cơ sở giải tích lồi TẬP AFFINE, TẬP LỒI

CƠ SỞ

GIẢI TÍCH LỒI

Tài liệu tham khảo:
[1] R. Tyrrell Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton University
Press.
[2] Huỳnh Thế Phùng (2012), Cơ sở Giải tích lồi, NXB Giáo dục.
[3] B.N. Pshenichnyi (1980), Giải tích lồi và các bài tốn cực trị, Nauka
(Moscow, tiếng Nga).


KÝ HIỆU
Trong suốt giáo trình này,

kí hiệu tập các số thực, và

n

là không gian

vectơ thực thông thường gồm các bộ có thứ tự x = (1, , n ) của n số thực.
Tích trong của hai vectơ x và x * trong
 x, x* = 11* +

n

được xác định bởi
+  n*n .

Kí hiệu A có thể được sử dụng để chỉ một m  n − ma trận thực và cũng có thể

được sử dụng để chỉ phép biến đổi tuyến tính x → Ax từ

n

vào

m

tương

ứng với ma trận đó. Ma trận chuyển vị và phép biến đổi tuyến tính liên hợp từ
m

vào

n

tương ứng sẽ được kí hiệu bởi AT ; vì thế, trong Đại số tuyến tính

ta đã biết
 Ax, y* =  x, AT y* với mọi x 

n

, y* 

m

.

Trong các kí hiệu vectơ, dấu * khơng hề chỉ một phép tốn nào: để dễ liên
tưởng đến phép nhân ma trận, mọi vectơ (như x, x* 

n

; y* 

m

vừa được

dùng ở trên) đều được xem như các vectơ cột. Đôi khi ta cũng dùng thuật ngữ
“điểm” thay cho “vectơ”.


CHƯƠNG 1. TẬP AFFINE, TẬP LỒI
1.1. TẬP AFFINE
Nếu x và y là hai điểm khác nhau trong

n

, tập các điểm có dạng

(1 − ) x + y = x + ( y − x), với   ,
được gọi là đường thẳng nối x và y.
Tập con M của

n

được gọi là một tập affine nếu (1 − )x + y  M với

mọi x  M , y  M và   .
Theo định nghĩa, tập  và không gian
gồm một điểm (trong

n

n

là những tập affine. Nếu M chỉ

) thì M cũng là một tập affine. Một tập M 

n

là

affine khi và chỉ khi M chứa toàn bộ đường thẳng nối hai điểm phân biệt bất
kỳ của nó. Nói chung, các tập affine có cấu trúc khơng cong và khơng bị giới
hạn, cho ta hình ảnh trực quan như các đường thẳng, mặt phẳng…
Định lý 1.1. M là một không gian con của
affine chứa 0 (vectơ không) trong

n

n

khi và chỉ khi M là một tập

.

Chứng minh.
Mọi không gian con của

n

đều chứa 0 và đóng đối với phép cộng (vectơ)

và phép nhân (bởi số) vô hướng nên cũng là một tập affine.
Đảo lại, giả sử M là một tập affine chứa 0 trong
và   , ta có

x = (1 − )0 + x  M ;

n

. Khi đó, với mọi x  M


vì thế, M đóng đối với phép nhân vơ hướng. Bây giờ, với x  M và y  M , ta
có
1
1
 1
( x + y ) = x + 1 −  y  M ,
2
2
 2

và, như đã thấy, M đóng đối với phép nhân vơ hướng nên

1

x + y = 2  ( x + y)   M ;
2


vậy, M cũng đóng đối với phép cộng và do đó M là một khơng gian con của
n

. ||

Cho M 

n

và a 

n

. Ảnh tịnh tiến của tập M bởi vectơ a được định

nghĩa là tập
M + a :=  x + a | x  M .

Bài tập về nhà (BTVN) 1. Chứng minh rằng ảnh tịnh tiến của một tập affine
cũng là một tập affine.
Tập affine M được gọi là song song với tập affine L nếu M = L + a với a
nào đó.
BTVN 2. Chứng minh rằng quan hệ “song song” là một quan hệ tương đương
trên họ các tập con affine của

n

.

Chú ý: Quan hệ song song ở đây khác với quan hệ song song đã biết ở trung
học phổ thông. Ở đây, ta xem rằng mỗi tập affine M song song với chính nó

( M = M + 0), nhưng lại khơng chấp nhận kiểu nói “đường thẳng song song
với mặt phẳng”; theo định nghĩa trên, ta chỉ có thể nói “đường thẳng song
song với đường thẳng”, “mặt phẳng song song với mặt phẳng”…


Định lý 1.2. Mỗi tập affine M   thì song song với một không gian con L
duy nhất. Không gian con L đó được xác định bởi:
L = M − M :=  x − y | x  M , y  M .

