Đề thi thử 2014 môn toán khối A, B, D, A1 có đáp án của tỉnh vĩnh phúc

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
www.MATHVN.com

ĐỀ KTCL ƠN THI ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 2013-2014
Mơn: TỐN; Khối A, A1
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
2x
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y =
(1).
x −1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b) Tìm tọa độ hai điểm A, B phân biệt thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại các điểm A, B song song
với nhau, đồng thời ba điểm O, A, B tạo thành tam giác vuông tại O (với O là gốc tọa độ).

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình: 4 sin 3 x + sin 5 x − 2sin x cos 2 x = 0.
( x − 3)( x + 4) = y ( y − 7)
 2
x −1
.
Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình:  y
=
 x −1
2− y

Câu 4 (1,0 điểm). Xác định tất cả các giá trị của m để phương trình 2 x 2 − 2mx + 3 + 2 = x có nghiệm.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho lăng trụ đều ABC. A ' B ' C ' có cạnh đáy bằng a , đường thẳng B ' C tạo với đáy
một góc 60o . Tính theo a thể tích khối chóp C. A ' B ' B và khoảng cách từ B ' đến mặt phẳng ( A ' BC ) .

Câu 6 (1,0 điểm). Cho ba số x, y, z thuộc nửa khoảng ( 0;1] và thoả mãn: x + y ≥ 1 + z . Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức: P =

x
y
z
+
+
.
y + z z + x xy + z 2

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có A(5; −7) , điểm C
thuộc đường thẳng có phương trình x − y + 4 = 0 . Đường thẳng đi qua D và trung điểm của đoạn thẳng
AB có phương trình 3 x − 4 y − 23 = 0 . Tìm tọa độ của B và C , biết điểm B có hồnh độ dương.

Câu 8a (1,0 điểm). Giải phương trình: 42 x − 15.22( x + x + 4 ) − 161+ x + 4 = 0.
Câu 9a (1,0 điểm). Một hộp chứa 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên ra 2
viên bi. Tính xác suất để lấy được 2 viên bi khác màu.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có điểm C ( 3; −3) và
điểm A thuộc đường thẳng d : 3 x + y − 2 = 0 . Gọi M là trung điểm của BC, đường thẳng DM có phương
trình x – y – 2 = 0 . Xác định tọa độ các điểm A, B, D.

(2 x − 1) x + 3 − 2
.
x →1
x −1
Câu 9b (1,0 điểm). Gọi E là tập hợp các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được lập từ các chữ số 1, 2,

3, 4, 5. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau thuộc tập E. Tính xác suất để trong hai số được chọn có đúng
một số có chữ số 5.
-------------Hết----------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.

Câu 8b (1,0 điểm). Tính giới hạn: lim

Họ và tên thí sinh:……….………..…….…….….….; Số báo danh:……………….

www.DeThiThuDaiHoc.com

1


www.MATHVN.com – Tốn học Việt Nam
ĐÁP ÁN KTCL ƠN THI ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 2013-2014
Mơn: TỐN; Khối A, A1

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo
cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Với Câu 5 nếu thí sinh khơng vẽ hình phần nào thì khơng cho điểm tương ứng với phần đó.
- Điểm tồn bài tính đến 0,25 và khơng làm tròn.
II. ĐÁP ÁN:
Câu
Ý
NỘI DUNG
ĐIỂM
1

2,0 điểm
a TXĐ : D = R \ {1}
Ta có: lim y = 2, lim y = 2 suy ra đường y = 2 là tiệm cận ngang
x →+∞

x →−∞

0,25

lim y = +∞, lim y = −∞ suy ra đường x = 1 là tiệm cận đứng.
−

x →1+

x →1

2
< 0, ∀x ≠ 1
( x − 1)2
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;1) và (1; +∞)
Bảng biến thiên:
x
1
−∞
y’
−
−
2
+∞
y

−∞
Đồ thị: Đồ thị hàm số nhận I (1; 2 ) làm tâm đối xứng.
Ta có : y ' = −

0,25

+∞
0,25
2

0,25

b

 2a 
 2b 
Vì A, B thuộc đồ thị hàm số nên A  a;
 , B  b;
 , (a ≠ b) , a ≠ 1, b ≠ 1
 a −1 
 b −1 
2
2
Tiếp tuyến tại A, B có hệ số góc lần lượt là: f '(a ) = −
, f '(b) = −
2
(a − 1)
(b − 1) 2
2
2

 a = b (l )
Ta có f '(a ) = f '(b) ⇔ −
−
⇔ (a − 1)2 = (b − 1) 2 ⇔ 
2
2
(a − 1) (b − 1)
a + b = 2
 ab = 0 (l )
4ab
4
=0⇔
Lại có: OA ⊥ OB ⇒ OA.OB = 0 ⇔ ab +
= −1

(a − 1)(b − 1)
 (a − 1)(b − 1)
(vì nếu ab = 0 thì A trùng O hoặc B trùng O)

www.DeThiThuDaiHoc.com

0,25

0,25

0,25

2

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
4
 a = −1, b = 3  A(−1;1), B (3;3)
= −1 kết hợp a + b = 2 suy ra: 
⇒
(a − 1)(b − 1)
 a = 3, b = −1  A(3;3), B (−1;1)

 A(−1;1), B (3;3)
Vậy: 
 A(3;3), B (−1;1)
2

3

1,0 điểm
Phương trình đã cho tương đương với: 4sin 3x + sin 5 x − ( sin 3 x − sin x ) = 0
⇔ 3sin 3 x + sin 5 x + sin x = 0 ⇔ 3sin 3 x + 2 sin 3 x.cos 2 x = 0
⇔ sin 3 x(3 + 2 cos 2 x) = 0 ⇔ sin 3 x = 0
kπ
kπ
⇔x=
; k ∈ ℤ . Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =
;k ∈ℤ .
3
3
1,0 điểm
( x − 3)( x + 4) = y ( y − 7) (1)
 y2
x −1 > 0

x >1
x −1
Đk:
.
⇔

(2)
=
2− y > 0
y<2
 x −1
2− y


{

{

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

Từ (1) ta có ( x − 1) 2 + 3( x − 1) = (2 − y ) 2 + 3(2 − y ) (3)
Xét hàm f (t ) = t 2 + 3t , t > 0. Ta có f ′(t ) = 2t + 3 > 0, ∀t > 0
⇒ f (t ) đồng biến trên (0;+ ∞ )

