Đề thi thử Toán 12 Số 423929
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (747.31 KB, 10 trang )
MEGABOOK S
4
MƠN TỐN
Th i gian làm bài: 180 phút, khơng k th i gian phát đ
Câu 1 (2,0 đi m). Cho hàm s
y
4
x
3x
2
2
5
(C).
2
a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s C .
b) Gi s
M
M C
có hồnh đ
a
. Tìm
a
đ ti p tuy n c a C t i
c t C t i 2 đi m phân bi t khác
M
.
Câu 2 (1,0 đi m). Gi i ph
1
ng trình
ta n x c o t 2 x
2 s in x c o s x
cot x 1
.
Câu 3 (1,0 đi m). Tìm tích phân
4
I
0
cos 2 x
1 s in 2 x c o s x
4
dx
.
Câu 4 (1,0 đi m).
a) Cho s ph c
z
z i
th a mãn
z 1
. Tìm s ph c
1 2i
w
3
2z z
2
.
4
b) Cho t p A 0 ; 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 . Xét các s t nhiên có 5 ch s khác nhau thu c
l y ra 1 s . Tính xác su t đ s đó chia h t cho 5.
Câu 5 (1,0 đi m). Trong không gian v i h t a đ
d2 :
x
y 2
1
1
z1
1
. Vi t ph
O xyz
ng trình m t ph ng ch a
Câu 6 (1,0 đi m). Cho hình chóp S . A B C có đáy
ABC
60
0
. Tính kho ng cách t đi m
A
và h p v i
d2
ng th ng
m t góc
là tam giác vuông cân t i
S A C c ng vng góc v i m t ph ng đáy A B C , cho
góc
d1
, cho hai đ
BC a
2
. Trong các s nói trên
A
A
30
d1 :
0
x1
1
y
1
z1
1
và
.
. ai m t ph ng S A B và
, m t bên S B C t o v i đáy A B C m t
đ n m t ph ng S B C .
Câu 7 (1,0 đi m). Trong m t ph ng v i h t a đ
n i ti p và ngo i ti p c a tam giác l n l
O xy
, cho tam giác
t là I 2 ; 2 và
5
K ;3
2
ABC
có đ nh
A 1; 5
. Tìm t a đ các đ nh
. Tâm đ
ng tròn
và
c a tam
B
C
giác.
Câu 8 (1,0 đi m). Gi i h ph
ng trình
Câu 9 (1,0 đi m). Cho các s th c
y 2 xy 3 y 2 x 1
2
1
2
y 4 xy 3 y 3x 2 x
2
x,y,z
th a mãn
0 x,y,z 1
x,y R
.
. Ch ng minh
x x y y z z x yz y zx z xy .
2
2
2
..................H T..................
H
Câu 1.a.
- T p xác đinh:
D R
NG D N GI I
.
Megabook Chuyên Gia Sách Luy n Thi
Trang 1
ThuVienDeThi.com
S bi n thiên:
-
+ Chi u bi n thiên:
3
y ' 2x 6x
;
x 0
y' 0
x
.
3
3 ; 0 3 ; , suy ra hàm s
y ' 0 , x ; 3 0 ; 3 , suy ra hàm s
đ ng bi n trên các kho ng
+ C c tr : àm s đ t c c đ i t i
5
y ' 0,x
+ Gi i h n:
lim y ; lim y
x
x
3 ; 0 và 3 ; .
ng ; 3 và 0 ; 3 .
ngh ch bi n trên các kho
x 0 , yCD
2
. àm s đ t c c ti u t i
x
3 , yCT 2
.
.
+ B ng bi n thiên
x
y'
0
3
0
0
y
3
0
5
2
2
-
th :
+
th hàm s c t tr c
Ox
t i đi m
+
th hàm s c t tr c
Oy
t i đi m
5
0;
2
+
th hàm s nh n tr c
+
th hàm s đi qua đi m
Câu 1.b. Vì
M C
Ti p tuy n t i
Ti p tuy n
là ph
5 ; 0 , 1; 0 , 1; 0 ,
5;0
.
làm tr c đ i x ng.
