trình có các nghiệm thuộc (a;b) là x
1
,
x
2
,…,x
n

+ Tính y(a), y(b), y(x
1
), y(x
2
) ………y(x
n
)
+ So sánh các giá trị vừa tính
max y
[a;b]
=
số lớn nhất,
min y
[a;b]
=
số nhỏ nhất.
3.2.Phương pháp tìm GTLN hoặc GTNN của hàm số trên (a;b) hoặc TXÐ :
+ Tìm TXÐ trong trường hợp chưa biết TXĐ
+ Tìm đạo hàm y
/
. Tìm nghiệm y
/
=0 ( nếu có ) .
+Lập BBT: căn cứ bảng biến thiên kết luận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
II.BÀI TẬP:
A.Bài tập mẫu:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) y= 2x
3
– 3x

2
– 12x+ 1 trên
3
2;
2
 
−
 
 
b) y=
1
2
x
2
+
1
x
trong
( )
0;+∞
Giải
a)Xét x
∈
3
2;
2
 
−
 
 

, ta có
y
′
= 6x
2
–6x –12 cho
y
′
= 0
⇔
x= –1 ( vì x
∈
3
2;
2
 
−
 
 
)
f(–2) = –3, f(–1) = 8 , f(
3
2
)= –17 Vậy:
3
x 2;
2
max f(x) 8
 
∈ −

 
 
=
,
3
x 2;
2
min f (x) 17
 
∈ −
 
 
= −
b)Xét x
∈
( )
0;+∞
, ta có
y
′
= x–
2
1
x
=
3
2
x 1
x
−

cho
y
′
= 0
⇔
x= 1
 Bảng biến thiên:
x
-∞ 0 1 +∞
y’ - 0 +
y
+∞ +∞

3
2
Vậy: Hàm số không có giá trị lớn nhất trong
( )
0;+∞
;
x (0; )
3
min f (x)
2
∈ +∞
=

B. Bài tập tự giải:
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x)=x
2
-2x+3. Kq:

R
Min
f(x) = f(1) = 2
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x
2
-2x+3 trên [0;3].
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số
19
a/ y = 3 sinx 4 cosx. b/
2xcos
1xsin22
y
+

=
.
c/
( )

+
+
=
;0
1cosx2x
cosx2cosx
y
2
2
Bi 4:NG TIM CN
Chun kin thc k nng cn t

Bit khỏi nim ng tim cn ng, ng tim cn ngang ca th hm s
Tỡm c tim cn ng, tim cn ngang ca mt th hm s
Gi c bi toỏn liờn quan n tim cn ca th hm s
I.Túm tt lý thuyt:
*Tim cn ng : x = x
0
l tim cn ng nu cú mt trong cỏc gii hn sau
0 0 0 0
x x x x x x x x
lim f (x) ; lim f (x) ; lim f (x) ; lim f (x)
+ +

= + = = + =
Chỳ ý : Tỡm x
0
l nhng im hm s khụng xỏc nh
*Tim cn ngang :
y = y
0
l tim cn ngang nu cú mt trong cỏc gii hn sau:
x x
f (x) y ; f(x) y
0 0
lim lim
+
= =
II.BI TP:
A.Bi tp mu:
Vớ d 1. Tỡm cỏc tim cn ng v ngang ca th (C) ca hm s
x 1

y
x 2

=
+
.
Gii.
Vỡ
x 2
x 1
lim
x 2
+


=
+
;
x 2
x 1
lim
x 2



= +
+
ng thng x = -2 l tim cn ng ca (C).
Vỡ
x x

x 1 x 1
lim lim 1
x 2 x 2
+

= =
+ +
nờn ng thng y = 1 l tim cn ngang ca (C).
Vớ d 2. Tỡm cỏc tim cn ca th hm s
2
2x x 1
y
2x 3
+ +
=

