Hệ thống bài tập ôn tập toán 9 theo kiến thức cơ bản

Trờng THCS Hải Vân
Ôn Thi vào THPT
A-Phần đại số
I-Căn Bậc hai bậc ba
A- Lí thuyết ( Đề cơng ôn tập)
B- Bài tập
Bài 1: Không dùng máy tính hãy so sánh
a, 2
31
và 10 -3
26
và 15 -3
11
và -12
2
5
và 5
2

5335 va

23
.3 và
3
32

(căn bậc 3)
b,
3 3
7 15+
và 15 1 và

3
3 1


3 3
37 15
và 2 14 và
3 3
13. 15
c, 3+
3
8
và 6+
3
2
2
3
3
2 6+
và 3+
3
5
Bài 2: Biểu thức sau đây xác định với giá trị nào của x
A=
x

2
B=
x7

C=
124
+
x
D=
13
2
+
x

E=
14
2

x

F=
12
2
+
xx
G=
542
2
++
xx
H=
105

x

I=
7
5


x
J=
7
5


x
x
K=
2
2
1
xx


M=
4
2

x
N=
3
2

x
x
P=
44
2
+
xxx
Q=
42
1
2
++
xx
R=
3
1
2

x
U=
x
x
x 3
3
++
Bài 3a, Cho A=
6 2 5+
và B=
6 2 5
Tính A+B ;A-B ; A.B;

A:B
3b, Cho C=
111036
+
và D=
111036

Tính C+D;C-D ; C.D ; C:D
Bài 4

Thực hiện phép tính
A=
423
2
423
2
+


B=
10067
1
6734
1
341
1
+
+
+
+

+

C=
+
+

35
35
35
35

+

D= (
3).135415312
+

E=
448)1008700252(
+
F=2
48537521240

Giáo Viên : Vũ Đức Hạnh 1
Trờng THCS Hải Vân
H=
3253
++
.
3253

+
G=(15
10:)4503200550
+

I=
)154)(610)(154(
+
J=(
)
32
1
:1(:)
12
22
23
323
++
+
+
+
+
Bài 5:Rút gọn các biểu thức sau
A=
549

-
5
B=
7823

-
7

C=
3242
32
++
+
+
3242
32


D=
25353
+

E=
77474
+
F=
62125,6125,6
+++

G=
1247
1
1247
1

+

+
H=
++
154
154

-2
53


I= 4
24057223
++
J=

223
246
+
Bài 6: Tính A=
2062935

B=
4813526
++

C=
34710485354
+++

D=
5122935

Bài 7: Rút gọn biểu thức
a, x-4-
42
816 xx
+
với x>4 d,
9696
22
++++
aaaa
với a
bất kì
b,
12
12
++
+
xx
xx
với x
0

e,
12
+
aa
+

12

aa
với
21

a
c,


+
ba
ba

ba
ba
+

với a
bab

;0;0
g,
ba
ba
ba
ba

33
với a
bab

;0;0
h,Tìm đk xác định của biểu thức sau đây rồi rút gọn
H
1
=
4444
++
xxxx
H
2
=
44
2
+
xxx
Bài 8: Chứng minh đẳng thức
a,
1)).((
2
33
=

+

+
+
ba
ba
ab
ba
ba
với mọi a>0 ; b>0 ; a

b
b,
ba
baba
abba
=
+
+
1
:
2
với mọi a>0 ; b>0 ; a

b
c, (2+



2).(
1a
aa

a
a
aa
=
+
+
4)
1
với mọi a>0 ; a

1
d,
3612
+++
xx
-
3612
++
xx
=6 với mọi x

6
e, (
1
21
).
1
2
12
2

=
+



++
+
a
a
a
a
a
aa
a
với mọi a>0 ; a

1
f, (
2
)1()
1
1
).(
1
1
aa
a
aa
a

a
aa
=
+
+
+


với mọi a

0 ; a

1
Giáo Viên : Vũ Đức Hạnh 2
Trờng THCS Hải Vân
g,



>

=++++
622
624
224224
neuxx
xneu
xxxx
Bài 9:Tìm gía trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức sau
A=x

2
- 4x +1 B=4x
2
+4x+11
C=3x
2
-6x+1 D=2+x-x
2

E=x
2
-2x+y
2
-4y+6 F= x
2
-2xy +3y
2
-2x-10y +20
H=x (x+1) (x+2) (x+3) G=
176
1
2
+
xx

Bài 10 Cho biểu thức sau
10.1 A=
824
22
2

+

xx
x
-
824
22
2
++
+
xx
x

a,Rút gọn A
b,Tính gía trị của A tại x=3 ( KQ: A=...=2)
10.2 B=(
)1
1
1
(:)1
1
1
2
+

