Bài toán biên thứu hai đối với phương trình monge ampere elliptic

Bài toán biên thứu hai đối với phương trình
Monge-Ampere Elliptic

Bùi Văn Toan

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
Luận văn ThS Chuyên ngành: Toán Giải Tích; Mã số: 60 46 01
Người hướng dẫn: PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn
Năm bảo vệ: 2012


Abstract: Chương 1. Trình bày bài toán biên thứ hai đối với phương trình
det(uij): Một số kiến thức bổ trợ (nón lồi, đa diện lồi; siêu mặt lồi và hàm
lồi; nón tiệm cận; ánh xạ chuẩn tắc và độ cong R của các hàm lồi; phương
trình Monge-Ampere), bài toán biên thứ hai đối với phương trình det (các
nghiệm yếu và nghiệm suy rộng, bài toán biên thứ hai, bài toán biên thứ hai
trong lớp đa diện lồi). Chương 2. Tìm hiểu bài toán biên thứ hai đối với
phương trình tổng quát: phát biểu định lý về sự tồn tại nghiệm, xây dựng
không gian nghiệm, chứng minh định lý.

Keywords: Toán giải tích; Phương trình toán học; Bài toán biên

Content
Phương trình Monge-Ampere loại elliptic trong không gian
n
R
có dạng:

det( ) ( , , )
ij
u f x u Du

, (*)
trong đó
   
12
, , , ,
n
n
x x x x R u u x  
là ẩn hàm,
ij
ij x x
uu
và
 
,,f x u Du
là hàm số
nhận giá trị dương được cho trước.
Nghiệm cổ điển của phương trình (*) là hàm lồi u(x), thuộc lớp
2
C
. Nhưng việc
tìm lớp nghiệm cổ điển là một vấn đề khó.
Luận văn nghiên cứu lớp nghiệm suy rộng cho bài toán biên thứ hai của phương
trình (*) mà được xét trong toàn không gian
n
R
và dáng điệu của nghiệm ở vô hạn được
cho trước. Nghiệm này dựa trên ứng dụng của nguyên lý điểm bất động trong không gian
hàm không tầm thường. Luận văn chủ yếu dựa vào tài liệu Convex Analysis and
Nonlinear Geometric Elliptic Equation của tác giả Ilya J.Bakelman.

Bố cục luận văn chia làm 2 chương:
Chương 1: Bài toán biên thứ hai đối với phương trình

ij
g( x )
det(u )
R( Du)
.
Chương 2: Bài toán biên thứ hai cho phương trình tổng quát .
Chương 1. Bài toán biên thứ hai đối với phương trình
ij
g(x)
det(u )
R(Du)


1.1 . Một số kiến thức bổ trợ.
1.1.1. Nón lồi, đa diện lồi.
1.1.2. Siêu mặt lồi và hàm lồi.
Tập F được gọi là một mặt lồi n-chiều (hoặc một siêu mặt lồi) trong
n
E
nếu F là
một miền gồm biên của một thể lồi (n+1)-chiều H trong nghĩa là F là một tập con
mở, liên thông của
H
trong tô pô của cảm sinh bởi .
Với
1o
X ,X

là hai điểm bất kỳ của miền lồi G. Khi đó, với mọi
 
01t,
điểm
 
1
1
to
X t X tX G   
và cho
 
 
 
1
1
to
z t f X tf X  
. Ta thu được các kết luận
sau:
a) Nếu
 
fX
là một hàm lồi trong G, với khi đó bất đẳng thức :
 
 
 
 
 
11
11

o t t o
f t X tX f X z t f X tf X      


đúng với mọi
1o
X ,X G
.
b) Nếu là một hàm lõm trong G, với khi đó bất đẳng thức :
 
 
 
 
 
11
11
o t t o
f t X tX f X z t f X tf X      


đúng với mọi
1o
X ,X G
.
1.1.3. Nón tiệm cận
1n
E
H
1n
E

 
01t,
 
fX
 
01t,
Định lý 1.1.3.1. Nếu M là một tập lồi thì tập
 
A
KM
cũng là tập lồi. Hơn nữa, nếu
 

A
K M A
thì
 
A
KM
là một nón lồi.
Định lý 1.1.3.2. Cho M là một tập lồi đóng trong
n
E
và
,
AB
LL
là hai tia xuất phát từ hai
điểm phân biệt A, B của tập M. Nếu


A
LM
và

AB
LL
thì

B
LM
.
1.1.4. Ánh xạ chuẩn tắc và độ cong R của các hàm lồi
1.1.4.2. Ánh xạ chuẩn tắc.
1.1.4.3. Các tính chất chính của ánh xạ chuẩn tắc của một siêu mặt lồi.
1.1.4.4. Một số tính chất đối với ánh xạ chuẩn tắc của hàm lồi.
1.1.4.5. Độ cong R của các hàm lồi.
1.1.4.6. Các tính chất của hàm lồi liên quan đến độ cong R của chúng.
Định lý 1.1.4.6.1 Cho
     
12
z x z x W G

,
và
   
12
z x z x
trên
G
, trong đó G là

một tập lồi, mở, bị chặn trên
n
E
. Với mọi tập con Borel e của G, giả sử
   
12
R z e R z e  , , , ,
. Khi đó
   
12
z x z x x G  ,
.
Chứng minh Định lý này dựa vào những Bổ đề sau:
Bổ đề 1.1.4.6.2 Cho
   
z x W G


và C là hằng số bất kỳ. Khi đó, với mọi tập con
Borel e của G ta có :
   
R z C e R z e, , , ,   
.
Bổ đề 1.1.4.6.3. Cho
     
12
z x z x W G

,
và Q là một miền con của G sao cho:

i)
QG,

ii)
   
12
z x z x x Q,,  

iii)
   
12
z x z x x Q,.  

