Giáo trình Toán kinh tế (Nghề Kế toán doanh nghiệp Trình độ Cao đẳng)

BỘ GIAO THÔNG VẬN TẢI
TRƢỜNG CAO ĐẲNG GIAO THÔNG VẬN TẢI TRUNG ƢƠNG I

GIÁO TRÌNH
Mơn học: Tốn kinh tế
NGHỀ: KẾ TỐN DOANH NGHIỆP
TRÌNH ĐỘ: CAO ĐẲNG

Hà Nội – 2017


MỤC LỤC
Lời nói đầu…………………………………………………………………………..4
Chương 1: Đại số tuyến tính................................................................................... 7
1. Vectơ n chiều và các phép tính............................................................................ 7
1.1. Định nghĩa ................................................................................................... 7
1.2. Các phép toán vectơ ..................................................................................... 7
1.3. Độc lập và phụ thuộc tuyến tính ................................................................... 7
2. Ma trận ............................................................................................................... 7
2.1. Các khái niệm cơ bản ................................................................................... 8
2.2. Các phép tính ma trận .................................................................................. 9
2.3 Các phép biến đổi ma trận. .......................................................................... 11
3. Định thức .......................................................................................................... 11
3.1. Cách xác định giá trị định thức ................................................................... 11
3.2. Tính chất của định thức .............................................................................. 13
4. Ma trận nghịch đảo ........................................................................................... 14
4.1. Định nghĩa ................................................................................................. 14
4.2. Cách tìm ma trận nghịch đảo ...................................................................... 14
5. Hệ phƣơng trình tuyến tính ............................................................................... 15
5.1. Khái niệm .................................................................................................. 15
5.2. Phƣơng pháp giải ....................................................................................... 16

6. Bài tập .............................................................................................................. 19
Chương 2: Phương pháp đơn hình và Bài tốn đối ngẫu ................................... 19
1. Các khái niệm, tính chất chung của bài tốn quy hoạch tuyến tính .................... 21
1.1. Một số ví dụ thực tế dẫn đến bài tốn quy hoạch tuyến tính ....................... 21
1.2. Bài tốn quy hoạch tuyến tính và các dạng đặc biệt ................................... 25
1.3. Phƣơng án cực biên .................................................................................... 30
1.4. Các tính chất chung của bài tốn quy hoạch tuyến tính .............................. 31
2. Phƣơng pháp đơn hình ...................................................................................... 31
2.1. Nội dung và cơ sở của phƣơng pháp .......................................................... 31
2.2. Thuật tốn của phƣơng pháp đơn hình ....................................................... 33
2.3. Thuật toán mở rộng .................................................................................... 38
3. Bài toán đối ngẫu .............................................................................................. 40
3.1. Định nghĩa ................................................................................................. 40
3.2. Sơ đồ viết bài toán đối ngẫu ....................................................................... 41
4.Bài tập ............................................................................................................... 45


Chương 3: Tốn xác suất ...................................................................................... 50
1. Giải tích tổ hợp ................................................................................................ 50
1.1. Tính giai thừa, hốn vị ............................................................................... 50
1.2. Tổ hợp, chỉnh hợp ...................................................................................... 51
2. Phép thử, các loại biến cố và xác suất của biến cố............................................. 53
2.1. Phép thử, biến cố........................................................................................ 53
2.2. Các loại biến cố.......................................................................................... 53
2.3. Xác suất của biến cố................................................................................... 54
3. Định lý cộng xác suất ........................................................................................ 55
4. Định lý nhân xác suất ........................................................................................ 55
5. Công thức Bernoull ........................................................................................... 56
5.1. Định nghĩa ................................................................................................. 56
5.2.Công thức Bernoulli .................................................................................... 57

6. Công thức xác suất đầy đủ và Bayes ................................................................. 59
7. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất ................................................ 61
7.1. Định nghĩa biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất ....................... 61
7.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc và bảng phân phối xác suất ................................... 61
7.3. Hàm phân bố xác suất ................................................................................ 61
7.4. Hàm mật độ xác suất .................................................................................. 62
8. Các tham số đặc trƣng của biến ngẫu nhiên ...................................................... 63
8.1. Vọng toán (kỳ vọng toán)........................................................................... 63
8.2. Phƣơng sai ................................................................................................. 63
8.3 Độ lệch chuẩn ............................................................................................. 64
9. Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng ................................................ 65
9.1. Quy luật không - một ................................................................................. 65
9.2. Quy luật nhị thức- B(n,p) ........................................................................... 65
9.3. Quy luật phân phối đều – U(a,b) ................................................................ 67
9.4. Quy luật phân phối chuẩn- N(µ,∂2) ............................................................ 68
9.5. Quy luật khi bình phƣơng .......................................................................... 70
9.6. Quy luật Student Tn ................................................................................... 70
10. Các định lý giới hạn ........................................................................................ 71
10.1 Bất đẳng thức Trêbƣsep ........................................................................... 71
10.2 Định lý Trêbƣsep .................................................................................... 71
11. Bài tập............................................................................................................. 71
Chương 4: Thống kê toán ..................................................................................... 75


1.Tổng thể nghiên cứu .......................................................................................... 75
1.1. Khái niệm .................................................................................................. 75
1.2. Các phƣơng pháp mô tả tổng thể ................................................................ 75
1.3. Các tham số đặc trƣng của mẫu ngẫu nhiên ................................................ 76
2. Quy luật phân phối xác suất của một số thống kê đặc trƣng mẫu ...................... 77
2.1. Biến ngẫu nhiên X phân phối theo quy luật chuẩn...................................... 77

2.2. Biến ngẫu nhiên X phân phối theo quy luật không - một ............................ 78
3. Ƣớc lƣợng tham số ........................................................................................... 78
3.1. Ƣớc lƣợng điểm cho kỳ vọng, phƣơng sai và xác suất ............................... 78
3.2. Ƣớc lƣợng khoảng tin cậy cho tham số P của biến ngẫu nhiên phân phối
theo quy luật 0 - 1 ........................................................................................... 81
3.3. Ƣớc lƣợng kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn
........................................................................................................................ 81
3.4. Ƣớc lƣợng phƣơng sai của biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn 82
4. Kiểm định giả thuyết thống kê .......................................................................... 84
4.1. Khái niệm .................................................................................................. 84
4.2. Kiểm định về tham số P của biến ngẫu nhiên phân phối không - một ......... 85
4.3. Kiểm định giả thuyết về kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên phân phối theo
quy luật chuẩn ................................................................................................. 87
4.4. Kiểm định giả thuyết về phƣơng sai của biến ngẫu nhiên phân phối theo quy
luật chuẩn........................................................................................................ 90
Tài liệu tham khảo………………………………………………………………….93


