các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 9 phần 01

Chuyên đề 1: Biến đổi đại số
1.1 CĂN THỨC BẬC 2
Kiến thức cần nhớ:

•
•

Căn bậc hai của số thực

a

là số thực

x

sao cho

a

Cho số thực không âm. Căn bậc hai số học của
x
a
âm mà bình phương của nó bằng :
a ≥ 0
x ≥ 0

⇔ 2

 a=x
x = a


a

.
a

kí hiệu là

Với hai số thực khơng âm
ta có:
.
Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần lưu ý:
A
A≥0
A2 = A = 
A<0
− A
+
nếu

A2 B = A B = A B
+

A.B
=
B2

A.B
B

+

A2 B = A B = − A B

A, B ≥ 0

với

A
=
B

;

+

với

AB ≥ 0, B ≠ 0

với

A>0

(

;(Đây gọi là phép khử căn thức ở mẫu)

M Am B
M

=
A− B
A± B

)

A, B ≥ 0, A ≠ B

+
với
1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n.

(Đây gọi là phép trục căn thức ở mẫu)

1.2.1 CĂN THỨC BẬC 3.
Kiến thức cần nhớ:

Căn bậc 3 của một số

a

3

1

Cho

a

kí hiệu là

a ∈ R; 3 a = x ⇔ x 3 =
•

A < 0; B ≥ 0

với
M
M. A
=
A
A

•

là một số thực khơng

a ≤ b ⇔ a ≤b

a, b

•
•

x2 = a

( a)
3

3

=a

là số

x

sao cho

x3 = a


•

Mỗi số thực

a

đều có duy nhất một căn bậc 3.
a >0
a>0
Nếu
thì
.
3
a <0
a<0
Nếu
thì
.

3
a =0
a=0
Nếu
thì
.
3

•
•
•

3

•
•
•
•

b≠0
với mọi
.
3
3
3
a, b
ab = a . b
với mọi
.
3

3
a.
A3 B =
3

•

A
=
B

3

3

A3 B

.

AB 2
B
với

3

•
3

•

1.2.2

a 3a
=
b 3b

B≠0

A 3 A
=
B
B3
1
=
A±3 B

3

A2 m3 AB + 3 B 2
A± B

với

A ≠ ±B

.

CĂN THỨC BẬC n.
a ∈ R, n ∈ N ; n ≥ 2
n

a
n
Cho số
. Căn bậc của một số là một số mà lũy thừa bậc của nó
bằng a.
n = 2k + 1, k ∈ N
n
• Trường hợp là số lẻ:
a
Mọi số thực đều có một căn bậc lẻ duy nhất:
2 k +1
2 k +1
2 k +1
a = x ⇔ x 2 k +1 = a
a >0
a <0
a>0
a<0
a=0
, nếu
thì
, nếu
thì
, nếu
thì
2 k +1

•

2

a =0

Trường hợp

n

n = 2k , k ∈ N

là số chẵn:

.


a>0

Mọi số thực

(gọi là căn bậc

2k

2k

đều có hai căn bậc chẵn đối nhau. Căn bậc chẵn dương kí hiệu là
số học của

a

). Căn bậc chẵn âm kí hiệu là

x 2k = a − 2 k a = x ⇔ x ≤ 0
x 2k = a
;
và
.

a<0

Mọi số thực

đều khơng có căn bậc chẵn.

Bài tập 1: Phân tích các biểu thức sau thành tích:

a)
b)
c)

P = x4 − 4

P = 8 x3 + 3 3
P = x4 + x2 +1

Lời giải:

(

P = ( x2 − 2 ) ( x2 + 2) = x − 2
a)

P = ( 2x) +
3

b)

) ( x + 2) ( x

( 3 ) = ( 2x + 3 ) ( 4x
3

2

2

+ 2)

− 2 3x + 3

P = ( x + 1) − x = ( x − x + 1) ( x + x + 1)
2

2

2

2

)

.

.

2

c)

.

Bài tập 2: Rút gọn các biểu thức:

A= x − x− x +
a)

1
4
khi

x≥0

.
x≥

B = 4x − 2 4x −1 + 4x + 2 4x −1

b)

khi

1
4

.

C = 9 − 5 3 + 5 8 + 10 7 − 4 3
c)
Lời giải:
2

1
1

A= x − x− x + = x −  x − ÷ = x −
4
2


a)
3

a

x−

1
2

− 2k a

2k

,

a = x⇔ x≥0

và


x≥
+ Nếu

x<

1
1
⇔ x≥
2
4

1
1
⇔0≤ x<
2
4

x−

1
1
1
= x− ⇒ A=

2
2
2

thì

.

x−

+ Nếu

1
1
1
=− x+ ⇒ A=2 x−
2
2
2

thì

b)
B = 4 x − 2 4 x −1 + 4 x + 2 4 x −1 = 4 x −1 − 2 4 x −1 + 1 + 4 x −1 + 2 4 x −1 + 1

B=

(

)

2

4x −1 −1 +

(

)

4x −1 + 1

2

=

4 x −1 −1 +

4x −1 +1 =

4x −1 −1 + 4x −1 +1

Hay

4 x −1 −1 ≥ 0 ⇔ 4 x −1 ≥ 1 ⇔ x ≥
+ Nếu

4x −1 −1 < 0 ⇔ 4x −1 < 1 ⇔
+ Nếu

(

7−4 3 = 2− 3
c) Để ý rằng:

1
2

4x −1 − 1 = 4x −1 − 1
thì

1
1
≤x<
4
2

)

2

B = 2 4x −1
suy ra

.