Nếu có ít nhất một điểm
o
xG
mà
   
21
z o z o
xx\   
, khi đó:
   
12
R z Q R z Q, , , ,  
.
1.1.5. Phương trình Monge-Ampere.
1.1.5.1. Các phương trình Monge-Ampere cổ điển (n=2)
1.1.5.2. Phương trình Monge-Ampere n- chiều đơn giản nhất
det( ) ( , , )

ij
u D x u gradu

1.2. Bài toán biên thứ hai đối với phương trình

ij
g(x)
det(u )
R(Du)

1.2.1. Các nghiệm yếu và nghiệm suy rộng .
1.2.2. Bài toán biên thứ hai.
1.2.2.1. Phát biểu bài toán biên thứ hai.

1.2.2.2. Điều kiện cần và đủ về tính giải được của bài toán biên thứ hai.
Định lý 1.2.4.2.1 . Giả sử K là một nón lồi không suy biến trong và giả sử
 
,
n
z k x x E
, là phương trình của K. Giả sử
()
( ) ( )


nn
k
ER
g x dx R p dp
.

Khi đó, bài toán biên thứ hai của phương trình (1.1) có một nghiệm suy rộng u(x) và
nghiệm này là duy nhất sai khác một hằng số cộng tính.
1.2.3. Bài toàn biên thứ hai trong lớp các đa diện lồi
Định lý 1.2.3.1 . Nếu các số
12
, , ,
m
  
là các số không âm và đẳng thức
()
1
()
n
k
n
i
E
i
Rp






, (1.9)
1n
E

đúng, khi đó bài toán biên thứ hai có nghiệm trong lớp các đa diện lồi

. Tuy nhiên, nếu u(x) là một trong các nghiệm thì tất cả các nghiệm
khác có thể được viết dưới dạng

( ) ( )v x u x C
,
ở đó C là một hằng số tuỳ ý.

Chương 2. Bài toán biên thứ hai đối với phương trình tổng quát
Trong chương này ta nghiên cứu tỉ mỉ về bài toán biên thứ hai cho phương trình
Monge-Ampere tổng quát :

 
 
ij
det u f x,u,Du
, (2.1)
trong lớp các nghiệm suy rộng lồi. Trươc hết, ta đưa ra một vài giả thiết dùng để phát
biểu và chứng minh định lý về sự tồn tại nghiệm.
2.1. Phát biểu định lý về sự tồn tại nghiệm.
2.1.1 Những giả thiết cơ bản.
2.1.2. Định lý về sự tồn tại nghiệm.
Định lý 2.1.2.1. Cho K là một nón lồi chấp nhận được, được nói tới trong Giả thiết
1 và cho
 
,
K
xu

,
 

,
K
xu

là các hàm số thoả mãn Giả thiết 2. Giả sử tồn tại hai số
kk
ab,
sao cho :
kk
ab    

Và :
a )
 
 
,
n
K
E
x k x q dx  


với mọi ;
b)
 
 
*
,;
n
Kk

E
x k x a dx mesK



 
12
, , , ,
m
W a a a K

 
,
kk
q a b
c)
 
 
*
*
inf , ,
n
Kk
E
K
x x b dx mesK







ở đó z = k(x) là phương trình của nón K và
 
*
12
, , ,
n
K
   

 
 
12
1
, , , , , .


  

n
n
i i n
i
x x x x x x E

Khi đó phương trình (2.1) có ít nhất một nghiệm suy rộng lồi u(x) với nón tiệm cận
K , và
 
kk

a u b


.
2.2. Xây dựng không gian nghiệm.
2.3. Chứng minh định lý.

KẾT LUẬN
Luận văn trình bày hợp lý các kết quả đã đạt được. Trong luận văn đã tìm được điều
kiện cần và đủ cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng lồi cho bài toán biên thứ hai
cho phương trình
()
det( )
()
ij
gx
u
R Du

.
Hơn nữa luận văn chủ yếu tìm được các điều kiện đủ đối với vế phải của phương
trình tổng quát
det( ) ( , , )
ij
u f x u Du
để nghiệm của bài toán biên thứ hai của nó tồn tại
và duy nhất trong toàn không gian.

References
[1] Trần Đức Vân (2008) , Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB Đại

Học Quốc Gia Hà Nội.
[2] Ilya J.Bakelman (1994), Convex Analysis and Nonlinear Geometric Elliptic
Equation, Springer-Verlag. Berlin New York
[3] Rokafeler R.T (1970), Convex Analysis, Princeton, N.J.
[4] Pogorelov A.V (1964), Monge-Ampere equations of elliptic type, Groningen,
Noordhoff, Groningen.