+
+
x
x
x

với -1<x<1
a,Rút gọn B
bTính gía trị của B tại x=4
52

( KQ: B=
x

1
=....=2-
2
)
10.3 C=
131
155

+
xx
xx
với x
10;1
>
x
a,Rút gọn C KQ; :C=
1
21


x
x

b,Tìm x để C<3 (đúng với mọi x ; x
10;1
>
x
)
10.4 D=
x
x
x
x
x
x

+
+
+
+

+
4
51
2
2
2
1
với mọi x
4;0

x
)

a,Rút gọn D
b,Tìm x để D=2
10.5 Đ =(
)
2
1
(:)
1
1
11
2


+
++
+

+
x
xxx
x
xx
x

a,Rút gọn Đ ( KQ:Đ=
1
2
++
xx
)

b, C/m rằng Đ >0 với mọi đk của x để Đ có nghĩa
10.6 E= (
x
1
-
1
1

x
) : (
)
2
1
1
2

+


+
x
x
x
x
( với x>0 ;x

1 và x

4)
1; Rút gọn E

2; Tìm x để E=0
10.7 F=
x
x
x
x
xx
x
+
+



+
+

3
32
1
23
32
1115

a,Rút gọn F ( KQ:F=
3
52
+

x
x

)
Giáo Viên : Vũ Đức Hạnh 3
Trờng THCS Hải Vân
bTìm gía trị của x để F=0,5 ( x=1/121)
c, Tìm x để F nhận giá trị lớn nhất .Tìm giá trị lớn nhất đó (E
MAX
=2/3<=>x=0)
10.8 G=
1
)1(22
1
2


+
+

++

x
x
x
xx
xx
xx

a,Rút gọn G
b, Tìm x để G nhận giá trị nhỏ nhất .Tìm giá trị đó
10.9 H=
4

12
+

x
xx
,Rút gọn H ( KQ: H=3-
x

3 vì...
bTìm x để H có giá trị lớn nhất .Tìm giá trị lớn nhất đó
10.10 I=
x
x
x
x
xx
x 1
).
1
2
12
2
(
+



++
+
với x>0; x

1
a,Rút gọn I ( KQ : I =
1
2

x
)
bTính gía trị nguyên của x để I có giá trị nguyên
10.11 J =
x
x
x
x
xx
xx

+
+
+
+

+
+
1
2
2
1
2
393

(với mọi x
1;0

x
).
a,Rút gọn J ( KQ J =
1
3


x
x
bTính gía trị nguyên của x để J có giá trị nguyên ( x=0;4;9)
10.12 K=
x
x
x
x
xx
x

+
+

+
+
+

2
3

3
12
65
92

a,Rút gọn K ( KQ:K=
3
1

+
x
x

bTính gía trị nguyên của x để K có giá trị nguyên ( x=1;16;25;49)
10.13 M =
xxx
x
xx
x


++
+
+

+
1
1
1
1

1
2

a,Rút gọn M
bTính gía trị của M nếu x=28-6
3
( M=
1
++
xx
x
=...=
3328
133


=... )
c, C/m rằng M <
3
1
(xét hiệu và c/m hiệu <0)
10.14 N =1+(
12
).
1
2
1
12

+


+
x
xx
xx
xxxx
x
xx

a,Rút gọn N
b, C/m N >
3
2

Giáo Viên : Vũ Đức Hạnh 4
Trờng THCS Hải Vân
c,Tìm x biết N=
61
6
+

10.15 P=
)1
3
22
(:)
9

)3(3
33
2




+


+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
với mọi x
9;0

x
)
a,Rút gọn P
b,Tìm x để P<-1 (KQ:
1
3
)3(3

<
+

x
x
<=>....
0
3
)6(4
<
+

x
x
...)
c,Tìm x đẻ P có giá trị nhỏ nhất
10.16 Q=
1
2
1
2
+
+

+
+
x
xx
xx
xx

a,Rút gọn Q
b,Biết x>1so sánh Q và / Q/
c,Tìm x đẻ Q=2
d,Tìm x đẻ Q có giá trị nhỏ nhất
Hàm số y=a x+b (a

0) hệ phơng trình
Bài 1: Cho hàm số y=f(x)=(3-a) x+8
a, Với giá trị nào của a thì hàm số là hàm số bậc nhất
b,Với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên R ?
c, Với giá trị nào của a thì hàm số nghịch biến trên R ?
d,Nếu a=5 thì hàm số đồng biến hay nghịch biến ?
e, Tính f(-4); f(0); f(5)
Bài 2: Cho hàm số y= k x+(k
2
-3)
(d)

a, Tìm k để đờng thẳng (d) đi qua gốc toạ độ
b, Tìm k để đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng có phơng trình y=-
2x+10
Bài 3: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình : y=k
2
x+(m+3),và đờng thẳng (d) có
phơng trình : y=(3k-2)x+(5-m) .Xác định k và m để 2 đờng thẳng trùng nhau
Bài 4:Cho 2 hàm số : y=(k-1) x+3 và y= (2k+1)x -4
a,Xác định k để 2 đờng thẳng cắt nhau
b, Xác định k để 2 đờng thẳng song song với nhau
c, Hai đờng thẳng có trùng nhau đợc không? Vì sao?

