Tài liệu Dẫn nhiệt ổn định_chương 2 pptx

6
CHƯƠNG 2
DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH
2.1. ĐỊNH LUẬT FOURIER VÀ HỆ SỐ DẪN NHIỆT
2.1.1. Thiết lập định luật Fourier về dẫn nhiệt
Định luật Fourier là định luật cơ bản của dẫn
nhiệt, nó xác lập quan hệ giữa 2 vectơ
q và dtagr .
Để thiết lập định luật này ta sẽ tính nhiệt
lượng
Q
2
δ dẫn qua mặt dS nằm giữa 2 lớp phân tử
khí có nhiệt độ T
1
> T
2
, cách dS một đoạn x bằng
quảng đường tự do trung bình các phân tử, trong
thời gian
τd
, như hình H2.
Vì T
1
và T
2
sai khác bé, nên coi mật độ phân tử n
0
và vận tốc trung bình ω
của các phân tử trong 2 lớp là như nhau , và bằng:

τω= dSdn
6
i
nd
0
2

Lượng năng lượng qua dS từ T
1
đến T
2
là

τω== dSdn
6
1
kT
2
i
ndEEd
01
2
1
1
2
và

τω== dSdn
6

1
kT
2
1
ndEEd
02
2
2
2
2
,
trong đó
K/J10.3806,1
02217,6
8314
N
R
k
23
A
−
µ
=== là hằng số Boltzmann, N
A
là số
phân tử trong 1 kmol chất khí (số Avogadro), I là số bậc tự do cảu phân tử chất khí.
Trừ 2 đẳng thức cho nhau, sẽ thu được lượng nhiệt trao đổi qua dS, bằng:

τω−=−=δ dSdn
6

1
)TT(k
2
i
nd)EE(Q
021
2
21
2

Vì
x2
x
T
TT
21
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−=−
và
H
ình 2. Để tìm dòng nhiệt q

7

v
A
0
A
00
C
3
1
R
2
i
N
n
3
1
N
R
n
6
i
kn
6
i
ρ=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜

⎝
⎛
µ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
µ
==
µµ
nên có:
τ
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ωρ−=δ dSd
x
T
xC
3
1

Q
v
2
, ddawtj xC
3
1
v
ωρ=λ thì có
x
T
q
Ss
Q
x
2
∂
∂
λ−==
τδ
δ
.
Đây là dòng nhiệt theo phương x. Khi dS có vị trí bất kỳ, thì véctơ dòng nhiệt qua
dS là
dTagr
z
T
k
y
T
j

x
T
iq λ−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
λ−=

2.1.2. Phát biểu và hệ quả của định luật Fourier
Định luật Fourier phát biểu, rằng vectơ dòng nhiệt
q tỷ lệ thuận với véc tơ
gradien nhiệt độ.
Biểu thức dạng vectơ là
dtagrq λ−= , dạng vô hướng là
)M(tgradtq
n
λ

−
=λ−= . Dấu (-) vì 2 vectơ ngược chiều nhau.
Nhờ định luật Fourier, khi biết trường nhiệt độ t(x, y, z,τ), có thể tính được
công suất nhiệt Q[W] dẫn qua mặt S [m
2
] theo công thức dS.gradtQ
S
∫∫
λ−= và tìm
được lượng nhiệt Q
τ
[J] dẫn qua S sau thời gian τ[s] theo công thức
τλ−=
∫∫∫
τ
τ
dtdSdgraQ
S0
, [J].
2.1.3. Hệ số dẫn nhiệt
Hệ số dẫn nhiệt là hệ số của định luật Fourier:

n
t
q
gradt
q
∂
∂
==λ

, [W/mK]
Vì
λ tỷ lệ với q nên λ đặc trưng cho cường độ dẫn nhiệt của vật liệu.
Với chất khí, theo chứng minh trên, có

m
Tk
Rd3
C2
pd2
kT
m
kT8
C
RT
p
3
1
xC
3
1
3
2
2
v
2
vv
π
=
⎟

⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
π
π
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=ωρ=λ


8
Hệ số dẫn nhiệt λ của khí lý tưởng không phụ thuộc vào áp suất p, λ tăng khi
tăng nhiệt độ hoặc tăng C
V
, và λ giảm khi tăng hằng số chất khí,
µ
=
µ
R
R
, tăng
đường kính d hoặc tăng khối lượng m của phân tử chất khí.

Với các vật liệu khác λ tăng theo nhiệt độ, được xác định bằng thực nghiệm
và cho ở bảng hoặc công thức thực nghiệm trong các tài liệu tham khảo. Ví dụ, trị
trung bình của hệ số λ của một số vật liệu thường gặp được nêu tại bảng 2.
Vật liệu
λ[W/mK]
Vật liệu
λ[W/mK]
Bạc
Đồng
Vàng
Nhôm
Thép Cacbon
Yhép CrNi
419
390
313
209
45
17
Thuỷ tinh
Gạch khô
Nhựa PVC
Bông thuỷ tinh
Polyurethan
Không khí
0,74
0,70
0,13
0,055
0,035

0,026
Bảng 2. Hệ số dẫn nhiệt trung bình của các vật liệu thường dùng
2.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẪN NHIỆT
2.2.1. Nội dung và ý nghĩa của PTVPDN
PTVPDN là phương trình cân bằng nhiệt
cho 1 vi phân thể tích dV nằm hoàn toàn bên
trong vật V dẫn nhiệt.
PTVPDN là phương trình cơ bản để tìm
trường nhiệt độ t(M, τ) trong V, bằng cách tính
phương trình này.