.
Gii.
Vỡ
2
3
x
2
2x x 1
lim
2x 3
+


ữ

+ +
= +

(hoc
2
3
x
2
2x x 1
lim
2x 3



ữ

+ +
=

) nờn ng thng
3
x
2
=
l tim cn
ng ca th hm s ó cho.
2 2
x x
2x x 1 2x x 1

lim , lim
2x 3 2x 3
+
+ + + +
= + =

th hm s khụng cú tim cn ngang
B.Bi tp t gii:
Bi 1: Tỡm tim cn ng v tim cn ngang ca th ca mi hm s sau:
a)
1 x
y
2x 3

=

b)
2
2 x
y
9 x
+
=

c)
x 7
y
x 1
+
=

+
d)
2
x 6x 3
y
x 3
+
=

e)
3
y 5x 1
2x 3
= + +

Bài 2 Xác định m để đồ thị hàm số:
2 2
x 3
y
x 2(m 2)x m 1

=
+ + + +
có đúng 2 tiệm cận đứng.
20
Bài 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ
Chuẩn kiến thức kỹ năng cần đạt
 Biết sơ đồ tổng qt để khảo sát hàm số (tìm tập xác định, xét chiều biến thiên, tìm
cực trị, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị)
 Vận dụng giải được bài tốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba, trùng

phương, hàm hữu tỉ
5.1 Sơ đồ khảo sát Hàm đa thức:
b1. TXĐ
b2. Tìm y’, cho y’= 0 tìm nghiệm và giá trị y’ khơng xác định
b3. Giới hạn tại vơ cực
b4. BBT
- Kết luận: Khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị.
Chú ý : y
/
= 0 vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép thì y
/
ln cùng dấu với a trừ nghiệm kép
B5. Tìm y”, cho y”= 0 tìm nghiệm, suy ra điểm uốn ( chỉ thực hiện với hàm bậc 3 )
B6. Lập bảng giá trị. Ghi dòng x gồm hồnh độ cực trị, điểm uốn và lấy thêm 2 điểm có hồnh
độ lớn hơn cực trị bên phải và nhỏ hơn cực trị bên phải)
B7. Vẽ đồ thị. kết luận tâm đối xứng. trục đối xứng.
Các dạng đồ thò hàm bậc 3:
y y y y
0 x 0 x 0 x 0
x


' 0 có 2 nghiệm phân biệt
0
=


>

y

a

' 0
0
≥ ∀


>

y x
a

' 0 có 2 nghiệm phân biệt
0
y
a
=


<


' 0
0
≤ ∀


<

y x

a

Chú ý: Đồ thò hàm bậc 3 luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
Các dạng đồ thò hàm trùng phương:

y' 0 có 3 nghiệm phân biệt
a 0
=


>


' 0 có 1 nghiệm đơn
0
y
a
=


>


' 0 có 3 nghiệm phân biệt
0
y
a
=



<


' 0 có 1 nghiệm đơn
0
y
a
=


<

II/ BÀI TẬP:
A/Bài tập mẫu:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y= 2x
3
– 9x
2
+ 12x– 4
Giải:
Miền xác định: D=
¡

y
′
= 6x
2
– 18x+ 12
21
x

Ghi tập xác đònh và nghiệm của phương trình y
/
=0
f’(x)
Xét dấu y
/
f(x)
Ghi khoảng tăng, giảm , cực trò của hàm số

y
′
= 0
⇔
6x
2
– 18x+ 12=0
⇔
1
2
x
x
=


=


lim
x
y

→+∞
=
+∞
,
lim
x
y
→−∞
= −∞
Bảng biến thiên:
x
−∞
1 2 +
∞

y
′
+ 0 – 0 +
y 1 +
∞

−∞
0
Hàm số đồng biến trong 2 khoảng:(
−∞
;1)và (2; +
∞
), nghịch biến trong khoảng: (1;2)
Hàm số đạt cực đại tại x=1; y
CĐ