4x −1 −1 = − 4 x −1 + 1
thì

suy ra

B=2

.

⇒ 7−4 3 = 2− 3

C = 9 − 5 3 + 5 8 + 10(2 − 3) = 9 − 5 3 + 5 28 − 10 3
Suy ra

= 9− 5 3 +5

( 5− 3)

2

C = 9 − 5 3 + 5(5 − 3) = 9 − 25 = 9 − 5 = 4 = 2
.Hay

Bài tập 3: Chứng minh:

A= 7−2 6 − 7+2 6

a)

là số nguyên.
B = 3 1+

84 3
84
+ 1−

9
9

b)

là một số nguyên

x= 3 a+
c) Chứng minh rằng:
4

a + 1 8a − 1 3
a + 1 8a − 1
+ a−
3
3
3
3

a≥

với

1
8

là số tự nhiên.


x+ y

d) Tính

biết

( x+

x 2 + 2015

)( y+

)

y 2 + 2015 = 2015

.

Lời giải:

A < 0,

a) Dễ thấy

A =
2

Tacó
Suy ra

(

)

7−2 6 − 7+2 6

A = −2

2

= 7 − 2 6 + 7 + 2 6 − 2 7 − 2 6. 7 + 2 6

= 14 − 2.5 = 4

.

( u + v)

3

= u 3 + v3 + 3uv ( u + v )

b) Áp dụng hằng đẳng thức:

. Ta có:

3



84 3
84 

84
84
84 3
84 
÷ = 1+
÷
B =  3 1+
+ 1−
+1−
+ 3 3 1 +
. 1−


9
9 ÷
9
9
9
9 ÷




3


84 3
84 
 3 1+
÷

+ 1−

9
9 ÷



. Hay


84  
84 
84
B 3 = 2 + 3 3 1 +
1
−
.B ⇔ B 3 = 2 + 3 3 1 − B ⇔ B 3 = 2 − B ⇔ B 3 + B − 2 = 0
÷
÷
÷
÷
9 
9 
81

2

1 7

B + B+2 =B+ ÷ + >0

2 4

2

⇔ ( B − 1) ( B 2 + B + 2 ) = 0
mà

( u + v)

3

suy ra

B =1

. Vậy

= u 3 + v3 + 3uv ( u + v )

c) Áp dụng hằng đẳng thức:

x3 = 2a + ( 1 − 2a ) x ⇔ x 3 + ( 2a − 1) x − 2a = 0 ⇔ ( x − 1) ( x 2 + x + 2a ) = 0

Ta có
Xét đa thức bậc hai

a=
+ Khi
5

1
8

x 2 + x + 2a

x=
ta có

3

với

∆ = 1 − 8a ≥ 0

1 31
+
=1
8
8
.

B

là số nguyên.


+ Khi

1
a> ,

8

x = 3 a+

ta có

∆ = 1 − 8a

âm nên đa thức (1) có nghiệm duy nhất

x =1

a≥
Vậy với mọi

1
8

ta có:

a + 1 8a − 1 3
a + 1 8a − 1
+ a−
=1
3
3
3
3
là số tự nhiên.

d) Nhận xét:

(

x 2 + 2015 + x

)(

)

x 2 + 2015 − x = x 2 + 2015 − x 2 = 2015

.

x 2 + 2015 − x =

y 2 + 2015 + y

Kết hợp với giả thiết ta suy ra

⇒

y 2 + 2015 + y + x 2 + 2015 + x = x 2 + 2015 − x + y 2 + 2015 − y ⇔ x + y = 0
Bài tập 4:

x = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5

a) Cho
P=

. Tính giá trị biểu thức:
x 4 − 4 x3 + x 2 + 6 x + 12
x 2 − 2 x + 12

.

x = 1+ 2

B = x 4 − 2 x 4 + x 3 − 3x 2 + 1942

3

b) Cho

. Tính giá trị của biểu thức
.
5
4
3
2
3
x = 1+ 2 + 4
P = x − 4 x + x − x − 2 x + 2015
c) Cho
. Tính giá trị biểu thức:
3

Giải:
2



x =  4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5 ÷ = 8 + 2 4 + 10 + 2 5 . 4 − 10 + 2 5


2

a) Ta có:

⇔ x2 = 8 + 2 6 − 2 5 = 8 + 2

( x − 1)

2

(

= 8+ 2

(

)

5 −1 = 6 + 2 5 =

.

(x
P=

6

2

= 5 ⇔ x2 − 2 x = 4

đó ta suy ra

Ta biến đổi:

)

5 −1

2

− 2 x ) − 2 ( x 2 − 2 x ) + 12
2

x 2 − 2 x + 12

=

42 − 3.4 + 12
=1
4 + 12

.

