(SKKN CHẤT 2020) ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và tính thể tích vật thể
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (710.48 KB, 23 trang )
MỤC LỤC
Trang
1. Lời giới thiệu……………………………………………………………………
2
2.Tên sáng kiến…………………………………………………………………….
3
3.Tác giả sáng kiến………………………………………………………………...
3
4.Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến……………………………………………………...
3
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến……………………………………………………..
3
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu…………………………………………..
3
7. Mô tả bản chất của sáng kiến …………………………………………………..
3
NỘI DUNG
Phần 1. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng...…………………………..
5
5
Dạng 1....................................................................................................................................................................5
Dạng 2…………..............................................................................................
6
Phần 2. Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể...................................................................................10
Dạng 1..................................................................................................................................................................10
Dạng 2..................................................................................................................................................................11
Loại 1......................................................................................................................................................11
Loại 2......................................................................................................................................................13
Loại 3......................................................................................................................................................15
Loại 4…….............................................................................................
17
8. Những thông tin cần được bảo mật……………………………………………..
21
9. Những điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến……………………………….
21
10. Đánh giá lợi ích thu được……………………………………………………..
21
11. Danh sách những tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng thử…………………….
21
1
download by :
BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Bắt đầu từ năm học 2016 – 2017 đến nay Bộ Giáo Dục và Đào Tạo đã thực hiện đổi
mới trong thi cử, trong đó mơn Tốn cùng với các bộ mơn khác chuyển từ hình thức thi tự
luận sang hình thức thi trắc nghiệm. Trong đề thi minh họa của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo
và trong các đề thi chính thức của Bộ Giáo Dục ln có những bài tốn thực tế. Những bài
tốn thực tế đó thường gây ra cho học sinh lúng túng và nhiều khi các em học sinh thường
bỏ qua những bài toán thực tế đó. Một trong những bài tốn thực tế đó là về tính diện tích
hình phẳng hoặc thể tích của một vật thể dựa vào tích phân. Vấn đề tính diện tích của các
hình quen thuộc như tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác,… gọi chung là đa giác học sinh
đều đã biết cơng thức tính diện tích từ các lớp dưới. Cũng tương tự như vậy vấn đề thể tích
các khối như (khối hộp chữ nhật, khối lập phương, khối lăng trụ, khối chóp, ….gọi chung
là khối đa diện) học sinh đều được học cơng thức tính thể tích.
Đây là một vấn đề rất thực tế nhưng để học tốt nó vốn khơng đơn giản đối với các học sinh
có tư duy hình học yếu, đặc biệt là tư duy cụ thể hoá, trừu tượng hoá. Việc dạy và học các
vấn đề này ở chương trình tốn lớp dưới vốn đã gặp rất nhiều khó khăn bởi nhiều nguyên
nhân, trong đó yếu tố “trực quan và thực tế” trong các sách giáo khoa đang cịn thiếu. Do
đó khi học về vấn đề tính diện tích của các hình phẳng, tính thể tích của các vật thể ở
chương trình giải tích 12 học sinh gặp rất nhiều khó khăn. Đa số các em học sinh thường
có cảm giác nhìn vào bài tốn là đã khơng muốn đọc rồi bởi vì nó dài và cịn khó nữa. Có
chăng nếu em nào đó mà học khá hơn một chút thì khi học vấn đề này nhìn chung các em
thường vận dụng cơng thức một cách máy móc chưa có sự phân tích, thiếu tư duy thực tế
và trực quan nên các em hay bị nhầm lẫn, hoặc không giải được, đặc biệt là những bài tốn
cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ” diện tích mới tính được. Càng khó khăn hơn cho những
học sinh có kỹ năng tính tích phân còn yếu và kỹ năng “đọc đồ thị” còn hạn chế. Trong
sách giáo khoa bài tập về vấn đề đó cịn ít, hoặc lượng bài tập rất hạn chế còn
2
download by :
sơ sài. Trên các diễn đàn thì tài liệu nhiều vơ kể nhưng cũng gây hoang mang cho học sinh
vì không biết nên tham khảo tài liệu nào hay bỏ tài liệu nào, chưa kể các tài liệu viết rất lan
man, nhiều bài tốn thậm chí cịn đánh đố học sinh. Nhận thức được vấn đề đó nên tơi viết
đề tài “ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ
TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ ” nhằm giúp cho các em học sinh lớp 12 có một tài liệu
tham khảo cơ đọng nhất, lượng bài tập từ dễ đến khó và đầy đủ các dạng. Từ đó giúp học
sinh phát huy tốt kiến thức, kỹ năng tính diện tích, thể tích. Học sinh thấy được những ứng
dụng của tích phân trong thực tiễn, khi đó học sinh sẽ cảm thấy hứng thú, thiết thực và học
tốt vấn đề ứng dụng của tích phân, gặp bài tốn thực tế các em sẽ khơng cịn cảm giác
khơng làm được nữa, mà sẽ giải quyết được bài tốn đó rất nhanh gọn.