Mà (3) ⇔ f ( x − 1) = f (2 − y ) ⇔ x − 1 = 2 − y ⇔ x = 3 − y
Thế vào (2) ta được

4

y2
2− y
=
2− y
2− y

y =1⇒ x = 2
⇔ y2 + y − 2 = 0 ⇔ 
 y = −2 ⇒ x = 5
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (2 ; 1) và (5 ; – 2 )
1,0 điểm

2 x 2 − 2mx + 3 + 2 = x ⇔ 2 x 2 − 2mx + 3 = x − 2
x ≥ 2

x ≥ 2
⇔ 2
⇔  x2 − 1
2 x − 1 = (2m − 4) x
 x = 2m − 4

2
x −1
x2 + 1
Xét hàm số f ( x) =

với x ≥ 2 . Ta có f ′( x) = 2 > 0 , ∀x ≥ 2 .
x
x
Bảng biến thiên
x
2
+∞
f’(x)
+
+∞

0,25

0,25

0,25

Ta có:

f(x)

Từ bảng biến thiên ta có với

5

0,25

0,25

0,25

3
2

3
11
≤ 2m − 4 ⇔ m ≥
thì phương trình đã cho có nghiệm.
2
4

0,25

1,0 điểm

www.DeThiThuDaiHoc.com

3


www.MATHVN.com – Tốn học Việt Nam
C

A
M
B

C'

A'

o

60

a

B'

1
a2 3
o
Ta có: CC ' = a.tan 60 = a 3 , S ∆ABC = a.a.sin 60 =
2
4
2
1
1
1 a 3
a3
⇒ VC . A ' B ' B = VC . ABA ' = VABC . A ' B 'C ' = .S ∆ABC .CC ' = .
.a 3 =
3
3
3 4
4
o

0,25
0,25

Ta có: A ' B = A ' C = a 2 + 3a 2 = 2a .
Gọi M là trung điểm BC suy ra A ' M ⊥ BC ⇒ A ' M = 4a 2 −

a 2 a 15
=
4
2

1
1 a 15
a 2 15
A ' M .BC = .
.a =
2
2 2
4
1
Lại có: VC . A ' B ' B = VB '. A ' BC = S ∆A ' BC .d ( B ', ( A ' BC ))
3
3V
3a
3a 3
3a
. Vậy d ( B ', ( A ' BC )) =
.
⇒ d ( B ', ( A ' BC )) = C . A ' B ' B =
=
2
S ∆A ' BC
15

a 15
15
4.
4
1,0 điểm

0,25

⇒ S ∆A ' BC =

6

Do x, y ∈ ( 0;1] và x + y ≥ 1 + z ⇒ x ≥ z , y ≥ z
Ta có xy + z 2 ≤ 2 xy ≤
P≥

7.a

( x + y)
2

0,25

0,25

2

≤ x + y do x + y ≤ 2

x

y
z
+
+
y+ z z+ x x+ y

 1
1
1
1 
x
y
z
+
+
= ( x + y ) + ( y + z ) + ( z + x )  

 x + y + y + z + z + x −3
y+z z+x x+ y 2


9
3
3
≥ − 3 = ⇒ P ≥ . Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1
2
2
2
3
Vậy Pmin = khi x = y = z = 1 .

2
1,0 điểm

0,25

0,25

0,25

Gọi C ( c; c + 4 ) ∈ d1 , M là trung điểm AB, I là giao điểm của AC và
d 2 :3 x – 4 y – 23 = 0 .Ta có ∆AIM đồng dạng ∆CID

 c + 10 c − 10 
⇒ CI = 2 AI ⇒ CI = 2 IA ⇒ I 
;

3 
 3

www.DeThiThuDaiHoc.com

0,25

4


www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
c + 10
c − 10
Mà I ∈ d 2 nên ta có: 3

−4
− 23 = 0 ⇔ c = 1 ⇒ C (1;5 ) .
3
3

0,25

3t − 9 
 3t − 23 

Ta có: M ∈ d 2 ⇒ M  t ;
 ⇒ B  2t − 5;

4 
2 


0,25

3t + 5 
3t − 19 


AB =  2t − 10;
 , CB =  2t − 6;

2 
2 



Do AB.CB = 0 ⇔ 4 ( t − 5 )( t − 3) +

8.a

t = 1
1
3t + 5 )( 3t − 19 ) = 0 ⇔  29
(
4
t =
5

0,25

 B (−3; −3) (l )
 33 21 
⇒   33 21  ⇒ B  ; 
B  ; 
 5 5 
  5 5 
1,0 điểm

Đk: x ≥ −4 . 42 x − 15.22( x + x + 4 ) − 161+ x + 4 = 0.
Phương trình đã cho tương đương 42 x − 2 x + 4 − 15.4 x −
Đặt t = 4 x −

x+4

x+4

− 16 = 0

t = −1(l )
(t > 0) . Phương trình đã cho trở thành: t 2 − 15t − 16 = 0 ⇔ 
t = 16


Với t = 16 ⇒ 4 x − x + 4 = 16 ⇔ x − x + 4 = 2 ⇔ x + 4 = x − 2
x ≥ 2
⇔ 2
⇔ x = 5 . Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 5 .
 x − 5x = 0