(

)

5 +1

2

⇒ x = 5 +1

. Từ


x = 1 + 3 2 ⇒ ( x − 1) = 2 ⇔ x 3 − 3x 2 + 3x − 3 = 0
3

b) Ta có

. Ta biến đổi biểu thức

P

thành:

P = x 2 ( x 3 − 3 x 2 + 3 x − 3) + x ( x3 − 3x 2 + 3x − 3) + ( x 3 − 3 x 2 + 3 x − 3 ) + 1945 = 1945
x = 3 22 + 3 2 + 1

c) Để ý rằng:

3

ta nhân thêm 2 vế với

(

a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 )

3

2 −1

để tận dụng hằng đẳng thức:

) (

2 −1 x =

3

)(

2 −1

. Khi đó ta có:
⇔

(

3

)

3

)

22 + 3 2 + 1

2 − 1 x = 1 ⇔ 3 2 x = x + 1 ⇔ 2 x 3 = ( x + 1) ⇔ x 3 − 3 x 2 − 3x − 1 = 0
3

.
P = x5 − 4 x 4 + x3 − x 2 − 2 x + 2015 = ( x 2 − x + 1) ( x 3 − 3 x 2 − 3 x − 1) + 2016 = 2016

Ta biến đổi:

⇒

y 2 + 2015 + y + x 2 + 2015 + x = x 2 + 2015 − x + y 2 + 2015 − y ⇔ x + y = 0
Bài tập 5: Cho

x, y , z > 0

xy + yz + zx = 1
và

.

( 1+ y ) ( 1+ z ) + y ( 1+ z ) ( 1+ x ) + z ( 1+ x ) ( 1+ y )
2

P=x

2

2

1 + x2

a) Tính giá trị biểu thức:
x
y
z
+
−
=
2
2
1+ x 1+ y 1+ z2

(1+ x ) ( 1+ y ) (1+ z )
2

2

1 + x 2 = x 2 + xy + yz + zx = ( x + y )( x + z )
a) Để ý rằng:
1 + y 2 ;1 + z 2
2

x

ta có:

1+ x

2

2

=x

( y + x) ( y + z ) ( z + x) ( z + y )
( x + y) ( x + z)

= x( y + z)

P = x ( y + z ) + y ( z + x ) + z ( x + y ) = 2 ( xy + yz + zx ) = 2
Suy ra
7

1+ z2

2 xy

Lời giải:

( 1+ y ) ( 1+ z )

2

1 + y2

b) Chứng minh rằng:

Tương tự đối với

2

.

2

2


b) Tương tự như câu a)
x
y
z
x
y
z
+
−
=
+
−
2
2
2

1+ x 1+ y 1+ z
( x + y) ( x + z) ( x + y) ( y + z) ( z + y) ( z + x)
Ta có:

=

x ( y + z ) + y ( z + x) − z ( x + y)
2 xy
=
=
( x + y) ( y + z) ( z + x)
( x + y) ( y + z) ( z + x)

⇒

2 xy

( 1+ x ) ( 1+ y ) ( 1+ z )
2

2

2

y 2 + 2015 + y + x 2 + 2015 + x = x 2 + 2015 − x + y 2 + 2015 − y ⇔ x + y = 0
Bài tập 6:

x1 , x2 ,..., xn
a) Tìm

b) Cho

x12 − 12 + 2 x22 − 22 + .. + n xn 2 − n 2 =

thỏa mãn:
4n + 4n 2 − 1
f ( n) =
2 n + 1 + 2n − 1

với

n

1 2
x1 + x2 2 + ... + xn 2 )
(
2

f (1) + f (2) + .. + f (40)

nguyên dương. Tính

.

Lời giải:

a) Đẳng thức tương đương với:
x1 = 2, x2 = 2.22 ,..., xn = 2.n 2

(

) (
2

x12 − 12 − 1 +

)

2

x2 2 − 22 − 2 + ... +

(

xn 2 − n 2 − n

)

2

=0

Hay

b) Đặt

 x 2 + y 2 = 4n

x = 2n + 1, y = 2n − 1 ⇒  xy = 4n 2 − 1
 x2 − y 2 = 2



f ( n) =

x 2 + xy + y 2 x 3 − y 3 1 3
1
= 2
= ( x − y3 ) =
2
x+ y
x −y
2
2

(

.

( 2n + 1)

3

−

( 2n − 1)

Suy ra

toán ta có:

8

1
2

(

)
. Áp dụng vào bài

f ( 1) + f ( 2 ) + .. + f ( 40 ) =

=

3

)

813 − 13 = 364

1
2 

(

) (

33 − 13 +

)

53 − 33 + .. +

(

)

813 − 793 



⇒

y 2 + 2015 + y + x 2 + 2015 + x = x 2 + 2015 − x + y 2 + 2015 − y ⇔ x + y = 0
Bài tập 7

a) Chứng minh rằng:

1
1
1
+
+ .... +
>4
1+ 2
3+ 4
79 + 80

. Chứng minh rằng:

1
1
1
1
1 

+
+
+ ... +
> 2 1 −
÷
1 2 2 3 3 4
n n +1
n +1 


.
1
1
1
1
1
2 n −2<
+
+
+
+ ... +
< 2 n −1
1
2

3
4
n

b) Chứng minh:
n≥2
dương
.

với mọi số nguyên

Lời giải:

1
1
1
+
+ .... +
1+ 2
3+ 4
79 + 80

A=
a) Xét
A> B

Dễ thấy

B=
,

1
1
1
+
+ .. +
2+ 3
4+ 5
80 + 81

.

