10 cách giải cho 1 hệ phương trình

10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuấn Anh
www.MATHVN.com

Hệ phương trình giải được bằng 10 cách
 x9  7 y 4


(1)

 y9  7x 4


(2)

Bài toán. Giải hệ phương trình 

.

Giải

9  x  7

Điều kiện : 

9  y  7

.

Cách 1:
Từ hệ phương trình đã cho, ta suy ra

x9  7x 



Xét hàm số f t 

f ' t 



Suy ra hàm số f t
Từ (*) ta coù

y9  7 y

x9  7 y 

y9  7x

(*)

t  9  7  t  9  t  7 ;

1
2 t9



1
2 7t

 0, t   9;7  .

đồng biến trên  9;7 .



f  x   f  y   x  y . Thế vào (1) ta thu được phương trình

x  9  7  x  4  x  9  7  x  2 x  9 7  x  16   x2  2x  63  0
x  7  y  7
  x2  2x  63  0  
.
 x  9  y  9

 x  9  x  7
.
;
 y  9  y  7

Vậy hệ phương trình có nghiệm 



www.DeThiThuDaiHoc.com

Page 1


10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuấn Anh

www.MATHVN.com
Cách 2:
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình sau












x9  7 y 4

y9  7x 4




7  x

x9  7 y
y9 

2

2

 x  9  7  y  2 x  9. 7  y  16



 x  9  7  y  2 y  9. 7  x  16


 16
 16

 x  y  2 x  9. 7  y  0


 x  y  2 y  9. 7  x  0


2 x  9. 7  y  2 y  9. 7  x  7x  xy  63  9 y  7 y  xy  63  9x

 16x  16 y  x  y .

Thế

vào

(1)

ta

thu

được

phương

trình

x  9  7  x  4  x  9  7  x  2 x  9 7  x  16   x2  2x  63  0
x  7  y  7
.
  x2  2x  63  0  
 x  9  y  9

 x  9  x  7
.
;
 y  9  y  7

Vậy hệ phương trình có nghiệm 

Cách 3:
Giải hệ phương trình đã cho chúng ta xét các trường hợp sau :
TH1: Nếu x  y thì ta có

x9  7 y 

x9 

y  9 vaø

7  y  7  x suy ra

 x9  7 y 4

y  9  7  x mà 
nên 4  4 (vô lí).
 y9  7x 4


TH2: Nếu x  y thì ta có



x9 

y  9 và

7  y  7  x suy ra

www.DeThiThuDaiHoc.com

Page 2


10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuấn Anh
www.MATHVN.com
x9  7 y 

TH3:

Nếu

 x9  7 y 4

y  9  7  x mà 
nên 4  4 (vô lí).
 y9  7x 4


xy

,

thế

vào

(1)

ta

thu

được

phương

trình

x  9  7  x  4  x  9  7  x  2 x  9 7  x  16   x2  2x  63  0

x  7  y  7
  x2  2x  63  0  
.
 x  9  y  9

 x  9  x  7
.
;
y  9  y  7


Vậy hệ phương trình có nghiệm 

Cách 4:
Từ hệ phương trình đã cho ta coù



 

x9  7x 

7 y 



y  9  8 (*)

Ta coù :



x9  7x





y9  7 y



2

Từ (3) và (4) ta có

2

 16  2. x  9. 7  x  16 suy ra

x  9  7  x  4 (3);

 16  2. y  9. 7  y  16 suy ra

y  9  7  y  4 (4).

x9  7x 

y  9  7  y  8.

Vậy để (*) xảy ra thì ở (3) và (4) phải đạt dấu bằng.







  x  9


x  9. 7  x  0
 x  9  7  x   0
 x  7


.
y  9. 7  y  0
 y  9  7  y   0
  y  9

 y  7




www.DeThiThuDaiHoc.com

Page 3

10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuấn Anh
Thay

 x; y 

www.MATHVN.com

bởi

 9; 9 ;  9;7 ; 7;7 ; 7; 9

vào hệ phương trình đã cho ta coù

 x  9  x  7
.
;
 y  9  y  7

nghiệm của hệ phương trình là 

Cách 5:
Đặt u 

x9 0;v 7 y 0; z 

y  9  0 ; t  7  x  0 . Ta thu được hệ

phương trình :

u  v  4

z  t  4
 2
2
u  t  16
 z2  v2  16

Từ (1) và (2)  u  v  z  t

(1)
(2)
(3)
(4)

(5) ;

Từ (3) vaø (4)  u2  t2  z2  v2  u2  v2  z2  t2

  u  v u  v   z  t  z  t 

(6)

