Bài tập về dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân chọn lọc

CHỦ ĐỀ 3: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN
Phương pháp quy nạp toán học
A. LÝ THUYẾT
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số nguyên dương n là đúng với mọi n mà không
thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau:
- Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n 1 .
- Bước 2: Giả thiết rằng mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n k 1 (gọi là giả thiết quy
nạp). Bằng kiến thức đã biết và giả thiết quy nạp, chứng minh rằng mệnh đề đó cũng đúng với n k  1 .
B. CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH
2
2
2
Ví dụ 1. Với mối số ngun dương n , đặt S 1  2  ...  n . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
n(n  1)(n  2)
n(n  1)(2n  1)
S
S
6
3
A.
.
B.
.

S

n(n  1)(2n  1)
6
.

C.

Đáp án C.

D.

S

n(n  1)(2n  1)
2
.

Lời giải
*
Cách 1: Chúng ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học rằng mọi n   , ta có đẳng
n(n 1)(2n  1)
12  22  32  ...  n2 
.
6
thức

1(1  1)(2.1  1)
1
6
- Bước 1: Với n 1 thì vế trái bằng 1 1 , vế phải bằng
.
2

Vậy đẳng thức đúng với n 1 .
thức đúng với n k 1 , tức là chứng minh
(k  1)  (k  1)  1  2( k  1)  1 (k  1)(k  2)(2k  3)
12  22  32  ...  k 2  (k  1) 2 


.
6
6
Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với n k  1 , tức là chứng minh
(k  1)  (k  1)  1  2( k  1)  1 (k  1)(k  2)(2k  3)
12  22  32  ...  k 2  (k  1) 2 

.
6
6
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có
(k  1)(k  1)(2k  1)
12  22  32  ...  k 2  (k  1)2 
 (k  1)2 .
6
-Bước

2:

Giả

sử

đẳng

(k  1)( k  1)(2k  1)
k (k 1)(2k  1)  6( k  1) 2 ( k  1)( k  2)(2k  3)
 (k  1) 2 


.
6
6
6
Mà
(k  1)(k  2)(2k  3)
12  22  32  ...  k 2  (k  1) 2 
.
6
Suy ra

Do đó đẳng thức đúng với n k  1 . Suy ra có điều phải chứng minh.
Vậy phương án đúng là C.
Cách 2: Kiểm tra tính đúng-sai của từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thông
qua một số giá trị cụ thể của n.
2
+ Với n 1 thì S 1 1 (loại được các phương án B và D);
2
2
+ Với n 2 thì S 1  2 5 (loại được phương án A).
Vậy phương án đúng là C.
STUDY TIP


Ngồi kết quả nêu trong ví dụ 1, chúng ta có thể đề cập đến các kết quả tương tự như sau:
n(n  1)
1  2  ..  n 
.
2
1)

2)

13  23  ...  n3 

n 2 (n  1) 2
.
4

n(n  1)(2n  1)(3n 2  3n  1)
1  2  ...  n 
.
30
3)
4

4)

4

4

15  25  ...  n5 

n 2 (n  1)2 (2n 2  2n  1)
.
12

1.2.3  2.3.4  ...  n( n  1)( n  2) 

Câu 1.

5)
Nhận xét: Từ ví dụ 1 và các bài tập ở phần nhận xét, ta thấy bậc ở vế trái nhỏ hơn bậc ở vế
phải là 1 đơn vị. Lưu ý điều này có thể tính được tổng dạng luỹ thừa dựa vào phương pháp hệ
số bất định. Từ kết quả của ví dụ này, chúng ta hồn tồn có thể đề xuất các câu hỏi trắc
nghiệm sau đây:
2
2
2
Với mỗi số nguyên n, đặt S 1  2  ...  n . Mệnh đề nào dưới đây là sai?
A.

Câu 2.

S

1
2n3  3n 2  n 

6
.

Câu 4.

1
1
3
S    n 1   n  1    n3  n 
 6
6

B.
.

n  n 2  1  2n  1
1
3
S   2  n  1  3n  n  1  2  n  1 
S
.
6
6
C.
D.
.
2
2
2
3
2
Với mỗi số nguyên dương n, ta có 1  2  ...  n an  bn  cn, trong đó a, b, c là các
2
2
2
hằng số. Tính giá trị của biểu thức M ab  bc  ca .
A. M 25 .

Câu 3.

n(n 1)(n  2)(n  3)
.

4

B.

M

25
216 .

C.

M

25
6 .

2
2
2
Tìm tất cả các số nguyên dương n, để 1  2  ...  n  2017 .
A. n 18 .
B. n 20 .
C. n 17 .

D. M 23 .
D. n 19 .

2
2
2

Tính tổng S của tất cả các số nguyên dương n, thoả mãn 1  2  ...  n  2018 .
A. S 153 .
B. S 171 .
C. S 136 .
D. S 190 .

Ví dụ 2. Đặt

Tn  2  2  2  ...  2

T  3
A. n
.
Đáp án B.

(có n dấu căn). Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?


Tn 2 cos n 1
Tn cos n 1
T  5
2 .
2 .
B.
C.
D. n
.
Lời giải



2n 1 bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy:
Ta chứng minh


2 cos 11 2 cos  2
2
4
Bước 1: Với n 1 thì vế trái bằng 2 , còn vế phải bằng
.
Vậy đẳng thức đúng với n 1 .
Tn 2 cos


Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n k 1 , nghĩa là

Tk 2 cos


2k 1 .

Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với n k  1 , tức là chứng minh

Tk 1  2  Tk  2  2 cos

Tk 1  2  Tk

Thật vậy, vì

Tk 1 2 cos


2 k 2 .


2k 1 .

nên theo giả thiết quy nạp ta có

 




1  cos k 1 1  cos  2. k 2  2 cos 2 k 2
Tk 1  2.2 cos 2 k 2 2 cos k 2
2
2
2
2 .
 2 
Mặt khác,
nên
Vậy phương án đúng là B.
STUDY TIP
Ngoài cách làm như trên, ta có thể làm theo cách sau: kiểm tra tính đúng – sai của từng phương
án đến khi tìm được phương án đúng thông qua một số giá trị cụ thể của n .

Câu 1.

+ Với n 1 thì T1  2 (loại ngay được phương án A, C và D).

Nhận xét: Từ kết quả của ví dụ 2, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi dưới đây:
511
T

2sin
n
T  2  2  2  ...  2
1024 .
Đặt n
(có n dấu căn). Tìm n để
A. n 10 .

Câu 2.

