Chuyên đề quan trọng chắc chắn có trong đề thi đại học

CHỦ ĐỀ 1 :CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KSHS
Bài toán 1 :Viết PTTT với đồ thò ( C ) tại điểm M
0
(x
0
;y
0
) thuộc ( C )
@ PTTT có dạng (d) : y – y
0
= f’(x
0
) (x – x
0
)
@ Tìm x
0
, y
0
,
f’(x
0
) theo sơ đồ : x
0
⇒ y
0
⇒

f’(x
0
)

f’(x
0
) ⇒ x
0
⇒ y
0

@Thế vào tìm (d)
Bài toán 2 : Viết PTTT với đồ thò ( C ) đi qua điểm A(x
A
;y
A
)
@ Pt dường thẳng (d) đi qua điểmA và có hệ số góc k là : (d) : y – y
A
= k (x – x
A
)
@ (d) tiếp xúc với ( C )
{




⇔
=
=
) thức đa hàmvới đối (
thức) phân hàmvới đối ( képnghiệm có (d) và ) C (
của chung điểm độ hoànhtrình phương

)x(g )x(f
)x('g )x('f
@ Giải hệ tìm k ⇒ x
0
⇒ y
0
⇒ (d)
Bài toán 3 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C ) : y = f (x) , đường thẳng (d) : y = g(x) và
các đường x = a , x = b
B1 : Ta có S =
dx.)x(g)x(f
b
a
∫
−
B2 : Khử dấu GTTĐ ( bằng các cách sau :dựa vào đồ thò ; xét dấu biểu thức trong dấu GTTĐ ;
đưa dấu GTTĐ ra khỏi dấu tích phân )
B3 : Tính
* Chú ý : Kết quả là số dương
Chưa đủ 4 đường thì tìm cho đủ bằng cách lập pt hoành độ điểm chung ( hoặc pt tung
độ điểm chung )
Bài toán 4 : Tính diện tích hình tròn xoay
Hinh phẳng :
x O trục quanh Quay
b x
a x
có) phảic bắt buộ( 0y:Ox
)x(fy:)C(








=
=
=
=
Có thể tích là : V =
( )
∫
π
b
a
2
dx)x(f
Hinh phẳng :
( ) : ( )
: 0 ( bắt buộc phải có)
y a
y b
quanh trục O y
C x f y
Oy x
Quay
=


=



=


=

Có thể tích là : V =
( )
∫
π
b
a
2
dy)y(f
* Bình phương hàm số f(x) rồi tính
1
Bài toán 5 : Dựa vào đồ thò biện luận số nghiệm của phương trình g(x) = 0
B1 : Đưa phương trình g(x) = 0 về dạng f(x) = m ( hoặc f(x) = m + C ) (1)
với f(x) là đồ thò ( C ) của hàm số vừa khảo sát ở trên
B2 : (1) là pt hoành độ điểm chung của ( C ) và đường thẳng (d) :y = m (hoặc (d) :y = m + C )
Số nghiệm của (1) = số giao điểm của ( C ) và (d)
B3 : Dựa vào đồ thò ta có : 5 trường hợp ( sử dụng các giá trò y
CT
, y
CĐ
trong BBT )
* m < ?
* m = ?
* ? < m < ??

* m = ??
* m > ??
* Có thể chỉ hỏi 1 trường hợp ( VD : dựa vào đồ thò tìm các giá trò của m để pt trình có 4 nghiệm
phân biệt)
Bài toán 6 : Biện luận số giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x)
B1 : PT hoành độ điểm chung : f(x) = g(x) (1) Thu gọn lại
B2 : Biện luận
*Nếu (1) là PT : ax + b = 0
Biện luận 2 trường hợp :
a = 0 :

⇒ giá trò tham số m, thế vào PT, kết
luận nghiệm

⇒ số giao điểm
a≠ 0 :

⇒ giá trò m

⇒ 1 ngiệm

⇒ 1 giao
điểm
*Nếu (1) là PT : ax
2
+ bx + c = 0
Biện luận 2 trường hợp :
a = 0 :

⇒ giá trò tham số m, thế vào PT, kết

luận nghiệm

⇒ số giao điểm
a≠ 0 :