2. Tên sáng kiến
“Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và tính thể tích vật thể”
3. Tác giả sáng kiến
- Họ và tên: Tô Ngọc Dũng
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Viết Xuân – Huyện Vĩnh Tường –
Tỉnh Vĩnh Phúc.
- Số điện thoại: 0976378504
- Email:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến
- Họ và tên: Tô Ngọc Dũng
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến
- Nghiên cứu giảng dạy mơn Tốn lớp 12 trong trường THPT.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử
Từ tháng 09 năm 2018 đến tháng 02 năm 2019
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
- Để giúp các em học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học của tích phân. Ứng dụng tích phân
trong các bài tốn thực tế về diện tích hình phẳng và thể tích vật thể.
3
download by :
- Nêu các dạng toán, các phương pháp giải cho từng dạng toán, hướng dẫn cho học sinh
luyện tập rèn luyện kỹ năng, say mê hứng thú với môn học.
- Giúp học sinh hiểu rõ bản chất của vấn đề, khơng nhớ cơng thức một cách máy móc,
khơng cịn cảm giác run sợ trước những bài toán thực tế này.
4
download by :
NỘI DUNG
Phần 1. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Dạng 1. Nếu hàm số y f ( x ) liên tục trên đoạn a;b
thì diện tích S của hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f ( x ), trục hoành và hai đường thẳng x a,x b là:
b
f x dx .
S
a
Bài 1: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
y x3 1 , trục hoành Ox, trục tung và đường thẳng x 2 .
Giải:
Diện tích S của hình phẳng cần tìm là
2
1
2
11 7
3
3
3
3
Sx
1 dxx
1 dxx 1 dx
0
0
1
4
4 2
Chú ý: Nếu phương trình f(x) = 0 có k nghiệm phân biệt x1 , x2 , …, xk thuộc
(a ; b) thì trên mỗi khoảng (a ; x1 ), (x1 ; x2), …, (xk ; b) biểu thức f(x) có dấu khơng đổi.
b
Khi đó để tính tích phân S f (x) dx ta có thể tính như sau:
a
b
x1
S
f (x) dxf (x)dxf (x)dx ...f (x)dx .
a
3
Bài 2. Cho hàm số y x
b
x2
a
2
3x
x1
xk
2 có đồ thị (C ). Tính diện tích của hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị (C ), trục hoành, trục tung và đường thẳng x 2 .
y
4
3
f x = x -3 x
A
-2
-1
2
+2
2
O
1
B
x
3
(C)
Hình 3
5
download by :
Giải: Từ đồ thị ta thấy: x 3 3x 2 2 0, x 0;1
và x 3
3x 2
2 0, x 1;2 .
Do đó diện tích hình phẳng cần tìm là:
2
S
x
3
3x
2
2 dxx
3
1
3x
2
2
3
2 dxx
3x 2
5
2 dx
2
Bài 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
0
0
y x3 x2
Giải:
1
2 , trục hoành Ox và các đường thẳng x 1,x 2 .
2
2
x 3 x 2 2 dxx 3
Diện tích S của hình phẳng: S
1
85
12
x 2 2 dx
1
Dạng 2. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y f ( x ),y g( x ) liên tục trên
đoạn a;b và hai đường thẳng x a,x b có diện tích S được tính theo cơng thức:
b
S f (x) g(x)dx .
a
Bài 4. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y
x 3 2x và
y 3x 2
Giải
Xét phương trình hồnh độ giao điểm
x3 2x
3x2
Diện tích hình phẳng cần tính là
2
S
x
3
x
2 x 3x
dxx 3 3 x 2
2
2 x dxx
3
0
2
0
1.