Cho dãy số
u
số  n  là:

B. n 9 .

 un 

xác định bởi

u1  2

C. n 11 .
và

un 1  2  un , n  *

D. n 8 .
. Số hạng tổng quát của dãy



un 2 cos n 1
n 1
2 .
2 .
A.
B.


un cos n 1
un sin n 1
2 .
2 .
C.
D.
1
1
1
Sn  
 ... 
1.3 3.5
(2n  1)(2n  1) ,với n  * .Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ví dụ 3. Đặt
n 1
3n  1

n
n2
Sn 
Sn 
Sn 
Sn 
2(2n  1) .
4n  2 .
2n  1 .
6n  3 .
A.
B.
C.
D.
un 2sin

Đáp án C.
Lời giải
Cách 1: Rút gọn biểu thức Sn dựa vào việc phân tích phần tử đại diện.
1
1 1
1 
 


Với mọi số nguyên dương k , ta có (2k  1)(2k  1) 2  2k  1 2k  1  .
1 1 1 1
1
1  1
1 

n
S n   1     ... 

  1

2 3 3 5
2 n  1 2 n  1  2  2 n  1  2n  1 .
Do đó:

Vậy phương án đúng là phương án C.
Cách 2: Kiểm tra tính đúng – sai của phương án dựa vào một số giá trị cụ thể của n.
1 1
S1  
1.3 3 (chưa loại được phương án nào);
Với n 1 thì

1
1 2
S2  

n

2
1.3
3.5
5 (loại ngay được các phương án A,B và D.
Với
thì
Vậy phương án đúng là phương án C.

Câu 1.

Nhận xét: Từ kết quả của ví dụ này,chúng ta hoàn toàn trả lời được các câu hỏi trắc nghiệm
sau đây:
1
1
1
an  b

 ... 

*
(2n  1)(2n  1) cn  1 . Trong đó a, b, c là các số
Với n   ,biết rằng 1.3 3.5
2
3
4
nguyên. Tính giá trị biểu thức P a  b  c .
A. P 17 .

Câu 2.

Câu 3.

B. P 10 .
C. P 9 .
D. P 19 .
1
1

1
an  b


...


*
(2n  1)(2n  1) 4n  c . Trong đó a, b, c là các số
Với n   ,biết rằng 1.3 3.5
T  a  b  c   a 2  b 2  c 2 
nguyên.Tính giá trị biểu thức
.
A. T 40 .
B. T 4 .
C. T 32 .
D. T 16 .
1
1
1
an 2  bn  c

 ... 

2
1.3 3.5
(2n  1)(2n  1)
 2n 1

Biết rằng

F  a  b 

nguyên. Tính giá trị biểu thức
A. F 9 .
B. F 6 .
Câu 4.

*
,trong đó n   và a, b, c là các số

a c

.

C. F 8 .
D. F 27 .
Tính tổng S của tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn bất phương trình
1
1
1
17

 ... 

1.3 3.5
(2n  1)(2n  1) 35
A. S 153 .
B. S 136 .
C. S 272 .

D. S 306 .

n 1
2
Ví dụ 4. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 2  n  3n.
A. n 3 .
B. n 5 .
C. n 6 .

D. n 4 .

Đáp án D.
Lời giải
Kiểm tra tính đúng – sai của bất đẳng thức với các trường hợp n 1, 2,3, 4, ta dự đoán được
2n 1  n 2  3n, với n 4. Ta chứng minh bất đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp toán
học. Thật vây:
4 1
5
2
-Bước 1: Với n 4 thì vế trái bằng 2 2 32, cịn vế phải bằng 4  3.4 28.
Do 32  28 nên bất đẳng thức đúng với n 4.

k 1
2
-Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n k 4, nghĩa là 2  k  3k .
Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n k  1, tức là phải chứng minh
2
k 2
2
2 k 1 1   k  1  3  k  1

hay 2  k  5k  4.
k 1
2
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có 2  k  3k .

Suy ra

2.2k 1  2  k 2  3k 

Mặt khác

k 2
2
hay 2  2k  6k

2k 2  6k   k 2  5k  4  k 2  k  4 4 2  4  4 16

2k 2  2  k 2  3k   k 2  5k  4

với mọi k 4.

Do đó
hay bất đẳng thức đúng với n k  1.
Suy ra bất đẳng thức được chứng minh.
Vậy phương án đúng là D.


STUDY TIP
Dựa vào kết quả ví dụ 4, ta có thể đề xuất bài tốn sau:
n 1

2
Tìm số ngun tố p nhỏ nhất sao cho: 2  n  3n, n  p, n   *
A. p 3 .
B. p 5 .
C. p 4 .
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
Câu 1. Tổng S các góc trong của một đa giác lồi n cạnh, n 3 , là:
A. S n.180 .
B. S  n  2  .180 .

D. p 7 .

C. S  n  1 .180 .
Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

D. S  n  3 .180 .
*
Với n   , hãy rút gọn biểu thức S 1.4  2.7  3.10  ...  n  3n  1 .
2
2
A. S n  n  1 .
B. S n  n  2  .
C. S n  n  1 .
D. S 2n  n  1 .

*
*


Kí hiệu k ! k k  1 ...2.1, k   . Với n   , đặt Sn 1.1! 2.2! ...  n.n ! . Mệnh đề nào
dưới đây là đúng?






A. S n 2.n ! .
B. Sn  n  1 ! 1 .
C. S n  n  1 ! .
D. S n  n  1 !1 .

2
2
2
2
2
2
*
 2
 2
Với n   , đặt Tn 1  2  3  ...  2n và M n 2  4  6  ...  2n . Mệnh đề nào dưới
đây là đúng?
Tn
Tn

Tn
Tn
4n  1
4n  1
8n  1
2n  1




n 1 .
n 1 .
A. M n 2n  2 .
B. M n 2n  1 .
C. M n
D. M n
n
Tìm số nguyên dương p nhỏ nhất để 2  2n 1 với mọi số nguyên n  p .

A. p 5 .
Câu 6.

B. p 3 .
C. p 4 .
*
n
2
Tìm tất cả các giá trị của n   sao cho 2  n .

D. p 2 .

A. n 5 .
Câu 7.

B. n 1 hoặc n 6 . C n 7 .
D. n 1 hoặc n 5 .
1
1
1
an  b

 ... 

 3n  1  3n  2  cn  4 , trong đó a, b, c là
Với mọi số nguyên dương n , ta có: 2.5 5.8
2
2
2
các số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức T ab  bc  ca .
A. T 3 .

Câu 8.

B. T 6 .

C. T 43 .
D. T 42 .
1  an  2
 1  1 
 1    1   ...  1  2  

Với mọi số nguyên dương n 2 , ta có:  4   9   n  bn  4 , trong đó a, b là các
2
2
số ngun. Tính các giá trị của biểu thức T a  b .
A. P 5 .

Câu 9.

B. P 9 .
C. P 20 .
D. P 36 .
3
3
3
4
3
2
*
Biết rằng 1  2  ...  n an  bn  cn  dn  e, n   . Tính giá trị biểu thức

M a  b  c  d  e .
A. M 4 .

B. M 1 .

M

1
4.