Lời nói đầu
Tốn kinh tế là mơn khoa học nhằm vận dụng tốn học trong phân tích các mơ
hình kinh tế để từ đó hiểu rõ hơn các nguyên tắc và các quy luật kinh tế của nền
kinh tế thị trƣờng. Toán kinh tế cung cấp cho các nhà quản lý các kiến thức để họ
có thể vận dụng vào việc ra các quyết định sản xuất.
Toán kinh tế (tiếng Anh là Mathematical Economics) là một lĩnh vực của Kinh tế,
sử dụng các cơng cụ và phƣơng pháp tốn học để phân tích, đánh giá các vấn đề
kinh tế, kinh doanh. Cơng cụ tốn học cho phép các nhà kinh tế phân tích suy
luận định lƣợng và xây dựng các mơ hình đánh giá, dự báo về kinh tế, kinh doanh
trong tƣơng lai.
Ngành Toán kinh tế là ngành đào tạo cao đẳng, cử nhân đại học ngành Tốn
kinh tế có phẩm chất chính trị, đạo đức và sức khỏe tốt; có kiến thức cơ bản về

kinh tế - xã hội, quản lý và quản trị kinh doanh; có kiến thức chuyên sâu về Toán
ứng dụng trong kinh tế, quản lý và quản trị kinh doanh; có tƣ duy nghiên cứu độc
lập; có năng lực tự học tập bổ sung kiến thức, nâng cao trình độ chun mơn
thích nghi với sự thay đổi của môi trƣờng làm việc.

6


Chương 1: Đại số tuyến tính
1. Vectơ n chiều và các phép tính
1.1. Định nghĩa
Ta gọi một tập hợp bao gồm n số thực từ x1, x2, …, xn hoặc y1, y2,...yn đƣợc sắp
xếp theo một thứ tự nhất định (theo hàng hoặc theo cột) gọi là véc tơ n chiều và
đƣợc ký hiệu là X, Y, Z ...
X = [ x1, x2,…, xn ]
Y = [ y1, y2,..., yn ]
..............................
Ví dụ: X1 = [1, 2, 3, -1]
X2 = [-1, 4, 4, 0]
1 
 4 
X3 =  
3 
 
1 / 2

- Nếu sắp xếp theo chiều ngang gọi là véc tơ hàng (ví dụ X1, X2)
- Nếu sắp xếp theo chiều dọc gọi là véc tơ cột (ví dụ X3)
Chú ý:

x1, x2, …, xn gọi là các thành phần của véc tơ X

Các xi gọi là các thành phần thứ i của véc tơ X
Nếu X = Y tức là véc tơ X = véc tơ Y
1.2. Các phép toán véc tơ
a. Phép nhân véc tơ với một số
Cho véc tơ X = [x1, x2, …, xn ] và một số k (k  R) vậy tích của k. X là
k.X = [ k.x1, k.x2,...........k.xn]
Ví dụ: cho véc tơ X = [1, 2, 3, -1] và k = 2 hãy tính tích của k.X
k.X = [2 x 1, 2 x 2, 2 x 3, 2 x -1]
= [ 2, 4, 6, -2]
Chú ý: Nếu k = -1  k.X = -X( là véc tơ đối của X)
Nếu k = 0  0.X = 0
b. Tổng hiệu hai vec tơ
Cho véc tơ X = [x1, x2, …, xn ] có n chiều, véc tơ Y= [y1, y2, …, yn ] có n chiều
điều kiện để hai véc tơ có thể cộng hoặc trừ cho nhau là chúng phải cùng chiều
(hay cùng hƣớng)
X  Y = = [x1  y1, x2  y2, …, xn  yn]
7


Ví dụ: Cho véc tơ X = [1, 2, 3, -1] và véc tơ Y= [2, 2, 6, -2] hãy tính X + Y
X + Y = [ 1 + 2, 2 + 2, 3 + 6, -1 + -2]
= [ 3, 4, 9, -3]
Các tính chất:
1, X + Y = Y + X
2, X – Y = Y – X khi (X – Y) . X
3, X – Y  Y – X khi (X + Y)
1.3. Độc lập và phụ thuộc tuyến tính
a. Định nghĩa: Cho V là không gian véc tơ; S = {x1, x2,...,xn}  V.

Xét điều kiện: α1x1 + α2x2 +...+ αnxn = 

(*)

Nếu điều kiện (*) chỉ xẩy ra khi và chỉ khi α1 = 0, α2 = 0,...,αn = 0 thì S gọi là hệ véc tơ
độc lập tuyến tính.
S khơng độc lập tuyến tính thì S gọi là phụ thuộc tuyến tính, tức là  αi  0 mà điều kiện
(*) vẫn xẩy ra.
b. Tính chất
- Hệ có duy nhất một véc tơ và vec tơ đó   thì độc lập tuyến tính.
- Mọi hệ con của hệ độc lập tuyến tính thì độc lập tuyến tính.
- Hệ vec tơ chứa hệ con phụ thuộc tuyến tính thì phụ thuộc tuyến tính.
- Hệ vec tơ chứa một véc tơ là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ cịn lại thì phụ thuộc
tuyến tính.
2. Ma trận
2.1. Các khái niệm cơ bản
- Khái niệm ma trận: Ngƣời ta gọi một bảng gồm m x n số thực đƣợc sắp xếp
thành m hàng và n cột gọi là ma trận cấp m x n
 a11

Ký hiệu: A =  a21
 ...

am1

a
a

12
22

...

a

m2



...
2n 
... ... 