Từ (5) và (6) ta được

u  v  z  t

  u  v u  v   z  t  u  v

 u  v u  v   z  t  z  t 


  u  v  u  v   z  t   0   u  v   z  t   0 (vì u  v  4  0 )



 u  z  v  t (7) .
Mặt khác, từ (5)  u  v  z  t  u  z  t  v

(8)

Từ (7) và (8)  u  z  v  t  t  v  v  t vaø u  z .



www.DeThiThuDaiHoc.com

Page 4


10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuaán Anh
www.MATHVN.com
 x9  y9


 x  y.
 7x  7 y

Thế x  y vào (1) ta thu được phương trình :

x  9  7  x  4  x  9  7  x  2 x  9 7  x  16   x2  2x  63  0

x  7  y  7
.
  x2  2x  63  0  
 x  9  y  9

 x  9  x  7
.
;
 y  9  y  7

Vậy hệ phương trình có nghiệm 

Cách 6:
Từ hệ phương trình đã cho ta có





 

x9  7x 

7 y 



y  9  8 (*)

t  9  7  t , t   9;7 .




Xét hàm số f t 

f ' t 

1
2 t9



1
2 7t



1 7t  t9
.
, t   9;7  ;
2
t  9. 7  t

f '  t   0  7  t  t  9  7  t  t  9  t  1   9;7  .

 

 

 

Ta coù f 9  4; f 7  4; f 1  4 2 .

 M in f  t   f  9   f 7   4  f  x   f  y   4  4  8 . Do đó, (*) xảy ra khi
9;7



 f  x  4

  x; y    9; 9  ; 7;7  ;  9;7  ; 7; 9  .
 f  y  4


ta coù 









 



Thay x; y bởi 9; 9 ; 9;7 ; 7;7 ; 7; 9 vào hệ phương trình đã cho ta có

www.DeThiThuDaiHoc.com

Page 5


10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuaán Anh
www.MATHVN.com
 x  9  x  7
.
;
 y  9  y  7

nghiệm của hệ phương trình là 

Cách 7:
Từ hệ phương trình đã cho ta có



Xét hàm số f t 

f ' t 



 

x9  7x 

7 y 



y  9  8 (*)

t  9  7  t , t   9;7 .



1
2 t9



1
2 7t



1 7t  t9
.
, t   9;7  ;
2
t  9. 7  t

f '  t   0  7  t  t  9  7  t  t  9  t  1   9;7  .
Bảng biến thiên

9

x

7

1

f '  x

0

+

f  x

-

4 2
4

4



 

 

Từ bảng biến thieân ta suy ra M in f t  f 9  f 7  4 .

9;7



 f  x   f  y   2. M in f  t   2.4  8 .
9;7



Do

đó,

(*)

xảy

ra

khi

ta

có

 f  x  4
 x9  7x 4




  x; y    9; 9  ; 7;7  ;  9;7  ; 7; 9  .

 f  y  4
 7 y  y9 4











 



Thay x; y bởi 9; 9 ; 9;7 ; 7;7 ; 7; 9 vào hệ phương trình đã cho ta có



www.DeThiThuDaiHoc.com

Page 6


10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuaán Anh
www.MATHVN.com

 x  9  x  7
.
;
 y  9  y  7

nghiệm của hệ phương trình là 

Cách 8:

 x9  7 y 4


(1)

 y9  7x 4


(2)

Xét hệ phương trình 

Đặt x  m  y , (điều kiện tồn tại căn thức là 7  x  m  0; x  m  9  0 ). Ta thu
được hệ phương trình với aån m vaø x laø :

 x9  7xm  4
 x  9  7  x  m  2 x  9. 7  x  m  16





 xm9  7x  4
 x  m  9  7  x  2 x  m  9. 7  x  16


m  2 x  9. 7  x  m  0


m  2 x  m  9. 7  x  0


(3)
(4)

.

Từ (3) suy ra m  0  m  0 và từ (4) suy ra m  0 . Vậy để (3) và (4) đồng thời
xảy ra thì ta phải có m  0 .
Vậy hệ (3), (4) trở thành

 x  9. 7  x  0



 x  9. 7  x  0


x  9  0
x  9. 7  x  0  

7x 0



 x  9
.

x7


Maø x  m  y với m  0 nên x  y .

 x  9  x  7
.
;
 y  9  y  7

Kết luận: hệ phương trình đã cho có nghiệm là 

Cách 9:



www.DeThiThuDaiHoc.com

Page 7


10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuấn Anh
www.MATHVN.com

 x9  7 y 4




Ta có 
y9  7x 4





 x  1  8 
 y  1  8 

8   y  1  4
8   x  1  4

Đặt x  1  u; y  1  v . Ta thu được hệ phương trình với ẩn u và v laø :

 u8  8v  4

.

 v8  8u  4

9  x  7

8  x  1  8

Do 

neân 

9  y  7

8  y  1  8

8  u  8

, suy ra 

8  v  8

.