=1, cực tiểu tại x=2; y
CT
=0
y
′′
= 12x– 18
y
′′
= 0
⇔
x=
3
2

⇒
y=
1
2
đồ thị có 1 điểm uốn I(
3
2
;
1
2
)
Điểm đặc biệt
x 0 1
3
2
2 3

y -4 1
1
2
0 5
Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận I
3 1
;
2 2
 
 ÷
 
làm tâm đối xứng.
Ví dụ 2:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
y= x
4
– 2x
2
– 1
Giải:
Miền xác định: D=
¡

y
′
= 4x
3
– 4x cho
y
′

= 0
⇔
4x
3
– 4x=0
⇔
0
1
1
x
x
x
=


=


= −


lim
x
y
→+∞
=
lim
x
y
→−∞

= +∞
Bảng biến thiên: x
−∞
–1 0 1
+∞

y
′
– 0 + 0 – 0 +
y
+∞
–1
+∞
–2 –2
Hàm số đồng biến trong 2 khoảng: (–1;0) và (1;
+∞
), nghịch biến trong 2 khoảng: (
−∞
;–1) và
(0;1)
Hàm số đạt cực đại tại x=0; y
CĐ
= -1, cực tiểu tại x= ±2; y
CT
= -2
Điểm đặc biệt
x -2 -1 0 1 2
y 7 -2 -1 -2 7
Nhận xét: đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.
B/ Bài tập tự giải: Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị các hàm số sau:

1/ Dạng 1 : y = a
3
+ bx
2
+ cx +d
22
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
-5
5
10
h x
( )
=
x-1
x+1
g x
( )
= 1
f y
( )
= -1
a/ y = 2x

3
- 3x
2
+ 1 b/ y =
1
3
x
3
– x
2
+ x -1 c/ y = - x
3
– x
2
– x -1 d/y = - x
3
+ 3x + 1
e/y = x
3
-3x+1 f/ y = x
3
+3x−4 g/ y = (1-x)
3
h/ y = 3x
2
-x
3
i/y = -
1
3

x
3
–2 x
2
-4 x +1
2/ Dạng 2 : y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0)
a/ y= x
4
– 3x
2
+2 b/ y= x
4
+ x
2
– 4 c/ y=
4
2
3
2 2
x
x− + −
d/ y= 3 - 2x
2
– x
4
e/y=

4
2
5
3
2 2
x
x− +
f/ y = x
4
+ 2x
2
g/ y = - x
4
+ 2x
2
+2 h/ y = -
4
2
3
2 2
x
x− +

5.2.Hàm phân thức : y =
dcx
bax
+
+
( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 )
+ TXĐ : D = R\







−
c
d
+ Đạo hàm : y
/
=
2
)( dcx
bcad
+
−
kết luận tính đơn điệu của hàm số.
+ Tiệm cận: • x =
c
d
−
là tiệm cận đứng vì
( / ) ( / )
lim ( ); lim ( )
x d c x d c
ax b ax b
cx d cx d
+ −
→− →−

+ +
= +∞ −∞ = −∞ +∞
+ +

• y =
c
a
là tiệm cận ngang vì
lim lim
x x
ax b ax b a
cx d cx d c
→+∞ →−∞
+ +
= =
+ +
+Bảng biến thiên :
+ Vẽ đồ thị : − Vẽ tiệm cận, trục toạ độ, điểm đặc biệt

II/ BÀI TẬP:
A/Bài tập mẫu:
Ví dụ 1:khảo sát hàm số
1
1
x
y
x
−
=
+

TXĐ : D
{ }
\ 1= −¡
Sự biến thiên :
+ Giới hạn và tiệm cận :
•
lim lim 1 1
x x
y y y
→−∞ →+∞
= = ⇒ =
là tiệm cận ngang
•
( )
1
lim
x
y
+
→ −
= −∞
;
( )
1
lim
x
y
−
→ −
= +∞