9.a

0,25

0,25
0,25

1,0 điểm
Số cách chọn ra 2 viên bi tùy ý Ω = C92 = 36

0,25

Số cách chọn ra 2 viên bi gồm 1 bi xanh và 1 bi đỏ C .C = 12
1
4

1

3

Số cách chọn ra 2 viên bi gồm 1 bi xanh và 1 bi vàng C .C = 8
1
4

7.b

0,25

1
2

1
1
Số cách chọn ra 2 viên bi gồm 1 bi vàng và 1 bi đỏ C2 .C3 = 6
Suy ra số cách chon ra 2 bi khác màu 26
26 13
Vậy, xác suất chọn được hai viên khác màu P =
=
36 18
1,0 điểm

0,25
0,25

0,25

A ∈ d ⇒ A ( t ; 2 − 3t ) Ta có:
1

t =3
d ( A, DM ) ⇒ 4t − 4 = 8 ⇔ t − 1 = 2 ⇔ 
 t = −1
2

Với t = 3 ⇒ A ( 3; −7 ) (loại vì A, C phải khác phía đối DM)
d ( C , DM ) =

0,25

Với t = −1 ⇒ A ( −1;5 ) (thỏa mãn)

0,25


(m + 1)(m − 3) + (m − 7)(m + 1) = 0
Ta có  AD ⊥ CD ⇒ 
2
2
2
2 ⇔ m = 5 ⇒ D (5;3)
(m + 1) + (m − 7) = (m − 3) + (m + 1)
 AD = CD
Gọi I là tâm của hình vng ⇒ I là trung điểm của AC ⇒ I (1;1)

0,25

Giả sử D ( m; m − 2 ) .

Do I là trung điểm của BD ⇒ B ( −3; −1) . Vậy, A ( −1;5 ) , B ( −3; −1) , D (5;3)

www.DeThiThuDaiHoc.com

0,25

5


www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
8.b

1,0 điểm
 ( 2 x − 1) x + 3 − x + 3
(2 x − 1) x + 3 − 2
x + 3 − 2
= lim 
+

x →1
x →1
x −1
x −1
x −1 




Ta có: lim

1

1 17


= lim  2 x + 3 +
 = 4+ 4 = 4
x →1
x+3 +2


9.b

0,5

0,5

1,0 điểm
Số phần tử của tập E là : A53 = 60.
3
Số các số thuộc tập E và khơng có chữ số 5 là: A4 = 24 .
Số các số thuộc tập E có chữ số 5 là: 60 − 24 = 36 .
2
Số cách cách chọn ra hai số khác nhau thuộc tập E là Ω = C60
Số cách cách chọn ra hai số khác nhau thuộc tập E trong đó có đúng một số có chữ số
1
1
5 là C36 .C24

Vậy, xác suất cần tìm là P =

1

1
C36 .C24 144
=
.
2
C60
295

0,25
0,25

0,25

0,25

-------------Hết-----------

www.DeThiThuDaiHoc.com

6


www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ KTCL ƠN THI ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 2013-2014
www.MATHVN.com
Mơn: TỐN; Khối B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
x+2

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y =
(C).
2x +1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Đường thẳng ( d1 ) có phương trình y = x cắt (C) tại hai điểm A và B. Đường thẳng ( d 2 ) có
phương trình y = x + m . Tìm tất cả các giá trị của m để ( d 2 ) cắt (C) tại hai điểm phân biệt C, D sao cho bốn
điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của hình bình hành.
cos 2 x ( cos x − 1)
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình:
= 2 (1 + sin x ) .
sin x + cos x
 2x
2y
+
=3

Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình:  y
( x, y ∈ R )
x
 x − y + xy = 3


Câu 4 (1,0 điểm). Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 3 1 − x 2 − 2 x 3 + 2 x 2 + 1 = m , ( m ∈ R )
có nghiệm duy nhất thuộc đoạn [ − 1;1] .

Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a , ( a > 0 ) . SA tạo với mặt phẳng đáy (ABC) một góc
bằng 60o . Tam giác ABC vng tại B, ACB = 300 , G là trọng tâm của tam giác ABC. Hai mặt phẳng (SGB)
và (SGC) cùng vng góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x 2 + y 2 + z 2 ≤ 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
1

1
1
thức: P =
+
+
.
1 + xy 1 + yz 1 + zx
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M (1; 2 ) , N ( 3; −4 ) và đường thẳng

(d ) : x + y – 3 = 0 .Viết phương trình đường trịn đi qua hai điểm M, N và tiếp xúc với (d ) .
n

2

Câu 8.a (1,0 điểm). Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức  − x 3  , x > 0 biết n là số tự nhiên thỏa
x

n−6
2
mãn hệ thức: Cn − 4 + nAn = 454 .
2 − log 3 x
4
Câu 9.a (1,0 điểm). Giải phương trình :
−
= 1.
log 3 9 x 1 − log 3 x
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(3; 2); các đường thẳng (d1 ) : x + y – 3 = 0 và

4

đường thẳng (d 2 ) : x + y – 9 = 0 . Tìm tọa độ điểm B thuộc (d1 ) và điểm C thuộc (d 2 ) sao cho tam giác ABC
vuông cân tại A.
Câu 8.b (1,0 điểm). Cho tập hợp X = {0,1, 2,3, 4,5, 6, 7} . Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số
khác nhau đôi một từ X, sao cho một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1.
x+2 − 3 x+6
Câu 9.b (1,0 điểm). Tìm giới hạn: I = lim
.
x →2
x2 − 4
-----------Hết----------Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm!
www.DeThiThuDaiHoc.com

1


www.MATHVN.com – Tốn học Việt Nam
Họ và tên thí sinh:……….………..…….…….….….; Số báo danh:……………………………………..
KTCL ÔN THI ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 2013-2014
Mơn: TỐN; Khối B
HƯỚNG DẪN CHẤM

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
(Đáp án có 06 trang)

I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo
cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm tồn bài tính đến 0,25 và khơng làm trịn.

