Toán rời rạc giảng viên cao thanh tình

CẤU TRÚC RỜI RẠC
nGiảngviên:
§ Cao ThanhTình (Email: )
§ Bộ mônToánLý–ĐHCNTT – ĐHQGTPHCM
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
CƠ SỞ LÔGIC
Ø Mệnh đề
Ø Dạng mệnh đề
Ø Qui tắc suy diễn
Ø Vị từ, lượng từ
Ø Quy nạp toán học
Chương 1. Cơ sở lôgic
2
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Mệnh đề
Địnhnghĩa: Mệnh đề làmộtkhẳng địnhcógiá
trị chânlýxác định, đúnghoặcsai.
Câu hỏi, câu cảm thán, mệnh lệnh… không là
mệnh đề.
Ví dụ:
- ĐạihọcCNTT trựcthuộc ĐHQG TP.HCM.
-1+7=8.
-Hôm nay em đẹp quá! (khônglà mệnh đề)
-Hômnay ngàythứ mấy?(khônglà mệnh đề)
Chương 1. Cơ sở lôgic
Chương1. Cơ sở lôgic
3
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Mệnh đề
n Kýhiệu: ngườitadùngcáckýhiệuP,Q,R…
để chỉ mệnh đề.

n Chântrị củamệnh đề: Mộtmệnh đề chỉ có
thểđúnghoặcsai,khôngthểđồngthờivừa
đúngvừasai.Khimệnh đề P đúngtanóiP
cóchântrịđúng,ngượclạitanóiPcóchân
trị sai.
n Chântrịđúngvàchântrị saisẽđượckýhiệu
lầnlượtlà1(hay Đ,T)và0(hayS,F)
Chương 1. Cơ sở lôgic
4
Chương1. Cơ sở lôgic
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Mệnh đề
Phânloại: gồm2loại
Ø Mệnh đề phứchợp: làmệnh đềđượcxây
dựngtừcácmệnh đề khácnhờ liênkếtbằng
cácliêntừ(và,hay,khivàchỉ khi,…)hoặc
trạngtừ“không”
Ø Mệnh đề sơ cấp(nguyênthủy): Làmệnh đề
khôngthể xâydựngtừcácmệnh đề khác
thôngqualiêntừhoặctrạngtừ“không”
Chương 1. Cơ sở lôgic
5
Chương1. Cơ sở lôgic
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Mệnh đề
Vídụ:
-2khônglàsốnguyêntố
-2làsốnguyêntố
-Nếu3>4thìtrờimưa
-An đangxemphimhayAn đanghọcbài

-Vấnđề nàycầnđượcxemxétcẩnthận
-x + 1 = 2
-x + y = z
Chương 1. Cơ sở lôgic
6
Chương1. Cơ sở lôgic
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Cácphéptoán:có5phéptoán
1. Phépphủđịnh: phủđịnhcủamệnh đề P
đượckýhiệulà ¬Phay (đọclà“không”P
hay“phủđịnhcủa”P).
Bảngchântrị :
Vídụ:
-2làsốnguyêntố.
Phủđịnh:2khônglàsốnguyêntố
-15>5 Phủđịnh:15 ≤ 5
P
0
1
1
0
Mệnh đề
Chương 1. Cơ sở lôgic
7
Chương1. Cơ sở lôgic
P
P
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
2. Phéphội(nốiliền,giao): củahaimệnh đề P,
Q đượckíhiệubởiP∧Q(đọclà“PvàQ”),là

mệnh đề xác địnhbởi:P∧Qđúngkhivàchỉ
khiPvàQđồngthời đúng.
Bảngchântrị
Vídụ:
P:“Hômnaylàchủ nhật”
Q:“Hômnaytrờimưa”
P ∧ Q:“Hômnaylàchủ nhậtvàtrờimưa”
P Q
P∧Q
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
Mệnh đề
Chương 1. Cơ sở lôgic
8
Chương1. Cơ sở lôgic
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
3. Phéptuyển(nốirời,hợp): củahaimệnh đề
P,QđượckíhiệubởiP∨Q(đọclà“PhayQ”),
làmệnh đề xác địnhbởi:P∨Qsaikhivàchỉ
khiPvàQđồngthờisai.