Bài 5: Cho 3 đờng thẳng: y=kx-2 (d
1
) ; y=4x +3 (d
2
) ; y=(k-1)x+4 (d
3
)
Tìm k để : a, (d
1
) song song với (d
2
) d, (d
1
) vuông góc với (d
3
)
b, (d
1
) song song với (d
3
) e, (d
2
) cắt (d
3
)
c, (d
1
) vuông góc với (d
2
)

Bài 6: Cho 2 hàm số : y=2 x+1 và y= 4-x . Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị 2 hàm
số ?
Bài 7: Xác định hàm số y=a x+b biết
a, Đồ thị hàm số đi qua M(1;-1)và có hệ số góc là 2
Giáo Viên : Vũ Đức Hạnh 5
Trờng THCS Hải Vân
b, Đồ thị hàm số đi qua A(4;3) và B(-2;6)
c, Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y=2-3x và cắt trục tung tại điểm có
tung độ là 1
d,Xác định toạ độ giao điểm của đờng thẳng AB với trục hoành và trục tung
Bài 8:Cho 3 điểm: A(1;2) ; B(2;1) ; C(3 ;k)
a, Viết phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm A và B
b, Tìm k để 3 điểm A;B;C thẳng hàng
Bài 9: Cho 3 đờng thẳng: y=2x-7 d
1
) ; y=x +5 (d
2
) ; y=k x+5 (d
3
)
a,Tìm toạ độ giao điểm của (d
1
) và (d
2
)
b, Tìm k để 3 đờng thẳng đồng quy tại 1 điểm trong mặt phẳng toạ độ
Bài 10: a,Vẽ đồ thị của 3 hàm số sau trên cùng 1 hệ trục toạ độ : y=-x+5
(1)
; y=4x
(2)

; y=
4
1
x
(3)
b, Gọi giao điểm của đờng thẳng có phơng trình (1) với các đờng thẳng có
phơng
trình (2) và (3) là A và B .Tìm toạ độ các điểm A và B
c, tam giác AOB là tam giác gì ? vì sao?
d, Tính S


ABO
=?
Bài 11: Cho hàm số y=(m-1)x+m (1)
a) Xác định m để hàm số đồng biến , nghịch biến
b) Xác định m để đờng thẳng (1)
b
1
. Song song với trục hoành
b
2
Song song với đờng thẳng có phơng trình x-2y=1
b
3
Cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ x=2-
2
3

c) C/m rằng đờng thẳng (1) luôn đi qua 1 điểm cố định khi m thay đổi

Bài 12: Cho hàm số y=(m-2)x+ n (1) (m;n là tham số )
a) Xác định m;n để đờng thẳng (1)đi qua 2 điểm : A(1;-2); B(3;-4)
b) Xác định m;n để đờng thẳng (1) Cắt trục hoành tại điểm C có hoành độ
x=2+
2
và Cắt trục tung tại điểm D có tung độ y=1-
2
c) Xác định m;n để đờng thẳng (1)
c
1
. Vuông góc vớiđờng thẳng có phơng trình x-2y=3
c
2
. Song song với đờng thẳng có phơng trình 3x+2y=1
c
3
.Trùng với đờng thẳng có phơng trình y-2x+3 =0
Bài 13: Cho hàm số y=(2m-1)x+ n -2 (1)
a) Xác định m;n để đờng thẳng (1) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x=
3
và cắt trục tung tại điểm có tung độ y=-
2
b) Xác định m;n để đờng thẳng (1)đi qua gốc toạ độ và vuông góc với đờng
thẳng có phơng trình 2x-5y=1
Giáo Viên : Vũ Đức Hạnh 6
Trờng THCS Hải Vân
Bài 14: Cho hệ phơng trình

=+
=
1
2
byax
bayx
a) Giải hệ khi a=3 ; b=-2
b) Tìm a;b để hệ có nghiệm là (x;y)=(
)3;2
c) Tìm a;b để hệ có vô số nghiệm
Bài 15: Cho hệ phơng trình



=+
=
3
2
ayx
yax
a) Giải hệ khi a=
13


b) C/m rằng hệ luôn có nghiệm với mọi a
c) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x+y=<0
a) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x<0; y<0
d) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x>0; y>0
Bài 16:Cho hệ phơng trình

+=+
=
12
2
ayx
ayax
a)Giải hệ khi a=-2
b)Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x-y=1
Bài 17:Cho hệ phơng trình



=+
=+
12
12
ymx
myx
b) Giải và biện luận nghiệm của hệ theo tham số m
c) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x; y là các số
nguyên
KQ:( Với m
2

hệ có ng duy nhất: x=y=
2
1
+

m
; x=y

Z <=>1

m+2 <=>.......
Bài 18:Cho hệ phơng trình



=+
=+
4
104
myx
mymx
a) Giải và biện luận nghiệm của hệ theo tham số m
b)Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x; y là các số
nguyên dơng
KQ: (m
2

hệ có ng : x=
2
5
;
2
8
+
=

+

m
y
m
m
;
Giáo Viên : Vũ Đức Hạnh 7
Trờng THCS Hải Vân
x nguyên dơng<=>x

N<=>
2
8
+

m
m

N<=>
2
10
1
2
10)2(
+
+=
+
++
mm

m

N<=>10

m+2 .....
)
Bài 19:Cho hệ phơng trình



+=
=
52
13)1(
myx
mmyxm
a)Giải và biện luận nghiệm của hệ theo tham số m
b)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà
S=x
2
+y
2
đạt giá
trị nhỏ nhất (min S=8 khi m=1)
Bài 20:Cho hệ phơng trình



=
=++

2
12)1(
2
mymx
mmyxm
a)Giải hệ khi m=2
b)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà P=xy
đạt giá trị
lớn nhất (max P=
4
1
khi m=
2
3
)
Bài 21:Cho hệ phơng trình



=
=+
12
2
ymx
myx
a)Giải hệ khi a=2
b)Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x>0; y<0
c)Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x; y là các số
dơng
KQ: ( hệ có ng vơi mọi m : x=

