Bài tập VD – VDC tiếp tuyến của đồ thị hàm số có đáp án và lời giải

Strong Team Toan VD — VDC

TOANMATH.com

BAI TAP VD - VDC

TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THI HAM SO
- Strong Team Toan VD — VDC -

I. DE BAI
Cau 1.

Cho hàm số y=

(3m+1)x—m”+m

trong đó zz là tham số khác 0. Gọi Š$ là tập hợp các giá trị thực
x+m
cia m để tại giao điểm của đồ thị với trục hồnh, tiếp tuyến sẽ vng góc với đường thăng
x+y- 2020 =0. Khi đó tổng giá trị các phần tử thuộc S bang:
A. -—.
5

B. --.
5

C. -1.

p. 2.
5

Cho ham sé y =2x° +3ax’ +b c6 dé thị (C). Gọi 44.8 lần lượt là hai điểm phân biệt thuộc (C) sao
cho tiếp tuyến của (C ) tại 4,

Cau 3.

có cùng hệ số góc bằng 6. Biết khoảng cách từ gốc tọa độ Ó đến

đường thăng 4ð băng 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2a” +(+ b)

bang:

A. 4.

D. 7.

B. 5.

Cho hàm sé y=

x—2

x+I

C. 6.

có đồ thị là (C) và 7(—1;1). Tiếp tuyến A của (C) cắt hai đường tiệm cận của

đồ thị hàm số (C) lần lượt tại 4;

sao cho chu vi tam giác 14B đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó chu vi

nhỏ nhất của tam giác 1⁄4 là:

A, 2V3 +46.

Cho ham sé y=

B. 4V3 +2V6.

x—2

x+I

C, 243 +26.

D. 6V3.

có đồ thị là (C). Có bao nhiêu điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại đó tạo

với hai đường tiệm cận của (C ) một tam giác nhận gốc toạ độ làm tâm đường tròn nội tiếp?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D.3.

Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm liên tục trên (0;+œ) thỏa mãn /”(x—l)+

#(x-)
x

=3x+2 và

f (1) =6. Phương trình tiếp tuyên của đồ thị hàm số y = ƒ (x) tai điểm có hồnh độ bằng 3 là:
A. y=-9x+7.
Cau 6.

B. y=9x—7.

€C. y=9x+7.

D. y=-9x-7.

Cho ham sé y = f (x) nhận giá trị đương và có đạo hàm liên tục trên khoang (0;+0 ), đồng thời thỏa
mãn lf (x) Ï +3ƒ(x) = x+3. Phương trình tiếp tuyến của đô thị hàm số y = ƒ (x) tại điểm có hồnh
độ x = I

là:

A. Jy y=5x+4.

TOANMATH.com

1
4
B. y y=—x+_—.
5

5

Œ. JY y=-5x+9.

1
6
D. y y=-—x+_—.
5
5

Trang 1/34


Strong Team Toan VD — VDC

Câu 7.

TOANMATH.com

Goi S la tập hợp các giá trị cla tham s6 m sao cho parabol (P): y= 4x° +(m—2)x—3m

cat d6 thi

(C ) :=2x`—3x” +3 tại ba điểm phân biệt 4, 8, C (3; 30) mà tiếp tuyến với (C ) tại 4 và tại 8 vng
góc với nhau. Tính tổng các phân tử của S.
A. -l.

Cau 8.

B. 1.

2x-1

Chohamsé y=

C. 2.

D. 5.

có đồ thị (C). Điểm M (a:b) voi a>0

x+Ï

sao cho khoảng cách từ điểm /(—1;2)

tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất. Khi đó a+b bằng:

A. =1,
Câu 9.

B. 1.
,

+2

Cho hàm sơ y= —
XxX

—

x

C. 3.

aL:

.

D. 283.

2

có đơ thi (C). Co bao nhiéu diém M

,

thudc truc Oy, co tung dé 1a s6 nguyén âm

và thỏa mãn từ điểm M⁄ kẻ được 2 tiếp tuyến tới đô thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng năm cùng
một phía cua truc Ox?
A. 1.
Câu 10.

B. 2.

C. 3.

Cho hàm số y= f (x) = x° —3mx’ —2mx+16m—7

D. 4.

c6 đồ thị là (C,,) . Gọi M

là điềm cô định có tung

độ nguyên của (C,,) va A là tiếp tuyến của (C,,) tai diém M. Goi S 1a tap cac gia tri cua tham sé
m

để A tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân. Tính tổng các phân tử của Š.

A. 1.

B. 0.

Cau 11. Cho ham sé y =
tại M

x+1

C. +.
7

pt
7

5 có đồ thị (C). Gọi A⁄ là điểm năm trên đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C)

tạo với hai trục tọa độ một tam giác có tâm đường trịn ngoại tiếp nằm trên đường

thăng

A:3x—y=0. Tinh d6 dai doan thang OM , biét điểm M⁄ có tung độ dương.

A. OM =34.
Câu 12.

Tiếp tuyến bất kì của đồ thị hàm số y =
tich bang:
A. 35.

Câu 13.

B. OM =V5.

C. OM =7.
* 5
x+

B. 39.

D. OM =5.

cùng với hai tiệm cận tạo thành một tam giác có diện
C.32.

D.33.

Cho hàm số y= ƒ(x) xác định và có đạo hàm trén R thoa man [ f (8x + )ƒ +| f(1- x)] =x. Viét
phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= ƒ (x) tại điểm có hồnh độ bằng 1.
Á.

Cau 14.

l
20
y=—x-—.
»
21
21

l
20
B.y=-—x-—.
»
21
21

€.

l
15
y=—x-—.
»
21
2I

D.

l
20
y=-—x+—.