Oy
3
3
2; , 2;
2
2
.
V đ th :
-
bi t
2
x
M
2
2
5
2
ng trình
a4
5
2
M a;
3a
2
2
có h s góc
c a C t i
d
4
3x
nên
3
M
2a 6a
y'
3
2a 6a
a
. Ti p tuy n t i
M
c t C t i 2 đi m phân bi t khác
x a
a
4
2
2
' a2 3a2 6 0
a 3
2
g a 6a 6 0
a 1
2
3a
g x x 2 ax 3 a 6 0
2
.
5
2
x a x
2
2
có d ng
M
3
y 2a 6a
khi ph
2 ax 3 a 6 0
có 2 nghi m phân bi t khác
a
a
4
2
2
3a
5
có 3 nghi m phân bi t, t c
.
.
Megabook Chuyên Gia Sách Luy n Thi
Trang 2
ThuVienDeThi.com
.
2
ng trình sau có 3 nghi m phân
2
x a
K t lu n:
a 3
a 1
.
Nh n xét:
tìm đi m M C đ ti p tuy n t i M c t C t i hai đi m phân bi t khác n a ta l p ph
trình ti p tuy n , cho giao v i hàm s bi n lu n nghi m.
Nh c l i ki n th c và ph ng pháp:
- Ph ng trình ti p tuy n c a hàm s y f x t i đi m A x A ; y A y là y f ' x A x x A y A .
- Ch n tham s
4
a
5
2
M a;
3a
C
2
2
. Suy ra ti p tuy n t i
M
ng
.
- L p ph ng trình hồnh đ giao đi m c a ti p tuy n v i đ th hàm s .
- Do M C nên ph ng trình hồnh đ giao đi m s có ch c ch n x a .
ti p tuy n c t hàm s t i 2 đi m phân bi t khác n a
bi t
'a 0
x a
g a 0
y
2
Câu 2. i u ki n
Ph
x
3
3
M 1 x1 ; y1 , M 2 x 2 ; y 2
x 3y 1 0
m 1 x
th a
. áp s :
2
3m 2 x
x 1 .x 2 0
Ph
2
6 0
có hai nghi m th c phân
5
. Tìm
3
s in x s in 2 x c o s x c o s 2 x
ng v i ph
x
hàm s
có hai đi m phân bi t
1
ng th ng
.
.
2 s in x
1
ng trình
s in x
c o s x s in 2 x
2 s in x c o s x
cos 2 x
c o s x s in x
s in 2 x
s in x
2 s in x s in 2 x
cos x
3
x
k2 l
2
4
cos x
3
2
x
k2
4
ng trình có nghi m:
đ
3
ng đ
c o s x s in 2 x
m
và ti p tuy n t i m i đi m đó vng góc đ
m 3; 1 m
s in x c o s x 0
cot x 1
ng trình đã cho t
V i
2 ax 3 a
ng trình ti p c a hàm s bi t ti p tuy n ti p xúc v i hàm s t i
cos x
2
.
Bài toán k t thúc.
Bài t p t ng t :
a. Cho hàm s y x 4 2 x 2 1 . Vi t ph
2 đi m phân bi t. áp s : y 2 .
b. Cho hàm s
x
3
s in x 0 l
2 s in x 0
2
cos x
2
.
.
k2; k Z
.
4
Nh n xét: Gi i ph ng trình l ng giác b ng cách thay các công th c t ng c a m t cosin , cơng th c góc
nhân đơi. L u ý ki m tra đi u ki n đ lo i nghi m (n u c n).
Nh c l i ki n th c và ph ng pháp:
-Vi t l i
ta n x c o t 2 x
cos x
-Áp d ng công th c
-Gi i ph
s in x
cos 2 x
; cot x 1
s in 2 x
c o s x s in x
.
s in x
c o s a . c o s b sin a . sin b c o s a b , sin 2 x 2 sin x c o s x
ng trình d ng : s in x
.
x k2
s in
k Z ; cos x cos x k 2
x k2
Megabook Chuyên Gia Sách Luy n Thi
.