2
12
;
2
4
22
+

=
+
+
m
m
y
m
m
; ..........)
Bài 22: Giải các hệ phơng trình sau
a)







=


+

=


+
3
45
2
21
yxyx
yxyx
b)





=+
=
22
843
yx
yx

Giáo Viên : Vũ Đức Hạnh 8
Trờng THCS Hải Vân
c)

=+
=
1222
32423
yx
yx
(đk x;y

2 ) d)





=+
=

+
+
+

5
2
1
12
12
1
yx
y

x
x
y
(đk
....0
12
1
<=>>
+

x
y

e)





=+
=+
05
2
5
yx
x
y
y
x
tơng tự câu c đặt ẩn phụ

t
x
y
=
+

12
1
(t>0) Khi đó
ty
x 1
1
12
=

+

Bài 23: Giải các hệ phơng trình sau ( Nâng cao)
)





=+
=+
xy
yx
31
31

2
2
(Trừ từng vế đợc pt tích ta có hệ



=+
=+
0)3)((
31
2
yxyx
yx
<=>










=+
=+



=

=+
03
31
0
31
2
2
yx
yx
yx
yx
b)





=++
=++
2
4
22
yxyx
yxyx
(đặt x+y=u; xy=t ta có hệ

=+
=
2
4
2
tu
tu
cộng từng vế và giải đợc
u;t
c)



=+
=+
31
1
55
yx
yx
( đặt x+y=u; xy=t ta có u=1; t
2
t-6=0 =>u =...
Giáo Viên : Vũ Đức Hạnh 9
Trờng THCS Hải Vân
d)



=+

=++
84
19
22
xyyx
xyyx
( đặt x+y=u; xy=t ta có u và v là 2 nghiệm của pt k
2
-
19k+84=0
=> k
1
=7; k
2
=12 <=>



=+
=
7
12
yx
xy
.........
e)



=+

=+
10
4
22
yx
yx
(hay x+y=4 và x.y=3
f)



=+
=
65
18)1)(1(
22
yx
yx
( từ (1) => xy-(x+y)=17 ta có hệ mới rồi đặt -(x+y)=u; xy=t
g)



=+
=++
6
5
22
xyyx
xyyx

tơng tự câu d
h)





=+
=+
6
13
5
x
y
y
x
yx
đk x; y
0

Bài 24:a) cho hệ ph /t



=+
=
25
43
22
yx

mymx
Tìm m để hệ có nghiệm kép (kq;

=0=>m=-
4
3
)
b) Cho hệ ph /t





=+
=+
m
x
y
y
x
yx 8
Tìm m để hệ có nghiệm kép (kq:
a=2=>(x;y)=(4;4)
Giáo Viên : Vũ Đức Hạnh 10
Trờng THCS Hải Vân
Bài 25: Cho hệ ph /t



=+

=+
myx
mxy
2
212
22
Tìm m để hệ có 2 nghiệm phân biệt .Tìm
nghiệm đó
( đa về dạng



=
=
122
1)(
2
mxy
yx
thì xảy ra 2 hệ rồi giải )
Bài 26: Cho hệ ph /t





++=+
+=++
kkxyxyy
yykyxx

22)1(422
484)42(
22
22
Tìm k nguyên để hệ có
nghiệm
Biến đổi từng phơng trình về dạng (a

b

c)
2
=A , Hệ có ng <=> A

0
Bài 27: Cho hệ ph /t



=+
=
1
22
yx
myx
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất . Tìm
nghiệm đó
KQ; m=
2
thì hệ có nghiệm (

2
1
;
2
1

); m=-
2
thì hệ có nghiệm (-
2
1
;
2
1
)
Hàm số y=a x
2
(a

0)
Sự tơng giao của đồ thị hàm số y=ax
2
và Y=a x+b
Bài 1: Cho Parabol (P): y=
2
1
x
2
và đờng thẳng (d) có phơng trình : y=2x-2
Chứng tỏ rằng đờng thẳng (d) và Parabol (P) có điểm chung duy nhất.Xác

định toạ độ điểm chung đó
Bài 2: Cho Parabol (P): y=
4
1

x
2
và đờng thẳng (d) có phơng trình : y=x+m
Giáo Viên : Vũ Đức Hạnh 11
Trờng THCS Hải Vân
a) Tìm m để đờng thẳng (d) và Parabol (P) có điểm chung duy nhất
b) Tìm m để đờng thẳng (d) và Parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt
c) Tìm m để đờng thẳng (d) và Parabol (P) khôngcó điểm chung
Bài 3: Cho Parabol (P): y=x
2
và đờng thẳng (d) có phơng trình : y=ax+b
Tìm a và b để đờng thẳng (d) và Parabol (P) tiếp xúc nhau tại điểm A(1;1)
Bài 4: Cho Parabol (P): y=
4
1
x
2

a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) có hệ số góc là k và đi qua M(1,5; -1)
b) Tìm k để đờng thẳng (d) và Parabol (P) tiếp xúc nhau
c) Tìm k để đờng thẳng (d) và Parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt
Bài 5; Cho Parabol (P): y=ax
2

a)Tìm a biết rằng (P) đi qua A(2;-1) và vẽ (P) với a vừa tìm đợc

b) Điểm B có hoành độ là 4 thuộc (P) (ở câu a). hãy viết phơng trình đờng
thẳng AB
c) Viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc Parabol (P) (ở câu a) và song song
với AB
Bài 6: Cho Parabol (P): y=
2
1
x
2
và điểm N(m;0) và I(0;2) với m