1
1
1
1
1
+
+
+ .... +
+
1+ 2
2+ 3
3+ 4
79 + 80
80 + 81

A+ B =
Ta có

1
k + k +1

=

(

(

k +1 − k

k +1 + k

)(

)

k +1 − k

)

= k +1 − k

Mặt khác ta có:

A+ B =
Suy ra

(

) (

2− 1 +

2A > A + B = 8 ⇔ A > 4

)

3 − 2 + ... +

(

)

81 − 80 = 81 − 1 = 8
. Do

A>B

.

1
1
1
1
−
=
<
k
k +1

2k k + 1
k (k + 1) k + 1 + k

(

b) Để ý rằng:

9

suy ra

)

với mọi

k

nguyên dương.


Suy ra

1   1
1 
1 
1 
 1


VT > 2 1 −

−
−
÷+ 2 
÷+ .. + 2 
÷ = 2 1 −
÷
2  2
3
n +1 
n +1 

 n


P=

.

1
1
1
1
1
+
+
+
+ ... +
1
2
3

4
n

c) Đặt

2
n + n +1

Ta có:

2

(

<

1
2
=
<
n 2 n

)

(

)

n +1 − n <

Do đó:

2


(

T < 1+ 2 


Hay

2
<2
n

) (

2− 1 +

(

) (

2 −1 +

(

n − n −1

)

3 − 2 + ... +

)

3 − 2 + ....

2 n − 2 < T < 2 n −1
⇒

n + n −1

với mọi số tự nhiên

n≥2

2
2
2
<
<
=2
n +1 + n 2 n
n + n −1

n +1 − n =

Từ đó suy ra

2

2

(

(

.

n − n −1

)
hay

)
(

)

n +1 − n  < T


và

)

n − n −1 


.

.

y 2 + 2015 + y + x 2 + 2015 + x = x 2 + 2015 − x + y 2 + 2015 − y ⇔ x + y = 0

Bài tập
8
a 1 − b2 + b 1 − c 2 + c 1 − a 2 =

a, b, c

a) Cho ba số thực dương
a 2 + b2 + c 2 =

rằng:

3
2

thỏa mãn

3
2

.Chứng minh

.

x, y , z

x 1− y2 + y 2 − z2 + z 3 − x2 = 3

a) Tìm các số thực
thỏa mãn điều kiện:
thi tuyến sinh vào lớp 10 chuyên Toán- Trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2014)
Lời giải:

10

. (Trích đề


a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số khơng âm ta có
a 1 − b2 + b 1 − c 2 + c 1 − a2 ≤

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a2 + 1 − b2 b2 + 1 − c2 c2 + 1 − a2 3
+
+
=
2
2
2
2

.

a = 1 − b 2

a 2 = 1 − b 2

 2
3

2
2
2
2
2
b = 1 − c ⇔ b = 1 − c ⇒ a + b + c =
2

c 2 = 1 − a 2
2
c
=
1
−
a



(đpcm).

2x 1 − y2 + 2 y 2 − z 2 + 2z 3 − x2 = 6

b) Ta viết lại giả thiết thành:
2ab ≤ a 2 + b 2

Áp dụng bất đẳng thức :

.
ta có:

2x 1 − y 2 + 2 y 2 − z 2 + 2z 3 − x2 ≤ x2 + 1 − y 2 + y 2 + 2 − z 2 + z 2 + 3 − x2 = 6

VT ≤ VP
. Suy ra

.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

 x 2 + y 2 + z 2 = 3; x, y, z ≥ 0
 x, y , z ≥ 0
x = 1− y2
 2
 2
2

2

x + y = 1
x + y = 1
2
⇔ 2
⇔ x = 1; y = 0; z = 2
y = 2− z ⇔  2
y + z2 = 2

y + z2 = 2



2
 z = 3 − x
 z 2 + x2 = 3
 z 2 + x2 = 3



A=

x

(

x+4 x−4 + x−4 x−4

a) Rút gọn

x 2 − 8 x + 16
A

.Tìm

x

để

)
với

x>4

A

đạt giá trị nhỏ nhất.
x
A
b) Tìm các giá trị ngun của để
có giá trị nguyên.
Lời giải:

a) Điều kiện để biểu thức

11

A

xác định là

x>4

.

Bài tập 9) Cho




x
A= 

x

(

x−4 +2

)

2

x−4 −2

x−4

4< x<8

4< x<8

+ Nếu

A=

x

x≥8

(

(

+

( x − 4)

x−4 +2+

+ Nếu
Do

(

2

2 
x−4 −2 ÷ x
=

)

A=

x−4 −2≥0

thì

x−4 + 2+ x−4 −2
x−4

x

(

x−4 +2+2− x−4

Vậy GTNN của

b) Xét

4< x<8

bằng

A = 4+

thì

nguyên dương của
x=5
x=6
hoặc
.