Trang 3
ThuVienDeThi.com
- Ki m tra đi u ki n ta đ
Bài toán k t thúc.
Bài t p t ng t :
c nghi m c a ph
ng trình.
a. Gi i ph
ng trinh
s in 3 x c o s 3 x
s in x c o s 2 x 3
5
1 2 s in 2 x
b. Gi i ph
ng trình
c o s 2 x 3 c o t 2 x s in 4 x
Câu 3.
2
0
4
s in
2
c o s x s in x
2
x c o s x 2 s in x c o s x
s in x c o s x
d s in x c o s x
4
x
x
2
2
dx
2
2
0
0
-Xét bi u th c d
Bài t p t
u sin x c o s x u ' c o s x sin x
k; x
12
a. Tính tích phân
e
I
b. Tính tích phân I
Khi đó
z i
z 1
3 e
e
x
1 2i
1
dx
x . ln
4
x
có d ng
z
y
x
x
x 2
2x 2y 3 0
1
1 2 y 0
y
2
z 2
1
2
i z 4 2i
2
Do đó
w
dx
. áp s :
. áp s :
2z z
2
4
ng giác c b n v i phép đ i bi n
c o s 2 x c o s x s in x c o s x s in x
2
1 s in 2 x s in x c o s x
c o s x 1 c o s x s in x
4
2
nên I có d ng
u 'du
u
2
1
C
.
.
u
I 1 ln 1 6
.
I
3
7
.
24
z x yi x , y R .
1 i
1 yi
1 2i
1 2 y 2 x 2 y 3 i 0
.
1
4
3
.
x
x y 1 i x 1 2 x 1 i yi 2 y
V y
k
12
2
e
Câu 4.a. G i s ph c
x
ln 2
e
7
dx
ng t :
ln 5
.
0
i d u tích phân, s d ng các cơng th c
-S d ng đ i bi n s
k2
4
2
3
2 1.
s in x c o s x
s in x c o s x
s in x c o s x
Nh n xét: Bài tốn tính tích phân l ng giác v n d ng các công th c l
s .
Nh c l i ki n th c và ph ng pháp:
. áp s :
s in x c o s x c o s x s in x
4
I
cot 2 x cos 2 x
2
. áp s :
15
2i
.
6
4 i 4 2i
4
1
1 i
.
4
Nh n xét: Tìm s ph c w thông qua s ph c z th a mãn đi u ki n cho tr c ta tìm z r i suy ra
Nh c l i k n th c và ph ng pháp:
-Hai s ph c b ng nhau khi và ch khi ph n th c và ph n o c a chúng t ng ng b ng nhau:
a c
a bi c di
b d
w
.
.
Megabook Chuyên Gia Sách Luy n Thi
Trang 4
ThuVienDeThi.com
. Thay vào đ ng th c
z x yi x , y R
-
t
-T
w
3
2z z
2
thay
z w
z i
z 1
1 2i
. Tìm đ
c s ph c z .
.
4
Bài tốn k t thúc.
Bài t p t ng t :
a. Tìm s ph c z th a mãn z 2
áp s : z 0 , z 2 , z 1
b. Tìm ph n o c a s ph c
2z 0
3i
.
bi t
z
.
z
1
2
2 i
2i
(
thi tuy n sinh đ i h c kh i A-2010).
áp s : z 5 2 i .
Câu 4.b. G i s t nhiên có 5 ch s khác nhau là a b c d e .
Ch n a có 6 cách.
Ch n 4 s cịn l i có A cách, suy ra có 6 . A s .
Trong các s trên, s chia h t cho 5 là:
Tr ng h p 1: e 0 : ch n 4 s cịn l i có A cách.