2
x 3 2 x 3x 2 dx
2 x dx
0
2
3x
0
3x 2
1
2
0
1
3
xx2
x
x
x
1
3x
2
1
2x dx
1
2
.
Bài 5. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hàm số y x 3 x và đồ thị hàm số y x x 2. Giải:
6
download by :
x 0
Phương trình hồnh độ giao điểm: x
3
x x x
2
x
3
x2 2x 0 x 1
x2
Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là
1
S
0
x
3
x
2
2x
2
0
dx x
1
3
x
2
dx x 3
2x
2
1
x3
2
x 2 2x dx
0
x 2 2 x dxx 3
x 2 2x dx
0
8
5
37
3
12
12 .
Bài 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 1 x 2 , đường thẳng y
0 và đường thẳng x 1 .
Giải:
x 0
Phương trình hồnh độ giao điểm: x 1 x 2
0
x 0.
2
1 x 0
1
1
x 1 x
Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm: S
2
22 1
.
3
2
dxx 1 x dx
0
0
Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ): y
x
4 và đường thẳng
3x2
4
y = x (đồ thị như hình vẽ).
y
4
3
2
1
O
-3
-2
-1
x
1
2
3
-1
d
-2
(C)
-3
Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là :
x
1
x 0
x 0
x 0
2
2
4 1) 4
4 x 2
4 3x 4 x x(
4 3x
3x2 4 16
x2
7
download by :
4
Diện tích của hình phẳng cần tính:
0
S
x
2
3x
4
1 56
4
2
4
dx
9
3x
2
4 dx
1 56
4
56 56
112
28
4 9
9.4
9.4
9
2
S
x
0
1
.
4
0
x
2
3x
2
4 dx
1
4
2
x
3x2 4 dx
0
Bài 8. (Đề thi thử nghiệm – Bộ GD & ĐT năm 2016 – 2017) Ông An có một mảnh
vườn hình Elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m. Ông muốn
trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình
vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/1m2. Hỏi
8m
ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó ?
(Số tiền được làm trịn đến hàng nghìn).
A. 7.862.000 đồng.
B. 7.653.000 đồng.
C. 7.128.000 đồng.
D. 7.826.000 đồng.
Giải:
Phương trình đường elip là x 2
64
y2 1.
25
4
Diện tích hình phẳng cần tìm là S 2
25x2 dx 2.38, 2644591 (đổi biến số
64
25
4
hoặc bấm máy tính casio).
Vậy số tiền ơng An cần là: 2.38, 2644591.100000 7652891 7653000 .
Chọn đáp án B.
Bài 9. Ông Hùng muốn làm một cổng đồng có hình dạng
và kích thước giống như hình vẽ kế bên, biết đường cong
phía trên là một parabol. Giá 1m2 cổng đồng có giá là
7.000.000 đồng. Vậy ông Hùng phải trả bao nhiêu tiền để
làm cổng đồng như vậy. (làm trịn đến hàng nghìn)
.
Giải:
8
download by :
Hình 7
Ta có mơ hình cổng đồng trong mặt phẳng tọa độ như hình vẽ trên. Diện tích cổng đồng
gồm diện tích hình chữ nhật và diện tích phần giới hạn bởi parabol P và trục hoành.
Từ tọa độ 3 điểm thuộc parabol P ta tìm được phương trình của parabol P là:
2
2
P:y
x
25
2,5
1
2
S
2,5
2
2
25
x
1
2
5 15
dx 5.1,5
Vậy số tiền ông Hùng cần trả để làm cổng đồng là:
3
55
2
55 m
2
6
64170000 (đồng)
.7000000
6
Bài 10. Người ta trồng hoa vào phần đất được gạch sọc được giới hạn bởi cạnh AB, CD,
đường trung bình MN của mảnh đất hình chữ nhật ABCD và một đường cong hình sin
(như hình vẽ). Biết AB 2 (m) và AD 2(m). Tính diện tích phần cịn lại.
A.41.
C.
