Tài liệu Đại lượng ngẫu nhiên_chương 5 pptx

Chươn
g
II. ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN
§1. Luật phân phối của đại lượn
g
n
g
ẫu nhiên
1.1. Khái niệm về đại lượng ngẫu nhiên
Tron
g
phép thử, ta quan tâm đến sự xuất hiện của
biến cố A nào đó. Đặc trưn
g
đònh lượn
g
tron
g
kết
quả là đại lượng ngẫu nhiên (biến ngẫu nhiên), k
y
ù
hiệu: X, Y, Z, …
VD: Bắn liên tiếp n viên đạn độc lập vào bia, gọi X
là số viên đạn trúng đích
X {0, 1, 2, , n}Þ=
.
1.2. Luật phân phối của đại lượng ngẫu nhiên
1.2.1. Trường hợp rời rạc
Xét
12 n

X {x , x , , x }=
với xác suất tương ứng là
jj
p P[X x ], j 1,2, ,n== =
. Ta có bảng phân
phối
Xx
1
x
2
…x
j
…
x
n
P
X
p
1
p
2
…p
j
…p
n
Tại x bất kỳ thì
j
j
xx
F(x) p

<
=
å
và
kk1k1k
P[x X x ] F(x ) F(x )
++
£< = -
.
Hàm phân phối
Giả sử
12 n
xx x<<<
, ta có hàm phân phối
1
11 2
122 3
1 2 n1 n1 n
n
0, x x
p , x x x
pp, x xx
F(x)

p p p , x x x
1, x x

£
ì
ï

ï
ï
ï
<£
ï
ï
ï
+<£
ï
ï
=
í
ï
ï
ï
ï
+++ <£
ï
ï
ï
ï
>
ï
ỵ

Giải
Ta có
X
{
0;1; 2; 3

}
=
.
k3k
54
3
9
CC
P[X k] , k 0;1;2;3
C
-
== =

VD: Một lô sp có 5 sp tốt và 4 sp xấu. Lấy ngẫu
nhiên từ lô ra 3 sp. Gọi X là số sp tốt trong 3 sp lấy
ra. Tìm phân phối xác suất của X, viết hàm phân
phối và tính
P[1 X 3
]
£<
.
0, x 0
1
, 0 x 1
21
17
F(x) , 1 x 2
42
37
, 2 x 3

42
1, x 3
£
ì
ï
ï
ï
ï
ï
<£
ï
ï
ï
ï
ï
ï
=<£
í
ï
ï
ï
ï
ï
<£
ï
ï
ï
ï
>
ï

ï
î
37 1 35
P[1 X 3] F(3) F(1)
42 21 42
£<= - = - =
.
1.2.2. Trường hợp liên tục
X nhận các
g
iá trò lấp đầ
y
(a; b) (a, b có thể vô
hạn). Ứng với mỗi
x(a;b)
Ỵ
, xác suất tại x k
y
ù hiệu
là
f(x) 0³
và
b
a
f(x)dx 1=
ò
.
Ta có
P[ X ] f(x)dx, (a b)
b

a
a£ £b= £a<b£
ò

§2. Một số luật phân phối đặc biệt
2.1. Trường hợp rời rạc
2.1.1. Phân phối siêu bội
A
X H(N,N ,n)
Ỵ

Xét tập có N phần tử, tron
g
đó có N
A
phần tử có
tính chất A. Từ tập đó lấ
y
ra n phần tử. Gọi X là so
á
phần tử có tính chất A thì X có phân phối siêu bội.
Đònh n
g
hóa
Phân phối siêu bội là phân phối của đại lượn
g
ngẫu nhiên rời rạc X = {0; 1; 2; …; n} với xác suất
tương ứng là
AA
knk

NNN
k
n
N
CC
pP[Xk]
C
-
-
===

VD: Từ bộ bài 52 câ
y
có 4 câ
y
At, lấ
y
ra 3 câ
y
.
Tính xác suất để có 2 cây At.
Giải
Gọi X là số At trong 3 cây lấy ra,
XH(52,4,3)
Ỵ
.
21
448
3
52

CC
P[X 2] 0,01
C
Þ== »
.
2.1.2. Phân phối nhò thức
XB(n,p)
Ỵ
Dãy phép thử Bernoulli là dãy n phép thử thỏa 3
điều kiện
i/ Các phép thử độc lập với nhau.
ii/ Tron
g
mỗi phép thử ta chỉ quan tâm đến 1 b.c A.
iii/ Trong mỗi phép thử xác suất thắng lợi luôn là
hằng số
P(A) p,P(A) 1 p q, (0 p 1)==-=<<
Đònh n
g
hóa
Phân phối nhò thức là phân phối của đại lượn
g
n
g
ẫu
nhiên rời rạc X = {0; 1; 2; …; n} với xác suất tươn
g

ứng là
kknk

kn
pP[Xk]Cpq
-
===
.
VD: Chơi 10 ván bầu cua liên tiếp, tìm xác suất để
có ít nhất 1 ván cửa cua thắng.
Giải
Chơi 10 ván là 10 phép thử độc lập (n = 10).
Gọi A: “cửa cua thắng”
1
P(A)
6
Þ=
.
X: số ván cửa cua thắng
(
)
1
XB10,
6
ÞỴ