M

M 

4
3.

T

1
2.

C.
D.
3
2


Câu 10. Biết rằng mọi số nguyên dương n , ta có 1.2  2.3  ...  n n  1 a1n  b1n  c1n  d1 và
1.2  2.5  3.8  ...  n  3n  1 a2 n3  b2 n 2  c2 n  d 2
.
Tính
giá
trị
biểu
thức
T a1a2  b1b2  c1c2  d1d 2 .
A. T 2 .

B. T 1 .

C.

D.

2
3.


k
k
k
Câu 11. Biết rằng 1  2  ...  n , trong đó n, k là số nguyên dương. Xét các mệnh đề sau:

2
n 2  n  1
n  n  1
n  n  1  2n  1
n  n  1  2n  1  3n 2  3n  1
S1 
S2 
S3 
S4 
2
6
4
30
,
,
và

.
Số các mệnh đề đúng trong các mệnh đề nói trên là:
A. 4 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .
n
*
n
Câu 12. Với n   , ta xét các mệnh đề P : "7  5 chia hết cho 2" ; Q :"7  5 chia hết cho 3" và
Q : "7 n  5 chia hết cho 6" . Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là :

A. 3 .

B. 0 .

C. 1 .
D. 2 .
n 1
Câu 13. Xét bài toán: “Kiểm nghiệm với số nguyên dương n bất đẳng thức n 2 ”. Một học sinh đã
trình bày lời giải bài tốn này bằng các bước như sau:
n 1
n 1
1 1
0
Bước 1: Với n 1 , ta có: n ! 1! 1 và 2 2 2 1 . Vậy n ! 2 đúng.
k1
Bước 2 : Giả sử bất đẳng thức đúng với n k 1 , tức là ta có k ! 2 .

k

Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n k  1 , nghĩa là phải chứng minh  k  1 ! 2 .

k 1

k

Bước 3 : Ta có  k  1 !  k  1 .k ! 2.2 2 . Vậy n! 2
n.
Chứng minh trên đúng hay sai, nếu sai thì sai từ bước nào ?
A. Đúng.

B. Sai từ bước 2.

C. Sai từ bước 1.

n 1

với mọi số nguyên dương

D. Sai từ bước 3.

1
1
1
an 2  bn

 ... 
 2
n  n  1  n  2  cn  dn  16 , trong đó a, b, c, d và n là các số
Câu 14. Biết rằng 1.2.3 2.3.4

nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức T  a  c   b  d  .

là :
A. T 75 .

B. T 364 .

C. T 300 .

D. T 256 .

D. HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Đáp án B.
Cách 1: Từ tổng các góc trong tam giác bằng 180 và tổng các góc trong từ giác bằng 360 ,
chúng ta dự đoán được S  n  2  .180 .

Câu 2.

Cách 2: Thử với những trường hợp đã biết để kiểm nghiệm tính đúng –sai từ các cơng thức. Cụ
thể là với n 3 thì S 180 (loại luôn được các phương án A, C và D); với n 4 thì S 360
(kiểm nghiệm phương án B lần nữa).
Đáp án A.
Để chọn được S đúng, chúng ta có thể dựa vào một trong ba cách sau đây:
Cách 1: Kiểm tra tính đúng –sai của từng phương án với những giá trị của n .
Với n 1 thì S 1.4 4 (loại ngay được phương án B và C); với n 2 thì S 1.4  2.7 18
(loại được phương án D).
Cách 2: Bằng cách tính S trong các trường hợp n 1, S 4; n 2, S 18; n 3, S 48 ta dự
2

đốn được cơng thức S n  n  1 .

1  2  ...  n 

n  n  1
2
và

Cách 3: Ta tính S dựa vào các tổng đã biết kết quả như
n  n  1  2n  1
12  22  ...  n 2 
2
2
2
2
6
. Ta có: S 3  1  2  ...  n    1  2  ...  n  n  n  1 .
Câu 3.

Đáp án B.
Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây:
Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của n .
Với n 1 thì S1 1.1! 1 (Loại ngay được các phương án A, C, D).
Cách 2: Rút gọn Sn dựa vào việc phân tích phần tử đại diện
k .k !  k  1  1 .k !  k  1 .k ! k !  k  1 ! k ! . Suy ra:

Sn  2! 1!   3! 2!  ...    n  1 ! n !  n  1 ! 1
Câu 4.

.

Đáp án A.
Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây:
Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của n .
T1 5

2
2
2
T1 1  2 5; M 1 2 4
M
4 (loại ngay được các phương án B, C, D).
n

1
1
Với
thì
nên
Cách 2: Chúng ta tính Tn , M n dựa vào những tổng đã biết kết quả. Cụ thể dựa vào ví dụ 1:
Tn
4n  1
2n  2n 1  4n  1
2n  n 1  2n  1

Tn 
;Mn 
6
3
. Suy ra M n 2n  2 .

Câu 5.

Câu 6.

Đáp án B.
p
Dễ thấy p 2 thì bất đẳng thức 2  2 p 1 là sai nên loại ngay phương án D.
p
Xét với p 3 ta thấy 2  2 p 1 là bất đửng thức đúng. Bằng phương pháp quy nạp toán học
n
chúng ta chứng minh được rằng 2  2n 1 với mọi n 3 . Vậy p 3 là số nguyên dương nhỏ
nhất cần tìm.
Đáp án D.
Kiểm tra với n 1 ta thấy bất đẳng thức đúng nên loại ngay phương án A và C.

Kiểm tra với n 1 ta thấy bất đẳng thức đúng. Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta
n
2
chứng minh được rằng 2  n , n 5 .
Câu 7.

Đáp án B.
1
1 1
1 
 


Cách 1: Với chú ý  3k  1  3k  2  3  3k  1 3k  2  , chúng ta có:

1
1
1
1 1 1 1 1
1
1 

 ... 
      ... 


 3n  1  3n  2  3  2 5 5 8
2.5 5.8
3n  1 3n  2 
1
3n
n
.

= 3 2  3n  2  6n  4 .
Đối chiếu với đẳng thức đã cho, ta có: a 1, b 0, c 6 .
2
2
2
Suy ra T ab  bc  ca 6 .
a  b 1 2a  b 1 3 x  b 3
 ;
 ;

Cách 2: Cho n 1, n 2, n 3 ta được: c 4 10 2c  4 8 3c  4 22 .

2
2
2
Giải hệ phương trình trên ta được a 1, b 0, c 6 . Suy ra T ab  bc  ca 6


Câu 8.

Đáp án C.
1

1 k  1 k 1

.
k2
k
k . Suy ra

Cách 1: Bằng cách phân tích số hạng đại diện, ta có:
1  1 3 2 4 n  1 n  1 n  1 2n  2
 1  1 
.


 1    1   ...  1  2   . . . ...
 4  9  n  2 2 3 3
n
2n
2n
4n .