42
2
B. 4(1).
D. 43
2
Bài 11. (THPT Chun Đại học Vinh) Trong Cơng viên Tốn học có những mảnh đất
mang hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một lồi hoa và nó được tạo thành bởi
y
một trong những đường cong đẹp trong toán học. Ở đó
có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành
từ đường Lemmiscate có phương trình trong hệ tọa độ
Oxy là 16y 2 x 2 (25 x2 ) như hình vẽ bên. Tính diện
tích S của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị
trong hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài 1 mét.
125 (m2 ).
125 (m2 ). C. S
250 (m2 ). D. S
A. S
B. S
6
3
4
x
125 (m2 ).
3
Giải:
Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là x
5, x 0, x 5 .
Diện tích của mảnh đất Bernoulli bằng 4 lần diện tích của mảnh đất nhỏ trong góc phần
tư thứ nhất.
9
download by :
5
1
Ta có: S 4 x 25 x 2 dx
4
0
125
3
. Chọn đáp án D.
Bài 12. Một khn viên dạng nửa hình trịn có đường kính bằng 4 5 (m). Trên đó người
thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với
tâm nửa hình trịn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường trịn (phần tơ màu),
cách nhau một khoảng bằng 4 (m), phần cịn lại của khn viên (phần không tô màu)
dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ
Nhật Bản là 100.000 đồng/m2. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất
đó? (Số tiền được làm trịn đến hàng nghìn)
4m
4m
4m
Giải:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó phương
trình nửa đường trịn là:
y R 2 x2 2 5 2 x 2 20 x2 .
Phương trình parabol P có đỉnh là gốc O sẽ có dạng y
ax2 . Mặt khác P qua điểm M 2;4
do đó: 4 a 2
2
Hình 8
a 1. Phần diện tích của hình phẳng giới hạn bởi P và nửa đường
2
trịn. (phần tơ màu) Ta có: S1
20
x 2 x 2 dx 11,94m2 .
2
1
Vậy phần diện tích trồng cỏ là Strongco 2 Shinhtron S1 19, 47592654
Vậy số tiền cần có là Strongxo 100000 1.948.000 (đồng)
Phần 2. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ
Dạng 1: Tính thể tích của vật thể
Cắt một vật thể C bởi hai mặt phẳng P và Q vng góc với trục Ox lần lượt tại x a , x
b a b . Một mặt phẳng bất kì vng góc với Ox tại điểm x a x b cắt C theo một thiết diện
có diện tích S x . Giả sử S x là hàm liên tục trên đoạn a ; b
10
download by :
. Khi đó thể tích của vật thể C giới hạn bởi hai mặt phẳng
P và Q
được tính theo
b
S x dx .
cơng thức V
a
Bài 13. Thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x 0 và x 3 , có thiết diện bị
cắt bởi mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x 0 x 3 là
một hình chữ nhật có hai kích thước bằng x và 2 9
x 2 , bằng:
A.V 3.
B.V 18.
C.V
20.
D.V 22.
Giải:
Diện tích của hình chữ nhật có hai kích thước x và 2 9
x 2 bằng: 2 x 9
x2
3
2 x 9 x 2 dx
Do vậy thể tích của vật thể đã cho bằng V
0
Đặt
9
x2
x2
t
0
Suy ra V2
t2
9
2
2
t dt
3
3
xdx
tdt . Đổi cận
x
0
t
3
x
3
t
0
0
18 . Chọn B.
3
t
3
Bài 14. Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng có phương trình x 0 và x 2 , biết rằng
thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ
x 0;2 là một phần tư đường trịn bán kính 2x 2 , ta được kết quả nào sau đây?
16
A.V
32.
B.V
64.
.
C.V
D.V
8.
Giải:
1
Ta có diện tích thiết diện là S x
2
Thể tích cần tìm là V
1
0 2
4
x dx
2x 2
4
5 2
1
2
2
x
5
.
0
1
2 x
16
5
4
.
. Chọn C.
Dạng 2: Tính thể tích của khối trịn xoay
Loại 1.
Tính thể tích vật thể trịn xoay khi
quay miền D được giới hạn bởi các
đường y f x ; y 0 ; x a;
x b quanh trục Ox
được tính
11
download by :
theo cơng thức
b
f 2 x dx .