Bảngchântrị
Vídụ:
-e>4haye>5(S)
-2làsốnguyêntốhaylàsốlẻ(Đ)
P Q
P∨Q
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
Mệnh đề
Chương 1. Cơ sở lôgic
9
Chương1. Cơ sở lôgic
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
4. Phépkéotheo: Mệnh đề PkéotheoQcủa
haimệnh đề PvàQ,kíhiệubởiP→Q(đọclà
“PkéotheoQ”hay“NếuPthìQ”hay“Plà điều
kiện đủ củaQ”hay“Qlà điềukiệncầncủaP”)
làmệnh đề xác địnhbởi:P→Qsaikhivàchỉ
khiPđúngmàQsai.
Bảngchântrị

Vídụ
e>4kéotheo5>6
P Q
P→Q
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
Mệnh đề
Chương 1. Cơ sở lôgic
10
Chương1. Cơ sở lôgic
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
5. Phépkéotheohaichiều: Mệnh đề Pkéotheo
Qvàngượclạicủahaimệnh đề PvàQ,ký
hiệubởiP↔Q(đọclà“Pnếuvàchỉ nếuQ”
hay“Pkhivàchỉ khiQ”hay“Plà điềukiệncần
và đủ củaQ”),làmệnh đề xác địnhbởi:P↔Q
đúngkhivàchỉ khiPvàQcócùngchântrị
Bảngchântrị
Vídụ:6chiahếtcho3khi
vàchikhi6chiahếtcho2

P Q
P↔Q
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
Mệnh đề
Chương 1. Cơ sở lôgic
11
Chương1. Cơ sở lôgic
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Địnhnghĩa: làmộtbiểuthức đượccấutạotừ:
-Cácmệnh đề (cáchằngmệnh đề)
-Cácbiếnmệnh đề p,q,r,…,tứclàcácbiến
lấygiátrị làcácmệnh đề nào đó
-Cácphéptoán ¬, ∧, ∨, →, ↔ vàdấuđóng
mở ngoặc().
Vídụ:
E(p,q)=¬(¬p∨q)
F(p,q,r)=(p ∧ q) →¬(q ∨ r)
Dạngmệnh đề
Chương 1. Cơ sở lôgic

12
Chương1. Cơ sở lôgic
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Độưutiêncủacáctoántửlogic:
- Ưutiênmức1: ()
- Ưutiênmức2: ¬
- Ưutiênmức3: ∧, ∨
- Ưutiênmức4: →, ↔
Bảngchântrị củadạngmệnh đề E(p,q,r): làbảng
ghitấtcảcáctrườnghợpchântrị cóthể xảyra đối
vớidạngmệnh đề Etheochântrị củacácbiến
mệnh đề p,q,r.Nếucónbiến,bảngnàysẽcó
dòng,chưakểdòngtiêu đề.
Dạngmệnh đề
Chương 1. Cơ sở lôgic
13
Chương1. Cơ sở lôgic
2
n
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Độưutiêncủacáctoántửlogic:
- Ưutiênmức1: ()
- Ưutiênmức2: ¬
- Ưutiênmức3: ∧, ∨
- Ưutiênmức4: →, ↔
Bảngchântrị củadạngmệnh đề E(p,q,r): làbảng
ghitấtcảcáctrườnghợpchântrị cóthể xảyra đối
vớidạngmệnh đề Etheochântrị củacácbiến
mệnh đề p,q,r.Nếucónbiến,bảngnàysẽcó
dòng,chưakểdòngtiêu đề.

Dạngmệnh đề
Chương 1. Cơ sở lôgic
14
Chương1. Cơ sở lôgic
2
n
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Vídụ: E(p,q,r) =(p ∨ q) → r . Ta cóbảngchân
trị sau
Dạngmệnh đề
Chương 1. Cơ sở lôgic
15
Chương1. Cơ sở lôgic
p q r p ∨ q (p ∨ q) → r
0 0 0 0 1
0 0 1 0 1
0 1 0 1 0
0 1 1 1 1
1 0 0 1 0
1 0 1 1 1
1 1 0 1 0
1 1 1 1 1
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Tương đươnglogic: Haidạngmệnh đề EvàF
đượcgọilàtương đươnglogicnếuchúngcó
cùngbảngchântrị.
Ký hiệu E ⇔ F.
Ví dụ: ¬(p ∨ q) ⇔¬p ∧¬q
Dạngmệnh đềđượcgọilà hằng đúng nếunó
luônlấygiátrị 1

