Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua các bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm

Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông
qua các bài tập về bất đẳng thức được giải bằng
đạo hàm

Vũ Thị Nhung

Trường Đại học Giáo dục
Luận văn ThS ngành: Lý luận và PP giảng dạy; Mã số: 60 14 10
Người hướng dẫn: TS. Phạm Văn Quốc
Năm bảo vệ: 2012


Abstract: Nghiên cứu hoạt động tư duy của học sinh trong quá trình giải bài tập về bất
đẳng thức, từ đó hướng dẫn học sinh xây dựng tiến trình luận giải, làm cơ sở cho việc tìm
kiếm lời giải một cách có hiệu quả. Phân loại và xây dựng hệ thống bài tập về bất đẳng
thức được giải bằng đạo hàm và đưa ra phương pháp chung cho mỗi loại đó. Thực
nghiệm sư phạm để đánh giá hiệu quả của hệ thống bài tập về bất đẳng thức được giải
bằng đạo hàm đã được phân loại và xây dựng để rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo cho
học sinh thông qua quá trình tìm kiếm lời giải. Đối chiếu kết quả thực nghiệm với kết quả
điều tra ban đầu, rút ra kết luận về khả năng áp dụng hệ thống bài tập đã đề xuất.

Keywords: Toán học; Phương pháp dạy học; Tư duy sáng tạo; Bài tập; Bất đẳng thức;
Đạo hàm


Content
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nhân loại đang bước vào thế kỷ XXI, thế kỷ tri thức, kỹ năng của con người được xem là yếu tố
quyết định sự phát triển của xã hội. Trong xã hội tương lai, nền giáo dục phải đào tạo ra những
con người có trí tuệ, thông minh và sáng tạo. Muốn có được điều này, ngay từ bây giờ nhà

trường phổ thông phải trang bị đầy đủ cho học sinh hệ thống kiến thức cơ bản, hiện đại, phù hợp
với thực tiễn Việt Nam và rèn luyện cho họ năng lực tư duy sáng tạo.
Trong chương trình toán THPT phần nội dung kiến thức “bất đẳng thức” là một nội dung
khó đối với cả giáo viên và học sinh . Sử dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức là một
trong những phương pháp hay, đơn giản trong khi việc sử dụng các phương pháp khác có thể gặp
khó khăn.
Với các lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh thông
qua các bài tập về bất đẳng thức đƣợc giải bằng đạo hàm”.
2. Lịch sử nghiên cứu
Đã có rất nhiều tài liệu nghiên cứu về việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy
học các bộ môn, công trình nghiên cứu và lý thuyết đạo hàm hoàn thiện, ứng dụng của đạo hàm
ở Việt Nam Tuy nhiên, chưa có nhiều cuốn sách đề cập đến bài tập về bất đẳng thức được giải
bằng đạo hàm một cách hệ thống.
3. Mục tiêu nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận về tư duy sáng tạo.
- Phân loại, xây dựng hệ thống các bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm và đưa ra
phương pháp chung cho mỗi loại đó. Trên cơ sở đó, rèn luyện sáng tạo cho học sinh
4. Vấn đề nghiên cứu
- Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh là thế nào?
- Xây dựng hệ thống bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm như thế nào để rèn luyện
tư duy sáng tạo cho học sinh?
5. Giả thuyết khoa học
Thông qua hệ thống các bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm để rèn luyện tư duy
sáng tạo cho học sinh.
6. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu hoạt động tư duy của học sinh trong quá trình giải bài tập, từ đó hướng dẫn học
sinh xây dựng tiến trình luận giải, làm cơ sở cho việc tìm kiếm lời giải một cách có hiệu quả.
- Phân loại và xây dựng hệ thống bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm và đưa ra
phương pháp chung cho mỗi loại đó.
- Thực nghiệm sư phạm để đánh giá hiệu quả của việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh.

7. Phƣơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận, kết hợp với điều tra, quan sát, thực nghiệm sư phạm và thống kê toán học
8. Những đóng góp của luận văn
- Xây dựng và phân loại hệ thống bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm nhằm rèn
luyện tư duy sáng tạo cho học sinh.
- Kết quả thực nghiệm sư phạm cho thấy đề tài có tính khả thi và hiệu quả.
- Kết quả của đề tài có thể làm tài liệu tham khảo bổ ích thiết thực.
9. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn được trình
bày trong 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2: Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua các bài tập về bất đẳng thức được
giải bằng đạo hàm.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1 Tƣ duy
1.1.1 Tư duy là gì ?
Trên thế giới và ở Việt Nam có nhiều quan điểm về tư duy. Theo M.N.Sacđacôp: Tư duy là sự
nhận thức khái quát gián tiếp các sự vật và hiện tượng của hiện thực trong những dấu hiệu,
những thuộc tính chung và bản chất của chúng. Tư duy cũng là sự nhận thức sáng tạo những sự
vật, hiện tượng mới, riêng rẽ của hiện thực trên cơ sở những kiến thức khái quát hóa đã thu nhận
được.
1.1.2. Tầm quan trọng của việc phát triển tư duy
Lý luận dạy học hiện đại đặc biệt chú trọng đến việc phát triển tư duy cho học sinh thông qua
việc điều khiển tối ưu quá trình dạy học, còn các thao tác tư duy cơ bản là công cụ của nhận
thức.
1.1.3. Những đặc điểm của tư duy
- Quá trình tư duy nhất thiết phải sử dụng ngôn ngữ là phương tiện. Tư duy phản ánh gián tiếp,
không tách rời quá trình nhận thức cảm tính.
1.1.4. Những phẩm chất của tư duy