 
 . Ta thu được hệ phương trình
 2

Ta lại đặt u  8 cos2a ; v  8 cos2b với a, b  0;
với aån a vaø b laø :


 8 cos 2a  8  8  8 cos 2b  4

 8  cos 2a  1  8 1  cos 2b  4


8 cos 2b  8  8  8 cos 2a  4

 8  cos 2b  1  8 1  cos 2a   4
















 8 2 cos2 a  8 2 sin 2 b  4
4 cos a  4 sin b  4




 8 2 cos2 b  8 2 sin 2 a  4

4 cos b  4 sin a  4


 cos a  sin b  1


 cos a  sin b  cos b  sin a  2 . (*)

 cos b  sin a  1

Do

cos a  cos2 a; sin b  sin2 b; cos b  cos2 b; sin a  sin2 a

2
2
2
2
neân cos a  sin b  cos b  sin a  cos a  sin b  cos b  sin a  2 .

Vậy (*) xảy ra khi ta có :



www.DeThiThuDaiHoc.com

Page 8


10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuaán Anh
www.MATHVN.com
 cos a

 sin b


 cos b


 sin a


 cos a
2

cos a  cos2 a
cos a  cos2 a  0


2
2
 sin 2 b
 
sin b  sin b
sin b  sin b  0


( lưu ý a, b  0;  )
2
2
2
 cos b
 2
cos b  cos b
cos b  cos b  0
2
2



sin a  sin a
sin a  sin a  0
 sin 2 a

 cos a  0

 cos a  1
 sin b  0
cos a  0 cos a  0 cos a  1 cos a  1





 sin b  1
sin a  1 sin a  1 sin a  0 sin a  0
.


;
;
;
 cos b  1
cos b  0 cos b  1 cos b  0 cos b  1
 cos b  0
sin b  1 sin b  0 sin b  1 sin b  0






sin a  1

 sin a  0
Laïi

do

cos2 a  sin2 a  1; cos2 b  sin2 b  1

nên

ta

chỉ

cần

xét

với

cos a  0 cos a  0 cos a  1 cos a  1
;
;
;
.

cos b  0 cos b  1 cos b  0 cos b  1
1  cos 2a

0

cos a  0
cos 2a  1

2


TH1: 
cos b  0
cos 2b  1
1  cos 2b  0

2


u  8
 x  1  8
 x  9
.(thỏa mãn bài toán)



v  8
 y  1  8
 y  9
1  cos 2a
0

cos a  0

cos 2a  1

2


TH2: 
cos b  1
cos 2b  1
1  cos 2b  1

2


u  8


v  8

 x  1  8


y  1  8



 x  9
.( không thỏa mãn bài toán)

y  7

www.DeThiThuDaiHoc.com

Page 9


10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuaán Anh
www.MATHVN.com
1  cos 2a
1

cos a  1

2


TH3: 
cos b  0
1  cos 2b  0

2


cos 2a  1

cos 2b  1

u  8
x  1  8
x  7
.( không thỏa mãn bài toán)




v  8
 y  1  8
 y  9

cos a  1

TH4: 
cos b  1


u  8


v  8

1  cos 2a
1


2


1  cos 2b

1

2



x  1  8


y  1  8

cos 2a  1

cos 2b  1

x  7
.(thỏa mãn bài toán)

y  7

 x  9  x  7
.
;
 y  9  y  7

Kết luận: hệ phương trình đã cho có nghiệm là 

Cách 10:

 x9  7 y 4


(1)

 y9  7x 4


(2)

Xét hệ phương trình 

Đặt x  m  y , ta có :

7  y  0  7  x  m  0  x  7  m ; y  9  0  x  m  9  0  x  m  9 .
Laïi do 9  x  7 nên để tồn tại các căn thức bậc hai ta cần có

7  m  7

m  9  9

m  0

 m  0 . Với m  0 thì x  y .
m  0
Thế x  y vào (1) ta thu được phương trình :



www.DeThiThuDaiHoc.com

Page 10


10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuaán Anh

www.MATHVN.com
x  9  7  x  4  x  9  7  x  2 x  9 7  x  16   x2  2x  63  0
x  7  y  7
.
  x2  2x  63  0  
 x  9  y  9

 x  9  x  7
.
;
 y  9  y  7

Vậy hệ phương trình có nghiệm 

Bài viết của: Trần Tuấn Anh –



www.DeThiThuDaiHoc.com

Page 11