- Với Câu 5 nếu thí sinh khơng vẽ hình phần nào thì khơng cho điểm tương ứng với phần đó.
II. ĐÁP ÁN:
Câu Ý
Nội dung trình bày
Điểm
1
a
x +2
1,0
(C).
Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y =
2x + 1
 
 1
TXĐ: D = ℝ \ −  .
 
 2
 
 
1
1
Giới hạn: lim y = ; lim y = ; lim + = +∞; lim − = −∞.
0.25
x →−∞
x →+∞

 1
2
2 x →−1 
 


x →− 
 
 2
 
 

 2
 
 

1
1
TCĐ: x = − ; TCN: y = .
2
2
−3
1
Ta có: y ' =
< 0; ∀x ≠ − .
2
2
(2x + 1)


1  1

 

Hàm số nghịch biến trên −∞; −  và − ; + ∞ .



 


2  2



0.25

BBT
x

1
2

−

y’
y

−

−∞

+∞

−
+∞

1
2
−∞

1
2

0.25

c) Đồ thị:
Giao với Ox tại (−2; 0)
Giao với Oy tại (0;2) .

 1

I − ;
 2

tiệm cận làm tâm đối xứng.
Đồ thị nhận giao điểm

b


1
 của hai

2


Đường thẳng (d1 ) có phương trình y = x cắt (C) tại hai điểm A và B. Đường thẳng

www.DeThiThuDaiHoc.com

0.25

1.0
2


(d )
2

www.MATHVN.com – Tốn học Việt Nam
có phương trình y = x + m . Tìm tất cả các giá trị của m để (d2 ) cắt (C) tại hai

điểm phân biệt C, D sao cho bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của hình bình hành.
d1 giao (C) tại 2 điểm A(-1;-1) , B(1;1) và AB 2 = 8 .
Phương trình hồnh độ giao điểm của d2 và (C) là
 2

2x + 2mx + m − 2 = 0 (1)
x +2

= x +m ⇔ 
x ≠ − 1
2x + 1



2


d2 cắt (C) tại 2 điểm C, D khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm phân biệt khác
∆ ' = m 2 − 2m + 4 > 0



⇔ 1
đúng ∀m .
 −m +m −2 ≠ 0

2



0.25

0.25

−1
2

0.25

C (x 1; x 1 + m ) ; D (x 2 ; x 2 + m ) , ( x 1, x 2 là nghiệm của (1))

x + x = −m
 1
2


Theo Viet ta có: 

x .x = m − 2
 1 2

2


A,B,C,D là bốn đỉnh một hình bình hành
AB / /CD
m ≠ 0


⇔ 2
⇔


AB = CD 2
(x 1 + x 2 )2 − 4x 1x 2 = 4






m ≠ 0

⇔ 2
⇒ m = 2 . KL: m = 2.


m − 2m = 0




2
Giải phương trình:

cos2 x (cos x − 1)
sin x + cos x

= 2 (1 + sin x ) .

π
+ k π, k ∈ ℤ
(*).
4
Ta có: PT ⇔ (1 − sin2 x ) (cos x − 1) = 2 (1 + sin x )(sin x + cos x )

Điều kiện: sin x + cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ −

⇔ (1 + sin x )(1 + co s x )(1 + sin x ) = 0

1 + sin x = 0
 x = − π + k 2π

⇔
⇔
;k ∈ℤ

2

1 + cos x = 0
x = π + k 2π

Kết hợp với điều kiện (*), suy ra phương trình đã cho có nghiệm là:
π
x = − + k 2π; x = π + k 2π k ∈ ℤ .
2
 2x
2y
+
=3

Giải hệ phương trình:  y
x
 x − y + xy = 3

Điều kiện: xy > 0

(

3

www.DeThiThuDaiHoc.com

)

0.25

1.0
0.25
0.25

0.25

0.25

1,0

0.25

3


www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
 2x 2 y
=5
 +
x
Hệ phương trình cho tương đương với  y
 x − y + xy = 3

 x = 2 y

2x 2 + 2 y 2 − 5 xy = 0
( x − 2 y )(2x − y ) = 0
 x − y + xy = 3
⇔
⇔

⇔
 y = 2 x
 x − y + xy = 3
 x − y + xy = 3

  x − y + xy = 3

x = 2 y
3

+ Với 
⇔ ( x; y ) = ( 2; 1) , ( x; y ) =  −3; − 
2

 x − y + xy = 3
 y = 2x
3
+ Với 
⇔ ( x; y ) = ( −1; − 2 ) , ( x; y ) = ( ;3)
2
 x − y + xy = 3

0.25

0.25

3
3

Vậy hệ có nghiệm là : ( 2; 1) ,  −3; −  , ( −1; − 2 ) , ( ;3) .

2
2


4

0.25

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 3 1 − x 2 − 2 x 3 + 2 x 2 + 1 = m

( m ∈ R ) , có nghiệm duy nhất thuộc đoạn [ − 1;1]

 1 
Đặt f ( x ) = 3 1 − x 2 − 2 x 3 + 2 x 2 + 1 , f ( x ) xác định và liên tục trên đoạn  − ;1 .
 2 
2
 3

3x
3x + 4 x
3x + 4
f '( x) = −
−
= −x 
+
.
1 − x2
1 − x2
x3 + 2 x2 + 1
x3 + 2 x 2 + 1 


3
3x + 4
Ta có:
+
> 0 , ∀x ∈ ( −1;1)
1 − x2
x3 + 2 x2 + 1
Vậy: f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 0 .