»
21
21

Cho cdc ham sé f(x), g(x) có đạo hàm trên R và thỏa mãn ƒ(x+3) = g(x)+x° -10x+5 v6i mọi
xeR. Biét £(4) = / (4) = 5. Phương trình tiếp tuyến của đô thị hàm số y = g(z) tại điểm có hồnh
do x =1

TOANMATH.com

là:
Trang 2/34


Strong Team Toan VD — VDC

TOANMATH.com

A. y=13x-4.

B. y=-l3x+4.

C. y=-13x-4.

D. y=13x+4.

Câu 15. Cho hàm số y = ƒ(x) có đạo hàm trên IR và thỏa mãn phương trinh f° (2—x)=x-1- f*(x),vxeR
. Gọi (đ):y=ax+? là tiếp tuyến của đồ thi (C) cia ham sé y= f(x) tại x=1. Khi đó a+b bằng:
A. -5.

Câu 16.

B. 5.

Cho đường cong (C) : y= 7
A. 0.

Câu 17.

C.1.

tox . Có bao nhiêu đường thăng Zđ tiếp xúc (C) tại ít nhất hai điểm?

B. 1.

Cho hàm số y= =

D. -1.

C. 2.

D. 3.

—(2m+1)x? +(m?+3)x—1 có đồ thi 1a (C). Goi S 1a tap hop tat ca cdc gia tri m

sao cho tiếp tuyên có hệ số góc nhỏ nhất của (C) song song với đường thắng y =—5x- 43.

Tổng các

phân tứ của Š là:

A. 1.

Câu 18.

B. -2.

Cho ham sé y= 3x =

x+

C.—.

D.—.

3

3

có đồ thị (C). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số 7

đường thăng đ:y= x+m

để

cắt (C) tại hai điểm phân biét 4, B sao cho ti¢p tuyén voi (C) tai A va

8 lần lượt có hệ số góc là #,, k, thoa man 201(k, +k,)+ . + — = 2020%”°.x;°°. Tổng giá trị của
1

2

tat cA cac phan tir cla S thudc khoang nao dưới đây?

A. (-10;0),
Câu 19.

Cho

B. (1:10).
số

f = ho 2ƒ [s)
x=2

lên

tục

trên

R

D. (21:30).
và

có

đồ - thị

(C).

Biét

1-=4 =. vxelR\{0:1}. Khi đó phương trình tiếp tuyên của đồ thị (C) tại

là:

Á. y=_—x+].

Câu 20.

ƒ (x)

C. (11;20).

B. y=2x-2.

C. y=-2x4+2.

D. y=4x+4.

Gọi (C„) là đồ thị hàm số y= x` + ”x—5. Gọi A⁄ là điểm thuộc (C„) có hồnh độ băng 1. Tìm tổng
các giá trị của m để tiếp tun của (C„) tại M⁄ vng góc với đường thắng x+7y =0.
A2.

B. 0.

Cau 21. Cho hàm sé y= xi
x
tai M

Giả sử M

Œ. -2.

D. 4.

có hồnh độ m.m > 0 thuộc đồ thi (C) sao cho tiếp tuyên của

(C)

cat truc tung va hoanh lan luot tai 2 diém phân biệt A, B sao cho S,„„„ = |2 trong đó 7 là giao

điểm của 2 đường tiệm cận. Khi đó giá trị zz thuộc khoảng nào sau đây?

A. (8:25).
TOANMATH.com

B. (—23;2).

C. (-6;9).

D. (15:27).
Trang 3/34


Strong Team Toan VD — VDC

Cau 22.

TOANMATH.com

Cho hàm số đa thức ƒ (x) là hàm số chẵn. Gọi A là tiếp tuyến của đô thị hàm số y= ƒ '(x) có hệ số
góc nhỏ nhất. Khăng định nào sau đây đúng?

Cau 23.

A. A vng góc với trục tung.

B. A

qua O.

C. A

D. A

song song với đường thắng y= —x.

song song với đường thắng y= x.

Cho dé thi (C,,) hàm số y =—.

x

và y.

Goi A, B lần lượt là giao điểm của đồ thị (C,„) với trục Óx

Gọi &,, k, lần lượt là hệ số góc tiếp tuyến của (C„) tại 4

và B. Gia tri nho nhat cua

A.
Cau 24.

+>|—

|k, +&;|là:
B. 2.

Ham sé y= * =

C

có đồ thị (C),

>1

D. 1.

gọi 7 là tâm đối xứng của (C). Đường thắng

đ: y=ax+Ð

là tiếp

tuyến của (C), biết d cắt 2 đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của (C) lần lượt tại Ä⁄ và N sao cho
AIMN cân tại /. Khi đó b có giá trị băng:
A. b=9.

Cau 25.

B. b=13.

Biết đồ thị hàm số y= ƒ(x)

C

b=9

D.

'lb=-3'

b=13

b=-7

có dạng là một parabol thỏa mãn điều kiện y'= 2y

và f(1)=0.

Phương trình tiếp tun của đơ thị hàm số y = ƒ(x) tại điểm có tung độ băng 4 là:

Cau 26.

Á. y=-4x,

y=-4x—8.

B. y=4x,

y=4x-—8.

C. y=—-4x,

y=4x-8.

D. y=4x,

y=-4x-—8.

Cho hàm số y = ƒ(x) liên tục và nhận giá trị dương trên khoảng (0:+œ). Biết f’(x)>-L f (1) =3
và | f'(x)+ 1} =9x° +9x.f (x). Hé số góc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 4 của đồ thị (C)
hàm số: g(x) = f (x)+x
A. k=9.

Cau 27.

la:
B. 81.

C. k=54.

D. 27.

Cho hàm số „= ƒ(x)= x`—6x” +9x+m có đồ thị (C„). Biết đồ thị (C„) cắt trục hồnh tại ba điểm
A,B,C

có hồnh độ lần lượt là X15 %5 5X3

(x,
với nhau. Viết phương trình tiếp tuyến tai B.
A. y=3x-6.

TOANMATH.com

B. y=3x—30.

C. y=-3x+6.

D. y=-3x+4+30.

Trang 4/34


Strong Team Toan VD — VDC

Cau 28.