⇒ giá trò m ; tính ∆ ( hoặc

∆’) ; xét dấu
∆ ( hoặc

∆’) ⇒ số giao điểm
Bài toán 7 :Tìm m để hàm số tăng ( hoặc giảm ) trên R hay trên từng khoảng xác đònh
B1 : TXĐ
B2 : Tính y’
B3 : Để hàm số tăng hoặc giảm trên R




⇒<∆
⇒≤∆
⇔



<>
≤≥
⇔
m tìm BPT giải 0
m tìm BPT giải 0

lại còn hàmvới đối ) 0 y' hoặc( 0 y'
ba bậc hàmvới đối ) 0 y' hoặc( 0'y
Bài toán 8 : Xác đònh m để hàm số có cực trò ( hoặc có CĐ và CT )
B2 : y’
B3 : Để HS có cực trò thì PT y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇒ ∆ > 0 ( hoặc

∆’ > 0)
B4 : Giải BPT tìm m ( nếu bậc 1 thì chuyển vế , nếu bậc 2 thì xét dấu ∆ ( hoặc

∆’)
2
Bài toán 9 : Xác đònh m để hàm số có cực trò ( hoặc có CĐ và CT )
B2 : y’
B3 : Để HS có cực trò thì PT y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇒ ∆ > 0 ( hoặc

∆’ > 0)
B4 : Giải BPT tìm m ( nếu bậc 1 thì chuyển vế , nếu bậc 2 thì xét dấu ∆ ( hoặc

∆’)
Bài toán 10 : Tìm m để đồ thò ( Cm ) nhận điểm uốn có hoành độ là x
0

B1 : TXĐ
B2 : Tính y’ , y’’
B3 : Để đồ thò có điểm uốn tại x0 thì y’’ (x0) = 0 : giải PT tìm m
B4 : (Thử lại) Thế m vào y’’ = 0 . Nếu tại x
0
đồ thò có điểm uốn thì nhận m
Bài toán 11 : Tìm m để đồ thò nhận điểm I(x
0

;y
0
) làm điểm uốn
B1 : TXĐ
B2 :y’ ; y’’
B3 : I(x
0
;y
0
) là điểm uốn



=
=
⇔
00
0
y)x(y
0)x(''y
Giải hệ tìm m
Bài toán 12 : Tìm m để đồ thò ( C ) :y = f(x) cắt đường thẳng d : y = g(x) tại 3 điểm phân biệt
(đối với Hàm bậc 3 )
B1 : PT hoành điểm điểm chung f(x) = g(x) Tìm 1 nghiệm đặc biệt x
0
.
B2 : Chia đa thức đưa về dạng :(x – x
0
)( Ax
2

+ Bx + C ) = 0 (1)
⇔




=++
=−
(2) 0CBxAx
0xx
2
0
B3 : ( Cm ) cắt d tại 3 điểm phân biệt ⇔ (1) có 3 nghiệm pb
⇔ (2) có 2 nghiệm khác x
0








>∆
≠
≠++
⇔
0
0A
0CBxAx

0
2
0
Bài toàn 13 : Tìm m để hàm trùng phương có 1 cực trò ( hoặc có 3 cực trò)
@ TXĐ @ Tính :y’
@ Để hs có 1 cực trò ( hoặc có 3 cực trò ) thì pt y’ = 0 có 1 nghiệm ( hoặc có 3 nghiệm pb)
@ Giài phương trình tìm m ( Phân tích pt bậc 3 thành tích của pt bậc 1 và pt bậc 2)
* Cách khác : Để hs có 1 cực trò thì a và b trái dấu ( a.b < 0)
3
Để hs có 3 cực trò thì a và b cùng dấu ( a.b > 0)
Bài toán 14 : Tìm m để đồ thò ( Cm ) :y = f(x) cắt đường thẳng d : y = g(x) tại 4 điểm phân biệt (đối
với Hàm bậc 4)
@ PT hoành điểm điểm chung f(x) = g(x) . Đưa về PT trùng phương (1)
@ Đặt t = x
2
(t ≥ 0) . PT trở thành at
2
+ bt + c = 0 (2)
@ ( Cm ) cắt đường thẳng d tại 4 điểm phân biệt ⇔ (1) có 4 nghiệm pb
⇔ (2) có 2 nghiệm dương pb
⇔ 0 < t
1
< t
2