Tư duy có khả năng định hướng, bề rộng, độ sâu, tính linh hoạt, tính mềm dẻo, tính độc lập, tính
khái quát.
1.1.5. Các thao tác tư duy
Quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành các thao tác trí tuệ. Các thao tác trí tuệ
cơ bản là: phân tích - tổng hợp, so sánh – tương tự, khái quát hoá, đặc biệt hoá, trừu tượng hoá
1.1.6. Vấn đề phát triển năng lực tư duy
Trước hết là giúp học sinh thông hiểu kiến thức một cách sâu sắc, không máy móc, biết cách vận
dụng kiến thức vào bài tập. Từ đó mà kiến thức học sinh thu nhận được trở nên vững chắc và
sinh động.
1.1.7. Dấu hiệu đánh giá tư duy phát triển
Có khả năng tự lực chuyển tải tri thức và kỹ năng sang một tình huống mới, tái hiện kiến thức và
thiết lập những mối quan hệ bản chất, phát hiện cái chung và cái đặc biệt giữa các bài toán và có
năng lực áp dụng kiến thức để giải quyết tốt bài toán thực tế
1.2.Tƣ duy sáng tạo
1.2.1.Khái niệm về sáng tạo
Có thể nói: “Sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới không bị gò bó phụ thuộc vào những
cái đã có”.
1.2.2. Quá trình sáng tạo
Quá trình sáng tạo gồm 4 giai đoạn: chuẩn bị, ấp ủ, bừng sáng, kiểm chứng.
1.2.3. Tư duy sáng tạo
tư duy sáng tạo được thể hiện trong việc xác định bài toán, xác định mục tiêu của bài toán, tạo
sinh các ý tưởng bằng các thao tác trí tuệ như tưởng tượng, phỏng đoán, so sánh với các ẩn dụ,
đưa ra các giả thuyết, phê phán và đánh giá các giả thuyết, rồi lựa chọn các lời giải, thực thi từng
phần hoặc toàn bộ một lời giải, đánh giá các lời giải khả thi, sửa đổi để hoàn thiện lời giải
1.2.4. Cấu trúc của tư duy sáng tạo
Năm thành phần cơ bản của cấu trúc tư duy sáng tạo: Tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính
độc đáo, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề.
1.3. Phƣơng hƣớng bồi dƣỡng tƣ duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học môn Toán
1.3.1. Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần kết hợp với các hoạt động trí tuệ khác
1.3.2. Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả năng

phát hiện vấn đề mới, khơi dậy những ý tưởng mới
1.3.3. Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo
1.3.4. Bồi dưỡng tư duy sáng tạo là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu
của quá trình dạy học
1.4. Thực trạng dạy và học bất đẳng thức đƣợc giải bằng đạo hàm ở trƣờng THPT
Có thể nói, bài tập bất đẳng thức rất đa dạng, phong phú về thể loại và phương pháp giải,
nên khi làm bài tập bất đẳng thức học sinh thường khó phân biệt được dạng và phương pháp giải,
thậm chí không giải quyết được. Phần lớn học sinh thấy sợ học bất đẳng thức và không hứng thú
với chủ đề này nhiều khi còn gây tâm lí chán nản đối với các em. Không những thế, trong các đề
thi đại học thường có bài tập về bất đẳng thức, các bài tập này tương đối phức tạp nên để học tốt
phần này giáo viên và học sinh đều phải bỏ rất nhiều thời gian và công sức.
Kết luận chƣơng 1 Trong chương
này, luận văn đã trình bày các quan điểm của một số tác giả về khái niệm tư duy, tư duy sáng tạo,
phương hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học môn Toán và thực
trạng dạy và học bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm ở trường THPT.
CHƢƠNG 2
RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC BÀI TẬP VỀ
BẤT ĐẲNG THỨC ĐƢỢC GIẢI BẰNG ĐẠO HÀM
2.1. Một số kiến thức cơ bản về đạo hàm
2.1.1. Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm
2.1.2. Định nghĩa đạo hàm của hàm số trên một khoảng
2.1.3. Các quy tắc tính đạo hàm
2.1.3.1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số
2.1.3.2. Đạo hàm của hàm số hợp
2.1.4. Bảng các đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
2.1.5. Đạo hàm cấp cao
2.2. Giải bài tập bất đẳng thức bằng phƣơng pháp khảo sát hàm số
Để chứng minh bất đẳng thức, ngoài các bất đẳng thức kinh điển như bất đẳng thức Cauchy, bất
đẳng thức Bunhiacopxki , thì sử dụng đạo hàm cũng là một công cụ hữu ích. Trong nhiều
trường hợp, sử dụng phương pháp khảo sát hàm số để chứng minh bất đẳng thức thì lời giải bài

toán sẽ ngắn gọn và đơn giản hơn rất nhiều.
Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức : A

B trên tập D ( với D là một đoạn, khoảng, nửa
đoạn hay nửa khoảng)
Sử dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức ta thường dùng hai cách sau:
Cách 1: Xét
f
là một hàm số của một đối số nào đó,
f
xác định trên tập D và thỏa mãn
()fA


,
()fB


, với
, D


và
f
đơn điệu trên D.
Nếu


chứng minh
()fx

nghịch biến trên D
Nếu


, chứng minh
()fx
đồng biến trên D.
Cách 2:
Xét hiệu
f A B
trên D và coi đây là hàm số của một đối số nào đó.
Nếu
f
nghịch biến trên D, cần chỉ ra tồn tại
, D


,
: ( )f A B
  
  
và
( ) 0f A B

  

Nếu
f
đồng biến trên D, cần chỉ ra tồn tại
, D



,
: ( )f A B
  
  
và
( ) 0f A B

  