Chứng minh.
Trước hết ta thấy rằng M không thể song song với hai không gian con khác
nhau. Thật vậy, giả sử các không gian con L1 và L2 cùng song song với M .
Dễ thấy L2 = L1 + a với a nào đó (tức là L1 và L2 song song với nhau). Do

0  L2 , ta có −a  L1, suy ra a  L1 và L1  L1 + a = L2 . Bằng cách tương tự, ta
nhận được L2  L1, vì vậy L1 = L2 . Tính duy nhất của L đã được chứng minh.
Sự tồn tại của L được suy ra từ nhận xét: với mỗi y  M (tồn tại các phần tử
y như thế vì M  ), tập M − y :=  x − y | x  M  = M + (− y ) là một tập

affine chứa 0. Theo Định lý 1.1, tập affine này là một không gian con song
song với tập affine M .
Tóm lại, tồn tại duy nhất khơng gian con L song song với M . Hơn nữa,

L = M − y không phụ thuộc cách chọn y  M , nên
M −M =

yM

(M − y) =

yM

L = L. ||

Chiều (affine) của một tập affine không rỗng được định nghĩa là chiều của
không gian con (duy nhất do định lý 1.2) song song với nó.
Theo qui ước, chiều của tập rỗng bằng −1 .
Chiều của tập affine M sẽ được kí hiệu là dim M .
Các tập affine có chiều bằng 0, 1 và 2 được gọi tương ứng là các điểm,
đường thẳng và mặt phẳng. Mỗi tập affine (n − 1) − chiều trong
là một siêu phẳng trong

n

.

n

được gọi


Dùng lý thuyết “trực giao” trong

n

, có thể mơ tả siêu phẳng và các tập

affine thông qua các hàm tuyến tính và phương trình tuyến tính.
Theo định nghĩa, các vectơ x, y 

n

được gọi là trực giao (với nhau), ký

hiệu x ⊥ y, nếu  x, y = 0. Nếu vectơ x 
một tập M 
M

n

n

n

trực giao với mọi vectơ trong

, ta nói x trực giao với M , và ký hiệu x ⊥ M . Với mọi tập

, đặt M ⊥ := {x 

n

| x ⊥ M }.

BTVN 3. Với mọi tập M 
của

n

n

, chứng minh rằng M ⊥ là một không gian con

.

Giả sử L là một không gian con của
bù trực giao (trong

n

n

. Khi đó, L⊥ cịn được gọi là phần

) của L.

BTVN 4. Giả sử {b1,..., bm} là một hệ sinh của không gian con L của
hiệu: L = b1 ,..., bm ). Chứng minh rằng L⊥ = {x 

n

n

(ký

| x ⊥ b1 ,..., x ⊥ bm }.

Lý thuyết Đại số tuyến tính đã chỉ ra rằng:

dim L + dim L⊥ = n.

(1.1)

Phần bù trực giao ( L⊥ ) ⊥ của L⊥ chính là L. Thật vậy, theo định nghĩa của L⊥ ,
mỗi vectơ trong L thì trực giao với mọi vectơ trong L⊥ , nên trước tiên ta có:
L  ( L⊥ ) ⊥ .

(1.2)

Hơn nữa, theo (1.1), dim L = n − dim L⊥ = n − ( n − dim( L⊥ )⊥ ) = dim( L⊥ )⊥ . Điều
này, cùng với (1.2), cho thấy L = ( L⊥ ) ⊥ .
Đặc biệt, các không gian con (n − 1) − chiều của
giao của các khơng gian con 1 − chiều.

(1.3)
n

chính là phần bù trực
(1.4)


Thật vậy, theo (1.1), nếu X là một không gian con 1 − chiều của

L := X ⊥ là một không gian con (n − 1) − chiều của
một không gian con (n − 1) − chiều của

n

n

n

, thì

. Đảo lại, với mọi L là

, đặt X := L⊥ , vẫn theo (1.1), ta

thấy X là một không gian con 1 − chiều của

n

với phần bù trực giao, theo

(1.3), là X ⊥ = ( L⊥ ) ⊥ = L. Vậy, (1.4) đã được chứng minh.
Từ đó, ta có định lý sau đây mô tả các siêu phẳng:
và b 

Định lý 1.3. Với mọi 

n

\ 0 , tập hợp

H :=  x 

là một siêu phẳng trong

n

n

| b, x = 

. Hơn nữa, mọi siêu phẳng H trong

biểu diễn được dưới dạng trên, trong đó b 

n

\ 0 và 

n

đều có thể

được xác định

một cách duy nhất (qua H), sai khác bởi cùng một hằng số nhân, khác 0.
Chứng minh.
Theo (1.4), các khơng gian con (n − 1) − chiều của

n

chính là các tập có

dạng
L :=  x 

trong đó b 

n

n

| x ⊥ b ,

(1.5)

\ 0 được xác định một cách duy nhất (qua L), sai khác một

hằng số nhân, khác 0 ({b} là cơ sở của không gian con 1 − chiều X := L⊥ ).
Siêu phẳng chính là ảnh tịnh tiến của các tập có dạng (1.5); tức là, các tập có
dạng
H := L + a
= x 

n

| x ⊥ b + a =  x + a | x 

= x 

n

| b, x − a = 0 =  x 

n

n

, b, x = 0

| b, x = ;


trong đó, L là khơng gian con (n − 1) − chiều duy nhất của
H (xem định lý 1.2), a 

n

n

song song với

(vectơ tịnh tiến),  := b, a  . Vì b được xác

định một cách duy nhất (qua L, tức là qua H ), sai khác một hằng số nhân,
khác 0, nên có thể thay b bởi và chỉ bởi những vectơ có dạng b ' = tb với

0  t  ; một cách tương ứng,  sẽ được thay bởi số thực  ':= b ', a = t
với cùng hằng số t  0 đã dùng. ||

Trong Định lý 1.3, vectơ b được gọi là một pháp vectơ của siêu phẳng H .
Mọi pháp vectơ khác của H đều có dạng tb với t  0 hoặc t  0.