4
4
6
6
4
6
Tr
ng h p 2:
e 5
: ch n
4
V y xác su t c n tìm
P
có 5 cách ch n 3 s cịn l i có
a
3
A5
cách, suy ra có
4
3
A 6 5 .A 5
.
3
A 6 5 .A 5
4
0 ,306
.
6A6
Nh n xét: Bài tốn tính xác su t v i s chia h t cho 5. Ta chú ý d u hi u s chia h t cho 5 và áp d ng cơng
th c tính xác su t.
Nh c l i ki n th c và ph ng pháp:
- G i s t nhiên có 5 ch s là a b c d e . S chia h t cho 5 khi và ch khi t n c ng c a nó là 0 ho c 5.
- Xét ch s cu i c ng e 0 .
- Xét ch s cu i c ng e 5 .
-Áp d ng cơng th c tính xác su t ta có
PA
A
v i
A là
s tr
ng h p thu n l i cho bi n c
A
,
là t t c các tr ng h p x y ra.
Bài t p t ng t :
a. Cho các s 0,1,2,3,4,5,6. Có bao nhiêu s t nhiên có 5 ch s khác nhau sao cho s đó chia h t cho
15. áp s : 222 s .
b. Cho các s 0,1,2,3,4,5,6. G i A là t p h p các s g m 2 ch s khác nhau l p đ c t các s đó. L y
ng u nhiên đ ng th i hai ph n t c a A , tính xác su t đ hai s l y đ c đ u là s ch n.
áp s :
1
.
3
Câu 5. Gi s m t ph ng P có d ng:
Ax By Cz D 0
Suy ra m t ph ng P có m t vecto pháp tuy n là
Trên đ
ng th ng
Do P qua
d1
l y 2 đi m
Nên P : A x B y 2 A
Theo gi thi t, ta có
2 3A 2B
1
Bz A B 0
s in 3 0
0
B
2
C
2
0
.
A ; B;C .
.
.
1 . A 1 .B 1 . 2 A B
2
4AB 2B
2
.
1 1 1 .
2
M 1; 0 ; 1 , N 1; 1; 0
2
3 5A
P
A C D 0
C 2 A B
A B D 0
D A B
nên
M ,N
n
A
2
2
21A
2
2
A
2
B 2A B
2
36 A B 10 B
2
0
Megabook Chuyên Gia Sách Luy n Thi
2
.
Trang 5
ThuVienDeThi.com
Ch n
B 1,
suy ra
18
A
114
18
V y có 2 m t ph ng th a mãn:
Nh n xét:
vi t đ
.
21
114
x y
15
21
114
z
3
21
0
.
21
ng trình m t ph ng ch a đ
c ph
114
ng th ng d 1 và t o d 2 m t góc
, ta tìm
m t vector pháp tuy n c a thông qua tham s hóa k t h p cơng th c tính góc đ ng th ng , m t ph ng.
Nh c l i ki n th c và ph ng pháp:
-M t m t ph ng có vơ s vector pháp tuy n.
-M t ph ng b t kì có d ng t ng qt: A x B y C z D 0 v i A 2 B 2 C 2 0 .
-Cơng th c tính góc gi a đ
ng th ng d và m t ph ng P :
s in
u d .n P
v i
ud . nP
c a d , n P là vector pháp tuy n c a P .
Áp d ng cho bài toán:
- Gi s m t ph ng P c n tìm có ph ng trình : A x
pháp tuy n c a P . Thay t a đ
- Do đ
M ,N
vào ph
By Cz D 0
. Suy ra
ng trình m t ph ng tìm đ
ng th ng d 2 , P h p v i nhau m t góc b ng
30
0
s in 3 0
0
là vector ch ph
ud
nP A ; B; C
là m t vector
c m i quan h gi a
u d .n P
2
ng
A , B ,C
.
.
ud . nP
2
- Ch n B A , C ta vi t đ c hai m t ph ng c n tìm.
Bài tốn k t thúc.