12

khi

16

)=

4x
16
= 4+
x−4
x−4

nên

) = 2x

x−4
=
x−4

đẳng thức Cô si). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

8

)=

.

2x
8
= 2 x−4 +
≥ 2 16 = 8
x−4

x−4

2 x−4 =

A

x−4 −2

x−4

x−4

nên

0< x−4< 4⇒ A>8

nên

x−4 +2 +

)

x−4 −2< 0

thì

(

x=8

16
x−4

8
⇔ x−4 = 4 ⇔ x =8
x−4

(Theo bất

.

.

, ta thấy

A∈ Z

khi và chỉ khi

16
∈Z ⇔ x −4
x−4

là ước số

x − 4 ∈ { 1; 2; 4;8;16} ⇔ x = { 5;6;8;12; 20}
. Hay

đối chiếu điều kiện suy ra

+ Xét

A=

x≥8

A=
ta có:

2 ( m2 + 4)
m

Tóm lại để

A

= 2m +

2x
x−4
8
m

 x = m2 + 4
x−4 = m⇒ 
m ≥ 2

, đặt

khi đó ta có:

m ∈ { 2; 4;8} ⇔ x ∈ { 8; 20;68}
suy ra

.

x ∈ { 5;6;8; 20;68}
nhận giá trị nguyên thì

.
MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Câu 1.

Với

x>0

A=

2+ x
x

, cho hai biểu thức

B=
và

1) Tính giá trị biểu thức

B
2) Rút gọn biểu thức .
A 3
>
x
B 2
3) Tính để
.

A

khi

x = 64

x −1 2 x +1
+
x
x+ x

.

.

Câu 2.

x +4
x +2

A=

1) Cho biểu thức

2) Rút gọn biểu thức
3) Với các biểu thức


B = 

A

và

A
. Tính giá trị của biểu thức .
x
4  x + 16
+
÷:
x +4
x −4÷
x ≥ 0, x ≠ 16
 x +2
(với
)
x
B
nói trên, hãy tìm các giá trị ngun của để giá trị của biểu

B ( A − 1)
thức

A=
Câu 3. Cho
13

là số nguyên.
x
10 x
5
−
−
x − 5 x − 25
x +5

x ≥ 0, x ≠ 25
, với

.


1) Rút gọn biểu thức

A

2) Tính giá trị của A khi
1
A<
x
3
3) Tìm để
.

x=9

.

Câu 4.

P=
Cho

x
2 x 3x + 9
+
−
x +3
x −3 x −9

1) Rút gọn

P

x ≥ 0, x ≠ 9
, với

.

.

2) Tìm giá trị của

x

P=

để

3) Tìm giá trị lớn nhất của

1
3

P

.

.

Câu 5.
Thu gọn các biểu thức sau:

A=

5+ 5
5
3 5
+
−
5+2
5 −1 3 + 5

x
1  
2
6


B=
+
+
÷: 1 −
÷
x +3 
x x+3 x 
 x+3 x

( x > 0)
.

Câu 6.
Thu gọn các biểu thức sau:


x
3  x +3
A = 
+
÷.
x −3÷
 x +3
 x+9

14

x ≥ 0, x ≠ 9
với

.


B = 21

(

) − 6(
2

2+ 3 + 3− 5

2− 3 + 3+ 5

)

2

− 15 15
.

x 2
2x − 2
+

x−2
2 x+x 2

P=
Câu 7. Rút gọn biểu thức

x > 0, x ≠ 2
, với

.

Câu 8.

A=
Cho

B = 1+

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1+ 2
2+ 3
3+ 4
120 + 121

và

1
1
+ ... +
2
35
.

Chứng minh rằng

B>A

.

P=

x3 + y 3
x+ y
. 2
,x ≠ y
2
2
x − xy + y x − y 2

Câu 9. Cho biểu thức

.

1) Rút gọn biểu thức

2) Tính giá trị của

P

P

.
x = 7−4 3

khi

y = 4−2 3

và

.

Câu 10.
Cho các số thực dương

(
Chứng minh rằng:

A=
Câu 11.

15

a, b a ≠ b
;

( a − b)

.

3

a− b

)

3

− b b + 2a a

a a −b b

+

3a + 3 ab
=0
b−a

x + x − 6 x − 7 x + 19 x − 5 x
+
−
; x > 0, x ≠ 9
x−9
x + x − 12 x + 4 x

.

.


Câu 12.

A=
Cho biểu thức

Rút gọn

A

1
1
2 x
+
−
2+ x 2− x 4− x

A=

x
và tìm

để

1
3

( x ≥ 0, x ≠ 4 )
.

.

Câu 13.

3
3
x x+x
+
+
x−3 − x
x −3 + x
x +1

P=
1) Cho biểu thức
P>2
.

( P ) : y = − x2

Oxy

2) Trong mặt phẳng tọa độ

cho

Câu 14. Cho biểu thức

m

(

(d)
, đường thẳng

thỏa mãn

a
2
2
−
−
a − 16
a −4
a +4

ln cắt

.