2.2.2. Thiếtt lập PTVPDN
Xét cân bằng nhiệt cho vi phân thể tích dV
bao quanh điểm M(x,y,z) bất kỳ bên trong vật V,
có khối lượng riêng ρ, nhiệt dung riêng C
p
, hệ số dẫn nhiệt λ, công suất sinh nhiệt q
v

, dòng nhiệt qua M là
q .
H
ình 3. Cân bằng nhiệt cho dV

9
nh lut bo ton nng lng cho dV phỏt biu rng:
[ tng enthalpy ca dV] = [hiu s nhit lng (vo - ra)dV]+
[lng nhit sinh ra
trong dV].
Trong thi gian 1 giõy, phng trỡnh ny cú dng :

dVqdV.qdiv
t
dVC
vp
+=



hay

)qdivq(
C
1t
v
p


=



Theo nh lut Fourier
dtagrq = , khi = const ta cú
t
z
t
zy
t
yx

t
x
)dtagr(divqdiv
2
=
















+

+










==

vi

),(r, cỏửu õọỹ toaỷ trong,
z),(r, truỷõọỹ toaỷTrong
(xyz) goùc vuọngõọỹ taỷo
2

+




+


+


+





+


+


+

+


+


=
222
2
222
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
sinr
tt

sinr
cos
r
t
r
t
r
2
r
t
z
t
r
t
r
t
r
1
r
t
)Trong(
z
t
y
t
x
t
t

gi l toỏn t Laplace ca hm t(M)

PTVPDN l phng trỡnh kt hp 2 nh lut núi trờn, cú dng:







+

=






+


=


t
q
at
q
C
t
2

v
2
v
p
, vi
p
C
a


=
[m
2
/s] gi l h s khuch
tỏn nhit, c trng cho mc tiờu tỏn nhit trong vt.
2.2.3. Cỏc dng c bit ca PTVPDN
Phung trỡnh VPDN tng quỏt
[
]
)dtagr(divq
c
1T
V
P


=


s cú dng n

gin hn, khi cn ỏp ng cỏc iu kin c bit sau õy:
1) Vt V khụng cú ngun nhit, q
v
= 0, thỡ
(
)
dtagrdiv
C
1t
p


=



2) Vi = const, M(x,y,z) V, thỡ
ta
t
2
=




10
3) Nếu nhiệt độ ổn định trong V,
0
t
=

τ∂
∂
∀M∈V, thì
0t
2
=∇

4) Khi trường t(M) là ổn định 1 chiều thì :
t(x) trong toạ độ vuông góc tìm theo
0
dx
td
2
2
=
t(r) trong toạ độ trụ tìm theo
0
d
r
dt
r
1
d
r
td
2
2
=+
t(r) trong tạo độ cầu tìm theo 0
d

r
dt
r
2
d
r
td
2
2
=+
2.3. CÁC ĐIỀU KIỆN ĐƠN TRỊ
Phương trình vi phân dẫn nhiệt là phương trình đạo hàm riêng cấp 2, chứa ẩn
là hàm phân bố nhiệt độ t(x,y,z,τ). Nghiệm tổng quát thu được bằng cách tích phân
phương trình này luôn chứa một số hằng số tuỳ ý chọn. Để xác định duy nhất
nghiệm riêng của PTVPDN, cần cho trước một số điều kiện, được gọi chung là các
điều kiện đơn trị
. Điều kiện đơn trị là tập hợp các điều kiện cho trước , đủ để xác
định duy nhất nghiệm của một hệ phương trình.
2.3.1. Phân loại các điều kiện đơn trị
Theo nội dung, các điều kiện đơn trị được phân ra 4 loại sau
1) Điều kiện hình học: Cho biết mọi thông số hình học đủ để xác định hình
dạng, kích thước vị trí c
ủa hệ vật V.
2) Điều kiện vật lý: Cho biết luật xác định các thông số vật lý tại mọi điểm M
∈V, tức là cho biết (ρ, λ, a, q
v
, …)= f(M∈V, t).
3) Điều kiện đầu: Cho biết luật phân bố nhiệt độ tại thời điểm đầu τ = 0 tại
mọi điểm M∈V, tức là cho biết t(M ∈ V, τ = 0) = t(x, y, z).
4) Điều kiện biên: cho biết luật phân bố nhiệt độ hoặc luật cân bằng nhiệt tại

mọi điểm M trên biên W của vật V tại mọi thời điểm kh
ảo sát. Nếu ký hiệu dòng
nhiệt dẫn trong vật V đến M ∈ W là
)M(t
n
t
q
n
λ−=
∂
∂
λ−=
λ
thì mô tả toán học của
các điều kiện biên có dạng:

