lượng giác trong đề thi đại học

Nguyn Tn t
1

PHNG TRèNH LNG GIC TRONG THI I HC



Trong thi i hc, chỳng ta thng gp cõu gii phng trỡnh lng giỏc. Cõu ny chim 1 im
trong v cng khụng phi l cõu khú. Tuy nhiờn do phn kin thc lng giỏc nm chng
trỡnh lp 11 nờn cỏc em hc sinh cng gp khụng ớt khú khn.
phn ny, chỳng ta s xem xột mt s bi lng giỏc trong cỏc thi i hc nhng nm gn õy.
Qua ú ta s xem xột cỏc phng phỏp gii ch yu.

1. thi tuyn sinh i hc nm 2010 - 2011
(Khi A) Gii phng trỡnh
(
)
2
1 sin 2x cos 2x
2 sin xsin 2x
1 co t x
+ +
=
+

Phõn tớch v gii:
i vi phng trỡnh lng giỏc cú cha n mu, vic u tiờn l t iu kin v qui ng.
iu kin:
2
1 cot x 0, x
x k

sin x 0
ỡ
+ ạ " ẻ
ạ p
ớ
ạ
ợ
Ă

Phng trỡnh ó cho tng ng:
(
)
2
1 sin 2x cos 2x 2 sin x sin 2x 1 co t x
+ + = +

1 sin 2x cos 2x 2 2 cos x
+ + =
(1)
Phng trỡnh (1) cú hai loi bin
x
v
2x
nờn ta bin i a v phng trỡnh tớch. Vỡ v phi cha
s hng
cos x
nờn ta cn lm xut hin s hng
cos x
v trỏi.
Do ú:

( )
(
)
2
1 2sin x cos x 2cos x 2 2 cos x cos x sin x cos x 2 0
+ = + - =

cos x 0
x k
2
,k
sin x 1
x k2
4
4
p
ộ
=
ộ
= + p
ờ
ờ
ẻ
ờ
p
ổ ử
ờ
+ =
p
ỗ ữ

ờ
= + p
ờ
ố ứ
ở
ờ
ở
Â

So sỏnh iu kin, ta c nghim:
S k , k2 ,k
2 4
p p
ỡ ỹ
= + p + p ẻ
ớ ý
ợ ỵ
Â

(Khi B) Gii phng trỡnh
sin 2x cos x sin x cos x cos 2x sin x cos x
+ = + +
(1)
Phõn tớch v gii:
Phng trỡnh ó cho cú hai loi bin
x
v
2x
nờn ta bin i a v phng trỡnh tớch.
Cỏch 1:

Vỡ v trỏi cú nhõn t chung l
sin 2x
nờn ta bin i nh sau:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 sin 2x 2cos x 1 2cos x 2cos x 1 2 sin x 1
+ = + + -


(
)
(
)
(
)
2cosx 1 sin 2x 2cosx 2 sin x 1
+ - = -


(
)
(
)
(

)
( ) ( )
( )( )
2cosx 1 cosx sin x 1 sin x 1
sin x 1 cosx 2cos x 1 1 0
sin x 1 cos2x cosx 0
+ - = -
- + - =ộ ự
ở ỷ
- + =

Nguyn Tn t
2


( )
2
x k
2
x k
3 3
cos2x cosx cos x
3 3
x k2
sin x 1
x k2
x k2
2
2
p p

ộ
= +
p p
ộ
ờ
= +
ờ
= - = p -ộ
ờ
= -p + p
ờ
ờ
ờ
p
=
ờ
ở
ờ
= + p
p
ờ
= + p
ờ ở
ở

Cỏch 2:
(
)
(
)

( ) ( )
( )( )
1 sin x 1 cos 2x sin x cos x cos 2x sin x cos x
cos 2x sin x 1 cos x sin x 1 0
sin x 1 cos2x cos x 0
+ + = + +
- + - =
- + =

Tip tc gii nh trờn.
Cỏch 3:
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
( )( )
2
1 sin x 2cos x 1 sin x 1 cos x cos 2x
cos 2x sin x 1 sin x 1 cos x 0
sin x 1 cos 2x cos x 0
- + - =
- + - =
- + =