.

a

C
C

để biểu thức
có nghĩa và rút gọn .
a =9−4 5
C
2) Tính giá trị của biểu thức
khi
.
1) Tìm điều kiện của

Câu 15.

Cho biểu thức

 2
3
5 x −7  2 x +3
A = 
+
−
÷
÷:
 x − 2 2 x + 1 2 x − 3 x − 2  5 x − 10 x

A
1) Rút gọn biểu thức .
x
A
2) Tìm sao cho
nhận giá trị là một số nguyên.
16

m

để

là

( P)

x1 − x2 ≥ 2

x1 , x2

C=

( d ) : y = mx − 1
và đường thẳng

tham số). chứng minh rằng với mọi giá trị của
điểm phân biệt có hồnh độ

. Tìm tất cả các giá trị của

x

( x > 0, x ≠ 4 )
.

tại hai

Câu 16.

A=

x +1
x −1

x=9
1) Tính giá trị của biểu thức
, khi
.
1  x +1
 x−2
P=
+
÷.
x + 2  x −1
 x+2 x
x>0
x ≠1
2) Cho biểu thức
với
và
.
x +1
P=
x
a) Chứng minh rằng
.

2P = 2 x + 5
x
b) Tìm các giá trị của để
.
a = 3+ 5+ 2 3 + 3− 5+ 2 3
Câu 17) Cho

. Chứng minh rằng

a 2 − 2a − 2 = 0

.

a = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5
Câu 18) Cho

.

T=
Tính giá trị của biểu thức:

a 2 − 4a3 + a 2 + 6 a + 4
a 2 − 2a + 12

xy + yz + zx = a

x, y , z > 0
Câu 19) Giả thiết

và

.

( a + y ) ( a + z ) + y ( a + z) ( a + x)
2

x

.

2

2

a + x2

a + y2

2

(a+x )(a+ y )
2

+z

Chứng minh rằng:

Câu 20. Cho

b

.

a 4 − 14a 2 + 9 = 0

Chứng minh rằng:
.
5
4
3
f ( x ) = x + 2 x − 14 x − 28 x 2 + 9 x + 19
f ( a)
Giả sử
. Tính
.
a = 3 38 + 17 5 + 3 38 − 17 5

Câu 21. Cho
17

= 2a
.

a = 2 + 7 − 3 61 + 46 5 + 1

a

a + z2

2

.


f ( x ) = ( x3 + 3 x + 1940 )
Giả sử có đa thức

2016

f ( a)
. Hãy tính

.

2n + 1 + n ( n + 1)

f ( n) =

n + n +1

Câu 22. Cho biểu thức

.

S = f ( 1) + f ( 2 ) + f ( 3) + ... + f ( 2016 )
Tính tổng

.

n

Câu 23) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương

1≤

1 1 1
1 5
+ 2 + 2 + ... + 2 <
2
1 2 3
n
3

.

Câu 24) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương

1 1 1
1 65
+ 3 + 3 + ... + 3 <
3
1 2 3
n 54

, ta có:

n>3

, ta có

.

Câu 25) Chứng minh rằng:

43
1
1
1
44
<
+
+ ... +
<
44 2 1 + 1 2 3 2 + 2 3
2002 2001 + 2001 2002 45
(Đề thi THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2001-2002)
Câu 26) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương

n

, ta có:

1
1
1
1
+
+ ... +
< 1−
2 2 +1 1 3 3 + 2 2
n +1

( n + 1) n + 1 + n n
.
Câu 27) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương

1 4 7 10 3n − 2 3n + 1
1
. . . ....
.
<
3 6 9 12
3n 3n + 3 3 n + 1

18

.

n>2

, ta có:


LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN CHUYÊN ĐỀ 1
1). Lời giải:

1) Với
B=

(

A=

x = 64

)(

2 + 64 2 + 8 5
=
=
8
4
64

ta có

) (

.

)

x −1 . x + x + 2 x +1 . x

(

x. x + x

)

=

x x + 2x
1
= 1+
=
x x+x
x +1

A 3
2+ x 2+ x 3
> ⇔
:
> ⇔
B 2
x
x +1 2

x>0
Với
, ta có:
⇔ 2 x +2>3 x ⇔ x <2⇔ 0< x<4

(do

x +2
x +1

x +1 3
>
2
x

x>0

).

2. Lời giải:

1) Với
2) Với

36 + 4 10 5
= =
36 + 2 8 4

A=

x = 36

, ta có
x ≥ 0, x ≠ 16

(

ta có:

) (

 x x −4 4 x +4
B=
+


x − 16
x − 16


ngun,
trị tương ứng:

x

) ÷

(

ngun thì

x − 16

là ước của

Kết hợp điều kiện, để

19

2

.

U ( 2 ) = { ±1; ±2}
, mà

. Ta có bảng giá

x ∈ { 14;15;16;17}

B ( A − 1)
3). Lời giải:

)

x + 2 ( x + 16 ) x + 2
x +2
=
=
÷ x + 16 ( x − 16 ) ( x + 16 )
x − 16


x +2 x +4− x −2
2
=

÷
÷
x − 16 
x +2
 x − 16

B ( A − 1) =

3) Biểu thức
B ( A − 1)

.

nguyên thì

.