(1.6)

Trong các hình vẽ minh họa, người ta thường đặt gốc của pháp vectơ b nằm
trên siêu phẳng H . Tính chất (1.6) hàm ý: mỗi siêu phẳng trong

n

đều có

“hai phía”, giống như hình ảnh trực quan của các trường hợp “đường thẳng
trong mặt phẳng”, “mặt phẳng trong không gian (thông thường)”, khác hẳn
trường hợp đường thẳng lọt thỏm trong khơng gian. Và đó là ý nghĩa của tiếp
đầu ngữ “siêu” trong tên gọi “siêu phẳng”.
Định lý sau đây mô tả mỗi tập affine trong

n

như là tập nghiệm của một hệ

các phương trình tuyến tính của n biến số:
Định lý 1.4. Giả sử c 

m

và B là một m  n − ma trận thực (m, n *).

Khi đó, tập hợp

M = x 

là một tập affine trong

n

n

| Bx = c

. Đảo lại, mọi tập affine M trong

(1.7)
n

đều có thể

biểu diễn được theo cách này.
Chứng minh.
Xét M được cho bởi (1.7) với m, n * nào đó. Nếu x  M , y  M , và

  , thì với z := (1 − ) x + y, ta có


Bz = (1 − ) Bx + By = (1 − )c + c = c;
vì thế, z  M . Do đó, M là một tập affine trong

n

.

Đảo lại, giả sử M là một tập affine không rỗng trong

(n  *). Gọi L là không gian con (duy nhất) của

n

n

và khác

song song với M (xem

định lý 1.2) và {b1, , bm} là một cơ sở của L⊥ (m  , m  n). Vì M 
nên L 

n

n

n

, và do đó L⊥  {0}; suy ra: m  1. Khi đó (xem BTVN 4),
L = ( L⊥ ) ⊥ =  x 

n

, x ⊥ bm 

| x ⊥ b1,

= x 

n

| b1 , x = 0,

= x 

n

| Bx = 0;

, bm , x = 0

trong đó, B là m  n − ma trận có các hàng (từ trên xuống) là b1, , bm . Do M
song song với L , nên tồn tại a 

n

sao cho

M = L + a = x + a | x 

trong đó, c := Ba 
Nếu M =

n

m

n

, Bx = 0

= x 

n

| B( x − a) = 0

= x 

n

| Bx = c;

.

, ta chỉ cần lấy B là m  n − ma trận không (với m  * được

chọn tùy ý) và c = 0 

m

, ta có ngay biểu diễn (1.7). Nếu M = , ta vẫn lấy

B là m  n − ma trận không, nhưng với c 

Hệ quả 1.4.1. Mọi tập affine trong

phẳng.
Chứng minh.
Theo Định lý 1.4,

n

m

\ 0 , ta cũng sẽ có (1.7). ||

là giao của một số hữu hạn các siêu


M = x 
trong đó, bi 

n

n

, bm , x = m  =

| b1, x = 1,

m
i =1

Hi ;

là vectơ có các thành phần là các phần tử trên hàng thứ i

(tính từ trên xuống) của ma trận B, i 

là thành phần thứ i của vectơ c,

và
H i :=  x 

n

| bi , x = i 

(1  i  m). Hơn nữa, theo định lý 1.3, rõ ràng mỗi H i chỉ có thể là một siêu
phẳng (khi bi  0), tập  (khi bi = 0, i  0), hoặc toàn bộ

n

(khi bi = 0,

i = 0). Chú ý rằng tập  là giao của hai siêu phẳng khác nhau mà song song
với nhau, trong khi bản thân
các siêu phẳng của

n

n

có thể được viết thành giao của một họ rỗng

, nên ta có đpcm. ||

Ghi chú: Tập affine M trong Định lý 1.4 là tập tất cả các nghiệm

x = (1, , n ) của hệ m phương trình tuyến tính theo n biến (khơng nhất
thiết thuần nhất):
b111 +
b1 , x = 1




 b , x = 

m
 m
bm11 +

+ b1n n = 1
+ bmn n = m ;

trong đó, bi = (bi1, , bin ) là vectơ hàng thứ i của ma trận B, i 

là thành

phần thứ i (1  i  m) của vectơ c trong biểu diễn (1.7). Nó cũng có thể biểu
diễn được qua các vectơ cột b '1,
M =  x = (1 ,

, b 'n (tính từ trái qua phải) của B như sau:
,  n ) | 1b '1 +

+  nb 'n = c.