P[X 1] 1 P[X 1] 1 P[X 0]³=- <=- =
()
()
0
10
0
10

15
1 C 83, 85%
66
=- »
.
VD
Xác suất để 1 con gà đẻ là 0,6. Trong chuồng có 10
con. Tính xác suất để trong 1 ngày có
a/ 10 con gà đẻ; b/ 8 con đẻ; c/ tất cả không đẻ.
Giải
X = {0;1;2; ;10}, n = 10, p = 0,6

X B(10;0,6)Þ
Ỵ
.
kk10k
10
P[X k] C (0,6) (0,4)
-
==
.
Bài tập
Bắn liên tiếp 3 viên đạn độc lập vào bia. Xác suấ
t

trúng đích của mỗi viên là 0,6. Gọi X là số viên
đạn trúng đích. Lập bảng phân phối của X và viết
hàm phân phối.
Đặc biệt
Khi n = 1 ta có phân phối Bernoulli

XB(p)
Ỵ

X 0 1
P
X
q p
2.1.3. Phân phối Poisson
XP(),
0
Ỵ
ll>
Phân phối của đại lượn
g
n
g
ẫu nhiên rời rạc X nhận
các giá trò 0, 1, 2, … , k, … với xác suất tương ứng là
k
k
e.
pP[Xk]
k!
-l
l
===
.
Đònh ly
ù

Khi n lớn và p bé thì
XB(n,p)XP(), np.
Ỵ
»
Ỵ
ll=

Đònh ly
ù
Khi
N
n>>
thì
A
A
N
X H(N,N ,n) X B(n,p),p .
N
Ỵ»Ỵ=

VD
Một lô hàn
g
có 1% phế phẩm. Tìm xác suất để khi
chọn ra 500 sản phẩm có
a/ Tất cả đều tốt; b/ 1 phế phẩm.
Giải
X B(500;0, 01), np 500x0, 01 5
Ỵ
l= = =

.
a/
50
e.5
P[X 0]
0!
-
==
.
b/
51
e.5
P[X 1]
1!
-
==
.
2.1.4. Phân phối chuẩn
()
2
XN, , 0, constỴmss>m=
.
Phân phối của đại lượng ngẫu nhiên liên tục X
nhận giá trò trên R với hàm mật độ phân phối
2
2
(x )

2
1

f(x) e
2
-m
-
s
=
s
p
.
a. Phân phối chuẩn đơn
g
iản
()
TN0,1, 1, 0
Ỵ
s= m=
.
Hàm mật độ phân phối
Tích phân Laplace
2
t
2
1
f(t) e
2
-
=
p
.
2

x
t

2
0
1
(x)= e dt=P[0 T x],T N(0,1)
2
-
j
££ Ỵ
p
ò
Tính chaát
i/
(x) (x)
j
-=-j
.
ii/
P[ T ] ( ) ( )a£ £b=jb-ja
.
VD
TN(0,1),P[3T1] (1) (3)
Î
-£ £ =
j
+
j

0, 3413 0, 4987 0, 84=+=
.
b. Toång quaùt
(
)
2
XN,Îms
Ñaët
(
)
X
TTN0,1
-m
=ÞÎ
s
.
Phöôn
g
phaùp tính
Cho
(
)
2
XN,Îms
, tính
12
P[x X x ]££
.
Ñaët

12
xx
,
-m -
m
a= b=
ss

12
P[x X x ] ( ) ( )Þ££=jb-ja
.
VD
Trọng lượng của 1 loại sản phẩm X có phân phối
chuẩn với
10kg, 0, 5m= s =
. Tính tỉ lệ những sản
phẩm có trọng lượng từ
9, 5kg 11kg®
.
Giải
11 10 9, 5 10
P[9,5 X 11]
0, 5 0, 5

ỉưỉ
ư
÷
÷
çç
££ =j -j

÷
÷
÷
÷
çç
èøè
ø

(2) ( 1) 0, 82=
j
-
j
-=
.
2.1.5. Phân phối
2
n
c
(khi bình phươn
g
)
Cho n đại lượn
g
n
g
ẫu nhiên độc lập X
j
(
j
= 1,2,

…
,n)
có phân phối chuẩn
(
)
2
j
XN,Ỵms
. Khi đó đại
lượng ngẫu nhiên
()
n
2
2
nj
2
j1
1
X
=
c= -m
s
å
có phân
phối
2
c
với n bậc tự do với hàm mật độ
()
2

nx
1
xt t
22
n
0
2
0, x 0
x.e
f(x)= , (x) t edt
,x 0
n
2.
2
+¥


c
£
ì
ï
ï
ï
ï
ï
G=
í
>
ï
ï

ï
G
ï
ï
ỵ
ò

Với
TN(0,1)
Ỵ
, thì
n
2
n
T
T
n
=
c
có phân phối
Student với n bậc tự do và hàm mật độ
()
()
n
n1
2
2
T
n1
x

2
f(x) 1
n
n
n.
2
+
-
+
G
ỉư
÷
ç
=+
÷
ç
÷
ç
èø
pG

2.1.6. Phân phối Student
n
T