V
a
Bài 15. Tính thể tích V của vật thể trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
y x , y 0, x 1, x 4 quanh trục Ox.
Giải:
4
Thể tích cần tìm V
4
2
2
dx 4
1
1
1x
x
2
dx 3 .
Bài 16. Tính thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường y x 2 2x , y 0, x 0 và x 1.
Giải: Thể tích cần tìm:
1
0
2
V(x
2
1
2x)
4
dx(x
0
3
4x
2
4x
)dx (
4
x5
x
5
x3 1 8
)
3 0 15
4
.
Bài 17. Cho hình thang cong (H ) giới hạn bởi các đường y e x , y 0, x 1, x 1. Tính thể
tích V của vật thể trịn xoay sinh ra khi cho hình (H ) quay quanh trục hồnh. Giải:
1
Thể tích cần tìm Ve
1
x 2
dxe
1
e 2 e2
2x
dx
2
1
.
Bài 18. Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y sin x, trục hoành và hai đường
thẳng x 0, x . Tính thể tích V của khối trịn xoay thu được khi quay hình này quanh trục
Ox.
Giải:
sinx 2 dx
Thể tích cần tìm V
0
sin 2 xdx
2
.
0
Bài 19. Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đường cong y
tan x, trục hoành và hai
đường thẳng x 0, x 4 Tính thể tích V của khối trịn xoay thu được khi quay hình (H)
xung quanh trục Ox.
12
download by :
Giải:
4
2
Thể tích cần tìm Vtanx
4
2
dxtan
0
.
xdx 1
4
0
Bài 20. Tính thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn
đường sau quanh trục hoành Ox. y x 2 2x , y = 0, x = 0, x = 1.
1
Giải: Thể tích cần tìm
2
1
V
x
2
1
2x
dx(x
0
0
4
4x
x5
2
3
4x
)dx (
5
x3
4
x
4
3
)
38
0 15
.
Bài 21. Tính thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi
đường sau quanh trục hoành Ox. y
bốn ln x , y = 0, x = 1, x = e.
e
e
2
Giải: Thể tích cần tìm Vln x dxln
2
x dx
1
2
Đặt
1
x
u ln
dv dx
e
1
du 2 ln x.
dx
x
v x
e
e
xdx uv
vdu x ln
1
1
2
Do đó ln
1
e
Đặt
Iln xdx ,
x
u ln x
du
dv dx
1
e
e
1
1
Iln x (x ln x)
e
v x
e
e
2
1
1
x
2
dx e ln
2
e ln
e
1 2 ln xdx e 2I
1
x
dx
e
e
1
1
dx e ln e ln1 (x)
1
- x2lnx.
1
e (e 1) 1
e
Suy ra V(ln x) dxln xdx = (e – 2).
2
1
2
1
Bài 22. Tính thể tích V
của khối trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi
y sin2x cos x , y 0, (0 x) xung quanh trục hồnh Ox.
Giải:
Thể tích cần tìm Vsin 2x cosx 2 dxsin 2 2x.cos 2 xdx
0
0
Loại 2. Hình phẳng D được giới hạn bởi các đường y f x ;
13
download by :
2
.
4
y g x và hai đường
x
a;x
b (với f x .g x
0,
x
a ; b ) thì thể tích khối trịn xoay sinh bởi khi quay
b
f2 x
D quanh trục Ox được tính bởi cơng thức: V
g 2 x dx .
a
Bài 23. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y 2x x 2 và y x khi quay quanh trục
Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng bao nhiêu?
Giải:
x 0
2
Xét phương trình hồnh độ giao điểm 2 x
x
x
1
xx
0
x
1
Thể tích khối trịn xoay cần tìm là
1
V
0
2
2x x
2
1
2
x
dx
3x
2
34
4x x
0
3
dx
x
5
x
1
5
0
4
x
.
5
Bài 24. Thể tích vật thể trịn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường 4 y x 2
, y x quay quanh trục hồnh bằng bao nhiêu?
Giải:
Xét phương trình hồnh độ giao điểm
x 0
x2 x x x 4 0
4
x
4
Thể tích khối trịn xoay cần tìm là V
0
2
x2
2
dx
x
4
4
5
4
x
0 16
4
x
2
x
3 4
dx
80
x
3
0
x
thể tích của khối trịn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục hồnh.
x 0
Giải:
2
4
Thể tích khối trịn xoay cần tìm là V
15
.