Bài t p t ng t :
a. Trong h tr c t a đ O x y z , cho hai m t ph ng P : 2 x z 3 0 ; Q : x 2 y 3 z 4
0
. Vi t ph
ng
trình m t ph ng R vng góc v i hai m t ph ng P , Q và h p v i các m t ph ng t a đ m t t
di n có di n tích b ng
4
.
15
áp s : R : 2 x 5 y 4 z 4 0 .
b. Trong h tr c t a đ
song song v i đ
O xyz
, vi t ph
ng th ng
x 1
ng trình m t ph ng P đi qua hai đi m
y
2
z 3
2
áp s : P : 1 0 x 4 y z 1 9 0 .
Câu 6. G i M là trung đi m c a c nh B C . Ta có
BC AM
BC SM
Ta có
Và
do
SA B SA C SBC cân
SA B SA C SA
SA
SA B A BC
SAC ABC
SBC A BC BC
BC AM ABC
BC SM SBC
Ta có
S A A M . ta n 6 0
0
A 2 ; 1; 3 ; B 1; 2 ; 1
và
.
ABC
vuông cân t i
.
A
nên
S
ABC .
A
S B C , A B C S M A
BC
60
0
.
B
. ta n 6 0
0
2
2
a
2
. 3
6
a
2
M
C
.
Megabook Chuyên Gia Sách Luy n Thi
Trang 6
ThuVienDeThi.com
Và
1
S ABC
M t khác
2
1 BC
.
2
2
. A M .B C
2
V S . A B C V A .S B C
1
3
a
2
1
V S.ABC
2
.S S B C . d A ; S B C
3
2
.S A B C .S A
3
1 a 6 a
6
a
.
.
3
2
2
12
3 V S.ABC
d A ; SB C
(đvtt).
.
S SBC
2
Mà
1
S SBC
1
.S M . B C
2
SA
2
1
2
A M .B C
2
SA
BC
2
.B C a d A ; S B C
2
2
2
6
a
.
4
Nh n xét:
tính kho ng cách t m t đi m t i m t m t ph ng ta tìm hình chi u đi m đó trên m t ph ng.
Tuy nhiên trong bài tốn hình khơng gian t ng h p ta có th tính kho ng cách thơng qua th tích.
Nh c l i ki n th c và ph ng pháp:
- Do hai m t ph ng S A C , S B C c ng vng góc v i A B C S A C S A B S A A B C .
-D ng góc: G i M là trung đi m
- Tính kho ng cách:
Th tích
V S.ABC
1
3
.S A .S A B C
Bài toán k t thúc.
Bài t p t ng t :
a. Cho hình chóp
bên
SA a
SAB
b. Cho hình chóp
ABCD
1
3
.S S B C . d A ; S B C
là hình thang
ng trình đ
G
SA a
2
.G i
0
và m t ph ng S A D b ng
SC
có tâm
ABC
.
SSBC
A BC BA D 90 , BA BC a , A D 2a
30
0
.G i
0
a
trên
A
SB
5
K ;3
2
, bán kính
G
. C nh
là tr ng
.
2
A BC BA D 90 , A B BC a , A D 2a
là hình chi u c a
H
3 V S.ABC
. C nh bên
. Ch ng minh r ng tam giác
t i m t ph ng S C D . áp s : d H , S C D
H
ng tròn ngo i ti p
d A ;SBC
đ n m t ph ng S C D . áp s : d G , S C D
có đáy là hình thang ,
S.A B C D
vng và tính kho ng cách t
SCD
Câu 7. Ph
có đáy
. Tính kho ng cách t
vng góc v i đáy,
SA
V S . A B C V A .S B C
và vng góc v i đáy. Góc t o b i
2
tâm tam giác
, l i có
S.A B C D
SBC , A BC SM A .
BC
R AK
5
2
a
.
3
là:
2
2
5
25
x y 3
2
4
Phân giác
có ph
AI
G it ađ c a
Gi i ra ta đ
L i có
D
ng trình
2 1
c hai nghi m
x 1
y 5
C
2
5
x
2
5
x
2
2
A
y 5
2 5
3x y 8 0
.