... amn 
...

a
a

1n

Trong đó:
- Mỗi số nằm trong ma trận đƣợc gọi là các phần tử, phần tử nằm trong ô hàng
i, cột j đƣợc ký hiệu là ai j.
- a11, a22, …, amn đƣợc gọi là đƣờng chéo chính của ma trận
- mn: Đƣợc gọi là cấp của ,a trận
- a11, a12, …, a1n đƣợc gọi là hàng thứ nhất của ma trận
8

Ma trận trên có thể viết dƣới dạng tổng quát là: A = (ai j) m x n
- Khái niệm ma trận vng: Ma trận vng là ma trận có số hàng bằng số cột ( m
= n)
- Ma trận có tất cả các phần tử bằng 0 gọi là ma trận không, ký hiệu là 0
- Ma trận đối: Cho ma trận A = (ai j) m x n thì ma trận – A = (-ai j) mxn gọi là ma trận
đối của ma trận A
- Ma trận chuyển vị: Cho ma trận A = (ai j) m x n , ma trận chuyển vị của ma trận A
la At (aj i) m x n ( nghĩa là ta đổi hàng thành cột hoặc cột thành hàng thì ta đƣợc ma
trận chuyển vị At)
1 4 
1 3 5 
t
Ví dụ: Cho ma trận A = 
 A = 2  1

 4  1 0
5 0 

- Ma trận bằng nhau: Cho ma trận A = (ai j)
 ai j = bi j,  i  1, m ; J  1, n
- Ma trận tam giác: Là ma trận vng có

2.2. Các phép tính ma trận
a. Phép nhân ma trận với một số.
9

m x n;

B = (bi j)

m x n,

ma trận A = B


Cho ma trận A = (ai j) m x n và k  R ; tích k.A là một ma trận cấp m x n xác định
bởi:
k.A = (k.ai j) m x n
1

5

3

Ví dụ: Cho ma trận A = 
 và k = 2. Hãy tính k.A
 4  1 0
1.2

3.2

5.2

2

6

10

k.A = 

= 

4.2  1.2 0.2 8  2 0 
* Các tính chất
k(A + B) = k.A + k.B
(k + h).A = kA + hA
k(h.A) = (k.h)A
1.A = A
0.A = 0
b. Phép nhân hai ma trận
Cho hai ma trận A = (ai j) m x n và B = (bi j) p x n (số cột của ma trận A bằng số hàng
của ma trận B). Tích của A và B là ma trận C = A.B cấp m x n, mỗi phần tử C i j
của C đƣợc xác định nhƣ sau:
Ci j = ai1 . b1j + ai2 . b2j + ......+aip . bpj
Nhƣ vậy muốn tìm phần tử ở dịng i, cột j của ma trận tích, ta nhân các phần tử ở
dịng i của ma trận đứng trƣớc với các phần tử tƣơng ứng ở cột j của ma trận
đứng sau rồi cộng các tích lại với nhau.
 1 1
1 2 3
; B =  1 2 hãy tính tích của A.B
Ví dụ: cho ma trận A = 

3 2 1
 3 0
1.1  2.(1)  3.3 1.1  2.2  3.0

 8 5

A.B = 
= 


3.1  2.(1)  1.3 3.1  2.2  1.0 4 8
Chú ý: - Phép nhân ma trận A, B chỉ thực hiện đƣợc khi số cột của ma trận A
bằng số dòng của ma trận B do vậy khi A.B thực hiện đƣợc thì B.A chƣa chắc đã
thực hiện đƣợc. Trong trƣờng hợp A, B là hai ma trận vuông cùng cấp, hoặc A là
ma trận cấp m x n, B là ma trận cấp n x m thì A.B và B.A cũng thực hiện đƣợc
nhƣng nói chung A.B  B.A
- A.B = 0  A = 0 hoặc B = 0
* Tính chất
1, A(B+C) = AB + ÂC
2, (B + C)A = BA + CA
10


3, k(B.C) = (kB).C = B(kC)
c. Tổng hoặc hiệu của hai ma trận
Cho ma trận A = (ai j) m x n và B = (bi j) m x n là hai ma trận cùng cấp m x n:
A + B = (ai j + bi j) m x n tức là ( A + B+)i j = ai j + bi j
Nhƣ vậy muốn cộng 2 ma trận cuàng cấp, ta cộng các phần tử ở cùng vị trí của
hai ma trận thành phần
  1 2
1  (1) 3  2  0 5
A + B = 

=

0
 2  1 4  0  3 4 

1 3 

Ví dụ: Cho ma trận A = 
 và B =  1
 2 4

* Tính chất:
1, A + B = B + A
2, A + 0 = 0 + A = A
3, A + (-A) = 0
4, (A+B) + C = A + (B + C)
2.3 Các phép biến đổi ma trận.
- Đổi chỗ hai dòng hoặc cột

- Nhân tất cả các phần tử của một dòng (hoặc cột) với cùng một số khác không
- Cộng vào các phần tử của một dòng (cột) các phần tử tƣơng ứng của một dòng
(cột) khác sau khi đã nhân với cùng một số nào đó
Mỗi ma trận cấp m x n có thể đƣợc xem là một hệ gồm m vec tơ dịng hoặc n vec
tơ cột, do đó các phép biến đổi sơ cấp đối với ma trận thực chất là các phép biến
đổi sơ cấp đối với hệ vec tơ dòng và hệ vec tơ cột của ma trận đó.
3. Định thức
3.1. Cách xác định giá trị định thức
3.1.1 Ma trận con
 a11

Cho A là ma trận vuông cấp n: A = a21
 ...

an1

a

a

12
22

...

a

n2



...
2n
... ... 

... ann
...

a
a

1n

Nếu ta bỏ đi dòng và cột chứa phần tử ai j, tức là bỏ dòng i và cột j của ma trận A
thì ta thu đƣợc ma trận vng cấp n -1 ký hiệu là Mi j gọi là ma trận con tƣơng
ứng với ai j
 a11