Dạng mệnh đề gọi là hằng sai (hay mâuthuẩn)
nếu nó luôn lấygiá trị 0.
Dạngmệnh đề
Chương 1. Cơ sở lôgic
16
Chương1. Cơ sở lôgic
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Địnhlý: Haidạngmệnh đề EvàFtương đương
vớinhaukhivàchỉ khiE↔Flàhằng đúng.
Hệ quả logic: F đượcgọilàhệquả logiccủaE
nếuE→Flàhằng đúng.
KýhiệuE⇒F
Vídụ:¬(p ∨ q) ⇒¬p
Dạngmệnh đề
Chương 1. Cơ sở lôgic
17
Chương1. Cơ sở lôgic
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Cácluậtlôgic:
1. Phủđịnhcủaphủđịnh: ¬¬p ⇔ p
2. QuitắcDeMorgan: ¬ (p ∨ q) ⇔¬p∧¬q
¬(p ∧ q) ⇔¬p∨¬q
3. Luậtgiaohoán: p ∨ q ⇔ q ∨ p
p ∧ q ⇔ q ∧ p
4. Luậtkếthợp: (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)
(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)
Dạngmệnh đề
Chương 1. Cơ sở lôgic
18
Chương1. Cơ sở lôgic

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Cácluậtlôgic:
5. Luậtphânphối: p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
6. Luậtlũyđẳng: p ∧ p ⇔ p
p ∨ p ⇔ p
7. Luậttrunghòa: p ∨ 0 ⇔ p
p ∧ 1 ⇔ p
8. Luậtvềphầntửbù: p ∧¬p⇔0
p∨¬p⇔1
Dạngmệnh đề
Chương 1. Cơ sở lôgic
19
Chương1. Cơ sở lôgic
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
9. Luậtthốngtrị: p ∧ 0 ⇔ 0
p ∨ 1 ⇔ 1
10. Luậthấpthu: p ∨ (p ∧ q) ⇔ p
p ∧ (p ∨ q) ⇔ p
11. Luậtvềphépkéotheo: p → q ⇔¬p∨q
⇔¬q→¬p
Vídụ:Chop,q,rlàcácbiếnmệnh đề.Chứng
minhrằng:(¬p→r) ∧ (q → r) ⇔ (p → q) → r
Dạngmệnh đề
Chương 1. Cơ sở lôgic
20
Chương1. Cơ sở lôgic
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
1. Quitắckhẳng định(ModusPonens):
[(p → q) ∧ p] → q

[(p ∨ q) ∧¬p] → q
Vídụ:
•Họctốtthi đậu • Sơnhọctốt
SuyraSơnthi đậu
• AnhayTuấn ăncuabiển • Tuấn ănchay
SuyraAn ăncuabiển
Qui tắcsuydiễn
Chương 1. Cơ sở lôgic
21
Chương1. Cơ sở lôgic
p → q
p
∴q
p ∨ q
¬p
∴q
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
2. Quitắctam đoạnluận:
[(p → q) ∧ (p → r)] → (p → r)
Vídụ:
•Nếutrờimưathì đường ướt
•Nếuđường ướtthì đườngtrơn
Suyranếutrờimưathì đườngtrơn.
Qui tắcsuydiễn
Chương 1. Cơ sở lôgic
22
Chương1. Cơ sở lôgic
p → q
q → r
∴p → r

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
3. Quitắcphủđịnh:
[(p → q) ∧¬q]→¬p
Vídụ:
•NếuSơnđihọcđầy đủ thìSơnđậutoánrờirạc.
•Sơnkhông đậutoánrờirạc.
Suyra:Sơnkhông đihọcđầy đủ.
Qui tắcsuydiễn
Chương 1. Cơ sở lôgic
23
Chương1. Cơ sở lôgic
p → q
¬q
∴¬p
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
4. Quitắcphảnchứng:
Vídụ:
Qui tắcsuydiễn
Chương 1. Cơ sở lôgic
24
Chương1. Cơ sở lôgic
1212
[( )][( )0]
nn
pppqpppq
∧∧∧→⇔∧∧∧∧¬→
Chứngminh
p → r
¬p → q
q →s

∴¬r → s
Giải:CMbằngphảnchứng
p → r
¬p → q
q →s
¬r
¬s
∴0
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
5. Quitắcchứngminhtheotrườnghợp:
[(p → r) ∧ (q → r)] → [(p ∨ q)→r]
6. Phảnvídụ:
Để chứngminhmộtphépsuyluậnlàsaihay
khônglàmộthằng đúng.Tachỉ cầnchỉ ramột
phảnvídụ.
Qui tắcsuydiễn
Chương 1. Cơ sở lôgic
25
Chương1. Cơ sở lôgic
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com