2
2
Đối chiếu với đẳng thức đã cho ta có: a 2, b 4 . Suy ra P a  b 20 .
a  1 3 3a  2 2
 ;

4 3b
3 . Giải hệ phương trình trren ta được
Cách 2: Cho n 2, n 3 ta được b
2
2
a 2; b 4 . Suy ra P a  b 20 .

Câu 9.

Đáp án B.
2
n 2  n  1
n 4  2n 3  n 2
1  2  ...  n 

4
4
Cách 1: Sử dụng kết quả đã biết:
. So sánh cách hệ
1
1
1
a  ; b  ; c  ; d e 0

4
2
4
số, ta được
.
3

3

3

Cách 2: Cho n 1, n 2, n 3, n 4, n 5 , ta được hệ 5 phương trình 5 ẩn a, b, c, d , e . Giải hệ
1
1
1
a  ; b  ; c  ; d e 0
4
2
4
phương trình đó, ta tìm được
. Suy ra M a  b  c  d  e 1 .
Câu 10. Đáp án C.
Cách 1: Sử dụng các tổng lũy thừa bậc 1 và bậc 2 ta có:
1
2
1.2  2.3  ...  n  n  1  12  2 2  ...  n 2    1  2  ...  n   n3  n 2  n
3
3 .
+)

1
2
a1  ; b1 1; c1  ; d1 0
3
3
Suy ra
.
2
2
2
3
2
+) 1.2  2.5  3.8  ...  n  3n  1 3  1  2  ...  n    1  2  ...  n  n  n .

Suy ra a2 b2 1; c2 d 2 0 .
Do đó

T a1a2  b1b2  c1c2  d1d 2 

4
3.

Cách 2: Cho n 1, n 2, n 3, n 4 và sử dụng phương pháp hệ số bất đinh ta cũng tìm được
1
2
a1  ; b1 1; c1  ; d1 0 a b 1; c d 0
2
2
2
3

3
; 2
.
T a1a2  b1b2  c1c2  d1d 2 

Do đó
Câu 11. Đáp án D.

4
3.

Bằng các kết quả đã biết ở ví dụ 1, chúng ta thấy ngay được chỉ có
Câu 12. Đáp án A.

S3 

2
n 2  n  1
4
là sai.

n
Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng 7  5 chia hết cho 6.
1
Thật vậy: Với n 1 thì 7  5 126 .
k
Giả sử mệnh đề đúng với n k 1 , nghĩa là 7  5 chia hết ccho 6.


k 1

Ta chứng minh mệnh đề đúng với n k  1 , nghĩa là phỉa chứng minh 7  5 chia hết cho 6.

k 1
k
Ta có: 7  5 7  7  5   30 .
k 1
k
k
Theo giả thiết quy nạp thì 7  5 chia hết cho 6 nên 7  5 7  7  5   30 cũng chia hết cho
6.
n
Vậy 7  5 chia hết cho 6 với mọi n 1 . Do đó các mệnh đề P và Q cũng đúng.
Câu 13. Đáp án A.
Câu 14. Đáp án C.
1
1
1
1

 












2  k k 1
k  1 k  2  .
Phân tích phần tử đại diện, ta có: k k  1 k  2

1
1
1

 ... 
n  n  1  n  2 
Suy ra: 1.2.3 2.3.4
1 1
1
1
1
1
1

 


.
 ... 








2  1.2 2.3 2.3 3.4
n n 1
n 1 n  2 
11
1

n 2  3n
2n 2  6n
  

2  2  n  1  n  2   = 4n 2  12n  8 8n 2  24n  16 .
Đối chiếu với hệ số, ta được: a 2; b 6; c 8; d 24 .

Suy ra: T  a  c   b  d  300 .

DÃY SỐ
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:
*
Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương  được gọi là một dãy số vơ hạn (hay
cịn gọi tắt là dãy số)

 
Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển u1 , u2 ,..., un ,..., trong đó un u n hoặc viết
u 
tắt là n .
Số hạng u1 được gọi là số hạng đầu, un là số hạng tổng quát (số hạng thứ n ) của dãy số.
2. Các cách cho một dãy số:
Người ta thường cho một dãy số bằng một trong các cách dưới đây:

- Cách 1: Cho dãy số bằng công thức của số hạng tổng quát.
n
xn  n 1
xn 

3 .
Ví dụ 1. Cho dãy số
với
Dãy số cho bằng cách này có ưu điểm là chúng ta có thể xác định được ngay số hạng bất kỳ
10
10
x10  11 
3
177147 .
của dãy số. Chẳng hạn,
- Cách 2: Cho dãy số bằng phương pháp truy hồi.

 an 

xác định bởi a1 1 và an1 3an  7, n 1 .
b1 1, b2 3

b 4bn1  5bn , n 1
b 
Ví dụ 3. Cho dãy số n xác định bởi  n 2
.
Với cách này, ta có thể xác định được ngay mối liên hệ giữa các số hạng hoặc nhóm các số
hạng của dãy số thơng qua hệ thức truy hồi. Tuy nhiên, để tính được các số hạng bất kỳ của dãy
Ví dụ 2. Cho dãy số

số thì chúng ta cần phải tích được các số hạng trước đó hoặc phải tìm được cơng thức tính số
hạng tổng quát của dãy số.
- Cách 3: Cho dãy số bằng phương pháp mô tả hoặc diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số
hẩng dãy số.
Ví dụ 4. Cho dãy số

 un 

gồm các số nguyên tố.

Ví dụ 5. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 4. Trên cạnh BC , ta lấy điểm A1 sao cho CA1 1 . Gọi
B1 là hình chiếu của A1 trên CA , C1 là hình chiếu của B1 trên AB , A2 là hình chiếu của C1
u 
trên BC , B2 là hình chiếu của A2 trên CA ,… và cứ tiếp tục như thế, Xét dãy số n với
un CAn .
3. Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số hằng:
Dãy số

 un 

*
được gọi là dãy số tăng nếu ta có un 1  un với mọi n   .

Dãy số

 un 

*
được gọi là dãy số giảm nếu ta có un 1  un với mọi n   .

 un 

được gọi là dãy số hằng (hoặc dãy số khơng đổi) nếu ta có un 1 un với mọi

Dãy số
n  * .

Ví dụ 6. a) Cho dãy số

 xn 

2
với xn n  2n  3 là một dãy số tăng.

2

2




Chứng minh: Ta có xn 1  n  1  2 n  1  3 n  2 .