Ví dụ: Cho ma trận A = a21
a
 31

a
a
a

12
22

32



23

33

a
a
a

13

11




nếu ta bỏ đi hàng 1 và cột 1 thì ta đƣợc M11 = a22
a32



nếu bỏ đi hàng 2 cột 1 thì ta đƣợc M21 =  a12

a32

a
a



33
23


 , ...
33

a
a

13

3.1.2 Định thức của ma trận vuông
Cho A là ma trận vuông, định thức của A ký hiệu là det (A) hay | A| đƣợc định
nghĩa nhƣ sau:
A là ma trận cấp 1: A =

a   det(A) = a11
11



A là ma trận cấp 2: A =  a11

a22


 thì det(A) = a11 . M11 – a12. M12
22

a
a

12

3.1.3 Các phương pháp tính định thức
a. Định thức cấp 2:
|A| =

a a
a a
11

12

21

22

= a11 x a22 – a12 x a21

b. Định thức cấp 3:
|A| =

a a
a a
a a
11

12

21

22

31

32

a
a
a

13
23

= a11a22a33+a12a23a31+a21a32a13- a13 a22 a31 - a21 a12 a33 - a23 a32 a11

33

- Các số hạng mang dấu cộng đƣợc tính bằng tích các phần tử nằm trên đƣờng
chéo chính tích hai phần tử nằm trên mỗi đƣờng chéo song song với đƣờng chéo
chính với phần tử nằm ở góc đối diện.
- Các số hạng mang dấu trừ đƣợc tính bằng tích các phần tử nằm trên đƣờng chéo
phụ; tích hai phần tử nằm trên mỗi đƣờng chéo song song với đƣờng chéo phụ
với phần tử nằm ở góc đối diện.
c. Định thức cấp n:
* Phương pháp khai triển theo dòng, cột:
- Phần bù đại số: Cho ma trận A vuông cấp n. Ứng với mỗi phần tử a i j của A ta
có ma trận con Mi j và Ai j = (-1) i+j . det(Mi j) gọi là phần bù đại số của ai j.
1 2 3
Ví dụ: Cho ma trận A = 3 2 1  M12 =
2 1 3

=

3 1
2 3

= 7 = -7
12

3 1
1+2
2 3  A12 = (-1) det(M12)





Chú ý: Đối với tổng số mũ là chẵn thì kết quả để nguyên dấu, ngƣợc lại tổng số
mũ là lẻ thì kết quả đổi dấu.
- Định thức của A đƣợc tính theo một trong hai cơng thức sau:
|A| = ai1.Ai1 + ai2.Ai2 +...+ain.Ain

i  1, n

|A| = aj1.Aj1 + aj2.Aj2 +...+ajn.Ajn

j  1, n

Đây là hai cơng thức tính định thức theo cách khai triển dòng và cột cho phép
đƣa việc tính định thức cấp cao về việc tính định thức cấp thấp hơn.
Ví dụ: Tính định thức sau: Khai triển theo hàng 3
1
4
0
3

2
3
1
2

3
2
0

4
3+2

= (-1)

4
1
= 0.A31 + 1.A32 + 0.A33 + 2.A34 = A32 + 2.A34
2
1
1 3 4
1 2 3
3+4
4 2 1 + (-1)
4 3 2 = -35 + 15 = -20
3 4 1

3 2 4

* Biến đổi định thức về dạng tam giác:
a11

0
|A| = 
 ...

 0

a
a

12
22

...

a

n2



...
2n
= a11.a22…ann
... ... 

... ann
...

a
a

1n

Ví dụ: Cho định thức
1
1
|A| =
2

1

2
1
3
0

0
2
1
2

1
1 2
1
0 1
=
4
0 1
1
0 2
1
0
=4
0
0

0
2
0

2

1
0
=2
0

2 0
1 2
0 1
0 0

1 2
0 1
0 1
0 2

0
0
0
2

1
2
=2
0

1
0
0

0

2 0 1
1 2 0
1 2 0
0 1 2
=4
0 2 2
0 0 1
0 2 0
0 0 1

1
0
= -4
1
1

3.2. Tính chất của định thức
Tính chất 1: det(A) = det(At) hay |A| = |At|
Tính chất 2: Đổi chỗ hai dịng (cột) của định thơcs thì định thức đổi dấu.
Tính chất 3: Một định thức có hai dịng (cột) nhƣ nhau thì bằng 0
13

1
0
1
0

Tính chất 4: Một định thức có các phần tử nằm cùng một dịng (cột) = 0 thì định
thức = 0
Tính chất 5: Khi nhân các phần tử một dịng (cột) với cùng một số k thì đƣợc
định thức mới gấp k lần định thức ban đầu
Tính chất 6: Một định thức có 2 dịng (cột) tỉ lệ thì = 0
Tính chất 7: Khi tất cả các phần tử của một dịng (cột) có dạng tổng của hai số
hạng thì định thức có thể phân tích thành tổng của hai định thức.
Tính chất 8: Nếu định thức có chứa một dịng (cột) là tổ hợp tuyến tính của các
dịng (cột) khác thì định thức ấy = 0
Tính chất 9: Khi cộng bội k của dòng (cột) vào một dòng (cột) khác thì đƣợc
định thƣca mới bằng định thức cũ.
4. Ma trận nghịch đảo
4.1. Định nghĩa
Cho A là ma trận vuông cấp n. Ma trận nghịch đảo của ma trận A là ma trận A -1
với điều kiện |A|  0
4.2. Cách tìm ma trận nghịch đảo
Cách 1: Tìm ma trận nghịch đảo bằng ma trận phần bù đại số
Nếu A là ma trận vng có det(A)  0 thì tồn tại A-1 và A-1 đƣợc tìm nhƣ sau:
+ Tìm ma trận các phần bù đại số ứng với các phần tử của A : C = (Ai j)
+ Tìm Ct
+ A -1 =

1
t
.C
det( A)

1 2 3
Ví dụ: Cho ma trận A = 2 5 3 hãy tìm ma trận nghịch đảo A-1
1 0 8

Giải: Để tồn tại A-1 thì |A|  0
1 2 3
Ta có |A| = 2 5 3 = -1  0   A-1
1 0 8

Ta có: A11 = (-1)1+1

5 3
0 8

= 40; A12 = -13; A13 = -5

A21 = -16; A22 = 5; A23 = 2; A31 = -9; A32 = 3; A33 = 1
 40  13  5
 40  16  9
 40  16  9
1 
t
-1




  16 5
2   C =  13 5
3  A =
 13 5
3 


1
  9
  5
  5
3
1 
2
1 
2
1 

14


 40 16 9 
=  13  5  3
 5
 2  1

Cách 2: Dựa vào các phép biến đổi về dòng của ma trận A
- Nhân các phần tử của 1 dòng với một số  0
- Đổi chỗ hai dòng
- Cộng bội k của một dòng vào dịng khác
5. Hệ phương trình tuyến tính
5.1. Khái niệm
Hệ phƣơng trình tuyến tính là hệ có dạng
a11 x1a12 x2  .......  a1n xn  b1

a21 x2  a22 x2  .....  a2 n xn  b2


.........................................................

am1 x1  am 2 x2  ......  amn xn  bm

(1)

Trong đó:
x1, x2,..., xn là các ẩn số
ai j và bi ( i = 1, m ; j  1, n ) là các hệ số
Hệ phƣơng trình tuyến tính có thể viết gọn nhƣ sau:
n
 aij x j  bi
 j 1

i  1, m

Từ hệ phƣơng trình tuyến tính (1) ta có thể lập đƣợc các ma trận sau đây
 a11

A = a21
 ...

an1

a
a

12
22

...

a

n2



...
2n
;B=
... ... 