1,0

0.25

0.25

BBT:

x

-1

f / ( x)

||

0

+

0

1

-

||

1

0.25

f ( x)

−2 2
-4
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất thuộc
 −4 ≤ m < −2 2
[ −1;1] ⇔ 
m = 1
5

0.25

Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a (a > 0), SA tạo với mặt phẳng đáy (ABC) một
góc bằng 60o . Tam giác ABC vng tại B, ACB = 300 , G là trọng tâm của tam giác
ABC. Hai mặt phẳng (SGB) và (SGC) cùng vng góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể
tích của khối chóp S.ABC theo a.

www.DeThiThuDaiHoc.com

1,0

4


www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

S

A

C
G

M

B
Gọi M là trung điểm của BC. Ta có ( SBG ) ∩ ( SCG ) = SG
(SGB) và (SGC) cùng vng góc với mặt phẳng (ABC) suy ra
SG ⊥ ( ABC ), SAG = 600 , SG là chiều cao của chóp S.ABC.
SG = SA.sin SAG = 3a.

3 3a 3
3a
=
; AG = SA.cos SAG =
(1)
2
2

2

x 3
∆ABC vng tại B có C = 30 . Đặt AB = x, ( x > 0 ) suy ra BC = x 3, BM =
2
x 7
2
x 7
AM = AB 2 + BM 2 =
; AG = AM =
(2)
2
3
3
x 7 3a
9a
Từ (1) và (2) suy ra
=
⇔x=
3
2
2 7

0.25

0.25

o

1

1
81a 2 3
1
1 3a 3 81a 2 3 243a3
AB.BC = x 2 3 =
; VS . ABC = SG.S ABC = .
.
=
(đvtt)
2
2
56
3
3 2
56
112
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x 2 + y 2 + z 2 ≤ 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
1
1
1
biểu thức: P =
+
+
1 + xy 1 + yz 1 + zx

S ABC =

6

 1

1
1 
Ta có [ (1 + xy ) + (1 + yz ) + (1 + zx) ] 
+
+
≥9
 1 + xy 1 + yz 1 + zx 

0.25

0.25

1,0

0.25

⇔P≥

9
9
≥
2
3 + xy + yz + zx 3 + x + y 2 + z 2

0.25

⇒ P≥

9 3
=

6 2

0.25

Vậy GTNN là Pmin =

7.a

3
khi x = y = z=1
2

0.25

( )

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M 1; 2 , N (3; −4) và đường thẳng

1,0

(d ) : x + y – 3 = 0 .Viết phương trình đường trịn đi qua M, N và tiếp xúc với (d ) .
Gọi E là trung điểm MN ta có E(2;-1). Gọi ∆ là đường trung trực của MN.
Suy ra ∆ có phương trình x − 2 − 3 (y + 1) = 0 ⇔ x − 3y − 5 = 0.

0.25

Gọi I là tâm đường trịn đi qua M, N thì I nằm trên ∆ .

www.DeThiThuDaiHoc.com

5


www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
2

2

2

Giả sử I (3t + 5; t ) . Ta có IM = d (I , d ) ⇔ (3t + 4) + (t − 2) =

(4t + 2)

2t 2 + 12t + 18 = 0 ⇔ t = −3 . Từ đó suy ra I (−4; −3) , bán kính R = IM= 5 2 .
2

2

Phương trình đường trịn (x + 4) + (y + 3) = 50 .
8.a

0.25

2

0.25
0.25

n

2




Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức  − x 3  ; x > 0, biết n là số tự nhiên

x


4

1.0

n −6
2
thỏa mãn hệ thức: C n −4 + nAn = 454 .

Từ hệ thức đã cho suy ra n ≥ 6 .
n −6
2
C n −4 + nAn = 454 ⇔

(n − 4)!
n!
+n
= 454
2! (n − 6) !
(n − 2)!

2n 3 − n 2 − 9n − 888 = 0 ⇔ n = 8.
8
8
2

 − x3 =

Với n = 8 , 
∑C 8k 2x −1


x


k =0

(

0.25
0.25

k

)(

−x 3

8−k

)

8

8−k

k
= ∑ C 8 2k (−1)

x 24−4k

0.25

k =0

Hệ số của x4 tương ứng với 24 − 4k = 4 ⇔ k = 5 .
8−5

5
Vậy hệ số của x4 là C 8 25 (−1)

9.a

Giải phương trình :

2 − log 3 x
4
−
=1.
log 3 9 x 1 − log 3 x

1
Điều kiện : x > 0; x ≠ ; x ≠ 3.
9

1,0
0.25

Đặt log 3 x = t (t ≠ −2; t ≠ 1) , ta được :
t = −1
1
t = 4 ⇔ x = 3 , x = 81


7.b

0.25

= −1792 .

2
2−t
4
−
= 1 ⇔ t − 3t − 4 = 0
2 + t 1− t

0.25
0.25

1
Vậy tập nghiệm của phương trình là : x = , x = 81
3
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(3; 2); các đường thẳng
(d1 ) : x + y – 3 = 0 và đường thẳng (d2 ) : x + y – 9 = 0 Tìm tọa độ điểm B

0.25

1,0

thuộc (d1 ) và điểm C thuộc (d2 ) sao cho tam giác ABC vng cân tại A.

(

)

(

)

Ta có: B ∈ d1 ⇔ B a; 3 − a , C ∈ d2 ⇔ C b; 9 − b ⇒ AB = (a − 3;1 − a ),


AB.AC = 0

AC = (b − 3;7 − b ) , ∆ ABC vuông cân tại A ⇔  2

AB = AC 2




2ab − 10a − 4b + 16 = 0

(1)
⇔ 2

2
2a − 8a = 2b − 20b + 48 (2)




(1) ⇔ b =

5a − 8
. (Do a = 2 khơng t/mãn hệ ). Thế vào (2) tìm được a = 0 , a = 4
a −2

( )

Với a = 0 ta có b = 4 . Vậy B 0; 3 và C (4; 5) .
Với a = 4 ta có b = 6 . Vậy B (4; − 1) và C (6; 3) .

www.DeThiThuDaiHoc.com

0.25

0.25
0.25

0.25

6


8.b

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
Cho tập hợp X = {0,1, 2,3, 4,5, 6, 7} . Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ

1,0

số khác nhau đôi một từ X, sao cho một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1.
Giả sử số có 5 chữ số khác nhau đôi một là: a b c d e , ( a ≠ 0 )

0.25

Xem các số hình thức a b c d e , kể cả a = 0. Có 3 cách chọn vị trí cho 1 (1 là a hoặc là
4
b hoặc là c). Sau đó chọn trị khác nhau cho 4 vị trí cịn lại từ X \ {1} : số cách chọn A7 .