(Khi D) Gii phng trỡnh
sin 2x 2cos x -sin x -1

0
tan x 3
+
=
+
(1)
Phõn tớch v gii:
Trc ht, ta t iu kin:
x k
tan x 3 0
3
,k
cosx 0
x k
2
p
ỡ
ạ - + p
ù
ỡ
+ ạ
ù ù
ẻ
ớ ớ
p
ạ
ù
ợ
ù
ạ + p

ù
ợ
Â

Vi iu kin trờn thỡ (1) tng ng:
sin 2x 2cosx -sin x -1 0
+ =
(2)
Phng trỡnh ny cú hai loi bin
x
v
2x
nờn ta bin i a v phng trỡnh tớch.
(
)
(
)
(
)
(
)
2cosx sin x 1 sin x 1 0 sin x 1 2cosx 1 0
+ - + = + - =

sin x 1
x k2
2
,k
1
cosx

x k2
2
3
p
ộ
= -
= - + p
ộ
ờ
ờ
ẻ
ờ
ờ
p
=
ờ
= + p
ở
ờ
ở
Â

So sỏnh vi iu kin, ta c nghim l:
x k2
3
p
= + p


2. thi tuyn sinh i hc nm 2009 - 2010

(Khi A) Gii phng trỡnh
( )
1 sin x cos 2x sin x
1
4
cos x
1 tan x
2
p
ổ ử
+ + +
ỗ ữ
ố ứ
=
+

Nhn xột: cú 3 loi bin tham gia x, 2x,
x
4
p
+
nờn nh hng l bin i lng giỏc rỳt gn bi
toỏn.
Nguyn Tn t
3

Ta cú th dựng cụng thc cng bin i
( )
1
sin x sin x cos x

4
2
p
ổ ử
+ = +
ỗ ữ
ố ứ

Gii
iu kin:
x k
1 tan x 0
4
,k
cosx 0
x k
2
p
ỡ
ạ - + p
ù
+ ạ
ỡ
ù
ẻ
ớ ớ
ạ p
ợ
ù
ạ + p

ù
ợ
Â

( )
( )( ) ( )
( )( )
1 sin x cos 2x sin x
1
4
cos x
1 tan x
2
1 sin x cos 2x sin x cos x cos x 1 tan x
1 sin x cos 2x sin x cos x cos x sin x
p
ổ ử
+ + +
ỗ ữ
ố ứ
=
+
+ + + = +
+ + + = +

( )( )
sin x cosx 0
sin x cosx sin x cos2x 0
sin x cos2x 0
+ =

ộ
+ + =
ờ
+ =
ở

*
sin x cos x 0 x k
4
p
+ = = - + p
khụng tha iu kin.
*
2
sin x 1
sin x cos2x 0 2sin x sin x 1 0
1
sin x
2
=
ộ
ờ
+ = - - =
ờ
= -
ở

So sỏnh iu kin, ta c:
1
sin x

2
= -
7
x k2 , x k2
6 6
p p
= - + p = + p
.
(Khi B) Gii phng trỡnh
(
)
sin 2x cos 2x cos x 2cos 2x sin x 0
+ + - =
(1)
Nhn xột: Cú 2 loi bin l x v 2x m khụng th a c phng trỡnh mt hm lng giỏc theo
mt bin nờn nh hng bin i t tha s chung.
Gii
(
)
( )
1 sin2xcosx cos x cos 2x 2cos 2x sin x 0
cos 2x cos x 2 sin2xcosx-sinx = 0
+ + - =
+ +

(
)
(
)
2

cos 2x cos x 2 sin x 2cos x 1 = 0
+ + -

(
)
cos2x sin + cosx + 2 0
=
cos 2x 0 x k ,k
4 2
p p
= = + ẻ
Â
.
(Khi D) Gii phng trỡnh
sin 2x cos 2x 3sin x cos x 1 0
- + - - =
(1)
Nhn xột: Cú 2 loi bin x v 2x nhng khụng th a c v loi phng trỡnh mt hm lng
giỏc theo 1 bin nờn ta bin i v rỳt tha s chung.
Ta cú th th nhúm s hng nh sau:
(
)
sin 2x cos x cos x 2sin x 1
- = -

Nh vy cỏc s hng cũn li ta phi lm xut hin tha s chung:
cos x
hoc
2sin x 1
-

nhng ta thy khụng th lm xut hin cosx c nờn cỏc s hng cũn li phi thnh tam thc bc
hai theo n
sin x
v phi cú nghim l
1
2
. Tht vy:
(
)
(
)
2
cos 2x 3sin x 1 2sin x 3sin x 2 sin x 2 2sin x 1
- + - = + - = + -