11

xeït.
q
hoàûc
τ∆∈τ∀
∈∈∀
⎭
⎬
⎫
τ=λ−=
τ=
λ
VWM

))M(t,,M(q)M(t
),M(tt
n
w

Điều kiện hình học, điều kiện vật lý và điều kiện biên cần phải cho trước
trong mọi bài toán. Riêng điều kiện đầu chỉ cần cho trong bài toán không ổn định, có
chứa biến thời gian τ.
2.3.2. Các loại điều kiện biên.
Trên các biên W
i
của vật V, tuỳ theo phương thức trao đổi nhiệt với các môi
trường mà V tiếp xúc, người ta có thể cho trước 7 loại điều kiện biên khác nhau.
Bảng 3 sau đây sẽ tóm tắt ý nghĩa vật lý và toán học, minh hoạ hình học và các
trường hợp đặc biệt của 7 loại điều kiện biên quanh vật V bất kỳ.
Bảng 3. Các loại điều kiện biên.
Loại
ĐKB
Ý nghĩa v
ật lý
hay thông số
cho trước
Mô tả toán học
hay pt CBN
mô tả hình học hay
đồ thị (t-x)
Trường hợp
đặc biệt
1
Cho nhiệt độ

t
W1
tại
∀M
1
∈W
1
∈V
t
w1
= t(M
1
, τ)
t
w1
= t
f
khi W
1
tiếp xúc chất
lỏng có α lớn
2
Cho dòng
nhiệt q qua
∀M
2
∈W
2
∈V
-λt

n
(M
2
) = q(M
2
,
τ)
q = const
↔γ=const
q=0 ↔W
2
là
mặt đối xứng
hoặc cách
nhiệt

12
3
Cho mặt W
3

toả nhiệt ra
chất lỏng nhiệt
độ t
f
với hệ số
α
-λt
n
(M

3
)=
α(t(M
3
),t
f
)
α = 0 ↔ W
3
là
cách nhiệt
hoặc đối xứng
α = ∞ ↔t(M
3
)
=t
f
W
3
biến
thành W
1
. Khi
(λ,α,t
f
) = const
↔ R cố định
4
Cho W
4

tiếp
xúc vật V
2

đứng yên, có
λ
2
, t
2

=
λ− )M(t
4n
-
λ
2
t
2n
(M
4
)

t
2
= const↔W
4
biến thành W
1
(λ
1

, λ
2

)=const↔gó c
γ=const
5
Cho W
5
hoá
rắn từ pha
lỏng có thông
số (ρ, r
c
, λ
f
, t
f
)
=
λ− )M(t
5n

)M(t
x
r
5fnf
5
c
λ−
τ∂

∂
ρ

W
5
di động với
tốc độ hoá rắn
bằng
τ∂
∂
5
x

6
cho W
6
tiếp
xúc chân
không
-λT
n
(M
6
)=
εδ
0
T
4
(M
6

)
Mặt bao chân
không có nhiệt
độ T
c
. –
λT
n
(M
6
) =
εδ
0
[T
2
(M
6
)-
T
c
2
]

13
7
Cho W
7
tip
xỳc cht khớ
cú thụng s

(T
k
, )
-T
n
(M
7
)=
[T(M
7
)
-
T
k
]+

0
[T
4
(M
7
) - T
4
k
]
Quy ra trao i
nhit phc hp
-T
n
(M

7
)=
ph

[t(M
7
)
-
T
k
]


Mụ t toỏn hc cho mi loi iu kin biờn l phng trỡnh cõn bng cỏc dũng nhit
ra vo im M bt k trờn biờn. Phng trỡnh mụ t cỏc iu kin biờn loi 2, 3, 4, 5
l cỏc phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh cp 1 i vi t v t
n
. Phng trỡnh mụ t iu
kin biờn loi 6 v 7 l nhng phng trỡnh phi tuyn, cha T
4
cha bit.
2.3.3. Mụ hỡnh bi toỏn dn nhit
dng tng quỏt, bi toỏn dn nhit cú th
c mụ t bi h phng trỡnh vi phõn (t) gm
phng trỡnh vi phõn dn nhit v cỏc phng trỡnh
mụ t cỏc iu kin n tr nh ó nờu ti mc 2.3.,
cú dng

+=
=


+=
=
=
=
=

+=


77
4
k7
4
0k77n
666
4
06n
55
5
c5nn5n
4442n24n
33f33n
2222n
111
v
2
WM],T)M(T[]t)M(t[)M(t
WM),M(T)M(t
WM,
d
dx
r)M(t)M(t
WM),M(t)M(t
WM],t)M(t[)M(t

WM),,M(q)M(t
WM),,M(t
VM,
q
ta
t
W1
t
VM cuớa lyù vỏỷt sọỳ thọngõởnh vaỡ xaùcMióửn
Gii bi toỏn dn nhit l tỡm hm phõn b nhit t(M(x,y,z),) tho món
mi phng trỡnh ca h (t) núi trờn. Vic ny gm cú 2 bc chớnh l tớch phõn
phng trỡnh vi phõn dn nhit tỡm nghim tng quỏt, sau ú xỏc nh cỏc hng
s theo cỏc phng trỡnh mụ t cỏc iu kin n tr.
Hỡnh 4. Mụ hỡnh tng quỏt
bi toỏn dn nhit t(x,y,z,)

14
2.4. DẪN NHIỆT QUA VÁCH PHẲNG
Dẫn nhiệt ổn định qua vách phẳng là bài toán đơn giản nhất của truyền nhiệt.
Tuỳ theo kết cấu vách và điều kiện biên, bài toán dãn nhiệt sẽ được phân ra các loại
sau đây.
2.4.1. Vách phẳng 1 lớp có 2 biên loại 3
2.4.1.1. Phát biểu bài toán