Cách 2 thực chất là một trường hợp riêng của cách 1.
Xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1. Cho
0
2
x


. Chứng minh rằng:
a)
sinx x

b)
tanx x

Bài giải
a) Xét hàm số
( ) sinxf x x
với

0
2
x



Ta có
'
( ) cos 1 0f x x  
với
0
2
x





hàm số
()fx
nghịch biến trên khoảng (0 ;
)
2


Do đó
()fx
<
(0)f
với

0
2
x




sinx 0x  


sinx x
(đpcm)
b) Tương tự
Nhận xét: Rõ ràng sử dụng phương pháp khảo sát hàm số trong các ví dụ trên làm cho lời giải
rất ngắn gọn, dễ hiểu. Trong trường hợp này, việc xét dấu
'
()fx
rất đơn giản. Đôi khi chúng ta
không thể khẳng định ngay được dấu
'
()fx
, trong các trường hợp như vậy, một thủ thuật thông
thường được áp dụng là chúng ta liên tiếp tính đạo hàm để hạ bậc dần đa thức ẩn x.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng với
0x 
thì ta có:
3
sinx
6
x

x 

Bài giải
Xét hàm số
3
( ) sinx
6
x
f x x  
với
0x 

Ta có
2
'
( ) 1 cos
2
x
f x x  


"
( ) sinxf x x  


'''( ) 1 cos 0f x x   
với
0x 



"
()fx
nghịch biến trên khoảng (0 ;
)


""
( ) (0)f x f
với
0x 


"
( ) 0fx
với
0x 




'
()fx
nghịch biến trên khoảng (0 ;
)


''
( ) (0)f x f

với
0x 


'
( ) 0fx
với
0x 




()fx
nghịch biến trên khoảng (0 ;
)

Do đó
( ) (0)f x f
với
0x 


3
sinx<0
6
x
x  
với
0x 

3
sinx
6
x
x  
với
0x 
(đpcm)
Nhận xét: Ở các ví dụ trên ta đều nhìn ra ngay được hàm số cần xét sự biến thiên. Ví dụ tiếp
theo minh họa việc lựa chọn hàm số thích hợp để xét sự biến thiên, khi bất đẳng thức cần chứng
minh là bất đẳng thức nhiều biến.
Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu
1xy
thì:
44
1
8
xy

Bài giải
Từ
1xy
suy ra :
1yx
nên
4 4 4 4
(1 )x y x x   

Xét hàm số

44
( ) (1 )f x x x  

Ta có
' 3 3
( ) 4 4(1 )f x x x  


'
1
( ) 0
2
f x x  

Bảng biến thiên :

Dựa vào bảng biến thiên ta có
1
()
8
fx
với mọi
x

Đẳng thức xảy ra khi
1
2
xy

Ví dụ 4. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC nhọn ta đều có:

21
(sin sin sin ) (tanA tan tan )
33
A B C B C

     

Bài giải
Do
A B C

  
nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức:
2 1 2 1 2 1
( sin tanA ) ( sin tanB ) ( sin tanC ) 0
3 3 3 3 3 3
A A B B C C        

Xét hàm số
21
( ) sinx+ tanx
33
f x x
với
0
2
x



x -


2
1
+




f
'
(x) - 0 +



f(x)


1
8

Ta có
'
2
2 1 1
( ) cos . 1
3 3 os
f x x

cx
  

'
2
1 1 1
( ) (cos cos ) 1 .3 1
3 os 3
f x x x
cx
      

'
( ) 0fx
với
0
2
x





hàm số
()fx
đồng biến trên khoảng (0 ;
)
2


Do đó
()fx
>
(0)f
với
0
2
x




21
sinx+ tanx 0
33
x  
với
0
2
x




21
sinA+ tanA 0
33
A  

21
sinB+ tanB 0
33
B  


21
sinC+ tanC 0
33
C  


2 1 2 1 2 1
( sinA+ tanA ) ( sinB+ tanB ) ( sinC+ tanC ) 0
3 3 3 3 3 3
A B C      


21
(sin sin sin ) (tanA tan tan )
33
A B C B C

      
(đpcm)
Nhận xét: Trong các ví dụ trên ta dựa vào các điều kiện từ giả thiết để biến đổi rồi từ đó lựa
chọn hàm số thích hợp để xét tính đơn điệu.Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp ta phải sử dụng
thêm các bất đẳng thức quen thuộc như bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopxki…
Ví dụ 5. Chứng minh rằng với
0

2
x


, ta có:
3
1
2sin tanx
2
2 2 2
x
x



Bài giải
Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
2sin tanx 2sin tanx 2sin tanx
2 2 2 2 2 2 2
x x x
  

Ta sẽ đi chứng minh :
3
1
2sin tanx
2
2 2 2
x
x






2sin tanx 3xx  


2sin tanx-3 0xx  

Xét hàm số
( ) 2sinx+tanx 3f x x
với
0
2
x



Ta có
'
2
1
( ) 2cos 3
os
f x x
cx
  

'

3
22
11
( ) (cos cos ) 3 3 cos .cos . 3
os os
f x x x x x
c x c x
      

'
( ) 0fx
với
0
2
x




hàm số
()fx
đồng biến trên khoảng (0 ;
)
2


Do đó
()fx
>
(0)f

với
0
2
x




2sinx+tanx 3 0x  
với
0
2
x



Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
Ví dụ 6. Cho các số dương a ; b ; c ; d thỏa mãn:

a b c d  
và
bc ad

Chứng minh rằng :
b c d a d a b c
a b c d a b c d
(1)
Bài giải
(1)


ln(a
adcb
dcb
)

ln(
cbad
dcba
)


b.lna + c.lnb +d.lnc + a.lnd

d.lna + a.lnb + b.lnc + c.lnd


(d – b)( lnc –lna )

