TIẾP CẬN VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN THEO HƯỚNG GẮN VỚI THỰC TIỄN VỀ THỂ TÍCH TRONG SÁCH GIÁO KHOA HÌNH HỌC LỚP 12

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TIẾP CẬN VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN
THEO HƯỚNG GẮN VỚI THỰC TIỄN VỀ THỂ TÍCH
TRONG SÁCH GIÁO KHOA HÌNH HỌC LỚP 12

LĨNH VỰC: TỐN HỌC


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT QUỲ HỢP 1
=====  =====

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài:

TIẾP CẬN VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN
THEO HƯỚNG GẮN VỚI THỰC TIỄN VỀ THỂ TÍCH
TRONG SÁCH GIÁO KHOA HÌNH HỌC LỚP 12
LĨNH VỰC: TỐN HỌC

Tên tác giả

: Bạch Hưng Tình

Tổ bộ mơn

: Tốn - Tin

Năm thực hiện : 2020 - 2021
Số điện thoại

: 0916687482


MỤC LỤC
MỤC LỤC......................................................................................................................................................3
I. PHẦN MỞ ĐẦU.........................................................................................................................................1
1. Lí do chọn đề tài..................................................................................................................................1
2 Mục đích nghiên cứu............................................................................................................................1
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu..........................................................................................................1
4. Phương pháp nghiên cứu...................................................................................................................2
5. Những điểm mới và dự kiến đóng góp của đề tài..............................................................................2
II. PHẦN NỘI DUNG.....................................................................................................................................3
2.1 Cơ sở lí luận và thực tiễn..................................................................................................................3
2.2 Thực trạng của đề tài........................................................................................................................3
2.3 Nội dung của đề tài...........................................................................................................................4
Chương I. Khối đa diện........................................................................................................................4
2.3.1 Tiếp cận và phát triển các bài toán phần khối đa diện.............................................................4
1) Khối lăng trụ....................................................................................................................................4
2) Khối chóp.........................................................................................................................................7
a) Bài tốn tiếp cận..............................................................................................................................7
b) Kiến thức cần trang bị.....................................................................................................................7
Chương II. Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu................................................................................................9
2.3.2 Tiếp cận và phát triển các bài tốn phần mặt trịn xoay, khối trịn xoay.................................9
1) Mặt nón, khối nón trịn xoay, khối nón cụt....................................................................................9
2) Mặt trụ, khối trụ tròn xoay...........................................................................................................11
3) Mặt cầu, khối cầu, chỏm cầu........................................................................................................14
4) Bài tập tổng hợp khác...................................................................................................................16
2.4 Kết quả nghiên cứu.........................................................................................................................18
III. PHẦN KẾT LUẬN....................................................................................................................................21

3.1 Ý nghĩa, phạm vi áp dụng của đề tài...............................................................................................21
3.2 Những kiến nghị đề xuất.................................................................................................................21
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................................................................23
PHỤ LỤC.....................................................................................................................................................24


I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Những năm gần đây, sự đổi mới trong dạy và học, kiểm tra và đánh giá học
sinh đã hình thành rõ nét. Đổi mới về vấn đề dạy học: Từ việc dạy học truyền
thống nay chuyển sang lấy học sinh làm trung tâm, dạy học sinh biết cách tự khám
phá, biết cách vận dụng những kiến thức đã được học vào giải quyết các tình
huống thực tiễn trong đời sống hàng ngày. Đổi mới về hình thức thi: Từ việc thi tự
luận chuyển sang thi trắc nghiệm, đề thi được biên soạn theo hướng đánh giá năng
lực và phẩm chất người học, tăng cường những câu hỏi mang tính chất vận dụng
thực tế.
Bên cạnh đó, chương trình học hiện nay vẫn cịn mang nặng tính lý thuyết,
các kiến thức giảng dạy chưa thực sự được chú trọng gắn với thực tiễn. Điều này
tạo nên sự nhàm chán cho người học, hoặc ở một khía cạnh nào đó khiến người
học khơng nhận thức được hết giá trị của việc học tập, nghiên cứu.
Chương trình sách giáo khoa (SGK) Tốn hiện nay nói chung, lượng kiến
thức và các bài toán gắn với thực tiễn còn chưa nhiều, chưa đáp ứng được yêu cầu
đổi mới về kiểm tra đánh giá và sự thay đổi hình thức thi. Mặt khác, những bài tập
nêu trong SGK chưa kích thích được sự hứng thú cho học sinh trong việc giải tốn.
Ngồi ra, với việc u cầu q nặng về tính tốn, kiến thức mang tính hàn lâm, xa
rời với thực tiễn càng làm cho học sinh không nhận thấy được mối liên hệ giữa
kiến thức được học với cuộc sống hàng ngày. Với lượng kiến thức và bài tập mà
SGK đặt ra nếu được gắn vào những tình huống, sự vật hiện tượng gần gũi với
cuộc sống hằng ngày thì chắc chắn rằng sẽ tạo cho học sinh sự hứng thú trong các
giờ học, tránh được tính hàn lâm về kiến thức và sự nhàm chán cho người học, qua

đó góp phần nâng cao chất lượng dạy và học hiện nay.
Trăn trở về câu hỏi của học sinh trong suốt q trình dạy học: “Học Tốn để làm
gì?”. Tôi chọn nghiên cứu đề tài “Tiếp cận và phát triển bài toán theo hướng gắn
với thực tiễn về thể tích trong SGK Hình học lớp 12”.
2 Mục đích nghiên cứu
Giúp học sinh có hứng thú trong việc học tập bộ mơn Hình học nói riêng và
mơn Tốn nói chung. Đồng thời góp phần giúp học sinh có được những mối liên hệ
giữa kiến thức với thực tiễn cuộc sống. Tăng cường sự sáng tạo trong việc học và
nghiên cứu Toán.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
3.1 Đối tượng nghiên cứu
Đề tài được thực hiện từ năm học 2019 - 2020 với đối tượng học sinh ôn thi
THPT Quốc gia.
3.2 Phạm vi nghiên cứu
1