Cho 1 vách phẳng dày δ rộng vô hạn,
làm bằng vật liệu đồng chất có hệ số dẫn nhiệt
λ không đổi, 2 mặt bên tiếp xúc v
ới 2 chất
lỏng có nhiệt độ khác nhau t
f1

> t
f2
, với hệ số
toả nhiệt vào ra vách là α
1
, α
2
.
Tìm phân bố nhiệt độ t(x) trong vách
và dòng nhiệt q(x) qua vách.
Theo toán học, phát biểu trên tương đương với việc tìm hàm t(x), ∀x∈[0,δ
]
như là nghiệm của hệ phương trình (t) sau đây.
(t)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−δα=δλ−
λ−=−α
=
)3(]t)(t[)(t
)2()0(t)]0(tt[
)1(0
dx
td
2f2x

x1f1
2
2

2.4.1.2. Tìm phân bố nhiệt độ t(x).
1) Tìm nghiệm tổng quát bằng cách tích phân phương trình (1), ta có :

∫∫
+==
21
2
CxCdx)x(t
2) Xác định C
1
, C
2
theo 2 điều kiện biên (2) và (3)

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
α
λ
+=
α
λ

+δ+
α
λ
−−
=
⇒
⎭
⎬
⎫
−+δα=λ−
λ−=−α
]K[,CtC
]m/K[,
)tt(
C
]tCC[C
C]Ct[
1
2
1f2
21
2f1f
1
2f2121
121f1

Hình 6. Trường t(x) trong vách
p
hẳn
g

có 2W3

15
Phân bố nhiệt độ trong vách là t(x)= t
f1
- )x(
tt
1
21
2f1f
α
λ
+
α
λ
+δ+
α
λ
−

Bằng cách thay x bằng 0 hoặc δ, ta dễ dàng tìm được nhiệt độ tại 2 mặt vách.
Đồ thị t(x) là mmột đoạn thẳng đi qua 2 điểm định hướng R
1
(-λ/α
1
, t
f1
) và R
1
(δ +

λ/α
2
, t
f2
) như hình H
2.4.1.3. Tìm dòng nhiệt q(x): theo định luật Fourier có
q(x) = -λgradt(x) = -λC
1
= const, ∀x hay
21
2f1f
11
tt
q
α
+
λ
δ
+
α
−
=
, [W/m
2
]
Nếu gọi
21
11
R
α

+
λ
δ
+
α
=
, [m
2
K/W], là nhiệt trở dẫn nhiệt của vách phẳng, thì có
R
tt
q
2f1f
−
=
, tương tự như công thức tính dòng điện
đ
21
R
VV
I
−
= .
2.4.2. Vách phẳng có biên loại 1.
Biên loại 1 là trường hợp đặc biệt của biên loại 3, khi mặt vách tiếp xúc với
một chất lỏng thực có hệ số toả nhiệt α rất lớn. Theo phương trình cân bằng nhiệt
cho biên loại 3, α(t
w
-t
f

) = -λt
n
,vì q
λ
= -λt
n
là hữu hạn,nên khi α → ∞ thì (t
w
-t
f
) → 0,
tức là t
W
= t
f
. khi đó chỉ cần thay t
w
= t
f
và 1/α =0 vào các kết quả nêu trên, ta có thể
tìm t(x) và q(x) cho bài toán biên loại 1.
Ví dụ: bài toán biên hỗn hợp (W
1
+ W
3
) và bài toán 2 biên W
1
có lời giải như sau:
1) Khi
⎪

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
α
+
λ
δ
−
=
α
λ
+δ
−
−=
∞=α
2
2f1W
2
2f1W
1
1
tt
q
tt
W1

tt(x)
thç

2) Khi
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
λ
δ
−
=
δ
−
−=
∞=α=α
2f1W
2f1W
21
tt
q
x
tt
W1
tt(x)
thç

16
2.4.3. Vách có λ thay đổi theo nhiệt độ
Phương trình cân bằng nhiệt trong vách có λ(t) phụ thuộc t sẽ có dạng
dx
dt
)t()x(q λ−=
. Khi đó , có thể tìm t(x) theo phương trình tích phân
∫∫
−=λ dx)x(qdt)t(
Khi cho phép tính gần đúng, cố thể dùng các công thức tính t và q nêu trên,
trong đó coi λ là một hằng số, bằng trị trung bình tích phân trong khoảng nhiệt độ
[t
1
, t
2
] của vách, là
∫
λ
−
=λ
2t
1t
12
dt)t(
tt
1

Ví dụ, khi λ(t) có dạng bậc 1 và 2 thì

∫
+
+=+
−
=λ
2t
1t
21
12
2
tt
badt)bta(
tt
1


3
tttt
c
2
tt
badt)ctbta(
tt
1
2
221
2
121
2t
1t

2
12
++
+
+
+=++
−
=λ
∫

2.4.4. Vách phẳng n lớp
2.4.4.1. Phát biểu bài toán

Cho vách phẳng n lớp, mỗi
lớp i có δ
i
, λ
i
không đổi, hai mặt
ngoài tiếp xúc chất lỏng nóng có t
f1
,
α
1
và chất lỏng lạnh có t
f2
, α
2
không
đổi. Tìm dòng nhiệt q qua vách,

nhiệt độ các mặt tiếp xúc t
i
và phân
bố nhiệt độ t
i
(x) trong mỗi lớp.
2.4.4.2. Xác định q, t
i
, và t
i
(x).
Khi ổn định, dòng nhiệt q qua các lớp là bất biến, do đó có hệ phương trình:
q= α
1
(t
f1
– t
0
) = )tt()n1i(,
/
tt
2fn
ii
1ii
−α=÷=∀
λδ
−
+