Suy ra
Vậy

xn 1  xn  n 2  2    n 2  2n  3 2n  1  0, n 1

hay xn 1  xn , n 1 .

 xn 

là một dãy số tăng.
n2
yn  n
yn 

5 là một dãy số giảm.
b) Dãy số
với
Chứng minh:
n 3
n 3 n  2
4n  7
yn 1  n1
yn 1  yn  n 1  n  n 1  0, n 1
5 . Suy ra
5
5
5
Cách 1: Ta có
hay
yn 1  yn , n 1 .Vậy  yn  là một dãy số giảm.
yn 1
*
Cách 2: Với n   , ta có yn  0 nên ta xét tỉ số yn .
yn 1
n 3
n 3


 1, n 1
yn 1  n 1
yn
5  n  2
y 
5
Ta có
nên
. Vậy n là một dãy số giảm.

z 
c) Dãy số n với

z n   1

z  z   1
giảm vì n 1 n
số đan dấu.

n 1

n

không phải là một dãy số tăng cũng không phải là một dãy số
n
n
   1  2   1
không xác định được dương hay âm. Đây là dãy
STUDY TIP

b 
Để chứng minh dãy số n là dãy số giảm hoặc dãy số tăng, chúng ta thường sử dụng một
trong 2 hướng sau đây:
(1): Lập hiệu un un 1  un . Sử dụng các biến đổi đại sốvà các kết quả đã biết để chỉ ra
un  0 (dãy số tăng) hoặc un  0 (dãy số giảm)


Tn 

un 1
un . Sử dụng các biến đổi đại số và các kết

(2): Nếu un  0, n 1 thì ta có thể lập tỉ số
quả đã biết để chỉ ra Tn  1 (dãy số tăng), Tn  1 (dãy số giảm).
4. Dãy số bị chặn
Dãy số

 un  được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số

*
M sao cho um M , n   .

Dãy số

 un  được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số

*
m sao cho um m, n   .

Dãy số

 un  được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số

*
M , m sao cho m um M , n   .
Ví dụ 7:
 3n  1 
a

2017
sin
*
n
a 
4
a) Dãy số n với
là một dãy số bị chặn vì  2017 an 2017, n  
.
2n  3
2
 bn 1, n  *
bn 
bn 

3
n

2
3

b) Dãy số
với
là một dãy số bị chặn vì
.

c) Dãy số

 cn  với cn  3n  2  .7n1 bị chặn dưới vì

d) Dãy số

 d n  với d n 

1) Nếu

Câu 5.

an 49, n  *

.

6  6  ......  6 ( n dấu căn), bị chặn trên vì d n  3, n  * .
STUDY TIP

 un  là dãy số giảm thì bị chặn trên bởi u1 .

u 
2) Nếu n là dãy số tăng thì bị chặn dưới bởi u1 .
B. Các bài tốn điển hình
n

n
an 2017 sin
 2018cos
an 

2
3 . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh
Cho dãy số
xác định bởi
đề đúng?
*
*
A. an 6 an , n   . B. an 9 an , n   .
*
C. an 12 an , n   .
Đáp án C

*
D. an 15 an , n   .

Lời giải
Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được đáp án đúng.
 n  6    2018cos  n  6    2017 sin n  2018cos n a
an 6 2017 sin
n
2
3
2
3
+ Ta có

+ Ta có
+ Ta có

an 6 2017 sin

 n  9    2018cos  n  9  
2

3

2017 sin

n
n
 2018cos
 an
2
3
.

an 12 2017 sin

 n  12    2018 cos  n  12  

2017 sin

an 15 2017 sin

 n  15   2018 cos  n  15 

 2017 sin

2

2
+ Ta có
Vậy phương án đúng là C.

3

3

n
n
 2018cos
an
2
3
.
n
n
 2018cos
an
2
3
.


Nhận xét: Từ kết quả trong ví dụ này, chúng ta có thể trả lời được các câu hỏi trắc nghiệm sau
đây

n
n
a

2017
sin

2018cos
n
a 
2
3 . Hãy chọn phương án trả lời
Cho dãy số n xác định bởi
đúng trong mỗi câu hỏi sau đây:

a a p , n  *
Câu 1: Tìm số nguyên dương p nhỏ nhất để n  p
Câu 2: Số hạng thứ 2017 của dãy số là số hạng nào dưới đây?
C.  2017  1009 3 .
D.  3026 .
3
5
a1 1; an 1  an 2  an  1, n  *
an 

2
2
Cho dãy số
xác định bởi
. Số hạng thứ 201 của dãy

a 
số n có giá trị bằng bao nhiêu?
A. a2018 2 .
B. a2018 1 .
C. a2018 0 .
D. a2018 5 .
A. 3026 .
Câu 6.

B. 2017  1009 3 .

Đáp án A
Lời giải
Nhận thấy dãy số trên là dãy số cho bởi công thức truy hồi.
a 1; a2 2; a3 0; a4 1; a2 2; a6 0; 1
Ta có 1
.
*
Từ đây chúng ta có thể dự đoán an 3 an , n   . Chúng ta khẳng định dự đốn đó bằng
phương pháp quy nạp tốn học. Thật vậy:
Với n 1 thì a1 1 và a4 1 . Vậy đẳng thức đúng với n 1 .
Giả sử đẳng thức đúng với

n k 1 , nghĩa là ak 3 ak .

Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với n k  1 , nghĩa là chứng minh ak 4 ak 1 .
3
5
ak 4  ak23  ak 3  1
2

2
Thật vậy, ta có
(theo hệ thức truy hồi).
3
5
ak 4  ak2  ak  1 ak 1
a

a
k nên
2
2
Theo giả thiết quy nạp thì k 3
.
*
Vậy đẳng thức đúng với n k  1 . Suy ra an 3 an , n   .

Từ kết quả phần trên, ta có : nếu
Ta có

2018 2  mod 3

m  p  mod3

thì

am a p

.

nên a2018 2 .

Vậy phương án đúng là A.
*
Nhận xét: Việc chứng minh được hệ thức an 3 an , n   giúp ta giải quyết được bài tốn
tính tổng hoặc xác định được số hạng tùy ý của dãy số. Vì vậy, việc phát hiện ra tính chất đặc
biệt của một dãy số sẽ giúp chúng ta giải quyết các yêu cầu liên quan đến dãy số một cách
thuận lợi và dễ dàng hơn. Chúngta cùng kiểm nghiệm qua các câu hỏi trắc nghiệm khách quan
dưới đây nhé:
3
5
a1 1; an 1  an 2  an  1, n  *
an 

2
2
Cho dãy số
xác định bởi
. Hãy chọn phương án trả
lời đúng trong mỗi câu hỏi sau đây:

Câu 1.

Tính tổng S của sáu số hạng đầu tiên của dãy
A. S 0 .
B. S 6 .

 an 
C. S 4 .

D. S 5 .


Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

Câu 7.

a a p , n  *
Tìm số nguyên dương p nhỏ nhất để n  p
A. p 9 .
B. p 2 .
C. p 6 .

D. p 3 .

a 
Tính tổng S của 2018 số hạng đầu tiên của dãy n
A. S 2016 .
B. S 2019 .
C. S 2017 .