Các kiến thức trong Chương I và II của chương trình SGK Hình học 12.
4. Phương pháp nghiên cứu
+ Phương pháp nghiên cứu lí luận: Phân tích các kiến thức trong SGK, lựa
chọn những nội dung điển hình để thiết kế các bài tập theo định hướng gắn với
thực tiễn. Ngoài ra, nghiên cứu và tham khảo các tài liệu liên quan, các tài liệu về
phương pháp dạy học.
+ Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát, nghiên cứu trên đối tượng
học sinh học tập mơn Tốn tại trường THPT…
+ Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm trên những
đối tượng học sinh phù hợp nhằm đánh giá hiệu quả đề tài.
5. Những điểm mới và dự kiến đóng góp của đề tài
Với việc nêu bài tập như SGK hiện nay, người học chỉ đơn thuần là giải một
bài toán được đặt ra. Tuy nhiên, trong đề tài này, với việc lựa chọn các bài tập điển

hình và dựa trên cơ sở đó thiết kế một hệ thống các bài tập gắn liền với các tình
huống thực tiễn đã giúp người học khơng cịn đơn thuần là giải tốn, mà cịn qua
đó có được những mối liên hệ giữa kiến thức với thực tế, biết vận dụng kiến thức
đã học vào giải quyết các vấn đề trong cuộc sống hàng ngày.
Lượng kiến thức trong đề tài được thiết kế phong phú, đầy đủ, có phân loại
cho từng đối tượng hoặc từng nhóm đối tượng học sinh. Tạo thuận lợi cho việc học
tập, ơn luyện và góp phần tái hiện kiến thức trong q trình học.
Bên cạnh đó, kiến thức trong đề tài được thiết kế gắn với nhiều tình huống
thực tiễn giúp học sinh hứng thú trong học tập, giúp tái hiện dễ dàng hơn các
kiến thức đã được học. Các bài tập đều có hình vẽ minh họa sinh động, gần gũi
và dễ hiểu.
Đề tài có thể dùng làm tài liệu trong việc giảng dạy bộ môn Hình học 12,
phục vụ tốt cho học sinh trong việc lựa chọn tài liệu ơn thi THPT Quốc gia. Có thể
làm cơ sở cho việc đưa các kiến thức ở những phần, bộ mơn khác vào giải quyết
các tình huống trong đời sống hàng ngày.

2


II. PHẦN NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lí luận và thực tiễn
Tốn học là nền tảng kiến thức cho nhiều mơn khoa học tự nhiên khác.
Trong các hoạt động, sự vật hiện tượng và tình huống của đời sống hàng ngày gần
như ln có sự hiện diện của kiến thức tốn học. Xuất phát từ những nhu cầu của
đời sống mà Toán học ra đời và được áp dụng rộng rãi. Việc tính thể tích của một
khối vật thể, tính diện tích của một bề mặt hoặc giải những bài tập mang tính tối ưu
như bài tốn tiết kiệm ngun vật liệu trong sản xuất… là những bài tốn ln tạo
được sự hứng thú cho học sinh và có ý nghĩa thực tiễn cao.
Trên cơ sở thực tế đó, việc làm cho học sinh có động lực học tập và hình

thành trong các em tư duy kiến thức gắn với thực tiễn càng trở nên cấp thiết. Việc
thiết kế các bài tập cũng như đổi mới về phương pháp dạy học theo hướng phát
huy phẩm chất năng lực người học cũng nhằm góp phần giúp học sinh dễ dàng hơn
trong quá trình tiếp cận, tái hiện và ghi nhớ, khắc sâu những kiến thức đã được
học, đồng thời liên hệ và giải quyết các tình huống thực tiễn một cách linh hoạt và
sáng tạo.
2.2 Thực trạng của đề tài
2.2.1 Bài toán thực tiễn với học sinh THPT
Mơn Tốn trong trường THPT nói chung và phần Hình học khơng gian nói
riêng là một mơn học khó, lượng kiến thức nhiều, địi hỏi sự tư duy lơgic và tính
trừu tượng cao. Do đó, học sinh thấy Tốn học cịn xa rời thực tế nên dễ nản lịng
và khơng hứng thú học tập. Bên cạnh đó một số giáo viên cịn thiếu năng động, học
hỏi, tìm tịi kiến thức mới, chưa thốt li khỏi kiến thức của SGK và chậm đổi mới
phương pháp dạy học.
Để khắc phục tình trạng này, giáo viên giảng dạy cần phải đổi mới phương
pháp dạy học, đẩy mạnh hơn nữa sự vận dụng của mơn Tốn vào thực tiễn đời
sống, sử dụng nhiều nguồn tài liệu tham khảo, trao đổi với đồng nghiệp dạy giỏi bộ
mơn của mình để học tập kinh nghiệm.
2.2.2 Bài toán thực tiễn trong SGK Hình học 12
Hiện nay, trong SGK Hình học 12 các bài toán vận dụng kiến thức để giải
quyết vấn đề thực tiễn cịn ít, nếu có thì cũng chỉ mang tính tượng trưng hoặc áp đặt,
khơng phân loại rõ ràng. Bên cạnh đó, nội dung các bài tập quá nặng về tính tốn,
khơ khan. Vì vậy, khó lơi cuốn được học sinh trong việc học tập và nghiên cứu.
3


Để khắc phục tình trạng này, Giáo viên cần giảng dạy cho học sinh nắm
vững các kiến thức cơ bản SGK, phát triển từ các bài tập SGK theo hướng gắn với
thực tiễn. Ngồi ra, có thể giao nhiệm vụ cho học sinh khai thác bài tập và tìm mối
liên hệ giữa các kiến thức đó với thực tế đời sống.