(c – a)( lnd – lnb ) (2)
Nếu a = c hoặc b = d thì (1) hiển nhiên đúng.
Nếu a

c hoặc b

d :
(2)

bd
bd
ac

ac




 lnlnlnln



b
b
d
b
d
a
a
c
a
c
)1(
ln
)1(
ln



(3)
Xét hàm số :
ln
()

1
x
fx
x


với
);1( x

Ta có:
'
2
1 ln
()
(1 )
x x x
fx
xx




Xét hàm số: g(x) = x – 1 – xlnx với x > 1
g
'
(x) = 1 – ( lnx + 1 ) = - lnx < 0 với

x > 1



hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng ( 1 ; +
)



g(x) < g(1)

g(x) < 0 với mọi x > 1


f
'
(x) < 0 với

x > 1

hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng ( 1 ; +
)

Do 1 <
b
d
a
c

nên ta suy ra :
f(
)
a
c


f(
)
b
d



)1(
ln
)1(
ln



b
d
b
d
a
c
a
c

Mà 0 < a

b nên ta suy ra :
b
b
d

b
d
a
a
c
a
c
)1(
ln
)1(
ln




Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b ; c =d.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Nhận xét: Ở ví dụ trên không chỉ dựa vào các điều kiện từ giả thiết để biến đổi rồi từ đó lựa
chọn hàm số thích hợp mà còn gặp khó khăn trong việc xét dấu của đạo hàm, ta đã phải làm thao
tác biến đổi, chọn và xét tính đơn điệu của một hàm trung gian thích hợp.
Bài tập đề nghị
2.3. Giải bài tập bất đẳng thức bằng các bất đẳng thức tiếp tuyến
Tính lồi, lõm của đồ thị
Định nghĩa. Giả sử hàm số
f
có đạo hàm trên khoảng
I
. Ta nói rằng
Đồ thị (C) của hàm số
()y f x

lồi trên khoảng
I
nếu tiếp tuyến của (C) tại mỗi điểm của nó
đều nằm phía trên đồ thị.
Đồ thị (C) của hàm số
()y f x
lõm trên khoảng
I
nếu tiếp tuyến của (C) tại mỗi điểm của nó
đều nằm phía dưới đồ thị.
Dấu hiệu đồ thị lồi, lõm.
Định lí 1: Cho hàm số
()y f x
có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng
 
;ab
. Nếu
"
( ) 0fx

với mọi
 
;x a b
thì đồ thị của hàm số lồi trên khoảng đó.
Nếu
"
( ) 0fx
với mọi
 
;x a b

thì đồ thị của hàm số lõm trên khoảng đó.
Viết phƣơng trình tiếp tuyến tại điểm:
Cho hàm số
()y f x
có đồ thị (C) và điểm A
00
( ; ) ( )x y C

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A
00
( ; )xy
là:
'
0 0 0
( )( )y f x x x y  

Ứng dụng:
* Định lí 2: Cho hàm số
()y f x
có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng
 
;ab

i) Nếu
"
( ) 0fx
với mọi
 
;x a b
thì

'
0 0 0
( ) ( )( ) ( )f x f x x x f x  

0
( ; )x a b

ii) Nếu
"
( ) 0fx
với mọi
 
;x a b
thì
'
0 0 0
( ) ( )( ) ( )f x f x x x f x  

0
( ; )x a b

Đẳng thức trong hai bất đẳng thức trên xảy ra khi
0
xx

* Ta biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số
()y f x
tại mọi điểm bất kì trên khoảng lồi luôn nằm
phía trên đồ thị và tiếp tuyến tại mọi điểm trên khoảng lõm luôn nằm phía dưới đồ thị, còn tại
điểm uốn của đồ thị thì tiếp tuyến xuyên qua đồ thị nên ta có nhận xét sau:

Nếu
axyb
là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
()y f x
tại điểm A
00
( ; )xy
thì ta có thể phân
tích được
2
0
( ) (ax ) ( ) ( )f x b x x g x   
. Trong nhiều trường hợp ta có thể xác định được
dấu
()gx
,
( ) 0gx
(hoặc
( ) 0gx
). Khi đó ta có
( ) axf x b
(hoặc
( ) axf x b
).
Xét các ví dụ sau:
Ví dụ 7. Cho các số thực dương a, b, c thỏa
1abc  

Chứng minh rằng:
2 2 2

3
10
1 1 1
a b c
abc
  
  

Bài giải
Xét hàm số
2
()
1
x
fx
x


với
(0;1)x

Ta có:
'"
2 3 2 5
13
( ) ( ) 0
(1 ) (1 )
x
f x f x
xx


   

với mọi
(0;1)x

Suy ra:
'
1 1 1
( ) ( )( ) ( )
3 3 3
f x f x f  
với mọi
(0;1)x


27 1 1
( ) ( )
3
10 10 10
f x x   
với mọi
(0;1)x



27 1 1
( ) ( )
3
10 10 10

f a a  


27 1 1
( ) ( )
3
10 10 10
f b b  


27 1 1
( ) ( )
3
10 10 10
f c c  


27 27 3
( ) ( ) ( ) ( )
10 10 10 10 10
f a f b f c a b c      

Do
1abc  
nên
3
( ) ( ) ( )
10
f a f b f c  

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
3
abc  


đpcm
Nhận xét: Trong một số trường hợp đồ thị hàm số
()y f x
có khoảng lồi, lõm trên đoạn
 