, yx và x 4 . Tính
Bài 25. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y
Phương trình hồnh độ giao điểm là xx
128
x
0.
x x
x 2 x dx .
0
14
download by :
Xét phương trình: x 2
Do đó Vx
1
2
x 0 .
x 0
x dxx
2
x 1
4
1
1
0
x2
x dx
0
x
3
x
21
4
x dx x 2
x
1
3
x dx
x24
41
.
3
3
3
2 0
2 1
Bài 26. Gọi (H )là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 4 –x2 , trục hoành và đường
thẳng y = x + 2 .
Giải: Gọi V1 là thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi
bốn đường y = x + 2 , y = 0, x = -2, x = 1 quanh trục hoành Ox .
1
1
2
V1(x 2) dx
(x
2
2
4x 4)dx
(
x
3
2x
2
2
4x)
3
1
9
2
Gọi V2 là thể tích của vật thể trên trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn
đường y = 4- x2 , y = 0, x = 1 và x = 2 quanh trục hoành Ox.
2
2
2 2
2
x4 )dx
V2(4 x ) dx(16 8x
1
1
53
y
15
4
Thể tích của vật thể trịn xoay cần tính là :
V V 2 V539188
1
15
d
3
(C)
15
2
1
-3 -2
O
-1
1
2
x
3
-1
-2
Loại 3. Tính thể tích khối trịn xoay sinh ra khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các
đường x g y , trục tung và hai đường y c ,
y d quanh trục Oy được tính theo
d
cơng thức: Vg
2
y dy .
c
Bài 27. Cho hình phẳng giới hạn bởi các các đường: y ln x , trục tung, và hai đường
thẳng y = 0, y = 1 .Tính thể của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng trên quanh
trục tung .
Giải:
Ta có y ln xx ey
15
download by :
Do đó thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng tạo bởi đồ thị hàm số
x
ey , trục tung và hai đường thẳng y = 0, y = 1 là :
1
1
Ve2 y dy
e
0
2y
1
0
1
(e
2
0
e
2
2
Bài 28. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong
)
2
(e
1)
2
(C) : x2
4 y2
4 , trục tung, hai
đường thẳng x = 2 , y = 2. Tính thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình
phẳng (H) quanh trục tung.
Giải: Ta có
1 4 x2
2
(C) : x2 4 y2 4 4 y2 4 x2y
,y 0
Gọi V1 là thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi nửa
elip (E ) , trục tung và hai đường y = 0, y = 1 quanh trục tung .
2
1
1
.11
11
V1
(4 x 2 )dx
( 4 x 2 ) dx
1
43 12
40
0 2
Gọi V2 là thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường
thẳng y = 2, trục tung và hai đường y = 0, y =1 quanh trục tung.
2
2
2
V22 dx4dx 8
0
0
Thể tích của vật thể trịn xoay cần tính là : V V2 V1 8
11
85
12
12
Loại 4. Một số bài toán khác
Bài 29. Trong hệ tọa độ Oxy cho nửa đường trịn có phương trình (C): x2 y2 16. với y 0
(hình vẽ). Quay nửa hình trịn đó quanh trục hồnh ta được một mặt cầu có bán
hính bằng 4 . Tính thể tích của mặt cầu này.
y
Giải:
(P)
4
2
2
2
2
Ta có x
y 16
y 16
x
vì y 0 . Khi đó thể tích khối cầu là :
4
V
16 x
4
3
24
-2
4
2
2
dx 2 16 x
2
dx
0
43
3
256
-r
.
3
16
download by :
x
-1 O
-1
1
2
3
r
Bài 30. Một khối cầu có bán kính bằng 5 dm, người ta cắt bỏ hai đầu bằng hai mặt
phẳng vùng vng góc với một đường kính của khối cầu và cách tâm khối cầu một
khoảng bằng 4 dm để làm một chiếc lu đựng nước. Thể tích cái lu bằng
A. 500 dm3 . B. 2296 dm3 . C. 952 dm3 .
472 dm3 .
[6]
D.