BTVN 5. Chứng minh rằng giao của một họ tùy ý các tập affine trong
cũng là một tập affine (trong

n

).

n


Homework 5. Prove that the intersection of any/an arbitrary family/collection
n

of affine sets in
Với mỗi S 

n

n

is also an affine set (in

).

, gọi  là họ tất cả các tập con affine M chứa S của
M cũng là một tập con affine của

Theo BTVN5,

n

n

.

; từ đó, dễ thấy giao

M 

này là tập con affine bé nhất (theo nghĩa của quan hệ “  ”) chứa S của

n

.

Tập con affine bé nhất đó được gọi là bao affine của S và được kí hiệu bởi
aff S . Vậy,

aff S =

M.
S M 
M :affine

For each S 
of

n

n

n

, let  be the family of all affine subsets M containing S

. By HW5,

n

M is also an affine subset of

; and hence, this

M 

intersection is obviously the smallest (in the sense of the relation “  ”) affine
subset containing S of

n

. This smallest affine subset is called the affine hull

of S and is denoted by aff S . So,
aff S =

M.
S M 

M :affine

BTVN 6. Chứng minh rằng tập M 
k  *, ( x )

k
i i =1

 M , ( )

HW 6. Prove that a set M 

n

k
i i =1

n

n

là một tập affine nếu và chỉ nếu
k

k

i =1

i =1

 ,   i = 1    i xi  M .

is affine if and only if (iff, for short)
k

k

i =1

i =1

k  *, ( xi )ik=1  M , ( i )ik=1  ,   i = 1    i xi  M .


k

 x

Xét một tổ hợp tuyến tính

i =1

k



i

của các vectơ x1 , x2 , , xk (

i i

n

). Nếu

= 1, tổ hợp tuyến tính này sẽ được gọi là một tổ hợp affine (của

i=1

x1, x2 , , xk ). Nếu tất cả các hệ số i có trong tổ hợp đều khơng âm (t.ư.
dương), tổ hợp tuyến tính đó sẽ được gọi là một tổ hợp không âm (t.ư. dương).
Nếu tổ hợp tuyến tính này vừa affine, vừa khơng âm, thì nó được gọi là một tổ
hợp lồi (của x1, x2 , , xk ).
BTVN 6 nói rằng tập M 

n

là một tập affine nếu và chỉ nếu M chứa mọi

tổ hợp affine của các phần tử của nó.
k

Consider a linear combination

 x
i =1

k



i

i i

of vectors x1 , x2 , , xk (

n

). If

= 1, this linear combination will be called an affine combination (of

i=1

x1, x2 , , xk ). If all the coefficients i in the combination are non-negative
(positive, resp.), the linear combination will be called a non-negative (positive,
resp.) combination. If this linear combination is affine and non-negative
(simultaneously), it is called a convex combination (of x1, x2 , , xk ).
HW 6 says that a set M 

n

is affine iff M contains all affine combinations

of its elements.
BTVN 7. Với mọi S 

n

, chứng minh rằng

k
k

k
k
aff S =  i xi k  *,( xi )i =1  S ,(i )i =1  ,  i = 1.
i =1
 i =1


BTVN 8. Với mọi S 

n

và x0 

n

, chứng minh rằng

aff S = aff (S − x0 ) + x0 .


và (bi )ik=0 

BTVN 9. Với mọi k 

n

, chứng minh bất đẳng thức

dim aff b0 , b1 ,

, bk   k ;

trong đó, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (k = 0 hoặc) b1 − b0 , , bk − b0  là một
tập/hệ độc lập tuyến tính.
HW 7. For any S 

n

, prove that

k
k

k
k
aff S =  i xi k  *,( xi )i =1  S ,(i )i =1  ,  i = 1.
i =1
 i =1


HW 8. For any S 

and x0 

n

n

, prove that

aff S = aff (S − x0 ) + x0 .
and (bi )ik=0 

HW 9. For any k 

n

, prove the inequality

dim aff b0 , b1 ,

, bk   k ;

where “=” occurs iff (k = 0 or) b1 − b0 , , bk − b0  is a linearly independent
set.
k

BTVN 7 nói rằng aff S bao gồm tất cả các tổ hợp affine

  x , với k 
i =1

k
i i =1

(x )

 S (ở đây,

k



i

i i

*,

= 1).

i=1
k

HW 7 says that aff S consists of all affine combinations

  x , with k 
i =1

( xi )ik=1  S (here,

k



i=1

i

= 1).

i i

*,


Một tập/hệ b0 , b1 , , bk  , gồm k + 1 điểm b0 , b1 , , bk 

n

(k  ), được

gọi là độc lập affine nếu dim aff b0 , b1 , , bk  = k ; tức là, nếu aff b0 , b1 , , bk 
là một tập (affine) k − chiều. Theo BTVN 8,
aff b0 , b1 ,

, bk  = L + b0 ; trong đó, L := aff 0, b1 − b0 ,

, bk − b0 .