;ab
.Trong trường hợp đó ta đi xét dấu của biểu thức:
'
0 0 0
( ) [ ( )( ) ( )]f x f x x x f x  
.
Ví dụ 8. Cho
,,a b c R
và a b c 6.
Chứng minh rằng:
4 4 4
abc
3 3 3
2( )abc  

Bài giải
Đẳng thức xảy ra khi a b c 2 và Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:
4 3 4 3 4 3
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )a a b b c c    

0


f (a) f (b) f (c) 0 ( trong đó
43
( ) 2f x x x
)
Ta có tiếp tuyến của đồ thị hàm số
43
( ) 2f x x x
tại điểm có hoành độ
2x 
là:
y 8x -16
Xét f (x) (8x -16) 
43
2 8 16x x x  
 
22
( 2) ( 2 4)x x x  
0 với x
Vậy
( ) 8 6f x x
với x
Suy ra
( ) 8 16f a a


( ) 8 16f b b

( ) 8 16f c c


( ) ( ) ( ) 8( ) 48 0f a f b f c a b c       
(đpcm)
Nhận xét: Dấu hiệu giúp chúng ta nhận ra phương pháp trên là bất đẳng thức cần chứng minh có
dạng
12
( ) ( ) ( )
n
f a f a f a m   
hoặc
12
( ) ( ) ( )
n
f a f a f a m   
và
i
a
( i =
1,…,n ) thỏa mãn điều kiện nào đó.
Trong một số trường hợp bất đẳng thức chưa có dạng trên, ta phải thực hiện một số phép biến đổi
mới đưa về dạng trên. Chúng ta cần chú ý một số dấu hiệu sau:
* Nếu bất đẳng thức có dạng
1 2 3
( ). ( ). ( ) ( )
n
f a f a f a f a m
thì ta có thể lấy lôganêpe hai vế

* Nếu bất đẳng thức cần chứng minh đồng bậc thì ta có thể chuẩn hóa. Tùy thuộc vào từng bài
toán mà ta lựa chọn cách chuẩn hóa phù hợp.
Ví dụ 9. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn
3abc  
.
Chứng minh rằng:
a b c ab bc ca    

Bài giải
Ta thấy đẳng thức xảy ra khi a b c 1
BĐT (1)
2 2 2 2
( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) 9a a b b c c a b c         

Đặt
2
( ) 2f x x x
với
(0;3)x

Ta có tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
( ) 2f x x x
tại điểm có hoành độ
1x 
là:
3yx

Xét f (x) 
3x


2
2xx

3x

2
( 1) ( 2 ) 0x x x  
với
(0;3)x

Vậy
( ) 3f x x
với
(0;3)x

Suy ra
( ) 3f a a


( ) 3f b b


( ) 3f c c


( ) ( ) ( ) 3( )f a f b f c a b c     


( ) ( ) ( ) 9f a f b f c   

(đpcm)
Ví dụ 10. Cho
, , 0abc
thỏa mãn
3abc  
.
Chứng minh rằng:
2 2 2 3
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) (1 2)
b c a
a a b b c c       

Bài giải
Ta thấy đẳng thức xảy ra khi a b c 1
Lấy lôganêpe hai vế bất đẳng thức cần chứng minh tương đương bất đẳng thức:
2 2 2
ln( 1 ) ln( 1 ) ln( 1 ) 3ln(1 2)b a a c b b a c c         

Xét hàm số
2
( ) ln( 1 )f x x x  
với
(0;3)x

Ta có:
'
2 2 3
1
( ) "( )
1 (1 )

x
f x f x
xx

  

< 0 với mọi
(0;3)x

Suy ra
'
( ) (1)( 1) (1)f x f x f  
với mọi
(0;3)x


1
( ) ( 1) ln(1 2)
2
f x x    
với mọi
(0;3)x



1
( ) ( 1) ln(1 2)
2
f a a   

1
( ) ( 1) ln(1 2)
2
f b b   


1
( ) ( 1) ln(1 2)
2
f c c   

11
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ln(1 2)
22
bf a cf b af c ab bc ca a b c a b c            
Do
3ab bc ca a b c     
nên
( ) ( ) ( ) 3ln(1 2)bf a cf b af c   

đpcm
Ví dụ 11. Cho
, , 0abc
. Chứng minh rằng:
2 2 2
9
( ) ( ) ( ) 4( )
a b c
b c c a a b a b c

  
    
(1)
Bài giải
Bất đẳng thức đã cho là thuần nhất nên ta chuẩn hóa
1abc  
. Khi đó BĐT (1) trở thành:
2 2 2
9
(1 ) (1 ) (1 ) 4
a b c
abc
  
  



f (a) f (b) f (c)
9
4

( trong đó
2
()
(1 )
x
fx
x



với
(0;1)x
)
Ta có tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
()
(1 )
x
fx
x


tại điểm có hoành độ
1
3
x 
là:
18 3
4
x
y



Xét f (x) 
18 3
4
x 

2

(1 )
x
x

18 3
4
x 
=
2
2
(3 1) (3 2 )
0
4(1 )
xx
x



với
(0;1)x

Vậy
()fx
18 3
4
x 

(0;1)x

Suy ra

18 3
()
4
a
fa




18 3
()
4
b
fb




18 3
()
4
c
fc



18 9
( ) ( ) ( ) ( )
44
f a f b f c a b c      

Suy ra
9
( ) ( ) ( )
4
f a f b f c  

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài tập đề nghị
2.4. Giải bài tập bất đẳng thức bằng bất đẳng thức Jensen
Định lí 1(Bất đẳng thức Jensen). Cho hàm số
()fx
xác định trên khoảng
( ; )ab
.
1. Hàm số
()fx
là hàm lồi trên khoảng đó (
"
( ) 0 ( ; ))f x x a b  