0 .Vẽ (P)
a)Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua 2 điểm N; I
b)C/m rằng (d)và (P) luôn cắt nhau tại 2 diểm phân biệt A và B với mọi m

0
c) Gọi H;K là hình chiếu của A và B lên trục hoành . c/m rằng tam giác HIK
vuông tại I
Bài 7: Cho Parabol (P): y=x
2

a) Gọi A và B là 2 điểm thuộc (P) lần lợt có hoành độ là -1 và 2.C/m

OAB
vuông tại A
b) Viết phơng trình đờng thẳng (d
1
) // AB và tiếp xúc với (P)
c) Cho đờng thẳng (d
2

) : y=mx+1 (với m là tham số )
+C/m rằng đờng thẳng (d
2
) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m
+Tìm m sao cho đờng thẳng (d
2
)cắt Parabol tại 2 điểm phân biệt có hoành
độ là x
1
và
x
2
thoả mãn
2
2
2
1
11
xx
+
=11
Bài 8:Cho Parabol (P): y=(2m-1)x
2
a)Tìm m để Parabol (P)đi qua A(2;-2)
b) Viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc Parabol (P) ở câu a và đi qua B(-1;1)
c) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua gốc toạ độ và đi qua điểm C thuộc (P)ở
câu a và
có tung độ là
16
1

d) Tìm trên (P) các điểm có khoảng cách đến gốc toạ độ bằng 1
Bài 9: : Cho Parabol (P): y=x
2
và đờng thẳng (d) có phơng trình : y=2x+m
Giáo Viên : Vũ Đức Hạnh 12
Trờng THCS Hải Vân
a)Tìm m để (d) và Parabol (P) tiếp xúc nhau .Xác định toạ độ điểm chung đó
b) Tìm m để (d) và (P) cắt nhau tại 2 điểm ,một điểm có hoành độ x=-1.Tìm
điểm còn lại
c)Giả sử đờng thẳng cắt Parabol tại 2 điểm A và B . Tìm tập hợp trung điểm I
của AB
Bài 10: Bài thi năm 06-07 và 05-06
Giải Phơng trình
Bài 1: Giải các phơng trình sau
1) 1,5x
2
-2,5x -1=0 6)
0324
4
1
2
=++
xx
2) -x
2
+4x+3=0 7)
0347144
=++
xx

3) x
2
-2(1+
3
)x +2
3
+1=0 8)
15
=
xx
( Lập
bảng xét dấu)
4) x
2
(
06)32
=++
x
9)
x
x
x
x
x
x

+
=
+

1
1
11
1
2

5)
2323
=
x
10)
xx
x
+
=

1
1
2
1
2
2
Bài 2: Giải các phơng trình sau ( có thể dùng phơng pháp đặt ẩn phụ)
1) x
4
x
2
-6=0

2)
1
1
1
1
+

+

+
x
x
x
x
=3 Đặt
t
x
x
=

+
1
1
(đk x


1)
3) (x
2
+2x)

2
-2(x
2
+2x) -3=0 Đặt (x
2
+2x)=t
4) (x
2
+2x+2)
2
-2(x
2
+2x) -28=0 Đặt (x
2
+2x)=t
5) (x
2
-5x)
2
-30(x
2
-5x) = 216
6) (y-x-2)
2
+ (x+2y)
2
=0 a
2
+b
2

= 0 <=>



=
=
0
0
b
a

7) (x-
)
2
x
2
+x-
x
2
- 2=0 Đặt x-
x
2
=t (đk x

0)
8) (x+
05)
1
(5,4)
1

2
=++
x
x
x
Đặt x+
x
1
=t (đk x

0)
9)
0
2
4
2
1
4
2
222
=
+

+



xx
x
xxx

MTC: x(x-2)(x+2) => ng x=3 ..... lu ý
ĐKXĐ
(x+
2
)
2
1
+6x +11=0 Tách 11=
2
6
+8 rồi Đặt x +
2
1
=t
Bài 3; Giải phơng trình (có nhiều phơng pháp)
1)
xx
=++
11
(đk....; dùng phơng pháp đặt ẩn phụ hoặc bình phơng 2 vế hoặc
2) x-1=
1
+
x
Vận dụng t/c đại số :
2 2 2 2
0
; 0
a
a b a b a b

b o
=

= = + =

=

đa về hệ pt )
Giáo Viên : Vũ Đức Hạnh 13
Trờng THCS Hải Vân
3) 3x-4
181
=
x
......
4) x-
1412
=
x
.......
5)
2
3
1
1
1
1
=
+

+
x
x
x
x
đặt ẩn phụ ta có pt: t -
t
1
=
2
3
(đk t>0 ; x>1 hoặc x<-1)
6)
121
=+
xx

7)
341
=++
xx
8)
24
2
=
xx
9)
513416123

22
=+++
yyxx
(ta có
44)2(316123
22
+=+
xxx
Nên
216123
2
+
xx
;
3134
2
+
yy
10)
5168143
=++++
xxxx
11)
1252
22
=+
xxxx
đặt ẩn phụ
txx
=+