TOANMATH.com

.
2x+1
Cho ham s6 y= xt
x+1

(C), goi J 1a tam d6i ximg cia dé thi (C) va M(a;b) 1a mot diém thudc dd

thi (C). Tiép tuyén cua dé thi (C) tai điểm A⁄ cắt hai đường tiệm cận của đồ thị (C) lần lượt tại hai

điểm A và B. Dé tam giác 4B có chu vi nhỏ nhật thì tổng |2z+ð| gân nhất với số nào sau đây?
A. 0.

Cau 29.

B. 3.

Cho hàm sô

.

-]
x+

y =

C. 5.

x:

D. -3.

.

.

có đơ thị (H). Gọi Ậ⁄, N

là 2 điêm thuộc (HH)

sao cho khoảng cách từ

!(-1;]) đến tiép tuyén tai M , N bằng 2. Khi đó x„ +x„ bằng:

A. 2.
Cau 30.

B. -2.

Cho ham so f (x)= ¬n
x+
Z

2

C.0.

D. 1.

. Viết phương trình tiếp tun với đơ thị hàm số g(x)= ƒ ( f (x)) tai diém
Z

~£

£

.

Ầ

.

£

.

oR

x=3.
A,
Cau 31.

x3

9

B.

8

1

12

y=—x4+—.

ar

Œ.

1

21

y=—x+—.

” 16"

16

D.

1

27

y=—x+—.

e205"

25

Cho hàm số y= ƒ(x) có đồ thị là (C). Giả sử tiếp tuyến của (C) tại điểm có hồnh độ x = 0 là đường
;

thăng

eo

Cau 32.

1

y=—x+-.

sự

"

3

Cho

.

.

y=x+l. Khi đó 4= lim

hàm số

2x

v>0/(x)-3/(x)+2/(23)

ot

2

`

băng:

2

`

"

3

y= ƒ(x) có đạo hàm tại x=2. Gọi đ¡.đ, lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y=ƒ(#) và y= g(x)=x/(4x—6) tại x=2. Mệnh đẻ nào sau đây là điều kiện cần và đủ để hai
đường thắng đ,,đ, có tích hệ số góc băng —2 2

A.|Z(2)|>42.
Cau 33.

B.-8
D. |/(2)|>8.

Cho ham sé y= ƒ(x)có đạo hàm liên tục trên R, thỏa mãn ƒ(3x)+3/ƒ(1-3x)=9x”+3x.

Gọi

(4):y= ax+b (với a,b là phân số tối giản) là phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = ƒ (x) tại
điểm có hồnh độ bằng 0. Khi đó a+3b bang:

Á.1.
Cau 34.

B. -1.

Cho hàm sé y = x° — 6x" +28

ct.

2

2

có đồ thị (C). Gọi Š là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số

m sao cho từ M (m;—4) kẻ được đúng một tiếp tuyến tới (C). Số các phân tử của tập Š là:
A.4.

TOANMATH.com

B. 5.

C.3.

D. 2.

Trang 5/34


Strong Team Toan VD — VDC

Cau 35.

TOANMATH.com

Cho ham số y= ƒ(x) có đạo hàm trên R. Gọi đ,,

đ; lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y=x f(2x-1) và y=xf(2x-1) tai điểm có hồnh độ bằng 1. Biết hai đường thăng đ,, đ; có hệ
số góc lân lượt là 2020 và 2021. Giá trị của f(1) băng:
A. 2020.
Cau 36.

B. 2021.
,

`

Cho ham sé y= x°—V3x

C.1.
.

a

D. -1.
,

.

.2

]

.

6 d6 thi (C). Tiếp tuyên của (C )tại điêm x = =a

fs

,

và hai tiếp tuyên

khác tại điểm A va B tạo thành tam giác đều. Biết tung độ tại 3 tiếp điểm đó đều khơng âm, khi đó
tơng hồnh độ của 44 và Ư thuộc khoảng nào sau đây?

A. (1:2).
Cau 37.

B. (0:1).

Cho ham sé y=

X—

x+3

C. (-1:0).

D. (-2:-1).

có đơ thị (C). Trên đơ thị (C) có bao nhiêu cặp điểm mà tiệp tuyên tại hai

điểm đó song song với nhau đồng thời khoảng cách giữa cặp điểm đó băng 4A22
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Cau 38.

:
2
Cho hàm sơ y= xt 3 có đồ thị (C). Trên đồ thị (C) cd bao nhiéu diém M
x+

ma khoang cach tir

A(6:—4) đên tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A⁄ gập hai lần khoảng cách từ điểm B(5;1) dén tiép
tuyến của đô thị (C) tại điểm M ?
A. 0.

Cau 39.

B.

1.

Œ. 2.

D. 3.

Cho hàm số y= ƒ{(x) = ax` + bx” +ex+ đ có bảng biến thiên như hình vẽ:
x

f'@)

—œ

]

+

0

5

—

0

*

—8

3

+0

+œ

f(x)

-40
a“

—œ

3

Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = ƒ(x). Hỏi có bao nhiêu điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của
(C) tai diém A⁄ cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại 4 và ö thỏa mãn tam giác 244B vuông cân?

A. 1.

B. 2.

Cau 40. Cho hàm số y=x`+2x”+5

C. 3.

D.4.

có đồ thị (Š). Gọi 4,B,C là các điểm phân biệt trên (Š) có tiếp tuyến

với (Š) tại các điểm đó song song với nhau. Biết 4,B,C cùng nằm trên một parabol (P)

có

đỉnh 7(—1; yạ). Tìm yy.

TOANMATH.com

Trang 6/34


Strong Team Toan VD — VDC

TOANMATH.com

A.4,

B. -4

c+.4

D. =.4

II. BANG DAP AN
1A
11.D
21.A
31.B

2.A
12.C
22.B
32.D

3.B
13.B
23.D
33.A

4.C
14.A
24.C
34.B

5.B
15.D
25.C
35.D

6.B
16.A
26.C
36.D

7A
17.D
27.C
37.B

8.B
18.B
28.A
38.C

9.A
19.D
29.B
39.D

10.C
20.B
30.D
40.A

Ill. LOI GIAI CHI TIET
Cho hàm số y

_ (3m+l)x—m +m

trong đó

là tham số khác

0. Goi S'la tập hợp các gia tri thực

_
x+m
của m để tại giao điểm của đồ thị với trục hồnh, tiếp tuyến sẽ vng
x+—2020 =0. Khi đó tổng giá trị các phần tử thuộc Š băng:

=

6.