và
12
, , , ( ; )
n
x x x a b
. Khi đó ta có:
1 2 1 2
( ) ( ) ( )
nn

f x f x f x x x x
f
nn
     





Đẳng thức xảy ra khi
12

n
x x x  

2. Hàm số
()fx
là hàm lõm trên khoảng đó (
"
( ) 0 ( ; ))f x x a b  

và
12
, , , ( ; )
n
x x x a b
. Khi đó ta có:
1 2 1 2
( ) ( ) ( )
nn

f x f x f x x x x
f
nn
     





Đẳng thức xảy ra khi
12

n
x x x  

Định lí 2 ( Bất đẳng thức Jensen tổng quát )
Cho hàm số
()fx
là hàm liên tục và lồi trên khoảng
( ; )ab
. Nếu
12
, , , ( ; )
n
x x x a b
và
12
, , , (0;1)
n
t t t 

sao cho
12
1
n
t t t   
.
Khi đó
1 1 2 2 1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
n n n n
t f x t f x t f x f t x t x t x      

Đẳng thức xảy ra khi
12

n
x x x  

Khi hàm
()fx
là hàm lõm trên khoảng
( ; )ab
thì ta có bất đẳng thức đổi chiều. Đẳng thức xảy
ra khi
12

n
x x x  

Sử dụng tính lồi, lõm của hàm số chứng minh bất đẳng thức:

Để sử dụng tính lồi, lõm của hàm số chứng minh bất đẳng thức,giả sử:
0M 

ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Biến đổi bất đẳng thức về dạng:

1 2 1 2
( ) ( ) ( )
()
nn
x x x f x f x f x
f
nn
     


hoặc
1 2 1 2
( ) ( ) ( )
()
nn
x x x f x f x f x
f
nn
     


hoặc
1 1 2 2 1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( )

n n n n
f t x t x t x t f x t f x t f x      

hoặc
1 1 2 2 1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
n n n n
f t x t x t x t f x t f x t f x      

Bước 2: Xét hàm số
()y f x
, dùng đạo hàm khẳng định hàm số là lồi hoặc lõm.
Bước 3: Kết luận.
Xét các ví dụ sau:
Ví dụ 12. Chứng minh rằng:
2
22
22
x y x y





Bài giải
Xét hàm số:
2
()f x x

Ta có:

'"
( ) 2 ( ) 2 0f x x f x   
với
x


hàm số lõm trên tập


Do đó, với mọi
,xy
ta có:
( ) ( )
22
f x f y x y
f







2
22
22
x y x y






Đẳng thức xảy ra khi
xy

Nhận xét: Ở các ví dụ trên ta chỉ cần dùng một hàm lõm để chứng minh một bất đẳng thức
nhưng có bất đẳng thức muốn chứng minh được ta phải dùng nhiều hàm lõm ( hoặc lồi).
Ví dụ 13. Chứng minh rằng trong mọi
ABC
ta đều có:
222
tan tan tan 1
2 2 2
A B C
  

Bài giải
Xét hàm số:
2
()f x x

Ta có:
'"
( ) 2 ( ) 2 0f x x f x   
với
x


hàm số lõm trên tập


Do đó, với
tan ,tan ,tan
2 2 2
A B C
ta có:

(tan ) (tan ) (tan ) tan tan tan
2 2 2 2 2 2
33
A B C A B C
fff
f

   







2
222
tan tan tan tan tan tan
2 2 2 2 2 2
33
A B C A B C

   







Ta đã chứng minh được:
tan tan tan 3
2 2 2
A B C
  

nên
222
2
tan tan tan
3
2 2 2
33
A B C





222
tan tan tan 1
2 2 2
A B C
   

(đpcm)
Nhận xét: Ở các ví dụ trên để chứng minh bất đẳng thức ta chỉ sử dụng bất đẳng thức hàm lồi,
tuy nhiên có những bất đẳng thức muốn chứng minh được ta còn phải phối hợp với các bất đẳng
thức khác.
Ví dụ 14. Chứng minh rằng trong mọi
ABC
ta đều có:

3
cos cos cos
2
A B C  

Bài giải
Xét hàm số:
( ) osf x c x
với
0;
2
x






Ta có:
'"
( ) sinx ( ) cos 0f x f x x     
với

(0; )
2
x




hàm số lồi trên khoảng
(0; )
2


Không mất tính tổng quát, ta giả sử C là góc nhỏ nhất trong
ABC
,
suy ra
0
3
C


. Khi đó ta có:

cos cos cos 2cos os cos
22
A B A B
A B C c C

   

cos cos cos cos cos cos
22
A B A B
A B C C

     

Sử dụng bất đẳng thức hàm lồi có:

22
cos cos cos 3cos 3cos
2 2 3 3
A B A B
C
A B A B
C




   

Suy ra:
3
cos cos cos
2
A B C  

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
os 1

2
2
AB
c
AB
C













3
AB
C











3
A B C

   


ABC
đều
Ví dụ 15. Cho
, , 0abc
. Chứng minh rằng:
     
2
()
3
abc
a b c
b c c a a b a b c


     


(2)
Bài giải
 
ln( ) ln( ) ln( ) 2
(2) ln

3
a b c b c a c a b
abc
abc
    

   




 
2
ln( ) ln( ) ln( ) ln
3
a b c
b c c a a b a b c
a b c a b c a b c

        

     


Xét hàm số
( ) ln( )f x a b c x   

Ta có:
'"
2

11
( ) ( ) 0
()
f x f x
a b c x a b c x

   
     
với
x


hàm số lồi trên tập


Áp dụng Bất đẳng thức Jensen tổng quát ta có:

2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
a b c a b c
f a f b f c f
a b c a b c a b c a b c