D. S 2018 .

a 
Tính tổng bình thường của 2018 số hạng đầu tiên của dãy n
A. S 3360 .

B. S 3361 .
C. S 3364 .

D. S 3365 .

Cho dãy số
 an  .

 an  xác định bởi

A. an  2 .
Đáp án D

a1 1; an 1  an 2  1, n  *

B. an  2n  1 .

. Tìm số hạng tổng quát của dãy số

C. an  3n  2 .

D. an  n .

Lời giải
Ta có

a2  2; a3  3; a4  4; a5  5 .

a  n
Từ 5 số hạng đầu của dãy ta dự đoán được n

. Bằng phương pháp quy nạp toán học
a  n . Vậy phương án đúng là D.
chúng ta chứng minh được n
Nhận xét: Với kết quả của ví dụ này, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi trắc nghiệm dưới
đây:

Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

a 1; an 1  an 2  1, n  *
a 
Cho dãy số n xác định bởi 1
. Hãy chọn phương án trả lời đúng
trong mỗi câu hỏi sau đây:
1
1
1
sn 

 ... 
, n 2
a

a
a

a

a

a
1
2
2
3
n

1
n
Rút gọn biểu thức
ta được

S  n 1 .
S  n  1.
A. n
B. n
Mệnh đề nào dưới đây là đúng

C.

n
n 1 .

Sn 

D.

Sn 

n
n 1.

A. Dãy số

 an  là dãy số giảm.

B. Dãy số

 an  không là dãy số giảm.

C. Dãy số

 an  là dãy số tăng.

D. Dãy số

 an  không là dãy số tăng.

2
2
2
Rút gọn biểu thức Sn a1  a2  ...  an

A.

S n n  n  1

B.

Sn n  n 1

n  n  1
2
.

Sn 

n  n  1
2
.

.
C.
D.
STUDY TIP
Ngoài cách làm bên, ta có thể kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thơng
qua việc xác định một vài số hạng đầu của dãy
+ Với a1 1 thì loại ngay được phương án A.

a2  2 thì loại ngay được các phương án B và C.
3
a 
Cho dãy số n có tổng của n số hạng đầu tiên bằng Sn n . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
2
a 
A. n là dãy số tăng và an 3n  3n  1 .
+Ta có

Câu 8.

.

Sn 


B.

 an  là dãy số giảm và an 3n2  3n 1 .

C.

 an  là dãy số tăng và an 3n 2  3n 1 .

D.

 an  là dãy số tăng và

an 3n 2  3n  1

.

Đáp án A.
Lời giải
Ta có

a1  a2  ...  an S n n3
3

Suy ra

và
3

a1  a2  ...  an  1 Sn  1  n  1

3

.

2

an S n  S n  1 n   n  1 3n  3n  1

.

2

2
a 3  n  1  3  n  1 1 3n 2  9n  7
Ta có an 3n  3n  1 và n  1
.
*
Do đó an  an  1 6n  1 0, n   .

a 
Dấu bằng chỉ xảy ra khi n  1 0 hay n 1 . suy ra dãy số n là dãy số tăng.
Vậy phương án đúng là A.
Câu 9.

*
a 
Cho dãy số n xác định bởi a1 1; an 1 3an  10, n   . Tìm số hạng thứ 15 của dãy số
 an  .
A. a15 28697809 .
B. a15 28697814 .

C. a15 9565933 .
Đáp án A

D. a15 86093437 .
Lời giải

Chúng ta đi tìm cơng thức xác định số hạng tổng quát của dãy số
Đặt bn an  5 khi đó bn 1 an1  5 .

 an  .

*
b  5 3  bn  5   10  bn 1 3bn
Từ hệ thức truy hồi an 1 3an  10, n   suy ra n 1
.
Như vậy ta có b1 a1  5 6; bn 1 3bn .
2
3
Ta có b2 3b1 ; b3 3b2 3 b1 b43 3b3 3 b1 . Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được
n 1
*
n

*
rằng bn 3 b1 , n   , suy ra an 2.3  5, n   . Do đó a15 28697809 . Vậy suy ra

phương án đúng là A.
STUDY TIP
Dãy số

 an 

*
xác định bởi a1 1; an 1 qan  d , n  

a 
-Nếu q 1 thì số hạng tổng quát của dãy số n là

an aq

n 1



d  1  q n 1 
1 q

.

 a  a a   n  1 d .
-Nếu q 1 thì số hạng tổng quát của dãy số n là n

a 

Cho dãy số n xác định bởi và an 1 3an  10, n   * . Hãy chọn phương án trả lời đúng
trong mỗi câu hỏi sau đây.
Câu 1.

Số hạng thứ ba, thứ năm và thứ bảy của dãy số

 an 

lần lượt là:


A. 13, 49,157 .
Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

B. 49, 481, 4369 .

a 
Tìm số hạng tổng quát của dãy số n .
n
n 1
A. an 2.3  5 .
B. an 2.3  5 .

C. 49,157,1453 .

D. 49,1453, 4369 .

n
C. an 2.3  5 .

n
D. an 2.3  5 .

a 
Số 2324522929 có là số hạng của dãy số n khơng, nếu có thì nó là số hạng thứ bao nhiêu?
A. Khơng.
B. Có, 18 .
C. Có, 19 .
D. Có, 20 .
 an 

là một dãy số:
A. Giảm và bị chặn trên.
C. Tăng và bị chặn dưới.

B. Tăng và bị chặn trên.
D. Giảm và bị chặn dưới.

a 
Ví dụ 6. Cho dãy số n xác định bởi a1 5, a2 0 và an 2 an 1  6an , n 1 . Số hạng thứ 14 của
dãy là số hạng nào?
A. 3164070 .
B. 9516786 .
C. 1050594 .
D. 9615090 .
Đáp án A

Lời giải
+ Ta có

an2 an1  6an , n 1  an 2  2an1 3  an1  2an  , n 1

.

Do đó ta có b1 a2  2a1 10 và bn 1 3bn , n 1 .
2
3
b 
Từ hệ thức truy hồi của dãy số n , ta có b2 3b1 ; b3 3b2 3 b1 ; b4 3b3 3 b1 .
Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng:
bn 3n  1 b1 10.3n  1 , n 1
.

+ Ta có

an 2 an 1  6an , n 1  an2  3an1  2  an1  3an  , n 1

.

Do đó ta có: c1 a2  3a1  15 và cn1  2cn , n 1 .
2

3

c  2c1 ; c3   2  c1; c4   2  c1
c 
Từ hệ thức truy hồi của dãy số n , ta có 2

.
Bằng phương pháp quy nạp tốn học, chúng ta chứng minh được rằng:

cn   2 

n 1

c1  15.   2 

n 1

, n 1

.
+ Từ các kết quả trên, ta có hệ phương trình:

 an 1  2an 10.3n  1
n 1
 an 2.3n  1  3.   2 

n 1
 an 1  3an 15.   2 
.

a 
Do đó số hạng tổng quát của dãy số n

là

an 2.3n  1  3.   2 

n 1

, n 1

.