Từ Định lý 1.1, ta thấy L chính là khơng gian con nhỏ nhất (của

n

(1.8)

) chứa k

vectơ b1 − b0 , , bk − b0 ; nói cách khác,
L = b1 − b0 ,

, bk − b0 := span b1 − b0 ,

, bk − b0 

(1.9)

là không gian con sinh bởi hệ b1 − b0 , , bk − b0 . Số chiều của không gian
con L là số chiều (affine) của tập affine aff b0 , b1 , , bk  (theo (1.8) và theo
đúng định nghĩa của số chiều của tập affine). Số chiều đó bằng k nếu và chỉ
nếu hệ sinh b1 − b0 , , bk − b0  độc lập tuyến tính. Vì thế, ta vừa chứng minh
được:
Mệnh đề 1.5. Hệ điểm b0 , b1 , , bk  độc lập affine nếu và chỉ nếu hệ vectơ

b1 − b0 ,

, bk − b0  độc lập tuyến tính.

A set b0 , b1 , , bk  , of k + 1 points b0 , b1 , , bk 

n

(k  ), is said to be

affinely independent if dim aff b0 , b1 , , bk  = k ; i.e., if the affine set

aff b0 , b1 ,

, bk  is k − dimensional. By HW 8,

aff b0 , b1 ,

, bk  = L + b0 , where L := aff 0, b1 − b0 ,

, bk − b0 .

According to Thm. 1.1, L is the same as the smallest subspace (of

(1.8)
n

)

containing k vectors b1 − b0 , , bk − b0 ; in other words,
L = b1 − b0 ,

, bk − b0 := span b1 − b0 ,

, bk − b0 

(1.9)

is the subspace spanned by the set b1 − b0 , , bk − b0 . The dimension of the
subspace L is the (affine) dimension of the affine set aff b0 , b1 , , bk  (by

(1.8) and by the definition of the dimension of an affine set). This dimension
is k iff the spanning set b1 − b0 , , bk − b0  is linearly independent. So, we
have proved:
Proposition 1.5. The set (of points) b0 , b1 , , bk  is affinely independent iff
the set (of vectors) b1 − b0 , , bk − b0  is linearly independent.
Theo quy ước, hệ rỗng (tức là hệ gồm 0 điểm) được xem là độc lập affine.
Theo mệnh đề 1.5, mỗi sự kiện về tính độc lập tuyến tính đều có thể áp dụng
được để cho ra một sự kiện tương ứng về tính độc lập affine. Chẳng hạn, ta
có:
BTVN 10. Mọi tập độc lập affine (gồm k + 1 điểm) trong

n

đều có thể nới

rộng được thành một tập độc lập affine tối đại, gồm n + 1 điểm.
BTVN 11. Mọi tập affine k − chiều đều có thể biểu diễn được thành bao affine
của một tập độc lập affine gồm k + 1 điểm.
An empty set (i.e. a set of no point) is affinely independent by convention.
By Proposition 1.5, each fact about linear independence can be applied to
give a corresponding fact about affine independence. For instance, we have:
HW 10. Any affinely independent set (of k + 1 points) in

n

can be enlarged

to a maximal (and) affinely independent set of n + 1 points.
HW 11. Any k − dimensional affine set can be expressed as the affine hull of
an affinely independent set of k + 1 points.

Chú ý rằng nếu M = aff b0 , b1 , , bk  (k  ) thì, theo (1.8)-(1.9), khơng
gian con L song song với M chính là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của

b1 − b0 , , bk − b0 . Bởi vậy, các phần tử x của M chính là các điểm biểu diễn
được dưới dạng


x = 1 (b1 − b0 ) +

+  k (bk − b0 ) + b0 ,

tức là dưới dạng

x = 0b0 + 1b1 +

+  k bk , với 0 + 1 +

+  k = 1.

Các hệ số 0 , 1, ,  k trong biểu diễn đó là duy nhất nếu và chỉ nếu

b0 , b1,

, bk  độc lập affine. Trong trường hợp này, ta nói phép biểu diễn đó

xác định một hệ tọa độ trọng tâm trên M .
Note that, if M = aff b0 , b1 , , bk  (k  ), by (1.8)-(1.9), the subspace L
parallel to

M

is precisely the set of all linear combinations of

b1 − b0 , , bk − b0 . The elements x ' s of M are therefore those expressible in
the form

x = 1 (b1 − b0 ) +

+  k (bk − b0 ) + b0 ,

i.e. in the form

x = 0b0 + 1b1 +

+  k bk , with 0 + 1 +

The coefficients 0 , 1, ,  k

b0 , b1,

+  k = 1.

in such an expression are unique iff

, bk  is affinely independent. In that event, this expression defines

what is called a barycentric coordinate system for M .
Ánh xạ (đơn trị) T : x → Tx từ

n

vào

m

được gọi là một phép biến đổi

affine nếu

T ((1 − ) x + y) = (1 − )Tx + Ty
với mọi x và y trong

n

và với mọi   .
n

BTVN 12. Cho T , T1 , T2 :

→

m

là các phép biến đổi affine và   .

Chứng minh rằng T , T1 + T2 cũng là các phép biến đổi affine từ
BTVN 13. Cho T :

n

→

m

n

vào

là một phép biến đổi affine. Chứng minh rằng

m

.


k

k

i =0

i =0

T   i xi =   iTxi

với mọi k  , ( x )

k
i i =0



n

, ( )

k
i i= 0

k



mà



= 1.

i

i= 0

A (single-valued) mapping T : x → Tx from

n

m

to

is called an affine

transformation if

T ((1 − ) x + y) = (1 − )Tx + Ty
n

for all x and y in

and for all   .
n

HW 12. Let T , T1 , T2 :

→

m

be affine transformations and let   .