1x⇒ = −
là tiệm cận đứng
+
( )
2
2
'
1
y
x
=
+
> 0 ,
x∀ ∈
D ⇒ Hàm số tăng trong 2 khoảng
( ) ( )
; 1 ; 1;−∞ − − +∞

x -
∞
-1 +
∞

y’ + +
y +
∞
1

1 -
∞

Đồ thị :
23
x= −d/ c
y= a/c
x= −d/ c
y= a/c
Điểm đặc biệt
x -3 -2 -1 0 1
y 2 3 -1 0
Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm I
( )
1;1−
làm tâm đối xứng .
B/ Bài tập tự giải:
a/
2 3
x
y
x
=
+
b/ y=
2 1
3 2
x
x
−
+
c/ y=
3 2

1
x
x
−
−
d/y=
2
1x +
e/y =
1
2 1
x
x
+
− +
f/y =
2 1
1
x
x
+
−
g/ y =
1x
1x
−
+
h/ y =
2x
x2

+
MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bài toán 1: Viết phương tŕnh tiếp tuyến.
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C).Ta cần viết phương tŕnh tiếp tuyến với đồ thị (C) trong các
trường hợp sau:
1. Tại điểm có toạ độ (x
0
;f(x
0
)) :
B1: Tìm f ’(x)
⇒
f ’(x
0
)
B2: Phương tŕnh tiếp tuyến với (C) tại điểm (x
0
;f(x
0
))

là: y =
/
0
f (x )
(x–x
0
) + f(x
0
)

2.Tại điểm trên đồ thị (C) có hoành độ x
0
:
B1: Tìm f ’(x)
⇒
f ’(x
0
), f(x
0
)
B2: Phương tŕnh tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
là y =
/
0
f (x )
(x–x
0
) + f(x
0
)
3.Tại điểm trên đồ thị (C) có tung độ y
0
:
B1: Tìm f ’(x) .
B2:Do tung độ là y
0
⇒f(x
0
)=y

0
. giải phương tŕnh này tìm được x
0
⇒ f
/
(x
0
)
B3: Phương tŕnh tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y
0
là: y =
/
0
f (x )
(x–x
0
) + y
0
4.Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k:
B1: Gọi M
0
(x
0
;y
0
) là tiếp điểm .
B2: Hệ số góc tiếp tuyến là k nên:
0
f (x )
′

=k (*)
B3: Giải phương tŕnh (*) tìm x
0

⇒
y
0
= f(x
0
)
⇒
phương tŕnh tiếp tuyến.
Chú ý:
 Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b thì có f
/
(x
0
)=a.
 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b thì có f
/
(x
0
).a= -1.
5.Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x
1
;y
1
) :
B1:Phương tŕnh đường thẳng d đi qua A(x
1

;y
1
) có hệ số góc k là: y = k(x–x
1
) + y
1
(1)
B2: d là tiếp tuyến của (C)
⇔
hệ phương tŕnh sau có nghiệm:
1 1
f (x) k(x x ) y
f (x) k
= − +


′
=

B3:Giải hệ này ta tìm được k chính là hệ số góc của tiếp tuyến thế vào (1)⇒phương tŕnh tiếp
tuyến.
Bài toán 2: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
 Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt: F(x; m) = 0 .
 Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(m) .
• Số nghiệm phương trình trên bằng số giao điểm của 2 đồ thị y=f(x) và y=g(x). Dựa vào
đồ thị . ta có kết quả
Chú ý: Căn cứ tung độ cực đại và cực tiểu để phân chia các trường hợp biện luận.
Bài toán 3: GIAO ÐIỂM HAI ÐỒ THỊ
1.Cho hai đồ thị (C
1

) : y = f(x) ; (C
2
) : y = g(x)
24
6
4
2
-2
5
x
y
Hoành độ giao điểm của (C
1
) và (C
2
) nếu có là nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (1)
• pt(1) vô nghiệm ⇔ (C
1
) và (C
2
) không có giao điểm.
• pt(1) có n nghiệm ⇔ (C
1
) và (C
2
) có n giao điểm.
II.BÀI TẬP:
A.Bài tập mẫu:
Ví dụ 1: Cho đường cong (C): y= x
3