3x y 8 0
2
2
5
25
x y 3
2
4
là nghi m c a h
IC D IC B B C D
nghi m c a h
x 1
(tr ng đi m
A
) và
.
.
5
x
5 1
2
D ;
2 2
y 1
2
cân t i
IC A IA C C ID IC D
2
.
D DC DI
mà
D C D B B ,C
2
1
5
2
y DI
2
2
2
2
25
y 3
4
x 1
y 1
x 4
.
Megabook Chuyên Gia Sách Luy n Thi
Trang 7
ThuVienDeThi.com
là
V y
có t a đ là 1; 1 , 4 ; 1 .
B ,C
Nh n xét: Ta tìm t a đ các đ nh tam giác
b ng cách vi t ph
ABC
ng trình đ
ng trịn ngo i ti p C
tam giác, l y giao c a h nh ng đ ng th ng ch a các đi m A , B , C v i C .
Nh c l i ki n th c và ph ng pháp:
-Tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác là giao c a 3 đ ng trung tr c 3 c nh, tâm đ
giao c a 3 đ ng phân giác 3 góc trong.
-Cơng th c tính đ dài hai đi m
Áp d ng cho bài toán:
- T đi m A , K ta l p ph
-Vi t ph
ng trình đ
nên
B ,C
a; b , N c; d
ng trình đ
IC D IB C B C D
AI
C
2
2
b d
ABC
2
.
là C .
. Suy ra D là nghi m c a h
A
IC A IA C C ID IC D
2
B , C C D : C D C B
B , C C
là nghi m c a h
a c
MN
ng tròn ngo i ti p tam giác
ng phân giác góc A là
-S d ng tính ch t góc
DC DB
M
ng tròn ngo i ti p là
D A I
D C
cân t i
.
D DC DI
. L i có
.
Bài tốn k t thúc.
Bài t p t ng t :
a. Trong h tr c t a đ O x y , cho tam giác A B C vuông t i A .
ng th ng B C : 3 x y 3 0 . Bi t
hai đi m A , B n m trên tr c hồnh và bán kính đ ng tròn n i ti p tam giác b ng 2. Tính t a đ các
đ nh tam giác A B C .
A 2 3 3; 0 ,C 2 3 3; 6 2 3
A 2 3 1; 0 , C 2 3 1; 6 2
áp s :
b. Trong h tr c t a đ
x 4
y 2 5
2
2
áp s :
Câu 8.
ph
O xy
,đ
A 8; 0 , A 8; 4
ng trình t
C ng v theo v c a hai ph
3
, cho tam giác đ u
ng th ng
V i
ph
x 1
y 2x
, th vào ph
, th vào ph
.
.
ng trịn n i ti p tam giác có ph
3
M ;2
2
. Tìm t a đ đi m
A
ng trình
.
.
ng đ
2
y xy 3 y 2 x 1
ng v i
2y
2
2
c
x
ng trình th nh t, ta đ
ng trình th nh t, ta đ
2
ng trình có nghi m: ( x ; y )
2
2
.
2
8 xy 6 y 6 x 4 x 1
ng trình trên h , ta đ
2
V iy
ABC
đi qua đi m
BC
y 3x 1 y 2 x 2 x 0
, B 1; 0
;2
c
c
y x 1
.
y 12 x y 0
y 2x
3 0
2x
2
(vô lý).
2 2
y 2
x
2
4x 1 0
2 2
y 2
x
2
2 2
2 ,
;2
2
2
.
2
.
Nh n xét: Ta tìm m i quan h gi a các n thay vào m t trong hai ph
m t trong hai x , y là n , s còn l i làm tham s .
Nh c l i ki n th c và ph ng pháp:
Megabook Chuyên Gia Sách Luy n Thi
2
ng trình c a h đ gi i nghi m. Coi
Trang 8
ThuVienDeThi.com
Ph
-
ng pháp phân tích đa th c tìm m i quan h gi a
đã cho đ
2
y xy 3 y 2 x 1
2
2
2 y 8 xy 6 y 6 x 4 x 1
c vi t l i
C ng hai v 2 ph
ng trình c a h coi
- L n l t thay vào m t trong hai ph
Bào toán k t thúc.