2.3 Nội dung của đề tài
Các bài tập trong đề tài này được soạn theo hình thức trắc nghiệm, đáp án
đúng cho mỗi bài được gạch chân.
Chương I. Khối đa diện
2.3.1 Tiếp cận và phát triển các bài toán phần khối đa diện
1) Khối lăng trụ
Trong q trình dạy tơi đã cho tiếp cận và phát triển một số bài tập sau.
a) Bài toán tiếp cận:
Trong dịp hỗ trợ người dân trong khu cách ly do dịch covit, lớp 12C1 được
phân cơng qun góp mì tơm. Kích thước mỗi thùng là dài 40cm, rộng 30cm, cao
10cm. Số thùng quyên góp được chất đầy vào một thùng lớn có kích thức trong
lòng là dài 80cm, rộng 60cm, cao 50cm. Hỏi, lớp 12C1 qun góp được bao nhiêu
thùng mì tơm?
b) Kiến thức cần trang bị
1) Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy S và chiều cao h là V = S ×h.
2) Thể tích khối lập phương cạnh a là V = a 3 .
3) Thể tích khối hộp chữ nhật với ba kích thước a, b, c là V = abc.
4) Bất đẳng thức (BĐT) Cô-si:

( a + b ) . Đẳng thức
a+b
+ Với hai số không âm a, b ta có:
≥ ab ⇒ ab ≤
2
4
xẩy ra khi a = b.
2

( a + b + c) .
a+b+c 3

+ Với ba số khơng âm a, b, c ta có:
≥ abc ⇒ abc ≤
3
27
Đẳng thức xẩy ra khi a = b = c.
3

5) Cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn,
khoảng.
Nhận xét về bài tập: So với SGK hiện hành, SGK Hình học 12 trang 28 có bài
tập 8 như sau:
4


“Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a”.
Việc giải bài tập này khơng khó. Tuy nhiên, cách đặt câu hỏi chưa kích thích
được sự hứng thú cho học sinh. Từ việc ra đề có nội dung như câu hỏi trên, chúng
ta có thể đưa vào các bài tập tương tự nhưng có nội dung gắn với các sự vật, hiện
tượng hay tình huống trong thực tế đời sống với các mức độ tư duy khác nhau.
Vấn đề quan trọng là học sinh thấy được kiến thức được học có thể áp dụng
vào cuộc sống xung quanh.
Dưới đây, tôi xây dựng theo hệ thống bài theo định hướng trên.
c) Phát triển các bài tập
Đối với học sinh trung bình, yếu tơi phát triển các bài tốn sau
Bài 1. Một bể cá hình lập phương có
cạnh bằng 50 cm. Cần bao nhiêu nước
để đổ đầy ba phần tư chiếc bể cá đó?
A. 125 000 cm 3 .

B. 93 750 cm 3 .

C. 166 667 cm 3 .

D. 83 333 cm 3 .

Bài 2. Một chiếc lều có dạng hình lăng
trụ tam giác với các kích thước như
hình vẽ. Tính thể tích phần khơng gian
bên trong chiếc lều đó.
A. 1,333 m 3 .

B. 2,667 m 3 .

C. 4 m 3 .

D. 4,333 m 3 .

Chúng ta có thể kết hợp giữa các khối lăng trụ và đưa vào các tính huống
thực tế như các bài tập sau, những bài tập này dành cho đối tượng trung bình, khá.
Bài 3. Mơ hình thu nhỏ của một ngơi
nhà với các kích thước được cho như
hình vẽ. Hãy tính thể tích phần khơng
gian bên trong ngơi nhà đó.

A. 400 cm 3 .

B. 320 cm 3 .

C. 266,7 cm 3 .

D. 960 cm 3 .

5


Bài 4: Một khối kim loại đặc, đồng chất hình chữ L
có các kích thước được cho như hình vẽ. Biết mỗi
cm 3 kim loại có trọng lượng tương đương 50 gam.
Tính trọng lượng của tồn bộ khối kim loại đó.
A. 139,2 kg.

B. 62,4 kg.

C. 52,8 kg.

D. 720 kg.

Với các đối tượng học sinh khá giỏi, chúng ta có thể thiết kế các bài tốn tối ưu
trong thực tế có liên quan đến khối lăng trụ như một số bài tốn sau đây.
Bài 5. Một hộp đựng sơ-cơ-la bằng kim loại có
hình dạng mở nắp như hình vẽ bên. Một phần tư
thể tích phía trên của hộp được rải một lớp bơ
sữa ngọt, phần cịn lại phía dưới chứa đầy sơ-cơla ngun chất. Với kích thước như hình vẽ, gọi
x = x0 là giá trị làm cho hộp kim loại có thể tích
lớn nhất, khi đó thể tích sơ-cơ-la ngun chất có
giá trị V0 bằng
A. 64.

B.

64
.
3

C. 16.

D. 48.

Hướng dẫn.
Thể tích của khối hộp là V = ( 6 − x ) ( 12 − 2 x ) x = 2 x ( 6 − x ) ( 6 − x ) , với 0 < x < 6 .

( 2x + 6 − x + 6 − x)
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương 2 x,6 − x ta được V ≤
27

3

= 64 .

Dấu “=” xẩy ra khi 2 x = 6 − x ⇔ x = 2 . Khi đó thể tích của khối sơ-cơ-la là V = 64 .
3
4

Vậy thể tích sơ-cơ-la ngun chất là V0 = V = 48 .
Bài 6. Một người cần làm một vật hình lăng trụ tam
giác đều có thể tích là 6 3 cm 3 từ tấm nhựa phẳng.
Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần độ dài các cạnh
của khối lăng trụ tam giác đều này phải theo kết quả
nào dưới đây?
A. Cạnh đáy bằng 2 6 cm và cạnh bên bằng 1 cm.