52
2
(

t
0)
12) 3x
2
+2x=1-x+2
xx
+
2
đặt
xx
+
2
=t (

t
0)
Phơng trình bậc cao (Dành cho nâng cao)
Phơng trình a x
3
+bx
2
+cx+d=0
(1)
(a

0)

-Biến đổi vế trái về dạng tích bậc nhất với bậc hai để giải
-Nếu a+b+c+d=0 thì (1) sẽ có 1nghiệm x=1
- Nếu a-b+c-d=0 thì (1) sẽ có 1nghiệm x=-1. Khi đó ta đẽ dàng Biến đổi vế trái về dạng tích
-Nếu (1) có các hệ số nguyên , nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó là ớc của hạng
tử tự do , giả sử 3 nghiệm là x
1
;x
2
;x
3
thì x
1
+x
2
+x
3
=-b/a
x
1
.x
2.
x
3
=-d/a
x
1
.x
2
+x
1

x
3
+ x
2
.x
3
=c/a
Bài 4.1: a) Giải phơng trình 2x
3
+7x
2
+7x+2=0
a-b+c-d=0 thì (1) sẽ có 1nghiệm x=-1. Khi đó ta đẽ dàng Biến đổi vế trái
về dạng tích
b) Giải phơng trình x
3
+7x
2
-56 x+48=0
a+b+c+d=0 thì (1) sẽ có 1nghiệm x=1
d) Giải phơng trình 2x
3
+5x
2
+6x+3=0
e) Giải phơng trình sau : x
3
+ 4x
2
-29+24 =0 (1) <=> (x-1 )( x

2
+5x-24 )=0
Bài 4.2 Giải phơng trình sau 4x
4
109x
2
+ 225 =0 (1)
Bài 4.3 phơng trình hệ số đối xứng bậc 4 : a x
4
+ bx
3
+ cx
2

+ dx +e =0
( x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ;a

0 )
(Đặc điểm : vế trái các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng
nhau )
Giáo Viên : Vũ Đức Hạnh 14
Trờng THCS Hải Vân
ph ơng pháp giải gồm 4 b ớc
-Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của (1) ta chia cả hai vế (1) cho x
2
(đk x

0) rồi
nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta đợc phơng trình mới
-Đặt ẩn phụ : (x+

)
1
x
=t (3) => x
2
+
2
1
x
=t
2
-2 ta đợc phơng trình ẩn t
-giải phơng trình đó ta đợc t = .
- thay các giá trị của t vào (3) để tìm x và trả lời nghiệm (1)
Giải phơng trình sau
10x
4
- 27x
3
- 110x
2
-27x +10=0 (1)
Ta nhận thấy x=0 không phải là nghiệm của (1)
chia cả hai vế (1) cho x
2
(đk x

0)
ta đợc pt <=>10x
2

-27x - 110 -
2
1027
xx
+
= 0
Nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta đợc PT
10( x
2
+
)
1
()
1
2
x
x
x
+
) -110 =0 (2)
Đặt ẩn phụ (x+
)
1
x
=t (3) => x
2
+
2
1
x

=t
2
-2 thay vào (2) ta có
<=> 10t
2
-27t -130=0 (4) Giải (4) ta đợc t
1
=-
2
5
; t
2
=
5
26
+ Với t
1
=-
2
5
(x+
)
1
x
=-
2
5
2x
2
+5x+2=0 có nghiệm là x

1
=-2 ; x
2
=-
1/2
+Với ; t
2
=
5
26
(x+
)
1
x
=
5
26
5x
2
-26x+5 =0 có nghiệm là x
3
=5 ;
x
4
=1/5
Vậy phơng trình (1) có tập nghiệm là S=

5;
5
1
;2;
2
1
Bài 4.4 Phơng trình hồi quy dạng tổng quát : a x
4
+ bx
3
+ cx
2

+ dx +e =0 (1)
Trong đó x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; a

0 e

0) và
2
)(
b
d
a
e
=

;
phơng tình hệ số đối xứng bậc 4 chỉ là 1 trờng hợp đặc biệt của phơng trình hồi quy
Chú ý :Khi
a
e
=1hay a=e thì d=

b; lúc đó (1) có dạng a x
4
+ bx
3
+ cx
2


bx +e =0
Cách giải:
-Do x=0 không phải là nghiệm của phơng trình (1)nên chia cả hai vế cho x
2
ta đợc
a x
2
+bx +c +
2
x
c
x
d
+
= 0 (2)

Nhóm hợp lí a (x
2
+
0)()
2
=+++
c
bx
d
xb
ax
c

-Đổi biến đặt x+
bx
d
=t => x
2
+(
2
2
2) t
b
d
bx
d
=+
do (d/b)
2
=c/a

Giáo Viên : Vũ Đức Hạnh 15
Trờng THCS Hải Vân
nên x
2
+ c/ a x
2
=t
2
-2. d/b
Khi đó ta có phơng trình a (t
2
- 2
b
d
) bt +c =0
Ta đợc phơnmg trình (3) trung gian nh sau : at
2
+ bt +c=0 (3)
-Giải (3) ta đợc nghiệm của phơng trình ban đầu
Giải phơng trình : x
4
-4x
3
-9x
2
+8x+4=0 (1)
Nhận xét 4/1=
2
)
4