C. -1.

5

D.

góc với đường thăng

mn | oO

Cau 1.

3

Lời giải
Diéu kién xac dinh: x #-m.

Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị với trục hồnh là:
HH.

.ưnn

x+m

tt

=
x="

o>

x+mz0

2

(3m+1#0)

3m+1

XA-M

2
r

Ta có: x=

mM

3m +]

+ —m
A

oA

oA

A

2

Vậy hồnh d6 giao diém cua dé thi véi truc hoanh la x = =

Taco

z

y'=

2

~

m # 0. Nên điêu kiện x # —? luôn thỏa mãn.

(3m+1)m— (—m” + m) _

+

ï (3z+1z0).

4m?

=

(x+ my

—mM

(x+ my

Vì tiếp tun của đơ thị tại giao điểm của đơ thị với trục hồnh vng
x+ y—2020=0 nén ta có

ja

(-1)=-Le——
TP
Se Gt —

2

2

3m+1

m—m

3m+1
So (3m +)
4m

TOANMATH.com

góc với đường thăng

2

2

2

16m

+m

3m4+1=2

=1<5(3m4)? = 4? <3] 3”

”

3m+1=-2m

Trang 7/34


Strong Team Toan VD — VDC
2

TOANMATH.com

¬

`

`

6

Vậy tơng giá trị các phân tử thuộc S bang =

Cho hàm số y=2x' +3ax” +b có đồ thị (C). Goi A,B lần lượt là hai điểm phân biệt thuộc (C) sao
cho tiếp tuyến của (C) tại A,B

co cling hệ số góc băng 6. Biết khoảng cách từ gốc tọa độ Ó đến

đường thắng 4Ø bằng 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2a” +(ø+ by’ bang:

A. 4.

B. 5.

C. 6.

D.7.

Lời giải
Ta có y'=6x” +6ax.
Do tiếp tuyến của
y' =6

6x

Ta lai co

(C)

tại 4,B

có cùng hệ số góc là 6

nên

x 4> X,

là nghiệm

phương trình

+6ax=62
x +ax-1=0.

ya(x

+ax-1)(2x+a)+(2-a*)x+at+b.

Khi đó, phương trinh duong thang

AB

là

(2-4?)x-y+a+b=0.

Theo gia thiet d(O; AB)=1<

la+b|

(2-a’)
+1

=1<3(a+b) =(2-a’) +1

©2ab+b
=a —5a” +5. (*)

Từ (*) ta có P=24? +(a+b}) =34? +2ab+b? =a*—=2a2 +5=(a) =1) +4>4
Dau “=” xảy ra khi a= +1. Vậy GTNN cần tìm là 4.
Cau 3.

Cho hàm số y=

x—2

có đồ thị là (C) và /(—1:]). Tiếp tuyến A của (C) cắt hai đường tiệm cận của

x1

đồ thị hàm số (C) lần lượt tại 4:7 sao cho chu vi tam giác JAB dat giá trị nhỏ nhất. Khi đó chu vi
nhỏ nhất của tam giác /4ð là:

A. 2N3+4V6.

B. 4/3 +26.

TXD: D=R\{-1}
TCD:

x=-1;TCN:

C. W34+2N6.

Lời giải

D. 63

y=l.

.
.
wr
.
—2
Suy ra /(—1;1) la giao cua 2 đường tiệm cận của đô thị hàm sô y= * 7
x+
Me(C

={

)=

M(a;

a—2

nh

PTTT A của (C) tại M

.

ak

A giao v6i TCD tai diém
TOANMATH.com

la: y=

3

ny (x-a)+
—5

{-1:4*)
at

a-2
atl.

Lae

A giao vi TCN tai diem B(2a+1;1).
Trang 8/34


Strong Team Toan VD — VDC

TOANMATH.com
2

Ta có: xa".

a+]

=

a—5
at+l

-Í°

—6
a+]

|

1B=4|(2a+1+1Ÿ +(LĐỶ =2|a+||.
Do tam giác 14B vuông tại / nên 4B = ý 1⁄4 + 1B”
Ta có chu vị tam giac JAB là

I1A+1B+ AB = IA+1B+^| L4 + IB? > 2VIAIB +V2I4.1B > 2V12 +V24 = 4V3 +2V6.
Câu 4. Cho hàm số y =

x—2

có đồ thị là (C ). Có bao nhiêu điểm thuộc (C )) sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với

x+]

hai đường tiệm cận của (C ) một tam giác nhận gốc toạ độ làm tâm đường tròn nội tiếp?

A. 0.

B. 1.

C.2.

D.3.

Lời giải

3

Ta có: y =

(x41)

.

Đồ thị hàm số (C ) có đường tiệm cận đứng là x = —1 và đường tiệm cận ngang là y = l.

man
a+]

Goi Ma

Phương trình tiếp tuyên của (C ) tại M/ là:
,

y=y'(a)(x
_

_

a—2

a)+——
2

Sx

gta?

(a+)

(A)

(a+)

Gọi 44, Ø lần lượt là giao điểm của (A) với đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của (C `), 7 là
giao điêm của hai đường tiệm cận.
a—5

Khi do (13), 82a +11).
Phương trình đường thăng 1⁄4: x=—l<© x+l=0= đ(O.14)=I1.
Phương trình đường thăng /Z: y =1<> „—1=0= đ(O.18) =1.
Vì

(Ĩ: IA) =d (O; IB ) = l nên Ó là tâm đường trịn nội tiếp tam giác 148 khi Ĩ năm trong tam

giác !4B và đ(O:; 4B) =1].
Ta có:

4 (0: 4B) =1e

TOANMATH.com

d(0.A)=Lo

ds

9+(a+1}

fa? =4a~2|=jB+(ax 1}

Trang 9/34


Strong Team Toan VD — VDC

TOANMATH.com

© (a -4a-2) =9+(a4l)' © 120° 6a" -12a+6=0
a=]

©6(a?~1)(2a-1)=0©|a=-1().
1
2
—

l

`

.