B. Cạnh đáy bằng 2 2 cm và cạnh bên bằng 3 cm.
6


C. Cạnh đáy bằng 4 3 cm và cạnh bên bằng

1
cm.
2

D. Cạnh đáy bằng 2 3 cm và cạnh bên bằng 2 cm.
Bài 7. Một nhóm học sinh dựng lều khi đi dã ngoại bằng cách gấp đôi tấm bạt hình
chữ nhật có chiều dài 12 m, chiều rộng 6 m (gấp theo đường như trong hình vẽ)
sau đó dùng hai cây gậy có chiều dài bằng nhau chống theo phương thẳng đứng
vào hai mép gấp. Hỏi khi dùng chiếc gậy có chiều dài bằng bao nhiêu thì khơng
gian trong lều là lớn nhất?

A. 5 m.

B. 1,5 m.

C. 1 m.

D.

3 2
m.
2

Hướng dẫn.

Khơng gian trong lều lớn nhất khi diện tích đáy của hình lăng trụ tam giác lớn
nhất. Điều này xẩy ra khi đáy là tam giác vuông cân.
2) Khối chóp
a) Bài tốn tiếp cận
Một cái phễu máy nghiền như hình vẽ.
Miệng phễu hình vng, cạnh lớn 60cm,
cạnh bé 30 cm. Chiều cao của phễu là 30
cm, chiều cao cuống phễu là 5 cm. Khi cho
nguyên liệu vào nghiền (đổ đầy bằng
miệng) thì tổng thể tích ngun liệu là bao
nhiêu?
b) Kiến thức cần trang bị
1
3

1) Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là V = B ×h.
2) Thể tích khối chóp cụt: V =

(

h
B + B '+ B.B '
3

)
7


3) Bất đẳng thức (BĐT) Cơ-si.
4) Cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, khoảng.

Nhận xét về bài tập: SGK Hình học 12 trang 25 có bài tập 1 với nội dung:
“Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.”
Rõ ràng, việc giải bài tốn này sẽ khơng mang lại mấy hứng thú cho học
sinh. Nhưng với bài tốn đó nếu ta chuyển sang một bài tốn thực tiễn thì chắc
chắn sẽ khêu gợi được sự chú ý của học sinh hơn. Xuất phát từ bài tập này, ta xây
dựng và phát triển hệ thống các bài tập gắn với thực tiễn như sau.
c) Các bài tập phát triển:
Những bài tập dưới đây được tôi thiết kế cho đối tượng học sinh yếu,
trung bình.
Bài 8. Một viên đá trang trí để bàn có dạng
hình tứ diện đều cạnh 10 cm. Tính thể tích của
viên đá đó.
A. 192 cm 3 .

B. 105 cm 3 .

C. 114 cm 3 .

D. 118 cm 3 .

Bài 9. Kim tự tháp Kê-ốp (Kheops) ở Ai Cập
được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước
Công nguyên. Kim tự tháp này là một khối chóp
tứ giác đều với chiều cao 147 m, cạnh đáy dài
231 m. Hãy tính thể tích của nó.
A. 2 614 689 m 3 .

B. 7 844 067 m 3 .

C. 4 991 679 m 3 .

D. 1 663 893 m 3 .

Với các học sinh khá, giỏi ta có thể đưa vào các bài tập tối ưu như bài sau đây.
Bài 10: Người ta cắt một tờ giấy hình vng có cạnh
bằng 2 để gấp thành một hình chóp tứ giác đều sao
cho bốn đỉnh của hình vng dán lại thành đỉnh của
hình chóp. Tính cạnh đáy của khối chóp để thể tích của
nó lớn nhất.
A.

2
.
5

B.

2
.
5

C. 1.

D.

4
.
5

8

Chương II. Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
2.3.2 Tiếp cận và phát triển các bài tốn phần mặt trịn xoay, khối trịn xoay
1) Mặt nón, khối nón trịn xoay, khối nón cụt
a) Bài tốn tiếp cận
Một du khách muốn mua một nón quả Sim của đám trẻ chăn trâu (trẻ em thường
hái sim bỏ vào nón lá và gọi là nón sim). Vị khách hỏi: nón sim này bao nhiêu kg?
1 kg bao nhiêu tiền? Đám trẻ chẳng trả lời được bởi chúng chẳng có cân. Chúng
chỉ nghe nói rằng: cứ 1 dm3 quả sim là được 1kg . Theo em, đám tre đó có mấy kg
quả sim? Biết cái nón có vành là đường trịn đường kính 4 dm , chiều cao là 2 dm .
b) Kiến thức cần trang bị
a) Cho hình nón có đường sinh l, chiều cao
h và bán kính đáy r. Khi đó
+ l 2 = h2 + r 2 .
+ Diện tích xung quanh của mặt nón là S xq = π rl ,
diện tích đáy là S d = π r 2 .
2
+ Diện tích tồn phần của hình nón là Stp = S xq + Sd = π rl + π r = π r ( l + r ) .

1 2
+ Thể tích của khối nón là V = π r h.
3

b) Cho hình nón cụt có đường sinh l, chiều
cao h, bán kính hai đáy lần lượt là r và R . Khi đó
+ Diện tích xung quanh hình nón cụt là
S xq = π ( R + r ) l .

+ Thể tích khối nón cụt là

V=

h
hπ 2 2
B + B '+ B.B ' =
( R + r + R.r )
3
3

(

)

Nhận xét vế bài tập: SGK Hình học 12 trang 39 có bài tập 3 với nội dung như sau:
Cho hình nón trịn xoay có đường cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm.
a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
b) Tính thể tích của khối nón được tạo thành bởi hình nón đó.
9


Bài tập nếu ra cách này, việc giải khơng khó nhưng không gây sự chú ý, không tạo
hứng thú cho học sinh. Xuất phát từ ý tưởng tiếp cận này, để góp phần kích thích
sự hứng thú cho học sinh và tăng tính thực tiễn cho các bài tốn, tơi xây dựng và
phát triển hệ thống bài tập như sau.
c) Phát triển các bài tốn có nội dung găn với thực tiễn
Bài tập áp dụng cho đối tượng học sinh yếu và trung bình.
Bài 11. Một chiếc nón lá có dạng hình nón với đường kính đáy 40 cm, đường sinh
30 cm. Diện tích bề mặt ngồi của chiếc nón gần nhất với kết quả nào dưới đây?