0.25

Như thế có 3 x (7 x 6 x 5 x 4) = 2520 số.
3
Xem các số hình thức 0b c d e có 2. A6 = 240 số

Loại những số dạng 0b c d e ra, ta còn 2520 – 240 = 2280 số thỏa mãn yêu cầu đề bài.

9.b

0.25
0.25

x+2 − 3 x+6
.
x→2
x2 − 4
x+2 − 3 x+6
( x + 2 − 2) − ( 3 x + 6 − 2)
lim
= lim
x→2
x →2
x2 − 4
x2 − 4


x−2
x−2
= lim 
−

x→2
 ( x − 2)( x + 2)( x + 2 + 2) ( x − 2)( x + 2)( 3 ( x + 6) 2 + 2 3 x + 6 + 4) 




1

1
= lim 
−

x →2
 ( x + 2)( x + 2 + 2) ( x + 2)( 3 ( x + 6) 2 + 2 3 x + 6 + 4) 


1 1
1
= −
=
.
16 48 24
---------- Hết ----------

Tìm giới hạn : lim

www.DeThiThuDaiHoc.com

1,0
0.25
0.25

0.25
0.25

7

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ KTCL ƠN THI ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 2013-2014
Mơn: TỐN; Khối D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
www.MATHVN.com
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + 2 có đồ thị là (C ) .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số.
b) Gọi (d ) là đường thẳng qua A(1; 0) và có hệ số góc k .Tìm tất cả các giá trị thực của k để (d ) cắt đồ
2
2
thị (C ) tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x12 + x2 + x3 = 11 .
x
x
π x 
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình: 1 + sin sin x − cos sin 2 x = 2 cos 2  −  .
2
2
 4 2
2
Câu 3 (1,0 điểm). Giải phương trình:
= 1+ 3 + 2x − x2 .
x +1 + 3 − x
 x2 + y2 = 2

( x, y ∈ ℝ ).
Câu 4 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình : 
4
( x + y )(1 + xy ) = 32


Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , tam giác SAB đều và
nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt đáy. Gọi M , N , P, K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng
BC , CD, SD, SB . Tính thể tích của khối chóp S . ABMN và khoảng cách giữa hai đường thẳng MK và
AP theo a .
Câu 6 (1,0 điểm). Cho x, y là hai số thực dương thay đổi thoả mãn điều kiện 4( x + y ) − 5 = 0 . Tìm giá
4 1
trị nhỏ nhất của biểu thức : P = +
.
x 4y
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A(0; 2); B (−2; −2);
C (4; −2) . Gọi P là hình chiếu vng góc của B trên AC ; M , N lần lượt là trung điểm của AB và BC .
Viết phương trình đường trịn đi qua ba điểm M , N , P .

Câu 8.a (1,0 điểm). Giải phương trình: log 4 ( x + 1) 2 + 2 = 2 log 2 3 − x + log8 (3 + x)3 .
Câu 9.a (1,0 điểm). Một thùng đựng 12 hộp sữa. Trong 12 hộp đó có 5 hộp sữa cam , 7 hộp sữa dâu. Lấy
ngẫu nhiên 3 hộp sữa trong thùng, tính xác suất để trong 3 hộp sữa được lấy ra có ít nhất 2 hộp sữa cam.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh B ( −12;1) và
1 2
trọng tâm G  ;  . Đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A có phương trình x + 2 y − 5 = 0 . Viết phương
3 3
trình đường thẳng BC .
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho đường tròn (C ) có phương trình:
x 2 + y 2 − 6 x + 2 y − 6 = 0 và điểm A(3;3) . Lập phương trình đường thẳng (d ) đi qua A và cắt ( C ) tại hai

điểm sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng độ dài cạnh của hình vng nội tiếp đường trịn ( C ) .
Câu 9.b (1,0 điểm). Cho n là số nguyên dương thỏa mãn:

(

triển nhị thức Niu-tơn 1 − 3 x

)

2
14 1
+ 3 = . Tìm hệ số của x9 trong khai
2
Cn 3Cn n

2n

.

-------------Hết-----------Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:…………………………………………Số báo danh:……………………………
DeThiThuDaiHoc.Com

1


www.MATHVN.com – Tốn học Việt Nam
ĐÁP ÁN KTCL ƠN THI ĐH LẦN 1 NĂM HỌC 2013-2014
Mơn: TỐN; Khối D

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

(Đáp án có 05 trang)
I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm
theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm tồn bài tính đến 0,25 và khơng làm trịn.
- Với bài hình học khơng gian nếu thí sinh khơng vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì khơng cho điểm tương ứng
với phần đó.
II. ĐÁP ÁN:
Câu Ý
Nội dung trình bày
Điểm
1
a 1,0 điểm
• TXĐ: R
• Sự biến thiên:
0,25
x = 0
2
-Chiều biến thiên: y ' = 3 x − 6 x = 3 x( x − 2) = 0 ⇔ 
x = 2
- Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng : ( −∞; 0 ) và ( 2; +∞ )
- Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2) .
- Cực trị : Hàm số đạt cực đại tại x = 0 ⇒ yCĐ = 2
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 ⇒ yCT = −2 .
- Giới hạn : lim y = −∞ ; lim y = +∞
x →−∞

0,25

x →+∞

- Bảng biến thiên:
x

−∞

0
+

y’

0

+∞

2
-

0

+

+∞

2

0,25

y
−∞

•

-2

Đồ thị: đồ thị nhận I(1; 0) làm tâm đối xứng .