Nguyn Tn t
4

Gii
(
)
(
)
( ) ( )( )
( )( )
2
1 cos x 2sin x 1 2sin x 3sin x 2 0
cos x 2sin x 1 2sin x 1 sin x 2 0
2sin x 1 sin x cos x 2 0

- + + - =
- + - + =
- + + =


x k2
6
2sin x 1 ,k
5
x k2
6
p
ộ
= + p
ờ
- ẻ
ờ
p
ờ
= + p
ờ
ở
Â


3. thi tuyn sinh i hc nm 2008 - 2009
( Khi A) Gii phng trỡnh
(1 2sin x)cosx
3
(1 2sinx)(1 sinx)

-
=
+ -

Gii
iu kin:
1 7
sin sin 1 2 2 2
2 6 6 2
ạ - ạ ạ - + ạ + ạ +
x x x k x k x k
p p p
p p p

Khi ú:
(
)
1 (1 2sin x)cosx 3(1 2sin x)(1 sin x)
- = + -
Ta thy hai v khụng cú nhõn t chung nờn ch cũn cỏch nhõn phõn phi v rỳt gn:
(
)
( ) ( )
2
cosx sin 2x 3 1 2sin x sin x
cosx sin 2x 3 sin x cos2x 2
- = - +
- = +

Nhn xột: cú 2 loi bin l x v 2x nhng ngay t u hai v ó khụng cú nhõn t chung nờn ta

khụng bin i theo cỏch thụng thng nhm a v phng trỡnh tớch m cn chỳ õy l dng
quen thuc:
asin u bcosu csin v dcos v
+ = +
vi
2 2 2 2
a b c d
+ = +

Thy vy:
( )
2 3cos x sin x cos2x 3sin 2x sin x sin 2x
3 6
p p
ổ ử ổ ử
+ = - + = -
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ

2
2 2
3 6
18 3
2 2
2
3 6
2
ộ
ộ
+ = - +

= - +
ờ
ờ
ờ

ờ
ổ ử
ờ
ờ
+ = - - +
= - +
ỗ ữ
ờ
ờ
ở
ố ứ
ở
x x k
x k
x x k
x k
p p
p p
p
p p
p
p p
p

So sỏnh vi iu kin bng cỏch v ng trũn lng giỏc, ta c tp nghim l:

2
, 2 ,
18 3 2
ỡ ỹ
= - + - + ẻ
ớ ý
ợ ỵ
Â
S k k k
p p p
p


(Khi B) Gii phng trỡnh
3
sin x cos x sin 2x 3 cos3x 2(cos4x sin x)
+ + = +

Nhn xột: cú quỏ nhiu loi bin tham gia x, 2x, 3x, 4x nờn nh hng l h bc v bin i lng
giỏc rỳt gn toỏn.
Vỡ cn h bc s hng
3
sin x
nờn ta dựng cụng thc nhõn ba:
( )
3 3
1
sin3x 3sin x -4sin x sin x 3sin x sin3x
4

= ị = -

Gii
Nguyn Tn t
5


3
sin x cos x sin 2x 3 cos3x 2(cos 4x sin x)
+ + = +

( )
1 3 1
sin x sin 3x sin x 3 cos3x 2(cos 4x sin x sin 3x)
2 4 4
+ + + = + -

1 3 3 1
sin 3x sin x 3 cos3x 2cos 4x sin x sin 3x
2 2 2 2
+ + = + -

sin 3x 3 cos3x 2cos 4x
+ =
1 3
sin 3x cos3x cos 4x
2 2
+ =

cos 4x cos 3x 0

6
p
ổ ử
- - =
ỗ ữ
ố ứ
7x x
2sin sin 0
2 12 2 12
p p
ổ ử ổ ử
- - + =
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ

2
7x
x k
k
42 7
2 12
x
m x m2
2 12 6
p p
p
ộ
ộ
= +
- = p

ờ
ờ

ờ
ờ
p -p
ờ
ờ
+ = p = + p
ờ
ờ
ở
ở


(Khi D) Gii phng trỡnh
3cos5x 2sin3xcos2x sin x 0
- - =
(1)
Nhn xột: cú quỏ nhiu loi bin tham gia x, 2x, 3x, 5x nờn nh hng l bin i lng giỏc rỳt
gn toỏn.
Mun bin i s hng
sin3x cos2x
ta cn dựng cụng thc
( ) ( )
1
sinacos b sin a b sin a b
2
= + + -
ộ ự