Hình 7. Vách phẳng n lớp

17
Đây là hệ (n+2) phương trình bậc 1 của ấnố q và (n+1) ẩn số t
i
,
∀i=1÷n.
Bằng cách khử các t
i
sẽ tìm được q, sau đó tính t
i
và xác định
t
i
(x) như vách 1 lớp với 2 biên loại 1, ta có:
[]
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
÷=∀δ−−=
α
+
λ
δ
+

α
−
=
÷−=∀
λ
δ
+=
α
+=
+
=
+
∑
n1i,/x)tt(t)x(t
,
1i1
tt
q
0)1n(i,qtt,
q
tt
i1iiii
n
1i
2i1
2f1f
i
i
1ii
2

2fn
2
W/m
Phân bố nhiệt độ trong vách phẳng nhiều lớp có dạng các đoạn thẳng gãy
khúc, giống như biên loại 4
Khi vách có biên loại 1 hoặc λ phụ thuộc t, có thể thay tw

= t
f,
1/α = 0 hoặc
λ=λ = const vào các công thức trên.
2.5. DẨN NHIỆT QUA VÁCH TRỤ VÀ VÁCH CẦU
2.5.1. Vách trụ 1 lớp có 2 biên w3
2.5.1.1. Phát biểu bài toán

Cho một ống trụ đồng chất dài vô cùng,
bán kính r
2
/r
1, hệ
số dẫn nhiệt λ không đổi, mặt
r
1
tiếp xúc chất lỏng nóng có t
f1
,

α
1
, mặt r

2

tiếp xúc chất lỏng nguội hơn có t
f2
, α
2
. Tìm
phân bố nhiệt độ t(r) trong vách và lượng
nhiệt qua vách.
Mô tả hình học trong toạ độ trụ có dạng
như Hình 8
Phát biểu toán học của bài này là giải hệ phương trình sau:
Hình 8. Trường t(r) trong ống trụ có
2W3

18

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−α=λ−
λ−=−α
=+
)3(]t)r(t[)r(t
)2()r(t)]r(tt[
)1(0

dr
dt
r
1
dr
td
)t(
2f222r
1r11f1
2
2

2.5.1. Tìm trường nhiệt độ t(r)
1) Tích phân phương trình (1) theo các bước sau:
Đổi biến u =
dr
dt
→ Phương trình (1) có dạng
0
r
u
dr
du
=+
→
0
rdr
)ur(d
rdr
udrrdu

==
+
→
d(ur)=0→ur=C
1
→
∫
+==→==
211
1
CrlnC
r
dr
C)r(t
d
r
dt
r
C
u

2) Xác định C
1
, C
2
theo hệ phương trình (2), (3):

⎪
⎪
⎩

⎪
⎪
⎨
⎧
−
α
λ
+=
α
λ
++
α
λ
−−
=
⇒
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
−+α=λ−
λ−=−−α
]K[),rln
r
(CtC
]K[,
rr

r
ln
r
)tt(
C
]tCrlnC[
r
C
r
C
]CrlnCt[
1
11
11f2
221
2
11
2f1f
1
2f2212
2
1
1
1
2111f1

Phân bố nhiệt độ trong ống trụ là

⎟
⎟

⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
α
λ
+
α
λ
++
α
λ
−
−=
111
221
2
11
2f1f
1f
rr
r
ln
rr
r
ln
r
tt

t)r(t

Đồ thị t(r) có dạng logarit, tiếp tuyến tại r
1
qua điểm R
1
(r
1
-λ/α
1,
t
f1
), tiếp tuyến
tại r
2
qua điểm R
2
(r
2
+λ/α
2,
t
f2
).
2.5.1.3. Tính nhiệt qua vách trụ
1. Dòng nhiệt qua 1m
2
mặt trụ đẳng nhiệt bán kính r là
q(r) = -λt
r

(r) = -λC
1
/r , [W/m
2
]
q(r) là hàm giảm khi r tăng, không đặc trưng cho vách trụ.
2) Lượng nhiệt truyền qua 1 m dài ống trụ, ký hiệu q
l
, định nghĩa là:
q
l =
lượng nhiệt qua mặt trụ bán kính r dài l / chiều dài l , [W/m]
r,constC2r2.
r
C
r2).r(q
q
1
1
∀=πλ=πλ−=
π
=
l
l
l

Thay C
1
bởigiá trị trên, sẽ thu được:

19

221
2
11
2f1f
r2
1
r
r
ln
2
1
r2
1
tt
q
απ
+
πλ
+
απ
−
=
l
, [W/m].
Vì q
l
= const, ∀r, nên q
l

đ ược dùng để đặc trưng cho dẫn nhiệt qua vách trụ.
Đại lượng
]W/mK[,
d
1
d
d
ln
2
1
d
1
R
221
2
11
απ
+
πλ
+
απ
=
l
được gọi là nhiệt trở dẫn
nhiệt của 1m ống trụ.
2.5.2. Vách trụ có biên hỗn hợp
Khi α→∞ thì thay t
w
= t
f

và 1/α = 0 vào trên để có lời giải cho bài toán vách
trụ 2 biên hỗn hợp (W
1
+ W
3
) hoăck 2 biên W
1
như sau:
1) Khi α
1
= ∞ thì
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
απ
+
πλ
−
=
α
λ
+
−
−=