A. 1 405 cm 2 .

B. 628 cm 2 .

C. 1 885 cm 2 .

D. 3 770 cm 2 .

Bài 12. Một cái xơ bằng inox có dạng như hình vẽ. Các
kích thước (tính cùng đơn vị độ dài) cũng được cho kèm
theo. Khi đó, diện tích xung quanh của cái xơ gần nhất
với kết quả nào sau đây?
A. 4156.

B. 3393.

C. 2796.

D. 5235.

Hướng dẫn.
Có thể áp dụng trực tiếp cơng thức hoặc thơng qua bài tập này cho các đối
tượng học sinh khá giỏi xây dựng nên cơng thức tính thể tích và diện tích xung
quanh khối nón cụt.
Với các đối tượng học sinh khá giỏi, tôi thiết kế
một số bài tập như sau.
Bài 13. Từ miếng tơn hình vng cạnh bằng 4 dm,
người ta cắt ra hình quạt tâm O bán kính OA = 4 dm
(xem hình) để cuộn lại thành một chiếc phễu hình nón
(khi đó OA trùng với OB ). Thể tích của chiếc phễu gần
nhất với kết quả nào sau đây?

A. 4,06 dm 3 .

B. 4,56 dm 3 .
10


C. 3,14 dm 3 .

D. 5,43 dm 3 .

Hướng dẫn.
Dùng cơng thức tính chu vi đường trịn ta tìm ra bán kính đáy phễu R = 1
dm. Từ đó tính được chiều cao phễu là h = 15 dm. Ta tính được thể tích phễu.
Bài 14. Một cái phễu có dạng hình nón. Người ta đổ một lượng nước vào phễu
1
chiều cao của phễu. Hỏi
3
nếu bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược phễu lên thì chiều cao của mực nước xấp
xỉ bằng bao nhiêu? Biết rằng chiều cao của phễu là 15 cm.

sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu bằng

A. 0,501 cm.
B. 0,302 cm.
C. 0,216 cm.
D. 0,188 cm.
2) Mặt trụ, khối trụ trịn xoay
a) Bài tốn tiếp cận
Nhà bạn Tuấn có một téc nước hình trụ, trên đó có ghi 2000(l). Tuấn thắc mắc
với bố 2000(l) là sao hả bố? Bố bảo: 2000(l) tức là 2m3 , tức là téc đó chứa được 2

khối nước. Tuấn lại hỏi: Làm sao người ta đo được 2 khối? Vì 1m3 được đo bỡi vật
thể hình khối lập phương có cạnh 1m . Bố giải thích: Họ tính theo cơng thức thể
tích khối trụ.
Em hãy nghiên cứu cách tính thể tích của khối trụ để có thể tính được thể tích
các vật dụng hình khối trụ thường gặp hàng ngày!
b) Kiến thức cần bổ sung
Cho hình trụ trịn xoay có đường sinh l, chiều cao h và
bán kính đáy r. Khi đó
+ l = h.
+ Diện tích xung quanh của hình trụ là S xq = 2π rl , diện
tích đáy là S d = π r 2 .
2
+ Diện tích tồn phần của hình trụ là Stp = S xq + 2S d = 2π rl + 2π r = 2π r ( l + r ) .

+ Thể tích của khối trụ là V = π r 2 h.
11


Nhận xét bài tập: SGK Hình học 12 trang 39 có bài tập 7 với nội dung như sau:
Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r 3 .
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích khối trụ tạo nên hình trụ đã cho.
Việc giải bài tập này là hết sức đơn giản. Nhưng để sự hứng thú cho học sinh
cũng như gắn các kiến thức vào các tình huống thực tiễn đời sống, chúng ta có thể
phát triển thêm các bài tập phù hợp với từng nhóm đối tượng như các bài tập sau.
c) Phát triển các bài tốn có nội dung găn với thực tiễn.
Những bài tập sau đây được thiết kế dành cho các đối tượng yếu và trung bình
Bài 15. Một lọ nước hoa được thiết kế với dạng hình trụ
có các kích thước như hình vẽ. Tính thể tích của lọ nước
hoa đó.

A.

729
π cm 3 .
2

B.

729
729
π cm 3 . C. 729π cm 3 . D.
π cm 3 .
4
8

Bài 16. Người ta làm tạ tập cơ tay như hình vẽ
với hai đầu là hai khối trụ bằng nhau và tay cầm
cũng là khối trụ. Biết hai đầu là hai khối trụ
đường kính đáy bằng 12, chiều cao bằng 6, chiều
dài tạ bằng 30 và bán kính tay cầm là 2. Hãy tính
thể tích vật liệu làm nên tạ tay đó.
A. 108π.

B. 6480π .

C. 502π .

D. 504π .

Bài 17. Một cái trục lăn sơn nước có dạng một hình

trụ. Đường kính của đường trịn đáy là 5 cm, chiều dài
của trục lăn là 23 cm (tham khảo hình vẽ bên). Sau
khi lăn trọn 10 vịng thì trục lăn tạo lên tường phẳng
một lớp sơn có diện tích là
A.

862,5π cm 2 .

C. 2300π cm 2 .

B. 5230π cm 2 .
D. 1150π cm 2 .

Hướng dẫn: Đây là bài tốn “trải phẳng” một hình trụ. Thực chất diện tích mỗi
vịng mà con lăn sơn được chính là diện tích xung quanh của con lăn.
Phát triển các bài tập cho đối tượng học sinh khá, giỏi có nội dung như sau.
12


Bài 18. Một cuộn decal có dạng hình trụ có
đường kính 44,9 cm. Trong thời gian diễn ra vịng
loại World Cup 2022, người ta đã sử dụng để in
các băng rôn, khẩu hiệu cổ vũ cho đội tuyển Việt
Nam, do đó đường kính của cuộn decal cịn lại là
12,5 cm. Biết độ dày của tấm decal là 0,06 cm,
hãy tính chiều dài d của tấm decal đã sử dụng
(làm tròn đến hàng đơn vị).
A. d = 24344 cm.