  
       

 
2 2 2
ln( ) ln( ) ln( ) ln
a b c a b c

b c c a a b a b c
a b c a b c a b c a b c


         

       


Mặt khác ta lại có:
2 2 2 2
1
()
3
a b c a b c    


   
2 2 2
2
3
abc
a b c a b c
abc

      



   

2 2 2
2
ln ln
3
abc
a b c a b c
abc



      






Vậy:
 
2
ln( ) ln( ) ln( ) ln
3
a b c
b c c a a b a b c
a b c a b c a b c

       

     


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
abc

Nhận xét: Ví dụ trên ngoài việc sử dụng thêm bất đẳng thức kinh điển ta còn gặp khó khăn trong
việc chọn hàm số để xét tính lồi, lõm.
Bài tập đề nghị
CHƢƠNG 3
THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sƣ phạm
3.1.1. Mục đích của thực nghiệm sư phạm
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm định tính khả thi và tính hiệu quả
của đề tài.
3.1.2. Nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm
- Biên soạn tài liệu, sau đó chọn lớp dạy thực nghiệm và lớp đối chứng, tiến hành dạy thực
nghiệm.
- Thu thập thông tin phản hồi, qua đó đánh giá chất lượng, hiệu quả và tính khả thi của các biện
pháp rèn luyện tư duy sáng tạo mà luận văn đã đưa ra.
3.2. Phƣơng pháp thực nghiệm
Dùng phương pháp thử nghiệm đối chứng, dạy thử nghiệm theo hướng rèn luyện tư duy sáng tạo
cho học sinh thông qua các bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm ở một số lớp 12
trường THPT Thụy Hương, trường THPT Kiến Thụy, thành phố Hải Phòng.
Thực nghiệm được thực hiện song song giữa lớp thực nghiệm và lớp đối chứng.
Ngoài ra, chúng tôi còn kết hợp chặt chẽ với các phương pháp khác như: quan sát, tổng kết kinh
nghiệm, phát phiếu điều tra…
3.3. Nội dung và tổ chức thực nghiệm
3.3.1. Chọn nội dung thực nghiệm
- Giải bài tập bất đẳng thức bằng phương pháp khảo sát hàm số.
- Giải bài tập bất đẳng thức bằng các bất đẳng thức tiếp tuyến.
3.3.2. Tổ chức thực nghiệm

Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại trường THPT Thụy Hương, trường THPT Kiến Thụy,
huyện Kiến Thụy, thành phố Hải Phòng. Mỗi trường chọn ra 2 lớp: 1 lớp thực nghiệm và 1 lớp
đối chứng.
Thời gian thực nghiệm được tiến hành từ 22/08/2012 đến 08/10/2012 năm học 2012 - 2013.
3.3.3. Nội dung bài tập và đề kiểm tra
3.3.3.1. Nội dung bài tập:
Giải bài tập bất đẳng thức bằng phương pháp khảo sát hàm số và bằng các bất đẳng thức tiếp
tuyến
3.3.3.2. Nội dung các đề kiểm tra:
Ra 2 đề kiểm tra 45 phút
3.4. Kết quả của thực nghiệm sƣ phạm
3.4.1. Nhận xét của giáo viên qua tiết dạy thử nghiệm
- Các giờ học dễ điều khiển học sinh tham gia vào các hoạt động học tập, thu hút được các em
tham gia.
- Các hoạt động học tập (giải bài tập, trả lời các câu hỏi, nhận xét) học sinh tự rút ra kiến thức
mới, nắm ngay kiến thức cơ bản ở trên lớp. Đồng thời giáo viên cũng dễ dàng phát hiện những
sai lầm mắc phải của học sinh để có hướng khắc phục.
- Học sinh tham gia các tiết học sôi nổi và hào hứng hơn, tự mình phát hiện và giải quyết vấn đề,
vì thế việc học tập của học sinh sẽ chủ động và sáng tạo, tự giác hơn. Học sinh có hứng thú học
tập hơn.
3.4.2. Những đánh giá từ kết quả bài kiểm tra
3.4.2.1. Kết quả cụ thể
Điểm
Lớp
0
1
2
3
4
5

6
7
8
9
10
Số
bài
Thực nghiệm
0
0
0
7
5
22
21
16
12
4
2
89
Đối chứng
0
4
8
7
15
19
20
13
5

0
0
90
Từ kết quả trên, ta có bảng khảo sát sau:
* Tỉ lệ các bài trên trung bình và dưới trung bình:

Số bài trên
trung bình
Tỷ lệ
Số bài dưới
trung bình
Tỷ lệ
Lớp thực nghiệm
77
86,52%
12
13,48%
Lớp đối chứng
57
63,33%
33
36,67%
* Tỉ lệ khá giỏi:

Số bài khá, giỏi
Tỉ lệ
Lớp thực nghiệm
34
38,2%
Lớp đối chứng

18
20%
3.4.2.2. Nhận xét, đánh giá
Nhìn chung, học sinh lớp thực nghiệm có kết quả kiểm tra cao hơn lớp đối chứng. Tỉ lệ điểm trên
trung bình của học sinh lớp thực nghiệm cao hơn nhiều so với lớp đối chứng. Tỉ lệ khá giỏi ở lớp
thực nghiệm cũng cao hơn nhiều so với lớp đối chứng. Kết quả thực nghiệm cho thấy ở lớp thực
nghiệm do được rèn luyện kỹ năng hoạt động trí tuệ và rèn luyện năng lực suy nghĩ độc lập sáng
tạo nên năng lực tư duy của học sinh nâng cao rõ rệt. Biểu hiện trong bài làm của mình là các em
nhớ lâu, nhớ chính xác hơn, có sự sáng tạo trong bài làm, thể hiện ở chất lượng bài làm của nhiều
học sinh tương đối tốt, điểm số ở các bài kiểm tra ổn định. Học sinh lớp đối chứng với trình độ
ngang bằng lớp thực nghiệm, nhưng cách giảng dạy theo phương pháp thông thường không phát
huy được việc tích cực đào sâu tư duy, sáng tạo trong quá trình nắm bắt kiến thức, vận dụng kiến
thức để giải quyết yêu cầu đa dạng của bài toán của học sinh như ở lớp thực nghiệm. Tuy nhiên
còn một số lượng không nhỏ các bài kiểm tra đạt điểm dưới trung bình. Có nhiều yếu tố ảnh
hưởng đến con số này, nhưng trong đó có một phần là do việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học
sinh trung học phổ thông thông qua các bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm còn
chưa phát huy được hiệu quả cao đối với một số học sinh thuộc đối tượng học sinh có học lực
yếu và ý thức học tập chưa cao. Điều này cần được dần dần khắc phục.
Kết luận chƣơng 3
Quá trình thực nghiệm cùng những kết quả rút ra sau thực nghiệm cho thấy:
1) Mục đích của thực nghiệm đã hoàn thành.
2) Tính thiết thực, khả thi của việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua
các bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm đã được khẳng định.
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
1. Kết luận
Qua quá trình thực hiện đề tài, chúng tôi đã thu được một số kết quả sau:
1. Làm sáng tỏ khái niệm tư duy, tư duy sáng tạo và phát triển kỹ năng tư duy sáng tạo.
2. Kết quả điều tra thực tiễn cho thấy việc rèn luyện tư duy sáng tạo của học sinh trung học phổ
thông qua các bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm ít được giáo viên và học sinh
quan tâm (về nhận thức và vận dụng).

3. Phân loại, xây dựng hệ thống các bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm và đưa ra
phương pháp chung cho mỗi loại đó.
4. Phần lý luận và từ thực nghiệm của luận văn chỉ ra rằng, việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho
học sinh thông qua các bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm là hoàn toàn khả thi và
có những kết quả nhất định. Các giáo viên môn Toán THPT hoàn toàn có khả năng vận dụng
trong công tác giảng dạy.
2. Khuyến nghị
Trong quá trình thực hiện đề tài, tôi xin mạnh dạn đề xuất một số ý kiến như sau:
1. Trên cơ sở những vấn đề lý luận đã đề xuất, cần có các nghiên cứu ở tất cả các bộ môn,
rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh cần được triển khai ở các cấp học, các trường học.
2. Quá trình dạy học Toán ở trường phổ thông cần được tổ chức theo hướng phát huy cao độ
tính tích cực, độc lập, sáng tạo của học sinh, tạo hứng thú học tập và hình thành kỹ năng
nghiên cứu khoa học và liên hệ ứng dụng trong thực tiễn cuộc sống.
3. Bộ Giáo dục – Đào tạo cần quan tâm chỉ đạo và tạo điều kiện vật chất, tinh thần thuận lợi
cho việc vận dụng và phát triển các phương pháp dạy học tích cực, trong đó có việc rèn
luyện tư duy sáng tạo cho học sinh.


References
1. Trần Tuấn Anh (2006), Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Nxb Tổng hợp
TP Hồ Chí Minh.
2. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2006), Sách giáo viên giải tích 12 nâng cao. Nxb Giáo dục.
3. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2006), Sách giải tích 12 nâng cao. Nxb Giáo dục.
4. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2006), Sách giáo viên đại số và giải tích 11 nâng cao. Nxb
Giáo dục.
5. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2006), Sách đại số và giải tích 11 nâng cao. Nxb Giáo dục.
6. Nguyễn Huy Đoan - Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng – Đoàn Quỳnh
(2006), Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Giải tích 12. Nxb Giáo dục.
7. Võ Giang Giai (2006), Chuyên đề bất đẳng thức. Nxb Đại học Quốc Gia Hà Nội.
8. Nguyễn Cửu Huy (2009), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học phổ thông

bất đẳng thức. Nxb Giáo dục.
9. Phạm Kim Hùng (2006), Sáng tạo bất đẳng thức. Nxb Tri Thức.
10. Phan Huy Khải (2001), 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức tập 1. Nxb Hà Nội.
11. Phan Huy Khải (2002), 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức tập 2. Nxb Hà Nội.
12. Phan Huy Khải – Trần Hữu Nam (2009), Bất đẳng thức và ứng dụng. Nxb Giáo dục.
13. Nguyễn Bá Kim (2007), Phương pháp dạy học môn Toán. Nxb Đại học Sư Phạm.
14. Nguyễn Kỳ (1995), Phương pháp dạy học tích cực. Nxb Giáo dục.
15. Lê Bích Ngọc - Lê Hồng Đức – Đào Thiện Khải – Lê Hữu Trí (2005), Đạo hàm và
các ứng dụng. Nxb Hà Nội.
16. Nguyễn Văn Nho (2003), Olympic Toán học Châu Á Thái Bình Dương. Nxb Giáo dục.
17. Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Tập cho học sinh giỏi làm quen dần với nghiên cứu toán
học. Nxb Giáo dục.
18. Nguyễn Cảnh Toàn (2006), Nên học toán thế nào cho tốt. Nxb Giáo dục.
19. Viện ngôn ngữ học (2005), Từ điển Tiếng Việt. Nxb thành phố Hồ Chí Minh.
20. Jiri Sedlacek (Nguyễn Mậu Vị dịch) (2002), Không sợ toán học. Nxb Hải Phòng.