Với a=l— Mí 1:5}, A(-I:-2). B(3:1) —= ĨO năm trong tam giác 14B — Ĩ là tâm đường
trịn nội tiếp A14ð.
.

1

1

`

Với a= 5 => M L2:-1)-4Ck-3).8G:) — Ó năm trong tam giác IAB >

O la tam

đường tròn nội tiếp A148.

Vậy có hai điêm thoả mãn yêu câu bài tốn.
Cau 5.

Cho hàm sé y= f(x)

—]| )
có đạo hàm liên tục trên (0;+œ) thỏa mãn f’(x-1 )+ f(x

=3x+2
x

và

#{1) =6. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y„= f(x) tại điểm có hồnh độ băng 3 là:
A. y=-9x+7.

B. y=9x—7.

€C. y=9x+7.

D. y=-9x—7.

Lời giải
Ta có pi (x—1)

OD
x

S—3y ¿2

/(x-I)+//(x—1)=3x' 32x,

(af (x-1)) =3x° +20 <> af (x=1) = | (3x? +2x)dx © x/(x~1)=x`+x” +€ (®).
Thay x=2 vao (*) taduge: 2f(1)=12+C 2.6=12+COC=0.

Suy ra xf (x-l)=

4° > f(x—-l)=9° +x =(x-1) +3(x-1)42.

=> f (x)=x° 43x42 > f'(x)=2x+3> f'(3)=9 va f(3)=20.
Vậy phương trình tiếp tuyên của đồ thị hàm số y= /(x) tại điểm

có hồnh độ x=3

là

y=9(x-3)+20
© y=9x—7.
Cau 6.

Cho hàm số y = f(x) nhan giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên khoảng (0:+œ ), đồng thời thỏa
mãn lf (x) | +3f(x)=x+3. Phuong trinh tiếp tuyên của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm có hồnh
độ x = l là:

A. y=5x+4.

¬_...

ŒC. y=-5x+9.

D. yaraxts.

Lời giải
Thay x = I vào đăng thức [7(x)ƒ +3/7(x)=x+3 (1) ta được:
TOANMATH.com

Trang 10/34

Strong Team Toan VD — VDC

TOANMATH.com

[Z()ƒ+3/)=4© 7(0)=1:/()=-4 đoạ).
Đạo hàm hai về của (I) ta được:

2/'(x).ƒ(x)+3/'(x)=1(2):

Thay x=1 vào(2):2/'()/()+3/)=1.
Với ƒ(1)=1 tacó: 2/'()+37/()=1<©/Z()= 15
Phuong trinh tiép tuyên của đô thi ham sé y = f(x) tại điểm (1:1) có hệ số góc & = /”(1) = 5 la

=ix44

ars
Câu 7.

Goi S la tập hợp các giá trị của tham số mm sao cho parabol (P): y= 4x” +(m—2)x—3m

cat đồ thị

(C): y=2x° -3x° +3 tai ba diém phan biét 4, 8, (3:30) mà tiếp tuyến với (C) tại 4 và tại 8 vng
góc với nhau. Tính tổng các phân tử của S.

A. -1.

B. 1.

C. 2.

D. 5.

Lời giải

Phương trình hồnh độ giao điểm là: 2xÌ—3x” +3= 4x” +(m—2)x—3m
<> 2x° - 7x" +2x—mx+34+3m=

—3)(2x° -x-1-m)=0

oly

)(2x

*

m)

0

(x~3)(2x”~x~—1]—m(x—3)=0

x=3> y=30
-

g(x)=2x°-x-l-m=0

Dé d cat (C) tai 3 điểm phân biệt thi phương trình ø(x)=0 có 2 nghiệm khác 3

A=l+8(+m)>0
ø(3)=14-m #0

Gol A(x,32x7 -3x/ +3) và BẦx,:23; -3x; +3) theo Vi-ét ta co:

X,+X,
1
27= A|

2

XX. =

—l-m
2

Để tiếp tuyến tại 4 và 8 của (C) vng góc với nhau thì y'(x,).y'(x;)= —I
<> (6x; — 6x, )(6x; —6x;}= 1S

xx, (x, 1)(x, 1) =ơ

I
l-m/(-1> XX, (x,x, X,X, Hapoel
2

memyt
4

l

I
I
Sate

tem =âm+m+1=0âm=
4
36
9

=32 5 (//m(*)
6

Suy ra tổng các phân tử của S băng -—1.
TOANMATH.com

Trang 11/34


Strong Team Toan VD — VDC
,

Cau 8. Cho ham sé y=

TOANMATH.com

2x —]

to,

T

.

ca

co dé thi (C). Diém M(a;b) với a>0

x+
tới tiếp tuyến của (C} tại Ä⁄ là lớn nhất. Khi đó a+

A. =1.

B. 1.

sao cho khoảng cách từ điểm T(-I 2)

bằng:

C. v3.

D. 243.

Lời giải
Goi M lxz-

‘Je

Xy+

. Khi đó tiếp tuyến tại

M có phương trình:

Pm) 42
3

A:y=————|x—

30m)

2—

4 (7-2) -3(004D

3(x-x,)-

1

2

—2)-3

I)=0.

Khoảng cách từ 7 &' 2) đến A là:

d

_ B(CI-x¿)~3(x +L|_

Theo bất đăng thức Cô-si:

6|x, +1]

6

. HI) | (xX, 9+ 1)" (x41)
?

(x + 1)

= +(x, +1) >2

?

(x + 1)

¬

+ (% +1)

9

Khoảng cách đạt giá trị 16n nhat bang V6 khi ——=(x,

+ ly

(x, +1

Do điểm
M có hoành độ đương nên M{—1+3:2-43).

Cau 9.

,

+2

`

Cho ham sé y= —

.