=

x.

x
10 x
5
−
−
=
x − 5 x − 25
x +5

A=

x + 5 x − 10 x − 5 x + 25

(

x −5

)(

x +5

)

=

(

(

)

(
( x − 5) ( x + 5)

x + 5 − 10 x − 5.

x − 10 x + 25
x −5

)(

x +5

(

=

) (

x −5

)

x −5

x −5

)(

)

2

x +5

)

⇒ A=

x −5
x +5
. Với

ta có:

x =3

A=

. Vậy

3 − 5 −2
1
=
=−
3+5 8
4

.

4). Lời giải:

P=

x

(

)

x −3 + 2 x

(

x −3

)(

(

)

x + 3 − 3x − 9
x +3

)

3
x +3

=

1)
P=

1
⇔
3

2)

3
1
= ⇒ x + 3 = 9 ⇔ x = 36
x +3 3

x ≥ 0, P =
3) Với

3
3
≤
= 1 ⇒ Pmax = 1
x +3 0+3

(thỏa mãn ĐKXĐ)

khi

x=0

5. Lời giải:

A=

=

5+ 5
5
3 5
+
−
5+2
5 −1 3 + 5

( 5+ 5) (

( 5 + 2) (

= 3 5 −5+

)+
5 − 2) (

5−2

5

)

5 +1

)(

5 −1

−

(

3 5 3− 5

)

) ( 3+ 5) ( 3− 5)

5 +1

5 + 5 9 5 − 15
5 + 5 − 9 5 + 15
−
= 3 5 −5+
4
4
4

= 3 5 −5+ 5− 2 5 = 5

20

(

.

(TM).

x=9


x
1  
2
6


B=
+

+
÷: 1 −
÷( x > 0 )
x +3 
x x+3 x 
 x+3 x



x
1   x −2
6
= 
+
:
+
÷
x +3÷
x
x x +3
 x +3
 

(


x +1 
:
x +3 


=

(

)(
x(

)

x +3 +6
÷=
÷
x +3


x −2

)

(

)


÷
÷


)

x +1 .

x
x+ x

=1
.

6. Lời giải:
Với

x≥0

và

x≠9

ta có:



x −3 x +3 x +9÷ x +3 1
A=
.
=
−3
 x +3
x
x −3 ÷ x +9




(

B=

=

)(

)

21
2

(

(

3 +1+ 5 −1 − 3

21
2

4+2 3 + 6−2 5

)

2

(

) (
2

−3

.

4−2 3 ++ 6+2 5

)

2

3 − 1 + 5 + 1 − 15 15 =

15
2

(

)

2

− 15 15

3+ 5

)

2

− 15 15 = 60
.

7). Lời giải: Với điều kiện đã cho thì:

P=

2x

(

x 2
2+ x

+

) (

2

(

x− 2

x− 2

)(

)

x+ 2

)

=

x
2
+
=1
2+ x
x+ 2
.

8. Lời giải:

A=
Ta có:

21

1
1
1
1

+
+
+ ... +
1+ 2
2+ 3
3+ 4
120 + 121


=

=

1− 2

+

( 1+ 2 ) ( 1− 2 ) (

2− 3
2+ 3

)(

2− 3

)

+ ... +

(

120 − 121
120 + 121

)(

120 − 121

)

1− 2
2− 3
120 − 121
+
+ ... +
= 2 − 1 + 3 − 2 + ... + 121 − 120 = −1 + 121 = 10
−1
−1
−1

Với mọi

B = 1+

k ∈¥

*

, ta có:

1
2
2
=
>
=2
k
k+ k
k + k +1

1
1
+ ... +
2
35 ⇒ B > 2

(

(

(

k +1 − k

)
Do đó

2 − 1 + 3 − 2 + 4 − 3 + ... + 36 − 35

)

⇒ B > 2 − 1 + 36 = 2 ( −1 + 6 ) = 10
(2) . Từ (1) và (2) suy ra

B>A

.

9. Lời giải:

P=

x3 + y 3
x+ y
x+ y
.
=
2
2
x − xy + y ( x − y ) ( x + y ) x − y

1)

.
x = 7−4 3 = 2− 3

2) Với
P=

Thay vào
10.Lời giải:

22

P

ta được:

y = 4 − 2 3 = 3 −1

và
2 − 3 + 3 −1

( 2 − 3) − (

)

3 −1

=

1
3+ 2 3
=−
3
3− 2 3

.

)

(1)


Q=

(

( a − b)

a+ b

a− b

(

=

=

=

)

3

− b b + 2a a
+

a a −b b

Ta có:

(

3

)(
3

a+ b

a− b

(

)

)

3

3

− b b + 2a a

)(

a − b a + ab + b

−

)

a a + 3a b + 3b a + b b + 2a a

(

3a + 3 ab
b−a

)(

a − b a + ab + b

)

−

(

(

3 a+

a− b

3 a
a− b

3a a + 3a b + 3b a − 3a a − 3a b − 3b a

(

)(

a − b a + ab + b

(

)(

a+ b

)

a+ b

)

=0

)

=0

)

(ĐPCM).