Bài t p t ng t :
a. Gi i ph
ng trình
3
x
b. Gi i h ph
ng trình
c. Gi i h ph
ng trình
Câu 9. Do các s
x,y
2
3x 2
.
.
làm n ta đ
y
c:
ng trình c a h ta gi i đ
3
x 1
3
1.
x 2
x 3 y 3 6 y 2 3 x 5 y 14
3
2
3 x y 4 x y 5
3
3
8 x y 63
2
2
y 2x 2y x 9
x , y , z 0;1
nên
2
x x 0; y y
x y 1 z 0
c nghi m.
áp s :
x
3
.
2
. áp s : x ; y 1; 3 , 2 ; 0 .
1
2
. áp s : x ; y 2 ; 1 ,
2
2
0; z z 0
Khi đó x y ra các tr ng h p:
Hai trong ba s x y z ; y zx ; z x y là s d
âm, nên b t đ ng th c luôn đúng.
M t trong ba s là s d ng, hai s
x y x yz 0
y x 1
.
y 2x
;4
.
x y z y zx z x y 0 (*).
ng, s cịn l i âm khi đó b t đ ng th c (*) mang d u
còn l i âm; gi
s
x yz 0 ; y zx 0
. Khi đó
(vơ lý).
z 1
Ba s x y z ; y zx ; z x y là s âm, khi đó b t đ ng th c (*) âm, không th a mãn nên lo i.
V y ba s x y z ; y zx ; z x y đ u là s d ng.
Ta ch ng minh
Th t v y,
T
và
xy 1 z
(1) x y 1 2 z z
ng t ta c ng có,
xz 1 y
x y z y z x (1).
2
xy x
yz 1 x
y
2
z xyz
2
x y
2
z 0
đúng, đ ng th c x y ra khi
x y
.
y z x z x y (2);
x y z z x y (3).
Nhân t ng v c a (1), (2), (3) ta đ
và ch khi
2
x y z
c x x y y z z x yz y
2
2
2
zx
z x y , đ ng th c x y ra khi
(đi u ph i ch ng minh).
Nh n xét: Bài toán ch ng minh b t đ ng th c d a trên c s xét các tr
đoán đi m r i x y ra v i các bi n đ i x ng
Nh c l i ki n th c và ph
x y z
ng h p x y ra v i các bi n s . D
.
ng pháp:
Th t th c hi n ch ng minh b t đ ng th c.
-Do các s
x , y , z 0;1 x x , y y , z z
-Ta xét các tr
2
2
ng h p nh theo các bi n:
2
0
x x y y z z 0 .
2
2
2
x y z ; y zx ; z x y
+N u v ph i có m t sơ âm thì b t đ ng th c đ
c ch ng minh.
+N u hai trong 3 s d ng z 1 ( Vơ lí).
Megabook Chun Gia Sách Luy n Thi
Trang 9
ThuVienDeThi.com
-Ch ng minh
x y z y z x b ng phép bi n đ i t
xy 1 z
v 3 b t đ ng th c
xy 1 z
x yz y zx ;
yz 1 x
y
zx
ng đ
ng.
z xy ;
oàn tồn t
x
xz
yz
ng t nhân các
z
xy
.
Bài tốn k t thúc.
Bài t p t
ng t :
a. Cho các s th c
b. Cho
ab
c c a
a,b,c
x , y , z 0 ; 1 : x y y z zx 1
. Ch ng minh r ng :
x
1 x
2
y
1 y
2
z
1 z
2
3
3
.
2
là 3 c nh c a m t tam giác. Ch ng minh r ng :
bc
aa b
ca
b b c
a
c a
b
a b
c
b c
.
Megabook Chuyên Gia Sách Luy n Thi
Trang 10
ThuVienDeThi.com