ở ỷ

Gii
(
)
(
)
1 3cos5x sin5x sin x sin x 0 3cos5x sin5x 2sin x
- + - = - = (2)
n õy, ta gp mt dng phng trỡnh quen thuc:
2 2
asinu bcosu a b sin v
+ = +
Phng trỡnh ny gii nh l phng trỡnh bc nht theo sin, cos:
( )
x k
18 3
2 sin 5x sin x , k .
3
x k
6 2
p p
ộ
= +
ờ
p
ổ ử
- = ẻ
ỗ ữ
ờ

p p
ố ứ
= - +
ờ
ở
Â


4. thi tuyn sinh i hc nm 2007 - 2008
(Khi A) Gii phng trỡnh:
1 1 7
4 sin
3
sin 4
sin
2
x
x
x
p
p
ổ ử
+ = -
ỗ ữ
ổ ử
ố ứ
-
ỗ ữ
ố ứ

Nhn xột: cú 3 loi bin
3 7
, ,
2 4
- -
x x x
p p
nờn nh hng dựng cung liờn kt v bin i lng giỏc.
Gii
3
sin sin 2 sin cos
2 2 2
x x x x
p p p
p
ổ ử ổ ử ổ ử
- = + - = + =
ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ ố ứ

( )
7 2
sin sin 2 sin sin cos
4 4 4 2
x x x x x
p p p
p
ổ ử ổ ử ổ ử
- = - - = - + = - +
ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ ố ứ

Phng trỡnh tr thnh:
Nguyn Tn t
6

1 1
2 2(sin cos ) 0
sin cos
x x
x x
+ + + =

iu kin:
sin 0
,
cos 0
2
x
x k k
x
p
ạ
ỡ
ạ ẻ
ớ
ạ
ợ
Â

1
(sin cos ) 2 2 0
sin .cos
x x
x x
ổ ử
+ + =
ỗ ữ
ố ứ
sin 0
4
1
sin 2
2
x
x
p
ộ
ổ ử
+ =
ỗ ữ
ờ
ố ứ
ờ

ờ
-
=
ờ
ở

4
8
5
8
ộ
= - +
ờ
ờ
-
ờ
= +
ờ
ờ
ờ
= +
ờ
ở
x k
x k
x k
p
p
p
p
p
p

Tt c cỏc h nghim u tha iu kin.

(Khi B) Gii phng trỡnh:

3 3 2 2
sin 3cos sin cos 3 sin cos
- = -
x x x x x x

Nhn xột: õy l phng trỡnh ng cp bc 3
Gii
Xột cosx = 0 khụng tha phng trỡnh.
Vy vi cosx 0: Chia 2 v cho cos
3
x, t t = tanx
3 2
t 3 3 0
t t
+ - - =
2
( 3)( 1) 0
t t
+ - =
3 1
t t
= - =
3 4
x k x k
p p
p p
= - + = +

( Khi D) Gii phng trỡnh:
(

)
2sinx 1 cos2x sin2x 1 2cosx
+ + = +
Nhn xột: Tng t khi B 2009-2010
Gii
(
)
2sinx 1 cos2x sin2x 1 2cosx
+ + = +
2
4sin cos 2sin cos 1 2cos
+ = +
x x x x x

2sin .cos (1 2cos ) 1 2cos
+ = +
x x x x
(1 2cos )(sin 2 1) 0
+ - =
x x

1
cos
2
sin 2 1
ộ
= -
ờ

ờ

=
ở
x
x
2
2
3
4
x k
x k
p
p
p
p
ộ
= +
ờ

ờ
ờ
= +
ờ
ở


Qua mt s thi i hc nhng nm gn õy, ta thy cõu gii phng trỡnh lng giỏc ch yu
kim tra hai k nng gii toỏn ca hc sinh l bin i lng giỏc t nhõn t chung a v
phng trỡnh tớch v so sỏnh nghim tỡm c vi iu kin ban u.
Nh vy, lm tt cõu lng giỏc, hc sinh cn nh cỏc cụng thc lng giỏc, bit gii cỏc phng
trỡnh lng giỏc c bn, biu din cỏc gúc lng giỏc trờn ng trũn lng giỏc ng thi phi rốn

luyn k nng bin i i s.