=6 .Khi đó đ<6.

(x + ly =3© |

Xo =-I+x3

Xo =-|-3

Khi đó a+b=].

cả

,

có đơ thị (C). Có bao nhiêu điêm Ä⁄ thuộc trục Ĩy, có tung độ là sơ ngun

X—

âm và thỏa mãn từ điểm M ké được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng năm
cùng một phía của trục Ox ?

A. 1,

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải
y=#

2œ

y=1+——. Gọi

x—]

x—

Mĩ (0:m) e Oy, (m <0).

Gọi tiếp tuyến của (C) đi qua Ä⁄ là đường thắng đ: y= kx+m.
kx +m=
`

`

`

Yéu cau cua dé bai, diéu kién là hệ phương trình

TOANMATH.com

1+ "
XxX

(1)

—_

(2)
Trang 12/34


Strong Team Toan VD — VDC

TOANMATH.com

có 2 nghiệm x,, x; #Í và thỏa mãn
Z

cA

x

2

~

y

3

1+
`.

ack

TA

Xét điêu kiện

y(x)<0

x,—1

<>

y{x,)<0

Từ (1) và (2) suy ra

Dat —
XxX

—

1+

— “+

(x-1

1

<0
<>

3 <0
x, —1

m=1+

3

<——

x,—1

1
3

.

: <1
x,-l

3
&

3

s+

x-1 7 (x-1) 0 x-1

+l—-m=0

=/ (¡z 0), phương trình (3) trở thành 3/ˆ +6/+l—m=0_

(3).

(4)

.
“
Bai toan tro thanh tim m dé phuong trinh (4) co 2 nghiém ¢,, ¢, thoaman:

¢,
]

(Dat

f (t)=3t? +6t+1-m).
A'>0

A'>0
1
1
Sla/[-s)>0e|3/[-s|>0e
3

3

|

——<-——
2a
3

Do mnguyén 4m
Cau 10.

nén

-l<-—

2
m<-—

|

m>-—2

9-3(1-m)>0

3

>

2<©-2mes

m=-1.

Cho hàm số y= ƒ(x)=xÌ—3/wˆ — 2mx+ 16m — 7 có đồ thị là (C,,). Goi M 1a diém cé định có tung
độ nguyên của (C,,) va A là tiếp tuyến của (C,,) tai diém M⁄. Gọi Š$ là tập các giá trị của tham số
m

để A tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân. Tính tổng các phân tử của $Š.

Lời giải
Ta thấy điểm Ä⁄(x„: y„) là điểm có định của (C„) © ¿ = ƒ(%,) với mọi m e IR
<>

y, =x) —3mx, —2mx,+16m-7,

<©

m(-3x; — 2x, +16)+x5 -yy-7=0.

3x; —2x¿ + l6 =0

oS),
Xụ =ÿ,—7=0

Xạ=2
©

VmeR

8

4l*J,=—

Vme lk

>

X) =2
3ạ =Ì

-

-

-

(do điêm Ä⁄ có tung độ nguyên).

Yo = Xộ —7
TOANMATH.com

Trang 13/34

Strong Team Toan VD — VDC

TOANMATH.com

Lai cd y= f"(x)=3x° —6mx-2m => /'(2)=12—14m.
Ta có phương trình tiếp tun A ctia (C,,) tai diém M(2;1) la y= f"(2)(x-2)+1

Hay y=(12—-14m)x+28m—23 (A).
A tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân thì A sẽ song song với đường thăng

12-14m=1

©

hoặc y=—x

malt

J|Ì12-14m=-I ©

5 |

28m -23 +0

7

—

Suy

y=x

m=—

11 13
z
›
12
ra tập ŠSÃ =4 —;——y và tông các phân tử củaS la —.
yr
ba =
`
Pp
7
x+1

Cau 11. Cho ham sé y =
tại M

5 có đồ thị (C). Gọi A⁄ là điểm năm trên đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C)

tạo với hai trục tọa độ một tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trên đường

thăng

A:3x—y=0. Tinh độ dài đoạn thăng ØA⁄, biết điểm M⁄ có tung độ dương.

A, OM =A34.

B. OM

= v5.

C. OM =7.

D. OM =5.

Lời giải

Gọi M3

Xt

(với 22 ¬ > 0) là điểm thuộc đồ thị (C).

X, 9-2

Vi f'(x)=

Xo —

- nên tiếp tuyến đ tại M có hệ số góc là

—

= /'(x,)=—— —.

(xạ —2)

(x-2)

trình tiếp tuyến Z là y=— Soe
Phương
(x, —2)

¬....
(x, -2)

x, ) +204
x, -2

00-2)

(x, -2)

(x, -2)}

2

Khi do dn Ox = TK“

xy 2x)2

(x, -2)

(x, -2)

2

dO Oy=B

3

=3x
—

0Š T25 =2
(x¿ =2)

I là tâm đường tròn ngoại tiếp AO4ð khi và chỉ khi 7 là trung điểm 4
I Xụ +21, —2, Hy + 2X, =
6

|

2(x¿—2)
2

2

2

Vi TEA nén Š9 *^% ~2_ Xo 42% 72 _ © Ot
2

TOANMATH.com

hay

2(%

—2)

2(x, —2)

* J (x, 2)’ -1]=0.
Trang 14/34


Strong Team Toan VD — VDC

TOANMATH.com

,

Vì các điểm d khéng
di qua O nén x; +2x,-2
40. Suy ra (x, -2) -1=0 =|

x, =3

° i.
X) =

Két hop M_cé tung dé duong ta duge M (3;4). Vay OM =V9+16=5.

Câu 12. Tiếp tuyến bất kì của đồ thị hàm 6 y =22

cùng với hai tiệm cận tạo thành một tam giác có diện

X+

tích bằng:

A. 35.

B. 39.

C. 32.

D. 33.

Lời giải
Đồ thị hàm số y= 5x ¬
x+

(C) có hai đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là x=~3, y = Š.

giao điểm của hai đường tiệp cận là 7 (—3:5) .
5x, —1

Layk M (x); ¥)) €(C) > »
`

"

Ấ

=—*(x,

#-3)

X) +3
>

-

a2

`

16

Phương trinh tiép tuyén cua (C) tai diém M la y=
1
Cho x=-3> y= —2_,.(-3-x,

(x, +3)

.