3
15
Giải: Chọn D.
Hai phần cắt đi có thể tích bằng nhau,
27
3
mỗi phần là một chỏm cầu có thể tích
R
V1R
5
2
x
2
dx25 x
2
14
3
dx
d
4
Vậy thể tích của chiếc lu là :
VV2V 4 .53 2 14
472
c
1
3
3
3
Bài 31. Có một vật thể là hình trịn xoay có dạng giống
như một cái ly như hình vẽ dưới đây. Người ta đo được A
đường kính của miệng ly là 4cm và chiều cao là 6cm . Biết
rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là
một parabol. Tính thể tích V cm3 của vật thể đã cho.
A.V 12 .
B. V 12.
C. V 72 .
D. V 72 .
5
4 cm
B
O
6 cm
5
I
Giải: Chọn A.
Chọn gốc tọa độ O trùng với đỉnh I của parabol
P . Vì parabol P đi qua các điểm
A 2;6 ,B 2;6
3 x2 . Ta có
và I 0;0 nên parabol P có phương trình y
3
y
2
V
2
x
2
x
2
6
3
2
y . Khi đó thể tích của vật thể đã cho là
3
2
y dy 12 cm
0
.
3
Bài 32. Một vật thể bằng gỗ có dạng khối trụ với bán kính đáy bằng 10 cm . Cắt khối
trụ bởi một mặt phẳng có giao tuyến với đáy là một đường kính của đáy và tạo với đáy
góc 45o . Thể tích của khối gỗ bé là
A. 2000 cm3 .
B. 1000 cm3 .
3
3
17
download by :
C. 2000 cm3 .
D. 2000 cm3 [8].
7
9
Giải: Chọn A.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó khúc gỗ bé có đáy là nửa hình trịn có phương
trình: y 100 x2 , x 10,10 . Một một mặt phẳng cắt vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh
độ x , x 10,10 , cắt khúc gỗ bé theo thiết diện có diện tích là S x (xem hình).
o
2
Dễ thấy NP y và MN NP tan 45 y 100 x
10
1
Khi đó thể tích khúc gỗ bé là : VS x dx
. Suy ra S x
10
100 x 2 dx
2 10
10
1
1100 x
2 MN.PN 2
2000 3
cm .
3
2
.
Bài 33. Gọi V là thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường y x , y 0 và x 4 quanh trục Ox. Đường y
thẳng x a, (0 a 4) cắt đồ thị hàm y x tại M
(hình vẽ bên). Gọi V1 là thể tích khối trịn xoay tạo thành
khi quay tam giác OMH
quanh trục Ox Biết rằng
V
2V1. Tính a.
O
A. a
B. a
2, 5.
C. a
3.
2 2.
Giải:
4
xdx
Ta có V
8
V1
4
0
1
1
Mặt khác ta lại tính được V1 3 a a 2 3 4 a a 2 Từ đó
suy ra được a 3
Chọn đáp án B.
18
download by :
M
H
a
4
D. a 2.
x
Bài 34. Một Bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối trịn xoay được tạo thành khi
quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y x 1 (đồ thị như hình vẽ bên dưới) và trục Ox
quay quanh trục Ox. Biết đáy lọ và miệng lọ có đường kính lần lượt là 2 dm và 4 dm. Tính thể tích V
của lọ.
A. V
8 dm3 .
B. V
15
2
dm3.
C. V 7 dm3 .
D. V 17 dm3 .
Bài 35. Coi cái trống trường là vật thể giới hạn bởi một mặt cầu bán kính R 0, 5m và hai
mặt phẳng song song cách đều tâm I. Biết chiều cao của trống là h 0, 8m. Tính thể tích V
của cái trống.
472 (m3 ).
375 (m3 ).
A. V
B. V
3
59 (m3 ).
C. V
59
472 (m3 ).
D. V
375
39
Bài 36. Gọi (H ) là phần giao của hai khối 1 hình trụ có bán kính a, hai trục hình trụ
4
vng góc với nhau. Xem hình vẽ bên. Tính thể tích V của (H ).