... ann
...

a
a

1n


 x1 
 b1 
 a11
 
 
 b2  ; X =  x 2  ; A = a21
 ...
 ... 

 ... 

 
 
an1
 x n 
bm 


Trong đó:
A là ma trận hệ số
B là ma trận hệ số tự do
X là ma trận ẩn
A là ma trận hệ số mở rộng
 hệ (1) có thể viết dƣới dạng phƣơng trình: A .X = B.

15

a
a

12
22

...

a

n2



...
2n
2
... ... .. 

... ann 
bm 
...

a b
a b
1n

1


5.2. Phương pháp giải
5.2.1 Các dạng hệ phương trình tuyến tính
a. Hệ thuần nhất:
Là hệ phƣơng trình tuyến tính có các hệ số tự do b1 = b2 = …= bm=0
Dễ thấy rằng hệ thuần nhất ln có ít nhất một nghiệm
x1 = x2 = …= xm=0
b. Hệ tam giác là hệ phương trình có dạng
a11 x1a12 x2  .......  a1n xn  b1


a22 x2  .....  a2n xn  b2


.........................................................

ann xn  bn


Trong đó ai j  0 i  1, n
Dễ dàng tìm nghiệm của hệ tam giác bằng cách xác định lần lƣợt xn, xn-1,...,xi
theo thứ tự từ phƣơng trình dƣới cùng trở lên.
Hệ tam giác có nghiệm duy nhất.
Ví dụ: Giải hệ phƣơng trình:
2 x  x  x  5
3
2
 1

 x2  x  1

3

 6 x3  6


(1)
(2)
(3)

Từ phƣơng trình (3) ta có: x3 = -1
Thay vào (2): -x2 – 3(-1) = 1
Thay x3, x2 vào (1): 2x1 + 2 – (-1) = 5
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1, 2, -1)

c. Hệ hình thang
Là hệ phƣơng trình tuyến tính có dạng:
a11 x1a12 x2  ...  a1s xs  ...  a1n xn  b1

a22 x2  .....  a 2s x s ... a2n xn  b2


...........................................................................


a ss x s ... ann xn  bs

(Trong đó s < n và ai j  0 i  1, s )
Các ẩn xn, xn-1,...,xi gọi là các ẩn chính, các ẩn còn lại gọi là ẩn tự do chuyển tất
cả các số hạng chứa ẩn tự do sang vế phải ta đƣợc.
16


a11 x1a12 x2  ...  a1s xs  b1 _ a1s xs 1 _ ... _ a1n xn

a22 x2  .....  a2 s xs  b2 _ a2 s xs 1 _ ... _ a2n xn

...........................................................................


a ss x s  bs _ ass xs 1 _ ... _ asn xn


Gắn cho mỗi ẩn tự do một giá trị tùy ý
xs+1 = αs+1,..., xn = αn

khi đó hệ trên trở thành hệ tam giác đối với các ẩn chính, giải hệ này ta đƣợc
x1 = α1,
x2 = α2,..., xs = αs.
Nhƣ vậy (α1, α2,...,αs, αs+1,...,αn) là một hệ đã cho vì αs+1,..., αnchọn tùy ý nên hệ
hình thang có vơ số nghiệm.
d. Hệ Crame: Là hệ phƣơng trình tuyến tính có ma trận là ma trận vng khơng
suy biến (ma trận có định thức  0)
a11 x1a12 x 2  .......  a1n x n  b1


 .....  a 2 n x n  b2

Hệ Crame là hệ có dạng: a 21 x2 a 22 x2
.........................................................

a n1 x1  a n 2 x 2  ......  a nn x n  bm

Có thể viết dƣới dạng phƣơng trình nhƣ sau: A.X = B
Trong đó:
A là ma trận hệ số
X là ma trận ẩn
B là ma trận hệ số tự do
 a11

A = a21
 ...

an1

a

a

12
22

...

a

n2



...
2n
;B=
... ... 

... ann
...

a
a

1n

 b1 
 x1 
 
 

 b2  ; X =  x 2 
 ... 
 ... 
 
 
 x n 
bm 

Hệ Crame có nghiệm duy nhất
5.2.2 Phương pháp giải
a. Phương pháp Crame (chỉ dùng để giải hệ Crame)
a11 x1a12 x2  .......  a1n xn  b1


 .....  a2 n xn  b2

Cho hệ Crame là hệ có dạng: a21 x2 a22 x2
.........................................................

an1 x1  an 2 x2  ......  ann xn  bm

17


 a11

Đặt d = a21
 ...

an1

 a11

dj = a21
 ...

an1

12
22

...

a

n2

a
a

1n



...
2
2n 
=

...

...

... bn ... ann 
...

a
a

12
22

...

a


a11

...
2n
= a21
... ... 
...

... ann
an1
...

a
a

n2

b ... a
b ... a
1

a
a

12

...

22

...

a

...

...

a
a

11

1n

21

...

a

n1

...

n2

1n
2n

...

a

12

...

22

...

a
a

...

a

a
a

b1...a
b 2...a

1n

...

...