Prove that T , T1 + T2 are also affine transformations from
n

HW 13. Let T :

→

m

n

to

m

.

be an affine transformation. Prove that
k

k

i =0

i =0

T   i xi =   iTxi

for all k  , ( x )

k
i i =0



n

, ( )

k
i i= 0



k



such that

i

= 1.

i= 0

Định lý 1.6. Các phép biến đổi affine từ

T:

n

→

m

n

có dạng Tx  Ax + a, trong đó A :

tuyến tính và a 

m

vào
n

→

m

chính là các ánh xạ

m

là một phép biến đổi

.

Chứng minh.
Giả sử T :

n

→

m

là affine. Ta lấy a := T 0 và Ax : Tx − a. Lập luận như

trong chứng minh của định lý 1.1, ta sẽ thấy A :
tuyến tính. Thật vậy, với mọi x và y trong

n

n

→

m

là một phép biến đổi

và với mọi   , ta có:

(i) A(x) = T (x) − a = T (x) − T 0 = T ((1 − )0 + x) − T 0
= (1 − )T 0 + Tx − T 0 =  (Tx − T 0) = Ax;


1 
 1 
1

1

(ii) A  ( x + y )  = T  ( x + y )  − a = T  1 −  x + y  − a
2 
2


2

 2 
1
1
1
1
 1
= 1 −  Tx + Ty − a = (Tx − a ) + (Ty − a ) = ( Ax + Ay ) ;
2
2
2
2
 2
 1
 (i)
1
 (ii) 1
(iii) A ( x + y ) = A  2  ( x + y )  = 2  A  ( x + y )  = 2  ( Ax + Ay ) = Ax + Ay.
2
 2

2


Suy ra: A thực sự là một phép biến đổi tuyến tính.
Đảo lại, giả sử Tx  Ax + a, trong đó A :
tuyến tính và a 

m

n

→

m

là một phép biến đổi

. Khi đó,

T ((1 − ) x + y ) = A((1 − ) x + y ) + a = (1 − ) Ax + Ay + a
= (1 − ) ( Ax + a ) +  ( Ay + a ) = (1 −  )Tx + Ty

với mọi x và y trong

n

và với mọi   . Vậy T là affine. ||

Theorem 1.6. The affine transformations from

T:

n

→

m

of the form Tx  Ax + a, where

transformation and a 

m

n

m

to

A:

n

are the mappings

→

m

is a linear

.

Proof.
Let T :

n

→

m

be affine and let a := T 0 and Ax : Tx − a. A simple argument

resembling the one in Theorem 1.1 will show that A :
transformation. In fact, for all x and y in

n

n

→

m

is a linear

and for all   , we have:

(i) A(x) = T (x) − a = T (x) − T 0 = T ((1 − )0 + x) − T 0
= (1 − )T 0 + Tx − T 0 =  (Tx − T 0) = Ax;

1 
 1 
1

1


(ii) A  ( x + y )  = T  ( x + y )  − a = T  1 −  x + y  − a
2 
2

2

 2 
1
1
1
1
 1
= 1 −  Tx + Ty − a = (Tx − a ) + (Ty − a ) = ( Ax + Ay ) ;
2
2
2
2
 2


 1
 (i)
1
 (ii) 1
(iii) A ( x + y ) = A  2  ( x + y )  = 2  A  ( x + y )  = 2  ( Ax + Ay ) = Ax + Ay.
2
 2

2



Hence, A is indeed a linear transformation.
Conversely, assume that Tx  Ax + a, where A :
transformation and a 

m

n

→

m

is a linear

. Then

T ((1 − ) x + y ) = A((1 − ) x + y ) + a = (1 − ) Ax + Ay + a
= (1 − ) ( Ax + a ) +  ( Ay + a ) = (1 −  )Tx + Ty
n

for all x and y in

and for all   . Thus T is affine. ||
n

BTVN 14. Cho T :

→

là một phép biến đổi affine song ánh. Chứng

n

minh rằng ánh xạ ngược T −1 của nó cũng là một phép biến đổi affine (từ

n

lên chính nó).
n

BTVN 15. Cho T :

N

m

→

là một phép biến đổi affine và cho M 

m

n

,

là các tập affine. Chứng minh rằng
TM := Tx x  M  (

m



), T −1 N := x 

n



Tx  N (

n

)

cũng là các tập affine.
n

BTVN 16. Cho T :

→

là một phép biến đổi affine và cho S 

m

n

là

một tập hợp tùy ý. Chứng minh rằng

aff (TS ) = T (aff S ).
BTVN 16 nói rằng các phép biến đổi affine bảo toàn các bao affine.
HW 14. Let T :

n

→

n

be an affine (and) bijective transformation. Prove

that its inverse T −1 is also an affine transformation (from
HW 15. Let T :

N

m

n

→

m

n

onto itself).

be an affine transformation and let M 

be affine sets. Prove that
TM := Tx x  M  (

m



), T −1 N := x 

n



Tx  N (

n

)

n

,


are also affine sets.