221
2
2f1w
1
221
2
2f1w
1w
r2
1
r
r
ln
2
1
tt
q
r
r
ln
rr
r
ln
tt
t)r(t
l

2) Khi α
1
= α

1
= ∞ thì
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
πλ
−
=
−
−=
1
2
2f1w
1
1
2
2W1w
1w
r
r
ln
2
1
tt

q
r
r
ln
r
r
ln
tt
t)r(t
l

2.5.3. Vách trụ n lớp
2.5.3.1. Phát biểu bài toán
Cho ống trụ n lớp, mỗi lớp i có r
i
/ r
i+1
và λ
i

không đổi, mặt r
0
tiếp xúc với chất lỏng nóng
có t
f1
, α
1
, mặt r
n
tiếp xức với chất lỏng lạnh có

t
f2
, α
2
kh ông đổi
Tìm lượng nhiệt q
l
, nhiệt độ t
i
tại các
Hình 9. Trường t(r) trong ống trụ n
l
ớ

20
mặt và phân bố t
i
(n) trong mỗi lớp i, n1i
÷
=
∀

2.5.3.2. Xác định q
l
, t
i
và t
i
(r)
Khi ổn định, phương trình cân bằng nhiệt cho 1m ống trụ là :

q
l
= α
1
[t
f1
– t
0
]2πr
1
=
n2fn2
i
1i
i
1ii
r2)tt()n1i(,
r
r
ln
2
1
tt
π−α=÷=∀
πλ
−
+
+

Đây là hệ (n+2) phương trình bậc 1 của 1 ẩn q

l
và (n+1) ẩn t
i
.
Bằng cách khử các t
i
để tính q
l
, sau đó tìm t
i
theo q
l
và xác định t
i
(r) như
vách có 2W
1
, sẽ thu được:

⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧

÷=∀
−
−=
÷=∀
πλ
−=
απ
−=
απ
+
πλ
+
απ
−
=
+
+
−
−
=
+
∑
n1i,
r
r
ln
r
r
ln
tt

t)r(t
n1i,
r
r
ln
2
q
tt;
r2
q
tt
r2
1
r
r
ln
2
1
r2
1
tt
q
i
i
1i
1ii
ii
1i
i
i

1ii
11
1f0
2n
n
1i
i
1i
i11
2f1f
ll
l

2.5.4. Dẫn nhiệt qua vách cầu
2.5.4.1. Phát biểu bài toán

Cho vách cầu đồng chất, bán kính r
2
/r
1
có
hệ số dẫn nhiệt λ không đổi, mặt r
1
tiếp xúc
chất lỏng nóng có t
f1
, α
1
mặt r
2

tiếp xúc chất
lỏng lạnh có t
f2
, α
2
không đổi.
Tìm phân bố nhiệt độ t(r) và lượng
nhiệt Q qua vách.
Trong toạ độ cầu, trường t(r) được xác định
bởi hệ phương trình (t) sau:
Hình 10. Phân bố t(r) trong vách cầu

21

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−α=λ−
λ−=−α
=+
)3()]tr(t[t
)2()r(t)]r(tt[
)1(0
dr
dt
r

2
dr
td
)t(
2f2r
1r11f1
2
2
22
)(r

2.5.4.2. Tìm phân bố t(r)
1) Tìm nghiệm tổng quát theo các bước: Đổi biến
dr
dt
u =
→ phương trình (1) có
dạng :
→=+→=+ 0
r
dr
2
u
du
0
r
u
2
dr
du

tích phân lần 1 có lnu + 2lnr = ln(ur
2
) =lnC
1
→
u=
d
r
dt
r
C
2
1
= → tích phân lần 2 có : t(x) =
2
1
2
1
C
r
C
dr
r
C
+−=
∫

2) Tìm C
1
, C

2
theo 2 điều kiện biên (2) và (3):

⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
α
λ
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜

⎝
⎛
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
α
+
α
λ
−
=
⇒
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜

⎜
⎝
⎛
−+−α=λ−
λ−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+α
]K[
r
1
r
CtC
]Km[
r
1
r
1
r
1
r
1
tt
C

tC
r
C
r
C
r
C
C
r
C
t
1
2
11
11f2
21
2
22
2
11
2f1f
1
2f2
1
1
2
2
2
1
2

1
1
2
1
1
1f1

Phân bố nhiệt độ trong vách cầu là

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
α
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
α

λ
+
α
−
−=
1
2
11
21
2
22
2
11
2f1f
1f
r
1
r
1
r
1
r
1
r
1
rr
1
tt
t)r(t

Đồ thị t(r) là đường hyperbol có tiếp tuyến tại biên qua 2 điểm
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
α
λ
−
1f
1
11
t,rR
và
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
α
λ
+
2f
2

22
t,rR

2.5.4.3. Tính công suất nhiệt Q truyền qua vỏ cầu
Q = q(r).π(2r
2
)=- λ
2
1
r
C
4πr
2
= -4πλC
1
= const, ∀r
Thay C
1
bởi giá trị nêu trên, ta có:

22
]W[,
r
1
r
1
4
1
r
1

r
1
4
1
tt
Q
21
2
22
2
11
2f1f
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
πλ
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝

⎛
α
+
απ
−
=

Khi vách cầu có 2 biên loại W
1
thì ]W[,
r
1
r
1
4
1
tt
Q
21
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
πλ
−

=
W2W1

Khi vách cầu có n lớp với 2 biên W
3
, sau khi giải hệ phương trình

π−α=÷=∀
+
πλ−
=π−α=
+
+
4)tt()n1i(,
r
1
r
1
4)tt(
r4)tt(Q
2fn2
1ii
i1ii
2
00f1f1

sẽ tìm được:

]w[,
r

1
r
1
4
1
r
1
r
1
4
1
tt
Q
n
1i
1iii
2
22
2
11
2f1f
∑
=
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜

⎝
⎛
−
πλ
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
α
+
α
π
−
=

Nhiệt độ các mặt t
i
và trường t
i
(r) trong các lớp được xác định như trên.
2.6.DẪN NHIỆT QUA THANH HOẶC CÁNH CÓ TIẾT DIỆN KHÔNG ĐỔI.
Để tăng cường truyền nhiệt, người ta thường gẵn các cánh lên mặt tỏa nhiệt.
Nhiệt qua gốc cánh được dẫn qua chiều dài x của cánh, rồi toả ra mặt xung quanh,
làm tăng lượng nhiệt truyền qua gốc. Nhiệt độ trong cánh t(x) giảm dần theo chiều
dài x, còn tại mỗi tiết diện nhiệt độ được coi là phân bố đều.

2.6.1. Phát biểu bài toán
Chô một thanh trụ hoặc cánh dài l, tiết
diện f = const có chu vi la U, mặt xung quanh
tỏa nhiệt ra chất lỏng nhiệt độ t
f
với hệ số tỏa
nhiệt α; nhiệt độ trên mỗi tiết diện được coi là
phân bố đều, tại gốc là t
0
> t
f
, mặt x = l tỏa
nhiệt ra cùng chất lỏng nhiệt độ t
f
với hệ số
tỏa nhiệt α
2
.
Tìm phân bố nhiệt độ t(x) trong cánh
Hình 11. Bài toán t(x) trong thanh trụ và cánh
p
hẳn
g
có tiết diện khôn
g
đổi

23
và lượng nhiệt Q
0

qua gốc cánh.
2.6.2. Lập phương trình cân bằng nhiệt tìm t(x)
2.6.2.1. Lập phương trình cân bằng nhiệt tìm t(x)
Vì nhiệt độ bên trong thanh đồng nhất với nhiệt độ biên W
3
tức không có
điểm trong, nên phương trình
2
t
at ∇=
τ
cần được thay bằng phương trình cân bằng
nhiệt cho phân tố thay dV = fdx, khi ổn định có dạng:
Hiệu các lượng nhiệt dẫn (vào – ra) dV = nhiệt tỏa ra mặt Udx
Nếu gọi
f
(x) t(x) tθ= −thì phương trình trên có dạng:

Udxf
dx
d
dx
d
f
dx
d
αθ=
⎟
⎠
⎞

⎜
⎝
⎛
θ
+θλ+
θ
λ−

Suy ra
0U
dx
d
f
2
2
=θα−
θ
λ . Đặt
[]
1
m,
f
U
m
−
λ
α
=

Thì phương trình cân bằng nhiệt để tìm

(x)
θ
là
2
2
2
d
m0
dx
θ
−
θ= (1)
Nghiệm tổng quát của (1) là
mx mx
12
(x) C .e C .e
−
θ= +
2.6.2.2 Tìm
(x)θ
và Q
0
cho thanh dài hữu hạn
1)Các hằng số C
1
, C
2
sẽ được tìm theo các điều kiện biên W
1
tại x=0 và W

3

tại x=l

120f0
ml ml ml ml
x2 1 2 21 2
(0) C C t t
(l) (l) (m.C .e m.C .e ) (C .e C .e )
−−
θ=+=+=θ
⎧
⎨
−λθ = α θ → −λ − = α +
⎩

Giải hệ phương trình bậc nhất tìm được C
1
,C
2
rồi thay vào nghiệm tổng quát
và đưa về dạng hàm hyperbol shx = (e
x
+ e
x
)/2 và chx = (e
x
+ e
x
)/2, thx = shx/chx,

sẽ thu được

[] []
2
0
2
ch m(l x) sh m(l x)
m.
(x)
ch(ml) .sh(ml)
m.
α
−+ −
λ
θ=θ
α
+
λ

Trong tính toán kỹ thuật,khi f<<Ul có thể coi
α
2
= 0 , khi đó phân bố nhiệt độ
trong thanh hữu hạn là

24

[]
0
ch m(l x)

(x)
ch(ml)
−
θ=θ
hay t(x) = t
f
+ (t
0
– t
f
)
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
λ
α
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
λ
α

−
f
U
lch
f
U
x1ch

2) tính nhiệt lượng dẫn qua gốc cánh
Nhiệt lượng qua gốc cánh chính là nhiệt lượng tỏa ra cánh, và bằng
()
W,
)ml(th
m
1
m
)ml(th
fmf0Q
2
2
0x0
λ
α
+
λ
α
+
θλ=λθ−=

Nếu f<<ul và coi α

2
= 0 thì Q
0
= mλfθ
0
th(ml)
2.6.3 Tìm t(x) và q
0
khi thanh trụ dài vô hạn
Khi thanh dài vô hạn thì C
1
,C
2
tìm theo điều kiện
()
()
⎩
⎨
⎧
θ=
=
→
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=−==θ
θ=+=θ
∞