22

>

`

5x,-l

po

=

Xt+3

>

(x, +3)

-l

NO

`

x, +3

5x,-17

x%+3

x +3

to TT

—1

(d)

5xạ—17

Xạ +3

nh.

X) +3

5x,

5x,—-1l

+3

Suy ra giao điểm của (đ) và TCĐ của (C) là 4| -3;

"¬:.-

= (x- xy) +

X) +3

1

5x,

—1

1

Cho y=535=— 9 _.(x-x,) 4 te
(x, +3)

X)+3

1

6 = (x-x))=
6
(+3)
x, +3

> X-—Xy =X t+343

Suy ra giao điểm của (đ) và TƠN của (C) là B(2x, +3;5)

= IB=|2x,+3+3|=|2xạ + 6|
Diện tích tam giác cân tìm làS = 21418 = 52%
`

Câu 13.

`

x

1

1

+ 6|.

Cho hàm số y= ƒ(x) xác định và có đạo hàm trên

32

X) +3

= 32.

thỏa mãn | f (8x + )ƒ +| f(1- x)] =x. Viét

phương trình tiếp tuyén cia dé thi ham sé y= f(x) tai diém c6 hoanh d6 bang 1.

A,

1
20
y=—x-—.
“21”
2I

Bye

Từ [7Z(8x+1)Ƒ+[Z-z)Ï
TOANMATH.com

d.

C.

“21

Lời giải

1

15

21

———X_——.

D.

T21

1

20

21

=—-—xX+—.

=x (*),cho x=0 ta có [Z(@)Ƒƒ+[{[Z@Ï =0<©
Trang 15/34


Strong Team Toan VD — VDC

TOANMATH.com

Dao ham hai vé ctia (*) ta duge 2.8.f (8x +1).f"(8x+1)-5[ f(I-x)] f'(I-x)=1.
Cho x=0 ta được 16/(1)./()-5.|Z()Ï.#@)=1 =/0)//0)|16=5(7(0} |=1 (**).
Nếu /ƒ(I)=0 thì (**) vơ lý, đo đó /Z(1)=—1. khi đó (**) trở thành
—f'(1).[16+5]=1< f'(1)= ¬n1
Vậy tọa độ tiếp điểm là 4(1;—1) và hệ số góc # = __

21

=—-'(x-1)-I

Phương trình tiếp tuyến

ng

Câu 14.

Cho các hàm số f (x) , g(x)

_ 1,

<

721

20

21

có đạo hàm trên R và thỏa mãn f (x+3) = g(x)+x° —10x+5

voi

moi xeR. Biét f(4) = f'(4) =5. Tiép tuyén cia ham sé y = g(x) tại điểm có hồnh độ x =1 là:

A. y=13x-4.

B. y=-13x4+4.

C. y=-l3x-4.

D. y=13x+4.

Lời giải
Taco f(x+3)=g9(x)+x° -10x+5 => f"(x+3)= g'(x)+2x-10.
tachon x=1

— JZ(4)=#()+2.1-10

=0

Từ

tiếp

ƒ#(4)=g()+-101+5
đó

phương

trình

ng

0n

|[øŒ)=/(Đ+10-5-1=9
tuyển

của

đồ

thị

hàm

số

y=g(x)

tại

x=l

là y= gt1).(x—1)+ ø()=13(x—1)+9=13x—4

Câu 15. Cho hàm số y = ƒ (x) có đạo hàm trên IR và thỏa mãn phương trinh f* (2—x)=x-1-f*(x),vxeR
. Gọi (đ):y=ax+b là tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y= /(x) tại x=1. Khi đó a+b bằng:
A. -5.

B. 5.

C. 1.

D.-1.

Lời giải
Goi M(1; f(1))€(C) khi do hồnh độ của AZ thỏa mãn phương trình
/Z '(2-x)=x-I1- /ƒŸ().vxelR @9.
Thay hoành độ A⁄ vào (*) ta được ƒ”(1)=—/”(Ù©
Đạo hàm hai về của (*) ta được -2ƒ(2-z)#(2-x)=1-3/7 (x)./'(3)
TOANMATH.com

(1).
Trang 16/34


Strong Team Toan VD — VDC
Thay

x=1

TOANMATH.com

ta duoc

-2f (1) f'(I) = 1-3f7 ()./)

(2).

Nhận thấy ƒ(1) =0 không thỏa mãn (2) suy ra ƒ(I)=—1. Thay #(I)=—1 vào (2) ta được

2//()=1-3//0)©570)0=1©/70)=+.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm có phương trình là y= (x —1)-1 hay y= = -2

.

Suy raa+b=-1.

Câu 16.

Cho đường cong (C) : y= 7

A.0.

tox . Có bao nhiêu đường thăng đ tiếp xúc (C) tại ít nhất hai điểm?

B. 1.
,

Hàm sơ „=2

l

ti

]

C. 2.

Loi giai

D. 3.

!
A ÏR.
có đạo hàm y'=xÌ+
x” trên

Do đường thang d tiếp xúc với (C) tại 2 điểm có hồnh độ z,b, ở đó a #b, nên có hệ số góc là &
và thỏa mãn

Dot) _ (a) I

y(a)-y()
CN
ON) __,
y(a)->)
a—b

_

y'(b)(2)

Lay (1)-(2) và rút gọn cả 2 về cho a—b ta được

a’ +b’ +ab+a+b=0 hay (a+b) +(a+b)=ab (3)
Lấy (1)+(2) ta duge
—(4°+b`+a”b + ab?)+ “(a2 + bề — ab)= đa) + b + á” +
2

3

3

Hay (5)2 —2zp(z+s)+1(a+b)
— Êab
=0 (4)
3
3
k

`

3

Thê (3) vào (4) được 5412)
Tu (5) suy ra a+ b=0

3

4

—~a(ø+b)=0

hoac ¬=

(5)

hoặc a+b=-—.