HW 16. Let T :

n

→

m

be an affine transformation and let S 

n

be any

set. Prove that

aff (TS ) = T (aff S ).
HW 16 says that affine transformations preserve affine hulls.
Định lý 1.7. Giả sử b0 , b1 , , bk  và b0 ', b1 ', , bk ' là các tập độc lập
affine trong
n

n

. Khi đó tồn tại phép biến đổi affine T :

n

→

n

, (là) 1 – 1 từ

lên chính nó, sao cho Tbi = bi ' với mọi i  0, 1, , k . Nếu k = n thì

phép biến đổi T đó là duy nhất.
Chứng minh.
Nếu cần, ta sẽ nới rộng các tập độc lập affine đã cho (xem BTVN 10), ta có
thể quy định lý về trường hợp k = n. Lúc này, theo mệnh đề 1.5,
B := b1 − b0 ,

, bn − b0  và B ' := b1 '− b0 ',

gian tuyến tính

n

, bn '− b0 ' là hai cơ sở của không

.

Theo định lý 1.6, các phép biến đổi affine T :
biến đổi có dạng Tx  Ax + a, trong đó A :
tuyến tính và a 

n

n

→

n

→
n

n

chính là các phép

là một phép biến đổi

. Với T , A và a đó, ta biến đổi tương đương:


Tb0 = b0 '  Ab0 + a = b0 '
Tb = b '
 Ab + a = b '
 1 1

1
 1



Tbn = bn '  Abn + a = bn '
a = b0 '− Ab0
 Ab + (b '− Ab ) = b '


0
0
1
 1

 Abn + (b0 '− Ab0 ) = bn '
a = b0 '− Ab0
 A(b − b ) = b '− b '

1
0
 1 0

 A(bn − b0 ) = bn '− b0 '.

Nhưng, theo Đại số tuyến tính, tồn tại duy nhất song ánh tuyến tính A từ

n

lên chính nó, chuyển các phần tử bi − b0 của cơ sở B tương ứng thành các
phần tử bi '− b0 ' (1  i  n) của cơ sở B '. Vì thế, phép biến đổi affine mà ta
cần có là phép biến đổi được xác định một cách duy nhất bởi Tx  Ax + a,
trong đó a := b0 '− Ab0 . ||

b0 , b1,

Theorem 1.7. Let
independent sets in

T:

n

→

n

n

from/of

, bk 

and

b0 ', b1 ',

, bk '

be affinely

. Then there exists a 1 – 1 affine transformation

n

onto itself such that Tbi = bi ' for all i  0, 1, , k .

If k = n, T is unique.
Proof.
Enlarging the given affinely independent sets (see HW 10) if necessary, we

can reduce the question to the case where k = n. Then, according to
Proposition 1.5, B := b1 − b0 , , bn − b0  and B ' := b1 '− b0 ', , bn '− b0 ' are two
bases of the linear space

n

.


n

By Theorem 1.6, the affine transformations T :
ones of the form Tx  Ax + a, where A :
and a 

n

n

→

n

→

n

are (precisely) the

is a linear transformation

. With such T , A and a, the following systems are equivalent:
Tb0 = b0 '  Ab0 + a = b0 '
Tb = b '
 Ab + a = b '
 1 1

1
 1



Tbn = bn '  Abn + a = bn '
a = b0 '− Ab0
 Ab + (b '− Ab ) = b '

0
0
1
 1

 Abn + (b0 '− Ab0 ) = bn '
a = b0 '− Ab0
 A(b − b ) = b '− b '

1
0
 1 0

 A(bn − b0 ) = bn '− b0 '.

But, as is well known in linear algebra, there exists a unique 1 – 1 linear
transformation A of/from

n

onto itself carrying the elements bi − b0 of the

basis B to the corresponding elements bi '− b0 ' (1  i  n) of the basis B '. The
desired affine transformation is therefore given uniquely by Tx  Ax + a,
where a := b0 '− Ab0 . ||
Hệ quả 1.7.1. Cho M và M ' là hai tập affine bất kỳ, có cùng số chiều trong
n

. Khi đó tồn tại phép biến đổi affine T :

n

→

n

, là 1 – 1 từ

n

lên chính

nó, sao cho TM = M '.
Chứng minh.

Theo BTVN 11, mọi tập affine k − chiều đều có thể biểu diễn được thành
bao affine của một tập độc lập affine gồm k + 1 điểm. Vì thế, tồn tại các tập


độc lập affine S = b0 , b1 , , bk  , S ' = b0 ', b1 ', , bk ' trong

n

, có cùng số

phần tử, sao cho M = aff S , M ' = aff S '. Với T là phép biến đổi affine có
trong định lý 1.7, do tính chất bảo tồn các bao affine của nó (BTVN 16) ta có

M ' = aff S ' = aff (TS ) = T (aff S ) = TM . ||
Corollary 1.7.1. Let M and M ' be any two affine sets of the same
dimension in
of

n

n

. Then there exists a 1 – 1 affine transformation T :

n

→

n

onto itself such that TM = M '.