Vậy suy ra a14 3164070 . Vậy phương án đúng là A.
Nhận xét: Với kết quả trong ví dụ này, chúng ta có thể trả lời các câu hỏi trắc nghiệm khách
quan dưới đây:

a 
Cho dãy số n xác định bởi a1 5; a2 0 và an 2 an 1  6an , n 1 . Hãy chọn phương án
trả lời đúng trong mỗi câu hỏi sau đây.
Câu 1.

Câu 2.

a 
Tính số hạng thứ năm của dãy số n .
A. a5 210 .
B. a5 66 .
Số hạng tổng quát của dãy số

 an 

là:;

C. a5 36 .

D. a5 360 .


A.

an 2.3n  1  3.   2 

C. an 2.3

n 1

 3.2

n 1

n 1

.

B.

an 2.3n  3.   2 
n

n

.

n

D. an 2.3  3.2 .
STUDY TIP

.

a 
Dãy số n xác định bởi a1 a, a2 b và an 2  .an 1   .an , với mọi n 1 , trong đó phương
2
trình t   t   0 có hai nghiệm phân biệt là t1 và t2 . Khi đó số hạng tổng quát của dãy số

 an 

n 1
1 1

là an m .t

 m2 .t2

n 1

, trong đó m1 , m2 thỏa mãn hệ phương trình

 m1  m2 a

 m1.t1  m2 .t2 b

.

2

a 
Ví dụ 7. Cho dãy số n xác định bởi a1  3 và an1 an  n  3n  4, n   * . Số 1391 là số hạng
thứ mấy của dãy số đã cho?
A. 18 .
B. 17 .
C. 20 .
D. 19

Đáp án A.
Lời giải
Từ hệ thức truy hồi của dãy số

 an 

ta có:

n3  6n 2  17 n  21
2
an a1   12  22  ...   n  1   3 1  2  ...   n  1   4  n  1  an 


3
.

a 
Suy ra số hạng tổng quát của dãy số n là
Giải phương trình an 1391 ta được n 18

an 

n3  6n 2  17 n  21
3
.

Vậy phương án đúng là A.
STUDY TIP
Dãy số

 an 

a an  f  n  , n 1
xác định bởi a1 a và n 1
.
n 1

Số hạng tổng quát của dãy số
Ví dụ 8. Cho dãy số
đúng?

 an 

 an 

an a1   f  i 

i 1
được tính theo cơng thức:
.
1
an 1   an  1 , n 1

2
xác định bởi a1 2 và
. Mệnh đề nào dưới đây là

A.

 an 

là một dãy số giảm và bị chặn.

B.

 an 

là một dãy số tăng và bị chặn.

C.

 an 

là một dãy số giảm và không bị chặn dưới.

a 
D. n là một dãy số tăng và không bị chặn trên.
Đáp án A
Lời giải
3
5
a1 2  a2   a3 
2

4 . Do đó ta loại được các phương án B và D.
Ta có
1
1
1
an 1  an   an  an  1   n  1  a2  a1   0, n   *
an  an 1  1
2
2
2
+ Ta có
nên
.






a 
Suy ra an 1  an , n 1 nên n là dãy số giảm.
+ Vì

 an 

là một dãy số giảm nên dãy số này bị chặn trên bởi a1 2 .

1
 1  an  an1  an  0, n 1  an  1, n 1
Ta có 2

.
Vậy phương án đúng là A.
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
Dạng 1: Bài tập về xác định số hạng của dãy số

Câu 1.

Cho dãy số

 xn 

 n  1
xn 1 

 n 1 
A.

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

y 
Cho dãy số n
1 3 1
0, , , 
A. 2 2 2 .

, n   *

2 n 5

. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
2 n 3

2 n 5

2 n 1

 n 
 n 
 n  1
xn1 
xn 1 
xn 1 



 n  2  . C.
 n2
 n 1 
.
B.
. D.
n
2n
yn sin 2

 cos
4
3 . Bốn số hạng đầu của dãy số đó là:
xác định bởi
1 3 1
1, , ,
B. 2 2 2 .

1 3 3
1, , ,
C. 2 2 2 .

.

1 1 1
0, ,  ,
D. 2 2 2 .

u 
Cho dãy số n xác định bởi u1  1 và un 2.n.un  1 với mọi n 2 . Mệnh đề nào dưới đây là
đúng ?
10
10
10
10
10
10
A. u11 2 .11! .
B. u11  2 .11! .
C. u11 2 .11 .

D. u11  2 .11 .
1
u1 
un 

2 và un un  1  2n với mọi n 2 . Khi đó u50 bằng:
Cho dãy số
xác định bởi

Câu 6.

Cho dãy số
A. 8 .

Câu 7.

Cho dãy số
A. 14 .

 un 
 an 

a 
Cho dãy số n
1
A. 20 .

Câu 9.

2 n 3

y 
Cho dãy số n xác định bởi y1  y2 1 và yn 2  yn 1  yn , n   * . Năm số hạng đầu tiên
của dãy số đã cho là:
A. 1,1, 2, 4, 7 .
B. 2, 3, 5,8,11 .
C. 1, 2,3,5,8 .
D. 1,1, 2,3,5 .

A. 1274,5 .

Câu 8.

 n  1
xn 

 n 1 
có

B. 2548,5 .
C. 5096,5 .
D. 2550,5 .
n 1
8
un 
2n  1 . Số 15 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số  un  ?
có
B. 6 .
C. 5 .
D. 7 .

2
a 
có an  n  4n  11, n   * . Tìm số hạng lớn nhất của dãy số n .
B. 15 .
C. 13 .
D. 12 .

có

n
, n   *
a 
n  100
. Tìm số hạng lớn nhất của dãy số n .
1
1
1
B. 30 .
C. 25 .
D. 21 .

an 

2

2
y 
Cho dãy số n xác định bởi y1 2 và yn 1 2 yn  n  3n, n   * . Tổng S 4 của 4 số hạng
đầu tiên của dãy số là:
A. S 4 20 .

B. S 4 10 .
C. S 4 30 .
D. S 4 14 .

Câu 10. Cho dãy số
 xn  là:

 xn 

xác định bởi x1 5 và xn 1 xn  n, n   * . Số hạng tổng quát của dãy số


A.

xn 

n 2  n  10
2
.

B.

xn 

5n 2  5n
2
.

x1 

C.

xn 

n 2  n  10
2
.