B. d = 97377 cm.

C. d = 848 cm.

D. d = 7749 cm.

Hướng dẫn.
Với bài tốn này, ngồi việc tính thể tích của cuộn decal đã dùng theo
cách thông thường, cần chú ý thêm việc có thể tính thể tích phần decal đã dùng
theo cách coi tấm decal đó được trải thẳng ra sẽ có dạng là một khối hộp chữ
nhật. Bằng việc so sánh hai kết quả theo hai cách tính cho ta kết quả cần tìm của
bài tốn.
Ngồi ra, chúng ta có thể phát triển các bài tốn có nội dung phân chia, lắp
ghép các khối nón và khối trụ với nhau. Đây cũng là dạng bài tập hay được ra
trong các kì thi, đặc biệt là kì thi THPT Quốc gia với mức độ phù hợp với nhiều
đối tượng học sinh.
Ta có một số bài tập sau áp dụng cho đối tượng học sinh trung bình, khá, giỏi.
Bài 19. Một bồn chứa được cấu tạo bởi một khối
trụ và khối nón ghép lại với nhau có các kích
thước như hình vẽ. Tính thể tích của bồn chứa
(làm trịn đến ba chữ số thập phân sau dấy phẩy).
A. 4 130 m 3 .

B. 6 173 m 3 .

C. 7 210 m 3 .

D. 5 229 m 3 .

13

Bài 20. Cho một bình đựng chất lỏng được
tạo bởi một hình trụ và hình nón được lắp đặt
như hình bên. Bán kính đáy hình nón bằng
bán kính đáy hình trụ. Chiều cao hình trụ
bằng chiều cao hình nón và bằng h . Trong
1
24
chiều cao hình trụ. Lật ngược bình theo
phương vng góc với mặt đất. Tính độ cao
phần chất lỏng trong hình nón theo h .

bình, lượng chất lỏng có chiều cao bằng

h
A. .
8

B.

3h
.
8

h
C. .
2

h
D. .

4

3) Mặt cầu, khối cầu, chỏm cầu
a) Bài tốn tiếp cận
Khi đo thể tích của một viên bi, ban đầu người ta bỏ viên bi vào trong ống
nghiệm đổ đầy nước. Sau đó lấy viên bi ra, lượng nước trong ống hụt đi bao nhiêu
thì đó là thể tích của viên bi dạng khối cầu. Vấn đề đặt ra là nếu đo thể tích của
một khối cầu lớn thì làm cách nào?
Bằng nghiên cứu, em hãy tìm hiểu cơng thức tính diện tích mặt cầu, thể tích
của khối cầu. Từ đó, đo thể tích của viên bi có đường kính bằng 6cm.
b) Kiến thức cần bổ sung
Cho hình cầu có bán kính R (Hình 1). Khi đó
+ Diện tích mặt cầu là S = 4π R 2 .
4
3

+ Thể tích khối cầu là V = π R 3 .
Chỏm cầu là phần hình cầu (khơng chứa tâm) được cắt bởi mặt phẳng (Hình
2). Ta có cơng thức tính thể tích và diện tích xung quanh của chỏm cầu lần lượt là
h  πh

V = π h2  R − ÷ =
3r 2 + h 2 ) và S xq = 2π Rh = π r 2 + h 2 .
(
3 6


(

)

14


Hình 1

Hình 2

Việc tính thể tích khối cầu cũng như diện tích mặt cầu chỉ cần xác định được
bán kính và áp dụng các cơng thức có sẵn. Để tăng sự hứng thú cho học sinh trong
việc rèn luyện và ghi nhớ cơng thức, chúng ta có thể phát triển các bài toán về mặt
cầu hoặc các bài toán kết hợp giữa mặt nón, mặt trụ và mặt cầu trong các tình
huống thực tiễn qua một số bài tập sau.
c) Phát triển các bài tốn có nội dung găn với thực tiễn.
Những bài tập sau đây được thiết kế cho đối tượng học sinh yếu và trung bình.
Bài 21. Diện tích bề mặt của một quả bóng tennis có
đường kính 6,4 cm gần nhất với kết quả nào sau đây?
A. 1098 cm 2 .

B. 137 cm 2 .

C. 515 cm 2 .

D. 129 cm 2 .

Bài 22. Một khối trò chơi trẻ em gồm một khối nón
và nửa khối cầu được ghép lại với nhau, các kích
thước được cho như hình vẽ. Thể tích của tồn bộ
khối đồ chơi gần nhất với kết quả nào dưới đây?
A. 113 cm 3 .

B. 125, 7 cm 3 .

C. 150,8 cm 3 .

D. 226 cm 3 .

Với đối tượng học sinh khá, giỏi tơi phát triển các bài tốn tổng hợp với
một số bài tập sau đây.
Bài 23. Một cái cốc hình trụ có bán kính đáy là 2 cm, chiều cao 20 cm. Trong cốc
đang có một lượng nước, khoảng cách giữa đáy cốc và mặt nước là 12 cm (hình
vẽ). Ta lần lượt thả vào cốc những viên bi hình cầu có bán kính 0,6 cm. Để nước
dâng lên cao thêm 2 cm thì cần thả vào cốc ít nhất bao nhiêu viên bi?
A. 29 viên.

B. 30 viên.

C. 28 viên.

D. 27 viên.
15


Bài 24. Một xưởng sản xuất muốn tạo ra những
chiếc đồng hồ cát thủy tinh có dạng hình trụ, phần
chứa cát là hai nửa hình cầu bằng nhau. Hình vẽ bên
với kích thước đã cho là bản thiết kế thiết diện qua
trục của chiếc đồng hồ này (phần giới hạn bởi hình
trụ và phần hai nửa hình cầu chứa cát). Khi đó,
lượng thủy tinh làm chiếc đồng hồ cát gần nhất với

giá trị nào trong các giá trị sau?
A. 1070,8 cm 3 .