Đồ thị đi qua các điểm : (1;0);(0; 2); (2; −2); (1 − 3;0); (1 + 3; 0) .

0,25

b 1,0 điểm
- Đường thẳng (d ) có phương trình : y = k ( x − 1)
- Phương trình hồnh độ giao điểm của (C ) và (d ) : k ( x − 1) = x3 − 3 x 2 + 2
DeThiThuDaiHoc.Com

(1)

0,25

2


www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
- Để (d ) cắt (C ) tại 3 điểm phân biệt ⇔ (1) có 3 nghiệm phân biệt
⇔ k ( x − 1) = ( x − 1)( x 2 − 2 x − 2)
có 3 nghiệm phân biệt
2
⇔ ( x − 1)( x − 2 x − 2 − k ) = 0
có 3 nghiệm phân biệt

⇔ g ( x) = x 2 − 2 x − 2 − k = 0
(2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
∆ ' = 1 + 2 + k > 0
⇔
⇔ k > −3
 g (1) = −3 − k ≠ 0

0,25

0,25

- Giả sử 3 nghiệm phân biệt của (1) là x1 = 1 ; x2 ; x3 với x2 ; x3 là nghiệm của (2).
Áp dụng định lý Vi-ét có: x2 + x3 = 2; x2 x3 = −( k + 2 )
2
2
⇒ x2 + x3 = ( x2 + x3 ) 2 − 2 x2 x3 = 4 − 2(−2 − k ) = 8 + 2k

2

3

4

2
2
Vậy x12 + x2 + x3 = 11 ⇔ 1 + 8 + 2k = 11 ⇔ k = 1 (thỏa mãn).
1,0 điểm
x
x
π x 

Ta có: 1 + sin sin x − cos sin 2 x = 2 cos 2  − 
(1)
2
2
 4 2
x
x
π
(1) ⇔ 1 + sin sin x − cos sin 2 x = 1 + cos  − x  = 1 + sin x


2
2
2

x
x
x
x
x
x 



⇔ sin x  sin − cos sin x − 1 = 0 ⇔ sin x  sin − cos .2sin cos − 1 = 0
2
2
2
2
2

2 



x 
x
x 

⇔ sin x  sin − 1  2sin 2 + 2sin + 1 = 0
2 
2
2 



sin x = 0
 x = kπ

x
⇔ sin = 1
⇔ x π
(k ∈Z )
 = + k 2π
 2
2 2

x
x
 2sin 2 + 2sin + 1 = 0(VN )


2
2
 x = kπ
⇔
⇔ x = kπ , ( k ∈ Z ) .
 x = π + k 4π
Vậy phương trình có nghiệm x = kπ (k ∈ Z )
1,0 điểm
Đk: −1 ≤ x ≤ 3
t2 − 4
Đặt t = x + 1 + 3 − x ,(2 ≤ t ≤ 2 2) ⇒ 3 + 2 x − x 2 =
2
3
2
Phương trình đã cho trở thành : t − 2t − 4 = 0 ⇔ (t − 2)(t + 2t + 2) = 0 ⇔ t = 2
 x = −1
Với t = 2 ⇔ x + 1 + 3 − x =2 ⇔ 
x = 3
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = −1 và x = 3 .
1,0 điểm
2
 2
 x + y = 2 (1)
Phương trình: 
4
( x + y )(1 + xy ) = 32 (2)


Ta có (2) ⇔ ( x + y )(2 + 2 xy ) = 2
4

9

0,25

0,25
0,25

0,25

0.25
0.25

0.25
0.25

0.25

(3)

Thay x + y = 2 vào (3) ta có :
2

0,25

2

( x + y )( x 2 + y 2 + 2 xy ) 4 = 29 ⇔ ( x + y )( x + y )8 = 29 ⇔ ( x + y )9 = 29 ⇔ x + y = 2

DeThiThuDaiHoc.Com

0.25

3


www.MATHVN.com – Tốn học Việt Nam
Khi đó ta có hệ phương trình
x + y = 2
x + y = 2
x + y = 2
x = 1
⇔
⇔
⇔
 2
2
2
 xy = 1
y =1
x + y = 2
( x + y ) − 2 xy = 2
5

Kết luận : Hệ phương trình đã cho có nghiệm ( x; y ) = (1;1) .
1,0 điểm

0.25
0.25

S

P
K
A

D
E

H

N

B

C

M

Gọi H là trung điểm của AB . Ta có AH ⊥ ( ABCD ) , SH =

a 3
2

5a 2
S ABMN = S ABCD − S ADN − S MNC =
(đvdt).
8
1
5 3a 3

VS . ABMN = .SH .S ABMN =
(đvdt)
3
48
Ta có KM ( APN ) (Vì KM SC NP, NP ⊂ ( APN ) )
Gọi E = AN ∩ MD thì ME ⊥ ( SHC ) mà ( SHC ) ( APN ) nên ME ⊥ ( APN )
⇒ d ( KM , AP ) = d ( KM , ( APN )) = d ( M , ( APN )) = ME
Tam giác EDN đồng dạng với tam giác CDM ⇒ ED =

6

1
3 5a
a , do đó ME =
10
5

0.25

0.25

0.25

0.25

3 5a
Vậy d ( KM , AP ) = ME =
.
10
1,0 điểm

Ta có: 4( x + y ) − 5 = 0 ⇔ 4 y = 5 − 4 x . Do y > 0 nên 0 < x <
4 1
20 − 15 x
⇒ P= +
=
.
x 4y
x(5 − 4 x)
Xét hàm số f ( x) =