⇔










>−=
>=
>∆
0
a
b
S
0
a
c
P
0
B4 : Giải hệ 3 BPT tìm m
Bài toán 15 : Tìm tát cả các điểm trên đồ thò có toạ độ nguyên (x, y là số nguyên) ( đối với hàm
phân thức)
@ Chia tử cho mẫu để được dạng :y = Ax +
@ Để x, y là số nguyên thì phải là số nguyên ⇒ (cx + d) là ước của B ⇒ x ⇒ y ⇒ điểm M(x ;
y) VD :
1x
4
−
là số nguyên ⇒ (x – 1) là ước của 4 ⇒











⇒⇒−=−
⇒⇒=−
⇒⇒−−−
⇒⇒=−
⇒⇒−=−
⇒⇒=−
yx41x
yx41x
yx21x
yx21x
yx11x
yx11x
Bài toán16 :Tìm tập hợp điểm
@ Tìm toạ độ điểm M cần tìm











=⇒



=
=
=⇒



=
=
=⇒



=
=
0 y) F(x, : đường là M điểm các hợptập , m Khử
)m(gy
)m(fx
M
c y thẳng đường là M điểm các hợpTập
cy
)m(fx
M
c x thẳng đường là M điểm các hợpTập
)m(fy
cx

M
4
Bài toán 17 : Xác đònh m để hàm số có cực trò ( hoặc có CĐ và CT ) tại M(x
0
; y
0
)
B1 : TXĐ
B2 : y’
B3 : Để HS có cực trò ( hoặc có CĐ và CT ) tại M thì :
0
0 0
'( ) 0
( )
y x
y x y
=


=

B4 : Giải hệ PT tìm m
B5 : Thử lại (thế m vào pt y’ = 0 ⇒ x ; Vẽ BBT nếu tại M hàm số thoả yêu cầu đề thì nhận m)
Bài toán 18 : Xác đònh m để (Cm) luôn lồi ( hoặc lõm) :( đối với hàm trùng phương)
@ TXĐ
@ Tính :y’ ; y’’
@ Để đồ thò hs lồi (hoặc lõm) thì : y’’≤ 0 , ∀x ( hoặc y’’≥ 0 , ∀x )
⇒ ∆ ≤ 0 ( hoặc ∆ ≥ 0) ; ∆ của y’’
@ Giải bpt tìm m
Bài toàn 19 : Tìm m để hàm trùng phương có 1 cực trò ( hoặc có 3 cực trò)

@ TXĐ @ Tính :y’
@ Để hs có 1 cực trò ( hoặc có 3 cực trò ) thì pt y’ = 0 có 1 nghiệm ( hoặc có 3 nghiệm pb)
@ Giài phương trình tìm m ( Phân tích pt bậc 3 thành tích của pt bậc 1 và pt bậc 2)
* Cách khác : Để hs có 1 cực trò thì a và b trái dấu ( a.b < 0)
Để hs có 3 cực trò thì a và b cùng dấu ( a.b > 0)
Bài toán 20 : Chứng minh rằng từ điểm M (a ; b) bất kỳ trên đồ thò (C) có tích các khoảng cách
từ M đến 2 đường tiệm cận của (C) bằng 1 hằng số ( không phụ thuộc vào M) :
+ Viết pt các đường tiệm cận dưới dạng tổng quát : Ax + By + C = 0
+ p dung công thức tính khoảng cách từ điểm M đến đt ∆ : d (M, ∆) =
22
MM
BA
Cy.Bx.A
+
++
tính khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận
+ Tính tích : d
1
.d
2
( là 2 khoảng cách trên)
+ Vì M ∈ (C) ⇒ b = f( a) ( thế toạ độ điểm M vào hàm số )
+ Thay vào tích : d
1
.d
2
rút gọn thành hằng số
* Mở rộng bài toán :

Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận của

(C) đạt giá trò lớn nhất :
+ Làm như trên
5