B. 602,2 cm 3 .

C. 711,6 cm 3 .

13, 2cm
1cm

13, 2cm

1cm

D. 6021,3 cm 3 .

Bài 25. Một khối cầu có bán kính là 5 dm, người
ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt
phẳng song song cùng vng góc với đường kính
và cách tâm một khoảng bằng 3 dm để làm một
chiếc lu đựng nước (hình vẽ bên). Thể tích nước
tối đa mà chiếc lu có thể chứa được là
A.

43
π dm 3.
3

C. 41π dm 3 .

B.

100
π dm 3.
3

D. 132π dm 3 .

Hướng dẫn.
Ta tính thể tích cả khối cầu và trừ đi thể tích của hai chỏm cầu bị cắt sẽ có
được kết quả cần tìm. Ngồi ra, có thể áp dụng kiến thức về tích phân để tính
thể tích của lu nước bằng việc gắn hệ trục tọa độ.
4) Bài tập tổng hợp khác
SGK Hình học 12, trang 40 có bài tập 8 như sau:
Một hình trụ có hai đáy là hai hình trịn ( O; r ) và ( O '; r ) . Khoảng cách giữa
hai đáy là OO ' = r 3 . Một hình nón có đỉnh là O ' và có đáy là hình trịn ( O; r ) .
16


a) Gọi S1 là diện tích xung quanh của hình trụ và S 2 là diện tích xung
quanh của hình nón, hãy tính tỉ số

S1
.
S2

b) Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần, hãy tính
tỉ số thể tích hai phần đó.
Việc giải bài tập này rõ ràng là một công việc hết sức nhàm chán. Từ ý
tưởng của bài tập này, bằng việc kết hợp với hình vẽ, ta có thể xây dựng các bài

tốn gắn với thực tiễn có sự lồng ghép các khối trịn xoay như những bài tập
sau đây.
Những bài tập này dành cho đối tượng khá, giỏi.
Bài 26. Một chiếc cốc hình trụ đựng đầy nước có các
kích thước như hình vẽ. Người ta nhúng một vật thể
đặc, không thấm nước dạng hình nón vào cái cốc rồi sau
đó rút nó ra. Kích thước của vật thể được mơ ta như
trong hình. Hãy tính lượng nước cịn lại trong cốc.
A. 60π cm 3 . B. 30π cm 3 . C. 180π cm 3 . D. 90π cm 3 .
Bài 27. Có ba cái bể hình lập phương giống hệt nhau chứa các quả cầu như hình
dưới. Các quả cầu trong mỗi bể có cùng kích thước và được đặt sát nhau. Nếu
các bể được đổ cho đầy nước, thì bể nào sẽ chứa nhiều nước nhất?

A. Bể A.

B. Bể B.

C. Bể C.

D. Lượng nước ba bể như nhau.

Hướng dẫn.
Với bài toán này, ta chỉ cần tính thể tích các quả cầu ở mỗi bể chứa là có thể
suy ra phần khơng gian cịn lại ở mỗi bể.
Giả sử bán kính của khối cầu ở bể A là 4R . Khi đó, mỗi khối cầu ở bể B có
bán kính là 2R và mỗi khối cầu ở bể C có bán kính là R . Tính thể tích các khối
cầu ở tất cả các bể ta có được kết quả V1=V2=V3 nên khoảng trống còn lại trong ba
bể là như nhau.
17

Bài 28. Có một cái bình hình trụ chứa 4 quả cầu,
trong đó có 3 quả cầu nhỏ cùng bán kính và 1 quả
cầu to có bán kính R. Biết 3 quả cầu nhỏ đôi một
tiếp xúc nhau, mỗi quả cầu này đều tiếp xúc với đáy
bình và tiếp xúc với một đường sinh của bình; quả
cầu to cịn lại đồng thời tiếp xúc với 3 quả cầu nhỏ,
tiếp xúc với các đường sinh của bình và tiếp xúc với
mặt nắp của bình (bỏ qua bề dày của bình, hình mơ
tả như hình vẽ ). Chiều cao h của bình bằng

(
C. h = R (
A. h = R

)
2 3 + 3 + 1) .

(
D. h = R (

2

2 3 − 3 +1 .

B. h = R

2

)

2 3 + 3 − 1) .
2

2 3 − 3 −1 .
2

Hướng dẫn.

Gọi S, A, B, C lần lượt là tâm của hình cầu lớn và 3 hình cầu nhỏ. Ta có SA = R + r ,
AO =

2 3
× ×2r , R = AO + r hay r = ( − 3 + 2 3) R , SA = ( − 2 + 2 3) R và
3 2

AO = (4 − 2 3) R.

(

) (

)

2
2
2
2
2
2
2


Lại có SO = SA − AO = R  −2 + 2 3 − 4 − 2 3  = R (−12 + 8 3).



Chiều cao của bình là h = R  (−12 + 8 3) + (−3 + 2 3) + 1 = R



(

)

2

2 3 − 3 +1 .