8
(

; Nên phơng trình (1) là phơng trình hồi quy
x=0 không phải là nghiệm của (1)
Do đó chia cả hai vế phơng trình cho x
2
(x

0)

ta đợc
x
2-
-4x -9 +
2
48
xx
+
=0 (x
2

+
)
4
2
x
- 4( x -
x
2

) -9 =0 (2)
* Đặt ( x -
x
2
) =t (3) => .( x
2

+
)
4
2
x
=t
2
+4 thay vào (2)
Phơng trình (1) trở thành t
2
-4t -5 =0 có nghiệm là t
1
=-1 ; t
2
=5
nhận xét : tơng tự nh giải phơng trình bậc 4 hệ số đối xứng , chỉ khác bớc đặt ẩn phụ
Đặt x+
bx
m
=yb => x
2
+
b

m
y
xb
m 2
2
22
2
=
Bài 4.5 Phơng trình dạng : (x+a ) ( x+b ) (x+c) (x+d )=m (Trong đó a+d=b+c)
cách giải : Nhóm ( x+a) với (x+d) ; (x+b) với (x+c) rồi triển khai các tích đó
Khi đó phơng trình có dạng
[x
2
+( a+d)x +ad ] [ x
2
+ (b+c )x +bc ] =0
Do a+d=b+c nên ta đặt [x
2
+( a+d)x + k ] =t (2) ( k có thể là ad hoặc bc )
Ta có phơng trình At
2
+B t + C =0 (Với A=1)
Giải phơng trình ta tìm đợc t sau đó thay vào (2) rồi giá trị tìm đợc nghiệm x
Giải phơng trình (x+1) (x+3) (x+5) (x+7 ) = -15 (1)
nhận xét 1+7 =3+5
Nhóm hợp lý (x+1) (x+7 ) . (x+3) (x+5 ) +15=0
(x
2
+8x +7 ) (x
2

+ 8x + 15) +15 =0 (2)
*Đặt (x
2
+8x +7 ) =t (3) thay vào (2) ta có (2) t( t+ 8) + 15=0
y
2
+8y +15 =0 nghiệm
y
1
=-3 ; y
2
=-5
Thay vào (3) ta đợc 2 phơng trình
1/x
2
+8x +7 = -3 x
2
+ 8x +10=0 có nghiệm x
1,2
= -4

6
2/ x
2
+8x +7 = -5 x
2
+8x +12 = 0 có nghiệm x
3
=-2; x
4

=-6
Vậy tập nghiệm của phơng trình (1) là S =
{ }
64;6;2

Bài 4.6:Phơng trình dạng; (x+a)
4
+(x+b)
4
= c (1) (Trong đó x là ẩn số ;a, b, c là
các hệ số )
c ách giải :
Đối với dạng phơng trình này ta đặt ẩn phụ là trung bình cộng của (x+a) và (x+b)
Đặt t =x+
2
ba
+
=> x+a =t+
2
ba

và x+b=t -
2
ba


Giáo Viên : Vũ Đức Hạnh 16
Trờng THCS Hải Vân
Khi đó phơng trình (1) trở thành : 2t
4

+2 (
2
ba
+
)
2
t
2
+ 2(
2
ba
+
)
4
c =0
Đây là phơng trình trùng phơng đã biết cách giải
Giải phơng trình sau : (x+3)
4
+(x-1)
4
=626
Đặt t =( x+3+x-1): 2=x+1=>x=t-1
Ta có phơng trình (t+2)
4
+ (t - 2)
4
=626
9t
4
+8t

3
+24t
2
+32t +16) +( 9t
4
- 8t
3
+24t
2
- 32t +16)=626
t
4
+24t
2

- 297 =0 => t=-3 và t=3
Từ đó tìm đợc x=2 ; và x=-4 là nghiệm của phơng trình đã cho
Bài 4.7/ Phơng trình dạng : a[ f(x)]
2
+b f(x) +c = 0
(trong đó x là ẩn ;a

0 ; f(x) là đa thức một biến )
cách giải: - Tìm TXĐ của phơng trình
- Đổi biến bằng cách đặt f(x) =t khi ó phơng trình có dạng at
2
+ bt +c =0 (2) là
PT bậc ha +/nếu (2) có nghiệm là t=t
0
thì ta sẽ giải tiếp phơng trình f(x) =t

+/ nghiệm của phơng trình f(x) =t
0
(nếu thoả mãn TXĐ của phơng trình đã cho ) sẽ là
nghiệm của phơng trnh (1)
Ví dụ : Giải phơng trình x
4
+6x
3
+5x
2
-12x+3=0 (1)
TXĐ :

x

R
Biến đổi vế trái ta có VT= (x
2
+ 3x)
2
-4(x
2
+3x) +3
Vậy ta có phơng trình <=> (x
2
+ 3x)
2
-4(x
2
+3x) +3 =0

Đặt x
2
+ 3x =t (2)
Ta có PT <=> t
2
-4t +3 = 0 có nghiệm là t
1
=1 ;t
2
=3
Bài 4.8 Phơng trình đối xứng bậc lẻ ( bậc 5)
Giải phơng trình 2x
5
+3x
4
-5x
3
-5x
2

+ 3x +2=0
Phơng trình có tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các số hạng
bậc lẻ , có nghiệm x=- 1 .Nên biến đổi phơng trình về dạng
( x+1) (2x
4
+x
3
-6x
2
+x+2 )=0