5
.
4

0.25

20 − 15 x
5
−60 x 2 + 160 x − 100
với x ∈ (0; ) ; f ′( x) =
;
5x − 4 x2
4
(5 − 4 x 2 ) 2

x = 1
′( x) = 0 ⇔ 
; lim f ( x) = +∞; lim− f ( x) = +∞;
f
 x = 5 (l ) x →0+

5
x→
4
3

Bảng biến thiên
x

_

f'(x)
f(x)

5
4

1

0

0

+
+∞

+∞

0.25

0.25

5

DeThiThuDaiHoc.Com

4


www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
Từ bảng biến thiên ta có min f ( x) = 5 đạt được tại x = 1 .
5
(0; )
4

Vậy P có giá trị nhỏ nhất bằng 5 đạt được khi x = 1 và y =
7.a

0.25

1
.
4

1,0 điểm
- Ta có : AC = (4; −4); M (−1; 0); N (1; −2)
- Đường thẳng AC có phương trình : x + y − 2 = 0
⇒ đường thẳng BP có phương trình: x − y = 0 ⇒ P (1;1)
Giả sử đường tròn qua P; M ; N có phương trình

0.25

0.25

x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 (a 2 + b 2 − c > 0)

8.a

1

a = − 2
2a + 2b + c + 2 = 0

1


Khi đó ta có hệ phương trình −2a + c + 1 = 0
(thỏa mãn)
⇔ b =
2
2a − 4b + c + 5 = 0


 c = −2


2
2
Vậy đường trịn cần tìm có phương trình: x + y − x + y − 2 = 0
1,0 điểm
log 4 ( x + 1) 2 + 2 = 2 log 2 3 − x + log8 (3 + x)3 (1)
 −3 < x < 3

Điều kiện : 
 x ≠ −1
(1) ⇔ log 2 x + 1 + 2 = log 2 (3 − x) + log 2 (3 + x)

⇔ log 2 4 x + 1 = log 2 (9 − x 2 )
 x2 + 4 x − 5 = 0
⇔ 4 x +1 = 9 − x ⇔  2
 x − 4 x − 13 = 0

0.25

0.25

0.25

0.25

2

9.a

x = 1
 x = −5
⇔
.
 x = 2 + 17

 x = 2 − 17

Kết hợp với điều kiện ⇒ (1) có hai nghiệm x = 1 hoặc x = 2 − 17

1,0 điểm
3
- Số cách lấy 3 hộp sữa một cách tuỳ ý trong 12 hộp sữa là: C12 = 220
1
- Số cách lấy được 2 sữa cam và 1 sữa dâu là : C52 .C7 = 70 .

- Số cách lấy được 3 sữa cam là : C53 = 10

7.b

3
⇒ Số cách lấy 3 hộp sữa sao cho có ít nhất 2 hộp sữa cam là: C52 .7 + C5 = 80 .
80
4
- Xác suất lấy được ít nhất 2 hộp sữa cam là:
=
220 11
4
Vậy xác suất cần tìm là
.
11
1,0 điểm

DeThiThuDaiHoc.Com

0.25

0.25

0.25

0.25
0.25

0.25

5


www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

13

 xE = 2
3

 13 1 
- Gọi E là trung điểm AC ⇒ BE = BG ⇒ 
⇒ E ; 
2
 2 2
y = 1
 E 2

Gọi K là điểm đối xứng của B qua AD thì K ∈ AC ,
- Phương trình BK : 2x − y + 25 = 0

0.25

- Gọi H là trung điểm BK thì H ∈ AD
2x − y + 25 = 0

- Tọa độ H ( x; y ) : 
⇒ H ( −9; 7 ) ⇒ K ( −6;13)
x + 2 y − 5 = 0
- Phương trình của AC (phương trình của EK ): x+y − 7 = 0

0.25

- Ta có: AC ∩ AD = A ⇒ A ( 9; −2 ) ⇒ C ( 4;3)

0.25

x−4
y −3
=
⇔ ( BC ) : x − 8 y + 20 = 0
−12 − 4 1 − 3
Kết luận: Phương trình cạnh ( BC ) : x − 8 y + 20 = 0

0.25

- Có B ( −12;1) , C ( 4;3) ⇒ ( BC ) :

8.b

1,0 điểm
C
D
I

(d)

B

0.25

A

Đường tròn (C ) có tâm I (3; − 1), bán kính R = 4. Ta có A(3;3) ∈ (C )
Phương trình đường thẳng (d ) có dạng: a ( x − 3) + b( y − 3) = 0, (a 2 + b 2 ≠ 0)
⇔ ax + by − 3a − 3b = 0

9.b

Giả sử (d ) cắt (C ) tại hai điểm A, B . Ta có AB = IA 2 = 4 2 và
1
d ( I , d ) = AB = 2 2
2
3a − b − 3a − 3b
⇔
= 2 2 ⇔ 2 b = 2. a 2 + b 2 ⇔ b = ± a
2
2
a +b
Chọn a = 1 ⇒ b = ±1 .
Vậy phương trình đường thẳng (d ) cần lập là: x + y − 6 = 0 hoặc x − y = 0
1,0 điểm
Đk: n ≥ 3, n ∈ N
2
14
1
2(2!)(n − 2)! 14(3!)(n − 3)! 1

Ta có: 2 + 3 =
⇔
+
=
Cn 3Cn n
n!
n !(3)
n
 n = 9(t / m)
⇔ n 2 − 7 n − 18 = 0 ⇔ 
 n = −2(l )

DeThiThuDaiHoc.Com

0.25

0.25
0,25

0.25

0.25

6


www.MATHVN.com – Tốn học Việt Nam
18

18

k =0

k =0

k
k
Từ đó: (1 − 3 x) 2 n = (1 − 3 x)18 = ∑ C18 (− x 3) k = ∑ C18 (− 3) k x k

0.25

9
Vậy hệ số : a9 = C18 (− 3)9 = −3938220 3 .

0.25

---------- Hết ----------

DeThiThuDaiHoc.Com

7