2.4 Kết quả nghiên cứu
Với việc nghiên cứu và thiết kế nội dung câu hỏi mang tính kế thừa và phát
triển kiến thức từ bài tập SGK theo hướng gắn với thực tiễn và đưa các kiến thức
đó phục vụ việc giảng dạy và ôn tập cho học sinh tôi nhận thấy:
18


a) Đối với giáo viên:
- Khi nghiên cứu thực hiện đề tài và áp dụng nó vào việc giảng dạy tơi đã bổ
sung cho mình một lượng lớn vốn kiến thức thực tế. Từ đó góp phần truyền động
lực và niềm đam mê cho học sinh trong việc học tập và nghiên cứu Toán.
- Những giáo viên khác của bộ mơn Tốn cũng thấy rất hứng thú khi trao đổi
về đề tài và thấy được tác dụng của việc áp dụng các kiến thức được học vào giải

quyết các vấn đề thực tiễn. Cũng qua đó cho thấy việc thiết kế các bài tốn có nội
dung như vậy là cần thiết, nhằm tạo hệ thống tài liệu tốt phục vụ cho giảng dạy và
học tập.
- Nội dung các câu hỏi giảm tính hàn lâm, gần gũi với đời sống. Được phân
loại cho từng đối tượng học sinh cụ thể và theo hình thức trắc nghiệm. Do đó, có
thể làm tài liệu cho giáo viên trong giảng dạy ôn tập thi THPT Quốc gia.
b) Đối với học sinh:
Quá trình áp dụng các nội dung trong đề tài vào giảng dạy, tôi nhận thấy
học sinh hứng thú hơn và hiểu rõ hơn về mối liên hệ giữa các kiến thức đã được
học với thực tế đời sống hàng ngày. Kích thích được sự hiếu kì, tự học, tự nghiên
cứu và giải thích được những tình huống trong thực tế bằng kiến thức Tốn học.
Trong năm học 2019 - 2020 tơi đã tiến hành thực nghiệm sư phạm với hai lớp
có lực học tương đương là lớp 12C2 (lớp đối chứng (LĐC)) và 12A4 (lớp thực
nghiệm (LTN)), với hình thức đưa các nội dung trong đề tài vào ôn tập thi THPT
Quốc gia.
- Trước khi áp dụng đề tài, tôi tiến hành làm bài kiểm tra với các nội dung
câu hỏi trong SGK (chưa được thiết kế theo hướng gắn với thực tiễn) và thu
được kết quả như sau:
Giỏi

Khá

Lớp

Sĩ
số

SL

%

LTN

32

2

6,25

LĐC

36

1

2,8

SL

TB
%

Yếu

Kém

SL

%

SL

%

SL

%

18 56.25

10

31,25

2

6,25

0

0

23

11

30,5

1

2,8

0

0

63,9

- Sau khi áp dụng đề tài, tôi tiến hành làm bài kiểm tra với các nội dung câu
hỏi trong SGK (đã được thiết kế theo hướng gắn với thực tiễn) và thu được kết quả
như sau:
Lớp

Sĩ

Giỏi

Khá

TB

Yếu

Kém
19


số

SL

%

LTN

32

6

LĐC

36

2

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

18,8

25 78,1

1

3.1

0

0

0

0

5,6

26

8

22,2

0

0

0

0

72,2

Từ kết quả đó, tơi thấy việc áp dụng bộ câu hỏi trong đề tài vào giảng dạy
ngoài việc làm cho học sinh hứng thú hơn với môn học còn làm tăng tỉ lệ học sinh
khá giỏi, giảm được số lượng học sinh yếu, kém.

20


III. PHẦN KẾT LUẬN

3.1 Ý nghĩa, phạm vi áp dụng của đề tài
3.1.1 Ý nghĩa của đề tài
Đề tài sáng kiến này đã được thực hiện khi tôi tham gia dạy ơn thi THPT
Quốc gia. Trong q trình dạy học nội dung đề tài này, học sinh rất hứng thú với
mơn học, tự tin, biết giải các bài tốn có nội thực tiễn khi gặp chúng trong các đề
thi, tạo cho học sinh niềm đam mê, u thích mơn tốn, mở ra cho học sinh cách
nhìn nhận, vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học
sinh tự học, tự nghiên cứu.
Nếu đề tài này được áp dụng trong việc giảng dạy ở một số tiết học tốn sẽ
góp phần nâng cao chất lượng giáo dục trong các nhà trường, giúp cho giáo viên
và học sinh tiết kiệm về thời gian chọn nguồn bài tập phù hợp. Đồng thời đề tài
này sẽ tạo hứng thú học tập cho học sinh, kích thích hoạt động tư duy sáng tạo và
sự vận dụng toán học trong hoạt động đời sống hàng ngày. Nâng cao hiệu quả giờ
lên lớp của giáo viên, làm giảm sự hàn lâm và tăng tính vận dụng của mơn tốn
với thực tế.
3.1.2 Phạm vi áp dụng của đề tài

Về phương tiện dạy học, có thể sử dụng trình chiếu đưa trước những tư liệu
hay ví dụ và mơ phỏng hình ảnh để học sinh dễ dàng tưởng tượng và vận dụng
trong khi học.
Sáng kiến là nguồn tài liệu học tập rất tốt cho học sinh học tập ơn thi THPT
quốc gia. Có thể sử dụng đề tài này để làm tư liệu cho việc dạy học theo chủ đề
tích hợp liên mơn các môn học khác.
3.2 Những kiến nghị đề xuất
Để giúp cho học sinh u thích mơn Tốn, nâng cao chất lượng dạy và học
tơi có một số kiến nghị như sau:
- Tạo khơng khí thoải mái, thân thiện trong các giờ học.
- Cần đổi mới phương pháp dạy học, tăng cường liên hệ thực tiễn trong các
bài học để học sinh có hứng thú, u thích mơn Tốn.
- Đề tài có thể góp phần định hướng cho giáo viên và học sinh phát triển
thêm ở những chương, bài khác trong chương trình tốn phổ thơng, làm phong phú
thêm tư liệu giảng dạy và học tập.
21


Đề tài là đúc kết một số kinh nghiệm giảng dạy của bản thân tôi, kết hợp với
việc tham khảo các nội dung liên quan, mặc dù khá chi tiết và đầy đủ, nhưng khó
có thể tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót. Rất mong hội đồng khoa học góp ý để
đề tài được hoàn thiện hơn. Và nếu đề tài được công nhận, tôi đề nghị đề tài cần
được phổ biến rộng rãi để làm tư liệu trong giảng dạy và học tập nhằm góp phần
nâng cao chất lượng dạy và học trong nhà trường phổ thông hiện nay.

22