2n

b m...a

...

n2

mn

mn

(cột J)

dj (với j= 1, n ) là định thức của ma trận hệ số sau khi thay cột thứ J bằng cột hệ số
tự do.
Hệ có nghiệm duy nhất: xj =

d

( j 1, n)

j

d

Ví dụ: Giải hệ phƣơng trình sau.
 x1  3x2  2 x3   3

2 x1  x2  3x3  6

3x1  x2  4 x3 11
3 3 2
2
1
3 = 40
3 = 20  0; d1 = 6
11  1 4
3 1 4

1
Ta có: d = 2

3

1

1 3 2
d2 = 2 6 3 = -20;
3 11 4

x1 =

d

x2 =

d

x3 =

d

1

=

40
=2
20

2

=

 20
-1
20

3

=

20
=1
20

d
d

d

1
d3 = 2

3
1

3
6 = 20

3  1 11

vậy nghiệm của hệ phƣơng trình là (2, -1, 1)
b. Giải hệ bằng phương pháp Gauss:

- Lập ma trận hệ số mở rộng, dùng các phép biến đổi ma trận để đƣa ma trận hệ
số mở rộng thành ma trận tam giác hoặc hình thang. Khi đó ta đƣợc hệ phƣơng
trình tuyến tính dạng tam giác hoặc hình thang.
18


 x1  2 x2  x3  x4  1




4
Ví dụ: Giải hệ phƣơng trình sau:   2 x1 3x2 7 x3 3x4
3x1  8x2 11x3  3x4   2
  x  5x  4 x  2 x 10
1
2
3
4

1
2 5 1 1 


2 3 7
3 4 

Giải: Ta lập ma trận hệ số mở rộng  =
3
8  11  3  2



4
2 10 
  1 5

Dùng phép biến đổi để đƣa ma trận A về ma trận tam giác dƣới bằng cách nhân 2
vào hàng 1 sau đó cộng xuống hàng 2 theo đúng vị trí.
Tƣơng tự ta lấy -3 nhân với hàng 1 và cộng xuống hàng 3
Lấy 1 nhân với hàng 1 sau đó cộng xuống hàng 4
.......................................................................
Biến đổi làm sao để toàn bộ giá trị ở tam giác dƣới về 0
1

0

0

0

1
2 5 1 1 


1 3 5 6 
0

0
2 4  6  5



7  1 3 1 
0

1 2  5 1 1 
2 5
1 1 



1 3
5 6 
0 1 3 5 6 


0 0 10  16  17
0 10  16  17



0 20  32  31
0 3 
0 0 0

Hệ phƣơng trình chứa một phƣơng trình vơ nghiệm là:
0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 3 nên hệ vô nghiệm
6. Bài tập
Bài 1: Thực hiện phép tính.
a.

1 2 3
5 4 3 
 1 0 1 
2
+
 4 5 6
8 7 15





 0 1  1

3

6  1 0 0 
1 3
 1  1 2




b.  6 2  3 - 0 1 0 + 3  2 0 1
 3  3 2  0 0 1
  1 1 0
6
1 3
1 0 0 



c. 4.  6 2  3 + 0 1 0 - 2
0 0 1
 3  3 2 

 1  1 2
 2 0 1 


  1 1 0

Bài 2: Tính các định thức sau
19


1 2 3
a. 4 5 6
7 8 9

1
0
b.
2
7

2
1
3
5

3
4
4
2

4
3
5
1

1
c. 2

2
3

3
1

3 1

1
d. 2

3
1

3
6

3  1 11

4

Bài 3: Giải hệ phƣơng trình
3x1  8x2  20 x3  31

b. 9 x1  4 x2  5x3 10

15x1  4 x2 10 x3  29

 x1  x2  2 x3   1

a. 2 x1  x2  2 x3   4

4 x1  x2  4 x3   2

 x1  2 x2  20 x3  3x4  1

3x1  2 x2  x3  2 x4   4
c. 
2 x1  3x2  x3  x4   6

 x1  2 x2  3x3  x4   4

2 x1  x2  20 x3  3x4  2

 x1  2 x2  x3  2 x4   7
d. 
2 x1  x2  3x3  2 x4  6


 x1  2 x2  3x3  5 x4  4

Bài 4: Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau
6
1 3

a.  6 2  3
 3  3 2 

2 5 1 
1
 2  3 7
3 
c. 
3
8  11  3


4
2
1 5

 1  1 2
b.  2 0 1
  1 1 0

 3 12 6 
d. 1 / 2 2 13
 2  3 2 

Bài 5: Giải hệ sau bằng phƣơng pháp Crame:
 x1  2 x2  20 x3  3x4  1

3x1  2 x2  x3  2 x4   4
b. 
2 x1  3x2  x3  x4   6

 x1  2 x2  3x3  x4   4

2 x1  x2  20 x3  3x4  2

 x1  2 x2  x3  2 x4   7
a. 
2 x1  x2  3x3  2 x4  6

 x1  2 x2  3x3  5 x4  4

Bài 6: Giải hệ sau bằng phƣơng pháp Gauss
 x1  2 x2  5x3  3x4  10

 x1  2 x2  2 x3  2 x4   4
a. 
2 x1  3x2  x3  x4   6

 x1  2 x2  3x3  x4   4

2 x1  x2  20 x3  3x4  2

 x1  2 x2  x3  2 x4   8

b. 
2 x1  x2  3x3  2 x4  2

 x1  2 x2  3x3  5 x4  4

20


Chương 2: Phương pháp đơn hình và Bài tốn đối ngẫu
1. Các khái niệm, tính chất chung của bài tốn quy hoạch tuyến tính
1.1. Một số ví dụ thực tế dẫn đến bài tốn quy hoạch tuyến tính
Ví dụ 1
Nhân dịp tết trung thu, 1 xí nghiệp muốn sản xuất 3 loại bánh: Đậu xanh, thập
cẩm, bánh dẻo nhân đậu xanh. Để sản xuất 3 loại bánh này, xí nghiệp phải có
đƣờng, đậu, bột, trứng, mứt, lạp xƣởng…Gỉa sử số đƣờng có thể chuẩn bị đƣợc là
500kg, đậu là 300kg, các nguyên liệu khác muốn có bao nhiêu cũng đƣợc. Lƣợng
đƣờng, đậu và số tiền lãi khi bán 1 chiếc bánh mỗi loại cho trong bảng:
Bánh đậu xanh

Bánh thập cẩm

Bánh dẻo

Đƣờng: 500kg

0,06kg

0,04kg

0,07kg

Đậu: 300kg

0,08kg

0

0,04kg

Lãi:

2 ngàn

1,7 ngàn

1,8 ngàn

Bánh
Nguyên liệu

Cần lập kế hoạch sản xuất mỗi loại bánh bao nhiêu cái để không bị động về
đƣờng, đậu và tổng số lãi thu đƣợc là lớn nhất (nếu sản suất ra bao nhiêu cũng
bán hết)
Bài giải
Ph n tích:
Gọi x1; x2 ; x3 lần lƣợt là số lƣợng bánh đậu xanh, thập cẩm, bánh dẻo cần làm
1. Điều kiện của ẩn: xi  0, i  1,3 .
2. Tổng số đƣờng: 0,06 x  0,04 x  0,07 x
1
2

3
Tổng số đậu: 0,08x  0, x  0,04 x
1
2
3
Tổng tiền lãi: 2 x1  1,7 x2  1,8x3
Ta có mơ hình tốn h c của bài toán:
1 f x   2 x1  1,7 x 2  1,8 x3  max

2
3

0,06 x1  0,04 x 2  0,07 x 3  500

 0,08 x1  0.x 2  0,04 x 3  300
x j  0, j  1.3

Mơ hình tốn h c dư i dạng ma trận:
Ma trận ràng buộc:
21


0,06
A
0,08

0,04
0

0,07

0,04

500
B
 véc tơ số hạng tự do.
300


x  x1; x2 ; x3  là véc tơ ẩn số.

Một véc tơ x  x1; x2 ; x3  thỏa (2) và(3) gọi là 1 phƣơng án của bài toán.

Một phƣơng án x  x1; x2 ; x3  thỏa (1) gọi là 1 phƣơng án tối ƣu của bài tốn.

Ví dụ 2: Marketing: Lựa chọn phƣơng tiện thông tin – quảng cáo thiếp thị có
hiệu quả.
Tình huống: Một cơng ty kinh doanh thƣơng mại chuẩn bị cho một đợt khuyến
mại nhằm thu hút khách hàng bằng cách tiến hành quảng cáo sản phẩm của công
ty trên hệ thống phát thanh và truyền hình. Chi phí cho một phút quảng cáo trên
sóng phát thanh là 80.000đ, trên sóng truyền hình là 400.000đ. Đài phat thanh chỉ
nhận phát các các chƣơng trình quảng cáo dài ít nhất là 5 phút. Do nhu cầu quảng
cáo trên truyền hình rất lớn nên đài truyền hình chỉ nhận phát các chƣơng trình
dài tối đa là 4 phút. Theo các phân tích xã hội học, cùng thời lƣợng 1 phút quảng
cáo, trên truyền hình sẽ có hiệu quả gấp 6 lần trên sóng phát thanh. Cơng ty dự
định chi tối đa là 1.600.000đ cho quảng cáo. Công ty nên đặt thời lƣợng quảng
cáo trên sóng phát thanh và truyền hình nhƣ thế nào để hiệu quả nhất.
Mơ hình hóa: Gọi thời lƣợng cơng ty dự định đặt quảng cáo trên sóng phát thanh
là x1 (phút), trên truyền hình là x2 (phút). Chi phí cho việc này là 80.000x1 +
400.000x2. Mức chi này không đƣợc phép vƣợt quá mức chi tối đa, tức là
80.000x1 + 400.000x2≤ 1.600.000đ.

Do các điều kiện đài phát thanh, truyền hình đƣa ra, ta phải có x1 ≥ 5, x2≤ 4.
Đồng thời do x1, x2 là thời lƣợng nên x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. Hiệu quả chung của quảng
cáo là x1 + 6x2.
Nhƣ vậy chúng ta có bài tốn:
Xác định x1, x2 sao cho: x1 + 6x2  Max
Với các điều kiện: 80.000x1 + 400.000x2≤ 1.600.000đ.
x1 ≥ 5, x2≤ 4 và x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
bài tốn có cấu trúc nhƣ trên gọi là bài tốn QHTT.
Ví dụ 3: Đầu tư tài chính: Lựa chọn danh mục đầu tƣ
Tình huống: Một cơng ty đầu tƣ dự định dùng khoản quỹ đầu tƣ 500.000 triệu
đồng để mua một số cổ phiếu trên thih trƣờng chứng khốn. Cơng ty đƣa ra các
22


giới hạn trên của số tiền mua từng loại chứng khốn nhằm đa dạng hóa danh mục
đầu tƣ để ngừa rủi ro. Bảng dƣới đay cho các số liệu về các giới hạn này cũng
nhƣ lãi suất của các chứng khốn
Loại chứng khốn

Lãi suất (Trung bình)

Giới hạn mua

A

7% / năm

100.000 tr

B

8,5% / năm

300.000 tr

C

7,8% / năm

250.000 tr

D

8,2% / năm

320.000 tr

Ngoài ra, cũng để ngăn ngừa rủi ro trong đầu tƣ, cơng ty cịn quy định khoản đầu
tƣ vào loại cổ phiếu A và C phải chiếm ít nhất 55%, loại cổ phiếu B phải chiếm ít
nhất 15% trong tổng số tiền đầu tƣ thực hiện. Hãy xác định số tiền công ty sẽ
mua từng loại cổ phiếu (một danh mục đầu tƣ) sao cho không vƣợt quá khoản dự
kiến ban đầu, đảm bảo địi hỏi về đa dạng hóa đồng thời đạt mức lãi (trung bình)
cao nhất.
Mơ hình hóa: Gọi xA, xB, xC, xD là các khoản tiền từ quỹ đầu tƣ dùng để mua các
loại chứng khoán A, B, C, D. Rõ ràng là xA, xB, xC, xD  0. Từ điều kiện về đa
dạng hóa và về quy mô đầu tƣ ta thấy:
xA  100.000, xB  300.000, xC  250.000, xD  320.000
xA + xC  0,55 (xA+ xB + xC + xD)
xB  0,15 (xA+ xB + xC + xD)
xA+ xB + xC + xD  500.000

Mức lãi tƣơng ứng với danh mục (xA+ xB + xC + xD) là:
0,07xA + 0,085xB + 0,078xC + 0,082xD  Max
Với các điều kiện:
xA + xC  0,55 (xA+ xB + xC + xD)
xB  0,15 (xA+ xB + xC + xD)
xA+ xB + xC + xD  500.000
0  xA  100.000,
0  xB  300.000
0  xC  250.000
0  xD  320.000
Ví dụ 4:
Có 3 xí nghiệp may cùng có thể sản xuất áo vét và quần. Do trình độ cơng nhân,
tài tổ chức, mức trang bị kỹ thuật…khác nhau, nên hiệu quả của đồng vốn ở các
23


xí nghiệp cũng khác nhau. Gỉa sử đầu tƣ 1000 vào mỗi xí nghiệp thì cuối kỳ ta
có kết quả
Xí nghiệp 1: 35 áo 45 quần.
Xí nghiệp 2: 40 áo 42 quần.
Xí nghiệp 3: 43 áo 30 quần.
Lƣợng vải và số giờ công cần thiết để sản xuất 1 áo hoặc 1 quần ( gọi là suất tiêu
hao nguyên liệu và lao động) đƣợc cho ở bảng sau:
XN
1