∞→
02
1
ff1
x
021
C
0C
0ttCxlim
CC0

Do đó phân bố nhiệt độ là
(
)
mx
0
ex
−
θ=θ hay
t(x) = t
f
+ (t
0
–t
f
).exp(-x.
.u
.f
α
λ

)
Nhiệt lượng qua gốc cánh là Q
0
= -λ.f.θ
x
(0) = m.λ.f.θ
0

hay Q
0
=θ
0
.
[
]
0f
.u.f . (t t ). .u.f. , Wαλ=− αλ
Trong thực tế khi thanh trụ có
u.l
100
f
≥
thì có thể coi là thanh dài vô hạn
2.7. DẪN NHIỆT TRONG VẬT CÓ NGUỒN NHIẸT PHÂN BỐ ĐỀU
Vật có nguồn nhiệt với công suất q
v
= const,
3
W/m
⎡

⎤
⎣
⎦
, được gọi là vật có
nguồn nhiệt phân bố đều. Một thanh kim loại đang dẫn điện, một khối bê tông đang
đông kết, một vật đang có phản ứng sinh nhiệt ổn định, . là các ví dụ về vật có
nguồn nhiệt phân bố đều.
2.7.1.Tấm phẳng có q
v
= const

25
2.7.1.1.Phát biểu bài toán
Cho tấm phẳng dày sδ, rộng vô hạn, có λ và
nguồn nhiệt trong q
v
= const, hai mặt ngoài tiếp xúc
cùng một chất lỏng có t
f
, α không đổi
Tìm phân bố nhiệt độ t(x) và tính nhiệt tỏa ra
môi trường
Mô tả hình học như
Hình 12, trường t(x) trong
tấm đối xứng qua mặt x=0,tại đo t
x
(0) = 0. Do đó theo
toán học, cần tìm hàm t(x) như nghiệm cảu hệ phương
trình (t) như sau:

2.7.1.2.Tìm luật phân bố nhiệt độ và truyền nhiệt qua tấm
1) tích phân phương trình (1)sẽ được
t(x) =
22
vv
12
qq
dx .x C x C
2.
−=−++
λλ
∫∫

Xác định C
1
,C
2
theo (2),(3) ta có


()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
δ
λ
+δ
α

+=
=
→
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+δ+δ
λ
−α=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+δ
λ
λ−
==
2
vv
f2

1
21
2
v
1
v
1x
2
qq
tC
0C
tfCC
2
q
C
q
0C0t

Do đó t(x)=

()
22
vv
f
x
2
qq
t −δ
λ
+δ

α
+
có dạng đường parabol đối xứng qua x=0
như hình 12
2)Nhiệt lượng Q
2F
tỏa ra từ 2 phía của tấm phẳng rộng F,
2
m
⎡⎤
⎣⎦
là
Q
2F
= 2.f.α
[]
[
]
fv
t( ) t 2.F.q . , Wδ− = δ
() () ()
[]
()
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪

⎨
⎧
=
−δα=δλ−
=
λ
+
00t
ttt
0
q
dx
td
t
x
fx
v
2
2
1
2
3
Hình 12. Tấm phẳng có
q
v
= const

26
Lượng nhiệt
v

2.F.q .δ=Vq
v
chính là tổng công suất phát nhiệt của tấm phẳng
có thể tích V=2.δ.F,
3
m
⎡⎤
⎣⎦

2.7.2.Thanh trụ có q
v
= const
2.7.2.1.Phát biểu bài toán

Cho thanh trụ dài vô cùng bán kính r
0
có λ, q
v

=const, mặt trụ tỏa nhiệt ra chất lỏng có t
f
và α không
đổi.
Tìm t(r) trong thanh và q
l
qua 1 m trụ
Do đối xứng qua tâm, t
r
(0) = 0, nên hệ phương
trình cho t(r) có dạng

2.7.2.2. Xác định t(r) và q
l

1)Tìm nghiệm của (1) theo các bước
Đặt u=
dt
(1)
dr
→
có dạng
r
du u rdu udr d(ur) q
dr r rdr rdr
+
+
===−
λ

2
vv
1
qq
d(ur) rdr ur .r C
2
→=−→=−+
λλ
∫∫

2

vvv11
12
qqq
Cdt C
u.rt(r)(r)drClnr.rC
r2. dr r2. 4.
→= − = → = − = − +
λλλ
∫

Tìm C
1
,C
2
theo hai điều kiện biên (2), (3) sẽ được C
1
= 0 và
C
2
=
2
v0 v 0
f
qr q.r
t
24.
++
αλ
. Do đó phân bố t có dạng
() () ()

[]
()
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
−α=λ−
=
λ
++
00t
trtrt
0
q
rdr
dt
dr
td
t
r
f0x
v
2
2

1
2
3
Hình 13. Thanh trụ có
q
v
= const

27
t(r) = t
f
+
22
v0 v
0
qr q
(r r )
24.
+−
αλ
là parabol đối xứng qua r=0
2.Dòng nhiệt qua mặt trụ là
q =
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

=−α
2
0v
f0
m
W
,
2
rq
t)r(t
Lượng nhiệt tỏa ra 1 m trụ là
q
l
= q.2Πr
0
= Π.
2
0
r q
v

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
m
W