Voi a+b=0,
két hop voi (3) suy ra a=b=0 (v6 li).
Với a+b= = , kết hợp với (3) suy ra mâu thuẫn.
TOANMATH.com

Trang 17/34


Strong Team Toan VD — VDC
`

4

TOANMATH.com
⁄

.

Vol at+b= “3° kêt hợp với (3) suy ra a=bồ= “3

2

(v6 li).

Vậy không tồn tại tiếp tuyên Z tiếp xúc (C)_ tại ít nhật 2 điểm.
Cau 17.

Cho hàm sô y = Bt

—(2m+1)x” +(m” +3)x — 1 có đồ thị là (C). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị

m sao cho tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C) song song với đường thăng y = —5x — 43.

Tổng

các phân tử của S là:

Lời giải
Ta có y'=xˆ—-2(2m+1)x+m”
+3
=x -2(2m+1)x+(2m+
Đ” —-(2m+ + m” +3

=(x—2m-— L” - 3m” — 4m +2 >—3m” — 4m +2
Vì tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C) song song với đường thắng y = —5x — V3
m=1
nén taco —3m* —4m+2=-5<

a

4k

Aa

yt

—7
m=—
3

. —4

Vậy tông phân tử của S là 3"
Cau 18.

Cho ham sé y= 3x =
x+

có đồ thị (C). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số 7z để

dudng thang d:y=x+m cat (C) tai hai điểm phân biét 4, B sao cho tiếp tuyên với (C). tại 4 va
`

,

1

1

B lân lượt có hệ sơ góc là &¡, &; thỏa mãn 201(&, + &,)+ ae
1

2

¬

2020k””.k?”". Tơng giá trị của

2

tat cả các phần tử của S$ thuộc khoảng nào dưới đây?

A. (—10;0).

B. (1:10).

C. (11;20).

D. (21;30).

Lời giải

Gọi hoành độ của 44 và ZØ lần lượt là x,, x;. Khi đó x,, x; là nghiệm của phương trình:

TOANMATH.com

Trang 18/34


Strong Team Toan VD — VDC

3x+2

=X+77

x+1

TOANMATH.com

x +(m-2)x+m-2=0(*)

S&S

x#-l1

.

Dé dudng thang d cat (C) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt
khác —I

2

A>0

2

(m-2) —4(m-2)>0

(-1) +(m-2)(-1)+m-240 —
"¬

_

ae

m—=2<0_`

|[m<2'

|⁄„+x*;=2-m

Khi
đó ta có:

XX, =m—2

]

]

_

]

-1

I|

]
I|

<7
oo

|1#0

of

(x+1J

(x, +1)

1

và k, +k, =

(x, +1)

5

+

(x,x, +X, +X; +1)
1

(x, +1)

5

(m—2+2-m+l)

_(w+x;)} —2xx,+2(xi+x,)+2
(xx, +X, +X; +1)

5

=(2—m) -2(m—2)+2(2-m)+2 =m? —8m+14,
CO 201(k, +k,)+ - + - =2020#/”.k;””” <=> 201(k, +k,) + =
1

2

"2

= 2020(k,k,)

2020

= 201(k, +k, ) +k, +k, =2020 & 202(k,+k,)=2020 Ok, +k, =10 Gm’ -8m+14=10
cm

Amd

=O.)

m = 4+ 24/3 (tm)

m= 4-23 (tm)

Vay S={4+283;4~23].
Cau 19.

Cho

hàm

|)»
x=2

số

(4

f (x)

= —...

lên

tục

trên

R

và

có

đồ - thị

(C).

Biết

clR\{0:1}. Khi đó phương trình tiếp tuyên của đồ thị (C) tại

là

A. y=-x4l.

B. y=2x-2.

C. y=-2x+2.

D.
y=4xz+4.

Lời giải
Đặt

xt ito
x
t

TOANMATH.com

yet
t—l

Trang 19/34


Strong Team Toan VD — VDC

Khi do:

TOANMATH.com

(24) +29(4) = 1245

x

x

XxX

(ee
x

oa

x

tro thanh:

#

x

Xx

Thử lại ta thây ƒ(x)= x” liên tục trên R và thỏa đẻ.

Vậy /'(x)=2x. Khi đó: ƒ(2)= 4, Z'{2) = 4. nên phương trình tiếp tuyến tại x= 2 là y=4x+4

Cau 20. Gọi (C„) là đồ thị hàm số y= xÌ +

x—5. Gọi M⁄ là điểm thuộc (C„) có hồnh độ băng 1. Tìm tổng

các giá trị của m để tiếp tun của (C„) tại M⁄ vng góc với đường thắng x+ 7y =0.

A2.

B. 0.

C. -2.

D. 4.

Lời giải

Ta có y'=3x” +nữ.
Tiếp tuyến của (C„) tại M có hệ số góc a„ = y'(1)=3+nmử.
x

2

Đường thăng

—1

x+7y=0<> y= ¬

z

^

A

z

2

x

2

`

`

. Do đó hệ sơ góc của đường thăng này là

l

1:

Tiếp tun vng góc với đường thắng x+ 7y =0 khi và chỉ khi
1
74

= 1S

a, = TS 34m

= TS

m= 4S m= 42.

Vậy tổng các giá trị của m thỏa mãn ycbt là 2+(—2) = 0.
Câu 21. Cho hàm số y= x4t

X

Giả sử ÄM⁄ có hồnh độ ?,m >0

thuộc dé thi (C)

sao cho tiếp tuyến của

(C)

tại M⁄ cắt trục tung và hoành lần lượt tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho S,,,, =12 trong do J 1a giao
điểm của 2 đường tiệm cận. Khi đó giá trị z thuộc khoảng nào sau đây?

A. (8:25).

B. (23:2).

C. (6:9).

D. (15:27).

Lời giải

TOANMATH.com

Trang 20/34