2

3

Sản phẩm
Áo vét

3.5m

20h

Quần

2.8m

10h 2.6m

4m

16h

3.8m

18h

12h 2.5m

15h

Tổng số vải và giờ cơng lao động có thể huy động đƣợc cho cả 3 xí nghiệp là
10.000m và 52.000 giờ cơng.
Theo hợp đồng kinh doanh thì cuối kỳ phải có tối thiểu 1500 bộ quần áo. Do đặc
điểm hàng hóa, nếu lẻ bộ chỉ có quần là dễ bán.
Hãy lập kế hoạch đầu tƣ vào mỗi xí nghiệp bao nhiêu vốn để :

- Hoàn thành kế hoạch sản phẩm.
- Khơng khó khăn về tiêu thụ.
- Khơng bị động về vải và tiêu thụ.
- Tổng số vốn đầu tƣ nhỏ nhất là điều nổi bật cần quan tâm.
Phân tích:
1)Gọi x1; x2 ; x3 lần lƣợt là số đơn vị vốn đầu tƣ ( 1000 ) vào mỗi xí nghiệp.
Ta có: x j  0, j  1,3
2)Tổng số áo của 3 XN: 35x1  40 x2  43x3 ,
3)Tổng số quần của 3 XN: 45x1  42 x2  30 x3 ,
Để khơng khó khăn về tiêu thụ thì:
45x1  42 x2  30 x3  35x1  40 x2  43x3  10 x1  2 x2  13x3  0
4)Tổng số bộ quần áo= Tổng số áo của 3 XN: 35x1  40 x2  43x3 ,
5) Tổng số mét vải của 3 xí nghiệp ( dùng để may áo và quần ):

24


3.5  35x1  4  40x2  3.8  43x3

2.8  45x1  2.6  42x2  2.5  30x3
248.5 x1

 269.2 x2  238.4 x3

6) Tổng số giờ cơng của 3 xí nghiệp:

20  35x1  16  40x2  18  43x3

10  45x1  12  42x2  15  30x3
1150x1

 1144x2  1224x3

7) Tổng số vốn đẩu tƣ( đơn vị: 1000 ): x1  x2  x3
Mơ hình tốn học

1 f x   x1  x2  x3  min

10 x1  2 x2  13x3  0


35 x1  40 x2  43x3  1500
2
248.5 x1  269.2 x2  238.4 x3  10000
 1150 x1  1144 x2  1224 x3  52000

3x j  0, j  1,3

Mơ hình tốn học dƣới dạng ma trận:

2
 13 
 0 
 10
 1500 
 35
40
43 




A
, B
10000 
248.5 269.2 238.4




52000
 1150 1144 1224 
1.2. Bài tốn quy hoạch tuyến tính và các dạng đặc biệt
1.2.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính và các khái niệm
a. Bài tốn quy hoạch tuyến tính
Mơ hình bài tốn đƣợc thiết lập từ các ví dụ trên tuy nhiên có khác nhau về nội
dung phản ảnh nhƣng xét về hình thức, về cấu trúc, chúng đều có tính chất tƣơng
tự. Chúng đều là bài toán cực trị (cực tiểu hoặc cực đại) của một hàm tuyến tính
trên một tập hợp đƣợc mô tả bởi một hệ thống hỗn hợp các phƣơng trình hoặc bất
phƣơng trình tuyến tính. Một cách tổng qt, mơ hình bài tốn quy hoạch tuyến
tính có dạng nhƣ sau:
25


f(x) =

n

c x
j 1

j

n

 a x b
j 1

ij

j

(1.2)

i

(i  I2)

(1.3)

(i  I3)

(1.4)

n

a x  b
j 1

ij

(1.1)

(i  I1)

 a x b
ij

 Min (Max)

i

j

n

j 1

j

i

j

Trong đó I1, I2, I3 là tập các chỉ số (I1, I2, I3 không giao nhau);
ta sẽ kí hiệu I =I1  I2  I3
ai j, bi, cj với i  I, j = 1, n là các hằng số (có thể là tham số)
xj với j = 1, n là các biến số (ẩn số) của bài tốn.
Rõ ràng bài tốn QHTT là một mơ hình toán kinh tế với các biến nội sinh là z,
xj(j = 1, n ); các biến ngoại sinh là ai j, bi, cj với i  I, j = 1, n .
b. Một số khái niệm

- Hàm f(x) gọi là hàm mục tiêu
- Hệ (1.2) đến (1.4) gọi là hệ ràng buộc (hệ điều kiện) của bài toán.
- Với mỗi chỉ số i  I ta có một phƣơng trình hoặc bất phƣơng trình tƣơng ứng và
đƣợc gọi là ràng buộc thứ i.
Ứng với mỗi ràng buộc thứ i ta có vec tơ (vec tơ dịng) bao gồm thành phần là
các hệ số ai j của các biến xj trong ràng buộc đó.
Ta kí hiệu vec tơ này là

 . Một nhóm ràn buộc có hệ vec tơ  tƣơng ứng độc
*

*

i

i

lập tuyến tính đƣợc gọi là các ràng buộc độc lập tuyến tính.
Giải 1 bài tốn QHTT ta đi tìm phƣơng án tối ƣu hoặc chỉ ra bài tốn khơng có
phƣơng án tối ƣu.
1.2.2 Các dạng đặc biệt
a. Bài tốn dạng chính tắc
TH1: Nếu các ràng buộc của bài tốn khơng có ràng buộc về dấu thì bài tốn có
dạng dƣới đây gọi là bái tốn QHTT dạng chính tắc:
f(x) =

n

c x
j 1

j

n

 a x b
j 1

ij

j

i

j

 Min (Max)

(1.5)

(i = 1, m )

(1.6)

xj  0 (j = 1, n )

(1.7)
26