2a3
(H)
3
3
B. V 2a .
A. V
(H)
a3
C. V
(H)
D. V
2
a .
a
3
(H)
a
Giải:
Dùng hệ trục tọa độ Oxyz, từ đó tìm ra được diện tích thiết diện S x a
a
a
2a3
Thể tích của khối (H) cần tìm là: V
2
2
Sx
dx
a x
x2 .
dx
(H)
0
2
0
3
Chọn đáp án A
Bài 37. Cho hai đường tròn (O1; 5) và (O2; 3) cắt nhau tại hai điểm A và B sao cho AB là
một đường kính của đường trịn (O2 ). Gọi (D) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai
đường trịn (ở ngồi đường trịn lớn, phần gạch chéo như hình vẽ). Quay (D) quanh trục
O1O2, ta được một khối trịn xoay. Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành ?
19
download by :
A.
V
14
3
Tính thể tích V
quay quanh trục
A. V
C. V
B. V
68
C.
D.
3
V
40
3
V 36.
1
Bài 38. Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi 4 cung trịn có bán kính R 2, đường cong
y 4 x và trục hồnh (miền tơ đậm như hình vẽ).
của khối tạo thành khi cho hình (H)
Ox.
77
67
6
B. V
53
6
66
D. V
7
6
Bài 39. Trong chương trình nơng thơn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tơng
như hình vẽ. Tính thể tích khối bê tơng để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là
y
các đường Parabol).
A. 19m3.
B. 21m3.
C. 18m3.
D. 40m3.
download by :
O
x
Giải:
Dùng hệ trục tọa độ như hình vẽ
Từ đó tìm được phương trình parabol P1 : y
8
x 2 2,
P2 : y
361
Khi đó thể tích của khối bê tơng là: V
40m3 .
20
download by :
1 x2
40
5.
2
8. Các thơng tin cần được bảo mật (nếu có): Không
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
- Với học sinh: Học sinh lớp 12 THPT Nguyễn Viết Xuân.
- Với giáo viên: Giáo viên cần nắm chắc đối tượng học sinh để có phương pháp dạy
học hữu hiệu nhất.
- Người giáo viên cần phải biết vận dụng sáng tạo các phương pháp, ln ln khơng
ngừng tìm tịi, tham khảo các tài liệu, tham khảo đồng nghiệp, xâu chuỗi chúng lại và
xây dựng thêm những bài tốn có nội dung thực tiễn phát triển năng lực thực tiễn cho
học sinh.
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến
theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng
sáng kiến lần đầu.
- Qua quá trình giảng dạy trong thời gian vừa rồi, tài liệu “Ứng dụng tích phân tính
diện tích hình phẳng và tính thể tích vật thể” đã giúp học sinh khắc phục được những
“sai lầm” và những khó khăn khi gặp bài tốn tính diện tích của hình phẳng cũng như
tính thể tích của vật thể trịn xoay ở chương trình giải tích 12.
- Sau một thời gian áp dụng đề tài này trong giảng dạy tôi thấy số lượng giỏi, khá, đã có
tăng lên mặc dù số lượng trung bình vẫn cịn. Nhưng đối với tơi, điều quan trọng hơn cả
là đã giúp các em thấy bớt khó khăn trong việc học tập bộ mơn tốn, tạo niềm vui và
hưng phấn mỗi khi bước vào tiết học.
- Bản thân giáo viên khi viết đề tài này cũng đã tự trau dồi cho mình về chun mơn và
cũng có được những kĩ năng phân tích tổng hợp tốt.
- Sáng kiến kinh nghiệm này là một tài liệu hữu ích cho học sinh học tập và cho những
giáo viên khác trau dồi thêm kinh nghiệm, làm tài liệu tham khảo.
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng
kiến lần đầu:
21
download by :
Số
TT
1
Tên tổ chức/cá
nhân
Địa chỉ
Phạm vi/Lĩnh vực
áp dụng sáng kiến
Tô Ngọc Dũng THPT Nguyễn Viết Xuân
……….,ngày…tháng…năm…
Thủ trưởng đơn vị
Chính quyền địa phương
(Ký tên, đóng dấu)
……….,ngày…tháng…năm…
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG
KIẾN CẤP CƠ SỞ
(Ký tên, đóng dấu)
Học sinh khối lớp 12.
……….,ngày…tháng…năm…
Tác giả sáng kiến
22
download by :