-3x +1 và đường thẳng d đi qua điểm A(0;1) có hệ số góc
k. biện luận số giao điểm của (C) và d.
Giải
 Phương trình đường thẳng d có dạng: y= kx + 1.
 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là: x
3
-3x +1=kx + 1 (1)
⇔
x(x
2
-3-k) = 0
⇔

2
x 0
g(x) x 3 k 0 (2)
=


= − − =

.Ta có
/
∆
(2)
= 3+k
 Nếu 3+k <0
⇔
k<-3. ⇒(2) vô nghiệm
⇒

(1)có 1 nghiệm
⇒
(C)và d có 1 giao điểm.
 Nếu 3+k = 0
⇔
k= -3. Phương trình (2) có nghiệm kép x=0
⇒
(C) và d có 1 giao điểm.
 Nếu 3+k >0
⇔
k> -3, g(0)=0
⇔
-3 - k = 0
⇔
k=-3
vậy k>-3 phương tŕnh (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
⇒
(1) có 3 nghiệm phân biệt
⇒
(C)
và d có 3 giao điểm.
Ví dụ 2: Cho hàm số
3 2x
y
x 1
−
=
−
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị của hàm

số đã cho tại hai điểm phân biệt.
Giài
1) Học sinh tự giải
2) Đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt
⇔ Phương trình (ẩn x)
3 2x
= mx+ 2
x 1
−
−
có hai nghiệm phân biệt
⇔ Phương trình (ẩn x) mx
2
– (m – 4)x – 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt, khác 1
⇔
2
2
2
m 6 2 5
m 0
m 0
(m 4) 20m 0 6 2 5 m 0
m 12m 16 0
m 0
m.1 (m 4).1 5 0

< − −
≠



≠


∆ = − + > ⇔ ⇔ − + < <

 
+ + >



>
− − − ≠



Ví du 3:
Cho hàm số y=x
3
– 6x
2
+ 9x (C). Dùng đồ thị (C) biện luận số
nghiệm của phương trình x
3
– 6x
2
+ 9x – m = 0
Giải
Phương trình x
3
– 6x

2
+ 9x – m = 0
⇔
x
3
– 6x
2
+ 9x = m
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d: y=m. Dựa vào
đồ thị ta có:
 Nếu m > 4 thì d và (C) có 1 giao điểm
⇒phương trình có 1 nghiệm.
 Nếu m = 4 thì d và (C) có 2 giao điểm
⇒phương trình có 2 nghiệm.
 Nếu 0< m <4 thì d và (C) có 3 giao điểm
⇒phương trình có 3 nghiệm.
 Nếu m=0 thì d và (C) có 2 giao điểm ⇒phương trình có 2 nghiệm.
 Nếu m < 0 thì d và (C) có 1 giao điểm ⇒phương trình có 1 nghiệm.
Ví dụ 4: Cho đường cong (C) y = x
3
.Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong :
25
a.Tại điểm A(-1 ; -1) b.Tại điểm có hoành độ bằng –2
c.Tại điểm có tung độä bằng –8 d. Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.
e.Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm B(2;8)
Giải
Ta có y’= 3.x
2
a)Tiếp tuyến tại A(-1;-1)
(C)∈

có
0
0
x 1
f (x ) 1
= −


= −

⇒f’(x
0
)= 3.(-1)
2
= 3⇒phương trình tiếp tuyến
là: y=f’(x
0
)(x-x
0
)+f(x
0
) = 3.(x+1) + (-1)
b) Ta có x
0
= -2 ⇒
0
0
f (x ) 8
f '(x ) 12
= −



=

⇒ Ph.trình tiếp tuyến là y= 12(x+2) – 8 =12x + 16
c) Ta có tung độä bằng y
0
= –8
⇔
f(x
0
)= -8
⇔

3
0
x
=-8
⇒
x
0
=-2
⇒
f’(x
0
)=12
⇒
Phương trình
tiếp tuyến là: y= 12(x+2) – 8 = 12x + 16
d) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3