Khi đó phơng trình có dạng
[x
2
+( a+d)x +ad ] [ x
2
+ (b+c )x +bc ] =0
Do a+d=b+c nên ta đặt [x
2
+( a+d)x + k ] =t (2) ( k có thể là ad
hoặc bc )
Ta có phơng trình At
2
+B t + C =0 (Với A=1)
Giải phơng trình ta tìm đợc t sau đó thay vào (2) rồi giá trị tìm đợc nghiệm x
Giải phơng trình (x+1) (x+3) (x+5) (x+7 ) = -15 (1)
nhận xét 1+7 =3+5
Nhóm hợp lý (x+1) (x+7 ) . (x+3) (x+5 ) +15=0
(x
2
+8x +7 ) (x
2
+ 8x + 15) +15 =0 (2)
*Đặt (x
2
+8x +7 ) =t (3) thay vào (2) ta có (2) t( t+ 8) + 15=0
y
2
+8y +15 =0 nghiệm
y
1

=-3 ; y
2
=-5
Thay vào (3) ta đợc 2 phơng trình
1/x
2
+8x +7 = -3 x
2
+ 8x +10=0 có nghiệm x
1,2
= -4

6
2/ x
2
+8x +7 = -5 x
2
+8x +12 = 0 có nghiệm x
3
=-2; x
4
=-6
Giáo Viên : Vũ Đức Hạnh 17
Trờng THCS Hải Vân
Vậy tập nghiệm của phơng trình (1) là S =
{ }
64;6;2

Bài 4.6:Phơng trình dạng; (x+a)
4

+(x+b)
4
= c (1) (Trong đó x là ẩn số ;a, b, c là
các hệ số )
c ách giải :
Đối với dạng phơng trình này ta đặt ẩn phụ là trung bình cộng của (x+a) và (x+b)
Đặt t =x+
2
ba
+
=> x+a =t+
2
ba

và x+b=t -
2
ba


Khi đó phơng trình (1) trở thành : 2t
4
+2 (
2
ba
+
)
2
t
2
+ 2(

2
ba
+
)
4
c =0
Đây là phơng trình trùng phơng đã biết cách giải
Giải phơng trình sau : (x+3)
4
+(x-1)
4
=626
Đặt t =( x+3+x-1): 2=x+1=>x=t-1
Ta có phơng trình (t+2)
4
+ (t - 2)
4
=626
9t
4
+8t
3
+24t
2
+32t +16) +( 9t
4
- 8t
3
+24t
2

- 32t +16)=626
t
4
+24t
2

- 297 =0 => t=-3 và t=3
Từ đó tìm đợc x=2 ; và x=-4 là nghiệm của phơng trình đã cho
Bài 4.7/ Phơng trình dạng : a[ f(x)]
2
+b f(x) +c = 0
(trong đó x là ẩn ;a

0 ; f(x) là đa thức một biến )
cách giải: - Tìm TXĐ của phơng trình
- Đổi biến bằng cách đặt f(x) =t khi ó phơng trình có dạng at
2
+ bt +c =0 (2) là
PT bậc ha +/nếu (2) có nghiệm là t=t
0
thì ta sẽ giải tiếp phơng trình f(x) =t
+/ nghiệm của phơng trình f(x) =t
0
(nếu thoả mãn TXĐ của phơng trình đã cho ) sẽ là
nghiệm của phơng trnh (1)
Ví dụ : Giải phơng trình x
4
+6x
3
+5x

2
-12x+3=0 (1)
TXĐ :

x

R
Biến đổi vế trái ta có VT= (x
2
+ 3x)
2
-4(x
2
+3x) +3
Vậy ta có phơng trình <=> (x
2
+ 3x)
2
-4(x
2
+3x) +3 =0
Đặt x
2
+ 3x =t (2)
Ta có PT <=> t
2
-4t +3 = 0 có nghiệm là t
1
=1 ;t
2

=3
Bài 4.8 Phơng trình đối xứng bậc lẻ ( bậc 5)
Giải phơng trình 2x
5
+3x
4
-5x
3
-5x
2

+ 3x +2=0
Phơng trình có tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các số hạng
bậc lẻ , có nghiệm x=- 1 .Nên biến đổi phơng trình về dạng
( x+1) (2x
4
+x
3
-6x
2
+x+2 )=0
Ngoài nghiệm x=-1 , để tìm nghiệm còn lại ta đi giải phơng trình
2x
4
+x
3
-6x
2
+x+2 =0(2) là phơng trình đối xứng (bậc 4) đã biết cách giải
Giải (2) ta đợc x

1
=x
2
=1 ; x
3
=-2 ;x
4
=-0,5
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x
1
=x
2
=1 ; x
3
=-2 ;x
4
=-0,5 ;x
5
=-1
Bài tập VN : Giải các phơng trình sau
1) x
3
- 4x
2
- 29x -24 =0 2) 8x
3
- 20x
2
+28x - 10 =0
3) x

4
- 3x
3
+9x
2
-27 x+81=0 4, x
4
-10x
3
+11x
2
-10x+1=0
5, x
4
+5x
3
-14x
2
-20x +16 =0 6, x
4
+4x
3
-10 x
2
-28 x-15=0
Giáo Viên : Vũ Đức Hạnh 18