Proof.
By HW 11, any k − dimensional affine set can be expressed as the affine hull
of an affinely independent set of k + 1 points. Hence there exist affinely
independent sets S = b0 , b1 , , bk  ,
number of elements, in

n

S ' = b0 ', b1 ',

, bk ' , with the same

such that M = aff S , M ' = aff S '. Let T be the

affine transformation mentioned in Theorem 1.7. Since affine hulls are
preserved by affine transformations (HW 16), we have:

M ' = aff S ' = aff (TS ) = T (aff S ) = TM . ||
Nhận xét. Nói chung, phép biến đổi affine T :

n

→

trong hệ quả 1.7.1 là

n

không duy nhất (ngay cả khi M và M ' có số chiều là n).
n

Remark. In general, the affine transformation T :

→

n

in Corollary

1.7.1 is not unique (even when M and M ' are n − dimensional).
Đồ thị của một phép biến đổi affine T :
n+ m

n

→

m

là một tập con affine của

. Ta có thể kiểm tra trực tiếp khẳng định này bằng cách dùng định nghĩa

(của tập affine, phép biến đổi affine). Một cách chứng minh khác là như sau:
Theo Định lý 1.6, Tx  Ax + a, trong đó A :
tuyến tính và a 

m

n

→

m

là một phép biến đổi

. Đặt c := − a, và gọi B là phép biến đổi tuyến tính từ


n+m

y

z 

m

vào
m

, được cho bởi Bz := Ax − y với mọi z = ( x, y ) 

), ta dễ dàng thấy rằng đồ thị của T

n+m

(x 

n

,

trùng với tập hợp



n+ m

Bz = c ; vì vậy, định lý 1.4 cho ta khẳng định cần chứng minh!

Đặc biệt, đồ thị của một phép biến đổi tuyến tính A :
affine chứa 0 của

n+ m

n

→

m

là một tập

, và vì vậy, là một khơng gian con L nào đó của

n+m

(theo Định lý 1.1). Ta sẽ chứng minh rằng
L⊥ = ( x*, y*) | x* 

n

, y* 

m

, x* = − AT y *.

(1.10)

Thật vậy, theo định nghĩa, z* = ( x*, y*) thuộc L⊥ nếu và chỉ nếu

0 =  z, z* =  x, x* +  y, y*
với mọi z = ( x, y )  L (

n+ m

), tức là với mọi x 

n

và y = Ax. Nói cách

khác, ( x*, y*)  L⊥ khi và chỉ khi
0 =  x, x* +  Ax, y* =  x, x* +  x, AT y* =  x, x * + AT y*

với mọi x 

n

; một cách tương đương, ( x*, y*)  L⊥ khi và chỉ khi
x * + AT y* = 0, tức là x* = − AT y*,

và (1.10) đã được chứng minh.
Theo (1.10), phần bù trực giao (trong
đổi tuyến tính A :

n

→

m

n+ m

) của đồ thị của một phép biến

thực chất là đồ thị của phép biến đổi tuyến tính

− AT .
The graph of an affine transformation T :
n+ m

n

→

m

is an affine subset of

. We can check this claim directly, using the definitions (of affine sets,

affine transformations). Another proof of this claim is as follows:
By Theorem 1.6, Tx  Ax + a, where A :
and a 

m

n

→

m

is a linear transformation

. Letting c := − a, and letting B be the linear transformation from


n+m

y

z 

to

m

m

given by Bz := Ax − y for all z = ( x, y ) 

,

(x 

n

,

), we see easily that the graph of T coincides with the set

n+ m



Bz = c ; hence, Theorem 1.4 gives our claim!

n+ m

subset containing the origin of

→

n

In particular, the graph of a linear transformation A :

n+m

n+m

m

is an affine

, and hence it is a certain subspace L of

(by Theorem 1.1). We will prove that
L⊥ = ( x*, y*) | x* 

n

, y* 

m

, x* = − AT y *.

(1.10)

Indeed, by definition, z* = ( x*, y*) belongs to L⊥ iff

0 =  z, z* =  x, x* +  y, y*
n+ m

for every z = ( x, y )  L (

), i.e. for every x 

n

and for y := Ax. In

other words, ( x*, y*)  L⊥ iff
0 =  x, x* +  Ax, y* =  x, x* +  x, AT y* =  x, x * + AT y*

for every x 

n

; equivalently, ( x*, y*)  L⊥ iff
x * + AT y* = 0, i.e. x* = − AT y*,

and (1.10) has been proved.
According to (1.10), the orthogonal complement (in
linear transformation A :

n

→

m

n+ m

) of the graph of a

is essentially the graph of the linear

transformation − AT .

1.2. TẬP LỒI VÀ NÓN LỒI
Một tập con C của

n

được gọi là lồi nếu (1 − )x + y  C với mọi x  C ,

y  C và 0    1. Mọi tập affine (bao gồm cả  và

n

) đều là những tập

lồi. Ta không địi hỏi một tập lồi phải chứa tồn bộ đường thẳng nối hai điểm