11. Lời giải:

A=

=

x −2
+
x −3

x + x − 6 x − 7 x + 19 x − 5 x =
+
−
x−9
x + x − 12 x + 4 x

x + 2 x − 8 + x − 7 x + 19 − x + 8 x − 15

(

x −3

)(

x +4

)

=

(
(

(

x − 7 x + 19
x −3

)(
x − 3) (

)(

x +4

)=
x + 4)

x −1

x +4

)

x −5
x +4

−

x −1

x −3
.

12. Lời giải:

A=

⇔ x = 4 ⇔ x = 16
13. Lời giải:

23

(

)

1
1
2 x
4
2 x 2 2− x
2
+
−
=
−
=
=
4−x
2+ x 2− x 4− x 4− x 4− x

2+ x
A=
(nhận). Vậy

1
3

khi

x = 16

.

A=
. Với

1
2
1
⇔
=
3
2+ x 3


1) ĐKXĐ:

(

)

3
3
x x + x = 3 x − 3 + 3 3 + 3 x − 3 − 3 x + x x +1
+
+
( x − 3) − x
x +1
x−3 − x
x −3 + x
x +1

⇒P=

=

x≥3

6 x−3
+ x = x− 2 x−3
−3

.
P > 2 ⇒ x − 2 x − 3 > 2 ⇔ ( x − 3) − 2 x − 3 + 1 > 0

Vì
⇔

(

)

2

x − 3 −1 > 0 ⇔ x − 3 −1 ≠ 0 ⇔ x − 3 ≠ 1 ⇔ x ≠ 4

( P)

(d)

x≥3

.Vậy

và

x≠4

.

x 2 + mx − 1 = 0

2) Phương trình hồnh độ giao điểm của
và
là:
.
2
x1 , x2
m
∆ =m +4>0

có
với mọi , nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt
. Theo hệ
x1 + x2 = − m

x1 x2 = −1

thức Viet ta có:
và
2
2
2
2
2
⇒ ( x1 + x2 ) = ( −m ) ⇒ x1 + x22 + 2 x1 x2 = m2 ⇒ ( x1 − x2 ) + 4 x1 x2 = m 2 ⇒ ( x1 − x2 ) + 4. ( −1) = m 2
⇒ ( x1 − x2 ) = m 2 + 4 ≥ 4
2

với mọi

m ⇒ x1 − x2 ≥ 2

với mọi

m

(ĐPCM).

14. Lời giải:

1) Biểu thức
C=
Rút gọn
=

24

có nghĩa khi:

a
2
2 =
−
−
a − 16
a −4
a +4

) ( a − 4)
( a + 4) ( a − 4)

a−2

(

C

a ≥ 0
a ≥ 0
a − 16 ≠ 0



a ≠ 16
⇒
⇒ a ≥ 0, a ≠ 16

 a − 4 ≠ 0 a ≠ 16
 a + 4 ≠ 0 ∀a ≥ 0


a +4 −2

=

.
2
2
−
−
a −4
a +4
a +4

a

(

a −4

)(

)

a − 2 a −8− 2 a +8

(

a +4

)(

a −4

)

=

(

a−4 a
a +4

)(

a −4

)


=

a

(

(

a −4

a −4

)(

)

a +4

2) Giá trị của

a
a +4

=

)

C

khi

.
a =9−4 5

.

(

a = a = 9−4 5 = 4−4 5 +5 = 2− 5
Ta có:
C=

a

(

a +4

)

)

2

⇒ a=

( 2− 5)

2

= 5 −2

5−2
5−2
=
= 9−4 5
5 −2+4
5+2

=

Vậy

.

15. Lời giải:

x > 0, x ≠ 4

1) Với
biểu thức có nghĩa ta có:
 2
3
5 x −7  2 3 +3
A = 
+
−
÷
÷:
 x − 2 2 x + 1 2 x − 3 x − 2  5 x − 10 x
=

=

(

) (

2 2 x +1 + 3

(

(

)(

)

x − 2 2 x +1

2 x +3

)(

) (

x −2 − 5 x −7

.

)

x + 2 2 x +1

5 x

(

x −2

2 x +3

x > 0, ∀x > 0, x ≠ 4

):

)=

2 x +3
5 x

(

x −2

5 x
2 x +1

)
x > 0, x ≠ 4

. Vậy với
thì
5 x
A=
> 0, x > 0, x ≠ 4
2 x +1

2) Ta có
nên
5 x
5
5
5
A=
= −
< , x > 0, x ≠ 4
5
⇒0< A<
2 x +1 2 2 2 x +1 2
2

(

)

, kết hợp với

A∈ { 1, 2}
nguyên thì

.

A = 1 ⇔ 5 x = 2 x +1⇒ x =

1
1
⇔ x=
3
9

A=2⇔5 x =4 x +2⇔ x =2⇔ x=4
25

A=

thỏa mãn điều kiện.
không thỏa mãn điều kiện.

A

5 x
2 x +1

.

nhận giá trị là một số