⇔
f’(x
0
)=3
⇔
3.
2
0
x
=3

⇔

x
0
=
±
1
 Với x
0
=1
⇒
f(x
0
)=1
⇒
Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x-1) + 1= 3x-2 .
 Với x
0
=-1

⇒
f(x
0
)= -1
⇒
Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x+1) - 1= 3x+2.
e)Phương trình đường thẳng d đi qua B(2;8) có hệ số góc k là: y = k(x–2) + 8

d là tiếp tuyến của (C)
⇔
hệ phương trình sau có nghiệm :
3
2
x k(x-2) + 8(1)
3x k (2)

=


=



⇔
x
3
= 3x
2
(x-2) + 8
⇔

2x
3
- 6x
2
+ 8 = 0
⇔

x 2
x 1
=


= −


 Với x=2
⇒
k=12
⇒
phương trình tiếp tuyến là y=12(x-2)+8 = 12x -16.
 Với x=-1
⇒
k=3
⇒
phương trình tiếp tuyến là y= 3(x-2)+8 = 6x - 4
B.Bài tập tổng hợp
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT KÀM SỐ
Bài 1: Cho hàm số: y= x
3
– 6x

a) Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x
3
– 2(3x+1)+ m= 0
Bài 2: Cho hàm số: f(x)=
4
2
x m
3x
2 2
− +
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m=5
b) Dùng đồ thị (C), hãy xác định m để phương trình f(x)= 0 có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 3: Cho hàm số y= –x
3
+3x
2
–1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: (x
2
+ m
2
)= 3+x
3

Bài 4: Biện luận theo m số giao điểm của (d): y= mx và (C): y=
2
x 2x 1
x 2

− +
−
Bài 5: Tìm m để đường thẳng (d): y= x–1 cắt đồ thị (C): y=
2
x x m
x m
− + +
+
tại hai điểm phân biệt.
Bài 6: Tìm m để đồ thị của hàm số y= x
3
–mx
2
+4x+4m–16 cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt.
Bài 7: Tìm m để đồ thị hàm số y= x
4
–2(m+1)x
2
+2m+1 cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt.
Bài 8: Cho hàm số y=
1
3
x
3
–2x
2
+3x có đồ thị (C). Xác định điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến
tại điểm đó có hệ số góc nhỏ nhất. Viết phương trình tiếp tuyến ấy.
Bài 9: Cho hàm số: y= x(3–x)
2

có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: (x–1)
2
(x– 4)= m
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm x
0
là nghiệm của phương trình
y 0
′′
=
26
d) Biện luận theo m số giao điểm của (C) và đường thẳng (d): y= mx
Bài 10: Cho hàm số: y= x
4
–2mx
2
+ 3 có đồ thị (C
m
)
a) Tìm m để hàm số có đúng 1 cực trị.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m= 1
c) Dùng đồ thị (C),biện luận theo m số nghiệm của phương trình x
4
– 2x
2
+3 = m
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết rằng tiếp tuyến song song với đường
thẳng (d) y= –24x +37
Bài 11: Cho hàm số

2x 1
y
x 1
+
=
+

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm những điểm trên (C) có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
c)Lập phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
y = x + 2010.
d)Tìm điểm trên (C) sao cho tiếp tuyến tại đó vng góc với đường thẳng y= -2x +2010
Bài 12: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C): y =
2x
2x
+
−
. Từ đồ thò (C) đã vẽ, hãy suy ra
đồ thò của các hàm số:
a) (C
1
): y = f
1
(x) =
2x
2x
+
−
b) (C
2

): y = f
2
(x) =
2x
2x
+
−
c) (C
3
): y = f
3
(x) =
2x
2x
+
−
d) (C
4
): |y| = f
4
(x) =
2x
2x
+
−
e) (C
5
): y = f
5
(x) =

2x
2x
+
−
f) (C
6
): |y| = f
6
(x) =
2x
2x
+
−
27