D.

xn 

n 2  3n  12
2
.

xn
2
xn 1 
, n   *
2
2
n

1
x

1



n
3 và
. Mệnh đề nào dưới

x 
Câu 11. Cho dãy số n xác định bởi
đây là đúng ?
2
39999
2
x100 
x100 
x100 
39999 .
2 .
40001 .
A.
B.
C.
Dạng 2: Bài tập về xét tính tăng, giảm của dãy số.
Câu 12. Trong các dãy số dưới đây dãy số nào là dãy số tăng ?

n 1
an   1 .sin , n   *
an 

n
A. Dãy
, với
.

D.

x100 

2
40803 .

2n

b   1 .  5n  1 , n   *
b 
B. Dãy n , với n
.
C. Dãy

 cn  , với

cn 

1
, n   *
n  n 1
.
n

dn  2
, n   *
d 
n 1

D. Dãy n , với
.

Câu 13. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là dãy số giảm ?
n

 1
an   
an 

 2 .
A. Dãy
, với
1
cn  3
cn 

n 1 .
C. Dãy
, với
an  4
xn 
xn 

n  2 . Dãy số  xn 
Câu 14. Cho dãy số
với
A. a 2 .
B. a  2 .

Câu 15. Cho hai dãy số
là đúng ?

 xn 

với

xn 

 n  1 !
2n

và

 yn 

A.

 xn 

là dãy số giảm,

 yn 

là dãy số giảm.

B.

 xn 

là dãy số giảm,

 yn 

là dãy số tăng.

C.

 xn 

là dãy số tăng,

 yn 

là dãy số giảm.

B. Dãy

 bn 

D. Dãy

 d n  , với

với

bn 

d n 3.2 n

là dãy số tăng khi:
C. a  2 .
với

yn n  sin 2  n  1

x 
D. n là dãy số tăng, là dãy số tăng.
Dạng 3: Bài tập về xét tính bị chặn của dãy số.
3n  1
un 
un 

3n  7 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
Câu 16. Cho dãy số
, với
A. Dãy

 un 

bị chặn trên và không bị chặn dưới.

B. Dãy

 un 

bị chặn dưới và không bị chặn trên.

C. Dãy

 un 

bị chặn trên và bị chặn dưới.

D. Dãy

 un 

không bị chặn.

n2 1
n .
.

D. a  1 .
. Mệnh đề nào dưới đây


Câu 17. Trong các dãy số sau dãy số nào là dãy bị chặn ?
A. Dãy

 an  , với an 

n 2  16, n   *

.

1

bn n  , n   *

b 
2n
B. Dãy n , với
.

C. Dãy

 cn  , với cn 2n  3, n   * .
n

dn  2
, n   *
d 
n 4
D. Dãy n , với
.

Câu 18. Trong các dãy số dưới đây dãy số nào bị chặn trên ?
A. Dãy

 an  , với an 3n  1 .
bn 

1
n  2n  1

B. Dãy

 bn  , với

C. Dãy

 cn  , với cn 3.2n1 .

.

n

d   2 
d 
D. Dãy n , với n
.
Câu 19. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào bị chặn dưới ?
n

A. Dãy

 xn  , với

xn   1 .  n 2  2n  3

B. Dãy

 yn  , với

yn   n 2  6n 

.

.

n

z 
C. Dãy n , với

zn 

2018
2017 n1 .
n

w   2017 
w 
D. Dãy n , với n
.
Dạng 4: Bài tập về tính chất của dãy số.
n
n
x 
Câu 20. Cho dãy số n , xác định bởi: xn 2.3  5.2 , n   * . Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
A. xn 2 5 xn 1  6 xn .
B. xn 2 6 xn 1  5 xn .

C. xn 2  5 xn 1  6 xn 0 . D. xn 2  6 xn 1  5 xn 0 .
n
u 
Câu 21. Cho dãy số n , với un 3 . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
u1  u9
u2 .u4

u5
u3
A. 2
.
B. 2
.
u 1
1  u1  u2  ...  u100  100
2 .
C.
D. u1.u2 ...u100 u5050 .

Câu 22.

a 
Cho dãy số n
A. an 12

an 2017 cos

 3n  1 

xác định bởi
an , n 1 .
B. an 8 an , n 1 .

 an 

Câu 23. Cho dãy số
đây là đúng ?

A. a2018 a2 .

6

. Mệnh đề nào dưới đây là sai ?
C. an 9 an , n 1 . D. an 4 an , n 1 .
3
5
an1  an 2  an  1, n   *
a

1
2
2
xác định bởi 1
và
. Mệnh đề nào dưới
B. a2018 a1 .

C. a2018 a3 .

D. a2018 a4 .


 an  xác định bởi a1 1, a2 2 và an2  3.an1  an , n 1 . Tìm số nguyên
Câu 24. Cho dãy số
a an , n   *
dương p nhỏ nhất sao cho n  p
.
p


9
p

12
A.
.
B.
.
C. p 24 .
D. p 18 .
Câu 25. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào SAI ?
2018
an 1 
, n   *
a 
an  2017
A. Dãy số n xác định bởi a1 1 và
là một dãy số khơng đổi.


bn tan  2n  1
b 
4 , có tính chất bn2 bn , n   * .
B. Dãy số n , với

C. Dãy số

 cn  , với cn tan  n   1 , là một dãy số bị chặn.

D. Dãy số

 d n  , với

d n cos  n 

, là một dãy số giảm.

*
Câu 10. Cho dãy số (un ) xác định bởi u1 2 và u2 2un 1  1, n  N , có tính chất
A. Là dãy số tăng và bị chặn dưới.
B. Là dãy số giảm và bị chặn trên.
C. Là dãy số giảm và bị chặn dưới.
D. Là dãy số tăng và bị chặn trên.
2
2
2
u  2  un2 , n 1.
Câu 11. Cho dãy số (un ) xác định bởi u1 1 và n 1
Tổng S2018 u1  u2  ...  u2018 là
2
2
2
2
A. S2018 2015 .
B. S2018 2018 .
C. S2018 2017 .
D. S 2018 2016 .
n
n

zn sin
 2 cos
.
2
3 Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá
Câu 12. Cho dãy số ( zn ) xác định bởi
2
2
trị nhỏ nhất trong các số hạng của dãy số ( zn ) . Tính giá trị biểu thức T M  m .

A. T 13.

B. T 5.
C. T 18.
D. T 7.
un
1
2017
u1  ; un 1 
, n 1.S n u1  u2  ...  un 
2
2(n  1)un  1
2018 khi n
Câu 13. Cho dãy số (un ) thỏa mãn
có giá trị nguyên dương lớn nhất.
A. 2017.
B. 2015.
C. 2016.
D. 2014.

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Dạng 1: Bài tập về xác định số hạng của dãy số
Câu 1. Đáp án C.

Câu 2.

 n  1
xn 

 n 1 
Ta có
Đáp án A.

2 n 3

 (n  1)  1 
xn 1 

 (n  1)  1 
nên

2( n 1) 3

 n 


 n2

2 n 5

.